Tài liệu Bài tập Lý thuyết tín hiệu( có lời giải) ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.98 MB, 115 trang )
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 1
Bài 1.1. Hãy tính tích phân, năng lượng, ñộ rộng trung bình của các tín hiệu
sau ñây:
a)
(
)
(
)
ttx Λ=
d)
(
)
t
tetx
−
=
b)
(
)
2
t
etx
π
−
=
e)
(
)
(
)
(
)
tetetx
tt
11
2 −
+−=
c)
( )
2
1
1
t
tx
+
=
f)
( )
Π=
π
3
cos
t
ttx
Giải
a)Tích phân của tín hiệu là:
[ ]
( )
∫
∞
∞−
= dttxx
( ) ( )
∫ ∫
−
−++=
0
1
1
0
11 dttdtt
( )
∫
−=
1
0
12 dtt
1
0
2
2
1
−= tt
−=
2
1
12
1
=
Năng lượng của tín hiệu là:
( )
[ ]
∫
∞
∞−
=
dttx
E
x
2
( )
dtt
∫
−=
1
0
2
12
( )
1
0
3
1
3
2
t
−
−
=
3
2
=
b)
(
)
2
t
etx
π
−
=
*Tích phân của tín hiệu là:
[ ]
( )
∫
∞
∞−
=
dttxx
(
)
∫
∞
∞−
−
=
dte
t
2
π
ðặt
I
(
)
∫
∞
∞−
−
=
dte
t
2
π
dyedxeI
yx
∫
∫
−−
=⇒
ππ
2
(
)
dxdye
yx
∫∫
+−
=
22
π
ñặt
ϕ
cos
r
x
=
và
ϕ
sinry
=
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 2
∫∫
∞
−
=⇒
0
2
0
2
2
rdredI
r
π
π
ϕ
∫
∞
−
×=
0
2
2
2
1
2 dre
r
π
π
2
0
r
e
π
−
=
−
∞
1
=
1
=
⇒
I
*Năng lượng của tín hiệu là:
( )
[ ]
∫
∞
∞−
= dttx
E
x
2
(
)
∫
∞
∞−
−
= dte
t
2
2
π
ðặt
M
(
)
∫
∞
∞−
−
= dte
t
2
2
π
dyedxeM
yx
∫
∫
−−
=⇒
22
222
ππ
(
)
dxdye
yx
∫∫
+−
=
22
2
π
ñặt
ϕ
cos
r
x
=
và
ϕ
sinry
=
∫∫
∞
−
=⇒
0
2
2
0
2
2
rdredM
r
π
π
ϕ
∫
∞
−
×=
0
22
2
2
1
2 dre
r
π
π
2
2
2
1
0
r
e
π
−
=
−
∞
2
1
=
⇒
( )
[ ]
∫
∞
∞−
= dttx
E
x
2
M
=
2
2
=
c)
( )
2
1
1
t
tx
+
=
* Tích phân của tín hiệu là:
[ ]
π
ππ
=+=
=
+
=
∞
∞−
∞
∞−
∫
22
1
1
)(
2
acrtgtdt
t
tx
* Năng lượng của tín hiệu là:
( )
[ ]
∫
∞
∞−
= dttx
E
x
2
=
∫
∞
∞−
+
dt
t
22
)1(
1
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 3
ðặt
tgu
t
=
( )
( )
2
4
1
22sin
4
1
)12(cos
2
1
cos
cos
1
cos
cos
1
)1(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
222
π
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
=+=
+=+=
==
+
=⇒
∫
∫∫
∫
−
−
−−
−
uuduu
ududu
u
u
du
uutg
E
x
d)
(
)
t
tetx
−
=
* Tích phân của tín hiệu là:
[ ]
( ) ( )
0
1
1
0
0
0
0
=
+
−
=
++−=
+=
∞
−−
∞−
∞
−
∞−
∫∫
tttt
tt
eteete
dttedttex
* Năng lượng của tín hiệu là:
( )
[ ]
∫
∞
∞−
= dttx
E
x
2
2
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
4
1
2
1
2
1
0
2222
0
2222
0
22
0
22
=+=
++−
+−=
+=
∞
−−−
∞−
∞
−
∞−
∫∫
tttttt
tt
eteeteteet
dtetdtet
e)
(
)
(
)
(
)
tetetx
tt
11
2 −
