Đề thi toán THPT quốc gia 2022 (21)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.17 MB, 24 trang )
ĐỀ TỐN NGUYỄN KHUYẾN – HCM 2021-2022
Câu 1. Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình 3x 1 m 5 0 có nghiệm là một số thực dương.
A. m 5 .
B. m 5 .
C. m 5 .
D. m 8 .
Câu 2. Cho hình trụ có trục OO bằng 2 cm , bán kính đáy bằng 2 cm , điểm A thuộc đường tròn đáy tâm O
và điểm B thuộc đường tròn đáy tâm O sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO bằng 1 cm .
Tính độ dài đoạn thẳng AB .
A. 7 cm .
B. 4 cm .
C. 2 7 cm .
D. 2 cm .
1 x
Câu 3. Tìm tập xác định của hàm số y log 7
4 x
A. 4;1 .
B. ; 1 4; .
D. 1; 4 .
C. ; 4 1; .
1
x 1 và đường cong y x 1
3
1
9
14
1
A. .
B. .
C.
.
D. .
6
2
3
4
1
Câu 5. Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 . Đồ thị hàm số y x , y b x , y c x được cho trong hình vẽ bên
a
dưới.
Câu 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a c b .
B. c b a .
C. a b c .
D. c a b .
2
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log 2 x 4 m có nghiệm thực.
A. m 0 .
B. m 0 .
C. m 2 .
D. m 2 .
Câu 7. Trong không gian tọa độ Oxyz , mặt phẳng nào dưới đây song song với đường thẳng
x y 1 z 4
?
2
1
2
A. : x 2 y 1 0 .
B. : x z 4 0 .
C. : 4 x 2 y 3z 2 0 .
D. : 3x y z 3 0 .
Câu 8. Đường thẳng y 1 cắt đồ thị hàm số y x 1 x 2 x 3 1 tại bao nhiêu điểm phân biệt?
A. 1.
B. 3.
C. 2.
D. 4.
Câu 9. Cho số phức z 4 3i . Tìm số w z z
A. w 1 3i .
B. w 21 3i .
C. w 1 3i .
D. w 21 3i .
Câu 10. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;2;0 , B 3; 2;3 và C 2;1; 1 không thẳng hàng.
Nếu véctơ n a;1; b là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC thì
A. a b 3 .
B. 2ab 1 .
C. a b 1.
Câu 11. Đồ thị hàm số nào dưới đây nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng?
2
A. y x 4 x 2 .
B. y x3 x .
C. y
.
x 1
/>
D. 2a b 1 .
D. y x 2 .
Câu 12. Tính tích phân I x ln x 1 dx .
1
0
A. I 2 .
C. I
B. I 1 .
Câu 13. Tìm phần thực của số phức z
2 4i
.
1 i
3
.
4
D. I
1
.
4
A. 2 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 1 .
Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có SA ABC , SA a, AC 3a , tam giác SBC vng cân tại B . Tính thể
tích khối chóp S.ABC theo a .
2a 3 14
a 3 14
a3 7
a 3 21
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 m 0 có hai nghiệm là hai số phức
phân biệt.
A. m 0 .
B. m 0 .
C. m 0 .
D. m 0 .
Câu 16. Tính diện tích tồn phần của hình nón có bán kính đáy 3 cm và chiều cao 4 cm.
A. 15 cm2 .
B. 24 cm2 .
C. 21 cm 2 .
D. 39 cm2 .
x
Câu 17. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f x
?
2 x2 1
2 x2 1
2 x2 1
A. F x
. B. F x
.
C. F x 2 2 x 2 1 .
4
2
Câu 18. Hàm số nào dưới đây khơng có điểm cực trị?
A. y x3 2 x .
B. y 2 x3 x 1 .
C. y x3 4 x 5 .
D. y x3 x 2 .
Câu 19. Tính thể tích khối cầu có bán kính
A. 4 3 cm3 .
B. 12 cm3 .
Câu 20. Giá trị lớn nhất của hàm số f x
D. 4 2 x 2 1 .
3 cm.
