BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI VÀ ỨNG DỤNG

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page



I.Bt đng thc Bunhiacơpxki ( BCS ) :


Cho 2 b s thc
()
12
; ; ;
n
aa a và
()
12
; ; ;
n
bb b , mi b gm n s. Khi đó ta có:

()
()
(
)
2
22 222 2
11 2 2 1 2 1 2

nn n n
ab a b a b a a a b b b+++ ≤+++ +++

Du đng thc xy ra khi và ch khi:

12
12

n
n
a
aa
bb b
===
vi quy c nu mu bng 0 thì t phi bng 0.

II. Các h qu :

H qu 1:

Nu
11

nn
ax ax C++ =(khơng đi) thì
()
22
1
22
1
min

n

n
C
xx
aa
++ =
+
+

đt đc khi
1
1

n
n
x
x
aa
==


H qu 2:

Nu
222
1

n
x
xC++ = (khơng đi) thì
()

22
11 1
max
nn n
ax ax C a a
+
+= ++
đt đc khi
1
1
0
n
n
x
x
aa
== ≥


()
22
11 1
min
nn n
ax ax C a a++ =− ++
Du “=” xy ra
1
1
0
n

n
x
x
aa
⇔==≤


III.Bt đng thc Bunhiacơpxki m rng:



• M rng bt đng thc Bunhiacơpxki cho 3 dãy s thc khơng âm
()
12
; ; ;
n
aa a ;
()
12
; ; ;
n
bb b ;
()
12
; ; ;
n
cc c ta ln có :
()
()
(

)
(
)
2
33 333 333 3
111 222 1 2 1 2 1 2

nnn n n n
abc abc a bc a a a b b b c c c+++ ≤+++ +++ +++

Chng minh:
t
33 3 33 3 33 3
333
12 12 12
, ,
nn n
Aaa aBbb bCcc c= + ++ = + ++ = + ++
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

Nu 0A = hoc 0B = hoc 0C = thì bt đng thc hin nhiên đúng vì khi đó c hai v ca bt đng thc
đu bng 0.
Vy ta ch xét trng hp
0; 0; 0ABC>>>
t
;;

iii
iii
abc
xyz
ABC
===
vi 1;2;3i =
Khi đó ta có:
333
123
333
123
333
123
1
1
1
xxx
yyy
zzz
⎧
++=
⎪
++=
⎨
⎪
++=
⎩
và bt đng thc cn chng minh tr thành:
111 2 22 3 33

1xyz xyz xyz++≤
Áp dng bt đng thc Cauchy cho 3 s khơng âm:
(
)
333
;; 1;2;3
iii
xyzi=
ta có:
333
111
111
333
222
222
333
333
333
3
3
3
x
xx
xyz
x
xx
xyz
x
xx
xyz

⎧
++
≤
⎪
⎪
⎪
+
+
≤
⎨
⎪
⎪
++
≤
⎪
⎩


Cng các bt đng thc trên li ta đc:
111 2 22 3 33
1xyz xyz xyz
+
+≤(đpcm)
ng thc xy ra
111
111
222
222
333
333

abc
ABC
xyz
abc
xyz
ABC
xyz
abc
ABC
⎧
==
⎪
==
⎧
⎪
⎪⎪
⇔==⇔ ==
⎨⎨
⎪⎪
==
⎩
⎪
==
⎪
⎩

Hay
()
:: :: 1;2;3
iii

abc ABCi==tc là:
111 2 2 2 3 33
:: :: ::abc abc abc
=
=
• Tng qt : bt đng thc Bunhiacơpxki m rng cho rng cho m dãy s thc khơng âm:

Cho
m dãy s thc khơng âm:
()
12
; ; ;
n
aa a ,
()
12
; ; ;
n
bb b , … ,
()
12
; ; ;
n
KK K
Ta có:
()
(
)
(
)( )

11 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

m
mm mmm m m m m
nn n n n n
ab K a b K a b K a a a b b b K K K+++ ≤++++++ +++

Du “=” xy ra khi và ch khi:
11 1 2 2 2
: : : : : : : : :
nn n
ab K ab K a b K==( chng minh tng t nh trên)



I- MT S VÍ D :


Bài 1:
Cho ,,
x
yz là ba s dng tha 4 9 16 49xy z++ =. Chng minh rng:
12564
49T
xy z
=
++≥
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

ng thc xy ra khi nào?
Hng dn gii
Áp dng BT Bunhiacơpxki cho sáu s
2;3;4
x
yzvà
158
;;
x
yz
ta đc:
()
()()()
2
2
2
222
12584 1 5 8
49. 4 9 16 2 3 4Txyz x y z
xy z
xyz
⎡
⎤
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞

⎡⎤
⎢
⎥
=++ ++ = + + + +
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎜⎟
⎣⎦
⎢
⎥
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎣
⎦

2
2
158
2. 3. 4. 49xyz
xyz
⎛⎞
≥++ =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

12564
49T
xy z
⇒=+ + ≥
ng thc xy ra khi
1
2
158
5
234
3
4 9 16 49
2
x
xyz
y
xy z
z
⎧
=
⎪
⎧
⎪
==
⎪⎪
⇔=
⎨⎨
⎪⎪
++ =

⎩
=
⎪
⎪
⎩


Bài 2 : Cho 0; 0xy>> và
22
x
yxy+≤+.Chng minh:
325xy+≤+
Hng dn gii
Gi thit:
22
22
111
222
xyxy x y
⎛⎞⎛⎞
+≤+⇔− +− ≤
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

Áp dng BT Bunhiacơpxki cho 2 b s:
()
11
1; 3 ; ;
22
xy

⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
ta có:
2
22
11 11
1. 1 3. 10 5
22 22
yxy
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
−+−≤ −+−≤
⎢⎥
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦

()
2
32 5xy⇒+− ≤
32 5xy⇒+ −≤
325xy⇒+ ≤+
ng thc xy ra khi
15

210
135
210
x
y
⎧
=+
⎪
⎪
⎨
⎪
=+
⎪
⎩


Bài 3 :
Cho , , 0abc≥ ; 1abc++=.Chng minh:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

222
1111
30
ab bc ac
abc
+

++≥
++

Hng dn gii
Gi
222
1111
A
ab bc ac
abc
=+++
++

Áp dng BT Bunhiacơpxki cho 2 b s:
(
)
222
222
1111
;;;
;3 ;3 ;3
ab bc ca
abc
abc ab bc ca
⎛⎞
⎜⎟
++
⎝⎠
++

