Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa năm 2022 có lời giải

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HỊA
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1. (2,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức: T 



2 1  3 10  6 3
2 2  2 3

KỲ THI TUYỂN VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ Q ĐƠN
NĂM HỌC: 2021 – 2022
MƠN: TỐN CHUN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

  2 1

3

10  6 3

2 2  2 3

.

b) Với mọi số nguyên dương n, chứng minh A  n 2  n 2 n  1  n  1 là số ngun nhưng khơng thể là
2

2

số chính phương.
Câu 2. (2,0 điểm) Cho các phương trình (ẩn x ) ax 2  bx  c  0 1 và cx 2  bx  a  0 2  với a , b, c là các
số thực dương thỏa mãn a  b  4c  0.
a) Chứng minh các phương trình 1 và  2 đều có hai nghiệm dương phân biệt.
b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 1 và x3 , x4 là hai nghiệm của phương trình  2.
1
1
1
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T 



.
x1 x2 x3 x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2
Câu 3. (1,5 điểm)
a) Phân tích đa thức P  x, y   4 x3  3xy 2  y 3 thành nhân tử. Từ đó chứng minh 4 x3  y 3  3xy 2 với mọi số
thực x, y thỏa mãn x  y  0.
3
 12.
b) Cho các số thực x1 , x2 ,..., x21 thỏa mãn x1 , x2 ,..., x21  2 và x13  x23  x23  ...  x21

Chứng minh rằng: x1  x2  ...  x21  18.
Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vng tại A. Các đường trịn O  đường kính AB và  I  đường kính

AC cắt nhau tại điểm thứ hai H  H  A. Đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt đường tròn O  tại M và cắt
đường tròn  I  tại N  A nằm giữa M và N .
a) Đoạn thẳng OI lần lượt cắt các đường tròn O  ,  I  tại D, E. Chứng minh OI là đường trung trực của đoanh
thẳng AH và AB  AC  BC  2 DE.

b) Chứng minh giao điểm S của hai đường thẳng OM và IN di chuyên trên một đường tròn cố định khi đường
thẳng d  quay quanh A.
c) Giả sử đường thẳng MH cắt đường tròn  I  tại điểm thứ hai là T T  H . Chứng minh ba điểm N , I , T
thẳng hàng và ba đường thẳng MS , AT , NH đồng quy.
Câu 5. (1,5 điểm)
a) Hai số tự nhiên khác nhau được gọi là “thân thiết” nếu tổng bình phương của chúng chia hết cho 3. Hỏi tập
hợp X  1; 2; 3;...; 2021 có bao nhiêu cặp số “thân thiết” khơng phân biệt thứ tự?
b) Trong kỳ thi chọn đội tuyể năng khiếu của trường T có n mơn  n  , n  5 , mọi mơn thi đều có thí sinh
tham gia và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
- Có ít nhất 5 mơn có số lượng thí sinh tham gia thì đơi một khác nhau;
- Với 2 mơn thi bất kỳ, ln tìm được 2 mơn khác có tổng số lượng thí sinh tham gia bằng với tổng số lượng thí
sinh của 2 mơn đó.
Hỏi kỳ thi có ít nhất bao nhiêu mơn được tổ chức?
-------------HẾT------------ />

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. (2,0 điểm)



2 1  3 10  6 3

a) Tính giá trị của biểu thức: T 

2 2  2 3

  2 1

3

10  6 3

2 2  2 3

.

b) Với mọi số nguyên dương n, chứng minh A  n 2  n 2 n  1  n  1 là số ngun nhưng khơng thể là
2

2

số chính phương.
Lời giải
a) Ta có:







3



3

3  1  3 3  9  3 3  1  10  6 3 và 1 3  1 3 3  9  3 3  10  6 3.

Suy ra:



2 1  3 10  6 3

T





2 2  2 3



2 2 3



2 42 3



3 1



3



2



3 1





 

2 1  3 10  6 3



2 2  2 3



2 2 3



2 42 3



3 1



3





42 3
2



3
3


2 1  3 1  3 
2 1  3 1 3 






2 2  2 3
2 2  2 3





3 1



42 3
2











3 1

2



3 1



3  1  3 1
 2.
3

Vậy T  2.
b) Ta có: n 2  n 2 n  1  n  1  n 2  n  2 n 2  2 n  1  n 2  n  2 n 2  n  1  n 2  n  1 .
2