+−=
* Tích phân của tín hiệu là:
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 4
[ ]
2
3
1
2
1
2
1
0
0
2
0
0
2
=+=−=
+=
∞
−
∞−
∞
−
∞−
∫∫
tt
tt
ee
dtedtex
* Năng lượng của tín hiệu là:
( )
[ ]
∫
∞
∞−
= dttx
E
x
2
4
3
2
1
4
1
2
1
4
1
0
2
0
4
0
2
0
4
=+=−=
+=
∞
−
∞−
∞
−
∞−
∫∫
tt
tt
ee
dtedte
f)
( )
Π=
π
3
cos
t
ttx
* Tích phân của tín hiệu là:
[ ]
211sin
cos
2
3
2
3
2
3
2
3
−=−−==
=
−
−
∫
π
π
π
π
t
tdtx
* Năng lượng của tín hiệu là:
( )
[ ]
( )
( )
( )
2
3
33
4
1
2cos2
4
1
2sin1
2
1
cos
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
π
ππ
π
π
π
π
π
π
=+=
+=
−==
=
−
−−
∞
∞−
∫∫
∫
tt
dtttdt
dttx
E
x
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 5
Bài 1.2 Dòng ñiện i(t) = Ie
t
β
−
1(t) chạy qua ñiện trở R .Hãy tìm :
a )Năng lượng tiêu hao trên ñiện trở R trong khoảng t(0;∞)
b )Năng lượng tiêu hao trên ñiện trở R trong khoảng t(0;1/β)
Giải
a)Năng lượng tiêu hao trên ñiện trở R trong khoảng t(0;∞) là:
E =
)()(
2
0
tdtiR
∫
∞
=
)(
2
0
tdIeR
t
∫
∞
−
β
=
)(
2
0
2
tdeRI
t
∫
∞
−
β
=
∞−
−
0
2
2
2
t
e
RI
β
β
=
)10(
2
2
−
−
β
RI
=
β
2
2
RI
b)Năng lượng tiêu hao trên ñiện trở R trong khoảng t(0;1/β) là :
E =
)()(
2
/1
0
tdtiR
∫
β
=
)(
2
/1
0
tdIeR
t
∫
−
β
β
=
)(
2
/1
0
2
tdeRI
t
∫
−
β
β
=
ββ
β
/1
0
2
2
2
t
e
RI
−
−
=
)1(
2
2
2
−
−
−
e
RI
β
=
β
2
865.0
2
RI
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 6
Bài 1.3
Hãy tìm thành phần chẵn , lẻ của các tín hiệu sau ñây và chứng minh
rằng các thành phần này trực giao , năng lượng cùa tín hiệu bằng tổng các
năng lượng thành phần:
Giải
a)Ta có:
x(t) = A ( 1-
T
t
)[ 1(t)-1(t-T) ]
* Thành phần chẵn của tín hiệu là:
x
ch
=
2
1
[x(t) + x(-t)]
=
2
1
(A ( 1-
T
t
)[ 1(t)-1(t-T)] + A ( 1+
T
t
)[ 1(-t)- 1(-t-T)] )
=
2
1
A
Λ
T
t
* Thành phần lẻ của tín hiệu là
x
le
=
2
1
(A ( 1-
T
t
)[ 1(t)-1(t-T)] - A ( 1+
T
t
)[ 1(-t)-1(-t-T)] )
=
2
1
A
Λ
T
t
sgn(t)
Xét tích vô hướng sau
dttxtx
T
T
lech
)(*)(
∫
−
=
4
1
A
2
∫
−
+−−
T
T
dt
T
t
T
t
])1()1[(
22
=0
→
thành phần này trực giao
Năng lượng của tín hiệu là:
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 7
E
x
= A
2
dt
T
t
T
2
0
)1(
∫
−
= A
2
(t-
T
t
2
+
T
t
3
3
)
T
0
= A
2
3
T
Năng lượng của tín hiệu thành phần chẵn:
E
ch
=
4
1
A
2
(
dt
T
t
T
2
0
)1(
∫
−
+
+
dt
T
t
T
2
0
)1(
∫
−
) =
4
1
A
2
3
2T
=A
