Phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

LÊ THỊ HẠNH

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH
TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

LÊ THỊ HẠNH

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH
TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Chun ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. Lê Văn Dũng

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019






MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. ĐỊNH NGHĨA KHOẢNG CÁCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng . . . . . . 3
1.1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . . . . . . . . 3
1.1.3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . .4
1.1.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . 5
1.2. MỘT SỐ CÔNG THỨC LIÊN QUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Định lí cosin trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3. Cơng thức tính diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4. Cơng thức trong hình học khơng gian Oxyz . . . . . . . . . . 6
1.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH VNG GĨC . . . . . . . 7
1.3.1. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc 7
1.3.2. Phương pháp chứng minh đường thẳng vng góc với mặt
phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3. Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vng góc 10
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN KHOẢNG
CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN . . . . . . . . . . . . . 12

2.1. VẬN DỤNG ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


5

2.1.1. Bài toán khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
12
2.1.2. Bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
14
2.1.3. Bài toán khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.4. Bài toán khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song . 23
2.1.5. Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 25
2.2. VẬN DỤNG THỂ TÍCH, TỈ SỐ THỂ TÍCH HÌNH HỌC, TÍNH
CHẤT CỦA TỨ DIỆN VNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3. VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Hình học khơng gian là một mảng khó trong tốn học phổ thơng và
càng khó hơn khi học xong quan hệ vng góc, nhất là các bài tốn liên
quan đến khoảng cách. Ngồi việc học tốt kiến thức về hình học khơng
gian, các em còn phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp, kĩ năng
phân tích để quy bài tốn khó về dễ.

Hơn nữa, khoảng cách là một trong những kiến thức quan trọng trong
hình học khơng gian, dạng tốn này thường xun được ra trong các kì
thi THPT Quốc gia, kì thi chọn học sinh giỏi. Do đó, việc nghiên cứu các
phương pháp giải bài toán khoảng cách là rất cần thiết, có ý nghĩa khoa
học và mang tính thực tiễn trong việc dạy và học bộ mơn Tốn trong
chương trình Trung học phổ thơng.
Chính vì các lí do nêu trên, dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Văn Dũng, tôi
quyết định chọn nghiên cứu đề tài: Phương pháp giải bài toán khoảng
cách trong hình học khơng gian.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các kiến thức cơ bản về khoảng cách, đặc biệt là phương pháp
tính khoảng cách trong hình khơng gian;
Hệ thống và phân loại một số dạng bài tốn khoảng cách trong hình
học khơng gian.
Hy vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo bổ
ích cho học sinh và giáo viên các trường THPT.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là các kiến thức cơ bản về khoảng cách và phương
pháp giải bài tốn khoảng cách trong hình học khơng gian.


2

4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu một số bài toán khoảng cách trong hình học khơng gian
bằng phương pháp thuần túy và phương pháp gán hệ trục tọa độ.
5. Phương pháp nghiên cứu
Với đề tài: Phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình
học khơng gian, tơi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

• Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội dung đề
tài luận văn.
• Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn.
• Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn, của các
chuyên gia và của các đồng nghiệp.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Luận văn có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn và phù hợp với
chun ngành Phương pháp Tốn sơ cấp. Nó có thể được sử dụng làm tài
liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh và bạn đọc quan tâm đến công tác
dạy luyện thi và bồi dưỡng học sinh giỏi.
6. Cấu trúc luận văn
Nội dung của luận văn được chia làm hai chương:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2: Phương pháp giải bài tốn khoảng cách trong hình học
khơng gian.


3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Các nội dung được trình bày trong chương này được tham khảo từ tài
liệu [2], [6] và [7].

1.1. ĐỊNH NGHĨA KHOẢNG CÁCH
1.1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là khoảng cách từ nó đến

hình chiếu vng góc H của M lên đường thẳng ∆.
Kí hiệu d(M, ∆) = M H .

1.1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P ) là khoảng cách từ nó đến
hình chiếu vng góc H của M lên mặt phẳng (P ).
Kí hiệu d(M, (P )) = M H .


