(SKKN 2022) Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của môđun số phức bằng phương pháp hình học

MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ.................................................................................Trang 2.
I. Lời mở đầu.......................................................................................Trang 2.
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu.......................................................Trang 3.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ...................................................................Trang 3.
I. Các giải pháp thực hiện....................................................................Trang 3.
II. Biện pháp tổ chức thực hiện...........................................................Trang 3.
1. Kiến thức chuẩn bị...........................................................................Trang 3.
2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải.........................Trang 3.
3. Bài tập vận dụng…………………………………………...........…Trang18
C. KẾT QUẢ........................................................................................Trang 22.

Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

1


HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT, GÍA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MƠĐUN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG
PHÁP HÌNH HỌC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lời mở đầu.
Căn cứ vào đường lối, chủ trương chính sách của Đảng và Pháp luật của
Nhà nước. Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chun mơn của
trường THPT Hồng Lệ Kha năm học 2021 – 2022.
Trong quá trình giảng dạy mơn Tốn, tơi được nhà trường giao cho dạy
các lớp có đối tượng học sinh chủ yếu là học sinh trung bình, khá và một số ít
học sinh giỏi. Chính vì nhiệm vụ trọng tâm của tơi là giúp các em học sinh nắm
chắc kiến thức cơ bản của các vấn đề theo định hướng của Bộ GD&ĐT, của Sở

GD&ĐT Thanh Hóa. Mục tiêu đặt ra là giảng dạy học sinh thi Tốt nghiệp THPT
mơn Tốn hầu hết phải đạt từ 5 đến 8 điểm trở lên là vấn đề khó khăn với đối
tượng học sinh của mình.
Trong các nội dung thi Đại học – Cao đẳng và gần đây là thi tốt nghiệp
THPT Quốc gia phần số phức trong đó có dạng tốn tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của mơđun số phức đóng vai trị quan trọng trong việc phân loại học sinh ở
mức độ vận dụng cao. Hầu hết học sinh lớp tôi giảng dạy thường né tránh câu
này, thậm chí khi làm bài thi nhiều em học sinh đã chấp nhận bỏ qua ngay từ đầu
khi gặp bài tốn về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mơđun số phức vì nghĩ
rằng đây là vấn đề khó. Từ thực tế nhiều năm ra đề thi của Bộ GD&ĐT và sự né
tránh của học sinh khi gặp bài tốn về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mơđun
số phức, tơi đã tìm tịi, nghiên cứu và mạnh dạn dẫn dắt học sinh tiếp cận với bài
tốn về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức đạt được kết quả tốt
nhất.
Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi, cùng với kinh
nghiệm trong q trình giảng dạy. Tơi đã tổng hợp, khai thác thành chuyên đề:
‘‘Hướng dẫn học sinh giải một số bài tốn tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ
nhất của môđun số phức bằng phương pháp hình học’’. Qua nội dung đề tài
này tơi mong muốn cung cấp cho học sinh một số phương pháp và các kỹ năng
cơ bản để học sinh có thể tự tin khi tiếp cận với bài toán về tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của mơđun số phức. Từ đó có thể giải quyết được một số bài tốn về
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mơđun số phức. Hy vọng rằng đề tài này sẽ
giúp các bạn đồng nghiệp và các em học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động
khi gặp một số bài toán về giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của mơđun số phức .

