ÔN TOÁN THPT 12

LỚP TOÁN THẦY CƯ- XÃ TẮC- TP HUẾ
Trung tâm ứng dụng CN và dạy học MTC
SĐT: 0834 332 133


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Nhắc lại định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoạcc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y  f ( x) xác định trên K . Ta
nói


Hàm số y  f ( x) đông biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn
x2 thì f  x1  nhỏ hơn f  x2  , tức là x1  x2  f  x1   f  x2  ;



Hàm số y  f ( x) nghịch biên (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ
hơn x2 thì f  x1  lớn hơn f  x2  , tức là x1  x2  f  x1   f  x2  .

Hàm số đồng biến hoạ̉c nghịch biển trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K .
Nhận xét:
- Nếu hàm số đổng biến trên K thì đổ thị đi lên từ trái sang phải (H.3a) ;
- Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xương từ trái sang phái (H.3b).

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lí: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm trên khoảng K

 Nếu f   x   0 với mọi x thuộc K thì hàm số f  x  đồng biến trên K .
 Nếu f   x   0 với mọi x thuộc K thì hàm số f  x  nghịch biến trên K .
Tóm lại, trên K
 f  ( x)  0  f ( x) 
 
 f ( x)  0  f ( x) 
CHÚ Ý

Nếu f  ( x)  0, x  K thì f ( x) không đổi trên K .
Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm trên khoảng K
Nếu f '  x   0  f '  x   0  , x  K và f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng
biến (nghịch biến) trên K .
Chú ý: f   x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm. Tuy nhiên một số hàm số có f '  x   0 tại vơ hạn
điểm nhưng các điểm rời rạc thì hàm số vẫn đơn điệu.
Ví dụ: Hàm số y  2 x  sin 2 x.
Ta có y '  2  2 cos 2 x  2 1  cos 2 x   0, x  .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 1


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

y  0  1  cos 2 x  0  x  k

 k  

có vơ hạn điểm làm cho y '  0 nhưng các điểm đó rời

rạc nên hàm số y  2 x  sin 2 x đồng biến trên .
II - QUY TǺC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Quy tắc
Bước 1. Tìm tập xác định.
Bước 2. Tính đạo hàm f  ( x) . Tìm các điểm xi (i  1, 2,, n) mà lại đó đạo hàm bằng 0 hoạc không
xác định.
Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Nêu kết luận vể các khoáng đống biến, nghịch biến của hàm số.
1
1
Ví dụ. Xét sự đổng biển, nghịch biền của hàm sồ y  x 3  x 2  2 x  2
3
2
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Cho hàm số y  f  x  . Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
1. Phương pháp:
- Bước 1: Tìm tập xác định
- Bước 2: Tính đạo hàm f  ( x) . Tìm các điểm tại đó f  ( x)  0 hoặc f  ( x) không xác định
- Bước 3 : Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
- Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số theo định lý trên
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y   x3  6 x 2  9 x  4 .
Lời giải.
Hàm số y   x3  6 x 2  9 x  4 có tập xác định    .
x  1
Ta có y  3x2  12 x  9 . Cho y   0  3 x 2  12 x  9  0  
 x  3.

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (;1), (3;  ) và đồng biến trên khoảng (1;3) .
Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y   x4  4 x2  3 .
Lời giải.
Tập xác định của hàm số y   x4  4 x2  3 là    .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 2


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

Ta có y  4 x3  8x . Cho y   0  4 x 3  8 x  0  4 x   x 2  2   0

4 x  0
x  0
x  0
 2
 2

  x  2  0
 x  2
 x   2.
Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;  2) và (0; 2) , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

( 2;0) và ( 2; ) .

Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y 

3  2x
.
x7

Lời giải.
Hàm số y 

17
3  2 x 2 x  3
có tập xác định    \ {7} . Ta có y  
 0, x  7 .

x7
x7
( x  7) 2

Bảng biến thiên

Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; 7) và ( 7;  ) .
Ví dụ 4. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  x  16  x 2 .
Lời giải.
Tập xác định:   [4; 4] .
Đạo hàm: y   1 

x
16  x 2



16  x 2  x
16  x 2

.

 x0
x  0
 16  x 2  x
Cho y   0  

 2
 x2 2.
2
2
2
x  8
0  16  x  x
16  x  0

Bảng biến thiên

Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 3


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.

