(SKKN 2022) nâng cao kỹ năng vận dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai thông qua việc phân tích sai lầm thường gặp của học sinh trong bài toán xét dấu, bài toán giải bất phương trình và các bài toán liên quan

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG
ĐỊNH LÝ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT, TAM THỨC BẬC HAI
THƠNG QUA VIỆC PHÂN TÍCH SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH
TRONG BÀI TOÁN XÉT DẤU, BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN

Người thực hiện: Đỗ Thành Huy
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực môn: Tốn

THANH HỐ NĂM 2022

1


2


MỤC LỤC

ST
T
1
2
3

4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32

NỘI DUNG

TRANG

I. MỞĐẦU.
1.1. Lí do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1. Định nghĩa nhị thức bậc nhất.
2. Dấu của nhị thức bậc nhất.
3. Định nghĩa tam thức bậc hai.
4. Dấu của tam thức bậc hai.
2.3.2. SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH
1. Hoạt động xác định hệ số “a”.
2. Hoạt động sắp xếp các nghiệm trên bảng xét dấu.
3. Hoạt động xác định khoảng “trái”, “phải”, “trong”,
“ngồi”.
4. Học sinh khơng xác định được khi nào dùng kí hiệu “||”.
5. Hoạt động xét dấu tam thức bậc hai trong trường hợp
∆ = 0.

1

1
1
1
2
2
2
2

6. Hoạt động giải bất phương trình bậc hai.

≥
7. Hoạt động lấy nghiệm của bất phương trình có dấu “ ”
≤
“ ”.
8. Hoạt động nhận dạng biểu thức.
9. Hoạt động xét dấu trên các biến khác nhau.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục.
2.4.2. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với đồng
nghiệp.
2.4.3. Khả năng áp dụng.
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
3.2. Kiến nghị.

2
3
3
3

4
4
4
4
4
6
7
9
10
12
13
14
16
17
17
18
18
18
18
19

3


33

Xác nhận của thủ trưởng đơn vị.

20

4


I. MỞ ĐẦU.
1.1. Lý do chọn đề tài.
- Toán học nói chung và trong chương trình Tốn THPT nói riêng định lý
về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai là một trong những nội dung
cơ bản. Kiến thức và kỹ năng về xét dấu và áp dụng vào giải một số bài toán liên
quan là rất quan trọng và có mặt xun suốt trong chương trình mơn tốn ở
trường phổ thơng, đặc biệt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi
cấp tỉnh chúng ta cũng thường gặp.
- Nội dung kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức
bậc hai là một đơn vị kiến thức nhỏ so với tồn bộ chương trình Đại số 10 trung
học phổ thơng nói riêng và tồn bộ chương trình tốn học trung học phổ thơng
nói chung, nhưng nó lại chiếm một vai trò quan trọng đối với việc giải các bài
tốn phổ thơng. Nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong
việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình
có chứa tham số, tam thức bậc hai cịn được dùng để chứng minh bất đẳng thức
hoặc giải các bài tốn liên quan đến phương trình hàm… Đây chính là một công
cụ đơn giản nhưng hiệu quả để giải rất nhiều bài tốn xun suốt tồn bộ
chương trình tốn phổ thông. Tuy nhiên trong việc tiếp thu và vận dụng kiến
thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai đối với học sinh trung bình
và học sinh yếu vẫn còn nhiều hạn chế, đặc biệt là các em còn mắc nhiều lỗi rất
đơn giản dẫn đến giải sai nhiều bài toán xét dấu và các bài toán vận dụng xét
dấu.
- Với suy nghĩ nhằm giúp các em học sinh tránh mắc sai lầm và làm tốt
bài toán xét dấu cũng như các bài tốn có liên quan, tạo hứng thú trong q trình
học bộ mơn Tốn, hơn nữa là góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, nay tôi
viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Nâng cao kỹ năng vận dụng định lý về
dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai thông qua việc phân tích sai

lầm thường gặp của học sinh trong bài tốn xét dấu, bài tốn giải bất
phương trình và các bài tốn liên quan”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp học sinh nắm vững định lý về dấu của nhị thức bậc nhất, định lý về
dấu của tam thức bậc hai qua đó hạn chế tối đa những sai lầm, đưa ra được lời
giải chính xác khi giải các bài tốn xét dấu và các bài tốn liên quan, qua đó
khơi dậy hứng thú học tập, giúp các em yêu thích mơn học hơn, có động lực hơn
để học tập đạt kết quả tốt nhất. Và quan trọng hơn hết là nhằm rèn luyện cho các
em kĩ năng và giáo dục cho các em tự tin, chủ động trong học tập cũng như
trong cuộc sống.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
- Định lý về dấu của tam thức bậc hai.

5


- Bài toán xét dấu nhị thức bậc nhất, xét dấu tam thức bậc hai, xét dấu tích
thương các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai.
- Bài toán giải bất phương trình.
- Bài tốn khác có liên quan.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.
- Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá
trình giảng dạy.

