(SKKN 2022) Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán liên quan đến sự tương giao giữa các đồ thị hàm số cho học sinh lớp 10 Trung học phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỰ
TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHO
HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Người thực hiện: Nguyễn Thị Thức
Chức vụ: Tổ phó tổ chuyên mơn Tốn
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HĨA, NĂM 2022


MỤC LỤC
1. Mở đầu….......................................................................................
1.1. Lí do chọn đề tài………………………………………………...
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………....
1.3. Đối tượng nghiên cứu........................…………………………..
1.4. Phương pháp nghiên cứu………………………………………..
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.................................................
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ………………………
2.1.1.Hàm số bậc hai.………..............................................................
2.1.2. Đồ thị của hàm số bậc hai ....…………………………............
2.1.3. Chiều biến thiên của hàm số.....................................................
2.1.4. Sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = f ( x) và trục hoành.......
2.1.5. Phép biến đổi đồ thị..................................................................

2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm................................................................................................
.
2.2.1. Thực trạng của vấn đề...............................................................
2.2.2. Về phía học sinh .......................................................................
2.2.3. Về phía giáo viên .....................................................................
2.2.4. Kết quả của thực trạng.……………………………….............
2.3. Giải quyết vấn đề ……………………………………………....
2.3.1. Dạng 1. Sự tương giao đồ thị của các hàm số tường minh số
liệu......................................................................................................
.
2.3.2. Dạng 2. Biện luận tương giao đồ thị theo tham số m ...............
2.3.3. Dạng 3. Bài toán tương giao đồ thị hàm số chứa dấu giá trị
tuyệt
đối...............................................................................................
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm...........................................
2.4.1. Về phía học sinh…………………………………….………...
2.4.2. Về phía giáo viên……………………………………………..
3. Kết luận, kiến nghị…………..……..............................................
3.1 Kết luận.........…………………………………………................
3.2. Kiến nghị……………….…………………………………….....
Tài
liệu
tham
khảo…...........................................................................
Một số từ viết tắt.................................................................................
Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh
giá cấp Sở GD & ĐT xếp loại từ C trở lên..........................................
Phụ
lục.................................................................................................

Trang
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
4
4
4
4
5
5
5
6
8
19
19
19
19
19
20

1. Mở đầu.
1.1. Lí do chọn đề tài.
Năm học mới 2021-2022 bắt đầu trong bối cảnh nhiều tỉnh thành phải
thực hiện phong tỏa, giãn cách. Lần đầu tiên lễ khai giảng được tiến hành online,
mở đầu cho một năm học đảo lộn và gián đoạn. Covid-19 đã làm thay đổi hoàn
toàn cách thức dạy và học. Bên cạnh việc học, việc thi cử, tuyển sinh cũng phải
thay đổi cả hình thức, thậm chí cách thức để phù hợp với đại dịch.
Năm 2022 cũng là năm tiếp tục thực hiện công cuộc đổi mới căn bản, toàn
diện giáo dục và đào tạo theo tinh thần Nghị quyết 29 và Nghị Quyết Đại hội
Đảng lần thứ XIII, trong đó, Bộ Giáo dục và Đào tạo ưu tiên triển khai 11 nhóm
nhiệm vụ trọng tâm.
Chính vì vậy địi hỏi người dạy và học phải linh hoạt hợp tác trang bị
những kiến thức, kĩ năng và phát triển tư duy, trí tuệ là mục tiêu hàng đầu trong
các mục tiêu dạy học, nhất là đối với mơn Tốn nói chung và chương trình mơn
Tốn lớp 10 nói riêng; Đặc biệt là phần hàm số bậc hai trong chương 2 của Đại
số lớp 10 mà Sách giáo khoa(SGK) chưa đi sâu vào các khía cạnh khai thác đồ
thị vào một số dạng toán liên quan như nhận dạng, đọc đồ thị, sự tương giao, giá
trị lớn nhất (GTLN) – giá trị nhỏ nhất (GTNN), giải phương trình dựa vào đồ
thị, ứng dụng thực tế,...
Như đã biết phần hàm số nói chung và hàm số bậc hai nói riêng là một
chuyên đề khá quan trọng trong chương trình tốn Trung học phổ thơng đặc biệt
là các em học sinh lớp 10. Đây là kiến thức nền tảng để học và khai thác các bài
toán về hàm số ở lớp 12 là dạng toán sẽ chắc chắn xuất hiện nhiều trong các kì
thi kiểm tra đánh giá định kì và các kì thi khác,...chiếm một số điểm lớn nên hết
sức lưu ý để khai thác làm tốt dạng tốn này.
Từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chun mơn, q trình nghiên
cứu lí thuyết và đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân, tôi muốn chia sẻ với
đồng nghiệp kinh nghiệm và đã lựa chọn đề tài " Rèn luyện kĩ năng giải các bài

toán liên quan đến sự tương giao giữa các đồ thị hàm số cho học sinh lớp 10
Trung học phổ thông" mong muốn giúp các em có kĩ năng, kiến thức vững
vàng, tự tin khi giải bài tập, làm bài thi kiểm tra, làm nền tảng vững chắc để tiêp
cận với các hàm số ở lớp 12 sau này, là tài liệu tham khảo giúp đồng nghiệp có
thêm kinh nghiệm khi dạy cho học sinh phần này.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp học sinh hiểu rõ bản chất, thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số và
khai thác được một số dạng liên quan đến đồ thị hàm số đặc biệt là bậc hai.
- Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm rèn luyện kĩ năng khai thác, giải bài tập
trắc nghiệm về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 10 ở trường THPT Triệu Sơn 2.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài tập trung nghiên cứu vận dụng một số lý thuyết trong chương 2 SGK
Đại số lớp 10 với nội dung các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm ngắn gọn, vận
dụng phù hợp với đa số học sinh lớp 10.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu.
- Phươg pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát, thốg kê, phân tích, so sánh số liệu.
1


2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Hàm số bậc hai.
Hàm số bậc hai được cho bởi công thức y = f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) .
Tập xác định của hàm số này là D = R .
Hàm số y = ax 2 ( a ≠ 0 ) đã học ở lớp 9 là một trường hợp riêng của hàm số này.
2.1.2. Đồ thị của hàm số bậc hai.
Đồ thị của hàm số y = f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) là một đường parabol có
∆
b

 b
đỉnh là điểm I  − ;−  , có trục đối xứng là đường thẳng x = − , Parabol
2a
 2a 4a 
này quay bề lõm lên trên nếu a > 0 , xuống dưới nếu a < 0 .