WEB: TOANTHAYCU.COM

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (4; 2 2) và nghịch biến trên khoảng (2 2; 4) .
3. Bài tập
Câu 1:

2x 1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x 1
A. Hàm số đã cho đồng biến trên  .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên  .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định.
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định
Lời giải
Chọn D
1
Tập xác định: D   \ 1 . Đạo hàm: y / 
 0, x  1.
2
 x  1

Cho hàm số y 

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;1 và 1;   .
Câu 2:

x3
 x 2  x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
3
A. Hàm số đã cho đồng biến trên  .

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên  ;1 .
Cho hàm số y 

C. Hàm số đã cho đồng biến trên 1;   và nghịch biến trên  ;1 .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên  ;1 và nghịch biến 1;  .
Lời giải
Chọn A
Đạo hàm: y /  x 2  2 x  1   x  1  0, x   và y /  0  x  1 .
2

Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên  .
Câu 3:

Hàm số y  x3  3x 2  9 x  m nghịch biến trên khoảng nào được cho dưới đây?
A.  1;3

B.  ; 3 hoặc 1;   .

C. 

D.  ; 1 hoặc  3;  .
Lời giải

Chọn A
Ta có: y /  3x 2  6 x  9.
Ta có y /  0  3 x2  6 x  9  0  1  x  3 .
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  1;3 .

Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”

Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 4


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

Câu 4:

Hàm số y  2 x4  1 đồng biến trên khoảng nào?

1

A.  ;  
2


B.  0; 

 1

C.   ;  
2


Lời giải

D.  ;0 

Chọn B
Ta có y '  8x3  0  x  0 .
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  0;   .
Câu 5:

Cho hàm số y  2 x4  4 x 2 . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  0;1 .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ; 1 và 1;  .
C. Trên các khoảng  ; 1 và  0;1 , y '  0 nên hàm số đã cho nghịch biến.
D. Trên các khoảng  1;0  và 1;  , y '  0 nên hàm số đã cho đồng biến.
Lời giải
Chọn B
x  0
Ta có y '  8 x 3  8 x  8 x  x 2  1 ; y '  0  
.
 x  1
Vẽ phác họa bảng biến thiên và kết luận được rằng hàm số

● Đồng biến trên các khoảng  1;0  và 1;  .
● Nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  0;1 .
Câu 6:

2x 1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x2
A. Hàm số đã cho đồng biến trên .

Cho hàm số y 

B. Hàm số đã cho đồng biến trên  \ 2 .

C. Hàm số đã cho đồng biến trên  ; 0  .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên 1;   .

Lời giải
Chọn D
Tập xác định: D   \ 2 . Đạo hàm y  
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng

5

 0, x  2.

 x  2
 ; 2  và  2;   .
2

Suy ra hàm số đồng biến trên 1;   . Chọn D
Bình luận: Hàm số đồng biến trên tất cả các khoảng con của các khoảng đồng biến của
hàm số. Cụ thể trong bài toán trên:
 Hàm số đồng biến trên  2;   ;
 1;     2;   .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 5


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

Suy ra hàm số đồng biến trên 1;   .

Câu 7:

Cho hàm số y  1  x 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên  0;1 .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên toàn tập xác định.
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên  0;1 .

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên toàn tập xác định.
Lời giải
Chọn C
x
Tập xác định D   1;1 . Đạo hàm y ' 
; y'  0  x  0.
1  x2
Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên  0;1 .
Câu 8:

Cho hàm số y  x  1  4  x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên 1;4  .

 5
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên  1;  .
 2
5 
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên  ; 4  .
2 
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên .

Lời giải

Chọn C
Tập xác định: D  1; 4 . Đạo hàm y ' 

1
1
.