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 10 trong trường
THPT.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
- Giúp học sinh tránh mắc phải sai lầm cơ bản trong xét dấu và trong giải
bất phương trình.
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác cho học sinh trong giải tốn.
- Giúp giáo viên dạy học mơn Toán hiểu rõ hơn những sai lầm của học
sinh trong vấn đề này để đưa ra những biện pháp hiệu quả rèn luyện cho học
sinh cẩn thận, giải tốn chính xác, tránh mắc sai lầm góp phần nâng cao hiệu quả
dạy và học Toán trong trường THPT.
II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
- Các vấn đề về tâm sinh lý đã được Bộ GD-ĐT nghiên cứu và cụ thể hóa
bằng khung phân phối chương trình cho chương IV – Đại số 10.
- Dựa vào mục tiêu dạy học nội dung dấu của nhị thức bậc nhất và dấu
của tam thức bậc hai sách giáo khoa Đại Số 10.
- Dựa vào các định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và định lí về dấu của
tam thức bậc hai làm cơng cụ cho việc giải bài tốn xét dấu, bài tốn giải bất
phương trình và một số bài tốn liên quan.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
- Học sinh trường THPT Yên Định 3 hầu hết các em ở vùng nơng thơn,
điều kiện khó khăn thiếu thốn về mọi mặt, điểm đầu vào của các em còn thấp so
với mặt bằng chung của huyện nên kiến thức THCS còn non yếu, tiếp thu bài
còn chậm, chưa tự hệ thống được kiến thức. Trong chương 4 của chương trình
đại số lớp 10 cơ bản THPT, nội dung cơ bản là xét dấu nhị thức bậc nhất và tam
thức bậc hai. Đây không phải là nội dung khó tuy nhiên đối với nhiều học sinh
có lực học trung bình và yếu thì vấn đề tiếp thu và vận dụng kiến thức để làm
bài tập vẫn còn nhiều khó khăn vướng mắc, khi giải các bài tốn vẫn còn mắc
nhiều sai lầm. Tuy nhiên trong sách giáo khoa chỉ đề cập đến cách xét dấu nhị
thức bậc nhất, tam thức bậc hai và xét dấu một biểu thức theo phương pháp lập

6


bảng xét dấu chung tất cả các nhị thức và tam thức có mặt trong biểu thức chứ
khơng chỉ ra các sai lầm mà học sinh hay mắc phải. Đặc biệt là các em có học
lực trung bình, học lực yếu thì thường xuyên mắc phải các sai lầm sơ đẳng.
- Qua thực tế giảng dạy mơn Tốn khối 10 ở trường THPT Yên Định 3,
qua phản ánh của các giáo viên dạy bộ mơn Tốn và qua khảo sát kết quả kiểm
tra Chương “Bất phương trình và hệ bất phương trình” của chương trình Đại số
10 Cơ bản kết quả cho thấy học sinh trung bình và yếu gặp rất nhiều sai lầm;
nhiều học sinh không hiểu được bản chất của vấn đề như:
+ Một số học sinh điền dấu trong bảng xét dấu sai do không xác
định đúng dấu của “a”; không phân biệt được các khoảng “trái”, “phải”, ... trong
câu mà giáo viên thường nói để giúp các em dễ nhớ “phải cùng, trái khác” hoặc
“Trong trái, ngoài cùng”.
+ Một số học sinh đã vội vàng xét dấu trong khi biểu thức chưa
được đưa về dạng tích hoặc thương,...
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Để khắc phục những sai lầm mà học sinh thường mắc phải, tôi thực hiện
một số giải pháp sau:
- Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt.
+ Phân tích kỹ các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm
rõ bản chấtcủa các khái niệm, định nghĩa, định lý đó.
+ Đưa ra các ví dụ và so sánh giữa các khái niệm, định nghĩa, định
lý để học sinh thấy được các điểm giống và khác nhau giữa chúng.
+ Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải và phân tích rõ
nguyên nhân tại sao học sinh mắc phải sai lầm đó.
- Rèn luyện cho học sinh ghi nhớ chính xác, làm bài cẩn thận.
- Đổi mới phương pháp dạy học.

+ Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế, tạo
hứng thú, đam mê, u thích việc học Tốn cho học sinh.
+ Sử dụng phương tiện, thiết bị dạy học làm cho bài giảng sinh
động, bớt khô khan và học sinh không thấy nhàm chán (Sử dụng bảng phụ,
phiếu học tập, giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu … )
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
+ Hệ thống lại kiến thức cơ bản, phân dạng bài tập và xây dựng
phương pháp giải (có thể gợi ý để học sinh phát hiện được phương pháp giải ).
Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả
mới, bài tốn mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
- Thông qua các sai lầm của học sinh khi giải bài toán xét dấu và các bài
tốn liên quan, tơi phân tích ngun nhân sai lầm và nêu lời giải đúng để từ đó,
học sinh thêm một lần nắm vững nội dung định nghĩa, định lí và thành thục kĩ
năng xét dấu, giải bất phương trình, tránh được những sai lầm ở các bài toán tiếp
theo.
Cụ thể:
- Đầu tiên, cần trang bị cho học sinh hệ thông kiến thức cơ bản.