Giáo viên: Hồng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

2

II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
1. Thực trạng vấn đề
Hiện nay khi gặp một số các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
môđun số phức trong đề thi Đại học-Cao đẳng và thi Tốt nghiệp THPT Quốc
gia, một số học sinh đặc biệt là những học sinh ở mức độ trung bình, trung bình
khá chưa tìm ra cách giải hoặc nếu có tìm ra cách giải thì mới chỉ giải quyết
được một phần . Hầu hết học sinh vẫn chưa giải xong được bài toán. .
2. Hệ quả của thực trạng trên
Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời
gian để biến đổi bài tốn, hoặc khơng giải được. Một số học sinh do năng lực tư
duy hạn chế chưa biết cách chọn phương pháp cho phù hợp. Chính vì vậy người
dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài
toán.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Các giải pháp thực hiện.
Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh biết quy lạ về
quyen, biết phải sử dụng kiến thức nào phù hợp. Sau đó giúp học sinh xây dựng
phương pháp giải phù hợp.
II. Biện pháp tổ chức thực hiện.
1. Kiến thức tốn có liên quan
- Định nghĩa và tính chất của mơ đun số phức.
- Biểu diễn hình học của số phức.
- Vị trí tương đối giữa các điểm so với đường thẳng.
- Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
- Vị trí tương đối giữa hai đường trịn.
- Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường đường tròn.
2. Các ký hiệu dùng trong chuyên đề
- min z là giá trị nhỏ nhất của z , max z là giá trị lớn nhất của z .

- d O ,d  là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  d  . M  z 
- M  z  là điểm biểu diễn của số phức z .
3. Một số bài toán thường gặp
Bài toán 1: Trong các số phức z thỏa mãn M  z  thuộc đường thẳng  d  .
a) Tìm min z .
b) Tìm z để z là nhỏ nhất.
Lời giải
Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

3


a)Ta có : z  OM mà M   d 
 OM  d O , d   min z  d  O , d  .

b) Bước 1: Tìm H là hình chiếu của
O trên  d  giả sử H  a; b  .

Bước 2: Kết luận z  a  bi là số phức
cần tìm.

Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. [3] Trong các số phức z thỏa mãn z  2  i  z  3i . Khi đó min z là
A. 2 .

B.

2

.
2

C.

3
.
2

D. 2 2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B
2
2
2
Gọi z  x  yi  x, y  ¡   z  2  i  z  3i   x  2    y  1  x 2   y  3

 x  y  1  0  M  z    : x  y  1  0 . Suy ra min z  d  O,   

1
12  12



1
.
2

Ví dụ 2. [3] Trong các số phức z thỏa mãn z  1  i  z  3i . Khi đó min z  i là

A.

7 5
.
10

B.

11 2
.
10

C.

3 5
.
10

D.

5
.
10

Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta quy về bài toán gốc quen thuộc xem số phức
trong bài toán gốc.

z i

có vai trị như số phức z

Đặt w  z  i khi đó bài tốn trở thành tính min w biết w  1  w - 2i
Gọi w  x  yi  x, y  ¡   w  1  w - 2i   x  1 2  y 2  x 2   y  2  2
Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

4


 2 x  4 y  3  0  M  w    : 2 x  4 y  3  0.

Suy ra min w  d  O,   

3
22  42



3 5
.
10

Ví dụ 3. [3] Trong các số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  4  3i . Khi đó mơđun
nhỏ nhất của

là

z  2  3i

B. 3 2 .

A. 2 .

2

C. 7 2 .
2

D. 2 2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta quy về bài toán gốc quen thuộc bằng việc áp dụng tính chất mơđun và xem
số phức z  2  3i có vai trị như số phức z trong bài tốn gốc.
Ta có: z  1  2i  z  4  3i  z  1  2i  z  4  3i
Đặt w  z  2  3i khi đó bài tốn trở thành tính min w biết w  1  i  w  6  6i
Gọi w  x  yi  x, y  ¡   w  1  i  w  6  6i   x  1 2   y  1 2   x  6  2   y  6  2
 x  y  7  0  M  w    : x  y  7  0.

Suy ra min w  d  O,   

7
12  (1) 2



7

2.

Ví dụ 4. [3] Trong các số phức z thỏa mãn z  1  i  z  4  3i . Khi đó mơđun
nhỏ nhất của w  (3  4i) z  11  2i là
A.

85 41
.
82

B.

125 41
.
82

C.

17 41
.
82

D.