Cách vẽ
Để vẽ parabol y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) , ta thực hiện các bước:
∆
 b
1) Xác định tọa độ của đỉnh I  − ;−  .
 2a 4a 
b
2) Vẽ trục đối xứng x = − .
2a
3) Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm ( 0; c ) ) và trục
hồnh (nếu có).
Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm
( 0; c ) qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn.
4) Vẽ parabol
Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số a ( a > 0 bề lõm quay lên trên, a < 0
bề lõm quay xuống dưới).
2.1.3. Chiều biến thiên của hàm số.
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) , ta có bảng biến thiên
của nó trong hai trường hợp a > 0 và a < 0 như sau:

2


a>0

a<0

x −∞
y

−

b
2a

+∞
−

+∞

x −∞

+∞

y

∆
4a

b
2a
∆
−
4a

−

+∞

−∞

+∞

Từ đó, ta có định lí dưới đây
Định lí
* Nếu a > 0 thì hàm số y = f ( x ) = ax 2 + bx + c nghịch biến trên khoảng
b 

 b

 − ∞;−  ; đồng biến trên khoảng  − ;+∞  .
2a 

 2a

2
* Nếu a < 0 thì hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c đồng biến trên khoảng
b 

 b

 − ∞;−  ; nghịch biến trên khoảng  − ;+∞  .
2a 

 2a


2.1.4. Sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = f ( x) và trục hoành.
Giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) với trục hồnh là nghiệm của phương
trình hồnh độ giao điểm f ( x) = 0.
Ví dụ minh hoạ:
Hàm số
có đồ thị như hình bên
y = f ( x)

y
3
1 2
O

3

x

Suy ra phương trình f ( x) = 0 có hai nghiệm ( x = 1; x = 3)
Chú ý: Muốn tìm giao điểm của hai đồ thị y = f ( x ) và y = g ( x ) . Ta xét phương

trình hồnh độ giao điểm f ( x ) = g ( x ) (1).
+ Nếu phương trình (1) có n nghiệm thì hai đồ thị có n điểm chung.
+ Để tìm tung độ giao điểm ta thay nghiệm x vào y = f ( x ) hoặc y = g ( x ) để
tính y .
2.1.5. Phép biến đổi đồ thị.
Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C). Khi đó, với số a > 0 ta có:
1) Hàm số y = f ( x ) + a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên
trên a đơn vị.
2) Hàm số y = f ( x ) − a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy

xuống dưới a đơn vị.
3) Hàm số y = f ( x + a ) có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua
trái a đơn vị.
3


4) Hàm số y = f ( x − a ) có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua
phải a đơn vị.
 f ( x ) khi x > 0
5) Hàm số y = f ( x ) = 
có đồ thị (C’) bằng cách:
f
(
−
x
)
x
≤
0
khi

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy , bỏ phần đồ thị (C) nằm
bên trái Oy .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy .
 f ( x ) khi f ( x ) > 0
6) Hàm số y = f ( x ) = 
có đồ thị (C’) bằng cách:
− f ( x ) khi f ( x ) ≤ 0
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm

dưới trục Ox
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.1. Thực trạng của vấn đề.
- Trong chương trình tốn THPT nói chung, phần Đại số lớp 10 nói riêng thì
hàm số là một trong những nội dung rất quan trọng để khai thác nhiều các bài
toán liên quan và ứng dụng vào thực tế, nhưng SGK; SBT; thậm chí một số sách
đọc thêm cũng chưa khai thác hết những ưu điểm của nó.
- Nhiều học sinh tuy rằng nắm rất vững kiến thức tốn học về mặt lí thuyết
nhưng khi gặp những dạng tốn này cũng rất lúng túng khơng biết vận dụng như
thế nào; Đặc biệt là học sinh lớp 10 mới từ lớp 9 lên đang còn rất bỡ ngỡ khi
tiếp cận với nội dung hàm số và khai thác đồ thị hàm số đặc biệt là đồ thị hàm số
bậc hai để giải các bài tập trắc nghiệm như đọc yếu tố đồ thị, tương giao, GTLN
– GTNN dưạ vào đồ thị hay bảng biến thiên của nó,...
- Thực tế trong cách đổi mới thi cử hiện nay thì việc đưa các bài toán đồ thị
chiều hướng đa dạng từ nhận biết đến vận dụng cao, gặp những bài toán đó thì
địi hỏi học sinh ngồi việc thành thạo các cơng thức tốn học mà nên có nền
móng kiến thức tốt ngay từ lớp 10; hiểu biết và luyện nhiều để có kinh nghiệm
có thể suy luận giải quyết các bài đã ra một cách đầy đủ và chính xác.
Trước thực trạng nói trên tơi rất băn khoăn và tự đặt câu hỏi làm thế nào để
giúp học sinh lớp 10 mới lên khi đứng trước những bài tốn đó và làm thế nào
để các em có một kiến thức vững chắc sau này ở lớp 12.
2.2.2. Về phía học sinh.
- Các em chưa linh hoạt trong việc sử dụng các kiến thức về hàm số đặc biệt là
bậc hai để khai thác giải quyết một số dạng toán liên quan.
- Thời gian để làm dạng này còn chưa nhanh, đang còn lúng túng.
- Nắm kiến thức một cách máy móc, hình thức và hay mắc sai lầm trong cách
xác định dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số, hàm số bậc hai.
2.2.3. Về phía giáo viên.
Bộ sách giáo khoa hiện hành các bài tập trên 90% là tự luận, các bài tập cũng
được thiết kế dạy và học theo kiểu truyền thống. Các bài tập kiểu khai thác giải

bài toán liên quan đến đồ thị hàm số như trong đề thi theo hướng thi THPT lại
khơng có trong SGK, SBT. Vì thế, chúng tơi đang dạy phần này theo cách sau:
4