7


2.3.1. KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1. Định nghĩa nhị thức bậc nhất.
- Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng
a≠0
b là hai số đã cho,
.
2. Dấu của nhị thức bậc nhất.
f ( x) = ax + b (a ≠ 0).
- Cho nhị thức:

b
x=−
a
gọi là nghiệm của nhị thức.
Bảng xét dấu:
x

−

−∞
f ( x)

trái dấu với a

f ( x) = ax + b

b
a

0

, trong đó a,

+∞
cùng dấu với a

3. Định nghĩa tam thức bậc hai.
f ( x) = ax 2 + bx + c

- Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng

a≠0
trong đó a, b, c là những hệ số,
.
4. Dấu của tam thức bậc hai.
f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0), ∆ = b 2 − 4ac.
- Cho tam thức:
∆<0
+ Nếu
ta có bảng xét dấu:
x

−∞

+∞

f ( x)

+ Nếu

∆=0

−

−∞

+ Nếu

cùng dấu với a

ta có bảng xét dấu:

x

f ( x)

cùng dấu với a

∆=0

,

b
2a
0

+∞
cùng dấu với a

ta có bảng xét dấu:

8


x

−∞

f ( x)

cùng dấu với a

+∞

x1
0 trái dấu với a

x2
0 cùng dấu với a

2.3.2. SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH.

1. Hoạt động xác định hệ số “a”.
- Vấn đề xác định hệ số “a” trong nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai
là một vấn đề cực kì đơn giản. Chính vì lẽ đó mà nhiều giáo viên chủ quan nghĩ
rằng học sinh dễ nhận biết nên đã khơng có hoạt động xác định hệ số “a” này.
Điều này là sai lầm vì trong lớp có những học sinh không dễ nhận ra; không dễ
xác định đúng hệ số “a” khi ta thay đổi, đảo vị trí các hạng tử trong biểu thức,
nên nhiều học sinh làm sai bài tốn xét dấu.
f ( x) = 2 − 3x.
Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức
- Có nhiều học sinh đã trình bày bảng xét dấu như sau:

x

2
3

−∞
−

2 − 3x

+∞
+

0

f ( x ) = 4 x − x 2 + 5.

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức
- Có nhiều học sinh đã trình bày bảng xét dấu như sau:

x
f ( x)

−∞

−1
+

0

+∞

5

−

0

+

Phân tích sai lầm:
- Học sinh khơng nắm vững định nghĩa về nhị thức bậc nhất, tam thức bậc
hai dẫn đến xác định sai hệ số và xét dấu sai.
Lời giải đúng:
f ( x) = 2 − 3x.
Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức
2
2 − 3x = 0 ⇔ x = .
3
- Ta có:
- Bảng xét dấu:

9


x

−∞

2 − 3x

- Kết luận:

2
3

+

+∞

−

0

2
f ( x ) > 0 ∀x ∈ (−∞; ).
3
2
f ( x) < 0 ∀x ∈ ( ; + ∞).
3
f ( x) = 4 x − x 2 + 5.

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức
x = 5
4 x − x2 + 5 = 0 ⇔ 
 x = −1
- Ta có:
- Bảng xét dấu:

x
f ( x)

- Kết luận:

−∞

−1
−

0

+∞

5

+

0

−

f ( x) > 0 ∀x ∈ (−1;5).
f ( x) < 0 ∀x ∈ (−∞; − 1) ∪ (5; + ∞).

- Đặc biệt là trường hợp xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai có hệ
f ( x) = 2 − 3x
a =1
a = −1
số
hoặc
như xét dấu biểu thức
và
2
f ( x) = − x + 3 x − 5
thì rất nhiều học sinh lúng túng khơng biết xác định hệ số
“a” như thế nào.
Giải pháp:
- Sai sót này thường gặp ở học sinh trung bình và yếu; một phần cũng

do chủ quan của giáo viên. Do vậy, khi dạy bài này, giáo viên cần cho học sinh
một số biểu thức để xác định hệ số “a” (khơng mất nhiều thời gian).
- Giáo viên có thể cho biểu thức nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai ở
nhiều dạng khác nhau và sắp xếp các hạng tử không theo thứ tự giống như định
nghĩa nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai để học sinh xác định hệ số cũng như
xác định dấu của hệ số a giúp học sinh nắm vững và khắc sâu định nghĩa.
2. Hoạt động sắp xếp các nghiệm trên bảng xét dấu.

10


f ( x) = (4 x + 1)(2 x 2 − x − 1).

