Tài liệu xu ly am thanh hinh anh pdf

BÀI GIẢNG
Môn học:
XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
1
MỤC
LỤC
LỜI NÓI
ĐẦU 3
CHƯƠNG I. TÍN HIỆU RỜI RẠC VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
4
CHƯƠNG II. BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN
Z
.

34
CHƯƠNG III. PHÂN TÍCH PHỔ CỦA TÍN HIỆU
71
CHƯƠNG IV. BIỂU DIỄN, PHÂN TÍCH HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG
MIỀN
TẦN SỐ .
126
TÀI LIỆU THAM
KHẢO
PHỤ LỤC .
148
MỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH MẪU DÙNG PHẦN MỀM MATLAB TRONG XỬ
LÝ
TÍN HIỆU
SỐ.
LỜI NÓI
ĐẦU

Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing - DSP) hay tổng quát hơn, xử lý tín
hiệu
rời rạc theo thời gian (Discrete-Time Signal Processing - DSP) là một môn cơ sở
không
thể thiếu được cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: điện, điện tử, tự động hóa,
điều
khiển, viễn thông, tin học, vật lý, Tín hiệu liên tục theo thời gian (tín hiệu tương tự)
cũng
được xử lý một cách hiệu quả theo qui trình: biến đổi tín hiệu tương tự thành tín hiệu
số
(biến đổi A/D), xử lý tín hiệu số (lọc, biến đổi, tách lấy thông tin, nén, lưu trữ,
truyền, )
và sau đó, nếu cần, phục hồi lại thành tín hiệu tương tự (biến đổi D/A) để phục vụ cho
các
mục đích cụ thể. Các hệ thống xử lý tín hiệu số, hệ thống rời rạc, có thể là phần cứng
hay
phần mềm hay kết hợp cả
hai.
Xứ lý tín hiệu số có nội dung khá rộng dựa trên một cơ sở toán học tương đối
phức
tạp. Nó có nhiều ứng dụng đa dạng, trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Nhưng các ứng
dụng
trong từng lĩnh vực lại mang tính chuyên sâu. Có thể nói, xử lý tín hiệu số ngày nay đã
trở
thành một ngành khoa học chứ không phải là một môn học. Vì vậy, chương trình
giảng
dạy bậc đại học chỉ có thể bao gồm các phần cơ bản nhất, sao cho có thể làm nền tảng
cho
các nghiên cứu ứng dụng sau này. Vấn đề là phải chọn lựa nội dung và cấu trúc
chương

trình cho thích
hợp.
Nhằm mục đích xây dựng giáo trình học tập cho sinh viên chuyên ngành Điện tử
-
Viễn thông tại khoa Công nghệ thông tin môn học Xử lý tín hiệu số I, II, cũng như làm
tài
liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Công nghệ thông tin môn học Xử lý tín
hiệu
số, giáo trình được biên soạn với nội dung khá chi tiết và có nhiều ví dụ minh họa.
Nội
dung chủ yếu của giáo trình Xử lý tín hiệu số I bao gồm các kiến thức cơ bản về xử lý
tín
hiệu, các phương pháp biến đối Z, Fourier, DFT, FFT trong xử lý tín hiệu, phân tích
tín
hiệu và hệ thống trên các miền tương ứng. Nội dung chủ yếu của giáo trình Xử lý tín
hiệu
số II bao gồm các kiến thức về phân tích và tổng hợp bộ lọc số, các kiến thức nâng
cao
như bộ lọc đa vận tốc, xử lý thích nghi, xử lý thời gian – tần số wavelet, các bộ xử lý
tín
hiệu số và một số ứng dụng của xử lý số tín
hiệu.
CHƯƠNG
I
TÍN HIỆU RỜI RẠC VÀ HỆ THỐNG RỜI
RẠC
1.1. MỞ
ĐẦU
Sự phát triển của công nghệ vi điện tử và máy tính cùng với sự phát triển của
thuật

toán tính toán nhanh đã làm phát triển mạnh mẽ các ứng dụng của XỬ LÝ TÍN HIỆU
SỐ
(Digital Signal Proccessing). Hiện nay, xử lý tín hiệu số đã trở thành một trong
những
ứng dụng cơ bản cho kỹ thuật mạch tích hợp hiện đại với các chip có thể lập trình ở tốc
độ
cao. Xử lý tín hiệu số được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau
như:
- Xử lý tín hiệu âm thanh, tiếng nói: nhận dạng tiếng nói, người nói; tổng hợp tiếng
nói