Ta có:
()
()
2
222
1333 9 9 9a b c ab bc ca A+++ ≤ + + + + +

()( )
2
100 7abc abbcca A
⎡⎤
⇒≤+++ ++
⎣⎦
(*)
Mà
()
2
11
(do 1)
33
ab bc ca a b c a b c++≤ ++ = ++=
Do đó: (*)
30.A⇒≥
ng thc xy ra khi
1
3
abc===
Bài 4 : Cho ; ; 0xyz> và tho 1
x
yz++≤.Chng minh :

222
222
111
82xyz
xyz
++ ++ +≥

Hng dn gii
Gi
222
222
111
Sx y z
x
yz
=+++++

Áp dng BT Bunhiacơpxki cho 2 b s:
()
1
1; 9 ; ;x
x
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Ta có:
22
22
911

181. 82.xxx
x
x
x
+≤ + + = +
(1)
Tng t:
2
2
91
82.yy
y
y
+≤ +
` (2)

2
2
91
82.zz
z
z
+≤ +
(3)
Cng (1),(2) và (3) theo v ta đc:
111
.82 9Sxyz
x
yz
⎛⎞

≥+++ + +
⎜⎟
⎝⎠

Hay
() ()
111
.82 81 9 80Sxyz xyz
xyz
⎛⎞
≥+++++−++
⎜⎟
⎝⎠

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page


()
111
2.9.3. 80 162 80 82xyz
xyz
⎛⎞
≥++++−≥−=
⎜⎟
⎝⎠

Vy
222
222
111
82xyz
xyz
++ ++ +≥


Bài 5 : Cho ba s thc dng ,,abctho ab bc ca abc
+
+= .Chng minh rng:
22 22 22
222
3
ba cb ac
ab bc ca
+++
++≥

Hng dn gii
Ta có:
22 22
22 2 2
2211
2
ba ba
ab
ab a b
++

==+(do ,abdng)
t
111
;;xyz
abc
===
thì
gi thit
,, 0 ;; 0
1
abc xyz
ab bc ca abc x y z
>>
⎧⎧
⇔
⎨⎨
++= ++=
⎩⎩

và (đpcm)
22 22 22
2223xy yz zx⇔+++++≥
Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có:
()
(
)
()
2
22 222
323

x
yxyyxyy+=++≥++

()
22
1
22
3
x
yxy⇒+≥ +
Tng t
()
22
1
22
3
y
zyz+≥ +

()
22
1
22
3
zx zx+≥ +
Vy
()
22 22 22
1
2223333

3
xy yz zx xyz+++++≥ ++=
ng thc xy ra khi
1
3
xyz===
Vi
1
3
xyz=== thì
3abc===


Bài 6 : Chng minh:
()
111 1abccab−+ −+ −≤ + vi mi s thc dng
;; 1abc≥

Hng dn gii
t
222
1;1;1axbycz−= −= −=
Vi ; ; 0.xyz> Bt đng thc cn chng minh tr thành:
()()()
222
1111xyz z x y
⎡
⎤
++≤ + + ++
⎣

⎦

Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

()() ()
(
)
22 22
11 11
x
yx y xyzx y z+≤++⇒++≤+++ (1)
()() ()()
22 22 2
11 111.1xy zxy z+++≤++++ (2)
Kt hp (1) và (2) ta có
()()()
222
1111xyz z x y
⎡
⎤
++≤ + + ++
⎣
⎦

Vy

()
111 1abccab−+ −+ −≤ + (đpcm)

Bài 7 : Cho ; ; 0abc> và tho
1abc =
.Chng minh:

()()()
333
1113
2
abc bca cab
++≥
+++

Hng dn gii
t
111
;;xyz
abc
===
1; 0; 0; 0xyz x y z⇒=>>>
Ta cn chng minh bt đng thc sau : A=
222
3
2
xyz
yz zx xy
+
+≥

+++

Áp dng BT Bunhiacơpxki cho 2 b s :
()
;; ; ; ;
xyz
yz zx xy
y
zzxxy
⎛⎞
+++
⎜⎟
⎜⎟
+++
⎝⎠

Ta có:
()( )
2
x
yz yzzxxyA++ ≤ +++++
3
33
.
22 2
xyz
Axyz
++
⇒≥ ≥ =(do 1xyz = )
3

2
A⇒≥
ng thc xy ra khi 1
x
yz===
Vi 1
x
yz===thì 1.abc===


Bài 8 : Cho ; ; 0abc> .Chng minh:
()() ()() ()()
1
abc
a abac b bcba c cacb
++≤
++ + ++ + ++ +

Hng dn gii

Áp dng BT Bunhiacơpxki cho 2 b s:
(
)
(
)
;;;ab ca
Ta có:
()
()() ()()
2

ac ab a b c a ac ab a b c a+≤++⇒+≤++
()()
aacaba abca⇒+ + ≤+ + +
()()
aaa
aacab abc
aabac
⇒≤=
++ ++
++ +
(1)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

Tng t:
()()
bb
abc
bbcba
≤
++
++ +
(2)

()()
cc
abc

ccacb
≤
++
++ +
(3)
Cng (1),(2) và (3) theo v ta đc:
()() ()() ()()
1
abc
a abac b bcba c cacb
++≤
++ + ++ + ++ +

ng thc xy ra khi
abc==.

Bài 9 : Cho ; 0ab> và tho
22
9ab+=.Chng minh :
32 3
32
ab
ab
−
≤
++

Hng dn gii
Ta có:
22

9ab+=

()
()()
2
29
233
ab a b
ab a b a b
⇔=+−
⇔=++ +−

2
3
3
3
322
ab
ab
ab
ab a b
ab
⇔=+−
++
+
⇔=−
++

Mà theo BT Bunhiacơpxki thì
22

2. 3 2ab a b+≤ + =
Nên
32 3
32
ab
ab
−
≤
++

ng thc xy ra khi
22
;0
3
9
2
ab
ab ab
ab
>
⎧
⎪
⎪
+=⇔==
⎨
⎪
⎪
=
⎩

Bài 10: Cho ; ; ;abcddng tu ý.Chng minh :
111
p
qpqpq
a b c pa qb pb qc pc qa
+
++
++≥ + +
+++

Hng dn gii
Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có
() ()
2
2

pq pq
p
qpaqb paqb
ab ab
⎛⎞
⎛⎞
+= + ≤+ +
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠

Tng t ta chng minh đc

() ()() ()
22
;
pq pq
p
qpbqcpqpcqa
bc ca
⎛⎞ ⎛⎞
+≤+ + +≤+ +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Cng các v tng ng ca ba bt đng thc ta có :
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