25 41
.
82

Hướng dẫn giải:
Chọn A

Ta quy về bài toán gốc quen thuộc bằng việc áp dụng tính chất mơđun và xem
số phức w  (3  4i ) z  11  2i có vai trị như số phức z trong bài tốn gốc.
Ta có: z  1  i  z  4  3i  z  1  i  z  4  3i  (3  4i ) z  1  7i  (3  4i) z  25i

Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

5


Đặt w   3  4i  z  11  2i khi đó bài tốn trở thành tính min w biết
w  12  9i  w  11  23i

Gọi w  x  yi  x, y  ¡ 
2

2

2

 w  12  9i  w  11  23i   x  12    y  9    x  11   y  23

2

 2 x  64 y  425  0  M  w    : 2 x  64 y  425  0.

Suy ra min w  d  O,   

425

22  642



85 41
82 .

Ví dụ 5. [3] Trong các số phức z thỏa mãn 5 z  20  5i  (3  4i ) z  7  i . Khi đó
mơđun nhỏ nhất của w  z  1  i là
A.

7 5
.
5

B.

6 5
.
5

C.

8 5
.
5

D.

10 5

.
5

Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta quy về bài toán gốc quen thuộc bằng việc áp dụng tính chất mơđun và xem
số phức w  z  1  i có vai trị như số phức z trong bài tốn gốc.
Ta có: 5 z  20  5i  (3  4i ) z  7  i  5 z  4  i  3  4i z 

7i
 z  4i  z i
3  4i

Đặt w  z  1  i khi đó bài tốn trở thành tính min w biết w  5  2i  w  1
2
2
2
Gọi w  x  yi  x, y  ¡   w  5  2i  w  1   x  5    y  2    x  1  y 2

 2 x  y  7  0  M  w    : 2 x  y  7  0.

Suy ra min w  d  O,   

7
22  ( 1) 2



7 5
5 .

Ví dụ 6. [3] Trong các số phức z thỏa mãn (2  3i) z  5  i  (3  2i) z  1  8i . Khi
đó mơđun nhỏ nhất của w  z  1  2i là
A.

2
.
2

Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

B.

1
.
2

C.

3
.
2

D. 2 .

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

6

Hướng dẫn giải:
Ta quy về bài toán gốc quen thuộc bằng việc áp dụng tính chất mơđun và xem
số phức w  z  1  2i có vai trị như số phức z trong bài tốn gốc.
Ta có: (2  3i) z  5  i  (3  2i) z  1  8i
 2  3i . z 

5i
1  8i
 3  2i . z 
 z  1  i  z  1  2i
2  3i
3  2i

Đặt w  z  1  2i khi đó bài tốn trở thành tính min w biết w  2  i  w  2
2
2
2
Gọi w  x  yi  x, y  ¡   w  2  i  w  2   x  2    y  1   x  2   y 2

 2 y  1  0  M  w    : 2 y  1  0. Suy ra min w  d  O,   

1
22



1
2.

CHÚ Ý: Các bài tập áp dụng của các bài toán sau cũng được phát triển tương

tự các ví dụ trên.
Bài tốn 2: Trong các số phức z thỏa mãn M  z  thuộc đoạn thẳng AB . Tìm
min, max của z .
CHÚ Ý: M  đoạn AB  MA  MB  AB
Lời giải
Trường hợp 1:
Hình chiếu H của O trên đường  AB 
thuộc đoạn AB .
Khi đó :
min z  d O , AB  ; max z  max  OA, OB

Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

7


Trường hợp 2:
Hình chiếu H của O trên đường  AB 
khơng thuộc đoạn AB .
Khi đó : min z  min  OA, OB ;
max z  max  OA, OB

Ví dụ 1. [3] Trong các số phức z thỏa mãn z  1  i  z  3  2i  5 . Gọi M , m lần
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mơđun của z , Khi đó M  m bằng
A. 5  5 10 .

B. 10  5

C. 2  13 .

D. 2 10  5 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C
Gọi N là điểm biểu diễn của số phức z .
Đặt A(1,1) , B(3, 2) lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1  1  i và z2  3  2i
Khi đó NA  NB  5  AB . Suy ra N  AB . Nhận thấy hình chiếu H của O trên
đường  AB  không thuộc đoạn AB .
Như vậy, m  min z  OA  2  N  A và M  max z  OB  13  N  B .
Vậy M  m  13  2 .
Ví dụ 2. [3] Trong các số phức z thỏa mãn z  2  i  z  2  3i  4 2 . Gọi M , m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của
.
A. 2 2  34 .