2
6
T
Năng lượng của tín hiệu thành phần lẻ là:
E
le
=
4
1
A
2
(
dt
T
t
T
2
0
)1(
∫
−
+
+
dt
T
t
T
2
0
)1(
∫
−
) = A
2
6
T
→
E
x
= E
ch
+ E
le
= A
2
3
T
b) Ta có
x(t) = e
t
α
−
1(t)
* Thành phần chẵn của tín hiệu là:
x
ch
(t) =
2
1
[e
t
α
−
1(t) + e
t
α
1(-t)]=
2
1
e
t
α
−
* Thành phần lẻ của tín hiệu là:
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 8
x
le
(t) =
2
1
[e
t
α
−
1(t) - e
t
α
1(-t)]=
2
1
e
t
α
−
sgn(t)
Xét tích vô hướng sau
dttxtx
lech
)(*)(
∫
∞
∞−
=
4
1
dttete
tt
)](1)(1[
22
−−
∫
∞
∞−
−
αα
= -
4
1
dte
t
∫
∞−
0
2
α
+
4
1
dte
t
∫
∞
−
0
2
α
=
α
8
1
(-e
t
α
2
0
∞−
+ e
t
α
2−
∞
0
)= 0
→
thành phần này trực giao
Năng lượng của tín hiệu là:
E
x
=
dte
t
∫
∞
−
0
2
α
= -
α
2
1
e
t
α
2−
∞
0
=
α
2
1
Năng lượng của tín hiệu thành phần chẵn:
E
ch
=
4
1
(
∫
∞−
0
2
dte
t
α
+
dte
t
∫
∞
−
0
2
α
)=
α
4
1
Năng lượng của tín hiệu thành phần lẻ là:
E
le
=
4
1
(
dte
t
∫
∞−
0
2
α
+
dte
t
∫
∞
−
0
2
α
)=
α
4
1
Ta có E
x
= E
ch
+E
le
=
α
2
1
c) x(t) = e
t
α
−
sin(
t
ω
)1(t)
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 9
* Thành phần chẵn của tín hiệu là:
x
ch
=
2
1
[ e
t
α
−
sin(
t
ω
)1(t) - e
t
α
sin(
t
ω
)1(-t) ]
=
2
1
e
t
α
−
sin(
t
ω
)sgn(t)
* Thành phần lẻ của tín hiệu là:
x
le
=
2
1
[ e
t
α
−
sin(
t
ω
)1(t) + e
t
α
sin(
t
ω
)1(-t) ]
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 10
=
2
1
e
t
α
−
sin(
t
ω
)
Xét tích vô hướng sau:
dttxtx
lech
)(*)(
∫
∞
∞−
( ) ( )
( ) ( )
0
)(2)(2
8
1
2cos
8
1
2cos
8
1
16
1
2cos1
8
1
2cos1
8
1
sin
4
1
sin
4
1
2222
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
22
0
22
=
+
−
+
=
−+
+−=
−−−=
−=
∫∫
∫∫
∫∫
∞
−
∞−
∞−
∞
−
∞−
∞
−
∞−
∞
−
ωα
α
ωα
α
ωω
α
ωω
ωω
αααα
αα
αα
tdtetdteee
dttedtte
dttedtte
tttt
tt
tt
→
thành phần này trực giao
Năng lượng của tín hiệu là:
)(
1
)(sin
22
0
22
ωα
α
α
ω
α
+
+=
=
∫
∞
−
dtteE
t
Năng lượng của tín hiệu thành phần chẵn:
)(2
2
1
)(4
4
1
)(4
4
1
)(sin
4
1
)(sin
4
1
22
2222
0
22
0
22
ωα
α
α
ωα
α
α
ωα
α
α
ωω
αα
+
+=
+
++
+
+=
+=
∫∫
∞−
∞
−
dttedtteE
tt
ch
Năng lượng của tín hiệu thành phần lẻ:
)(2
2
1
)(4
4
1
)(4
4
1
)(sin
4
1
)(sin
4
1
22
2222
0
22
0
22
ωα
α
α
ωα
α
α
ωα
α
α
ωω
αα
+
+=
+
++
+
+=
+=
∫∫
∞−
∞
−
dttedtteE
tt
le
Ta có E
x
= E
ch
+E
le
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 11
d) x(t) = (t+1)