() ()
2
111 111
pq pq
p
aqb pbqc pcqa abc
⎡⎤
⎛⎞
+++≤+++
⎜⎟
⎢⎥

+++
⎝⎠
⎣⎦

Hay
()
111111
pq
p
aqb pbqc pcqa abc
⎡⎤
+++≤++
⎢⎥
+++
⎣⎦

Vy
111
p
qpqpq
a b c pa qb pb qc pc qa
+
++
++≥ + +
+++


Bài 11 : Cho 4 s dng ;;;abcd.Chng minh:
33332222
3

a b c d abcd
bcd cda bd a abc
+++
+++≥
++ ++ + + ++

Hng dn gii
t
3333
abcd
P
bcd cd a bda abc
=+++
++ ++ ++ ++

Áp dng BT Bunhiacơpxki cho 2 b s:
()()()()
()
3333
;;;; ;;;
abcd
ab c d bc d a cd b a d a b c
bcd cd a bd a abc
⎛⎞
++ ++ ++ ++
⎜⎟
⎜⎟
++ ++ ++ ++
⎝⎠

Ta có:
()
()()()()
2
222 2
a b c d Pabcd bcda cd ab dabc+++ ≤ +++ +++ +++ ++⎡⎤
⎣⎦


()
()
(
)
2
2
222 2 222 2
abcd Pabcd abcd
⎡⎤
⇔ +++ ≤ +++ − +++
⎣⎦
(1)
Áp dng BT Bunhiacơpxki cho 2 b s:
()
(
)
; ; ; ; 1; 1;1;1abcd ta đc:
()
()
2
222 2

4abcd abcd+++ ≤ + + + (2)
T (1) và (2) ta đc
()
(
)
2
222 2 222 2
222 2
3
3
abcd Pabcd
abcd P
+++ ≤ +++
⇔+++≤

Vy
33332222
3
a b c d abcd
bcd cda bda abc
+++
+++≥
++ ++ ++ ++


Bài 12 :
Cho các s dng ;;abc tha a + b + c = 1 . Chng minh : 1
111
abc
ba cb ac

+
+≥
+− +− +−

Hng dn gii
t

111 222
abc abc
A
ba cb ac bc ca ab
=++ =++
+− +− +− + + +

Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có:
() () () ()
()()()
2
2
222
222
222
222
abc
abc a bc b ca c ab
bc ca ab
abc
abc bca cab
bc ca ab
⎡⎤

++ = + + + + +
⎢⎥
++ +
⎣⎦
⎡⎤
≤++ +++++
⎡⎤
⎣⎦
⎢⎥
+++
⎣⎦

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

()
()
2
3
abc
A
ab bc ca
++
⇔≥
++

Ta li có:

()( )
2
3abc abbcca++ ≥ + +
. Suy ra
(
)
()
3
1
3
ab bc ca
A
ab bc ca
++
≥=
++

Vy
1
111
abc
ba cb ac
++≥
+− +− +−

Du đng thc xy ra khi
222
1
3
1

bc ca ab
abc abc
abc
+= += +
⎧
⎪
== ⇔===
⎨
⎪
++=
⎩

Bài 13 : Gi s các s thc ;;;
x
yzttho mãn điu kin:
(
)
(
)
22 22
1ax y bz t
+
++= vi ;ablà hai s dng cho
trc. Chng minh:
()()
ab
xzyt
ab
+
++≤

Hng dn gii
Do ; 0ab> nên t gi thit ta có:
()()
2222
22 22
22 22
1
1
1

xy zt
ax y bz t
baab
xzyt
babaab
++
++ +=⇔ + =
⇔+++=

Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có:
() ()
2
22
2

x
zxz
xz b a ba
ba
ba

⎛⎞
⎛⎞
+= + ≤+ +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
(1)
Tng t :
()()
22
2
y
t
yt ba
ba
⎛⎞
+≤+ +
⎜⎟
⎝⎠
(2)
Cng tng v (1) và (2) ta đc:

()()()
22 22
22
x
zyt ab
xz yt ba
baba ab

⎛⎞
+
+++≤+ +++ =
⎜⎟
⎝⎠
(3)
Mt khác
()()()()
22
2
x
zyt xzyt+++≥ + + (4)
Do đó t (3) và (4) suy ra:
()()
ab
xzyt
ab
+
++≤

Du đng thc xy ra
xz
ba
xy
yt
ax
ba
zt
b
xz yt

⎧
=
⎪
=
⎪
⎧
⎪⎪
⇔= ⇔
⎨⎨
==
⎪⎪
⎩
+=+
⎪
⎪
⎩


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

Bài 14 : Cho các s thc dng ;;;
x
yzttho mãn 1.xyzt
=
Chng minh:
()()()()

3333
11114
3
x yz zt ty y xz zt tx z xt ty yx t xy yz zx
+++ ≥
++ ++ ++ + +

Hng dn gii
Vi
;;;
x
yzt
dt
1111
; ; ; ( ; ; ; 0)abcd abcd
xyzt
==== >và
1abcd
=

1111
;;;xyzt
abcd
⇒= = = =

Bt đng thc cn chng minh tng vi:
333 3
11114
11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1
3

bc cd bd ac cd ad ad bd ab ab bc ac
abc d
+++≥
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
++ ++ ++ ++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

3333
4
3
abcd
bcd cda dab abc
bcd adc abd abc
⇔+++≥
++ + + ++ ++

()()()()
333 3
4
3
abcd
abcd bcda cd ab dabc
⇔+++≥
++ + + ++ ++
(vì
1abcd =
)
2222
4

3
abcd
bcd cd a d ab abc
⇔+++≥
++ + + ++ ++

t
2222
abcd
S
bcd cd a d ab abc
=+++
++ + + ++ ++

Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có:

()()()()( )
2
.S bcd cda dab abc abcd++ + + + + ++ + ++ ≥ +++
⎡⎤
⎣⎦

()
()
()
2
1
33
abcd
Sabcd

abcd
+++
⇒≥ = +++
+++
(1)
Áp dng BT Cauchy vi 2 s dng:
2 ; 2ab ab cd cd+≥ +≥
Suy ra
()
2abcd ab cd+++ ≥ +
Li áp dng BT Cauchy cho 2 s dng
;ab cd ta có:
4
222ab cd abcd abcd+≥ = =
(vì 1abcd
=
) (2)
T (1) và (2) suy ra
4
3
S ≥
Vy
333 3
11114
11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1
3
bc cd bd ac cd ad ad bd ab ab bc ac
abc d
+++≥
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞

++ ++ ++ ++
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠

Du đng thc xy ra khi
11abcd x yzt====⇔==== .

