Tài liệu luận văn:bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương (hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu) để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm pot

Đồ án tốt nghiệp



- 1 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48



ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP



Đề tài: “bài toán dùng phương pháp xấp xỉ
trung bình phương (hay còn gọi là phương
pháp bình phương tối thiểu) để xấp xỉ hàm
trong thực nghiệm.”







Đồ án tốt nghiệp



- 2 -

Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48



MỤC LỤC
Trang
Chương I
Phương pháp bình phương tối thiểu lập công thức từ thực nghiệm:
1.1. Giới thiệu chung… ……………………………………………… 1
1.1.1. Đặt vấn đề………………………………………………… 1
1.1.2. Bài toán đặt ra………………………………………………2
1.2. Sai số trung bình phương và phương pháp bình phương tối thiểu tìm xấp
xỉ tốt nhất với một hàm…………………………………………… 3
1.2.1. Sai số trung bình phương………………………………… 3
1.2.2. Định nghĩa………………………………………………….3
1.2.3. ý nghĩa của sai số trung bình phương…………………… 3
1.2.4. Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phương…………………5
Chương II
Các phương pháp xấp xỉ:
2.1 . Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức suy rộng………… …7
2.1.1. Định nghĩa……………….…………………………………….7
2.1.2. Nội dung……………………………………………………….7
2.1.3. Sai số của phương pháp………………………………… 9
2.1.4. Mở rộng trên hệ trực giao để đơn giản hóa kết quả……….… 11
2.1.4.1. Định nghĩa…………………………………………… 11
2.1.4.2. Tiếp cận lời giải……………………………………… 11
Đồ án tốt nghiệp

- 3 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
2.1.4.3. Sai số của phương pháp……………………………… 12
2.1.4.4. Chú ý ………………………………………………… 12
2.2. Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức đại số……………… 14
2.2.1. Đặt vấn đề…………………………………………………….14
2.2.2. Tiếp cận lời giải……………………………………… 14
2.2.3. Sai số trung bình…………………………………………… 14
2.2.4. Trường hợp các mốc cách đều……………………………… 15
2.3. Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức trực giao………… 20
2.3.1. Định nghĩa hệ hàm trực giao……………………… ……… 20
2.3.2. Đặt vấn đề…………………………………………………….20
2.3.3. Nội dung của phương pháp………………………….……… 21
2.3.4. Sai số của phương pháp…………………………… ……… 30
2.4. Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức lượng giác…………32
2.4.1. Định nghĩa đa thức lượng giác……………………………… 32
2.4.2. Thuật toán…………………………………………………… 32
Chương III
Các ví dụ minh họa:
3.1. Đa thức đại số………………………………………………………… 39
3.1.1. Ví dụ 1……………………………………………………… 39
3.1.2. Ví dụ 2……………………………………………………… 40
3.2. Đa thức trực giao……………………………………………………… 43
3.2.1. Ví dụ 1……………………………………………………… 43
3.2.1. Ví dụ 2……………………………………………………… 48
3.3. Đa thức lượng giác…………………………………………………… 52

Chương IV
Đồ án tốt nghiệp



- 4 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
SƠ ĐỒ KHỐI BIỂU DIỄN THUẬT TOÁN VÀ CHƯƠNG TRÌNH
VIẾT BẰNG NGÔN NGỮ C:
4.1. Sơ đồ khối biểu diễn thuật toán…………………………………………54
4.1.1. Trường hợp dạng đa thức đại số………………………………. 54
4.1.2. Trường hợp dạng đa thức trực giao…………………………… 55
4.1.3. Trường hợp dạng đa thức lượng giác………………………… .56
4.2. Kết quả chạy chương trình…………………………………………… 57
4.2.1. Trường hợp đa thức đại số………………………………… …57
4.2.2. Trường hợp đa thức trực giao……………………………… 57
4.2.3. Trường hợp đa thức lượng giác……………………………… 58
Kết luận…………………………………………………………… ……59
Tài liệu tham khảo………………………………………………… 60

Đồ án tốt nghiệp



- 5 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48

LỜI NÓI ĐẦU
Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọng không thể thiếu
trong cuộc sống con nguời.
Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa học khác,
toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng.
Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số là môn khoa học thuộc lĩnh
vực toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần đúng các phương trình, các bài
toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu.
Việc giải một bài toán xấp xỉ hàm số nhằm mục đích thay một hàm số
dưới dạng phức tạp như dạng biểu thức hoặc một hàm số dưới dạng bảng
bằng những hàm số đơn giản hơn. Trong lý thuyết xấp xỉ hàm người ta
thường nghiên cứu các bài toán nội suy, bài toán xấp xỉ đều và bài toán xấp
xỉ trung bình phương.
Trong đồ án này em đề cập đến bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung
bình phương hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ
hàm trong thực nghiệm.
Để hoàn thành đồ án này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong
khoa Toán tin ứng dụng- Trường đại học Bách Khoa Hà Nội đã quan tâm
giúp đỡ em và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình làm đồ án. Đặc
biệt em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến PGS-TS LÊ TRỌNG VINH,
người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, chỉ bảo về kinh nghiệm và tài liệu
trong suốt quá trình em làm đồ án tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2008
Bùi Văn Bằng

Đồ án tốt nghiệp

- 6 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
CHƯƠNG I
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU
LẬP CÔNG THỨC TỪ THỰC NGHIỆM
1.1 Giới thiệu chung
1.1.1 Đặt vấn đề
Có rất nhiều phương pháp khác nhau để lập những đa thức từ thực
nghiệm mà ta đã biết đến như phép nội suy để lập đa thức cấp n:
( )
x
ϕ
(đại
số hoặc lượng giác) xấp xỉ hàm số
( )
y f x
=
mà ta đã biết các giá trị của hàm
này là
i
y y
=
tại các điểm
i
x x
=
. Phương pháp nội suy nói trên khi sử dụng
trong thực tiễn thì có những điều cần cân nhắc là:

1. Trong các đa thức nội suy
( )
x
ϕ
ta đòi hỏi ) =
i
y
. Tuy nhiên sự đòi
hỏi này không có ý nghĩa nhiều trong thực tế. Bởi vì các số
i
y
là giá trị
của hàm
( )
y f x
=
tại các điểm
i
x x
=
, trong thực tế chúng ta cho dưới
dạng bảng và thường thu được từ những kết quả đo đạc hoặc tính toán
trong thực hành. Những số y này nói chung chỉ xấp xỉ với các giá trị
đúng
( )
i
f x
của hàm
( )
y f x