Ví dụ: Xét dấu biểu thức
- Có học sinh trình bày bảng xét dấu như sau:

x

−

−∞

4x + 1

−

2 x2 − x − 1

+

f ( x)

−

1
4

−

1
2

0

+

│

│

+

0

0

+

0

+∞

1
+
−

−

│

+

0

+

0

+

Phân tích sai lầm:

1
1
− <−
4
2

- Sai lầm của học sinh ở đây là ngộ nhận
nên đã sắp xếp trên

bảng xét dấu sai dẫn đến làm sai bài tốn xét dấu.
- Ở đây có hai lí do thường dẫn đến việc học sinh sắp xếp các nghiệm trên
bảng xét dấu sai đó là:
+ Nhiều học sinh không chú ý, không cẩn thận nên sắp xếp các
nghiệm trên bảng xét dấu không đúng thứ tự từ nhỏ đến lớn.
+ Trong nhiều trường hợp học sinh có ý thức sắp xếp các nghiệm
theo đúng thứ tự nhưng vì ngộ nhận nên vẫn sắp xếp sai.
Lời giải đúng:
f ( x) = (4 x + 1)(2 x 2 − x − 1).
Ví dụ: Xét dấu biểu thức
1
4x + 1 = 0 ⇔ x = − .
4
- Ta có:
x =1
2
2x − x − 1 = 0 ⇔ 
1
x = −

2
- Bảng xét dấu:

x
4x + 1

−

−∞
-

1
2
|

−
-

1
4
0

+∞

1
+

│

+

11


2 x2 − x − 1

+

0

-

|

-

0

+

f ( x)

-

0

+

0

-

0

+

1 1
f ( x) > 0 ∀x ∈ ( − ; − ) ∪ (1; + ∞).
2 4

- Kết luận:

1
1
f ( x) < 0 ∀x ∈ ( −∞; − ) ∪ (− ;1).
2
4
Giải pháp:
- Để tránh mắc phải những sai sót này cần đưa ra giải pháp cụ thể đó là:
+ Thứ nhất giáo viên cần rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận bằng cách
yêu cầu học sinh làm nhiều bài toán biểu diễn các giá trị trên trục số.
+ Thứ hai là muốn so sánh hai giá trị mà chưa rõ ràng giá trị nào lớn hơn,
giá trị nào nhỏ hơn thì giáo viên có thể dạy học sinh dùng máy tính để so sánh
tránh sai lầm đáng tiếc này xảy ra.
3. Hoạt động xác định khoảng “trái”, “phải”, “trong”, “ngoài”, “|”
2x − 5
f ( x) =
(1 − x)( x − 2)
Ví dụ: Xét dấu biểu thức
- Có HS trình bày trong bảng xét dấu như sau:

x
-∞

1

5
2

2

+∞

2x − 5

-

|

-

|

-

0

+

1− x

+

0

+

|

+

|

-

x−2

-

|

-

0

-

|

+

f ( x)

+

||

+

||

+

0

-

Phân tích sai lầm:
- Sai lầm này do học sinh ngộ nhận khoảng bên trái của dòng đầu tiên;

5
2

học sinh lấy chuẩn là số “ ”, do đó các dịng dưới học sinh đã làm sai.

12


- Nhiều giáo viên đã giúp học sinh nhớ định lí bằng các đưa ra câu “Phải
cùng, trái khác” đối với nhị thức bậc nhất và câu “Trong trái, ngoài cùng” đối
∆>0
với tam thức bậc hai trong trường hợp
. Thật vậy, các câu này dễ học và dễ
nhớ so với học nguyên văn của định lí. Tuy nhiên khi kết hợp xét dấu tích,
thương các nhị thức bậc nhất, tam thức với nhau thì việc phân khoảng học sinh
đã bị lơ mơ, khó hiểu (học sinh trung bình, học sinh yếu).
Lời giải đúng:
- Ta có:

5

2x − 5 = 0 ⇔ x = .
2
1 − x = 0 ⇔ x = 1.

x − 2 = 0 ⇔ x = 2.
- Bảng xét dấu

5
2

x
-∞

1

2

+∞

2x − 5

-

|

-

|

-

0

+

1− x

+

0

-

|

-

|

-

x−2

-

|

-

0

+

|

+

f ( x)

+

||

-

||

+

0

-

- Kết luận:

5
f ( x) > 0 ∀x ∈ ( −∞;1) ∪ (2; ).
2
5
f ( x ) < 0 ∀x ∈ (1;2) ∪ ( ; + ∞).

2

Giải pháp:
- Vậy, khi dạy xét dấu biểu thức, GV cần phải hoạt động nhấn mạnh vị trí
làm chuẩn là nghiệm của nhị thức hoặc tam thức đang xét. Mặt khác, chúng ta
cần có hoạt động kết hợp khi xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất, tam
thức bậc hai như đối với ví dụ sau trong lần xét dấu đầu tiên:
2x − 5
f ( x) =
(1 − x )( x − 2)
Xét dấu biểu thức
Ví dụ:
- Cần có hoạt động xét dấu từng biểu thức:

13


x

5
2

−∞
2x − 5

x

-

0

−∞

+

+∞

1

1− x

x

+∞

+

0

−∞

-

+∞

2

x−2

-

0

- Và đặt câu hỏi như:
+ H1: Dấu của f(x) trên khoảng
+ H2: Dấu của f(x) trên khoảng

+

(−∞;1)
(1;2)

?