C. 6 cm3 .
D. 2 3 cm3 .
12
trên đoạn 2;1 là
8 x2
12
3
.
B. .
C. 3 .
D. 4 .
7
2
Câu 21. Cho hình vng ABCD có diện tích bằng 4 cm 2 . Tính thể tích khối trịn xoay do hình vuông ABCD
quay quanh trục AC tạo nên.
4 2
16 2
2 2
cm3 .
cm3 .
cm3 .
A.
B. cm 3 .
C.
D.
3
3
3
3
2
Câu 22. Tính mơđun của số phức z , biết rằng 2 i z 2 i 1 3i .
A.
A. 5 .
B. 2 5 .
C. 5 2 .
D. 10 .
Câu 23. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có AB 2 cm, CD 4 cm, AA 6 cm , AB song song với CD .
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng CC DD bằng 2 cm .
Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.ABCD .
A. 12 cm3 .
B. 72 cm3 .
Câu 24. Khẳng định nào dưới đây đúng?
2
2
1
1
1
A. x dx x |12 .
B. x dx e x |12 .
e
e
e
1
1
C. 24 cm3 .
2
D. 36 cm3 .
2
1
1
1 1
x 2
1 e x dx e |1 . D. 1 e x dx e x |2 .
2x m
Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y
nghịch biến trên khoảng 0;1 .
2x 1
A. m 1 .
B. m 1.
C. m 1 .
D. m 1 .
C.
/>
Câu 26. Từ các số 0,1, 2,3, 4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau đôi một và không chia
hết cho 5?
A. 192 .
B. 180.
C. 240.
D. 204.
Câu 27. Trong không gian tọa độ Oxyz , tính diện tích hình bình hành ABCD, biết AB 1; 1; 2 , AC 2;1; 0
.
29
21
A. 29 .
B.
.
C.
.
D. 21 .
2
2
Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 2mx 2m nghịch biến trên tập số thực .
A. m 0 .
B. m 2 .
C. 0 m 2 .
D. m 2 .
Câu 29. Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O (gốc tọa độ),
A 2; 0; 2 , B
5;1; 2 , C 2;1;3 .
A. x y z x 3 0 .
B. x 2 y 2 z 2 10 0 .
C. x 2 y 2 z 2 2 y 4 z 0 .
D. x 2 y 2 z 2 2 x y 21 0 .
Câu 30. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm và chiều cao bằng 2 cm
A. 6 cm 2 .
B. 18 cm 2 .
C. 12 cm 2 .
D. 20 cm2 .
Câu 31. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y ln x là đường thẳng có phương trình
A. x 1 .
B. y e .
C. x 0 .
D. x e .
Câu 32. Cho hình chóp đều S.ABCD có chiều cao bằng 2a và thể tích bằng 6a 3 . Tính độ dài đoạn thẳng AC
theo a .
3a 2
A.
.
B. 3a .
C. 9a .
D. 3a 2 .
2
x 1
Câu 33. Hàm số y
có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
x2
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
3
2
Câu 34. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x m 1 x m đồng biến trên tập số thực .
2
2
2
A. m 1 .
B. m 1.
C. m 1.
D. m 2 .
Câu 35. Đường thẳng y 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào dưới đây?
1
2
2
3
A. y 2 .
B. y 1
.
C. y
.
D. y
.
x
x2
3x 2
2 x
Câu 36. Điểm M nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z 2 3i trên mặt phẳng phức?
A. M 0; 3 .
B. M 2;3 .
C. M 2; 3 .
D. M 3;2 .
x 1 t
Câu 37. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : y t
t
z t
nằm trong mặt phẳng
: ax y 5a b z 1 0 . Tính tổng a b .
A. 4.
B. 2 .
Câu 38. Hàm số nào dưới đây có giá trị lớn nhất?
A. y 2x3 3x2 x . B. y
4x 1
.
x2
C. 0.
C. y 2x 3x4 .
D. 7.
D. y 2 x 4 x 1 .
Câu 39. Trong không gian, cho điểm A thuộc mặt phẳng , điểm B không thuộc mặt phẳng , đường
thẳng AB hợp với mặt phẳng một góc 60 0 , AB 4 cm . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng .
A. 4 cm .
B.
8 3
cm .
3
C. 2 3 cm .
/>
D. 2 cm .
Câu 40. Trong không gian tọa độ Oxyz , điểm B là hình chiếu vng góc của điểm A 2;1;0 lên mặt phẳng
2 y z 6 0 . Điểm B thuộc mặt phẳng nào dưới đây?
A. x 2 y z 0 .
B. x y z 2 0 .
C. y z 2 0 .
D. x y z 2 0 .
Câu 41. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 10;10 của tham số m sao cho hàm số
f x m2 6m x 4 2m 1 x 2 2m3 1 có giá trị nhỏ nhất?
A. 12 .
B. 14.
C. 15.
D. 13.
x
7
x
x 2 2 x có đồ thị C2 . Đường thẳng
Câu 42. Cho hàm số y 4 x có đồ thị C1 , hàm số y
3
6
2
y ax b vừa là tiếp tuyến của C1 , vừa là tiếp tuyến của C2 . Tính tổng a b .
3
2
3
5
.
B. a b .
2
2
Câu 43. Cho hàm số f x liên tục trên tập xác định
A. a b
7
9
.
D. a b .
2
2
và có bảng biến thiên như sau:
C. a b
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 15;15 của tham số m để hàm số y tan 1 mf x có tập
giá trị là tập số thực ?
A. 18.
B. 14.
C. 15.
D. 16.
1
Câu 44. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m thỏa mãn điều kiện 2 x m.31 x , x 2;3 .
3
3
3
A. m 2 .
B. m
.
C. m
.
D. m 2 .
2
2
Câu 45. Cho phương trình ln x 2 x 2 x emx m 2 x 2 0 . Khoảng a; b là tập hợp tất cả các giá trị của
tham số m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thuộc khoảng 1;e4 . Tính
b
.
a
b e3
b 4
.
D. 3 .
a e
a 3
n 2 ! n 1!
Câu 46. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện
?
An4 4
15
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
Câu 47. Cho hình lăng trụ ABCD.ABCD có AD 2BC và AD song song với BC . M là trung điểm CC ,
N là điểm trên cạnh AA sao cho AN 3AN . Mặt phẳng ( MND ) chia khối lăng trụ thành hai khối có thể
V
tích lần lượt là V1 và V2 (với V1 V2 ). Tính 1 .
V2
A.
b 2
.
a e2
B.
b 2
.
a e
C.
/>
A.
V1 11
.
V2 25
Câu 48. Cho hàm số f x
B.
V1 11
.
V2 36
C.
V1 23
.
V2 49
D.
V1 23
.
V2 36
x 1 x m 2m . Đoạn a; b là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
2
hàm số đã cho có đúng hai điểm cực trị. Tính 2b 3a .
A. 2b 3a 11 3 3 .
B. 2b 3a 7 3 3 .
C. 2b 3a 9 3 3 .
D. 2b 3a 8 3 3 .
1 1
Câu 49. Cho hàm số f x xác định và có đạo hàm trên khoảng 0; ; f x 0, x 0 , f ;
2 3
2
f x
2
1 f x 1 2 x 2 x 1 f x f x , x 0 . Tính tích phân I
dx .
f
x
1
23
3
2
A. I
.
B. I .
C. I 1 ln3 .
D. I 1 ln .
6
2
3
Câu 50. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 7;7 để tập giá trị của hàm số
f x 2
mx 2
x 1
A. 6.
1
chứa đoạn ;16
2
B. 8.
C. 7.
Hết
/>
D. 9.
m để
Đáp án đề kiểm tra định kì mơn tốn mã đề 208
3.D
4.A
5.A
6.D
7.A
8.B
9.C
10.C
13.D
14.B
15.A
16.B
17.B
18.D
19.A
20.C
23.B
24.D
25.B
26.A
27.D
28.A
29.C
30.C
33.A
34.C
35.A
36.C
37.A
38.C
39.C
40.D
43.B
44.A
45.D
46.B
47.C
48.A
49.A
50.B
Đáp án chi tiết đề kiểm tra định kì mơn tốn
Câu 1. Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình 3x 1 m 5 0 có nghiệm là một số thực dương.