2 x 1 2 4  x

 x  1; 4 
5
Xét phương trình y '  0  x  1  4  x  

 x   1; 4  .
2
 x  1  4  x
5 
Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 4  .
2 
Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên, tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
1. Phương pháp: Dự vào bảng biến thiên
* Nếu y '  0 ( hoặc chiền biến thiên của hàm số đi xuống) trên khoảng  a; b  thì hàm số nghịch
biến trên khoảng đó
* Nếu y '  0 ( hoặc chiền biến thiên của hàm số đi lên) trên khoảng  a; b  thì hàm số đồng biến
trên khoảng đó
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 6


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?
Lời giải
Ta có y  0, x  (; 1)  (0;1)  y  0, x  (; 2) .
Ví dụ 2:
Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên dưới đây. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 1) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; ) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;  ) .
Lời giải.
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 0), (0;1) và đồng biến trên
khoảng (1;  ) . Do đó, khẳng định "Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;  ) " sai.
3. Bài tập
Câu 1:

Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

I. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ; 5 và  3; 2  .
II. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;5 .
III.Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  2;   .
IV.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ; 2  .
A. 1

B. 2

C. 3
Lời giải

D. 4

Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 7


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ; 2  ;
nghịch biến trên khoảng  2;   .
Suy ra II. Sai; III. Đúng; IV. Đúng.
Ta thấy khoảng  ; 3 chứa khoảng  ; 5 nên I Đúng.
Vậy chỉ có II sai.

Câu 2:

Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  2;   và  ; 2  .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên  ; 1   1; 2  .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  0;2  .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên  2; 2  .
Lời giải
Chọn C
Vì  0; 2    1; 2  , mà hàm số đồng biến trên khoảng  1; 2  nên suy ra C đúng.
Câu 3:

Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?

1

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ;   và  3;   .
2

 1

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ;   .
 2

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  3;   .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;3 .
Lời giải

Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 8


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

1

 1 
● Đồng biến trên các khoảng  ;   và   ;3  .
2

 2 
● Nghịch biến trên khoảng  3;  .
Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục trên  \  2 và có bảng biến thiên như hình

Câu 4:

dưới đây

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng   3;  2     2; 1 .
B. Hàm số đã cho có giá trị cực đại bằng  3.
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ;  3 và  1;    .
D. Hàm số đã cho có điểm cực tiểu là 2.

Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét sau
Hàm số nghịch biến trên khoảng   3;  2  và   2; 1  A sai (sai chỗ dấu  ).
Hàm số có giá trị cực đại yC    2  B sai.

Hàm số đồng biến khoảng   ;  3 và  1;     C đúng.
Hàm số có điểm cực tiểu là  1  D sai.
Dạng 3: Dựa vào đồ thị hàm số

y  f x 

hoặc y  f ' x  . Tìm các khoảng đồng biến, nghịch
biến của hàm số

1. Phương pháp:


Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên khoảng  a; b  thì sẽ đồng biến trên khoảng đó



Đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên khoảng  a; b  thì sẽ nghịch biến trên khoảng
đó

2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây
đúng?

Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo

Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 9


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 1; 0) và (1;  ) .
B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (; 1) và (0;1) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1) .
D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( 1; 0) và (1;  ) .
Lời giải.
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1; 0) và (1;  ) . Chọn đáp án (A)
Ví dụ 2. Hàm số y  f ( x ) có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f ( x ) đồng biến trên khoảng nào
dưới đây?

Lời giải.
Dựa vào đồ thị, hàm số đồng biến trên (; 1) và 1; 
3. Bài tập
Câu 1:

Cho hàm số

y  f x 

xác định, liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định

nào sau đây là sai?

A. Hàm số đồng biến trên 1;    .
B. Hàm số đồng biến trên   ; 1 và 1;    .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;1 .
D. Hàm số đồng biến trên   ; 1  1;    .
Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị ta có kết quả: Hàm số đồng biến trên  ; 1 và 1;   , nghịch biến
trên  1;1 nên các khẳng định A, B, C đúng.
Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng  a; b  thì khẳng định D sai.
Câu 2:

Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây
là đúng?

Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lịng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 10


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

A. Hàm số đồng biến trên   ; 0  và  0;    .
B. Hàm số đồng biến trên  1;0   1;    .
C. Hàm số đồng biến trên   ; 1 và 1;    .
D. Hàm số đồng biến trên  1;0  và 1;    .
Lời giải
Chọn D

Từ dáng điệu của đồ thị ta nhận thấy trong khoảng  1;0  ; 1;    dáng điệu của hàm số
là đi lên nên hàm số đồng biến trên  1;0  ; 1;    .
Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng  a; b  thì khẳng định B sai.
Câu 3 :

Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '  x  xác định, liên tục trên  và f '  x  có đồ thị như
hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
y

O 1
3

-1

x

-4

A. Hàm số đồng biến trên 1;   .
B. Hàm số đồng biến trên  ; 1 và  3;   .
C. Hàm số nghịch biến trên  ; 1 .
D. Hàm số đồng biến trên  ; 1   3;   .
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị của hàm số f '  x  , ta có nhận xét:
 f '  x  đổi dấu từ '' '' sang '' '' khi qua điểm x  1.
 f '  x  đổi dấu từ '' '' sang '' '' khi qua điểm x  3.
Do đó ta có bảng biến thiên
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”

Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 11


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy B đúng.
Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên tập xác định
1. Phương pháp:
Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên K (một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng) đồng thời phương
trình f  ( x) vơ nghiệm trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K . Khi đó

 Hàm số f ( x ) đồng biến trên K  f  ( x)0, x  K .
■ Hàm số f ( x ) nghịch biến trên K  f  ( x)  0, x  K .
Kiến thức bổ trợ
Cho tam thức bậc hai h( x)  ax 2  bx  c(a  0) . Khi đó
a  0
a  0
h( x )0, x    
h( x )  0, x    
  0
  0.

Lưu ý: khi đã chắc chắn a  0 , hai cơng thức trên đây mới được sử dụng.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y  x3  3x 2  3(m  2) x  3m  1 đồng biến trên
.

Lời giải.
Hàm số y  x3  3x 2  3(m  2) x  3m  1 có tập xác định    . Hàm số đồng biến trên

  y   3x 2  6 x  3(m  2)0, x   .

a  0
3  0
 

 m  1
9  9(m  2)  0
  0

Vậy với m  1 thì hàm số đồng biến trên  .
1
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y  (3  m) x 3  ( m  3) x 2  ( m  2) x  3 đồng
3
biến trên  .

Lời giải.
1
Hàm số y  (3  m) x 3  ( m  3) x 2  ( m  2) x  3 có tập xác định    .
3

* Xét a  3  m  0  m  3 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 12

LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

Khi đó hàm số trở thành y  6 x 2  5 x  3 . Đây là hàm số bậc hai, có lúc tăng, lúc giảm khi xét trên
 . Do đó ta loại m  3 .

* Xét a  3  m  0  m  3 .
Hàm số luôn tăng trên   y  (3  m) x2  2(m  3) x  (m  2)0


m  3
3
a  3  m  0

 

   m  1
 3
2
2
  m  1
  2m  5m  3  0
 2

Vậy với 

3
 m  1 thì hàm số đồng biến trên  .

2

Ví dụ 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y 

mx  m  7
đồng biến trên mọi khoảng của
5x  m  3

tập xác định.
Lời giải.

 m  3
Tập xác định:    \ 
.
 5 
Ta có y  

m 2  2m  35
.
(5 x  m  3)2

Hàm số đồng biến trên mọi khoảng xác định khi và chỉ khi
y   0, x 

m3
  m 2  2m  35  0  m  ( 7;5).
5

Vậy, với m  ( 7;5) thì hàm số đồng biến trên mọi khoảng xác định của nó.
3. Bài tập

Câu 1:

Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x3  3 x2  mx  m đồng biến
trên tập xác định
A. m  1.

B. m  3.

C. 1  m  3.
Lời giải

D. m  3.

Chọn B
TXĐ: D   . Đạo hàm y '  3x 2  6 x  m .
a  0
3  0
Ycbt  y '  0, x   ( y '  0 có hữu hạn nghiệm)  

 m  3.
 '  0
9  3m  0

Câu 2:

1 3
x  mx 2   4 m  3 x  2017 . Tìm giá trị lớn nhất của tham số thực m
3
để hàm số đã cho đồng biến trên  .
A. m  1 .