4

1.1.3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu đường thẳng a và mặt phẳng (P ) cắt nhau hoặc a ⊂ (P ) thì
khoảng cách giữa chúng bằng 0.

Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P ) thì khoảng cách giữa
chúng là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P ).
Kí hiệu d(a, (P )).

1.1.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P ) và (Q) là khoảng cách
từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Kí hiệu d((P ), (Q)).

d((P ), (Q)) = d(A, (Q))
Nếu hai mặt phẳng (P ), (Q) trùng nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến


5

d thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
Kí hiệu d((P ), (Q)) = 0.

d((P ), (Q)) = 0
1.1.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vng góc
chung của hai đường thẳng đó.

d(a, b) = IJ
1.2. MỘT SỐ CƠNG THỨC LIÊN QUAN
1.2.1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông


6

a2 = b2 + c2 ,

b2 = b .a;

a.h = b.c,

h2 = b .c ,

c2 = c .a
1
1
1
=
+
h2

b2 c2

1.2.2. Định lí cosin trong tam giác
Cho tam giác ABC , ta có:

AB 2 = BC 2 + CA2 − 2BC.CA. cos C
BC 2 = AC 2 + AB 2 − 2CA.AB. cos A
CA2 = CB 2 + BA2 − 2CB.BA. cos B
1.2.3. Cơng thức tính diện tích tam giác
1
1
1
S = a.ha = b.hb = c.hc .
2
2
2
1
1
1
S = AB.AC. sin A = BA.BC. sin B = CA.CB. sin C .
2
2
2
AB.AC.BC
(R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác).
S=
4R
AB + BC + CA
S = p(p − AB)(p − BC)(p − CA) (p =
).

2
S = p.r (r là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác).
1.2.4. Cơng thức trong hình học khơng gian Oxyz
* Với hai điểm A(xA ; yA ; zA ) và B(xB ; yB ; zB ) thì
−→
AB = (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA ).
* Khoảng cách giữa hai điểm A(xA ; yA ; zA ) và B(xB ; yB ; zB ) là

AB =

(xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 .

* Khoảng cách từ điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α) có phương
trình Ax + By + Cz + D = 0 là
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
√
d(M0 , (α)) =
.
A2 + B 2 + C 2
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆ , trong đó ∆
đi qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương u, cịn ∆ đi qua điểm M0 và có
vectơ chỉ phương u là


7

d(∆, ∆ ) =

−−−→
|[u, u ].M0 M0 |

|[u, u ]|

.

* Tính góc giữa hai đường thẳng theo vectơ chỉ phương:

cos ϕ =

|u1 .u2 |
.
|u1 | . |u2 |

Chú ý:
+ 00 ≤ ϕ ≤ 900 .
−→ −−→
+ AB ⊥ CD ⇔ AB.CD = 0.
+ Nếu hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng
bằng 00 .

1.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH VNG GĨC
1.3.1. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc
Để chứng minh a ⊥ b ta thường sử dụng những phương pháp chứng
minh sau:
Cách 1: Sử dụng các phương pháp hình học phẳng: góc nội tiếp, định
lí Pitago đảo,...
Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu:
a⊥b
⇒ a ⊥ c.
b//c
Cách 3: Tìm một mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng b. Chứng minh

đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P ) thì a ⊥ b.


8

a ⊥ (P )
b ⊂ (P )

⇒ a ⊥ b.

Cách 4: Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P ),
đường thẳng b vng góc với mặt phẳng (P ) thì suy ra a ⊥ b.

a//(P )
b ⊥ (P )

⇒ a ⊥ b.

Cách 5: Áp dụng định lí 3 đường vng góc.

b ⊂ (P ).
Đường thẳng a vng góc với đường thẳng b khi và chỉ khi b vng góc với
a . Nói ngắn gọn b vng góc với hình chiếu thì b vng góc với đường xiên.
Với a là hình chiếu vng góc của a trên mặt phẳng (P ),

1.3.2. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng
Để chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P ) ta thường
sử dụng các phương pháp sau:
Cách 1: Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng

(P ), ta phải chứng minh đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng
cắt nhau thuộc mặt phẳng (P ).