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

4444
1234
3333
1234
1
4
xxxx
xxxx
+++
≥
+++
Bài 15 : Cho
1234
;;;
x
xxxdng tho điu kin
1234

1xx xx
+
++=.Chng minh :




Hng dn gii
Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có:
()
(
)
2
2222
1234 1 2 3 4
14
x
xxx xxxx= +++ ≤ +++
2222
1234
1
4
xxxx⇒+++≥
(1)
•
()
(
)
2
2222 3 3 3 3

1234 11 22 33 44

x
xxx xxxxxxxx+++ = + + +

()
()
3333
12341 234
x
xxxxxxx≤+++ +++

3333
1234
x
xxx=+++
(vì
1234
1xxxx+++=)

3333
2222
1234
1234
2222
1234
xxxx
x
xxx
xxxx

+++
⇔ ≥+++
+++
(2)
•
()
2
3333
1234
x
xxx+++

()
2222
11 2 2 33 4 4

x
xxxxxxx=+++

()()
22224444
12341234
x
xxxxxxx≤ +++ +++

4444 3333
1234 1234
3333 2222
1234 1234
x

xxx xxxx
x
xxx xxxx
+++ +++
⇒≥
+++ +++
(3)
T (1);(2) và (3) suy ra:




Bài 16 : Cho bn s dng ; ; ;abcd.Chng minh:
()
()
()
()
()
()
()
()
444 4
22 22 2 2 22
4
abc dabcd
aba b bcb c cdc d dad a
+++
++ + ≥
++ ++ ++ ++

Hng dn gii
Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có:
()
()()
()
(
)
(
)
22
22 22 22 22
224ab ab abab ab ab+≤ +⇔+ +≤ +≤ + (1)

()
()
()
44
22
1
4
ab
ab
aba b
+
⇔≥+
++

Mt khác:
()
()

44
22
ab
ab
aba b
−
=−
++

t
()
()
()
()
()
()
()
()
444 4
22 22 2 2 22
abc d
N
abab bcbc cdcd dada
=+++
++ ++ ++ ++

4444
1234
3333
1234

1
4
xxxx
xxxx
+++
≥
+++
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

Ta có:
()()
()
()
()()
()
()
(
)
(
)
()
()
(
)( )
()
()

44 44 44 44 4 4 4 4 44 44
22 22 2 2 22
2
ab ab bc bc cd cd d a da
N
aba b bcb c cdc d dad a
−++ −++ −++ −++
=+++
++ ++ ++ ++
(1)
() () () ()
1111
2
4444
Nababbcbccdcddada⇔≥ ++−+ ++−+++−+ ++−

()()
11
2
44
N abbccdda N abcd⇔ ≥ +++++++ ⇔ ≥ +++ ( đpcm )


Bài 17 :
Cho ; ;abclà các s thc dng.Chng minh:
222
1
888
abc
abcbaccab

+
+≥
+++

(Trích đ thi Olympic Tốn Quc T ln th 42, nm 2001)
Hng dn gii
t
222
888
abc
A
abcbaccab
=++
+++

Áp dng BT Bunhiacơpxki hai ln ta đc:
()
2
2
222
444
222
444
222
222
333
8 8 8
888
. 8 8 8
888

. . 8 . 8 . 8
abc
abc aa bc bb ac cc ab
abc bac cab
abc
a a bc b b ac c c ab
abcbaccab
A a a abc b b abc c c abc
⎡⎤
++ = + + + + +
⎢⎥
+++
⎣⎦
⎡⎤
⎡
⎤
≤++ +++++
⎢⎥
⎣
⎦
+++
⎣⎦
⎡⎤
=+++++
⎣⎦


()
()
333

.24A abca b c abc≤+++++ (1)
Mt khác
() ()()()
3
333
3abc a b c abbcac++ = + + + + + +
Áp dng BT Cauchy vi hai s dng ta có:
2 ; 2 ; 2a b ab b c bc a c ac+≥ +≥ +≥
Suy ra:
()()()
8a b b c a c abc+++≥

() ()()()
3
333 333
324abc a b c abbcac a b c abc⇒++ =+++ + + +≥+++ (2)
T (1) và (2) suy ra:
()()()()
232
abc A abcabc Aabc++ ≤ ++ ++ = ++
Do đó
1
A
≥
, ngha là
222
1
888
abc
abcbaccab

++≥
+++

Du đng thc xy ra khi
abc==.

Bài 18 : Cho ; ;xyz
+
∈ ฀ tho 1xy yz zt tx+ ++=.Chng minh:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

3333
1
3
xyz t
yztxztxytxyz
+++ ≥
++ ++ ++ ++

Hng dn gii
Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có:
()
()
(
)
2

22222222
x
yyzzttx x y z t y z t x+++ ≤ +++ +++
2222
1
x
yzt⇔≤ + + + (1)
t: ; ; ;
X
y z tY x z tZ x y tT x y z=++ =++ =++ =++
Khơng mt tính tng qt gi s:
x
yzt≥≥≥
2222
x
yzt⇒≥≥≥và
3333
x
yzt≥≥≥
và
y
zt xzt xyt x yz X Y Z T++≤++≤++≤++⇔ ≤ ≤ ≤
1111
X
YZT
⇒≥≥≥
Áp dng BT Trê-b-sp cho hai dãy s sau:
3333
1111
x

yzt
X
YZT
⎧
≥≥≥
⎪
⎨
≥≥≥
⎪
⎩


()
3333
3333
11111
4
xyzt
x
yzt
XY ZT XYZT
⎛⎞
+++≥ +++ +++
⎜⎟
⎝⎠
(2)
Áp dng BT Trê-b-sp cho hai dãy
2222
xyzt
x

yzt
≥≥≥
⎧
⎨
≥≥≥
⎩


()
()
()
3333 2222
1
4
x
yzt xyztxyzt+++ ≥ +++ +++
Mt khác:
()()
11
33
x
yzt xyzxytxztyzt XYZT+++= +++++++++++ = +++

()()
()
3333 2222
11
.
43
x

yzt xyzt XYZT⇒+++≥ +++ +++ (3)
T (2) và (3) rút ra:
()
()
3333
2222
1 1111
48
xyzt
xyztXYZT
X
YZT XYZT
⎛⎞
+++≥ +++ +++ +++
⎜⎟
⎝⎠

Theo (1) ta li có:
2222
1
x
yzt≤+++
Áp dng BT Cauchy cho
;;; 0XYZT> ta có:
()
4
4
4
1111 1
4

1111
.16
XYZT XYZT
XYZT XYZT
XYZT
XYZT
+++≥
+++≥
⎛⎞
⇒+++ +++≥
⎜⎟
⎝⎠

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

Vy
3333
11
.1.16
48 3
xyzt
XY ZT
+++≥ =
Thay
;;;