B. 34  2

C. 2  34 .

z  1  2i ,

tính M  m

D. 5  34 .

Hướng dẫn giải:
Gọi N là điểm biểu diễn của số phức w  z  1  2i .
Phân tích: z  2  i  z  2  3i  4 2  z  2  i  z  2  3i  4 2

 z  1  2i  ( 1  i )  z  1  2i  (3  5i )  4 2

Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

8


Đặt A(1, 1) , B(3, 5) lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1  1  i và
z2  3  5i

Khi đó NA  NB  4 2  AB . Suy ra N  AB .
Mà:  AB  : x  y  2  0  d O, AB   2, OA  2, OB  34
Như vậy, m  min w  OA  2  N  A và M  max w  OB  34  N  B .
Vậy M  m  34  2 . Chọn C
Bài toán 3: Trong các số phức z thỏa mãn có M  z  nằm ngồi đoạn thẳng AB
(giả sử M thuộc tia Bt ). Tìm min z .
Chú ý: M thuộc tia Bt  MA  MB  AB
Lời giải
Trường hợp 1: Hình chiếu H của O
trên đường  AB  thuộc tia Bt .
Khi đó : min z  d O , AB 

Trường hợp 2: Hình chiếu H của O
trên đường  AB  khơng thuộc tia Bt .
Khi đó : min z  OB

Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

9


Ví dụ 1. [3] Trong các số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  1  i  3. Khi đó trị
nhỏ nhất của biển thức P  z bằng
A. 4 2 .

B. 2 .

C. 26 .

D. 5 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B
Gọi N là điểm biểu diễn của số phức z .
Đặt A(1, 2) , B(1, 1) lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1  1  2i và z2  1  i
Khi đó NA  NB  3  AB . Suy ra B nằm giữa A và N . Nhận thấy hình chiếu H
của O trên đường  AB  không thuộc tia Bt .  min P  min z  OB  2  N  B .
Ví dụ 2. [3] Trong các số phức z thỏa mãn

(2  3i ) z  5  i  (3  2i ) z  1  8i  13 .

Tính GTNN của P  w với w  z  1  3i .
A. 1 .

B. 10 .

C. 5 .

D. 13 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C
Gọi N là điểm biểu diễn của số phức w  z  1  3i .
Phân tích:
(2  3i ) z  5  i  (3  2i ) z  1  8i  13  2  3i z 

5i
1  8i
 3  2i z 
 13
2  3i
3  2i

 z  1  i  z  1  2i  1

Đặt A(1, 1) , B(1, 2) lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1  1  i và
z2  1  2i . Khi đó NA  NB  1  AB . Suy ra B nằm giữa A và N hay N  Bt .
Nhận thấy hình chiếu H của O trên đường  AB  không thuộc tia Bt .
Như vậy, min w  OB  5  N  B .
Bài toán 4: Trong các số phức z , z ' thỏa mãn M  z    d  ; N  z '  (d ') .Tìm giá trị
nhỏ nhất của T  z  z '
Lời giải
Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

10


Trường hợp 1:  d    d '  
Ta có : min T  0 .
Trường hợp 2:  d  P d '
Ta có:
T  z  z '  MN  d  d ,d '  min T  d  d ,d '

Ví dụ 1. [3] Trong các số phức z1 , z2 thỏa mãn  z1  2  4i   z1  2i và
z2  1  z2  i . Khi đó giá trị nhỏ nhất của T  z1  z2 bằng

A. 3 2 .

B. 2 .

D. 3 2 .

C. 2 2 .

2

Hướng dẫn giải:
2
2
2
Gọi z1  x  yi  x, y  ¡  suy ra :  z1  2  4i   z1  2i   x  2    y  4   x 2   y  2 

 4 x  4 y  16  0  x  y  4  0. Suy ra : M  z1   d1 : x  y  4  0
2

2
Gọi z2  a  bi  a, b  ¡  khi đó ta có : z2  1  z2  i   a  1  b 2  a 2   b  1

 2a  2b  0  a  b  0. Suy ra N  z2   d 2 : x  y  0 .Nhận thấy  d1  P d 2  .

