Đề chọn học sinh giỏi toán lớp 9 tỉnh Đà Nẵng năm 2010-2011

Website: tailieumontoan.com

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010-2011
Câu 1:

(2,0 điểm)
a  1 a a 1 a2  a a  a 1


với a  0, a  1 .
a
a a
a a a
a) Chứng minh rằng M  4.
6
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N 
nhận giá trị nguyên?
M
Cho biểu thức: M 

Câu 2:

(2,0 điểm)
a) Cho các hàm số bậc nhất: y  0,5 x  3 , y  6  x và y  mx có đồ thị lần lượt là các đường
thẳng  d1  ,  d 2  và ( m ) .Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng ( m ) cắt hai
đường thẳng  d1  và  d 2  lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hồnh độ âm cịn
điểm B có hồnh độ dương?
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục
hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I (1 ; 2) . Tìm hệ
thức liên hệ giữa hồnh độ của M và tung độ của N ; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu
thức Q 

Câu 3:

1
1 .

2
OM
ON 2

(2,0 điểm)
17 x  2 y  2011 xy
a) Giải hệ phương trình: 
 x  2 y  3xy
b) Tìm tất cả các giá trị của x, y , z sao cho:

Câu 4:

x  yz  zx 

1
 y  3 .
2

(3,0 điểm)
Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C )
sao cho M không trùng với các điểm A và B . Lấy C là điểm đối xứng của O qua A . Đường
thẳng vng góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N . Đường thẳng BN cắt đường tròn

 C

tại điểm thứ hai là E . Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F .

a) Chứng minh rằng các điểm A, E , F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tích AM . AN khơng đổi.
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
Câu 5:

(1,0 điểm)
Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số ngun dương đầu tiên.
……………….HẾT…………….
Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh:………………….

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010-2011
Câu 1:

(2,0 điểm)
a  1 a a 1 a2  a a  a 1


với a  0, a  1 .
a
a a
a a a

a) Chứng minh rằng M  4.
6
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N 
nhận giá trị nguyên?
M
Lời giải
a a  1 ( a  1)(a  a  1) a  a  1


a) Do a  0; a  1 nên:
và
a a
a ( a  1)
a
Cho biểu thức: M 

a 2  a a  a  1 (a  1)( a  1)  a ( a  1) (a  1)(a  a  1)  a  a  1



a a a
a (1  a )
a (1  a)
a
a 1
2
 M
a
Do a  0; a  1 nên: ( a  1) 2  0  a  1  2 a
2 a

24
a
6 3
 do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1
b) Ta có 0  N 
M 2
 M

6 a
 1  a  4 a  1  0  ( a  2) 2  3
a 1 2 a
a  2  3 hay a  2  3 (phù hợp)

Mà N = 1 


Vậy N nguyên  a  (2  3) 2
Câu 2:

(2,0 điểm)
a) Cho các hàm số bậc nhất: y  0,5 x  3 , y  6  x và y  mx có đồ thị lần lượt là các đường
thẳng  d1  ,  d 2  và ( m ) .Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng ( m ) cắt hai
đường thẳng  d1  và  d 2  lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hồnh độ âm cịn
điểm B có hồnh độ dương?
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục
hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I (1 ; 2) . Tìm hệ
thức liên hệ giữa hồnh độ của M và tung độ của N ; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu
thức Q 

1

1 .

2
OM
ON 2

Lời giải
a) Điều kiện để ( m ) là đồ thị hàm số bậc nhất là m  0 .
Phương trình hồnh độ giao điểm của  d1  và ( m ) là:
0,5 x  3  mx  (m  0,5) x  3
Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là m  0,5  0 hay m  0,5
Phương trình hồnh độ giao điểm của  d 2  và ( m ) là:
6  x  mx  (m  1) x  6
Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là m  1  0 hay m  1
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

Vậy điều kiện cần tìm là: 1  m  0,5; m  0
b) Đặt M  xm và n  yN     m.n  0 và m  1                          (*)
Nên đường thẳng qua ba điểm M , I , N có dạng: y  ax  b
0  am  b