X
YZTta đc kt qu:
3333
1
3
xyz t
yztxztxytxyz
+++ ≥
++ ++ ++ ++

Du đng thc xy ra khi
1
2
xyzt====

Bài 19 : Cho n là s t nhiên.Chng minh rng:
(
)
12
2 1
nn
nn n
CC C n+++≤ −
Hng dn gii
Chn hai dãy
(
)
()
12
12 12

; ; ; ; 1
n
nnnn n
aCaCaCbb b== = ====
Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có:
(
)
()
()
2
12 12
1 1 1
nn
nn n nn n
CC C CC C+++ ≤+++ +++ (1)
Theo nh thc Newton ta có:
()
1
n
n
kknk
n
k
ab Cab
−
=
+=
∑

Cho

1ab==.Ta có:
01 1
2 2 1
nnnn
nn n n n
CC C C C=+++⇒−=++
Vy t (1) ta có:
(
)
12
2 1
nn
nn n
CC C n+++≤ −
Du đng thc xy ra khi
12
1
n
nn n
CC Cn===⇔=
.

Bài 20 : Cho ; ; ; 0abcd> .Chng minh :
2
23 2 3 23 23 3
abcd
bcdcdad ababc
+
++≥
++ + + ++ ++

(Trích đ d b Quc T Tốn M nm 1993)
Hng dn gii
Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có:
2
11 1
nn n
i
ii i
ii i
i
x
x
yx
y
== =
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
≥
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
∑∑ ∑

vi
()()( )
(
)
1234 1234

4; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 3 ; 2 3 ; 2 3 ; 2 3n x x x x abcd y y y y b c dc d ad a ba b c== =++++++++

⇒VT
()
()
2
4
abcd
ab ac ad bc bd cd
+++
≥
++ +++
(1)
Mt khác
()()
2
3
8
ab ac ad bc bd cd a b c d++ +++ ≤ +++ (2)
T (1) và (2) ⇒VT
2
3
≥ ( đpcm )

Bài 21 : Cho 0; 0; 0abc>>>.Chng minh :
444333
2
a b c abc
bc ca ab
+

+
++≥
++ +

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

Hng dn gii
t
444
222
123
;;
abc
xxx
bc ca ab
===
++ +
và
() () ()
2
22 22 2
123
;;abc ybca ycab y
+
=+=+=
Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có cho các s

123
;;
x
xxvà
123
;;
y
yyta đc:
()()()
()
444
2
2
2
22 333
abc
abc bca cab a b c
bc ca ab
⎛⎞
⎡⎤
++ +++++≥++
⎜⎟
⎣⎦
++ +
⎝⎠

Nên
()
()()()
2

333
444
2
22
abc
abc
bc ca ab
abc bca cab
++
++≥
++ +
++ ++ +

 chng minh đc bài tốn ta cn chng minh:
()
()()()
2
333 2 2
2 abc abcbcacab++ ≥ ++ ++ + (**)
(**)
332 2 332 2332 2
0ababbabcbcbccacaca⇔+−−++−−++−−≥

()()()()()()
222
0ab ab bc bc ca ca⇔− ++− ++− +≥
(***)
Bt đng thc (***) là đúng ⇔ (**) là đúng – Bài tốn đúng.
Vy
444333

2
abcabc
bc ca ab
++
++≥
++ +


Bài 22 : Cho 0; 1;2; ;
i
x
in>= có
12
1
n
xx x+++=.Cho
12
; ; ;
n
ii i
x
xxlà hốn v ca
12
; ; ;
n
x
xx.Chng minh:
(
)
2

2
2
1
1
1
k
n
k
k
i
n
x
xn
=
⎛⎞
+
+≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑

Hng dn gii
Theo Bunhiacơpxki:
2
22
11 11
11 1
.
kk k

nn nn
kkk
kk kk
ii i
nx x x
xx x
== ==
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
+≥ + = +
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦
∑∑ ∑∑

Mà
1
1
n
k
k
x
=
=
∑

2

22
11 1
1
11
k
kk
k
nn n
i
n
kk k
ii
i
k
n
x
nn
xx
x
== =
=
⎛⎞
⎛⎞
≥⇒ ≥ =
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∑∑ ∑

∑

Vy
(
)
2
2
2
1
1
1
k
n
k
k
i
n
x
xn
=
⎛⎞
+
+≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑

BÀI TP :



Bài 1:
Cho
;;; 0abcd>
và tha
()
3
22 22
cd ab+= + .Chng minh:
33
1
ab
cd
+
≥
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

Bài 2:
Cho ;;; 0abcd> .Chng minh:
11416 64
abc d abcd
+++ ≥

+
++

Bài 3:
Cho ;;abclà 3 s dng và
222
1abc++≥.Chng minh:
333
1
2
abc
bc ca ab
+
+≥
++ +

Bài 4:
Cho
222
1abc++=
.Chng minh:
13abcabacbc+++ + + ≤+
Bài 5:
Cho ;;abclà các s dng.Chng minh:
444222
222222
3
abcabc
abab bbcc caca
++

++≥
+
+++++

Bài 6:
Cho 3 s ;;
x
yztho
()()()
4
111
3
xx yy zz−+ −+ −≤.Chng minh: 4xyz
+
+≤
Bài 6:
Cho ; ;abclà 3 s khơng âm.Chng minh:
222
333
ab bc ca
abc
+++
++≥++

Bài 7:
Cho 3 s dng ; ;abccó
1abc =
.Chng minh:
22 22 22
3

2
bc ca ab
ab ac bc ba ca cb
+
+≥
+
++

Bài 8:
Cho 3 s dng ;;
x
yzcó 1
x
yz++=.Chng minh:
1
11933
2
y
xz
yz zx xy
+
+++
++≥
+++

Bài 9:
Chng minh:
()
2
abc

abc
xyz xyz
++
++≥
++

Bài 10:
Cho 0xyz≥≥>.Chng minh:
()
222
2
222
xy yz zx
x
yz
zxy
++≥++

Bài 11:
Cho 1; 1ab≥≥.Chng minh:
22 2
log log 2 log
2
ab
ab
+
⎛⎞
+≤
⎜⎟
⎝⎠

Bài 12:
Cho ; ; 0abc> .Chng minh:
()
()
2
333
111
abc abc
abc
⎛⎞
++ ++ ≥++
⎜⎟
⎝⎠

Bài 13:
Cho ; ;abc∈ ฀ .Chng minh:
() () ()
222
222
32
111
2
abbcca+− + +− + +− ≥
Bài 14:
Cho ;; 0xyz> và
3
2
xyz++≤.Chng minh:
222