9


a⊥b



a⊥c
b∩c=I



b ⊂ (P );

⇒ a ⊥ (P ).
c ⊂ (P )

Cách 2: Hai mặt phẳng (Q) và (R) có giao tuyến a cùng vng góc với
mặt phẳng (P ) thì a vng góc với (P ).


(P ) ⊥ (Q)
(P ) ⊥ (R)

(Q) ∩ (R) = a

⇒

a ⊥ (P ).

Cách 3: Hai mặt phẳng (P ) và (Q) vng góc với nhau theo giao tuyến
b. Một đường thẳng a thuộc mặt phẳng (Q) vng góc với b thì a vng
góc với mặt phẳng (P ).


10


(P ) ⊥ (Q)



(P ) ∩ (Q) = b
a ⊂ (Q)



a⊥b

⇒

a ⊥ (P ).

Cách 4: Chứng minh đường thẳng b vng góc với mặt phẳng (P ),
đường thẳng a song song với b, suy ra a vng góc với (P ).

a//b
b ⊥ (P )

⇒

a ⊥ (P ).

Cách 5: Chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (Q), mặt
phẳng (P ) song song với mặt phẳng (Q) nên a vng góc với (P ).

a ⊥ (Q)
(P )//(Q)

⇒

a ⊥ (P ).

1.3.3. Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vng góc
Để chứng minh hai mặt phẳng vng góc, ta thường sử dụng hai phương
pháp sau:
Cách 1: Ta chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vng
góc với mặt phẳng kia.


11

a ⊥ (P )
a ⊂ (Q)

⇒

(Q) ⊥ (P ).

Cách 2: Ta chứng minh góc giữa chúng là 900 .


12

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN KHOẢNG
CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Các nội dung chính được trình bày trong chương này được tham khảo
từ tài liệu [3], [4], [5] và [8].

2.1. VẬN DỤNG ĐỊNH NGHĨA
2.1.1. Bài toán khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Phương pháp chung: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường
thẳng ∆ ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Trong mặt phẳng (M, ∆), hạ M H ⊥ ∆ với H ∈ ∆.
Bước 2: Thực hiện việc xác định độ dài M H dựa trên hệ thức lượng
trong tam giác, tứ giác và đường tròn.
Chú ý:
1, Nếu tồn tại đường thẳng a qua M và song song với ∆ thì

d(M, ∆) = d(A, ∆)

2, Nếu M A ∩ ∆ = I thì

với

d(M, ∆) M I
=
.
d(A, ∆)
AI

A ∈ a.


13

Bài tốn 2.1.1.1. [7, tr. 145] Cho hình chóp SABCD có đáy là một
√
hình vng cạnh a tâm O, cạnh bên SA = a 2 và vng góc với đáy.
a) Hãy tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SC .
b) Hãy tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SC .
c) Hãy tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SD.
Giải

a) Tính d(A, SC)
Gọi H là hình chiếu của A lên SC . Khi đó, d(A, SC) = AH và AH
chính là đường cao trong tam giác vng SAC vng tại A. Lại có AC là
√
đường chéo của hình vng ABCD cạnh a nên AC = a 2. Xét ∆SAC
vuông tại A, đường cao AH ta có
1
1

1
1
1
1
√
√
=
+
=
+
=
.
AH 2
AS 2 AC 2
a2
(a 2)2 (a 2)2
Do đó AH = a. Vậy d(A, SC) = AH = a.
b) Tính d(O, SC)


14

Gọi K là hình chiếu của O lên SC . Khi đó OK = d(O, SC) và

OC
1
d(O, SC) OK
=
=
= (vì O là tâm của hình vng ABCD).

d(A, SC)
OH
AC
2
d(A, SC) a
Vậy d(O, SC) =
= .
2
2
c) Tính d(O, SD)
Gọi I là hình chiếu của O lên SD. Khi đó d(O, SD) = OI và OI là
đường cao trong tam giác SOD. Ta có

SA ⊥ BD
AC ⊥ BD

⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ OD ⊥ SO.