- Tham khảo các tài liệu, các đáp án thi kiểm tra giữa kì, cuối kì, khảo sát chất
lượng theo định hướng thi Tốt nghiệp THPT hằng năm của các trường và trao
đổi kinh nghiệm của đồng nghiệp để hình thành một chuyên đề về dạng toán
khai thác đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) làm nên tảng cho các em sau
này khai thác đồ thị các hàm số ở lớp 12 một cách dễ dàng.
- Tranh thủ thời gian trên lớp, trong các giờ chính khóa và giờ học thêm để
hướng dẫn kĩ năng khai thác đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) và một số
bài toán liên quan, đồng thời xây dựng hệ thống bài tập để học sinh thực hành.
Tuy nhiên, bài tập dạng này chưa nhiều, thời lượng cịn ít, chủ yếu là sự
tích lũy các bài tập rải rác trong các đề thi trên toàn quốc nên các giáo viên gặp
khơng ít khó khăn trong q trình giảng dạy của mình.
2.2.4. Kết quả của thực trạng.
Từ thực tế ấy, tôi đã tiến hành khảo sát học sinh ngay ở các lớp tôi dạy là
10B5, 10B6 sau khi dạy xong chương 2 – Đại số lớp 10 "Hàm số bậc nhất và
bậc hai " với thời gian làm bài là 45 phút để kiểm tra các em kĩ năng giải bài
toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc hai cụ thể là bài toán tương giao giữa hai
đồ thị hàm số (đề ra dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm từ nhận biết đến vận dụng
cao, có yêu cầu các em trình bày lời giải để tránh việc các em lụi đáp án).
Kết quả như sau: Bảng thống kê điểm kiểm tra
Điểm
Lớp
8-10
6,5-dưới 8
5,0-dưới 6,5
Dưới 5,0

10B5 (42HS)
1
11
18
12
10B6 (41HS)
0
6
16
19
2.3. Giải quyết vấn đề.
Sự tương giao giữa parabol với đồ thị các hàm số khác.
2.3.1. Dạng 1. Sự tương giao đồ thị của các hàm số tường minh số liệu
Phương pháp: Giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) với trục hồnh là nghiệm
của phương trình hồnh độ giao điểm f ( x) = 0.
Chú ý: Muốn tìm giao điểm của hai đồ thị y = f ( x ) và y = g ( x ) . Ta xét phương

trình hồnh độ giao điểm f ( x ) = g ( x ) (1).
+ Nếu phương trình (1) có n nghiệm thì hai đồ thị có n điểm chung.
+ Ta thay nghiệm x vào y = f ( x ) hoặc y = g ( x ) để tìm tung độ giao điểm y .
Ví dụ 1. Giao điểm của parabol (P ) : y = x2 − 3x + 2 với đườg thẳng y = x − 1 là
A. ( 1;0) ;( 3;2) .
B. ( 0; −1) ;( −2; −3) . C. ( −1;2) ;( 2;1) .
D. ( 2;1) ;( 0; −1) .
Hướng dẫn.
Phương trình hoành độ giao điểm:
 x = 1  x = 1⇒ y = 0 . Chọn A.
2
2
⇔

⇒
x − 3x + 2 = x − 1 ⇔ x − 4x + 3 = 0 
 x = 3  x = 3⇒ y = 2
Ví dụ 2. Hồnh độ giao điểm của đườg thẳg y = 1 − x với ( P ) : y = x 2 − 2 x + 1 là
A. x = 0; x = 1.
B. x = 1.
C. x = 0; x = 2.
D. x = 0.
Hướng dẫn. Phương trình hồnh độ giao điểm:

5


x = 0
1 − x = x2 − 2x + 1 ⇔ x2 − x = 0 ⇔ 
. Chọn A.
x = 1
2
Ví dụ 3. Gọi A ( a; b ) và B ( c; d ) là tọa độ giao điểm của ( P ) : y = 2 x − x và
∆ : y = 3x − 6 . Giá trị của b + d bằng.
A. 7.
B. −7 .
C. 15.
D. −15 .
Hướng dẫn. Phương trình hồnh độ giao điểm:
x = 2 ⇒ y = 0
2 x − x 2 = 3x − 6 ⇔ x 2 + x − 6 = 0 ⇔ 
⇒ b + d = −15 . Chọn D.
x
=

−
3
⇒
y
=
−
15

Ví dụ 4. Cho parabol ( P ) có phương trình y = f ( x ) thỏa mãn
f ( x − 1) = x 2 − 5 x + 5 ∀x ∈ ¡ . Số giao điểm của ( P ) và trục hoành là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Hướng dẫn.
2
2
Ta có f ( x − 1) = x 2 − 5 x + 5 = ( x − 1) − 3 ( x − 1) + 1 . Suy ra f ( x ) = x − 3x + 1 .
Phương trình x 2 − 3 x + 1 = 0 có ∆ = 32 − 4.1.1 = 5 > 0 nên có hai nghiệm phân
biệt. Vậy ( P ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Chọn C.
Ví dụ 5. Cho hai parabol có phương trình y = x 2 + x + 1 và y = 2 x 2 − x − 2 . Biết
hai parabol cắt nhau tại hai điểm A và B ( x A < xB ). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A. AB = 4 2 .
B. AB = 2 26 .
C. AB = 4 10 .
D. AB = 2 10
Hướng dẫn. Phương trình hồnh độ giao điểm của hai parabol:
 x = −1
2 x2 − x − 2 = x2 + x + 1 ⇔ x2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ 
.