/
biến văn bản thành tiếng nói; kỹ thuật âm thanh số
;…
- Xử lý ảnh: thu nhận và khôi phục ảnh; làm nổi đường biên; lọc nhiễu; nhận dạng;
thị

giác
máy; hoạt hình; các kỹ xảo về hình ảnh; bản
đồ;…
- Viễn thông: xử lý tín hiệu thoại và tín hiệu hình ảnh, video; truyền dữ liệu; khử
xuyên
kênh; điều chế, mã hóa tín hiệu;
…
- Thiết bị đo lường và điều khiển: phân tích phổ; đo lường địa chấn; điều khiển vị trí
và

tốc
độ; điều khiển tự
động;…

- Quân sự: truyền thông bảo mật; xử lý tín hiệu rada, sonar; dẫn đường tên
lửa;…
- Y học: não đồ; điện tim; chụp X quang; chụp CT(Computed Tomography
Scans);

nội soi;…
Có thể nói, xử lý tín hiệu số là nền tảng cho mọi lĩnh vực và chưa có sự biểu hiện
bão
hòa trong sự phát triển của
nó.
Việc xử lý tín hiệu rời rạc được thực hiện bởi các hệ thống rời rạc. Trong chương
1
này, chúng ta nghiên cứu về các vấn đề biểu diễn, phân tích, nhận dạng, thiết kế và
thực
hiện hệ thống rời
rạc.
1.2. TÍN HIỆU RỜI
RẠC
1.2.1. Định nghĩa tín
hiệu:
Tín hiệu là một đại lượng vật lý chứa thông tin (information). Về mặt toán học,
tín
hiệu được biểu diễn bằng một hàm của một hay nhiều biến độc
lập.
Tín hiệu là một dạng vật chất có một đại lượng vật lý được biến đổi theo qui luật
của
tin tức. Về phương diện toán học, các tín hiệu được biểu diễn như những hàm số của
một
hay nhiều biến độc lập. Chẳng hạn, tín hiệu tiếng nói được biểu thị như một hàm số
của

thời gian còn tín hiệu hình ảnh thì lại được biểu diễn như một hàm số độ sáng của hai
biến
số không gian. Mỗi loại tín hiệu khác nhau có các tham số đặc trưng riêng, tuy nhiên tất
cả
các loại tín hiệu đều có các tham số cơ bản là độ lớn (giá trị), năng lượng và công
suất,
chính các tham số đó nói lên bản chất vật chất của tín
hiệu.
Tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm của biên thời gian x(t), hoặc hàm của biến
tần
số X(f) hay
X(
ω ). Trong giáo trình này, chúng ta qui ước (không vì thế mà làm mất
tính
tổng quát) tín hiệu là một hàm của một biến độc lập và biến này là thời
gian.
Giá trị của hàm tương ứng với một giá trị của biến được gọi là biên độ (amplitude)
của
tín hiệu. Ta thấy rằng, thuật ngữ biên độ ở đây không phải là giá trị cực đại mà tín hiệu
có
thể đạt
được.
1.2.2. Phân loại tín
hiệu:
Tín hiệu được phân loại dựa vào nhiều cơ sở khác nhau và tương ứng có các cách
phân
loại khác nhau. Ở đây, ta dựa vào sự liên tục hay rời rạc của thời gian và biên độ để
phân
loại. Có 4 loại tín hiệu như
sau:

- Tín hiệu tương tự (Analog signal): thời gian liên tục và biên độ cũng liên
tục.
- Tín hiệu rời rạc (Discrete signal): thời gian rời rạc và biên độ liên tục. Ta có
thể
thu được một tín hiệu rời rạc bằng cách lấy mẫu một tín hiệu liên tục.
Vì vậy tín
hiệu
rời rạc còn được gọi là tín hiệu lấy mẫu (sampled
signal).
- Tín hiệu lượng tử hóa (Quantified signal): thời gian liên tục và biên độ
rời

rạc.

Đây
là tín hiệu tương tự có biên độ đã được rời rạc
hóa.
- Tín hiệu số (Digital signal): thời gian rời rạc và biên độ cũng rời rạc.
Đây
là
tín hiệu rời rạc có biên độ được lượng tử
hóa.
Các loại tín hiệu trên được minh họa trong hình
1.1.
Hình 1.1 Minh hoạ các loại tín
hiệu
1.2.3. Tín hiệu rời
rạc
-
dãy 1.2.3.1.