2
∏
2
t
* Thành phần chẵn của tín hiệu là:
x
ch
=
2
1
[(t+1)
2
∏
2
t
+ (1-t)
2
∏
−
2
t
]
= (t
2
+1)
∏
2
t
* Thành phần lẻ của tín hiệu là:
x
le
=
2
1
[(t+1)
2
∏
2
t
- (1-t)
2
∏
−
2
t
]
= 2t
∏
2
t
Xét tích vô hướng sau:
dttxtx
lech
)(*)(
∫
∞
∞−
01
2
1
1
2
1
2
1
)1(2
1
1
24
1
1
2
=−−+=
+=
+=
−
−
∫
tt
dttt
→
thành phần này trực giao
Năng lượng của tín hiệu là:
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 12
3
8
2
3
4
5
2
2
3
2
5
1
)1424(
)12(
)1(
1
1
2345
1
1
234
1
1
22
1
1
4
=++=
++++=
++++=
++=
+=
−
−
−
−
∫
∫
∫
ttttt
dttttt
dttt
dttE
Năng lượng của tín hiệu thành phần chẵn:
15
56
2
3
4
5
2
3
2
5
1
)12(
)1(
1
1
35
1
1
24
1
1
22
=++=
++=
++=
+=
−
−
−
∫
∫
ttt
dttt
dttE
Năng lượng của tín hiệu thành phần lẻ:
3
8
3
4
4
1
1
3
1
1
2
==
=
−
−
∫
t
dttE
Ta có E
x
≠
E
ch
+E
le
Bài 1.4. Hãy tìm thành phần chẵn, lẻ của các tín hiệu sau. Trong mỗi trường
hợp hãy chứng minh rằng các thành phần ñó trực giao và công suất trung
bình của mỗi tín hiệu bằng tổng công suất trung bình thành phần.
a)
tj
etx
ω
=)(
b)
)
(
1
)
(
t
t
x
=
c)
)(1)1()( tetx
t
α
−
−=
d)
−=
2
1
)( ttx
δ
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 13
e)
+=
4
cos)(
π
ω
tAtx
Giải
a)
tj
etx
ω
=)(
Thành phần chẵn của tín hiệu là:
teetx
tjtj
ch
ω
ωω
cos][
2
1
)( =+=
−
Thành phần lẻ của tín hiệu là:
tjeetx
tjtj
l
ω
ωω
sin][
2
1
)( =−=
−
Xét tích vô hướng
dttjt
dtxx
lch
)sin(cos
∫
∫
∞+
∞−
+∞
∞−
∗
−=
ωω
0sin
2
1
)(sin)sin(
1
0
2
0
=−=
−=
∫
T
T
t
j
tdtj
ω
ω
ωω
ω
Vậy hàm trực giao.
Năng lượng của tín hiệu là:
( )
[ ]
014cos
4
1
)1(
4
1
2
11
.
1
4
0
2
0
2
=−=
−=
=
=
∫
π
π
π
ω
π
ω
ω
j
e
j
e
jT
dte
T
p
j
T
tj
T
tj
x
Năng lượng thành phần chẵn của tín hiệu là:
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 14
2
1
)2sin2(
2
1
2
1
)2cos1(
2
1
)(cos
1
0
0
0
2
=
+=
+=
=
∫
∫
T
T
T
x
tt
T
dtt
T
dtt
T
p
ch
ωω
ω
ω
ω
Năng lượng thành phần lẻ của tín hiệu là:
2
1
)2sin2(
2
1
2
1
)2cos1(
2
1
)(sin
1
0
0
0
2
−=
−−=
−−=
−=
∫
∫
T
T
T
x
tt
T
dtt
T
dtt
T
P
l
ωω
ω
ω
ω
lch
xxx
ppp
+
=
b)
)
(
1
)
(
t
t
x
=
Thành phần chẵn của tín hiệu là:
2
1
)( =tx
ch
Thành phần lẻ của tín hiệu là:
)](1)(1[
2
1
)( tttx
l
−−=
Xét tích vô hướng
0)](1)(1[
4
1
)(*
22
2
1
=−−=
∫
ttdttxx
l
t
t
ch
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 15
Vậy hàm trực giao.