x = 3
x = −1 ⇒ y = 1; x = 3 ⇒ y = 13 . Do đó hai giao điểm là A ( −1;1) và B ( 3;13) .
Từ đó AB =

( 3 + 1)

2

+ ( 13 − 1) = 4 10 . Chọn C.
2

2.3.2. Dạng 2. Biện luận tương giao đồ thị theo tham số m
Phương pháp:
- Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ( x ) hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x )
để xác định số nghiệm của phương trình f ( x ) = f ( m ) .
- Số nghiệm của phương trình f ( x ) = f ( m ) là số giao điểm của đồ thị y = f ( x )
với đường thẳng y = f ( m ) (đường thẳng y = f ( m ) là đường thẳng song song
với trục hoành, cắt trục tung tại điểm có tung độ y = f ( m ) .
Chú ý: Có thể dùng phương pháp giải và biện luận phương trình theo biệt số ∆
.
Ví dụ 1. Giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = x 2 + 3x + m cắt trục hoành tại
hai điểm phân biệt ?
9
9
9
9
A. m < − .
B. m > − .
C. m > .
D. m < .

4
4
4
4
2
Hướng dẫn. Cho x + 3x + m = 0 (1)
6


Để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi phương trình (1) có hai
9
2
nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 3 − 4m > 0 ⇔ 9 − 4m > 0 ⇔ m < . Chọn D.
4
2
Ví dụ 2. Hàm số y = x + 2 x − 1 có đồ thị như hình bên. Tìm các giá trị m để
phương trình x 2 + 2 x + m = 0 vô nghiệm.

A. m < −2 .
B. m < −1 .
C. m < 1.
D. m > 1 .
2
2
Hướng dẫn. x + 2 x + m = 0 ⇔ x + 2 x − 1 = − m − 1 ( *)
Số nghiệm của phương trình ( *) chính là số giao điểm của parabol
y = x 2 + 2 x + 1 và đường thẳng y = − m − 1 . Yêu cầu đề bài ⇒ m > 1 . Chọn D.
Ví dụ 3. Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng [ −10; −4 ) để
2
đường thẳng d : y = − ( m + 1) x + m + 2 cắt parabol ( P ) : y = x + x − 2 tại hai

điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung?
A. 6.
B. 5.
C. 7.
D. 8.
Hướng dẫn. Phương trình hồnh độ giao điểm của d và ( P ) :
x 2 + x − 2 = − ( m + 1) x + m + 2 ⇔ x 2 + ( m + 2 ) x − m − 4 = 0 ( *) .
d cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung khi và

chỉ khi ( *) có hai nghiệm phân biệt cùng đấu
m 2 + 8m + 20 > 0
∆ > 0
⇔
⇔
⇔ m < −4 . Vậy có 6 giá trị m nguyên trong
−
m
−
4
>
0
P > 0


nửa khoảng [ −10; −4 ) thỏa mãn đề bài. Chọn A.
2
Ví dụ 4. Cho parabol ( P ) : y = x − mx và đường thẳng ( d ) : y = ( m + 2 ) x + 1 ,
trong đó m là tham số. Khi parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân
biệt M, N, tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN là
A. một parabol. B. một đường thẳng. C. một đoạn thẳng. D. một điểm.

Hướng dẫn. Phương trình hồnh độ giao điểm của ( P ) và ( d ) :
x 2 − mx = ( m + 2 ) x + 1 ⇔ x 2 − 2 ( m + 1) x − 1 = 0 (*).

7


(*) có a, c trái dấu nên ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Do đó ( P ) và
( d ) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m. Khi đó xM , xN là hai
nghiệm phân biệt của (*).
x + xN
= m +1.
Theo Viet ta có xM + x N = 2 ( m + 1) . Ta có xI = M
2
2
Suy ra yI = ( m + 2 ) ( m + 1) + 1 = ( m + 1) + ( m + 1) + 1 = xI2 + xI + 1 .
Vậy I luôn thuộc parabol y = x 2 + x + 1 với mọi m. Đáp án A.
Chú ý: Cho hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
 x + xB y A + y B 
;
AB là I  A
÷.
2 
 2
Ví dụ 5. Cho hàm số y = x 2 + 3x có đồ thị ( P ) . Gọi S là tập hợp các giá trị của
tham số m để đường thẳng d : y = x + m 2 cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho trung điểm I của đoạn AB nằm trên đường thẳng d ′ : y = 2 x + 3 .
Tổng bình phương các phần tử của S là
A. 6 .
B. 4 .
C. 2 .