?

f ( x)
- Từ đó GV đưa ra bảng xét dấu của cả biểu thức
trên một bảng xét
dấu thì học sinh sẽ dễ dàng tiếp thu và chấp nhận.
4. Học sinh khơng xác định được khi nào dùng kí hiệu “ || ” (kí hiệu khơng
xác định)
2 − 5x
f ( x) = 2
x − 3x + 2
Xét dấu biểu thức
Ví dụ:
- Có nhiều học sinh xét dấu đúng nhưng khi biểu diễn cho biểu thức

f ( x)

bằng không hoặc không xác định thì lại làm sai như sau:

x

2
5

−∞

1

2 − 5x

+

0

−

|

x 2 − 3x + 2

+

|

+

0

+∞

2

−
-

|

−

0

+

14


f ( x)

−

0

+

0

-

P

+

Phân tích sai lầm:
- Học sinh lúng túng, khơng nắm được khi nào thì biểu thức

f ( x)

bằng

f ( x)
khơng khi nào thì biểu thức
khơng xác định cho nên điền bừa vào bảng xét
dấu.
- Trong các trường hợp xét dấu biểu thức có chứa ẩn ở mẫu nhiều HS thắc
P
mắc về dấu “ ”; vì khi xét dấu một nhị thức bậc hay một tam thức bậc hai thì
khơng thấy dấu này (điều này xảy ra đối với cả học sinh khá); còn đối với học
sinh yếu, học sinh thiếu chú ý thì lại càng khơng hiểu. Vì thế học sinh đã lúng
túng và khơng giải quyết chính xác được bài tốn.
Lời giải đúng:
- Ta có:

2
2 − 5x = 0 ⇔ x = .
5

x = 2
x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ 
.
x
=
1

- Bảng xét dấu:

x

2
5

−∞

1

+∞

2

2 − 5x

+

0

−

|

−

|

−

x 2 − 3x + 2

+

|

+

0

−

0

+

f ( x)

−

0

+

P

−

P

+

- Kết luận: :

2
f ( x) > 0 ∀x ∈ ( ;1) ∪ (2; − ∞).
5

5
f ( x) < 0 ∀x ∈ (1;2) ∪ ( ; + ∞).
2
- Ở bài này giáo viên cần lưu ý cho học sinh vấn đề:

15


x=

f ( x) = 0
2 − 5x
0
thì biểu thức ở tử là

bằng nên
x =1
x=3
x 2 − 3x + 2
0
+Tại
và
thì biểu thức ở mẫu là
bằng nên
+ Tại

f ( x)

2
5

không xác định nên chúng ta dùng kí hiệu “ || ”để biểu diễn
Giải pháp:
- Điều này, phải chăng một số giáo viên đã lơ là và chủ quan trong việc
nơn nóng dạy cho HS thực hành mà quên đi những điều nhỏ nhặt là chỉ cho HS
P
tại sao phải dùng kí hiệu “ ”.
- Cần có hoạt động tìm nghiệm của từng biểu thức. Và đặt câu hỏi như:
+ H1: Biểu thức ở tử của f(x) bằng không khi nào?
+ H2: Biểu thức ở mẫu của f(x) bằng không khi nào?
- Sau đó giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh ghi nhớ là khi xét dấu biểu
f ( x)
xi
thức
có chứa ẩn ở mẫu thì tại các giá trị

làm cho tử bằng khơng thì
f ( x) = 0
f ( x)
xi
; tại các giá trị làm cho mẫu bằng khơng thì
khơng xác định.
∆=0
5. Hoạt động xét dấu tam thức bậc hai trong trường hợp
f ( x ) = 4 x 2 − 20 x + 25.
Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức:
Có học sinh lập bảng xét dấu như sau:
x

5
2

−∞
f(x)

-

0

+∞
+

Phân tích sai lầm:
- Có nhiều học sinh khơng chú ý đây là xét dấu tam thức bậc hai trong
∆=0
trường hợp

nên đã thực hiện xét dấu giống như xét dấu nhị thức bậc nhất.
Đây là xét dấu mình tam thức bậc hai độc lập thì học sinh cịn ít bị nhầm lẫn,
nhưng khi xét dấu tích thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai thì học
sinh trung bình và yếu rất hay nhầm lẫn.
Lời giải đúng:
Ta có:

5
4 x 2 − 20 x + 25 = 0 ⇔ x = .
2

16


- Bảng xét dấu

x

5
2

−∞

f(x)

- Kết luận:

+

0

+

5
5
f ( x) > 0 ∀x ∈ ( −∞; ) ∪ ( ; +∞).
2
2

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức:

Ta có:

+∞

(1 − x)(−2 x 2 + 5 x − 2)
f ( x) =
.
x2 − 6 x + 9

- Nhiều học sinh giải như sau:
1 − x = 0 ⇔ x = 1.

x = 2
−2 x + 5 x − 2 = 0 ⇔ 
.
x = 1

2
2

x 2 − 6 x + 9 = 0 ⇔ x = 3.
- Bảng xét dấu

x

1
2

−∞
1− x

−2 x 2 + 5 x − 2
x2 − 6 x + 9
f ( x)

+

−
−
+

1
−

|

+

0

0

+

|

|
0

−

−

|
0

+

−
+

−

|
0
|
0

+∞

3

2

−

−

|

−

|

−

−

0
||

+
+

Phân tích sai lầm:
- Ở đây học sinh yếu và trung bình thường tập trung vào thực hiện các
bước để xét dấu mà không để ý là tam thức bậc hai hay nhị thức bậc nhất nên cứ
thấy có 1 nghiệm là học sinh xét dấu như nhị thức bậc nhất nên dẫn đến làm sai
bài toán như trên.