=
tại
i
x x
=
. Sai số mắc phải
( )
i i i
y f x
ε
= −
nói chung khác không. Nếu buộc
( )
i i
x y
ϕ
=
thì thực
chất đã đem vào bài toán các sai số của các số liệu ban đầu nói trên
(chứ không phải là làm cho giá trị của hàm nội suy và hàm
( )
f x

trùng nhau tại các điểm
i
x x
=
).
2. Để cho đa thức nội suy biểu diễn xấp xỉ hàm
( )

f x
một cách sát
thực đương nhiên cần tăng số mốc nội suy
i
x
(nghĩa là làm giảm sai số
của công thức nội suy). Nhưng điều này lại kéo theo cấp của đa thức
nội suy tăng lên do đó những đa thức nội suy thu được khá cồng kềnh
i
x(
ϕ
i
i
ε
)(x
ϕ
)(x
ϕ
Đồ án tốt nghiệp



- 7 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
gây khó khăn cho việc thiết lập cũng như dựa vào đó để tính giá trị
gần đúng hoặc khảo sát hàm
( )
f x

.
1.1.2 Bài toán đặt ra
Chính vì những lý trên nên phương pháp tìm hàm xấp xỉ có thể sẽ sát
thực hơn thông qua hai bài toán:
Bài toán 1(tìm hàm xấp xỉ).
Giả sử đã biết giá trị
i
y

( 1,2, , )
=
i n
của hàm
( )
=
y f x
tại các điểm
tương ứng
i
x x
=
. Tìm hàm
( )
m
x
φ
xấp xỉ với hàm
f(x)
trong đó

0
( ) ( ).
φ ϕ
=
=
∑
m
m i i
i
x a x
(1 - 1)
v
ớ
i là nh
ữ
ng hàm
đ
ã bi
ế
t,
i
a
là nh
ữ
ng h
ệ
s
ố
h
ằ

ng s
ố
.
Trong khi gi
ả
i quy
ế
t bài toán này c
ầ
n ch
ọ
n hàm sao cho quá trình tính
toán
đơ
n gi
ả
n
đồ
ng th
ờ
i nh
ư
ng sai s
ố
có tính ch
ấ
t ng
ẫ
u nhiên (xu
ấ

t hi
ệ
n
khi thu
đượ
c các s
ố
li
ệ
u
i
y
) c
ầ
n ph
ả
i
đượ
c ch
ỉ
nh lý trong quá trình tính toán.
Trong bài toán tìm hàm x
ấ
p x
ỉ
trên vi
ệ
c ch
ọ
n d

ạ
ng c
ủ
a hàm x
ấ
p x
ỉ
là
tùy thu
ộ
c ý ngh
ĩ
a th
ự
c ti
ễ
n c
ủ
a hàm
f(x)
.
Bài toán 2
(tìm các tham s
ố
c
ủ
a m
ộ
t hàm có d
ạ

ng
đ
ã bi
ế
t).
Gi
ả
s
ử

đ
ã bi
ế
t d
ạ
ng t
ổ
ng quát c
ủ
a hàm

0 1
( , , , , )
m
Y f x a a a
=
(1 – 2)
Trong
đ
ó:

i
a

( 1,2, , )
=
i m
là nh
ữ
ng h
ằ
ng s
ố
.
Gi
ả
s
ử
qua th
ự
c nghi
ệ
m ta thu
đượ
c n giá tr
ị
c
ủ
a hàm
=
i

y y

( 1,2, , )
=
i m

ứ
ng v
ớ
i các giá tr
ị

i
x x
=
c
ủ
a
đố
i. V
ấ
n
đề
là t
ừ
nh
ữ
ng s
ố
li

ệ
u th
ự
c nghi
ệ
m
thu
đượ
c c
ầ
n xác
đị
nh các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố

0 1
, , ,
m
a a a

để
tìm
đượ
c d
ạ
ng

c
ụ
th
ể
c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c (1 – 2):
( )
=
y f x
v
ề
s
ự
ph
ụ
thu
ộ
c hàm s
ố
gi
ữ
a
y
và
x

.
)(x
i
ϕ
)(x
m
φ
i
ε
)(x
m
φ
Đồ án tốt nghiệp



- 8 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48

1.2 Sai số trung bình phương và phương pháp bình phương tối thiểu
tìm xấp xỉ tốt nhất với một hàm
1.2.1 Sai số trung bình phương
Những hàm trong thực nghiệm thu được thường mắc phải những sai số
có tính chất ngẫu nhiên. Những sai số này xuất hiện do sự tác động của
những yếu tố ngẫu nhiên vào kết quả thực nghiệm để thu được các giá trị
của hàm.
Chính vì lý do trên, để đánh giá sự sai khác giữa hai hàm trong thực
nghiệm ta cần đưa ra khái niệm về sai số (hoặc độ lệch) sao cho một mặt nó

chấp nhận được trong thực tế, một mặt lại san bằng những sai số ngẫu nhiên
(nghĩa là gạt bỏ được những yếu tố ngẫu nhiên tác động vào kết quả của
thực nghiệm). Cụ thể nếu hai hàm thực chất khá gần nhau thì sai số chúng ta
đưa ra phải khá bé trên miền đang xét.
Khái niệm về sai số nói trên có nghĩa là không chú ý tới những kết quả
có tính chất cá biệt mà xét trên một miền nên được gọi là sai số trung bình
phương.
1.2.2 Định nghĩa
Theo định nghĩa ta sẽ gọi là sai số (hoặc độ lệch) trung bình phương
của hai hàm
( )
f x
và
( )
ϕ
x
trên tập
1 2
( , , , )
=
n
X x x x
, nếu
= . (2 – 1)
1.2.3 Ý nghĩa của sai số trung bình phương
n
σ
n
σ
∑

=
−
n
i
ii
xxf
n
1
2
)]()([
1
ϕ
Đồ án tốt nghiệp



- 9 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Để tìm hiểu ý nghĩa của sai số trung bình phương ta giả thiết
( )
f x
, (x) là
những hàm liên tục trên đoạn
[
]
,
a b
và

1 2
( , , , )
=
n
X x x x
là t
ậ
p h
ợ
p các
đ
i
ể
m
cách
đề
u trên
[
]
,
a b

1 2

= < < < =
n
a x x x b


Theo

đị
nh ngh
ĩ
a fích phân xác
đị
nh ta có

lim
n
n
σ σ
→∞
=
(2 – 2)
Trong
đ
ó:
= . (2 – 3)
Gi
ả
s
ử

( ) ( )
f x x
ϕ
−
có trên
[
]