D. 1 .
Hướng dẫn. Phương trình hồnh độ giao điểm của d và ( P ) là:
x 2 + 3x = x + m 2 ⇔ x 2 + 2 x − m 2 = 0 (1).
Đề d cắt ( P ) tại 2 điểm phân biệt ∆′ > 0 ⇔ 1 + m 2 > 0, ∀m ∈ ¡ .
2
Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của phương trình (1), khi đó A ( x1 ; x1 + m ) ,

 x1 + x2 x1 + x2 + 2m 2 
;
B x2 ; x2 + m ⇒ I 
÷
2
 2

2
Theo Viét ta có x1 + x2 = −2; x1.x2 = −m 2 nên I −1; m − 1 .

(

2

)

(

)

Vì I thuộc d ′ nên m 2 − 1 = 1 ⇔ m 2 = 2 ⇔ m = ± 2 . Chọn B.
2.3.3. Dạng 3. Bài toán tương giao đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp:

 f ( x ) khi x > 0
* Hàm số y = f ( x ) = 
có đồ thị (C’) bằng cách:
 f ( − x ) khi x ≤ 0
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy , bỏ phần đồ thị (C) nằm
bên trái Oy .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy .
 f ( x ) khi f ( x ) > 0
* Hàm số y = f ( x ) = 
có đồ thị (C’) bằng cách:
− f ( x ) khi f ( x ) ≤ 0
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm
dưới trục Ox
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
x 2 − 2 x + 1 − m = 0 có bốn nghiệm phân biệt?
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
D. Vô số.
8


Hướng dẫn. Chọn A.
2
2
Cách 1: x − 2 x + 1 − m = 0 ⇔ x − 2 x + 1 = m ( *) . Số nghiệm của ( *) là số
2
giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 2 x + 1 và đường thẳng y = m .
2

Dễ thấy hàm số y = x − 2 x + 1 là một hàm số chẵn, do đó có đồ thị đối xứng
2
2
qua trục Oy. Mặt khác ta có y = x − 2 x + 1 = x − 2 x + 1 với x ≥ 0 .
2
Từ đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y = x − 2 x + 1 như sau:
- Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x + 1 ;
- Bước 2: Xóa phần nằm bên trái trục tung (ứng với x < 0 ) của đồ thị hàm số
y = x2 − 2 x + 1 ;
- Bước 3: Lấy đối xứng phần nằm bên phải trục tung (ứng với x ≥ 0 ) của đồ thị
hàm số y = x 2 − 2 x + 1 qua trục tung.

Quan sát trên đồ thị ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số
y = x 2 − 2 x + 1 tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m < 1. Suy ra khơng
có giá trị ngun nào của m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.
Cách 2: Đặt t = x , t ≥ 0 . Phương trình đã cho trở thành t 2 − 2t + 1 − m = 0 (**).
Ta thấy với t = 0 thì x = 0 , với t > 0 thì x = ±t .
Do đó để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì (**) phải có hai
1 − ( 1 − m ) > 0
∆ ' > 0
m > 0


⇔
⇔ 0 < m < 1.
nghiệm dương phân biệt ⇔  S > 0 ⇔ 2 > 0
m
<
1


P > 0
1 − m > 0


Do đó khơng có giá trị nguyên nào của m để phương trình đã cho có bốn nghiệm
phân biệt.
2
Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị như hình vẽ. Với những giá
trị nào của tham số m thì phương trình f ( x ) = m có đúng 4 nghiệm phân biệt.

A. 0 < m < 1 .
B. −1 < m < 0 .
Hướng dẫn. Chọn A.

C. m = −1 ; m = 3 .

D. m > 3 .

9


Số nghiệm của phương trình f ( x ) = m là số giao điểm của đồ thị y = f ( x )
và đường thẳng y = m . Ta có đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ dưới đây.

Do đó phương trình f ( x ) = m có đúng 4 nghiệm phân biệt ⇔ 0 < m < 1 .
Ví dụ 3. Biết S = ( a; b ) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đườg thẳng
y = m cắt đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 tại bốn điểm phân biệt. Tìm a + b .
A. a + b = 1 .
B. a + b = −1 .
C. a + b = 2 .

D. a + b = −2 .
Hướng dẫn. Chọn A.
 x 2 − 4 x + 3 khi x 2 − 4 x + 3 ≥ 0
2
Ta có y = x − 4 x + 3 = 
.
2
2
− ( x − 4 x + 3) khi x − 4 x + 3 < 0
2
Từ đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y = x − 4 x + 3 .
- Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 ;
- Bước 2: Giữ nguyên phần nằm trên trục Ox của đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 ;
- Bước 3: Lấy đối xứg phần nằm dưới trục Ox của đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 .

2
Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x − 4 x + 3 tại

bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m < 1. Vậy S = ( 0;1) . Suy ra a + b = 1 .
Ví dụ 4. Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
x x 2 − 4 x + 4 = m có 6 nghiệm phân biệt là khoảng ( a; b ) . Tính a + b .
A. a + b = 6 .
B. a + b = 4 .
C. a + b = 1 .
D. a + b = 2 .
Hướng dẫn. Ta có x

x2 − 4 x + 4 = m ⇔ x

( x − 2)

2

= m ⇔ x ( x − 2) = m

Phương trình x ( x − 2 ) = m là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị
hàm số y = x ( x − 2 ) và đường thẳng y = m .
Vẽ đồ thị hàm số y = x ( x − 2 ) :

- Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x ( x − 2 ) .
10


- Bước 2: Từ đồ thị hàm số y = x ( x − 2 ) suy ra đồ thị hàm số y = x ( x − 2 ) .

- Bước 3: Từ đồ thị hàm số y = x ( x − 2 ) suy ra đồ thị hàm số y = x ( x − 2 ) .

Quan sát đồ thị ta thấy phương trình x

x 2 − 4 x + 4 = m có 6 nghiệm phân

biệt khi và chỉ khi m ∈ ( 0;1) . Vậy a + b = 1 . Chọn C.
2
Ví dụ 5. Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị ( C ) (như hình vẽ). Có
bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để phương trình
f 2 ( x ) + ( m − 2 ) f ( x ) + m − 3 = 0 có 6 nghiệm phân biệt?
y

3
1 2

O

3

x

A. 1 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 2 .
Hướng dẫn. Từ đồ thị ( C ) suy ra đồ thị ( C ') của hàm số y = f ( x ) gồm 2
phần: Phần 1 giữ nguyên phần ( C ) bên phải trục Oy ; phần 2 lấy đối xứng phần
1 qua trục Oy .