Lời giải đúng:

17


- Ta có:

1 − x = 0 ⇔ x = 1.

x = 2
−2 x + 5 x − 2 = 0 ⇔ 
.
x = 1

2
2

x 2 − 6 x + 9 = 0 ⇔ x = 3.
- Bảng xét dấu
x

1
2

−∞
1− x

−2 x 2 + 5 x − 2

+

−

x2 − 6 x + 9

+

f ( x)

−

- Kết luận:

1

|

+

0

0

+

|

|

+

|

0

+

0

−

|

+

0

+

|

−

0

+∞

3

2

−

|

−
+
+

|
0
||

−
−
+
+

1
f ( x) > 0 ∀x ∈ ( ;1) ∪ (2;3) ∪ (3; +∞).
2
1
f ( x) < 0 ∀x ∈ (−∞; ) ∪ (1;2).
2

Giải pháp:
- Giáo viên chú ý cho học sinh khi xét dấu biểu thức nào đó cần kiểm tra
xem biểu thức đó ở dạng nào để áp dụng định lý về dấu đối với biểu thức đó.
- Ngồi ra giáo viên cần đưa ra hệ thống nhiều bài tập có tích thương của
cả nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai cho học sinh giải và chỉ ra sai lầm cho

học sinh từ đó học sinh khắc sâu, nhớ lâu kiến thức và khơng cịn lặp lại sai lầm
nữa.
6. Hoạt động giải bất phương trình bậc hai
3x 2 − 10 x + 3 < 0
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
3x 2 − 10 x + 3 = 0
- Có học sinh bấm máy tính giải phương trình
rồi kết
luận:
 x1 = 3

 x2 = 1
3

+ phương trình có hai nghiệm

18


x > 3; x >
+ hoặc kết luận:
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
-

1
3

− x2 + 2x − 6 < 0

Có học sinh bấm máy tính giải phương trình bậc hai

− x2 + 2x − 6 = 0

xong rồi kết luận là phương trình vơ nghiệm.
Phân tích sai lầm:
- Ở đây đối với nhiều học sinh trung bình và yếu sau khi học xong phần
này một thời gian đã quên là khi giải bất phương trình bậc hai cần xét dấu tam
thức bậc hai sau đó dựa vào chiều của bất phương trình để lấy nghiệm thỏa mãn.
Các em khơng chú ý nên chỉ bấm máy tính giải phương trình bậc hai rồi kết luận
theo kết quả của máy tính.
Lời giải đúng:
3x 2 − 10 x + 3 < 0
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
x = 3
2
3 x − 10 x + 3 = 0 ⇔ 
1
x =
3

- Ta có:
- Bảng xét dấu:

x

1
3

−∞
+

3x 2 − 10 x + 3

0

−

- Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là
− x2 + 2x − 6 < 0
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
− x2 + 2x − 6 = 0
- Ta có:
vơ nghiệm
- Bảng xét dấu

x
− x2 + 2x − 6

+∞

3
0

+

1
S = ( ;3)
3

−∞

+∞
−

19


S=R
- Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là
Giải pháp:
- Giáo viên cần thường xuyên kiểm tra bài cũ, nhắc lại cách giải bất
phương trình bậc hai, yêu cầu học sinh giải nhanh bất phương trình bậc hai.
- Củng cố cho học sinh kiến thức đã học và rèn luyện tính cẩn thận, chính
xác cho học sinh bằng cách đưa ra hệ thống câu hỏi, bài tập yêu cầu học sinh
làm và kiểm tra kết quả.
7. Hoạt động lấy nghiệm của bất phương trình có dấu “≤”, “≥”
- Do nhiều học sinh chưa nắm vững định nghĩa các tập hợp con của tập số
thực R, cụ thể là định nghĩa khoảng, đoạn và nữa khoảng nên việc lấy nghiệm
của bất phương trình có dấu “≤”, “≥” cịn lúng túng và sai sót
4 − 2x
≤0
x2 − 2x − 3
Giải bất phương trình:
Ví dụ:
- Nhiều học sinh đã thực hiện các bước và lập bảng xét dấu đúng tuy
nhiên khi kêt luận nghiệm của bất phương trình thì lại chưa chính xác như sau:
4 − 2 x = 0 ⇔ x = 2.
- Ta có:
 x = −1
x2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ 