B. m  2 .
C. m  4 .
D. m  3 .
Lời giải

Cho hàm số y 

Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 13


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

Chọn D
Tập xác định D   . Đạo hàm y '  x 2  2mx  4m  3 .

Để hàm số đồng biến trên   y '  0, x   ( y '  0 có hữu hạn nghiệm)
  '  m 2  4m  3  0  1  m  3 .
Suy ra giá trị lớn nhất của tham số m thỏa mãn ycbt là m  3.

Câu 3:

Cho hàm số
của

m

y   x 3  mx 2   4 m  9  x  5

với

m

là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên

để hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   ?

A. 4.

B. 6.

C. 7.
Lời giải

D. 5.

Chọn C
TXĐ: D   . Đạo hàm y '  3x 2  2mx  4m  9.

Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  ;   thì  y '  0, x   ( y '  0 có
hữu

hạn

nghiệm)

  '  0  m2  3  4m  9   0  9  m  3

m

 m  9; 8;...; 3 .

Sai lầm hay gặp là '' Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

 ;  

thì

 y '  0, x   '' . Khi đó ra giải ra 9  m  3

Câu 4:

m 3
x  2 x 2   m  3 x  m . Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để hàm
3
số đồng biến trên 
A. m  4
B. m  0
C. m  2
D. m  1
Lời giải
Chọn D

Cho hàm số y 

TXĐ: D   . Đạo hàm: y '  mx2  4 x  m  3 .

Yêu cầu bài toán  y '  0, x   ( y '  0 có hữu hạn nghiệm):
TH1. ● m  0 thì y '  4 x  3  0  x 

3
(không thỏa mãn).
4

a  m  0
TH2. ● 
 m  1.
2
 ' y '  m  3m  4  0
Suy ra giá trị m nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là m  1.
Câu 5:

x3
  m  2  x 2   m  8 x  m 2  1 . Tìm tất cả các giá trị của
3
tham số thực m để hàm số nghịch biến trên .
A. m  2 .
B. m  2 .
C. m  2 .
D. m  2 .
Lời giải
Chọn C
Cho hàm số y   m  2 

Ta có y '   m  2  x 2  2  m  2  x  m  8 .
Yêu cầu bài toán  y '  0, x   ( y '  0 có hữu hạn nghiệm):

TH1 ● m  2  0  m  2 , khi đó y '  10  0, x   (thỏa mãn).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 14


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

a  m  2  0
m  2  0
TH2 ● 

 m  2 .
2
 '   m  2    m  2  m  8   0
10  m  2   0
Hợp hai trường hợp ta được m  2.

Câu 6:

mx  2m  3
với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
xm
nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S
A. 5
B. 4

C. Vô số.
D. 3
Lời giải
Chọn D

Cho hàm số y 

Ta có y ' 

m 2  2m  3

 x  m

2

.

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì y '  0, x  m
m
 m2  2m  3  0  1  m  3 
 m  0;1; 2 .
m
 m  1; 0;1; 2;3 .
Sai lầm hay gặp là cho y '  0, x  m  1  m  3 

Dạng 5: Tìm tham số m để hàm số đồ ng biến và nghịch biến trên tập con của  , trên khoảng
có độ dài bằng l
1. Phương pháp:
Phương pháp 1: Cô lập tham số, lập bảng biến thiên, từ đó rút ra điều kiện của tham số.
Phương pháp 2: Lập bảng biến thiên trực tiếp để tìm các khoảng đơn điệu cụ thể, từ đó rút ra kết

luận.
Để hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có độ dài khoảng đồng biến ( a  0) ; nghịch biến (a  0)  x1; x2 
bằng l


Bước 1: Tính y  .



Bước 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến

a  0

  0


Bước 3: x2  x1  l (2) thành  x1  x2   4 x1  x2  l 2 .