  2  a  b  hệ thức liên hệ giữa m và n là 2m  n  mn
n  b

Chia hai vế cho m.n  0 ta được:

1 2

 1
m n

(**)

2

2

1
4
4
1   2 1
 1 2
 1
 1     2  2 
 5  2  2    
 m n  m n mn
m n  m n
 Q

1
1 1
2 1
 2  ; dấu “=” xảy ra khi
 ; kết hợp (**): m  5, n  2,5 (thỏa (*)
2
m n
5
m n

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là

Câu 3:

1
5

(2,0 điểm)
17 x  2 y  2011 xy
a) Giải hệ phương trình: 
 x  2 y  3xy
b) Tìm tất cả các giá trị của x, y , z sao cho:

x  yz  zx 

1
 y  3 .
2

Lời giải
17 2
 1 1007
9

x
 y  x  2011  y  9





490


a) Nếu xy  0 thì (1)  
(phù hợp)
1  2  3
 1  490
y  9

 y x
 x
1007
9
17 2
 1 1004
 y  x  2011  y  9



 xy  0 (loại)
Nếu xy  0 thì (1)  
1
2
1
1031
  3
 
 y x
 x

18
Nếu xy  0 thì (1)  x  y  0 (nhận).
9 
 9
;
KL: Hệ có đúng 2 nghiệm là  0;0  và 

 490 1007 
b) Điều kiện x  0; y  z  0; z  x  0  y  z  x  0
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

(2)  2 x  2 y  z  2 z  x  x  y  z  z  x  3
 ( x  1) 2  ( y  z  1) 2  ( z  x  1) 2  0
 x 1
x  1


  y  z  1   y  3 (thỏa điều kiện)

z  2

 z  x  1
Câu 4:

(3,0 điểm)
Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C )
sao cho M không trùng với các điểm A và B . Lấy C là điểm đối xứng của O qua A . Đường

thẳng vng góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N . Đường thẳng BN cắt đường tròn

 C

tại điểm thứ hai là E . Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F .

a) Chứng minh rằng các điểm A, E , F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tích AM . AN khơng đổi.
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
Lời giải

a) Chứng minh rằng các điểm A, E , F thẳng hàng.
MN  BF và BC  NF

 A là trực tâm của tam giác BNF  
 FA  NB
Lại có AE  NB
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

Nên A, E , F thẳng hàng
Chứng minh rằng tích AM . AN khơng đổi.
·
·
, nên hai tam giác ACN và AMB đồng dạng.
CAN
 MAB
Suy ra:

AN AC

AB AM

Hay AM AN AB AC 2 R 2 không đổi (với R là bán kính đường trịn  C  )
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
Ta có BA 
Mặt khác:


2
BC nên A là trọng tâm tam giác BNF  C là trung điểm NF (3)
3
·
·
, nên hai tam giác CNA # CBF
CAN
 CFM

CN AC

 CN CF BC AC 3R 2
BC CF

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: NF  CN  CF  2 CN CF 2R 3 không đổi
Nên: NF ngắn nhất  CN = CF  C là trung điểm NF (4)
(3) và (4) cho ta: A là trọng tâm tam giác BNF  NF ngắn nhất
Câu 5:

(1,0 điểm)
Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.
Lời giải
Đặt:

S 1 .2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12



S
 3.4.5.6.7.8.11.12
100



hai chữ số tận cùng của S là 00

(1) là một số nguyên

Mặt khác, trong suốt quá trình nhân liên tiếp các thừa số ở vế phải của  1 , nếu chỉ để ý đến
S
chữ số tận cùng, ta thấy
có chữ số tận cùng là 6 (vì
100
3.4  12; 2.6  12; 2.7  14; 4.8  32; 2.9  18; 8.11  88; 8.12  96 )
Vậy ba chữ số tận cùng của S là 600
……………..HẾT……………

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038