A. m 5 .
B. m 5 .
C. m 5 .
D. m 8 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phương trình 3x 1 m 5 0 .
Điều kiện xác định D .
m5
m5
3x 1 m 5 0 3x 1 m 5 3x
x log 3
3
3
m5
m5
Yêu cầu bài toán x 0 log 3
1 m 8.
0
3
3
a, b 1
.
Chú ý: log a b 0
0 a, b 1
Câu 2. Cho hình trụ có trục OO bằng 2 cm , bán kính đáy bằng 2 cm , điểm A thuộc đường tròn đáy tâm O
và điểm B thuộc đường tròn đáy tâm O sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO bằng 1 cm .
Tính độ dài đoạn thẳng AB .
A. 7 cm .
B. 4 cm .
C. 2 7 cm .
D. 2 cm .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
1.D
11.B
21.A
31.C
41.C
2.B
12.D
22.C
32.D
42.D
BB OO
.
Hạ đường sinh BB
BB
C
O
Suy ra OO song song ABB . Suy ra d OO , AB d OO , ABB d O, ABB .
Trong OAB , kẻ OH AB tại H , mà OH BB nên OH ABB .
suy ra d O , ABB OH 1 cm .
Tam giác OHA vng tại H có AH OA2 OH 2 3 cm .
Tam giác OAB cân tại O AB 2 AH 2 3 cm .
Ta có BB OO 2 cm . Tam giác ABB vuông tại B AB BB2 AB2 4 cm .
Câu 3. Tìm tập xác định của hàm số y log 7
1 x
4 x
/>
A. 4;1 .
B. ; 1 4; .
C. ; 4 1; .
D. 1; 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
4 x 0
1 x
1 x
Xét hàm số y log 7
. Hàm số xác định khi 1 x
0 1 x 4.
4 x
4
x
0
4 x
1
Câu 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y x 1 và đường cong y x 1
3
1
9
14
1
A. .
B. .
C.
.
D. .
6
2
3
4
Hướng dẫn giải
Chọn A.
x 3
x 3
x 0
1
2
2
.
Phương trình hồnh độ giao điểm : x 1 x 1 1
3
x 3
x 1 x 1 x 3 x 0
3
1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y x 1 và đường cong y x 1 bằng
3
3
3
1
1
1
S ( x 1) ( x 1) dx ( x 1) ( x 1) dx .
3
3
6
0
0
Câu 5. Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 . Đồ thị hàm số y
1
, y b x , y c x được cho trong hình vẽ bên
x
a
dưới.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a c b .
B. c b a .
C. a b c .
D. c a b .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Dựa vào hình vẽ ta có nhận xét:
1
a 1 0 a 1
x
1 1
Hàm số y x , y b x , y c x là hàm đồng biến nên b 1 b 1
a
a
c 1
c 1
/>
1 .
Dùng đường thẳng x 1 cắt đồ thị hàm số y b x , y c x tại hai điểm có tọa độ lần lượt A 1, b , B 1, c dựa
vào hình vẽ ta có c b
2 .
Từ 1 , 2 a c b.
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log 2 x 2 4 m có nghiệm thực.
A. m 0 .
B. m 0 .
C. m 2 .
Hướng dẫn giải
D. m 2 .
Chọn D.
Phương trình log 2 x 2 4 m . Điều kiện xác định D .
Cách 1:
Ta có x2 4 4, x
log 2 x 2 4 log 2 4 2.
Do đó để phương trình log 2 x 2 4 m có nghiệm thực m 2.
Cách 2:
Để phương trình log 2 x 2 4 m có nghiệm thực log 2 x 2 4 m x 2 4 2m có nghiệm thực
min x 2 4 2m 4 2 m 2 2 2 m m 2.
x
Câu 7. Trong không gian tọa độ Oxyz , mặt phẳng nào dưới đây song song với đường thẳng
x y 1 z 4
?