222
1113
17
2
xyz
xyz
++ ++ +≥
Bài 15:
Cho trc 2 s dng ;abvà 2 s dng ;cdthay đi sao cho abcd
+
<+.Chng minh:

()
2
22
ac
ca
cd abcd ab
−
+≥
++−−+
. Du “=” xy ra khi nào?
Bài 16:
Cho
12
; ; ;
n
aa alà các s thc tho mãn
22 2
12

3
n
aa a
+
++ =.Chng minh:
12
2
23 1
n
a
aa
n
+++ <
+

Bài 17:
Cho ; ; ; ; 0abc pq> .Chng minh:
3abc
p
bqc pcqa paqb pq
++≥
+
+++

Bài 18:
Chng minh rng vi mi
()
1;2; ;
i
ai n∈=฀ ta có:

() () ()
22 2
22 2
1223 1
1 1 1
2
n
n
aaaa aa+− ++−+++−≥
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page








Bài 1:
Cho
A
BCΔ
tho mãn h thc:
333 2
2( )
9

a b c abc
br cR cr aR ar bR R
++
++=
++ +
(1).CM
A
BCΔ
đu
Hng dn gii
 đn gin ta đt:
0
0
0
xbrcR
ycraR
zarbR
=+ >
=+ >
=+ >
(2)
vy (1)
333 2
2( )
9
abc abc
xyz R
++
⇔++=

T (2) ta có:
()()ax by cz ab bc ca r R++= ++ +(3)
333
444 2 2 2 2 2 2
()( ) ()()()
abc y x z y x z
ax by cz a b c ab a b bc b c ca c a
x
yz x y y z z x
++ ++ =+++ + + + + +

Theo BTCauchy,ta có:
333
444 2222
( )( ) 2 . .2 .2 ( )
abc
ax by cz a b c ab ab bc bc ca ca a b c
xyz
++ ++ ≥+++ + + ≥ ++

Suy ra :
()
333 222
()
()
()
abc abc
x
y z ab bc ca r R
++

++ ≥
++ +
(theo 3) (4)
mt khác ta ln có (Cauchy):
222
a b c ab bc ca++≥ ++

nên (4):
333 2222 222
222
()
()()
a b c abc abc
x y z a b c rR rR
++ ++
++≥ =
++ + +


2
()
3( )
abc
rR
++
≥
+
(theo BT BCS)
Mà
9

23( )3( )
22
R
R
Rr rR R≥⇒ +≤ +=
t đó:
333 2
2( )
9
abc abc
xyz R
++
++≥

333 2
2( )
9
a b c abc
br cR cr aR ar bR R
++
⇒++≥
++ +

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

du “=” xy ra khi

222222
,,
abc
Rr
y
yz yx z
abbcca
x
zy zy x
⎧
⎪
==
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪
===
⎪
⎩

⇔
A
BC
Δ
đu

Bài 2 : CM: 1 cos cos cos 3sin sin sinABC ABC+≥ vi A, B,C nhn
Hng dn gii

Do tgA>0,tagB>0,tgC>0 và
1
22 22 22
AB BC C A
tg tg tg tg tg tg++=
Áp dng BCS ta có:
22 22 22
1
22 22 223
AB BC C A
tg tg tg tg tg tg++≥
(1)
Mt khác theo BT Cauchy ta có:
222
3
3
22 22 22 2 2 2
AB BC C A A B C
tg tg tg tg tg tg tg tg tg++≥
(2)
1
3
2223
ABC
tg tg tg⇔≤

t (1)và(2):
22 22 22
4
143

22 22 223 222
AB BC C A ABC
tg tg tg tg tg tg tg tg tg+++≥≥
222 222
111 111 83
222 222 222
ABC ABC ABC
tg tg tg tg tg tg tg tg tg
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⇔+ + + +− − − ≥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

222
222 222
111 222
222 222
1 3
111 111
222 222
ABC ABC
tg tg tg tg tg tg
ABC ABC
tg tg tg tg tg tg
−−−
⇔+ ≥
+++ +++

1 cos cos cos 3sin sin sinABC ABC⇔+ ≥
Du “=” xy ra khi

A
BCΔ
đu

Bài 3 : Cho a, b, c, là s đo 3 cnh Δ.chng minh rng
acb
a
T
−+
=
22
+
1
2222
≥
−+
+
−+ cba
c
bac
b

Hng dn gii
Áp dng BT Bunhiacpxki cho 6 s:
()()()
cbacbacbacba
cba
c
bac
b

acb
a
−+−+−+
−+−+−+
22;22;22;
22
;
22
;
22

Ta có:
()()()
[]
(
)
2
222222. cbacbacbacbacbaT ++≥−++−++−+
Sau đó dùng bin đi tng đng chng minh:
(a + b+ c)
2
≥ 4ab +4bc +4ca –a
2
–b
2
- c
2

T đó suy ra đpcm.

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

Bài 4 : Cho ABCΔ và đng tròn ni tip Δ , các tip tuyn ca đng tròn song song vi 3 cnh ca
Δ
nh
và có din tích S
1
; S
2
; S
3
. Gi S là din tích
ABC
Δ
. Chng minh:
3
321
S
SSS ≥++

Hng dn gii
Gi s S
1
= S
AMN
Ta có: AMNΔ đng dng ABCΔ vi t s đng dng là:

ha
rha 2
−
vi r là bán kính đng tròn ni tip và h
a
là
đng cao k t đnh A.
Ta có:
2
2
1
1
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=

p
a
ha
rha
S
S

(Vì S =
p
a
ha
r
praha =⇒=
2
2
1
vi p là na chu vi)
Vy:
p
a
S
S
−=1
1

Tng t:
p
b
S
S

−=1
2
;
p
c
S
S
−=1
3

Do đó:
13
321
=
++
−=
++
p
cba
S
SSS

Áp dng BT Bun ta có:
S =
()
()
()
321
222
2

321
111.1.1.1 SSSSSS ++++≤++
⇒
123
3
S
SSS++≥ (đpcm). Du “=” xy ra khi
ABC
Δ
đu

Bài 5 : Cho ABCΔ và 1 đim Q nào đó  trong
Δ
. Qua Q k đng thng song song vi AB ct AC  M và ct
BC  N. Qua đim Q k đng thng song song vi AC ct AB  F; ct BC  E. Qua E k đng thng song
song vi BC ct AC  P, ct AB  R. Kí hiu S
1
= dt(QMP); S
2
= dt(QEN); S
3
= dt(QFR) và S =
dt(ABC).Chng minh:
a)
()
2
123
SSSS=++ b)
123
1