Cách

biểu
diễn:
Một tín hiệu rời rạc có thể được biểu diễn bằng một dãy các giá trị (thực hoặc
phức).
Phần tử thứ n của dãy (n là một số nguyên) được ký hiệu là x(n) và một dãy được ký
hiệu
như
sau:
x = {x(n)} với - ∞ < n < ∞
(1.1.a)
x(n) được gọi là mẫu thứ n của tín hiệu
x.
Ta cũng có thể biểu diển theo kiểu liệt kê. Ví
dụ:
x = { , 0, 2, -1, 3, 25, -18, 1, 5, -7, 0, }
(1.1.b)
Trong đó, phần tử được chỉ bởi mũi tên là phần tử rương ứng với n = 0, các phần
tử
tương ứng với n > 0 được xếp lần lượt về phía phải và ngược
lại.
Nếu x = x(t) là một tín hiệu liên tục theo thời gian t và tín hiệu này được lấy mẫu
cách
đều nhau một khoảng thời gian là Ts, biên độ của mẫu thứ n là x(nTs). Ta thấy, x(n)
là
cách viết đơn giản hóa của x(nTs), ngầm hiểu rằng ta đã chuẩn hoá trục thời gian theo
TS.
Ts gọi là chu kỳ lấy mẫu (Sampling
period).

Fs = 1/Ts được gọi là tần số lấy mẫu (Sampling
frequency).
Ví
dụ:
Một tín hiệu tương tự x(t) = cos(t) được lấy mẫu với chu kỳ lấy mẫu là Ts = (/8.
Tín
hiệu rời rạc tương ứng là x(nTs) = cos(nTs) được biểu diễn bằng đồ thị hình 1.2.a. Nếu
ta
chuẩn hóa trục thòi gian theo Ts thì tín hiệu rời rạc x = {x(n)} được biểu diễn như đồ
thị
hình
1.2.b.
Ghi
chú:
- Từ đây về sau, trục thời gian sẽ được chuẩn hóa theo Ts, khi cần trở
về
thời
gian
thực, ta thay biến n bằng
nTs.
- Tín hiệu rời rạc chỉ có giá trị xác định ở các thời điểm nguyên n.
chúng
có
giá
trị
bằng
0.
- Để đơn giản, sau này, thay vì ký hiệu đầy đủ, ta chỉ cần viết x(n) và
hiểu
đây là dãy x =

{x(n)}.
Hình 1.2 Tín hiệu rời
rạc
1.2.3.2. Các tín hiệu rời rạc cơ
bản
1/. Tín hiệu xung đơn vị (Unit inpulse
sequence):
Đây là một dãy cơ bản nhất, ký hiệu làĠ, được định nghĩa như
sau:
δ
(n)
=


1, n =
0

0, n ≠
0
δ(n)
=
{
,0, 0,,1,0 0,

,
}
.
(1.2)
(1.3)


Dãy
δ
(n) được biểu diễn bằng đồ thị như hình 1.3
(a)
2/. Tín hiệu hằng ( Constant sequence): tín hiệu này có giá trị bằng nhau với tất
cả
các giá trị chủa n. Ta
có:
x(n)=A, với − ∞ < n <
∞
{
x(n)
}
=

{ ,
A, A., A, A ,
A
}
(1.4)
(1.5)
Dãy hằng được biểu diễn bằng đồ thị như
hình
1.3.(b)
3/. Tín hiêu nhẫy bậc đơn vị (Unit step
sequence)
Dãy này thường được ký hiệu là u(n) và
được định nghĩa như
sau:


1
,

n

≥

0
u(n) =


0, n <
0
Dãy u(n) được biểu
diễn bằng đồ thị hình
1.3
(c).
(1.5)
Mối quan hệ giữa tín hiệu nhãy bậc đơn
vị với tín hiệu xung đơn
vị:
n
u(n) =
∑
δ
(k
)
⇔
δ
(n)

= u(n) −
u(n
−

1)
k

=
−
∞
(
1
.
6
)
với u(n-1) là tín hiệu u(n) được dịch phải
một
mẫu.
Hình
1.3
Các dãy cơ
a)
Dãy xung
b)
Dãy
hằng
c)
Dãy nhảy
d)
Dãy hàm

e)
f)
Dãy tuần
Dãy hình
4/. Tín hiệu hàm mũ (Exponential
sequence)
x(n) = A α
n
(1.7)
Nếu A và α là số thực thì đây là dãy thực. Với một dãy thực, nếu 0 < α < 1 và A>0
thì
dãy có các giá trị dương và giảm khi n tăng, hình 1.3(d). Nếu –1< α < 0 thì các giá trị
của
dãy sẽ lần lược đổi dấu và có độ lớn giảm khi n tăng.
Nếu
khi n
tăng.
5/. Tín hiệu tuần hoàn (Periodic
sequence)
α
>
1 thì độ lớn của dãy sẽ
tăng
Một tín hiệu x(n) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ N khi: x(n+N) = x(n), với mọi
n.
Một tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N=8 được biểu diễn bằng đồ thị hình 1.3(e). Dĩ
nhiên,
một tín hiệu hình sin cũng là một hiệu tuần
hoàn.
Ví dụ: x(n) =

sin


2
π

(n +
3)


là một tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ là N=5,
xem
hình1.3(f)
1.2.3.3. Các phép toán cơ bản của
dãy
Cho 2 dãy x
1
= {x
1
(n)} và x
2
= {x
2
(n)} các phép toán cơ bản trên hai dãy được
định
nghĩa như
sau:
1/. Phép nhân 2 dãy: y = x
1
. x