Bước 4: Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo tham số.
Bước 5: Giải phương trình, so sánh với điều kiện (1) để chọn kết quả thỏa mann.

2

2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y   x3  3x 2  3mx  1 nghịch biến trên (0;  ) .
Lời giải.
Tập xác định của hàm số    .

Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 15


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

Ta có y  3x2  6 x  3m .
Hàm số nghịch biến trên (0;  ) khi và chỉ khi y  0, x  (0; ) .
Hay 3x 2  6 x  3m  0, x  (0; )  m  x 2  2 x, x  (0; ) (1).
Xét hàm số f ( x)  x2  2 x trên (0;  ) có f  ( x)  2 x  2; f  ( x)  0  x  1

Từ bảng biên thiên ta có (1)  m  1 .
Vậy với m  1 thì hàm số đã cho nghịch biến trên (0;  ) .
Ví dụ 2: Cho hàm số y  x3   m  1 x 2   2m 2  3m  2  x  2m  2m  1 . Tìm tất cả các giá trị thực
của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên  2;   .
Lời giải
Ta có y /  3 x 2  2  m  1 x   2 m 2  3m  2  .

Xét phương trình y /  0 có  /   m  1  3  2m 2  3m  2   7  m 2  m  1  0, m  .
2

Suy ra phương trình y /  0 ln có hai nghiệm x1  x2 với mọi m .
Để hàm số đồng biến trên  2;    phương trình y /  0 có hai nghiệm x1  x2  2
 x1  2    x2  2   0
 x1  x2  4



 x1  2  x2  2   0
 x1 x2  2  x1  x2   4  0

 2  m  1
4
m  5

3
3




3  2  m  .
2
2
2  m  1
2  m  2
   2m  3m  2 

2.

4

0

3
3
mx  4

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y 
nghịch biến trên ( ;1) .
xm
Lời giải.
Tập xác định    \ { m} . Ta có y  

m2  4
.
( x  m) 2

Hàm số nghịch biến trên ( ;1) khi và chỉ khi y  0, x  (;1) .
 m  ( ;1)
 m1
Hay  2

 2  m  1.
 2  m  2
m  4  0
Vậy với m  ( 2; 1 ], hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Ví dụ 4. Tìm a để hàm số y  x3  3x 2  ax  a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 .
Lời giải.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 16


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.

WEB: TOANTHAYCU.COM

Tập xác định của hàm số    .
Ta có: y   3 x 2  6 x  a;  y  9  3a .

Với 9  3a  0  a3  y0,    hàm số luôn đồng biến trên  , mâu thuẫn giả
thiết.
Do đó a3 khơng thỏa mãn u cầu bài toán.

Với 9  3a  0  a  3  y có hai nghiệm x1 , x2  x1  x2  .
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi
4a
9
2
x1  x2  1   x1  x2   4 x1  x2  1  4 
 1  a  (thỏa màn).
3
4
9
Vậy với a  , hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 .
4
3. Bài tập
Câu 1:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y  x 3  3  m  1 x 2  3m  m  2  x nghịch biến
trên đoạn  0;1 .
A. m  0.

B. 1  m  0.

C. 1  m  0.
Lời giải

D. m  1.

Chọn C
Đạo hàm y   3 x 2  6  m  1 x  3m  m  2   3.  x 2  2  m  1 x  m  m  2   .
Ta có  '   m  1  m  m  2   1  0, m   .
2

Do đó y  0 ln có hai nghiệm phân biệt x  m, x  m  2.
Bảng biến thiên

  0;1   m; m  2
Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số nghịch biến trên  0;1 
m  0

  1  m  0.
m  2  1

Câu 2:

Biết rằng hàm số y 

1 3
x  3  m  1 x 2  9 x  1 (với m là tham số thực) nghịch biến trên
3

Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 17


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

khoảng  x1; x2  và đồng biến trên các khoảng giao với  x1; x2  bằng rỗng. Tìm tất cả các giá trị
của m để x1  x2  6 3. ?
A. m  1
m3

B. m  3

C. m  3 , m  1.

m  1 ,

D.