3
SSS S++≥

Hng dn gii
a) Ta có: QMPΔ đng dng
B
ACΔ (t s
M
P
AC
).
Suy ra
2
1
1
S
S
M
PMP
SAC AC
S
⎛⎞
=⇒=
⎜⎟
⎝⎠
.
Tng t
3
2
;

S
S
PC AM
AC AC
SS
==
Do đó:
123
1
SSS
MP PC AM AC
AC AC
S
++
++
===
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

Suy ra:
()
2
123 123
SSSSSSSS=++⇒= ++
b) Áp dng BT Bunhiacơpxki ta có:
()
()

()
2
222
123 123
123
1. 1. 1. 1 1 1
1
Suy ra
3
SSSS SSS
SSS S
=++ ≤++++
++≥

Du “=” xy ra khi
123
SSS== ⇔ Q là trng tâm ABC
Δ


Bài 6 : Cho a , b , c là 3 cnh ca tam giác.Chng minh:
abc
abc
bca cab abc
++≥++
+− +− +−

Hng dn gii
t
0

0
0
bca x
cab y
abc z
+−= >
⎧
⎪
+−= >
⎨
⎪
+−=>
⎩

Khi đó ta cn chng minh:
() () ()
()
222
222
2 (1)
yz zx xy yz zx xy
xyz
yz y z zx z x xy x y xyz x y y z x z
+++ + + +
++≥ + +
⇔+++++≥ +++++

D thy
()
(1) 2VT xy yz zx≥++ (2)

Theo BT Bunhiacơpxki ta có:
()
()
()
()
2
6
6
(2) 2 3 (3)
xy yz zx xyz
xy yz zx xyz
VT xyz x y z
++ ++ + ≤ ++
⇒+++++≤ ++
≤++

Rõ ràng ta có
()
()()
()
22 22 22
2
3
3 (4)
xy xy xy xyz x y z
xy yz zx xyz x y z
xy yz zx xyz x y z
++≥ ++
⇒++ ≥ ++
⇒++≥ ++

T (1) (2) (3) (4)⇒đpcm. Du “=” xy ra khi
abc
=
=


Bài 7 : Cho ∆ABC. Chng minh : a
2
b(a – b) +b
2
c(b – a) + c
2
a(c – a) ≥ 0
( Trích đ thi vơ đch tốn quc t 1983 )
Hng dn gii
Gi A’; B’; C’ là các tip đim:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

t:
''
''
''
AB AC x a y z
B
ABCY bzx

CA CB Z c x y
== =+
⎧⎧
⎪⎪
===>=+
⎨⎨
⎪⎪
== =+
⎩⎩

vy: a
2
b(a – b) + b
2
c(b – c) + c
2
a(c – a) ≥0
<=> (y + z )
2
(z + x) (y – x) + (z + x)
2
(x + y) (x – y) + (x + y)
2
(y + z) (x - z) ≥ 0
< => y
3
z + z
3
x + x
3

y – xyz(x+y+z) ≥0
<=> y
3
z + z
3
x + x
3
y ≥ xyz (x+y+z)
222
(*)
yzx
x
yz
xyz
⇔++≥++
Áp dng BT Bunhiacơpxki(bin dng) ta có:
()
2
222
xyz
xyz
x
yz
zxy xyz
++
++≥ =++
++

vy (*) đúng ( đpcm ) .
Bài 8 : Vi a; b; c là đ dài 3 cnh ca ∆. CMR :

4916
26
ab
bca acb abc
+
+≥
+− +− +−

Hng dn gii
t:
4916ab c
P
bca acb abc
=++
+− +− +−

Ta có:
22 2
24. 9 16
ab c
P
bca acb abc
=++
+− +− +−

4. 1 9 1 16 1
abc abc abc
bca acb abc
++ ++ ++
⎛⎞⎛⎞⎛⎞

=−+−+−
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
++ +− +−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠

()
4916
29abc
bca acb abc
⎛⎞
=++ + + −
⎜⎟
+− +− +−
⎝⎠

()()()
4916
29bca acb abc
bca acb abc
⎡⎤
=+−++−++− + + −⎡⎤
⎣⎦
⎢⎥
+− +− +−
⎣⎦

Áp dng BT Bunhiacơpxki, ta có:
()
2
2

234
81 2 3 4 . .bca acb abc
bca acb abc
⎡⎤
=++ = +−+ +−+ +−
⎢⎥
+− +− +−
⎣⎦

()()()
4916
bca acb abc
bca acb abc
⎡⎤
≤+−++−++− + +⎡⎤
⎣⎦
⎢⎥
+− +− +−
⎣⎦

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

=> 2P ≥ 81 - 29
=> 2P ≥ 52 => P ≥ 26
Chn a = 7; b = 6; c = 5 thì du đng thc xy ra.
Bài 9 : Cho elip (E):

22
1
16 9
xy
+= các đim M; N chuyn đng ln lt trên, các tia Ox; Oy sao cho MN ln
tip xúc vi (E). Xác đnh to đ ca M; N đ đon MN có đ dài nh nht. Tìm giá tr nh nht đó.
Hng dn gii
C
1
: Gi M(m;O) và N(O,r) vi m; n>0 là 2 đim C
2
đng trên 2 tia Ox; Oy.
ng thng MN có pt:
10
xy
mn
+−=
ng thng này tx vi (E) khi và ch khi:
22
11
16 9 1
mn
⎛⎞ ⎛⎞
+
=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Theo BT Bunhiacơpxki. Ta có
2

222 22
22
16 9 4 3
MN ( ) . . 49mn mn m n
mn m n
⎛⎞⎛ ⎞
=+= + + ≥ + =
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠

=> MN ≥ 7
Du “=” xy ra <=>
22
43
::
16 9
127;21
0; 0
mn
mn
mn
mn
mn
⎧
=
⎪
⎪
⎪
+=⇔= =
⎨

⎪
>>
⎪
⎪
⎩

Vy vi
(2 7;0; (0; 21)MNthì MN đt GTNN và GTNN ca Mn là 7
C
2
: Pt tip tuyn ti đim (x
0
; y
0
) thuc (E) là
00

1
16 9
xx yy
+
=
Suy ra to đ ca M và N là
0
16
;0
M
x
⎛⎞
⎜⎟

⎝⎠
và
0
9
0;
N
y
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

()
22
22 2
2
2
00
22 22
00 00
16 9 16 9
43 49
16 9
xy
MN
xy xy
⎛⎞
⎛⎞
⇒=+=+ +≥+=
⎜⎟
⎜⎟

