6 bài hinh hoc kinh dien

Bài 1: Bài toán 3 đường cao trong 1 tam giác

Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H
Yêu cầu bắt buộc : liệt kê đủ các tứ giác nội tiếp hiện diện trong hình ( vd: BCEF,
ADEB,BFDH…….. )
Tính chất 1: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Cminh : +) AEDB nội tiếp nên vậy nên vậy nên DH là phân giác góc , tương tự FH là phân giác
góc DFE
Tính chất 2: H và Q đối xứng nhau qua trục AB , tương tự H và L đối xứng nhau qua BC , và H
và P đối xứng nhau qua AC
Cminh :
+) H và Q đối xứng nhau qua AB ( 2 trường hợp kia tương tự )
( AQBC nt ) và BA là đường trung trực của QH
+) mở rộng tính chất 2 ta có tính chất sau : 3 cạnh tam giác DEF là 3 đường trung bình tam
giác LPQ
Tính chất 3: BHCK là hình bình hành và AH =2OM ( M là trung điểm BC ), 1 số bài tốn có thể
đặt thêm vấn đề H,K,M thẳng hàng
Vì CK vng AC nên CK//BH tương tự có BK // CH nên BHCK là hình bình hành
BHCK hbh nên M là trung điểm HK và OM là đường trung bình tam giác AHK nên AH
=2OM
Tính chất 4 : DFEM là tứ giác nội tiếp ( xem lại chứng minh trong bài tốn đường trịn Ơ le
trong lý thuyết )




Mở rộng tính chất 4 ta có tính chất sau : TD.TM =TB.TC ( cùng bằng TE.TF theo phương tích )
Tính chất 5: Suy ra từ phương tích tính chất 4 ta có các tính chất mở rộng sau :
 ARDM tgnt
 ARFE tgnt 5 điểm A,R,F,H,E cùng thuộc đường trịn đường kính AH
 R,H,M,K thẳng hàng ( vì AR vng góc RK và AR vng RH )

 H là trực tâm tam giác ATM suy ra TH vng góc AM
Tính chất 6: BLKC là hình thang cân
CM: LK //BC nên BLKC là hình thang mà BLKC lại là tứ giác nội tiếp nên BLKC là hình thang cân
Tính chất 7: Bán kính OA vng góc đường nối chân 2 đường cao EF ( 2 đường cao từ B và C )
CM : Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) , cm Ax// EF ()
Một số tính chất nâng cao từ bài tốn này :

Tính chất 8: HP=HQ với P, Q lần lượt là giao điểm của AB và AC với đường thẳng qua H vuong
góc HK ( hoặc HM với M là trung điểm BC )
 HPBK là tgnt
 BHCK là hbh ( đã cm ) nên góc HBK=góc HCK từ đó
Tính chất 9: Từ C kẻ CN vng góc AK khi đó có MD=MN
Chứng minh :
+) ADCN là tứ giác nội tiếp nên
+)
+)Tam giác OAC cân ở O nên nên MD=MN ( đpcm )
Bài toán 2: 1 điểm ngồi đường trịn kẻ 2 tiếp tuyến đến đường tròn ấy
Bài 3.1
MA,MB là các tiếp tuyến, MCD là cát tuyến ( C nằm giữa M và D )


Một số câu hỏi liên quan
1. MA2=MC.MD và MB2=MC.MD ( chứng minh thông qua tam giác đồng dạng )
2. CHOD là tứ giác nội tiếp ( chứng minh MH.MO = MC.MD =MA 2)
3. HA là tia phân giác góc ( chứng minh: góc dẫn đến 2 góc bằng nhau vì cùng phụ 2 góc
bằng nhau
4. Nếu gọi K là giao điểm OI và AB thì KC và KD là các tiếp tuyến của (O)( CM : có
OI.OK=OH.OM ( tam giác đồng dạng OHK từ đó có đpcm thơng qua cặp đồng dạng tgOID
và tgODK)
5. E và F lần lượt là giao diểm KC với MA và MB , N là giao điểm AB và OE . Khi ấy FN vng

góc OE
CM: đường trịn đường kính OF nên
6. AD.BC = AC.BD ( tích các cặp cạnh đối của tứ giác
( CM : MAC đồng dạng MDA nên MDB nên ( đpcm )
7. Kẻ dây cung QD // AB .Khi đó C,H,Q thẳng hàng ( CM D:ùng pp góc đối đỉnh , vì OH là
trung trực của AB nên OH cũng là trung trực của QD nên Q đối xứng D qua trục OH nên


8 . 5 điểm A,B,O,M,I cùng thuộc 1 đường tròn và IM là tia phân giác góc ( tự cm )
Bài tốn 3: Tính chất đường thẳng Sim Sơn và đường thẳng Steiner
Đường thẳng Sim sơn