Khi đó ta có : T  z1  z2  MN  d d ;d   min T  d d ;d  
1

2

1

2

4
11

2 2.

Ví dụ 2. [3] Tìm giá trị nhỏ nhất của T  z1  z2  3  2i biết hai số phức z1 , z2 thoả
mãn  z1  3  4i   z1  3  2i ,  z2  3  4i   z2  1  2i .
A. 3 2 .

B. 5 2 .
2

C. 2 2 .

D. 5 2 .
2

Hướng dẫn giải:
Ta quy về bài toán gốc bằng cách xem số phức z1  3  2i như số phức z1
Ta có :  z1  3  4i   z1  3  2i    z1  3  2i   6i   z1  3  2i   6  1
2
2
Đặt z1  3  2i  x  yi  x, y  ¡    1  x 2   y  6    x  6   y 2  x  y  0

Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

11


Suy ra M  z1  3  2i   d1 : x  y  0 .
Gọi z2  a  bi  a, b  ¡    z2  3  4i   z2  1  2i   a  3   b  4    a  1   b  2 
2

2

2

2

 4a  4b  20  0  a  b  5  0. Suy ra N  z2   d 2 : x  y  5  0 .

Nhận thấy  d1  P d2  . Khi đó ta có :
T  z1  z2  3  2i   z1  3  2i   z2  MN  d d1 ;d2   min T  d  d1 ;d2  

5
11



 2
.
2

Bài toán 5:
a) Trong các sô phức z thỏa mãn M  z    d  .Tìm min của T  z  z1  z  z2 với
z1 , z2 cho trước.

b) Trong các sô phức z thỏa mãn M  z    d  .Tìm max của F  z  z1  z  z2 với
z1 , z2 cho trước.

Lời giải
Gọi A là điểm biểu diễn số phức z1 , B là điểm biểu diễn số phức z2 .
Khi đó : T  z  z1  z  z2  MA  MB ; F  z  z1  z  z2  MA  MB Vậy:
a)Bài tốn trở thành tìm M   d  sao cho T  MA  MB là nhỏ nhất (Với A, B là
hai điểm cố định cho trước không thuộc  d  ).
b)Bài tốn trở thành tìm M   d  sao cho F  MA  MB là lớn nhất (Với A, B là
hai điểm cố định cho trước không thuộc  d  ).
a)Trường hợp 1: A, B nằm về hai phía
của  d  .
Ta có : Với
M   d   T  MA  MB  AB dấu bằng

xảy ra khi và chỉ khi : M , A, B thẳng
hàng và M nằm giữa

A, B  M   AB    d  .

Suy ra : min T  AB

Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

12


Trường hợp 2: A, B nằm về một phía của

 d .
Lấy A ' đối xứng với A qua  d   A ', B
nằm về hai phía của  d  . Ta có :Với
M   d   T  MA  MB  MA ' MB  A ' B

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : M , A ', B
thẳng hàng và M nằm giữa
A ', B  M   A ' B    d  Suy ra :
min T  A ' B

b)Trường hợp 1: A, B nằm về một phía
của  d  .
Ta có : Với
M   d   F  MA  MB  AB dấu bằng

xảy ra khi và chỉ khi : M , A, B thẳng hàng
và M nằm ngoài A, B  M   AB    d  .

Suy ra : max F  AB .

Trường hợp 2: A, B nằm về hai phía của

 d .
Lấy A ' đối xứng với A qua  d   A ', B
nằm về một phía của  d 
Ta có : Với
M   d   F  MA  MB  MA ' MB  A ' B

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : M , A, B
thẳng hàng và M nằm ngoài
A ', B  M   A ' B    d  .