,
a b
m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n c
ự
c tr
ị
và là m
ộ
t s
ố

d
ươ
ng nào
đ
ó cho tr
ướ
c. Khi
đ
ó trên
[
]

,
a b
s
ẽ
có k
đ
o
ạ
n riêng bi
ệ
t
[
]
,
i i
a b

( 1,2, , )
=
i k
sao cho
( ) ( )f x x
ϕ α
− ≥
(v
ớ
i
[
]
,

∈
i i
x a b
,
( 1,2, , )
=
i k
)
G
ọ
i là t
ổ
ng các
độ
dài c
ủ
a k
đ
o
ạ
n nói trên.
V
ớ
i n
đủ
l
ớ
n và
đủ
bé, t

ừ
(2 – 2) ta suy ra < ( bé tùy ý). T
ừ
(2 – 3)
suy ra
> .
Do
đ
ó

2
( )
ε
ω
α
 
< −
 
 
b a .
Ngh
ĩ
a là t
ổ
ng
độ
dài
ω
c
ủ

a các
đ
o
ạ
n
[
]
,
i i
a b
s
ẽ
bé tùy ý.
ϕ
2
σ
a
b
−
1
dxxxf
b
a
∫
−
2
)]()([
ϕ
α
ω

n
σ
σ
ε
ε
)(
2
ab −
ε
∫
−
b
a
dxxxf
2
)]()([
ϕ
≥
∑
∫
=
−
k
i
b
a
i
i
dxxxf
1

2
)]()([
ϕ
≥
ωα
2
Đồ án tốt nghiệp



- 10 -
Sinh viên th
ự
c hi
ệ
n: Bùi V
ă
n B
ằ
ng

L
ớ
p: To
ỏ
n Tin_2 – K48
Tóm l
ạ
i: v
ớ

i
đủ
bé (n khá l
ớ
n) thì trên
đ
o
ạ
n
[
]
,
a b
(tr
ừ
t
ạ
i nh
ữ
ng
đ
i
ể
m
c
ủ
a nh
ữ
ng
đ

o
ạ
n
[
]
,
i i
a b
mà có t
ổ
ng
độ
dài
ω
bé tùy ý), ta có
( ) ( )f x x
ϕ α
− <
.
Trong
đ
ó là m
ộ
t s
ố
d
ươ
ng tùy ý cho tr
ướ
c.

T
ừ
nh
ậ
n xét trên ta rút ra nh
ữ
ng ý ngh
ĩ
a th
ự
c ti
ễ
n c
ủ
a sai s
ố
trung bình
ph
ươ
ng nh
ư
sau:
N
ế
u sai s
ố
trung bình ph
ươ
ng c
ủ

a hai hàm f(x) và trên t
ậ
p h
ợ
p n
đ
i
ể
m
[
]
,
a b X
⊂
(n
đủ
l
ớ
n) mà khá bé thì v
ớ
i tuy
ệ
t
đạ
i
đ
a s
ố
giá tr
ị

c
ủ
a x trên
[a, b] cho sai s
ố
tuy
ệ
t
đố
i gi
ữ
a f(x) và khá bé.
1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phương
Từ ý nghĩa của sai số trung bình phương nói trên
Ta nhận thấy nếu các giá trị
i
y

( 1,2, , )
=
i n
của hàm
( )
f x
tại các điểm
i
x

và nếu sai số trung bình phương
=

khá bé thì hàm sẽ xấp xỉ khá tốt với hàm
( )
f x
.
Cách xấp xỉ một hàm số lấy sai số trung bình phương làm tiêu chuẩn đánh
giá như trên gọi là xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phương.
Rõ ràng: Nếu hàm
( )
f x
thu được bằng thực nghiệm (nghĩa là
( )
≈
i i
y f x
)
thì cách xấp xỉ nói trên đã san bằng những sai lạc tại từng điểm (nảy sinh do
những sai số ngẫu nhiên của thực nghiệm). Đó là lý do giải thích lý do vì sao
phương pháp xấp xỉ theo nghĩa trung bình phương được sử dụng rộng rãi
trong thực tiễn.
Ta xét trường hợp
( )
ϕ
x
là phụ thuộc các tham số
0 1
, , ,
m
a a a

0 1
( ) ( ; , , , )
ϕ
=
m
x x a a a
. (2 – 4)
n
σ
α
n
σ
)(x
ϕ
)(x
ϕ
n
σ
∑
=
−
n
i
ii
xy
n
1
2
)]([
1

ϕ
)(x
ϕ
Đồ án tốt nghiệp



- 11 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Trong số những hàm
( )
ϕ
x
có dạng (2 – 4) ta sẽ gọi hàm

0 1
( ) ( ; , , , )
ϕ
=
m
x x a a a
(2 – 5)
là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phương với hàm
( )
f x
nếu sai số
trung bình phương
( )

ϕ
x
với
( )
f x
là bé nhất. Cụ thể là

0 1
0 1
( , , , ) min ( , , , )
σ σ
=
m
n n m
a a a a a a

trong đó

[ ]
2
0 1 0 1
1
1
( , , , ) ( ; , , , )
σ ϕ
=
= −
∑
n
n m i m

i
a a a y x a a a
n
. (2 – 6)
Từ (2 – 6) ta nhận thấy (2 – 5) tương đương với đẳng thức:
[ ] [ ]
2 2
0 1 0 1
1 1
( ; , , , ) min ( ; , , , )
ϕ ϕ
= =
− = −
∑ ∑
n n
i m i m
i i
y x a a a y x a a a . (2 – 7)
T
ừ

đ
ó vi
ệ
c tìm hàm x
ấ
p x
ỉ
t
ố

t nh
ấ
t (trong s
ố
nh
ữ
ng hàm d
ạ
ng (2 – 4) v
ớ
i
hàm
( )
f x
) s
ẽ

đư
a v
ề
tìm c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a t
ổ
ng bình ph
ươ

ng
2
1
ε
=
∑
n
i
i
trong
đ
ó

0 1
( ; , , , )
ε ϕ
= −
i i m
y x a a a
.
B
ở
i v
ậ
y ph
ươ
ng pháp tìm x
ấ
p x
ỉ

t
ố
t nh
ấ
t theo ngh
ĩ
a trung bình còn g
ọ
i là
ph
ươ
ng pháp bình ph
ươ
ng t
ố
i thi
ể
u
để
x
ấ
p x
ỉ
hàm trong th
ự
c nghi
ệ
m.