2
= {x
1
(n).x
2
(n)}
(1.8)
2/. Phép nhân 1 dãy với 1 hệ số: y = a.x
1
= {a.x
1
(n)}
(1.9)
3/. Phép cộng 2 dãy: y = x
1
+ x
2
= {x
1
(n) + x
2
(n)}
(1.10)
4/. Phép dịch một dãy (Shifting
sequence):
- Dịch phải: Gọi y là dãy kết quả trong phép dịch phải n
0
mẫu một
dãy x ta
có:

y(n) = x(n-n
0
), với n
0
> 0
(1.11)
- Dịch trái: Gọi z là dãy kết quả trong phép dịch trái n0 mẫu
dãy x ta
có:
z(n) = x(n+n
0
), với n
0
>
0 (1.12)
Phép dịch phải còn gọi là phép làm trễ (delay). Phép làm trễ một mẫu thường được
ký
hiệu bằng chữ D hoặc Z-1 . Các phép dịch trái và dịch phải được minh họa trong các
hình
1.4.
Hình
1.4:
(a) Dãy
x(n)
(b) Phép dịch phải 4 mẫu tr ên tín hiệu
x(n)
(c) Phép dịch trái 5 mẫu trên tín hiệu
x(n)
11
5



Nhận xét: Ta thấy, một tín hiệu x(n) bất kỳ có thể biểu diễn bởi tín hiệu xung đơn
vị
như
sau:
+∞
x(n) =
∑

x(k)δ (n −
k)
k

=−∞
(1.13)
Cách biểu diễn này sẽ dẫn đến một kết quả quan trọng trong phần
sau.
Ghi
chú:
Các phép tính thực hiện trên các tín hiệu rời rạc chỉ có ý nghĩa khi tần số lấy mẫu
của
các tín hiệu này bằng
nhau.
1.3. HỆ THỐNG RỜI
RẠC
1.3.1. Khái
niệm.
1.3.1.1. Hệ thống thời gian rời rạc (gọi tắt là hệ thống rời
rạc):

Hệ thống thời gian rời rạc là một toán tử (operator) hay là một toán thuật
(algorithm)
mà nó tác động lên một tín hiệu vào (dãy vào là rời rạc) để cung cấp một tín hiệu ra (dãy
ra
là rời rạc) theo một qui luật hay một thủ tục (procedure) tính toán nào đó. Định nghĩa
theo
toán học, đó là một phép biến đổi hay một toán tử (operator) mà nó biến một dãy vào
x(n)
thành dãy ra
y(n).
Ký hiệu: y(n) = T{x(n)}
(1.14)
Tín hiệu vào được gọi là tác động hay kích thích (excitation), tín hiệu ra được gọi
là
đáp ứng (response). Biểu thức biểu diễn mối quan hệ giữa kích thích và dáp ứng được
gọi
là quan hệ vào ra của hệ
thống.
Quan hệ vào ra của một hệ thống rời rạc còn được biểu diễn như hình
1.5.
Hình 1.5. Ký hiệu một hệ
thống
Ví dụ 1.1: Hệ thống làm trễ lý tưởng được định nghĩa bởi phương
trình:
y(n) = x(n – n
d
) , với -∞ < n <
∞ (1.15)
n
d

là một số nguyên dương không đổi gọi là độ trễ của hệ
thống.
Ví dụ 1.2: Hệ thống trung bình động (Moving average system) được định nghĩa
bởi
phương
trình:
y(n) =
1
M
∑

x(n −
k

)
M

1
+
M
2
+
1
k

=−

M
(1.16)
y(n)

=
M

1
1
+ M
2
{
x(n
+
M

1
+
1
) + x(n +
M

1
−
1) + + x(n) + x(n
−
1) + + x(n −
M
2
)
}
với M1 và M2 là các số nguyên
dương.
Hệ thống này tính mẫu thứ n của dãy ra là trung bình của (M1 + M2 + 1) mẫu của

dãy
vào xung qu /Anh mẫu thứ n, từ mẫu thứ n-M2 đến mẫu thứ n+M1
.
1.3.1.2. Đáp ứng xung (impulse response) của một hệ thống rời
rạc
Đáp ứng xung h(n) của một hệ thống rời rạc là đáp ứng của hệ thống khi kích thích
là
tín hiệu xung đơn vị ((n), ta
có:
h(n) =
T
{
δ