Suy ra : max F  A ' B .

Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

13


Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1. [3] Trong các số phức thỏa mãn điều kiện:  z  1  3i   z  3  i . Khi đó
min T  z  4  z  5  6i là
A. 37 .

B. 3 13 .

C. 2 13 .

D. 2 37 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B
2
2
2
2
Gọi z  x  yi  x, y  ¡    z  1  3i   z  3  i   x  1   y  3   x  3   y  1

 2x  y  0  M  z   d : 2x  y  0

Đặt z1  4  A  4;0  biểu diễn z1 . Đặt z1  5  6i  B  5;6  biểu diễn z2
Ta có t A .t B   8  .  10  6   48  0  A, B nằm về hai phía của  d  .

 min T  AB  3 13
Ví dụ 2. [3] Trong các số phức thỏa mãn điều kiện:  z  1  3i   z  3  i . Khi đó
max T  z  3  z  5  i là
A. 65 .

B. 5 .

C. 2 5 .

D. 65 .
5

Hướng dẫn giải:

Chọn B
2
2
2
2
Gọi z  x  yi  x, y  ¡    z  1  3i   z  3  i   x  1   y  3   x  3   y  1

 2x  y  0  M  z   d : 2x  y  0

Đặt z1  3  A  3;0  biểu diễn z1 . Đặt z1  5  i  B  5; 1 biểu diễn z2
Ta có t A .t B   6  .  10  1  54  0  A, B nằm về một phía của  d  .

 max T  AB  5
Bài tốn 6:
 I  a; b 
. Tìm min, max của z .
 bk : R

Trong các sô phức z thỏa mãn M  z    C  : 
Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

14


Lời giải
Ta có : z  OM  M   C  thì
OI  R  OM  OI  R

Suy ra :
min z  OI  R ; max z  OI  R

Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1. [3] Trong các số phức
A. 3  2i .

z

thỏa mãn

B. 2  i .

z  2  4i  5

.Tìm

z

để z nhỏ nhất.

C. 1  2i .

D. 4  5i .

Hướng dẫn giải:
Gọi z  x  yi  x, y  ¡  , khi đó  x  2  2   y  4  2  5   x  2  2   y  4  2  5
Suy ra điểm M  z    C  có tâm I (2, 4) , bán kính R  5 .
 M  OI   C 
Lại có:min z suy ra 

min z  OM  OI  R  2 5  5  5
r

1 uur
2

Viết phương trình đường thẳng OI đi qua O và nhận vtcp u  OI   1, 2  là:
x  t
t¡

 y  2t

 .Vì

M  OI nên M  t , 2t  .
t  3  M (3, 6)

t  1
 M (1, 2)

2
2
2
Vì M   C  nên  t  2    2t  4   5  5t  20t  15  0  

Vì min z  OM  5 nên M (1, 2) . Vậy z  1  2i . Chọn C
Ví dụ 2. [3] Trong các số phức z thỏa mãn z  1  i  3 . Khi đó mơđun lớn nhất
của w  (3  4i ) z  11  2i bằng
Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

15


A. 6 .

B. 9 .

C. 45 .

D. 30 .

Hướng dẫn giải:
Ta có w  (3  4i ) z  11  2i  3  4i . z 

11  2i
 5 z  1  2i
3  4i

Đặt z '  z  1  2i khi đó z  1  i  3  z ' 3i  3
Gọi z '  x  yi  x, y  ¡  , khi đó x 2   y  3 2  3  x 2   y  3 2  9
Suy ra điểm M  z '   C  có tâm I (0,3) , bán kính R  3 .
Vậy max w  5.max z '  5OM  5(OI  R )  5(3  3)  30 . Chọn D
Bài toán 7:
 tam I1
 tam I 2
N  z '    C2  : 
.

bk : R1
bk : R2

Trong các số phức z , z ' thỏa mãn có M  z    C1  : 
Tìm min, max của T  z  z ' .
Lời giải