Lời giải
Chọn D
Ta có y /  x 2  6  m  1 x  9 .
Yêu cầu bài tốn  y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  6 3

 /  0
 /  0


/


  /  27
2 
/
x

x


6
3
 1 2
   3 3
a

m  3
2
2
.
 9  m  1  9  27   m  1  4  
 m  1
Câu 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x3  3x 2  mx  m giảm trên đoạn có
độ dài lớn nhất bằng 1?
9
A. m  

4

B. m  3

C. m  3

D. m 

9
4

Lời giải
Chọn D
Ta có y '  3x 2  6 x  m .
Yêu cầu bài tốn  y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  1
  '  9  3m  0
m  3
m  3
9



  '


9m .
9

3
m

4
 1 m 
2 a  1
2.

4
3



Câu 4:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 

x 1
nghịch biến trên khoảng
xm

 ; 2 ?
A. m  2

B. m  1

C. m  2
Lời giải

D. m  1

Chọn C
Ta có y ' 

m  1

 x  m

2

.

Với m  1  0  m  1 thì y '  0, x  m  hàm số đã cho nghịch biến trên từng
khoảng  ; m  và  m;   .
Ycbt   ; 2    ; m   m  2 : (thỏa mãn).
Cách 2. Ta có y ' 

m  1

 x  m

2

.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 18


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.

WEB: TOANTHAYCU.COM

m  1  0
 y '  0, x  2
m  1
m  1  0
Ycbt  



 m  2.
x  m
m  2
m   ; 2 
m   2;  
Dạng 6: BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH 8+, 9+
Câu 1.

Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm f   x  như sau:

Hàm số y  f  x 2  2 x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  2 ;1 .

B.  4;  3  .

C.  0;1 .

D.  2;  1 .

Hướng dẫn giải

Chọn D



 









Đặt: y  g  x   f x 2  2 x ; g  x   f x2  2 x    2 x  2  . f  x2  2 x .
 x  1
 2
2x  2  0
 x  2 x  2  vo nghiem 
2
 2
g   x   0   2x  2  . f  x  2x  0  
2
x  2x  1
 f  x  2 x  0

 x2  2 x  3









 x  1

 x  1  2

  x  1  2 . ( x  1  2 là các nghiệm bội chẵn của phương trình: x2  2x  1 ).
x  1

 x  3


Ta có bảng biến thiên:





Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số y  f x2  2 x nghịch biến trên khoảng  2 ;  1
.
Chú ý: Cách xét dấu g  x  :
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 19

LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM





Chọn giá trị x  0  1;  1  2  x2  2 x  0  g   0   f   0   0 (dựa theo bảng xét





dấu của hàm f   x  ). Suy ra g   x   0 , x  1;  1  2 . Sử dụng quy tắc xét dấu đa
thức “lẻ đổi, chẵn không” suy ra dấu của g  x  trên các khoảng còn lại.
Câu 2.

Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x.  x  2   x  5  . Hàm số g  x   f  10  5 x 
2

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  ;1 .
B. 1; 2  .

3

C.  2;   .

D. 1; 3  .

Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có g  x    10  5x  . f   10  5x   5. f  10  5x  .
x  2
10  5x  0

12

g  x   0  f   10  5x   0  10  5x  2   x 
.

5
10  5x  5
x  1


Bảng xét dấu g ( x)

x





g ( x )

0

12
5

2

1



0



0





Vậy hàm số g  x  đồng biến trên khoảng 1; 2  .
Câu 3.

Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau







Hàm số y  f  x   3 f  x 
A.  2 ; 3  .

3



2

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

B.  1; 2  .

C.  3; 4  .

D.   ;  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn A

Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 20


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM





Ta có y  3 f  x  . f   x   6 f  x  . f   x  ; y  3 f   x  . f  x   f  x   2  ;
2

 f  x  0

y  0   f  x   0 .

 f  x   2

 x  x2   x1 ;1
x  1


 x  x1  1
x2
 x  x3   1; 2 


+ f  x  0 
; f  x  0  
; f  x  2  
.
x  3
x  x4  4
x  4



 x  3
 x  4

+ Bảng xét dấu của y 







Từ bảng xét dấu suy ra hàm số y  f  x   3 f  x 
Câu 4.