.
x = 3
- Bảng xét dấu

x

−∞

−1

+∞

3

2

4 − 2x

+

|

+

0

−

|

−

x2 − 2x − 3

+

0

−

|

−

0

+

Vế trái

+

P

−

0

+

P

−

- Kết luận: Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

S = ( −1;2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

Phân tích sai lầm:
- Ở đây học sinh xét dấu xong chỉ lấy khoảng nghiệm làm cho biểu thức ở
vế trái bất phương trình bé hơn khơng mà khơng chú ý đến giải bất phương trình
này lấy cả trường hợp bằng khơng.
Lời giải đúng:
4 − 2 x = 0 ⇔ x = 2.
- Ta có:

20


 x = −1
x2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ 
.
x
=
3


- Bảng xét dấu:

x

−∞

−1

+∞

3

2

4 − 2x

+

|

+

0

−

|

−

x2 − 2 x − 3

+

0

−

|

−

0

+

Vế trái

+

P

−

0

+

P

−

- Kết luận: Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

S = (−1;2] ∪ ( 3; +∞ ) .

Giải pháp:
- Đối với sai lầm này của học sinh thì giáo viên nên lưu ý cho học sinh
cần chú ý đến dấu của bất phương trình đê lấy nghiệm. Nếu có cả dấu bằng thì ta
dựa vào bảng xét dấu để lấy cả giá trị làm cho vế trái bằng khơng
- Có những học sinh cịn sai lầm là lấy cả giá trị làm cho vế trái không xác
[ −∞; −1] [ 3;+∞]
định; hoặc lấy cả tập nghiệm như:
;
… nên giáo viên phải chỉ
ra và phân tích cho học sinh hiểu rõ sai lầm của mình, củng cố kiến thức phần
các tập con của tập số thực R cho học sinh kết hợp với yêu cầu học sinh giải
nhiều bài tập dạng đó để học sinh ghi nhớ tránh mắc sai lầm tương tự ở các lần
sau.
8. Hoạt động nhận dạng biểu thức
x2 + 3x + 2
<1
x+ 5
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
- Nhiều học sinh đã vội vàng xét dấu ngay vế trái của bất phương trình và
lấy nghiệm như sau:
 x = −1
x 2 + 3x + 2 = 0 ⇔ 
.
x
=
−
2


- Ta có:
x + 5 = 0 ⇔ x = −5.
- Bảng xét dấu:
x

x 2 + 3x + 2

−∞

-5
+

|

-2
+

0

−

+∞

-1
0

+

21

x+5

−

Vế trái

−

0

+

|

||

+

0

+

−

- Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là
3 − 2x
f ( x) =
− 5.

3x − 1
Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức
- Có học sinh đã xét dấu ngay biểu thức
3
3 − 2x = 0 ⇔ x =
2
- Ta có:
1
3x − 1 = 0 ⇔ x = .
3

|

+

0

+

S = (−∞; − 5) ∪ (−2; − 1).

3 − 2x
3x − 1

và kết luận như sau:

- Bảng xét dấu:

x

1
3

−∞

- Kết luận:

3 − 2x

+

3x − 1

−

f ( x)

−

3
2

|

+

0

0

+

|

||

+

0

+∞
−
+

−

1 3
f ( x) > 0 ∀x ∈ ( ; ).
3 2
1
3
f ( x ) < 0 ∀x ∈ (−∞; ) ∪ ( ; + ∞ ).
3
2

Phân tích sai lầm:
- Học sinh khơng nắm vững kiến thức hoặc có những học sinh chủ quan
không chú ý dẫn đến xét dấu sai biểu thức.
Lời giải đúng:
x2 + 3x + 2

< 1.
x+ 5
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

22


- Ta có:

x 2 + 3x + 2
x2 + 3x + 2
x2 + 2 x − 3
<1⇔
−1< 0 ⇔
< 0.
x+ 5
x+ 5
x+5

 x = −3
x2 + 2 x − 3 = 0 ⇔ 
.
x =1
x + 5 = 0 ⇔ x = −5.

- Bảng xét dấu:

−∞

x

-5

x2 + 2 x − 3

+

x+5

−

Vế trái

−

-3

|

+

0

0

+

|

||

+

0

−
+

−

- Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là
3 − 2x
f ( x) =
− 5.
3x − 1
Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức
3 − 2x
−17 x + 8
f ( x) =
−5=
.
3x − 1
3x − 1
- Ta có:
8
−17 x + 8 = 0 ⇔ x = .
17

+∞

1
0

+

|

+

0

+

S = (−∞; − 5) ∪ (−3;1).