Đồ án tốt nghiệp



- 12 -
Sinh viên th
ự
c hi
ệ
n: Bùi V
ă
n B
ằ
ng

L
ớ
p: To
ỏ
n Tin_2 – K48

CHƯƠNG II
CÁC PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ
2.1
Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức suy rộng
2.1.1 Định nghĩa
Giả sử cho hệ hàm:
0 1
( ), ( ), , ( ),
ϕ ϕ ϕ
m
x x x

Ta sẽ gọi hàm
( )
ϕ
m
x
là đa
thức suy rộng cấp m nếu
( )
φ
m
x
có dạng

0
( ) ( )
φ ϕ
=
=

∑
m
m i i
i
x a x
. (3 – 1)
Trong
đ
ó
0 1
, , ,
m
a a a
là các h
ệ
s
ố
h
ằ
ng s
ố
. H
ệ
hàm
{ ( )}
ϕ
m
x

đ

ã cho g
ọ
i là h
ệ

c
ơ
b
ả
n.
2.1.2 Nội dung
Theo ph
ầ
n trên v
ề
tìm hàm x
ấ
p x
ỉ
gi
ả
s
ử

đ
ã bi
ế
t n giá tr
ị
th

ự
c nghi
ệ
m
i
y

( 1,2, , )
=
i n
c
ủ
a hàm
( )
=
y f x
t
ạ
i các
đ
i
ể
m t
ươ
ng
ứ
ng
i
x
. Khi

đ
ó vi
ệ
c
tìm m
ộ
t
đ
a th
ứ
c suy r
ộ
ng có d
ạ
ng (3 – 1) mà x
ấ
p x
ỉ
v
ớ
i hàm
( )
f x
nói trên
{
}
[
]
1 2
, , , ,

n
x x x a b
⊂
s
ẽ
chuy
ể
n v
ề
vi
ệ
c tìm m+1 h
ệ
s
ố

i
a
trong (3 – 1).

Để
quá trình tính toán
đượ
c
đơ
n gi
ả
n ta xét
đ
a th

ứ
c suy r
ộ
ng
( )
φ
m
x
v
ớ
i
c
ấ
p m không l
ớ
n l
ắ
m. Tuy nhiên ta v
ẫ
n ph
ả
i ch
ọ
n n
đủ
l
ớ
n do
đ
ó có th

ể
gi
ả

thi
ế
t n m+1. Khác v
ớ
i bài toán n
ộ
i suy
ở

đ
ây ta không c
ầ
n xác
đị
nh m+1
giá tr
ị

i
a
t
ừ
n ph
ươ
ng trình:
( )

φ
=
i m i
y x

( 1,2, , )
=
i n
(vì s
ố
ph
ươ
ng trình
th
ườ
ng nhi
ề
u h
ơ
n s
ố

ẩ
n).
≥
Đồ án tốt nghiệp



- 13 -

Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Ta sẽ áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu để tìm đa thức suy
rộng
0
( ) ( )
φ ϕ
=
=
∑
m
m i
i
i
x a x
x
ấ
p x
ỉ
t
ố
t nh
ấ
t v
ớ
i hàm
( )
f x
trên

[
]
,
a b
.
Trong (2 – 7) ta coi

0 1
( ; , , , )
m
x a a a
ϕ
= = .
T
ừ

đ
ó ta suy ra:
(
)
0 1
, , ,
m
a a a
là
đ
i
ể
m c
ự

c ti
ể
u c
ủ
a hàm m+1 bi
ế
n

0 1
( , , , )
m
F a a a
= . (3 – 2)
Do
đ
ó
(
)
0 1
, , ,
m
a a a
là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ

ng trình
= 0 ; = 0 ; ……; = 0.
Ho
ặ
c d
ạ
ng t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i nó
[ ][ ]
[ ][ ]
0 0 1 1 0
1
0 0 1 1 1
1
0 0 1 1
2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0
2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0


2 ( ) ( )
n
i i i m i m i
i
n
i i i m i m i

i
i i i
y x a x a x a x
y x a x a x a x
y x a x a
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
=
=
− − − − − =
− − − − − =
− − −
∑
∑
[ ][
]
1
( ) ( ) 0
n
m i m m i
i
x a x
ϕ ϕ
=










− − =


∑
(3 - 3)
G
ọ
i là véc t
ơ
n chi
ề
u v
ớ
i thành ph
ầ
n th
ứ
i là .
G
ọ
i
y
là véc t
ơ
n chi
ề

u v
ớ
i thành ph
ầ
n th
ứ
i là
i
y
.
Theo
đị
nh ngh
ĩ
a tích vô h
ướ
ng các véc t
ơ
ta có

[ ]
1
, ( )
ϕ ϕ
=
=
∑
m
r i r i
i

y y x
;
[ ]
1
, ( ) ( )
ϕ ϕ ϕ ϕ
=
=
∑
n
r s r i s i
i
x x
(3 – 4)
Do
đ
ó (3 – 3)
đượ
c chuy
ể
n v
ề
d
ạ
ng
)(x
m
φ
∑
=

m
i
ii
xa
0
)(
ϕ
∑
=
−−−−
n
i
mimiii
axaxaxy
1
2
1100
])( )()([
ϕϕϕ
0
a
F
∂
∂
1
a
F
∂
∂
m

a
F
∂
∂
r
ϕ
)(
ir
x
ϕ
Đồ án tốt nghiệp



- 14 -
Sinh viên th
ự
c hi
ệ
n: Bùi V
ă
n B
ằ
ng

L
ớ
p: To
ỏ
n Tin_2 – K48

[
]
[
]
[
]
[
]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
0 0 0 0 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1
, , , ,
, , , ,


, , , ,
m
m
m m m m m
a a y
a a y
a a y
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
 + + + =


+ + + =




+ + + =

(3 - 5)
Ta nh
ậ
n th
ấ
y (3 – 5) là h
ệ
(m + 1) ph
ươ
ng trình
đạ
i s
ố
tuy
ế
n tính dùng
để

xác
đị
nh m + 1 h
ệ
s

ố
:
0 1
, , ,
m
a a a
trong
đ
a th
ứ
c x
ấ
p x
ỉ
. Ma tr
ậ
n c
ủ
a h
ệ

ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính (3 – 5) có các ph
ầ
n t
ử
là , do

đ
ó là m
ộ
t ma
tr
ậ
n
đố
i x
ứ
ng (d
ự
a vào tính ch
ấ
t giao hoán c
ủ
a tích vô h
ướ
ng). Ta s
ẽ
g
ọ
i h
ệ

ph
ươ
ng trình (3 – 5) là h
ệ
ph

ươ
ng trình chu
ẩ
n.