Suy ra ∆SOD vng √
tại O. Lại có
a 2
BD
=
(O là tâm của hình vng ABCD).
OD =
2
2
√
√
a

10
(áp dụng định lí Pitago).
SO = SA2 + AO2 =
2
Xét ∆SOD vuông tại O, đường cao OI ta có

1
1
1
=
+
=
2
2
AI
OS
OD2

1
√
a 10
2

1
12
√ 2 = 5a2 .
a 2
2
√
√

a 15
a 15
Do đó OI =
. Vậy d(O, SD) = OI =
.
6
6
2.1.2. Bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
2

+

Phương pháp chung: Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
(P ) ta thực hiện theo các bước sau:


15

Bước 1: Tìm mặt phẳng (Q) chứa M và vng góc với (P ) theo giao
tuyến ∆.
Bước 2: Từ M hạ M H vng góc với ∆ (H ∈ ∆). Khi đó

d(M, (P )) = M H.
Chú ý:
1, Nếu đã có sẵn đường thẳng d vng góc với mặt phẳng P thì chỉ cần
dựng M x//d, ta được M x ⊥ (P ).

2, Nếu M A//(P ) thì d(M, (P )) = d(A, (P )).

3, Nếu M A cắt (P ) tại điểm I thì

d(M, (P )) M I
=
.
d(A, (P ))
AI

4, Sử dụng tính chất của trục đường trịn, cụ thể:
Đường vng góc với mặt phẳng chứa đường trịn tại tâm của đường
trịn gọi là trục của đường trịn đó.


16

Nếu O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và M là một điểm
cách đều ba điểm A, B , C thì đường thẳng M O là trục của đường trịn
ngoại tiếp ∆ABC . Khi đó

M O ⊥ (ABC)vàM O = d(M, (ABC)).
Bài toán 2.1.2.1. Cho tứ diện DABC , mặt phẳng (ABC) là tam giác
vuông cân tại B, cạnh huyền AC = 2a, mặt phẳng (DAC) là tam giác
đều sao cho (DAC) ⊥ (ABC). Gọi O là trung điểm của cạnh AC .
a, Tính khoảng cách d(D, (ABC)).
b, Tính khoảng cách d(O, (DBC)).
Giải

a) Tính d(D, (ABC))
Vì OA = OB và ∆DAC là tam giác đều nên DO ⊥ AC . Mặt khác:

(DAC) ⊥ (ABC)và(DAC) ∩ (ABC) = AC.

17

√
√
2a 3
Suy ra DO ⊥ (ABC). Vậy d(D, (ABC)) = DO =
= a 3.
2
b) Tính d(O, (DBC))

√
Xét ∆ABC vng cân tại B cạnh huyền AC = 2a suy ra AB = a 2.
Kẻ OI ⊥ BC khi đó, OI là đường trung bình của tam giác ABC . Ta có
DO ⊥ (ABC)
OI ⊥ BC

⇒ DI ⊥ BC.

Do đó BC ⊥ (DOI) suy ra (DBC) ⊥ (DOI) (theo giao tuyến DI ).
Kẻ OH ⊥ DI ⇒ OH ⊥ (DBC) hay d(O, (DBC)) = OH . Xét ∆ODI
vuông tại O, đường cao OH ta có

1
1
1
=
+
=

2
2
OH
OI
OD2

1
√
a 2
2

2

1
+ √
a 3

2

√
7
a 21
= 2 ⇒ OH =
.
3a
7

√
a 21
Vậy d(O, (DBC)) =

.
7
Bài toán 2.1.2.2. [7, tr.146] Cho hình lập phương ABCD.A B C D ,
có cạnh là a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A BD).
Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó,
√
1
a 2
OA ⊥ BD
và
OA = AC =
.
2
2