3



2

nghịch biến trên khoảng  2; 3  .

Cho hàm số y  f  x  , hàm số f   x   x 3  ax 2  bx  c  a , b , c    có đồ thị như hình vẽ





Hàm số g  x   f f   x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. 1;   .

B.  ; 2  .

C.  1; 0  .


3 3
;
D.  
.
 3 3 



Hướng dẫn giải
Chọn B
Vì các điểm  1; 0  ,  0;0  ,  1;0  thuộc đồ thị hàm số y  f   x  nên ta có hệ:

Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 21


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

1  a  b  c  0

a  0


 b  1  f   x   x 3  x  f ''  x   3 x 2  1
c  0
1  a  b  c  0
c  0











Ta có: g  x   f f   x   g  x   f  f   x  . f ''  x 
 x3  x  0
 3
x  x  1
3
2
Xét g  x   0  g  x   f  f '  x  . f   x   0  f  x  x 3x  1  0   3
x  x  1

 3x 2  1  0












 x  1

x  0
  x  x1 ( x1  1,325 )
 x  x2 ( x2  1,325)

3

 x   3

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có g  x  nghịch biến trên   ; 2 

Câu 5.

Cho hàm số y  f  x  có đồ thị nằm trên trục hồnh và có đạo hàm trên  , bảng xét dấu
của biểu thức f   x  như bảng dưới đây.

Hàm số y  g  x  



f x2  2x





2



f x  2x  1

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?


5
B.  2;  .
C. 1; 3  .
2

Hướng dẫn giải

A.  ;1 .

D.  2;   .

Chọn C

x
g  x  

 
   2x  2 . f  x  2x  .
 f  x  2x   1
 f  x  2x   1

2


 2x . f  x2  2x
2

2

2

2

2

Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 22

LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

x  1
x  1
 2
2x  2  0
x  2 x  2


g  x   0  
 2
  x  1
2
x  2 x  1
 f  x  2 x  0
 x  3

 x 2  2 x  3





Ta có bảng xét dấu của g  x  :

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số y  g  x  nghịch biến trên các khoảng   ;  1 và

1; 3  .

Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 23


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133.
WEB: TOANTHAYCU.COM

BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU
Giả sử hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên khoảng  a; b  ( a có thể là  , b có thể là  )
và x0   a; b  .


Nếu tồn tại số h sao cho f  x   f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h  và x  x0 thì ta nói hàm
số f  x  đạt cực đại tại điểm x0 .



Nếu tồn tại số h sao cho f  x   f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h  và x  x0 thì ta nói hàm
số f  x  đạt cực tiểu tại điểm x0 . Khi đó:

Chú ý:
 Nếu hàm số f  x  đạt cực đại tại điểm x0 , thì x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm
số f  x  , f  x0  được gọi là giá trị cực đại của hàm số f  x  .
 Nếu hàm số f  x  đạt cực tiểu tại điểm x0 , x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm
số f  x  , f  x0  được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f  x  .




Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị
phải là một điểm trong tập xác định K.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị).

II - ĐIẾU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
ĐỊNH LÝ 1
Giả sử hàm số y  f ( x) liên tục trên khoảng K   x0  h; x0  h  và có đạo hàm trên K hoặc trên

K \ x0  , với h  0 .
a) Nếu f  ( x)  0 trên khoảng  x0  h; x0  và f  ( x)  0 trên khoảng  x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm
cực đại của hàm số f ( x) .
b) Né́ u f ( x)  0 trên khoảng  x0  h; x0  và f  ( x)  0 trên khoảng  x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm


cực tiêu của hàm số f ( x) .

Ví du: Tìm các điểm cực trị của hàm số y  x3  x 2  x  3 .
III - QUY TẮC TÌM CỰC TRI
Áp dụng Định lí 1 , ta có quy tắc tìm cực trị sau đây.
QUY TẮC I
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 vui lịng liên hệ zalo chính tác giả Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa và được nhiều ưu đãi. “ Tránh mua các trang và cá nhân khác”
Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng
Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133
Page 1