(n)
}
hay
δ
(n) →
[
T

]
→

h(n)
(1.17)
Trong các phần sau, ta sẽ thấy, trong các điều kiện xác định đáp ứng xung của một
hệ
thống có thể mô tả một cách đầy đủ hệ thống

đó.
Ví dụ 1.3: Đáp ứng xung của hệ thống trung bình động
là:
M



1


y(n) =
1
2
∑
δ
(n − k)
=

M

1
+ M
2
,−M

1
≤ n ≤ M
2
+
1

(1.1.8)
M

1
+
M
2
+
1
k

=−

M

0, n
≠
1.3.1.3. Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ
khối
Để có thể biểu diễn một hệ thống bằng sơ đồ khối, ta cần định nghĩa các phần tử
cơ
bản. Một hệ thống phức tạp sẽ là sự liên kết của các phần tử cơ bản
này.
1/. Phần tử nhân dãy với dãy (signal multiplier), tương ứng với phép nhân hai dãy,
có
sơ đồ khối như
sau:
2/. Phần tử nhân một dãy với một hằng số (Constant multiplier), tương ứng với
phép
nhân một hệ số với một dãy, có sơ đồ khối như

sau:
3/. Phần tử cộng (Adder), tương ứng với phép cộng hai dãy, có sơ đồ khối như
sau:
4/. Phần tử làm trễ một mẫu (Unit Delay Element): tương ứng với phép làm trễ
một
mẫu, có sơ đồ khối như
sau:
Trong các phần sau, ta sẽ thành lập một hệ thống phức tạp bằng sự liên kết các phần
tử
cơ bản
này.
1.3.2. Phân loại hệ thống rời
rạc
Các hệ thống rời rạc được phân loại dựa vào các thuộc tính của nó, cụ thể là các
thuộc
tính của toán tử biểu diễn hệ thống
(T).
1/. Hệ thống không nhớ (Memoryless
systems):


1

Hệ thống không nhớ còn được gọi là hệ thống tĩnh (Static systems) là một hệ thống
mà
đáp ứng y(n) ở mỗi thời điểm n chỉ phụ thuộc vào giá trị của tác động x(n) ở cùng
thời
điểm n
đó.
Một hệ thống không thỏa mãn định nghĩa trên được gọi là hệ thống có nhớ hay

hệ
thống động (Dynamic
systems).
Ví dụ
1.4:
- Hệ thống được mô tả bởi quan hệ vào ra như sau: y(n) = [x(n)]2 ,
với
mọi giá trị của n, là một hệ thống không
nhớ.
- Hệ thống làm trễ trong ví dụ 1.1, nói chung là một hệ thống có nhớ khi
n
d
>0.
- Hệ thống trung bình động trong ví dụ 1.2 là hệ thống có nhớ, trừ khi
M
1
=M
2
=0.
2/. Hệ thống tuyến tính (Linear
systems)
Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu nó thỏa mãn nguyên lý chồng chất
(Principle
of superposition). Gọi y1(n) và y2(n) lần lượt là đáp ứng của hệ thống tương ứng với
các
tác động x1(n) và x
2
(n), hệ thống là tuyến tính nếu và chỉ
nếu:
T{ax

1
(n)+bx
2
(n)}=aT{ax
1
(n)}+bT{bx
2
(n)}=ay
1
(n)+by
2
(n)
(1.19)
với a, b là 2 hằng số bất kỳ và với mọi
n.
Ta thấy, đối với một hệ thống tuyến tính, thì đáp ứng của một tổng các tác động
bằng
tổng đáp ứng của hệ ứng với từng tác động riêng
lẻ.
Một hệ thống không thỏa mãn định nghĩa trên được gọi là hệ thống phi
tuyến
(Nonliear
systems).
Ví dụ 1.5: Ta có thể chứng minh được hệ thống tích lũy (accumulator) được
định
nghĩa bởi quan
hệ:
n
y(n) =
∑

x(k)
k

=−∞
(1.20)
là một hệ thống tuyến tính. Hệ thống này được gọi là hệ thống tích lũy vì mẫu thứ n
của
đáp ứng bằng tổng tích lũy tất cã các giá trị của tín hiệu vào trước đó đến thời điểm thứ
n.
Chứng minh:
Đặt
n
y
1
(n) =
∑