⎝⎠
⎝⎠

Khi đó
()()
27;0; 0;21MN= và GTNN ca MN là 7
Bài 10 : Cho ∆ABC. Cho p; q; r >0. CMR:
222
2. 3
Pq r
abcs
qr r p pq
++≥
++ +

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

(Trích tp chí tốn hc và tui tr)
Hng dn gii
Trc ht ta chng minh bài tốn sau:
Trong ∆ABC ta có:
222 2 2 2
43( ) ( ) ( )abc s ab bc ca++≥ +− +− +−

Tht vy:
(2)

22222 2
() () ()43abc bca cab s
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⇔−− +−− +−− ≥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦


4( )( ) 4( )( ) 4( )( ) 4 3
p
apb pbpc pcpa s⇔− −+− −+− −≥

3
x
yyzzxs⇔++≥ vi
0
0
0
xpa
ypb
zpc
=−>
⎧
⎪
=−>
⎨
⎪
=−>
⎩

3( )
x
yyzxz xyzxyz⇔++≥ ++
(Vì theo cơng thc Hêrơng:
()()() ( )sppapbpc xyzxyz=−−−= ++
222
()()()0xy yz yz zx zx xy⇔− +− +− ≥
BT này đúng. vy (2) đc chng minh:
Mt khác theo BT Bunhiacơpxki. Ta có:
2
2
()
ab c
abc qr r p pq
qr r p pq
⎛⎞
++ = ++ + + +
⎜⎟
⎜⎟
++ +
⎝⎠

222
2()
abc
p
qr
pr r p pq
⎛⎞
≤++ ++

⎜⎟
++ +
⎝⎠

222222
22()
pq r
a b c abc
qr r p pq
⎛⎞
≤+++++
⎜⎟
++ +
⎝⎠

222 22222
2()2()
pq r
a b c abc a b c
qr r p pq
⎛⎞
⇒++≥++−++
⎜⎟
++ +
⎝⎠

222 2 2 2
()()()abc ab bc ca
⎡⎤
≥++− − +− +−

⎣⎦
43s≥
Vy:
222
23
pq r
abcs
qr r p pq
++≥
++ +

Du “=” xy ra khi
abc
p
qr
==
⎧
⎨
==
⎩

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

Chú ý:

+ Qua phép chng minh trên, ta có kt qu “đp” trong ∆ABC

222 2 2 2
43( ) ( ) ( ) 43abc s ab bc ca s++≥ +− +− +− ≥

+ Ly p = q = r > 0 ta có BT quen thuc
222
43abc s++≥ ( thi Olympic tốn quc t ln 3)
+ Ly a = b = c. ta có BT Nesbit:
3
2
pq r
qr r p pq
++≥
++ +
(3)
Du “=” xy ra khi p = q = r > 0
+ Nu nhân 2 v ca (3) cho p + q + r > 0 ta đc
22 2
2
p
q r pqr
qr r p pq
++
++≥
++ +

Bài 11 : Cho t din ABCD có trng tâm G, bán kính mt cu ngoi tip R. CMR
()
2
4
6

GA GB GC GD R AB AC AD BC CD DB++++≥ +++++
( Trích tp chí Tốn hc và Tui tr)
Hng dn gii
Ta có 2 b đ:
•
B đ 1:
Nu G là trng tâm ca t din
A
BCD thì
()
(
)
222 222
2
3
16
AB AC AD CD DB BC
GA
++ − ++
=
Chng minh:
Gi
a
G là trng tâm ca
B
CDΔ . Ta có:
()
2
22
991

.
16 16 9
a
GA AG AB AC AD== ++
uuur uuur uuur


(
)
()
(
)
(
)
()()
222
222
222 222
3
16
3
16
AB AC AD AC AD AD AB AB AC
AB AC AD CD DB BC
++ −− −− −−
=
++ − ++
=
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

•
B đ 2:
Nu O; G theo th t là tâm mt cu ngoi tip và trng tâm ca t din
A
BCD
thì
2222 222222
22
44
GA GB GC GD AB AC AD CD DB BC
ROG
+++ +++++
−= =
Chng minh:
Theo h thc Leibnitz, vi mi đim M, ta có
22 2 22222 2
4
M
AMBMCMDGAGBGCGD MG+++ =++++

T đó, cho M trùng O, ta đc
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page

22 2 22222 2
4OA OB OC OD GA GB GC GD OG+++ =++++
Suy ra:

22 2 2
22
4
GA GB GC GD
ROG
+++
−= (1)
T b đ 1 suy ra
22 2 2 2 2 2222
44
GA GB GC GD AB AC AD CD DB BC+++ +++++
= (2)
T (1)(2) suy ra điu phi chng minh
Tr li vic gii bài tốn trên
Ta có
22 2 22 2

22
OA GA OG GA R OG
RGA OAGA OAGA
+− +−
=≥= =
uuuruuur

T đó theo các b đ 1 và 2, ta có

222
.
8
AB AC AD

RGA
++
≥
Theo BT Cauchy và Bunhiacơpxki, ta có
()
()
()
2
222
626.38.3
R
GA R GA R GA AB AC AD AB AC AD+≥ = ≥ ++ ≥ ++
Suy ra
()
6
R
GA AB AC AD+≥++
Tng t
()
()
()
6
6
6
R
GB BC BD BA
R
GC CD CA CB
R
GD DA DB DC

⎧
+≥++
⎪
⎪
+≥++
⎨
⎪
+ ≥++
⎪
⎩

Suy ra
()
2
4
6
GA GB GC GD R AB AC AD BC CD DB++++≥ +++++
ng thc xy ra khi và ch khi t din
ABCD là đu








B
B
À

À
I
I


T
T


P
P


:
:





Bài 1 :
Cho na đng tròn
()
;OR đng kính AB, M là đim chuyn đng trên na đng tròn.Xác đnh v trí
ca M đ
3
M
AMB+ đt giá tr ln nht.
Bài 2 :
Cho ABCΔ ni tip đng tròn bán kính R; ; ;

B
CaCAbABc
=
==.Gi x;y;z ln lt là khong cách t
M thuc min trong ca
ABCΔ đn các cnh BC;CA;AB.Chng minh:
222
2
abc
xyz
R
++
++≤
Bài 3 :
Cho a , b , c là 3 cnh ca tam giác.Hãy tìm giá tr nh nht ca biu thc:
222
222
abc
bca
P
abc
bca
++
=
++

Bài 4 :
Cho a , b , c là 3 cnh ca tam giác và
2
abc

p
+
+
= .Chng minh:
222 2
36
35
abc
abc p
p
⎛⎞
++≥ +
⎜⎟
⎝⎠

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com