11


 f ( x ) = −1 ( 1)
2

f
x
+
m
−
2
f
x
+
m

−
3
=
0
⇔
) ( )
( ) (
Ta có:
.
 f ( x ) = 3 − m ( 2 )
Từ đồ thị ( C ') ⇒ phương trình ( 1) có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình ( 2 ) có 4
nghiệm phân biệt, khác hai 2 nghiệm của phương trình ( 1) ( *) .
Từ đồ thị ( C ') , ta có ( *) ⇔ −1 < 3 − m < 3 ⇔ 0 < m < 4 .
Do đó có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Chọn B.
2
Ví dụ 6. Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị như hình vẽ. Hỏi với
những giá trị nào của tham số thực m thì phương trình f ( x ) +1 = m có đúng 3

nghiệm phân biệt
y



O

2

x

 

A. m = 4 .
B. m > 0 .
C. m >- 1 .
Hướng dẫn. Đồ thị hàm số cắt Oy tại ( 0;3) Þ c = 3 .
ìï - b
ï
=2
Đồ thị hàm số nhận ( 2; - 1) làm đỉnh nên ta có ïí 2a
ïï
ïỵ 4a + 2b + c =- 1

D. m = 2 .

ïì b =- 4a
ïì a = 1
. Ta có f ( x ) +1 = m Û y = f ( x ) = m - 1 .
ị ùớ
ùớ
ùùợ 4a + 2b =- 4 ùùợ b =- 4
Ta có đồ thị hàm y = f ( x ) ( C ) như hình vẽ.

12


Số nghiệm của phương trình f ( x ) +1 = m là số giao điểm của đồ thị hàm số
( C ) với đường thẳng y = m - 1 Û m - 1 = 3 Û m = 4 . Chọn A.
2
Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x − 9 x cắt đường

thẳng y = m tại 4 điểm phân biệt.
81
81
A. m < −3 .
B. m > − .
C. − < m < 0 .
D. m > 0 .
4
4
Hướng dẫn. Chọn C.
Cách 1:
2
2
Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x − 9 x = m ⇔ x − 9 x − m = 0 (1)
Đặt t = x , t ≥ 0 . Khi đó (1) ⇒ t 2 − 9t − m = 0 (2)
2
Đồ thị hàm số y = x − 9 x cắt đường thẳng y = m tại 4 điểm phân biệt khi và
chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
∆ > 0
81 + 4m > 0
81


⇔  S > 0 ⇔ 9 > 0
⇔ − < m < 0.
4
P > 0
−m > 0



2
Cách 2: Vẽ đồ thị hàm số y = x − 9 x

2
Dựa vào đồ thị suy ra đồ thị hàm số y = x − 9 x cắt đường thẳng y = m tại 4
81
điểm phân biệt khi và chỉ khi − < m < 0 .
4
2
Ví dụ 8. Cho phương trình x − 2 x − 2 x − m + 1 = 0 . Có bao nhiêu giá trị của
tham số m để phương trình có 3 nghiệm thực?
A. 4 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 2 .
2
( x − 1) = 2 ( x − m )
2

pt
⇔
x
−
1
=
2
x
−
m
⇔

(
)
Hướng dẫn.
2
( x − 1) = −2 ( x − m )
 − x 2 + 4 x − 1 = 2m
⇔ 2
.
x
+
1
=
2
m

2
2
Vẽ đồ thị hàm số y = − x + 4 x − 1 và y = x + 1 trên cùng 1 hệ trục tọa độ:

13


1

m=

 2m = 1
2
 2m = 2 ⇔  m = 1
Từ đồ thị suy ra để phương trình có 3 nghiệm thì 

. Chọn C.


 2m = 3
3
m =
2

2
Ví dụ 9. Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c có bảng biến thiên như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
f ( 2021x − 2022 ) − 2 = m có đúng ba nghiệm.
A. m = 1 .
B. m = 3 .
C. m = 2 .
D. không tồn tại m .
Hướng dẫn.
2
Dựa vào BBT ta thấy hàm số f ( x ) = ax + bx + c đạt GTNN bằng −1 tại x = 2
và có hệ số a > 0 . Ta biểu diễn được: f ( x ) = a ( x − 2 ) − 1 = ax 2 − 4ax + 4a − 1
2

Do đó f ( 2021x − 2022 ) = a ( 2021x − 2024 ) − 1
2

⇒ f ( 2021x − 2022 ) − 2 = a ( 2021x − 2024 ) − 3 .
2

Vậy GTNN của y = f ( 2021x − 2022 ) − 2 bằng −3 tại x =

2024
.
2021

BBT của hàm số y = f ( 2021x − 2022 ) − 2 có dạng:
x
2024
−∞
x1
x2
+∞
2021
+∞
+∞
3
y
0
0
Số nghiệm của phương trình f ( 2021 − 2022 ) − 2 = m chính là số giao điểm của
đồ thị hàm số y = f ( 2021x − 2022 ) − 2 và đường thẳng y = m .

Dựa vào BBT ta thấy phương trình f ( 2021x − 2022 ) − 2 = m có đúng ba
nghiệm khi m = 3 . Chọn B.

14


Ví dụ 10. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá
trị của tham số m để đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường y = m + 1 trên cùng

một hệ trục tọa độ tại 4 điểm phân biệt là

A. −3 < m < 0 .
B. 0 < m < 3 .
C. 1 < m < 4 .
D. −1 < m < 2 .
Hướng dẫn. Chọn D.
Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) , ta suy ra cách vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f ( x ) ở phía trên trục hoành.
- Lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục hoành qua trục hồnh.
- Xóa phần đồ thị phía dưới trục hoành.
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị hàm
số y = f ( x ) tại 4 điểm phân biệt ⇔ 0 < m + 1 < 3 ⇔ −1 < m < 2 .