x(k)
và
k

=−∞
n
y
2
(n) =
∑

x(k

)
thì
k

=−∞
n
y(n) =
T

{
ax
1

(n) + bx
2
(n)
}
=

∑
{
ax
1

(k
) + bx
2
(k

)
}
=
k

=−∞
n n n
n
=
∑
{
ax
1

(k
)
}
+
∑
{
bx
1

(k

)
}
=
a
∑

x
1
(k
) + b
∑

x
2
(k
) = ay
1
(n) + by
2
(n)
k

=−∞ k

=−∞ k

=−∞ k

=−∞
với a và b là các hằng số bất kỳ. Vậy hệ thống này là một hệ thống tuyến
tính.
3/. Hệ thống bất biến theo thời gian (Time-Invariant
systems)
Một hệ thống là bất biến theo thời gian nếu và chỉ nếu tín hiệu vào bị dịch n
d

mẫu
thì
đáp ứng cũng dịch n
d
mẫu, ta
có:
Nếu y(n) =T{x(n)} và x1(n) =
x(n-n
d
)
thì y
1
(n) = T{x
1
(n)} = {x(n-n
d
)} = y(n - n
d
)
(1.21)
Ta có thể kiểm chứng rằng các hệ thống trong các ví dụ trước đều là hệ thống bất
biến
theo thời
gian.
Ví dụ 1.6: Hệ thống nén (compressor) được định nghĩa bởi quan
hệ:
y(n) = x(M.n)
(1.22)
với -∞ < n < ∞ và M là một số nguyên
dương.

Hệ thống này được gọi là hệ thống nén bởi vì nó loại bỏ (M-1) mẫu trong M mẫu
(nó
sinh ra một dãy mới bằng cách lấy một mẫu trong M mẫu). Ta sẽ chứng minh rằng
hệ
thống này không phải là một hệ thống bất
biến.
Chứng minh: Gọi y
1
(n) là đáp ứng của tác động x
1
(n), với x
1
(n) = x(n – n
d
),
thì:
y
1
(n) = x
1
(Mn) = x(Mn –
n
d
)
Nhưng: y(n-n
d
) = x[M(n-n
d
)] (
y

1
(n))
Ta thấy x
1
(n) bằng x(n) được dịch n
d
mẫu, nhưng y
1
(n) không bằng với y(n)
trong
cùng phép dịch đó. Vậy hệ thống này không là hệ thống bất biến, trừ khi M =
1.
4/. Hệ thống nhân quả (Causal
systems)
Một hệ thống là nhân quả nếu với mỗi giá trị n
0
của n, đáp ứng tại thời điểm n=n
0
chỉ
phụ thuộc vào các giá trị của kích thích ở các thời điểm n ≤ n
0
. Ta thấy, đáp ứng của hệ
chỉ
phụ thuộc vào tác động ở quá khứ và hiện tại mà không phụ thuộc vào tác động ở
tương
lai. Ta
có;
y(n) = T{x(n)} = F{x(n),x(n-1),x(n-2),. .
.}
với F là một hàm nào

đó.
Hệ thống trong ví dụ 1.1 là nhân quả khi n
d
≥ 0 và không nhân quả khi n
d
<
0.
Ví dụ 1.7: Hệ thống sai phân tới (Forward difference systems) được định nghĩa
bởi
quan
hệ:
y(n) = x(n+1)- x(n)
(1.23)
Rõ ràng y(n) phụ thuộc vào x(n+1), vì vậy hệ thống này không có tính nhân
quả.
Ngược lại, hệ thống sai phân lùi (Backward difference systems) được định nghĩa
bởi
quan hệ: y(n) = x(n) – x(n-1)
(1.24)
là một hệ thống nhân
quả.
5/. Hệ thống ổn định (Stable
systems)
Một hệ thống ổn định còn được gọi là hệ thống BIBO (Bounded-Input
Bounded-
Output) nếu và chỉ nếu với mỗi tín hiệu vào bị giới hạn sẽ cung cấp dãy ra giới
hạn.
Một dãy vào x(n) bị giới hạn nếu tồn tại một số dương hữu hạn Bx sao
cho:
|x(n)| ≤ Bx < +∞ , với mọi n

(1.25)
Một hệ thống ổn định đòi hỏi rằng, ứng với mỗi dãy vào hữu hạn, tồn tại một số
dương
By hữu hạn sao
cho:
|y(n)| ≤ By < +∞ , với mọi n
(1.26)
Các hệ thống trong các ví dụ 1.1; 1.2; 1.3 và 1.6 là các hệ thống ổn định. Hệ thống
tích
lũy trong ví dụ 1.5 là hệ thống không ổn
định.
Ghi chú: Các thuộc tính để phân loại hệ thống ở trên là các thuộc tính của hệ
thống
chứ không phải là các thuộc tính của tín hiệu vào. Các thuộc tính này phải thỏa mãn
vời
mọi tín hiệu
vào.
1.4. HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN THEO THỜI GIAN (LTI:
Linear