Ta có : T  z  z '  MN  Với M   C1  ; N   C2  thì ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1 :  C1  ,  C2  ngoài nhau.
Suy ra :
min T  I1 I 2  R1  R2 ; max T  I1 I 2  R1  R2

Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

16


Trường hợp 2 :  C1  ,  C2  tiếp xúc
ngoài , cắt nhau hoặc tiếp xúc trong.
Suy ra : min T  0; max T  I1I 2  R1  R2

Trường hợp 3 :  C1  ,  C2  đựng nhau.
Suy ra :
min T  R2  I1 I 2  R1 ; max T  I1I 2  R1  R2

Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1. [3] Trong các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  5  5 và z2  1  3i  1 . Tính
giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của T  z1  z2 .

Hướng dẫn giải:
Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

17


2
Gọi z1  x  yi  x, y  ¡  khi đó ta có : z1  5  5   x  5   y 2  25

 I1  5; 0 


Suy ra M  z1   (C1 ) : 

 R1  5

2
2
Gọi z2  a  bi  a, b  ¡  khi đó ta có : z2  1  3i  1   a  1   b  3  1

 I 2  1;3


Suy ra N  z2   (C2 ) : 

 R2  1

Suy ra: I1I 2   1  5    3  0   25  5  R1  R2  I1I 2  R1  R2   C1  &  C2  cắt

2

2

nhau. Khi đó ta có : T  z1  z2  MN
Suy ra: min T  0, MaxT  I1 I 2  R1  R2  5  5  1  11
Ví dụ 2. [3] Trong các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2  2i  1 ,  z2  2  4i  2 . Tính
giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của T  z1  z2  3  2i .
Hướng dẫn giải:
Ta quy về bài toán gốc bằng cách xem số phức z1  3  2i như số phức z1
Ta có : z1  2  2i  1    z1  3  2i   1  4i  1 1
2
2
Đặt z1  3  2i  x  yi  x, y  ¡  khi đó ta có:  1   x  1   y  4   1

 I1  1; 4 


Suy ra M  z1  3  2i   (C1 ) : 

 R1  1

.

2
2
Gọi z2  a  bi  a, b  ¡  khi đó ta có :  z2  2  4i  2   a  2    b  4   4

 I 2  2; 4 


Suy ra N  z2   (C2 ) : 

 R2  2

Suy ra: I1 I 2   2  1   4  4   9  3  I1 I 2  R1  R2   C1  &  C2  Tiếp xúc
2

2

ngồi. Khi đó ta có : T  z1  z2  3  2i   z1  3  2i   z2  MN
Suy ra: min T  0, MaxT  2 R1  2 R2  2  4  6
Bài toán 8:

Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

18


 tam I
N  z '  d . Tìm min của
bk : R

Trong các số phức z , z ' thỏa mãn có M  z    C  : 
T  z  z'

Lời giải
Ta có : T  z  z '  MN khi đó ta có các

trường hợp sau:
Trường hợp 1:  d    C   
Suy ra : min T  0 .
Trường hợp 2:  d    C   
Khi đó : Với M   C  , N   d  ta có :
MN  d I ,d   R  min T  d I ,d   R

Ví dụ áp dụng.
Ví dụ 1. [3] Trong các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  5  5, z2  1  3i  z2  3  6i .
Giá trị nhỏ nhất của z1  z2 là:
Hướng dẫn giải:
Giả sử z1  a1  b1i  a1 , b1  ¡  , z2  a2  b2i  a2 , b2  ¡  . Ta có:
2
2
 z1  5  5   a1  5  b12  25 .  M  z1    C  :  x  5  y 2  25 có tâm là điểm

I  5;0  và bán kính R  5 .
2
2
2
2
 z2  1  3i  z2  3  6i   a2  1   b2  3   a2  3   b2  6 

 8a2  6b2  35  0 .  N  z2   : 8 x  6 y  35  0 . Khi đó, ta có z1  z2  MN .