.
Ví dụ 11. Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị ( C ) (như hình vẽ):
2

15


Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
f 2 ( x ) + ( m − 2 ) f ( x ) + m − 3 = 0 có 6 nghiệm phân biệt?
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
Hướng dẫn. * Vẽ đồ thị hàm số ( C ') của hàm số y = f ( x ) : Giữ nguyên phần
đồ thị ( C ) nằm phía bên phải trục Oy , bỏ đi phần đồ thị ( C ) bên trái trục Oy và
lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) phía bên phải trục Oy qua trục Oy .

( x ) = −1
.
 f ( x ) = 3 − m
f

2
* Ta có f ( x ) + ( m − 2 ) f ( x ) + m − 3 = 0 ⇔ 

* Từ đồ thị ( C ') , ta có:
- Phương trình f ( x ) = −1 có hai nghiệm là x = 2, x = −2 .

- Yêu cầu đề bài ⇔ phương trình f ( x ) = 3 − m có bốn nghiệm phân biệt khác
±2 suy ra đường thẳng d : y = 3 − m cắt đồ thị ( C ') tại bốn điểm phân biệt khác

A, B ⇔ −1 < 3 − m < 3 ⇔ 0 < m < 4 . Suy ra m ∈ { 1, 2,3} . Chọn C.
Ví dụ 12. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

2
Phương trình f ( x ) + f ( x ) − 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 .
B. 6 .
C. 8 .
Hướng dẫn. Chọn B.
Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x )

D. 7 .

16

 f ( x ) = 1 ( 1)
f 2( x ) + f ( x ) −2=0⇔ 
 f ( x ) = −2 ( 2 )
Số nghiệm của ( 1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường

thẳng y = 1, từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta suy ra ( 1) có 2 nghiệm phân biệt.

Số nghiệm của ( 2 ) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường

thẳng y = −2 , từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta suy ra ( 2 ) có 4 nghiệm phân biệt
(khác 2 nghiệm của ( 1) ). Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 13. Cho đồ thị hàm số f ( x ) =4ax 2 + bx + c như hình bên. Hỏi có bao
nhiêu giá trị nguyên của m trong đoạn [ 0;2022] để phương trình
3

ax + b | x | + c − m = 0 có hai nghiệm phân biệt?
A. 2020 .
B. 2019 .
C. 2022 .
2

D. 2021 .

y
O

1

2

x

 

 

Hướng dẫn.
2
2
2
Gọi ( C ) : y = ax + bx + c ; ( C1 ) : y = ax + b x + c; ( C2 ) : y = ax + b x + c
Từ ( C ) suy ra ( C1 ) như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị của ( C ) bên phải trục tung.
- Lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) bên phải trục tung qua trục tung.

17


Từ ( C1 ) suy ra ( C2 ) như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị ( C1 ) phía trên trục hoành.
- Lấy đối xứng phần đồ thị ( C1 ) phía dưới trục hồnh qua trục hồnh.

2
2
Ta có phương trình ax + b | x | + c − m = 0 ⇔ ax + b | x | +c = m ( *)

Khi đó số nghiệm của phương trình ( *) bằng số giao điểm giữa ( C2 ) và đường
m = 0
thẳng y = m . Vì vậy đề phương trình ( *) có hai nghiệm phân biệt ⇔ 

.
m > 3
m ∈ ¢
m ∈ ¢
⇒
⇒ m ∈ { 0;4;5;6;...;2022} .
Mà 
m
∈
0;2022
m
=
0
∨
m
∈
3;2022
(
[
]
]


Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài. Chọn A.
m 2022 + x + (m 2 − 2) 2022 − x
(Cm ) ,
Ví dụ 14. Cho hàm số y = f ( x) =
(m 2 − 1) x
( m : tham số). Số giá trị của m để đồ thị (Cm ) nhận trục Oy làm trục đối xứng là
A. 0.

B. 1.
C. 2.
D. 3.
Hướng dẫn. Tập xác định: D = [ −2022;2022] \ { 0} , m ≠ ±1
Đồ thị y = f ( x ) nhận trục Oy làm trục đối xứng khi f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈ D
⇔

m 2022 − x + ( m 2 − 2 ) 2022 + x
− ( m 2 − 1) x

=

m 2022 + x + (m 2 − 2) 2022 − x
, ∀x ∈ D .
(m 2 − 1) x

⇔ ( 2 − m 2 ) 2022 + x − m 2022 − x = m 2022 + x + ( m 2 − 2 ) 2022 − x , ∀x ∈ D

 m = 1( l )
. Vậy m = −2 . Chọn B.
⇔ 2 − m2 = m ⇔ 
 m = −2
Ví dụ 15. Số các giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −2021;2021] để phương trình:
x 2 + ( 2 − m ) x + 4 = 4 x 3 + 4 x (1) có nghiệm là
A. 2022 .
B. 2021 .
C. 2023 .
Hướng dẫn. ĐK: x ≥ 0
Ta có x 2 + ( 2 − m ) x + 4 = 4 x 3 + 4 x ⇔ x 2 + 4 + ( 2 − m ) x = 4

D. 2024 .

(x

2

+ 4 ) x (1)

Với x = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình.
18


x2 + 4
x2 + 4
(1)
Với x ≠ 0 phương trình
trở thành ⇔
+ ( 2 − m) = 4
(2)
x
x
x2 + 4
,t ≥ 2
x
Phương trình (2) trở thành: t 2 − 4t + 2 − m = 0 ⇔ t 2 − 4t + 2 = m (*)
Để pt(1) có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 .
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm y = t 2 − 4t + 2 và
đường thẳng y = m . Xét hàm số y = t 2 − 4t + 2 có đồ thị như hình vẽ
Đặt t =