Đị
nh th
ứ
c c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình chu
ẩ
n có d
ạ
ng
G( = (3 – 6)
Ta g
ọ
i
đị
nh th
ứ
c
0 1
( , , , )
ϕ ϕ ϕ

=
m
G
là
đị
nh th
ứ
c Gram c
ủ
a h
ệ
véc t
ơ

trên t
ậ
p
đ
i
ể
m
{
}
1 2
, , ,
n
X x x x
=
.
Mà ta

đ
ã bi
ế
t: N
ế
u hàm c
ơ
s
ở
là h
ệ
hàm
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n
tính trên
{
}
[
]
1 2
, , , ,
n
X x x x a b
= ⊂
thì trong s
ố

nh
ữ
ng
đ
a th
ứ
c suy r
ộ
ng c
ấ
p
m có d
ạ
ng (3 – 1) luôn t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
đ
a th
ứ
c suy r
ộ
ng
. (3 – 1’)
Là x
ấ
p x

ỉ
t
ố
t nh
ấ
t theo ngh
ĩ
a trung bình ph
ươ
ng
đố
i v
ớ
i hàm
( )
f x
.
Ngoài ra còn có th
ể
ch
ứ
ng minh khi h
ệ
c
ơ
s
ở
là nh
ữ
ng

độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính trên
{
}
[
]
1 2
, , , ,
n
x x x a b
⊂
thì
0 1
( , , , ) 0
ϕ ϕ ϕ
= >
m
G
. Ngh
ĩ
a
là trong tr
ườ
ng h
ợ
p này h

ệ
ph
ươ
ng trình chu
ẩ
n (3 – 5) có và duy nh
ấ
t
)(x
m
φ
],[
ji
ϕϕ
), ,,
10 m
ϕϕϕ
],] [,][,[

],] [,][,[
],] [,][,[
10
11101
01000
mmmm
m
m
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ

m
ϕϕϕ
, ,
10
)(), ,(),(
10
xxx
m
ϕϕϕ
)()(
0
xax
i
m
i
im
ϕφ
∑
=
=
)(), ,(),(
10
xxx
m
ϕϕϕ
Đồ án tốt nghiệp



- 15 -

Sinh viên th
ự
c hi
ệ
n: Bùi V
ă
n B
ằ
ng

L
ớ
p: To
ỏ
n Tin_2 – K48
nghi
ệ
m
0 1
, , ,
m
a a a

ứ
ng v
ớ
i các h
ệ
s
ố

c
ủ
a
đ
a th
ứ
c (3 – 1’) x
ấ
p x
ỉ
t
ố
t nh
ấ
t
v
ớ
i hàm
( )
f x
(theo ngh
ĩ
a trung bình ph
ươ
ng).
Do v
ậ
y ta có th
ể
cho r

ằ
ng h
ệ
hàm c
ơ
s
ở
ngh
ĩ
a là h
ệ
hàm
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n
tính trên
đ
o
ạ
n
[
]
,
a b
.
2.1.3 Sai số của phương pháp.
Cùng với việc tìm hàm xấp xỉ cho hàm

( )
f x
ta cần đánh giá sai số
hoặc độ lệch của nó đối với hàm
( )
f x
. Sai số ở đây hiểu theo nghĩa trung
bình phương. Cụ thể là ta đi tìm đại lượng
. (3 – 7)
Từ (3 – 1’) ta có

= [
. (3 – 8)
Mặt khác

= . (3 – 9)
Kết hợp (3 – 9) với (3 – 5) ta có:
.
)(x
m
φ
2
1
)]([
1
xy
n
n
i
mim

∑
=
−=
φσ
∑
=
−
n
i
imi
xy
1
2
)]([
φ
∑ ∑
= =






−=
n
i
m
j
ijji
xay

1
2
0
)(
ϕ
],
0 0
∑ ∑
= =
−−
m
j
m
j
jjjj
ayay
ϕϕ
∑ ∑ ∑
= = =
−−−=
m
j
m
j
m
j
jjjjjj
aayyay
0 0 0
],[],[

ϕϕϕ
∑ ∑∑ ∑
= == =
=






−=






−
m
i
m
j
jjjj
m
j
m
j
jjjj
ayaaay
0 00 0

,,
ϕϕϕϕ
[ ]
[ ]






−
∑∑
==
m
j
jiji
m
i
i
aya
00
,,
ϕϕϕ
[ ]
[ ]
0,,
00
=







−
∑∑
==
m
j
jiji
m
i
i
aya
ϕϕϕ
Đồ án tốt nghiệp



- 16 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Thay kết quả trên vào (3 – 8) ta có:

. (3 – 10)
Thay (3 – 10) vào (3 – 7) ta có
. (3 – 11)
Trong đó
j

a
là nghiệm của hệ phương trình chuẩn (3 – 5).
2.1.4. Mở rộng trên hệ trực giao.
2.1.4.1 Định nghĩa:
Để đơn giản hóa kết quả trên thì ta định nghĩa về hệ hàm trực giao như sau:
Hệ hàm
0 1
( ), ( ), , ( )
ϕ ϕ ϕ
m
x x x
gọi là hệ trực giao trên tập
1 2
( , , , )
=
n
X x x x
nếu
(3 – 12)
Số mà gọi là chuẩn của hàm trên tập
hợp
X
.
Trong trường hợp hệ hàm
0 1
( ), ( ), , ( )
ϕ ϕ ϕ
m
x x x
trực giao mà

( 0,1, , )
=
r m
thì hệ hàm được gọi là hệ trực chuẩn trên tập hợp
X
.
2.1.4.2 Tiếp cận lời giải






−=−
∑∑
==
m
j
jj
n
i
imi
yayxy
01
2
,)]([
ϕφ
[ ]
[ ]

∑
=
−=
m
j
jj
yayy
0
,,
ϕ
[ ]
[ ]






−=
∑
=
m
j
jjn
yayy
n
0
,,
1
ϕσ

[ ]
[ ]