2

2

2

2

Suy ra: A  n 2  n  1.
Do n 2  A  n 2  n  1   n  1 , n  * nên A khơng thể là số chính phương.
2

Câu 2. (2,0 điểm)
Cho các phương trình (ẩn x ) ax 2  bx  c  0 1 và cx 2  bx  a  0 2  với a , b, c là các số thực dương thỏa
mãn a  b  4c  0.
a) Chứng minh các phương trình 1 và  2 đều có hai nghiệm dương phân biệt.
b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 1 và x3 , x4 là hai nghiệm của phương trình  2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T 

1
1
1

1



.
x1 x2 x3 x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2

Lời giải

/>

a) Phương trình 1 và  2 đều có:   b 2  4 ac  a  4c   4 ac  a 2  4 ac  16 c 2  0 với a , b, c  0.
2

Gọi S1 , P1 lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm của phương trình 1. Gọi S 2 , P2 . lần lượt là tổng và tích của
hai nghiệm của phương trình 1.

b
c


S1   0, P1   0

a
a
Theo định lý Viete, ta có: 
.

b
a


S 2   0, P2   0


c
c



Do đó phương trình 1 và  2 đều có hai nghiệm dương phân biệt.
b) Ta có: T 

x  x2  x3  x4
1
1
1
1



 1
.
x1 x2 x3 x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2
x1 x2 x3 x4


b
c



 x1  x2  S1  a , x1 x2  P1  a
Theo định lý Viete, ta có: 
.

b
a

x3  x4  S 2  , x3 x4  P2 


c
c



Ta có:
b b

 1 1  b a  c a  4c  a  c a 2  5ac  4c 2 a 4c
a 4c
a
c
T
 b    


   5  2   5  9.
 a c 
c a
ac

ac
ac
c a
c a

a 2

a  2c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 a  b  2c.



a  b  4c  0
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 9 đạt được khi a  b  2c.
Câu 3. (1,5 điểm)
a) Phân tích đa thức P  x, y   4 x3  3xy 2  y 3 thành nhân tử. Từ đó chứng minh 4 x3  y 3  3xy 2 với mọi số
thực x, y thỏa mãn x  y  0.
3
 12.
b) Cho các số thực x1 , x2 ,..., x21 thỏa mãn x1 , x2 ,..., x21  2 và x13  x23  x23  ...  x21

Chứng minh rằng: x1  x2  ...  x21  18.
Lời giải
a) Ta có:

P  x, y   4 x3  3xy 2  y 3  4  x3  x 2 y   4  x 2 y  xy 3    xy 3  y 3 
 4 x 2  x  y   4 xy  x  y   y 2  x  y    x  y 4 x 2  4 xy  y 2 
  x  y 2 x  y  .
2

/>

Vì x  y  0  4 x 3  3 xy 2  y 3  0  4 x3  y 3  3xy 2 .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x   y.
b) Với mọi xi  2, ta có:  xi  2 xi 1  0  xi3  3xi  2  0  xi 
2

xi3  2
.
3

Từ đây suy ra:
x1  x2  ...  x21 

 x13  2   x23  2  ...   x213  2
3



3
x13  x23  ..  x21
 21 2 12  21 2

 18.
3
3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có một số 2 và 20 số còn lại bằng 1.
Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vng tại A. Các đường trịn O  đường kính AB và  I  đường kính AC cắt nhau tại điểm
thứ hai H  H  A. Đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt đường tròn O  tại M và cắt đường tròn  I  tại N  A
nằm giữa M và N .
a) Đoạn thẳng OI lần lượt cắt các đường tròn O  ,  I  tại D, E. Chứng minh OI là đường trung trực của đoanh
thẳng AH và AB  AC  BC  2 DE.
b) Chứng minh giao điểm S của hai đường thẳng OM và IN di chuyên trên một đường tròn cố định khi đường
thẳng d  quay quanh A.
c) Giả sử đường thẳng MH cắt đường tròn  I  tại điểm thứ hai là T T  H . Chứng minh ba điểm N , I , T
thẳng hàng và ba đường thẳng MS , AT , NH đồng quy.
Lời giải

N
A
M
O

D

E

I

R
S
B

C

H
T

/>

a) Ta có: AHB AHC  900  900  1800  B, H , C thẳng hàng hay AH  BC.
Do OA  OH , IA  IH nên OI là đường trung trực của AH .
Ta có: OI là đường trung bình của tam giác ABC  OI 

BC
.
2

Do đó:

2 DE  OD  OE  IE  ID  OD  IE OI  IE   OI  OD   2OD  2OE  2OI  AB  AC  BC.
Vậy AB  AC  BC  2 DE.
b) Ta có: OSI  1800 OMA NIA.
Mặt khác tam giác OMA cân tại O nên OMA  OAM .
Tương tự ta cũng có: INA  NAI .
Từ đó suy ra: OSI  1800  OAM NAI   1800  1800 OAI   900.
Suy ra S nằm trên đường trịn đường kính OI .
Vậy khi d  quay quanh A thì S di chuyên trên đường trịn đường kính OI .
c) Ta có:

MHN  MHA AHN  MBA ACN  900 MAO  900 IAN
 1800 MAO IAN  OAI  900.
Do đó tam giác MNH vuông tại H hay NH  MT .
Suy ra H nằm trên đường trịn đường kính NT hay N , T , I thẳng hàng.
Gọi R là giao điểm của MS và NH suy ra R là trực tâm tam giác MTN  RT  MN .
Mặt khác TAN  900 do A nằm trên đường trịn đường kính NT  TA  MN .
Từ đó ta có A, T , R thẳng hàng hay ba đường thẳng MS , AT , NH đồng quy.

Câu 5. (1,5 điểm)
a) Hai số tự nhiên khác nhau được gọi là “thân thiết” nếu tổng bình phương của chúng chia hết cho 3. Hỏi tập
hợp X  1; 2; 3;...; 2021 có bao nhiêu cặp số “thân thiết” không phân biệt thứ tự?
b) Trong kỳ thi chọn đội tuyển năng khiếu của trường T có n mơn  n  , n  5 , mọi mơn thi đều có thí sinh
tham gia và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
- Có ít nhất 5 mơn có số lượng thí sinh tham gia thì đơi một khác nhau;
- Với 2 mơn thi bất kỳ, ln tìm được 2 mơn khác có tổng số lượng thí sinh tham gia bằng với tổng số lượng thí
sinh của 2 mơn đó.
Hỏi kỳ thi có ít nhất bao nhiêu mơn được tổ chức?
Lời giải
a) Số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1, do đó a 2  b2 chia 3 dư 0, 1 hoặc 2.
/>

Do đó a 2  b2 chia hết cho 3 khi và chỉ khi a và b cùng chia hết cho 3.
 2021
  673 số chia hết cho 3.
Tập hợp X có 
 3 

Do đó số cặp thân thiết trong tập hợp X là

673 672
 226128.
2

Vậy có 226128 cặp thân thiết trong tập hợp X .
b) Không mất tính tổng qt, giả sử hai mơn có số lượng thí sinh tham gia nhiều nhất lần lượt là a và b với
a  b, a , b  *. Nếu a  b thì khơng tồn tại hai mơn nào có tổng số lượng thí sinh bằng a  b do hai mơn này
có số lượng thí sinh đều nhỏ hơn hoặc bằng b. Do đó a  b. Vì hai mơn khác có tổng số thí sinh bằng 2a nên
hai mơn này đều có số thí sinh là a.

Xét một mơn có số thí sinh khác a lớn nhất. Gọi c c  *  là số lượng thí sinh của mơn này, ta có c  a. Ta
thấy tổng số thí sinh của mơn này với một mơn có a thí sinh sẽ có hai mơn khác có tổng số thí sinh bằng như
vậy. Do đó tồn tại một mơn nữa có số thí sinh là c.
Như vậy có 4 mơn có số thí sinh tham gia nhiều nhất là a và 2 mơn có số thí sinh tham gia nhiều kế tiếp là c.
Tương tự cách lập luận trên ta có 4 mơn có số thí sinh tham gia ít nhất là d và hai mơn có số thí sinh khác d nhỏ
nhất là e, với d , e  *. Nếu c  e thì chỉ có 4 mơn có số thí sinh đơi một khác nhau là  a; c , c; d  , d ; e , a; e
do đó phải có ít nhất 13 mơn.
Ta xây dựng một cấu hình với 13 mơn có số thí sinh thỏa mãn.
1; 1; 1; 1; 2; 2; 3; 4; 4; 5; 5; 5; 5.

Vậy có ít nhất 13 mơn được tổ chức trong kỳ thi.
--------------Chúc các bạn học tốt!-------------Like fanpage: />Truy cập web để cập nhật tài liệu nhanh nhất: />
/>