Time- Invariant
System)
1.4.1. Khái
niệm
Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian là hệ thống thỏa mãn đồng thời hai
tính
chất tuyến tính và bất
biến.
Gọi T là một hệ thống LTI, sử dụng cách biểu diễn ở pt(1.13) và pt(1.14), ta có
thể

viết:
◻
∞

y(n)=T{x(n)}=T


∑

x(k)δ (n
−

k)

(1.27)
với k là số
nguyên.
k =−∞

Áïp dụng tính chất tuyến tính, pt(1.27) có thể được viết
lại:
y(n)
=
∞
∑

x(k)T{δ (n
−

k)}

K
=−∞
(1.28)
Đáp ứng xung của hệ thống là: h(n) = T{((n)}, vì hệ thống có tính bất biến,
nên:
h(n - k) = T{δ(n - k)}
(1.29)
Thay pt(1.29) vào pt(1.28) ta
có:
∞
y(n) =
∑

x(k
)h(n
−

k

)
k
=−∞
(1.30)
Từ pt(1.30), ta thấy một hệ thống LTI hoàn toàn có thể được đặc tả bởi đáp ứng
xung
của nó và ta có thể dùng pt(1.30) để tính đáp ứng của hệ thống ứng với một kích thích
bất
kỳ. Hệ thống LTI rất thuận lợi trong cách biểu diễn cũng như tính toán, đây là một
hệ
thống có nhiều ứng dụng quan trọng trong xử lý tín

hiệu.
1.4.2. Tổng chập (CONVOLUTION
SUM)
1.4.2.1. Định nghĩa: Tổng chập của hai dãy x1(n) và x
2
(n) bất kỳ, ký
hiệu:

*
,
được định nghĩa bởi biểu thức
sau:
∞
y(n) = x
1
(n) * x
2
(n) =
∑

x
1
(n)x
2
(n
−
k

)
k

=−∞
(1.31)
Pt(1.30) được viết lại: y(n) = x(n)*h(n)
(1.32)
Vậy, đáp ứng của một hệ thống bằng tổng chập tín hiệu vào với đáp ứng xung của
nó.
1.4.2.2. Phương pháp tính tổng chập bằng đồ
thị
Tổng chập của hai dãy bất kỳ có thể được tính một cách nhanh chóng với sự trợ
giúp
của các chương trình trên máy vi tính. Ở đây, phương pháp tính tổng chập bằng đồ
thị
được trình bày với mục đích minh họa. Trước tiên, để dễ dàng tìm dãy x
2
(n-k), ta có
thể
viết
lại:
x
2
(n-k) = x
2
[-(k - n)]
(1.33)
Từ pt(1.33), ta thấy, nếu n>0, để có x
2
(n-k) ta dịch x
2
(-k) sang phải n mẫu, ngược
lại,

nếu n<0 ta dịch x
2
(-k) sang trái |n| mẫu. Từ nhận xét này, Ta có thể đề ra một qui trình
tính
tổng chập của hai dãy , với từng giá trị của n, bằng đồ thị như
sau:
Bước 1: Chọn giá trị của
n.
Bước 2: Lấy đối xứng x
2
(k) qua gốc tọa độ ta được
x
2
(-k).
Bước 3: Dịch x
2
(-k) sang trái |n| mẫu nếu n<0 và sang phải n mẫu nếu n>0, ta
được
dãy
x
2
(n-k).
Bước 4:Thực hiện các phép nhân x1(k).x
2
(n-k), với -∞ < k <
∞
Bước 5: Tính y(n) bằng cách cộng tất cả các kết quả được tính ở bước
4.
Chọn giá trị mới của n và lặp lại từ bước
3.

Ví dụ 1.8: Cho một hệ thống LTI có đáp ứng xung là
:

1,0
≤
n
≤
N
−

1
h(n) = u(n) − u(n −
N
) =


0, n
≠
(1.34)
tín hiệu vào là: x(n) = a
n
u(n). Tính đáp ứng y(n) của hệ thống, với N> 0 và
|a|<1.
Giải:
Từ phương trình ta
có:
pháp đồ
thị.
∞
y(n) = x(n) * h(n) =

∑

x(k)h(n − k) , ta sẽ tính y(n)
bằng

phương
k

=−∞
@ Với n < 0: Hình 1.5(a). trình bày hai dãy x(k) và h(n-k) torng trường hợp n <
0
(với N = 4 và n = -3). Ta thấy trong trường hợp này, các thành phần khác 0 của x(k)
và
h(n-k) không trùng nhau, vì
vậy:
y(n) = 0, với mọi n < 0.
(1.35)
@ Với 0 ≤ n < N-1: Hình 1.5(b). trình bày hai dãy x(k) và h(n-k), trong trường này,
ta
thấy:
x(k).h(n-k) = a
k
nên:
n
y(n) =
∑
a