=≠=
≠==
∑
∑
=
=
), ,1,0.(0)(,
).(0)()(,
1
2
1
mrx
srxx
n
i
irsr
n
i
isirsr
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ

r
ϕ
[ ]
∑
=
==
n
i
irrrr
x
1
2
2
)(,
ϕϕϕϕ
)(x
r
ϕ
1=
r
ϕ
Đồ án tốt nghiệp



- 17 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Từ một hệ cơ sở bất kỳ

0 1
( ), ( ), , ( )
ϕ ϕ ϕ
m
x x x
bao giờ cũng lập được một
hệ trực chuẩn tương ứng
0 1
( ), ( ), , ( )
ϕ ϕ ϕ
m
x x x
sao cho mỗi hàm của hệ trực
chuẩn là một tổ hợp tuyến tính của các hàm trong hệ cơ sở đã cho:

( 0,1, , )
=
r m
. (3 – 13)
Từ (3 – 5) và (3 – 12) ta nhận thấy rằng: Nếu
0 1
( ), ( ), , ( )
ϕ ϕ ϕ
m
x x x
là hệ trực
giao thì đa thức xấp xỉ tốt nhất (3 – 1’) của
( )
f x
có các hệ số

j
a
cho bởi
công thức

( 0,1, , )
=
i m
.
Hay
( 0,1, , )
=
i m
. (3 – 14)
Từ đó ta có

2.1.4.3 Sai số của phương pháp
Dựa trên (3 – 11) ta suy ra sai số trung bình phương của đa thức xấp xỉ
là:
. (3 – 15)
Vì nên tổng: là một đại lượng đơn điệu tăng theo
m. Do đó từ (3 – 15) ta suy ra sai số trung bình phương
σ
n
sẽ giảm khi m
∑
=
=
m
s

s
r
sr
xx
0
)(
)()(
ϕαϕ
[
]
[
]
iiii
ya
ϕϕϕ
,, =
[
]
[ ]
[
]
2
,
,
,
i
i
ii
i
i

yy
a
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
==
[ ]
[
]
∑∑
==
=
m
i
i
i
m
i
ii
y
ya
0
2
2
0
,
,
ϕ
ϕ

ϕ
[ ]
[ ]










−=
∑
=
m
j
i
i
n
y
yy
n
0
2
2
,
,
1

ϕ
ϕ
σ
[
]
0
,
2
2
≥
j
j
y
ϕ
ϕ
[
]
∑
=
m
j
j
j
y
0
2
2
,
ϕ
ϕ

Đồ án tốt nghiệp



- 18 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
tăng. Tóm lại nếu cấp m của đa thức xấp xỉ (3 – 1’) (với hệ cơ sở
0 1
( ), ( ), , ( )
ϕ ϕ ϕ
m
x x x
là trực giao) càng lớn thì đa thức xấp xỉ
( )
f x
càng tốt.
2.1.4.4. Chú ý
Một đặc điểm chú ý ở đây là: Trong trường hợp chung khi cần thay đổi
cấp m của đa thức xấp xỉ (3 – 1’) thì hệ phương trình chuẩn (3 – 5) dùng để
xác định các hệ số
0 1
, , ,
m
a a a
của đa thức hoàn toàn thay đổi. Do đó quá
trình tình toán (giải hệ phương trình chuẩn) cần làm lại từ đầu. Tuy nhiên
khi hệ hàm cơ sở là trực giao thì muốn thay đổi cấp m của đa thức xấp xỉ
(3 – 1’) (chẳng hạn tăng từ m lên m+1) ta chỉ cần thêm số

1
+
m
a
từ công thức
(3 – 14). Còn các hệ số
0 1
, , ,
m
a a a
đã thu được cho đa thức
( )
φ
m
x
vẫn
dùng được cho đa thức

1
1
0
( ) ( )
φ ϕ
+
+
=
=
∑
m
i

m
i
i
x a x
.
Nh
ậ
n xét trên r
ấ
t b
ổ
ích v
ề
m
ặ
t th
ự
c hành tính toán vì khi mu
ố
n x
ấ
p x
ỉ
m
ộ
t
hàm th
ự
c nghi
ệ

m b
ằ
ng m
ộ
t
đ
a th
ứ
c suy r
ộ
ng c
ấ
p m (3 – 1’): do khuôn kh
ổ

c
ủ
a s
ự
tính toán ta không c
ầ
n ch
ọ
n ngay t
ừ

đầ
u s
ố
m

đủ
l
ớ
n. Khi
đ
ó n
ế
u h
ệ

hàm c
ơ
s
ở

0 1
( ), ( ), , ( ),
ϕ ϕ ϕ
m
x x x
là m
ộ
t h
ệ
tr
ự
c giao thì khi xu
ấ
t phát ta có
th

ể
ch
ọ
n s
ố
m nh
ỏ
(ch
ẳ
ng h
ạ
n m = 1 ho
ặ
c 2). Sau khi th
ự
c hành tính toán
n
ế
u th
ấ
y sai s
ố
trung bình ph
ươ
ng t
ươ
ng
ứ
ng ch
ư

a
đủ
bé (so v
ớ
i yêu c
ầ
u) thì
ta có th
ể
t
ă
ng d
ầ
n s
ố
m lên và tính thêm các h
ệ
s
ố

i
a
b
ổ
sung (t
ừ
công th
ứ
c
(3 – 14)).

Đồ án tốt nghiệp



- 19 -
Sinh viên th
ự
c hi
ệ
n: Bùi V
ă
n B
ằ
ng

L
ớ
p: To
ỏ
n Tin_2 – K48

2.2 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức đại số
2.2.1 Đặt vấn đề
Giả sử biết n giá trị thực nghiệm
i
y

( 1,2, , )
=
i n
của hàm
( )
f x
tại các
điểm
i
x
tương ứng. Ta đặt vấn đề xấp xỉ hàm
( )
f x
bởi một đa thức cấp m
có dạng

0 1
( )
m
m m
P x a a x a x

= + + + . (4 – 1)
2.2.2 Tiếp cận lời giải

Để
gi
ả
i bài toán này ta áp d
ụ
ng nh
ữ
ng k
ế
t qu
ả
t
ổ
ng quát
ở
ph
ầ
n II, trong
đ
ó h
ệ
hàm c
ơ
s
ở
có d
ạ

ng
, , …, . (4 – 2)
khi
đ
ó t
ừ
(3 – 4) ta có

và . (4 – 3)
{
}
)(x
i
ϕ
1)(
0
=
x
ϕ
xx
=
)(
1
ϕ
m
m
xx =)(
ϕ
[ ]
∑∑

−=
==
n
i
r
ii
n
i
irir
xyxyy
11
)(,
ϕϕ
[ ]
∑∑
=
+
=
==
n
i
sr
i
n
i
isirsr
xxx
11
)()(,
ϕϕϕϕ