Suy ra z1  z2 min  ABmin  d  I ;    R 

8.  5   6.0  35
8 6
2

2

5 

5
5
.  min z1  z2  .
2
2

4. Bài tập vận dụng
Bài 1. Trong các số phức z thỏa mãn z - 2 + i = z - 1 + 3i , gọi z0 = a + bi là
số phức t/m z0 - 1 + i có mơ đun nhỏ nhất. Khi đó ab bằng.
Giáo viên: Hồng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

19


A. 

44
25 .

B.

44
.

25

C.

11
.
25

D. 

11
.
25

Bài 2. Trong các số phức z thỏa mãn z  2  i  z  2  3i  2 5 . Gọi M , m lần
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của z  1  2i , tính M  m .
A.

2 5  5 10
.
5

B. 2  2 10 .

C.

5  5 10
.
5

D. 2  10 .

Bài 3. Trong các số phức z thỏa mãn (2  3i ) z  5  i  (3  2i ) z  1  8i  13 . Gọi
M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của w  z  1  3i ,
tính M  m .
A. 2  2 5 .

B. 2 2  5 .

C. 5  5 10 .

Bài 4. Trong các số phức z , w thỏa mãn
lớn nhất thì z  w bằng
A. 5 5 .

B. 8 .

z  w  1.

C. 3 .

D. 2  10 .
Khi

z  2w  3  4i

đạt giá trị

D. 2 .

Bài 5. Trong các số phức z thỏa mãn iz  2i  2  z  1  3i  34. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P   1  i  z  2i .
A. 26 .

B. 4 2 .

C. 3 2 .

D. 2 2 .

Bài 6. Trong các số phức z thỏa mãn z  3  2 z và max z  1  2i  a  b 2 . Tính
ab.
A. 3 .

B.

4
.
3

C. 4 .

D. 4 2 .

Bài 7. Trong các số phức z thỏa mãn z  2  i  4 . Tính môđun nhỏ nhất của
w  2 z  4  6i

A. 2 5  4 .

B. 4 5  6 .

C. 4 5  8 .

D. 8  4 5 .

Bài 8. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2  3i  2 và z2  1  2i  1 . Tìm giá trị
lớn nhất của P  z1  z2 .
A. 3 .

B. 6 .

C. 3  10 .

D. 3  34 .

C. KẾT QUẢ
Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

20


I. Kết quả nghiên cứu
Thông qua hệ thống các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mơđun
số phức, ta thấy khi tiếp cận bằng phương pháp hình học vấn đề trở nên đơn giản
hơn rất nhiều, dễ vận dụng, không quá phức tạp với học sinh.
Trong quá trình giảng dạy, tơi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài
tập trên, học sinh đã biết vận dụng một cách linh hoạt, vào các bài toán khác
nhau, từ đơn giản đến phức tạp. Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại khi gặp các

bài toán này nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên
sáng sủa, ngắn gọn.
II. Kiến nghị
Thứ nhất: Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực
tiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo,
nhất là các sáng kiến đổi mới phương pháp giảng dạy cần được tập hợp trong
một kỷ yếu khoa học của Sở GD& ĐT và tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh
và phụ huynh được tham khảo.
Thứ hai: Ngoài việc đánh giá và xếp giải các SKKN bộ phận chuyên môn
của Sở GD& ĐT cần bổ xung thêm những hạn chế của từng đơn vị để giáo viên
rút kinh nghiệm cho việc nghiên cứu lần sau.
XÁC NHẬN

Thanh Hóa, ngày 5 tháng 5 năm 2022

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.

Hồng Văn Thoan

Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao.
[2]. Sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao .
[3]. Nguồn khác: Internet.

Giáo viên: Hoàng Văn Thoan

Trường THPT Hoàng Lệ Kha

22


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ

TRƯỜNG THPT HỒNG LỆ KHA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIÁ
TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MƠĐUN SỐ
PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

Người thực hiện: Hồng Văn Thoan
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị cơng tác: Trường THPT Hồng Lệ Kha
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2022

Giáo viên: Hồng Văn Thoan

Trường THPT Hồng Lệ Kha

23