K
k

=0
(1.36)
Ta thấy, y(n) chính là tổng (n+1) số hạng của một chuỗi hình học có công bội là a,
áp
dụng công thức tính tổng hữu hạn của chuỗi hình học, đó
là:
∑

q

K
=
q
−
q

M
+
1
(1.37)
, M >
N
k

=

N
1 −
q

n+1
y(n)

=

1 − a


1 −
a
(1.38)
M
N
Hình 1.5 : Các dãy xuất hiện trong quá trình tổng chập. (a);(b);(c)Các dãy x(k) và
h(n-
k) như là một hàm của k với các giá trị khác nhau cảu n (chỉ các mẫu khác 0 mới
được
trình bày ); (d) Tổng chập y(n) = x(n) *
h(n).
- Với (N-1) < n: Hình 1.5(b). trình bày hai dãy x(k) và h(n-k), tương tự như trên
ta
có: x(k).h(n-k) =
ak
y(n)
=
n
∑

a

k
, n >
N
−

1
k

=n−
N
+1
a

n−
N +1
−

a

n+1


1 − a
N

(1.39)
y(n)
=
1 −
a

=

a

n−
N +1



1 − a

Tổng hợp các kết quả từ các phương trình trên ta
được:


0, n <
0

1
−

a

n+1
y(n) =

,0 ≤ n ≤ N
−

1



1 −
a



1 − a
N

(1.40)

a

n−
N +1


, N
−
1,
n



1 − a

Ví dụ này tính tổng chập trong trường hợp đơn giản. Các trường hợp phức tạp
hơn,
tổng chập cũng có thể tính bằng phương pháp đồ thị, nhưng với điều kiện là 2 dãy phải

có
một số hữu hạn các mẫu khác
0.

1.4.2.3. Các tính chất của tổng
chập
Vì tất cả các hệ thống LTI đều có thể biểu diễn bằng tổng chập, nên các tính chất
của
tổng chập cũng chính là các tính chất của hệ thống
LTI.
a) Tính giao hoán (Commutative): cho 2 dãy x(n) và h(n) bất kỳ, ta
có:
y(n) = x(n)*h(n) = h(n)*x(n)
(1.41)
Chứng minh: Thay biến m=n-k vào pt (1.33), ta
được:
∞
y(n) =
∑

x(k
)h(n −
k
)
=
k
=−∞
∞
∑

x(n
−

m)h(m)
m=−∞
(1.42)
hay
:
∞
y(n) =
∑

x(n − m)h(m) = h(n)
*

x(n)
m=−∞
(1.43)
b) Tính phối hợp (Associative): Cho 3 dãy x(n), h1 (n) và h2(n), ta
có:
y(n)
= [x(n)*h
1
(n)]*h
2
(n) = x(n)*[h
1
(n)*h
2
(n)]

(1.44)
Tính chất này có thể chứng minh một cách dễ dàng bằng cách dựa vào biểu thức
định
nghĩa của tổng
chập.
Hệ quả 1: Xét hai hệ thống LTI có đáp ứng xung lần lược là h1(n) và h2(n) mắc
liên
tiếp (cascade), nghĩa là đáp ứng của hệ thống thứ 1 trở thành kích thích của hệ thống thứ
2
(hình 1.6(a)). Áp dụng tính chất phối hợp ta
được:
y(n) = x(n)*h(n) = [x(n)*h
1
(n)]*h
2
(n) =
x(n)*[h
1
(n)*h
2
(n)]
hay h(n) = h
1
(n)*h
2
(n) = h
2
(n)*h
1
(n) ( tính giao hoán)

(1.45)
Từ pt(1.45) ta có được các hệ thống tương đương như các hình 1.6 b,
c.
x(n)
h
1
(n)
h
2
(n)
y(n)
(a)
x(n)
h
2
(n) h
1
(n)
y(n)
x(n)
(b)
h
1
(n)*h
2
(n)
y(n)
(c)
Hình 1.6 – Hai hệ thống mắc nối
tiếp

và các sơ đồ tương
đương
c) Tính chất phân bố với phép cộng (Distributes over addition): tính chất này
được
biểu diễn bởi biểu thức
sau:
y(n) = x(n)*[h
1
(n) + h
2
(n)] = x(n)*h
1
(n) + x(n)*h
2
(n)
(1.46)
và cũng này có thể chứng minh một cách dễ dàng bằng cách dựa vào biểu thức
định
nghĩa của tổng
chập.