Đồ án tốt nghiệp



- 20 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Dựa vào (3 – 5) ta suy ra các hệ số
i
a
của đa thức xấp xỉ (4 – 1) là nghiệm
của hệ phương trình chuẩn có dạng sau
(4 – 4)
2.2.3 Sai số trung bình
Từ (3 – 7) và (3 – 11) ta suy ra sai số trung bình của đa thức xấp xỉ có
dạng (4 – 4) là:
. (4 – 5)
Về mặt thực hành, để tìm các hệ số của phương trình chuẩn (4 – 4) ta làm
theo lược đồ trong bảng 1. Các hệ số vế trái của phương trình đầu tiên cho
bởi các tổng ô lần lượt từ cột (1) đến cột (m), của phương trình thứ 2 cho bởi
các tổng lần lượt từ cột 2 đến cột (m+1), … còn các vế phải của (4 – 4) cho
bởi các tổng ở lần lượt từ cột (2m+2) đến cột cuối c
ùng (3m+2).
0
x

1
x

2
x

…

2
m
x


y


xy


2
x y

…

m
x y

(1) (2) (3) (2m+1)

(2m+2)

(2m+3)

(2m+4)

(3m+2)


1

1
…
1

1
x


2
x

…

n
x


2
1
x

2
2

x

…

2
n
x

…
…
…
…

2
1
m
x


2
2
m
x

…

2
m
n
x

1
y


2
y

…

n
y


1 1
x y

2 2
x y

…
n n
x y


2
1 1
x y

2
2 2
x y

…

2
n n
x y

…
…
…
…
1 1
m
x y

2 2
m
x y

…
m
n n
x y













=++++
=++++
=++++
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
===
+
=
+
=
==
+
===
====
n
i
i
m
i
n

i
m
im
n
i
m
i
n
i
m
i
n
i
m
i
n
i
ii
n
i
m
im
n
i
i
n
i
i
n
i

i
n
i
i
n
i
m
im
n
i
i
n
i
i
yxxaxaxaxa
yxxaxaxaxa
yxaxaxana
11
2
1
2
2
1
1
1
1
0
11
1
1

3
2
1
2
1
1
0
111
2
2
1
10




[ ]






−=−=
∑ ∑∑∑
= ===
m
j
n
i

j
iij
n
i
i
n
i
imin
xyay
n
xPy
n
0 11
2
1
2
1
)(
1
σ
Đồ án tốt nghiệp



- 21 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
n

…



…

Bảng 1
2.2.4 Trường hợp các mốc cách đều
Đối với trường hợp các điểm
i
x
cách đều nhau:
1+
− =
i i
x x h

( 0,1, , 1)
= −
i n
thì quá trình tính toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Dưới đây
ta sẽ trình bày kết quả trong trường hợp này.
Trường hợp 1: Nếu n là số lẻ (
2 1
= +
n k
).
Đặ
t

1
+
−
=
k
x x
u
h
hay
1
.
+
= +
k
x x u h
.
Do
đ
ó khi
x
nh
ậ
n các giá tr
ị

1 2 1 2 1
, , , , ,
+ +
k k
x x x x

thì
u
nh
ậ
n các giá tr
ị

nguyên sau:
, 1, , 1,0,1, , 1,
− − + − −
k k k k
.
Sau phép
đổ
i bi
ế
n (4 – 8) thì
đ
a th
ứ
c (4 – 1) c
ũ
ng có b
ậ
c m và có d
ạ
ng

0 1
( ) = + + +

m
m m
Q u b b u b u
. (4 – 9)
T
ươ
ng t
ự
nh
ư
(4 – 4) các h
ệ
s
ố
b c
ủ
a (4 – 9) thu
đượ
c t
ừ
h
ệ
ph
ươ
ng trình
(4 – 10)
H
ệ
ph
ươ

ng trình (4 – 10) so v
ớ
i h
ệ
(4 – 4)
đơ
n gi
ả
n h
ơ
n r
ấ
t nhi
ề
u vì các t
ổ
ng
nh
ữ
ng l
ũ
y th
ừ
a l
ẻ
c
ủ
a
u
b

ằ
ng 0
. (4 – 11)
Trường hợp 2:
n
ch
ẵ
n (
2
=
n k
)

∑
=
n
i
i
x
1
∑
=
n
i
i
x
1
2
∑
=

n
i
m
i
x
1
2
∑
=
n
i
i
y
1
∑
=
n
i
ii
yx
1
∑
=
n
i
ii
yx
1
2
∑

=
n
i
i
m
i
yx
1
i











=++++
=++++
=++++
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
===
+
=
+

=
==
+
===
====
n
i
i
m
i
n
i
m
im
n
i
m
i
n
i
m
i
n
i
m
i
n
i
ii
n

i
m
im
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
m
im
n
i
i
n
i
i
yuubububub
yuubububub
yubububnb
11
2

1
2
2
1
1
1
1
0
11
1
1
3
2
1
2
1
1
0
111
2
2
1
10




0
1
3

1
===
∑∑
==
n
i
i
n
i
i
uu
Đồ án tốt nghiệp



- 22 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Ta
đặ
t
2( )
1
−
= −
k
x x
u
h

ho
ặ
c
( 1)
2
+
= +
k
u h
x x
. (4 – 12)
Khi
đ
ó n
ế
u x nh
ậ
n các giá tr
ị
x , x , … , x thì u nh
ậ
n các giá tr
ị
nguyên
sau
đ
ây

2 1, 2 3, , 3, 1,1,3, ,2 3,2 1
− + − + − − − −

k k k k

và trong h
ệ
(4 – 10) c
ũ
ng v
ắ
ng m
ặ
t nh
ữ
ng t
ổ
ng các l
ũ
y th
ừ
a l
ẻ
c
ủ
a u:
. (4 – 13)
Tóm l
ạ
i, trong m
ộ
i tr
ườ

ng h
ợ
p (
n
l
ẻ
ho
ặ
c
n
ch
ẵ
n) v
ế
trái c
ủ
a (4 – 10)
đề
u
v
ắ
ng m
ặ
t các h
ệ
s
ố
có d
ạ
ng

1=
=
∑
n
j
j i
i
S u
(
j
là s
ố
l
ẻ
). Ngoài ra các h
ệ
s
ố
còn
l
ạ
i c
ủ
a v
ế
trái (có d
ạ
ng
1=
=