Năng lượng của tín hiệu là:
∫
==
→
T
T
x
dt
T
p
0
0
2
1
1
2
1
lim
Năng lượng thành phần chẵn của tín hiệu là:
4
1
4
1
2
1
lim
0
==
∫
−
→
dt
T
p
T
T
T
x
ch
Năng lượng thành phần lẻ của tín hiệu là:
4
1
]
4
1
2
1
4
1
2
1
[
0
0
0
lim
=+=
∫∫
−
→
dt
T
dt
T
p
T
T
T
x
l
lch
xxx
ppp
+
=
c)
)(1)1()( tetx
t
α
−
−=
Thành phần chẵn của tín hiệu là:
)1(
2
1
)(
t
ch
etx
α
−
−=
Thành phần lẻ của tín hiệu là:
)](1)1()(1)1[(
2
1
)(
tetex
tt
tl
−−−−
−
=
αα
Năng lượng của tín hiệu là:
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 16
2
1
2
12
2
12
2
1
2
12
2
1
)21(
2
1
)1(
2
1
2
0
2
0
2
0
2
lim
lim
lim
lim
=
+−−+=
−+=
+−=
−=
−−
∞→
−−
∞→
−−
∞→
−
∞→
∫
∫
αααα
αα
αα
αα
αα
α
TT
T
T
tt
T
T
tt
T
T
t
T
x
eeT
T
eet
T
dtee
T
dte
T
p
Năng lượng thành phần chẵn của tín hiệu là:
4
1
1414
2
8
1
2
12
2
12
2
12
2
12
8
1
2
12
2
12
8
1
])21()21([
8
1
])1(
4
1
)1(
4
1
[
2
1
2
22
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
lim
lim
lim
lim
lim
=
+−−+=
−+++−+
+−−+=
+−+
−+=
+−++−=
−+−=
−−
∞→
−−−−
∞→
−
−−
∞→
−
−−
∞→
−
−
∞→
∫∫
∫∫
αααα
αααααααα
αααα
αα
αααα
αααα
αααα
αα
TT
T
TTTT
T
T
tt
T
tt
T
T
tt
T
tt
T
T
t
T
t
T
x
eeT
T
eeTeeT
T
eeteet
T
dteedtee
T
dtedte
T
p
ch
Năng lượng thành phần lẻ của tín hiệu là:
−+++−+
+−−+=
+−+
−+=
+−++−=
−+−=
−−−−
∞→
−
−−
∞→
−
−−
∞→
−
−
∞→
∫∫
∫∫
TTTT
T
T
tt
T
tt
T
T
tt
T
tt
T
T
t
T
t
T
x
eeTeeT
T
eeteet
T
dteedtee
T
dtedte
T
p
l
αααα
αααα
αααα
αα
αααααααα
αααα
22
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
12
2
12
2
12
2
12
8
1
2
12
2
12
8
1
)21()21(
8
1
)1(
4
1
)1(
4
1
2
1
lim
lim
lim
lim
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 17
4
1
1414
2
8
1
2
lim
=
+−−+=
−−
∞→
αααα
αα
TT
T
eeT
T
lch
xxx
ppp
+
=
Xét tích vô hướng
dtxx
lch
.
∫
+∞
∞−
0
1414
2
1
lim
2
12
2
12
2
12
2
12
2
1
lim
2
12
2
12
2
1
lim
)21()21(
2
1
lim
)1()1(
2
1
lim
0
0
0
2
0
2
2
0
0
2
=
+−−=
−+++−−
+−−+=
+−−
−+=
+−−+−=
−+−−=
−−
∞→
−−−−
∞→
−
−−
∞→
−
−−
∞→
−
−
∞→
∫∫
∫∫
αααα
αααααααα
αααα
αα
αααα
αααα
αααα
αα
TT
T
TTTT
T
T
tt
T
tt
T
T
tt
T
tt
T
T
t
T
t
T
ee
T
eeTeeT
T
eeteet
T
dteedtee
T
dtedte
T
Vậy hàm trực giao.