1
3x − 1 = 0 ⇔ x = .
3
- Bảng xét dấu:

x

1
3

−∞
−17 x + 8

+

3x − 1

−

f ( x)

−

8
17

|

+

0

0

+

|

||

+

0

+∞

−
+

−

23


- Kết luận:

1 8
f ( x) > 0 ∀x ∈ ( ; ).
3 17
1
8
f ( x) < 0 ∀x ∈ ( −∞; ) ∪ ( ; + ∞).
3
17

Giải pháp:
- Vì vậy, giáo viên cần nhấn mạnh khi sử dụng dấu nhị thức, dấu tam thức
để xét dấu một biểu thức phức tạp thì cần đảm bảo biểu thức phải ở dạng tích,
thương các nhị thức bậc nhất; tam thức bậc hai. Khi giải một bất phương trình
thì phải đảm bảo một vế bằng khơng cịn vế kia là tích thương các nhị thức bậc
nhất, tam thức bậc hai.
9. Hoạt động xét dấu trên các biến khác nhau
- Có điều này làm cho học sinh thiếu sự linh hoạt và tự tin khi dạy đơn vị
kiến thức này là giáo viên chỉ cho học sinh xét dấu biểu thức liên quan đến biến
“x”. Điều này khiến học sinh không nhận dạng được và hiểu đúng được bản
chất của một nhị thức bậc nhất; một tam thức bậc hai. Hơn thế, học sinh thiếu tự

tin khi giải quyết các bài toán mà các biểu thức là nhị thức bậc nhất, là tam thức
bậc hai nhưng là biến “m”, “t”...
- Theo tôi, khi cho ví dụ thực hành xét dấu, giáo viên nên cho học sinh xét
dấu theo các ẩn khác nhau thay vì cho nhiều ví dụ trên cùng một ẩn số. Điều này
giúp học sinh tự tin và không gặp bở ngỡ, sai sót khi giải quyết các bài tốn
chứa tham số m có liên quan.
Ví dụ: Tìm m phương trình (m-5)x2 - 4mx + m - 2 = 0 có 2 nghiệm dương?
Giải:
-

Phương trình có 2 nghiệm dương khi và chỉ khi:

∆ ' ≥ 0

P > 0
S > 0



3m 2 + 7m − 10 ≥ 0

m − 2
⇔ 
>0
⇔ ...
m
−
5

 4m

 m − 5 > 0

- Trong hệ này, đã có học sinh học khá nhưng đã khơng nhận ra trong mỗi
bất phương trình của hệ chính là các bất phương trình liên quan đến dấu nhị thức
bậc nhất và dấu tam thức bậc 2 (các bất phương trình này nếu ẩn số là x thì học
sinh làm rất tốt).
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục

24


- Trong năm học 2021- 2022, tôi được phân công dạy hai lớp học sinh có
lực học tương đối đồng đều là 10A2 và 10A4. Tôi đã thực nghiệm sư phạm nội
dung sáng kiến này ở lớp 10A4. và chọn lớp 10A2 là lớp đối chứng.
- Sau khi áp dụng các giải pháp đã được nêu trong SKKN, tôi nhận thấy
học sinh lớp 10A4 đã tiến bộ nhiều so với lớp 10A2 khi giải bài toán xét dấu, bài
toán giải bất phương trình và các bài tốn có liên quan, thể hiện qua các điểm
sau:
- Học sinh đã có ý thức sử dụng chính xác định nghĩa, định lý, phương
pháp giải cho các bài toán xét dấu, bài toán giải bất phương trình và các bài tốn
có liên quan.
- Học sinh đã có thói quen tự kiểm tra lời giải, biết nhận xét và phân tích
các lời giải sai, biết sửa chữa lời giải sai để có lời giải đúng.
- Trong các tiết học, khơng khí học tập sơi nổi, tích cực. Chất lượng giờ
học được nâng cao, học sinh ít bị sai trong quá trình làm bài nên hứng thú học
tập bộ mơn hơn, năng lực giải tốn có nhiều tiến bộ.
- Kết quả thu được qua bài kiểm tra thường xuyên ở hai lớp như sau:
Lớp

Điểm 0- 4

Điểm 4,5

Điểm 5- 6,5

Điểm 7- 8

Điểm 8,5- 10

10A2
(41 hs)

1

5

22

11

2

10A4
(43 hs)

0

03

18

16

6

- Dấu hiệu thống kê ở lớp 10A4 của tôi là chất lượng của học sinh đạt
được có khả quan hơn hay không? Các sai lầm của học sinh như đã phân tích có
được cải thiện hay khơng?
Kết quả thống kê như sau:
Về chất lượng:
+ Ở bài kiểm tra đạt trên điểm 5: 40/43 HS.
Mức độ sai sót do:
+ Xác định dấu của “a”: đã khắc phục;
+ Xác định sai khoảng: đã khắc phục;
+ Chưa nắm vững và sử dụng chính xác kí hiệu “ || ”: cịn 1 trường hợp.
+ Khơng nhận dạng đúng biểu thức tích, thương: cịn 2 trường hợp.
- Từ kết quả và việc kiểm tra tỉ mỉ các sai phạm và nguyên nhân sai phạm
của học sinh qua bài kiểm tra, cho phép tôi tin tưởng rằng: Nếu chúng ta thực
hiện được một số chú ý như đã nêu trên thì việc tiếp thu, khắc phục các sai sót
của học sinh trong học tập sẽ đạt hiệu quả và sẽ góp phần cải thiện chất lượng
của lớp đặc biệt là giúp đỡ các học sinh trung bình, yếu.
2.4.2. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với đồng nghiệp

25