∑
n
j
j i
i
S u
,
j
ch
ẵ
n) ch
ỉ
ph
ụ
thu
ộ
c vào n (vì
j
u
nh
ậ
n
các giá tr
ị
nguyên). Do
đ
ó có th
ể
l
ậ

p nh
ữ
ng b
ả
ng tính s
ẵ
n các h
ệ
s
ố
này (tùy
thu
ộ
c vào n).
Cu
ố
i cùng, sau vi
ệ
c gi
ả
i ph
ươ
ng trình (4 – 10) ta thu
đượ
c
( )
m
Q u
d
ướ

i
d
ạ
ng (4 – 9).
Để
tr
ở
l
ạ
i
( )
m
P x
d
ướ
i d
ạ
ng (4 – 1) ta c
ầ
n làm phép
đổ
i bi
ế
n
ng
ượ
c l
ạ
i
để

chuy
ể
n bi
ế
n
u
v
ề
bi
ế
n x ban
đầ
u. C
ụ
th
ể
trong
( )
m
Q u
thu
đượ
c
ta s
ẽ
dùng công th
ứ
c
đổ
i bi

ế
n (4 – 8) n
ế
u n l
ẻ
, dùng công th
ứ
c (4 – 12) n
ế
u n
ch
ẵ
n.
D
ướ
i
đ
ây ta xây d
ự
ng công th
ứ
c c
ụ
th
ể
h
ệ
(4 – 10) trong các tr
ườ
ng h

ợ
p
m = 1, m = 2.
Tr
ườ
ng h
ợ
p m = 1, ngh
ĩ
a là (4 – 9) có d
ạ
ng:

1 0 1
( )
= +
Q u b b u
.
Đồ
ng th
ờ
i (4 – 10) có d
ạ
ng (4 – 4)
1 2
k2
0
1
3
1

1
===
∑∑
==
n
i
i
n
i
uu
Đồ án tốt nghiệp



- 23 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48

T
ừ

đ
ó suy ra
(4 – 14)
Tr
ườ
ng h
ợ
p m = 2 ngh

ĩ
a là (4 – 9) có d
ạ
ng

2
2 0 1 2
( ) = + +
Q u b b u b u

Và khi
đ
ó (4 – 10) có d
ạ
ng:

Gi
ả
i h
ệ
3 ph
ươ
ng trình trên ta
đượ
c
(4 – 15)
N
ế
u ta g
ọ

i
(4 – 16)



=
=
∑∑
∑
ii
i
yuub
ynb
2
1
0







=
=
∑
∑
∑
2
1

0
1
i
ii
i
u
yu
b
y
n
b





=+
=
=+
∑∑∑
∑∑
∑
∑
iiii
iii
ii
yuubub
yuub
yubbn
24

2
2
0
2
1
2
20
.
( )
( )











−
−
=
=
−
−
=
∑∑
∑∑∑

∑
∑
∑∑
∑
∑
∑
∑
2
24
22
2
2
1
2
24
224
0
ii
iiii
i
ii
ii
iiiii
uun
uyyun
b
u
yu
b
uun

uyuuy
b
( )
( ) ( )







−
=
−
=
−
===
∑∑∑∑
∑
∑∑
∑
∑
; ;
;;
1
;
1
2
24
5

2
24
2
4
2
24
4
3
2
21
iiii
i
ii
i
i
uun
n
uun
u
uun
u
u
n
αα
ααα
Đồ án tốt nghiệp



- 24 -

Sinh viên th
ự
c hi
ệ
n: Bùi V
ă
n B
ằ
ng

L
ớ
p: To
ỏ
n Tin_2 – K48
Khi
đ
ó các k
ế
t qu
ả
(4 – 14) và (4 – 15) có th
ể
tóm t
ắ
t trong b
ả
ng 2. Ngoài ra
t
ừ

(4 – 16) ta nh
ậ
n th
ấ
y các s
ố
theo nh
ữ
ng giá tr
ị
l
ẻ
c
ủ
a n t
ừ
3
đế
n 21
ở

b
ả
ng 3. Trong ph
ầ
n d
ướ
i c
ủ
a b

ả
ng 4 cho các s
ố
theo nh
ữ
ng giá tr
ị
ch
ẵ
n
c
ủ
a n t
ừ
4
đế
n 22.
m
Các h
ệ
s
ố
c
ủ
a Q (u)
b b b
1
2

Bảng 2
(Để đơn giản trong phần này ta hiểu là )




Với n lẻ:
n






3
5
7
9
11

13

15

17

333333.10

200000.10

142857.10

111111.10

500000.10

100000.10

357143.10

166667.10

100000.10

485714.10

333333.10

255411.10

100000.10

142857.10

476190.10

216450.10

150000.10
714286.10

119048.10
324675.10
116550.10
499500.10
242405.10
128999.10
i
α
i
α
m
0
1 2
∑
i
y
1
α
∑
ii
yu
2
α
∑
∑
−
iii
yuy
2
43

αα
∑
ii
yu
2
α
∑
∑
−
iii
yyu
4
2
5
αα
∑
∑
=
n
i 1
1
α
2
α
3
α
4
α
5
α

6
−
6
−
6
−
6
−
6
−
6
−
7
−
7
−
7
−
8
−
8
−
8
−
5
−
6
−
7
−

7
−
5
−
7
−
7
−
8
−
8
−
9
−
9
−
9
−
Đồ án tốt nghiệp



- 25 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
19

21

909091.10

769231.10

666667.10

588235.10

526316.10

476190.10

909091.10

549451.10

357143.10

245098.10

175439.10

129870.10

207459.10

174825.10

151131.10

133127.10

118973.10

107551.10

116550.10

699301.10

452489.10

309598.10

221141.10

163452.10

737137.10

445778.10

Bảng 3
Với n chẵn:
n

4
6
8
10

12

14

16

18

20

22

250000.10

166667.10

125000.10

100000.10

833333.10

714286.10
500000.10

142857.10

595283.10

303030.10

174825.10

109890.10
640625.10

394531.10

289062.10

228906.10

189732.10

162109.10
781250.10

195312.10

781250.10

390625.10

223214.10

139509.10
156250.10
167411.10
372024.10
118371.10
468282.10

214629.10

109419.10

604683.10

356004.10

220567.10

7−
7−
7−
7−
7−
7−
8−
8−
8−
8−
8−
8−

8−
8−
8−
8−
8−
8−
7−
8−
8−
8−
8−
8−
10−
10−
1
α
2
α
3
α
4
α
5
α
6−
6−
6−
6−
7−
7−

7−
8−
8−
8−
6−
6−
6−
6−
6−
7−
7−
8−
8−
8−
7−
8−
9−
9−
10−
10−
10−
11−
11−
11−