d)
−=
2
1
)( ttx
δ
Thành phần chẵn của tín hiệu là:
−−+
−=
2
1
2
1
2
1
)( tttx
ch
δδ
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 18
Thành phần lẻ của tín hiệu là:
−−−
−=
2
1
2
1
2
1
)( tttx
l
δδ
Xét tích vô hướng
0
2
1
2
1
4
1
)()(
22
2
1
2
1
=
−−−
−=
∫∫
ttdttxtx
t
t
t
t
lch
δδ
Vậy hàm trực giao.
Năng lượng của tín hiệu là:
1)(
1
1
0
2
01
=
−
=
∫
dttx
tt
p
t
t
x
Năng lượng thành phần chẵn của tín hiệu là:
2
1
4
1
4
1
)(
1
2
01
1
0
=+=
−
=
∫
dttx
tt
p
ch
t
t
x
ch
Năng lượng thành phần lẻ của tín hiệu là:
2
1
4
1
4
1
)(
1
1
0
2
01
=+=
−
=
∫
dttx
tt
p
t
t
lx
l
lch
xxx
ppp
+
=
e)
+=
4
cos)(
π
ω
tAtx
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 19
Thành phần chẵn của tín hiệu là:
)cos(
2
2
)cos(
4
cos
4
cos
4
cos
2
1
)(
t
A
tA
ttAtx
ch
ω
ω
π
π
ω
π
ω
=
=
+−+
+=
Thành phần lẻ của tín hiệu là:
)sin(
2
2
)sin(.
4
sin.2.
2
1
4
cos
4
cos
2
1
)(
t
A
tA
ttAtx
l
ω
ω
π
π
ω
π
ω
−
=
−=
+−−
+=
Xét tích vô hướng
0)2(sin
2
1
4
)(sin
2
1
2
)(sin).sin(.
2
)sin().cos(
2
2
2
0
2
2
0
2
0
2
=
−
=
−
=
−
=
−
∫
∫
π
π
ω
ω
ωω
ω
ωω
A
t
A
tdt
A
dttt
A
T
T
T
Vậy hàm trực giao.
Năng lượng của tín hiệu là:
2
]112[
4
2
2sin2
2
1
2
2
2cos1
2
11
4
cos
1
22
0
2
0
2
2
0
2
A
T
T
A
tt
T
A
dttA
T
dttA
T
p
T
T
T
x
=−+=
++=
++=
+=
∫
∫
ω
ω
π
ωω
ω
π
ω
π
ω
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 20
Năng lượng thành phần chẵn của tín hiệu là:
4
)2(
8
)2sin2(
2
1
4
)2cos1(
2
1
2
)(cos
2
21
22
0
2
0
2
2
0
2
A
T
T
A
tt
T
A
dtt
T
A
dtt
A
T
p
T
T
T
x
ch
==
+=
+=
=
∫
∫
ω
ω
ωω
ω
ω
ω
Năng lượng thành phần lẻ của tín hiệu là:
4
)2(
8
)2sin2(
8
)2cos1(
4
)(sin
2
21
22
0
2
0
2
2
2
0
A
T
T
A
tt
T
A
dtt
T
A
dtt
A
T
p
T
T
T
x
l
==−=
−=
−
=
∫
∫
ω
ω
ωω
ω
ω
ω
lch
xxx
ppp
+
=
Bài 1.5. Cho tín hiệu
[
]
)cos(cos1)(
ϕωω
++= tttx
a)Hãy tìm thành phần một chiều, thành phần xoay chiều và chứng mình rằng
chứng trực giao.
b) Hãy tìm thành phần chẵn, lẻ và chứng minh chúng trực giao.