Dựa vào đồ thị hàm số, để phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình (*)
có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 suy ra m ≥ −2 .
Suy ra số các giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −2021;2021] để phương trình có
nghiệm là 2024 . Chọn D.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Xem phần phụ lục).
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
2.4.1. Về phía học sinh.
Những giải pháp trên đã được tôi kiểm nghiệm qua thực tế dạy học trong
năm học 2021 - 2022 tại các lớp 10B5, 10B6. Tôi đã thực hiện ôn tập và rèn
luyện kĩ năng giải các bài toán liên quan đến sự tương giao giữa các đồ thị hàm
số, hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) cho học sinh và kết quả thu được rất
khả quan qua kiểm tra đánh giá phần này từ mức độ dễ đến khó.
Kết quả như sau:
Lớp
10B5 (42HS)
10B6 (41HS)

8-10
15
7

Điểm
6,5-dưới 8
5,0-dưới 6,5
16
10
14
15

Dưới 5,0

1
5

Qua điều tra đa số các em học sinh đã biết cách giải các bài toán về khai
thác đồ thị vào một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số, hàm số bậc hai
y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) . Các em cũng tự tin khi thực hành làm bài tập, luyện đề
trên lớp và ở nhà. Tất cả điều đó góp phần chuẩn bị tốt cả về kiến thức, kĩ năng,
học tập và lĩnh hội kiến thức mới, có nền tảng vững chắc về phần đồ thị và khai
19


thác đồ thị vận dụng vào các bài toán liên quan đối với các em học sinh lớp 10
THPT làm nền tảng kiến thức vững chắc ôn luyện ở lớp 12 phía trước.
2.4.3. Về phía giáo viên.
Tơi đã trao đổi và chia sẻ kinh nghiệm rèn luyện kĩ năng giải các bài toán
về khai thác đồ thị, các bài toán liên quan đến sự tương giao giữa các đồ thị hàm
số, hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) với các đồng nghiệp mơn Tốn trong
và ngồi trường. Hầu hết các giáo viên đều đánh giá cao về tính khoa học và tính
thực tiễn của đề tài.
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận.
Khi dạy chương 2 - Đại số lớp 10 "Hàm số bậc nhất và bậc hai " cùng với
việc dạy cho học sinh biết tìm tập xác định, xét tính đồng biến – nghịch biến, xét
tính chẵn lẻ, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0)
..., giáo viên cũng cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng khai thác đồ thị, đọc các
yếu tố của một số dạng bài toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc hai
y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) , các bài toán liên quan đến sự tương giao giữa các đồ
thị hàm số, hàm số bậc hai,.... Kĩ năng này sẽ giúp cho các em làm nhanh, làm
tốt dạng toán này trong các bài tập , bài kiểm tra, bài thi khảo sát,..., làm cơ sở
vững chắc cho phần hàm số ở lớp 12 sau này, thi Tốt nghiệp THPT trong tình

hình các em thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan và thời gian thi rút ngắn
chỉ còn lại 90 phút. Đề tài của tơi cũng chính là một kinh nghiệm để các thầy cơ
giáo dạy Tốn tham khảo nhằm nâng cao chất lượng, hiệu quả các giờ dạy Tốn
nói chung và dạy học phần giải toán rèn luyện kĩ năng giải các bài toán liên
quan đến sự tương giao giữa các đồ thị hàm số, hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c
( a ≠ 0) ở lớp 10 THPT nói riêng.
3.2. Kiến nghị.
1. Trong chương trình Sách giáo khoa lớp 10 mới sắp tới cần đưa phần giải
các bài toán khai thác đồ thị hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) vào chương
trình một cách hệ thống và khoa học, có thêm nhiều bài tập dạng trắc nghiệm
khách quan. Trong đó cần định hướng rõ hơn cho giáo viên về yêu cầu cần đạt
và phương pháp thực hiện. Đồng thời chương trình phải phát huy được tính chủ
động, tích cực của học sinh.
2. Sở Giáo dục và Đào tạo tổ chức các hội thảo Sáng kiến kinh nghiệm để các
giáo viên có điều kiện trao đổi kinh nghiệm dạy học nói chung và dạy đọc hiểu
văn bản nói riêng.
Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tơi trong quá trình dạy học rèn luyện kĩ
năng giải các bài toán về khai thác đồ thị và rèn luyện kĩ năng giải các bài toán
liên quan đến sự tương giao giữa các đồ thị hàm số, hàm số bậc hai
y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) cho học sinh lớp 10 THPT trong các giờ dạy học Tốn,
vì vậy khơng tránh khỏi cịn có những thiếu sót. Tơi rất mong nhận được sự
đánh giá góp ý của Hội đồng khoa học của ngành và các đồng nghiệp để đề tài
hồn thiện và có tính ứng dụng thực tiễn hiệu quả.
20


XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 17 tháng 05 năm 2022

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Tác giả

Nguyễn Thị Thức

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nhiều tác giả, SGK Đại số 10 (Nâng cao)
[2]. Nhiều tác giả, SGK Đại số 10 (Cơ bản).
[3]. Nhiều tác giả, SBT Đại số 10 (Cơ bản).
[4]. Nhiều tác giả, SBT Đại số 10 (Nâng cao).
[5]. Đề thi kiểm tra định kì lớp 10 của các trường THPT trên toàn quốc.
[6]. Đề thi khảo sát lớp 10 theo định hướng thi Tốt nghiệp THPT của các trường
THPT trên toàn quốc.
[7]. Nguồn Internet.
MỘT SỐ TỪ VIẾT TẮT
HS:
GV:
PT:
THPT:
KTHK:
SGK:
SBT:
BBT:
GTLN:
GTNN:

Học sinh
Giáo viên
Phương trình
Trung học phổ thơng
Kiểm tra học kì
Sách giáo khoa
Sách bài tập
Bảng biến thiên
Giá trị lớn nhất
Giá trị nhỏ nhất