Tính chất : ABC nội tiếp đường tròn, M thuộc đường tròn , P,Q,K lần lượt là hình chiếu vng
góc của M lên 3 cạnh AB,BC,CA .Khi đó P,Q,K thẳng hàng ( đường thẳng qua P,Q,K gọi là đường
thẳng Sim Sơn của tam giác ABC)
Chứng minh BQMP nội tiếp và MCKQ nội tiếp nên = vậy nên P,Q,K thẳng hàng
Đường thẳng Steiner


Tính chất : M thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC , gọi N, P, Q lần lượt đối xứng với M
qua AB,BC,CA và gọi H là trực tâm tam giác ABC .Khi đó 4 điểm N,P,H,Q thẳng hàng ( cùng
nằm trên đường thẳng Steiner của tam giác ABC )
Chứng minh : dựa vào tính chất thẳng hàng của bài toán định lý Sim sơn nên N,P,Q thẳng
hàng ,
+) Chứng minh AHBN là tứ giác nội tiếp
CM: Vì M và N đối xứng nhau qua AB nên ta có và
+) Tương tự các tứ giác AHCQ nội tiếp và BPHC nội tiếp ( chứng minh tương tự )
 Để ý các tứ giác AHBN nội tiếp và AHCQ nội tiếp từ đó vậy nên N,H,Q thẳng hàng cuối
cùng N,P,H,Q thẳng hàng
Bài tốn 4: Bài tốn về tam giác vng nội tiếp 1 đường trịn

Trích đề tuyển sinh 2012 TPHCM

Bài tốn : Cho đường trịn (O,R) đường kính BC .Lấy điểm A trên đường tròn sao cho AB>AC .Từ
A kẻ AH vng góc BC và từ H kẻ HE và HF lần lượt vng góc với AB và AC
Tính chất : 1) AEHF là hình chữ nhật ( tự chứng minh )
2)BECF là tứ giác nội tiếp ( AE.AB = AF.AC =AH2)


3) OA vng góc EF
Chứng minh : ( phương pháp cộng góc)
 tam giác OAB cân tại O nên và BEFC nội tiếp nên =
4)Chứng minh ; AP =AQ và AP2=AE.AB và AP=AQ=AH
 OA vuông EF hay OA vuông PQ mà OP=OQ nên AP=AQ
 APEAP2=AE.AB và AE.AB =AH2 nên AP=AQ=AH

 5) EF cắt BC tại D, AD cắt (O) tại K .chứng minh : AK vng góc KH
CM : DK.AD = DB.DC ( phương tích ) và DE.DF =DB.DC( phương tích ) nên
DK.DA=DE.DF suy ra EFKA là tứ giác nội tiếp , kết hợp thêm AEHF nt thì 5 điểm
A,E,H,F,K cùng thuộc 1 đương trịn đường kính AH suy ra đpcm
 6) Cminh : IH2=IF.IK
2
=IF.IK
 7) CM : KFCD là tứ giác nội tiếp ()
 8) IH2=IC.ID (IC.ID =IF.IK theo phương tích và IH 2=IF.IK đã cm )
Bài 5: Đường trịn đường kính BC cắt 2 cạnh AB, AC tạo thành 2 đường cao của tam
giác ABC

1) Tính chất EFDO nội tiếp ( tính chất đường trịn Euler đã chứng minh )
2) KF.KE = KB.KC = KD.KO = KO2-R2 ( R: bán kính đường trịn đường kính BC )( chứng minh
bằng phương tích )

3) ANOD là tứ giác nội tiếp và AN2=AH.AD( vì AN2= AE.AC =AH.AD )


4) OA vng góc HN
Chứng minh : ANH đồng dạng AND( c.g.c) ( ONAD nt )
Nên ta có
5) KD.DO= R2-OD2=DB.DC =DH.DA ( chú ý DB.DC = R2-OD2 và DB.DC =DH.DA )
Chứng minh : ta có KD.DO+DO2=DO ( KD+DO)= DO.KO =KO(KO – KD)= KO2 -KO.KD = R2
( theo tính chất 2)
6) K,H, N thẳng hàng ( gợi ý : chứng minh H là trực tâm tam giác OKA bằng hệ thức DH.DA
= KD.DO

7) Tính chất 5 điểm I,E,F,D,O cùng thuộc đường trịn IO ( đường trịn Euler) và FE vng
góc IO ( cm : IO là đường trung trực của EF )
8) IE2=IR.ID ( tam giác đồng dạng )
9) R là trực tâm tam giác BIC
Chứng minh : DR.DI = DI2- IR.ID =DI2- IE2= DI2- IA2= (DI-IH) ( DI+IA)= DH.DA = DB.DC
vậy nên tam giác DBR đồng dạng DIC từ đó có đpcm
10) Chứng minh :
CM : DH.DA = DR.DI và DH+DA =2DI