Giải
a) có
[
]
)cos(cos1)(
ϕ
ω
ω
+
+
=
tttx
( )
)2cos(
2
1
)cos()cos(
2
1
)2cos()cos(
2
1
)cos(
)
cos(
)
cos(
)
cos(
ϕωϕωϕ
ϕωϕϕω
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
++++=
++++=
+
+
+
=
tt
tt
t
t
t
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 21
* Vậy thành phần một chiều là:
ϕ
cos
2
1
=x
* Thành phần xoay chiều là:
)2cos(
2
1
)cos(
~
ϕωϕω
+++= ttx
* Xét tích vô hướng sau
0
)2sin(
2
1
)2sin(
1
)24sin(
2
1
)22sin(
1
4
1
)22sin(
2
1
)2sin(
2
1
)2sin(
1
)sin(
1
4
1
)22cos(
4
1
)2cos(
4
1
)2cos(
2
1
)cos(
2
1
2
1
)2cos(cos
2
1
)cos(cos
2
1
)2cos(
2
1
)cos(cos
2
1
0
0
0
0
=
−−+++=
+++++=
+++++=
+++=
+++
∫
∫
∫
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕπ
ω
ϕπ
ω
ϕω
ω
ω
ω
ϕω
ω
ω
ω
ϕωωϕωω
ϕωϕϕωϕ
ϕωϕωϕ
T
T
T
T
tttt
dttttt
dttt
dttt
Vậy 2 thành phần trực giao.
b) Thành phần chẵn là:
[ ] [ ]
[ ][ ]
[ ]
)cos(coscos1
)cos()cos(.cos1
2
1
)cos(cos1
2
1
)cos(cos1
2
1
tt
ttt
ttttx
ch
ωϕω
ϕωϕωω
ϕωωϕωω
+=
+−+++=
+−++++=
* Thành phần lẻ là:
[ ] [ ]
)cos(cos1
2
1
)cos(cos1
2
1
ϕωωϕωω
+−+−++= ttttx
l
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 22
[ ][ ]
[ ]
tt
ttt
ωϕω
ϕωϕωω
sinsincos1
)cos()cos(.cos1
2
1
+−=
+−−++=
* Xét tích vô hướng
[ ]
[ ]
[ ]
0
4
1
3
2
2
1
4
1
3
2
2
1sincos
cos
4
1
cos
3
2
cos
2
1sincos
)(coscoscoscos21
sincos
)(cossin)cos(coscos1
1
)sin(sin)cos(coscos1
)()(
0
432
0
2
0
2
0
2
0
=
−−−++−=
+−=
++−=
+−=
+−=
∫
∫
∫
∫
ω
ϕϕ
ωωω
ω
ϕϕ
ωωωω
ω
ϕϕ
ωϕωϕω
ω
ωϕωϕω
T
T
T
T
T
lch
ttt
ttdtt
tdtt
dtttt
dttxtx
Vậy 2 thành phần trực giao,
Bài 1.6. Tín hiệu ñiện áp răng cưa ñược cho trên hình B1.6 ñược ñưa qua
ñiện trở R. Hãy tính công suất trung bình của i(t) và công suất trung bình của
thành phần một chiều và xoay chiều trên R.
Biết
mAI 10
=
;
Ω
=
kR 1
Giải
*Công suất trung bình của i(t) trên R là:
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 23
)(
30
1
1010
3
1
3
1
4
1
1
3
1
4
4
44
1
43
2
4
0
3
2
4
0
2
w
RIt
I
R
dtt
I
IRP
=×=
=
−−=
−=
−
∫
Thành phần một chiều là:
24
1
1
2
1
4
1
1
4
1
1
4
4
44
1
4
0
2
4
0
4
0
I
tI
tdt
I
dtt
I
Iii
=
−×−=
−
−×−=
−==
∫
∫
* Công suất một chiều là:
( )
wR
I
P
i
40
1
4
1010
4
342
=
×
==
−
* Công xuất xoay chiều là:
)(
120
1
12
4
3
222
~
wR
I
R
I
R
I
PPP
i
i
==−=−=
Bài 2.1. Hãy xác ñịnh hàm tự tương quan
a) b)
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 24
c) d)
Giải
a)
Hàm tự tương quan của tín hiệu :
∫
∞
∞−
−= dttxtx
xx
)()()(
ττϕ
x(t) là hàm thực là hàm chẵn
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 25
Vậy
b)
Hàm tự tương quan của tín hiệu :
∫
∞
∞−
−= dttxtx
xx
)()()(
ττϕ