2
1
2
A. : x 2 y 1 0 .
B. : x z 4 0 .
C. : 4 x 2 y 3z 2 0 .
D. : 3x y z 3 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
M x0 ; y0 ; z0
Xét đường thẳng :
và mặt phẳng : Ax By Cz D 0 A.B.C 0 có
vtcp : u
u .n 0
n A; B; C . Để
* .
M
Thử từng đáp án ta nhận được kết quả A. : x 2 y 1 0 thỏa u cầu bài tốn vì:
x y 1 z 4
M 0;1; 4
có
và : x 2 y 1 0 có n 1; 2;0 .
2
1
2
vtcp
:
u
2;
1;
2
2.1 1 .2 2 .0 0
Thay vào điều kiện * ta được
thoả điều kiện.
1.0 2.1 1 1 0
Xét
Câu 8. Đường thẳng y 1 cắt đồ thị hàm số y x 1 x 2 x 3 1 tại bao nhiêu điểm phân biệt?
A. 1.
B. 3.
C. 2.
D. 4.
Hướng dẫn giải
/>
Chọn B.
Phương trình hồnh độ giao điểm giữa đường thẳng y 1 và đồ thị hàm số y x 1 x 2 x 3 1 là
x 1
x 1 x 2 x 3 1 1 x 1 x 2 x 3 0 x 2.
x 3
Vậy đường thẳng y 1 cắt đồ thị hàm số y x 1 x 2 x 3 1 tại 3 điểm phân biệt.
Câu 9. Cho số phức z 4 3i . Tìm số w z z
A. w 1 3i .
B. w 21 3i .
C. w 1 3i .
Hướng dẫn giải
D. w 21 3i .
Chọn C.
z 4 3i
Ta có z 4 3i
. Khi đó w z z 5 4 3i 5 4 3i 1 3i.
2
3
z
4
3
5
Câu 10. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;2;0 , B 3; 2;3 và C 2;1; 1 không thẳng hàng.
Nếu véctơ n a;1; b là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC thì
A. a b 3 .
B. 2ab 1 .
C. a b 1.
Hướng dẫn giải
D. 2a b 1 .
Chọn C.
Ta có: AB(2; 4;3), AC 3; 1; 1 .
Khi đó một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC là: n ABC AB, AC 7; 7; 14 7 1;1; 2 .
a 1
a b 1.
Yêu cầu bài toán
b 2
Câu 11. Đồ thị hàm số nào dưới đây nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng?
2
A. y x 4 x 2 .
B. y x3 x .
C. y
.
D. y x 2 .
x 1
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Nhận xét:
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O 0;0 làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số y
ax b
cx d
d
d a
x , ad bc 0 nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I ; làm tâm
c
c c
đối xứng.
Do đó chỉ có đáp án B. y x3 x thỏa yêu cầu bài tốn vì
Xét hàm số y f ( x) x3 x . Tập xác định D .
Do đó x
x . Ta có f x x x x3 x x3 x f x .
3
Vậy hàm số y f ( x) x3 x là hàm lẻ trên
nên đồ thị hàm số y f ( x) x3 x nhận gốc tọa độ
F x 4 2 x 2 1 làm tâm đối xứng.
Câu 12. Tính tích phân I x ln x 1 dx .
1
0
A. I 2 .
B. I 1 .
3
.
4
Hướng dẫn giải
C. I
Chọn D.
/>
D. I
1
.
4
Xét I x ln x 1 dx
1
0
Cách 1:
1 1
I x ln x 1 dx ln x 1 d x 2
0
2 0
1
1
1
2 1
2
ln x 1 .x 0 x d ln( x 1)
2
0
1
1
1
1
x2
1
1
x2
1
1
ln 2 1 x 2
1
ln x 1 .x 2
dx ln x 1 x 1
dx
x ln x 1 .
0
2
x 1 2
2 0
x 1
2
2 2
0 4
0
0
Cách 2:
1
du
dx
1
1
1
u ln( x 1)
x2
x2
x 1
Đặt
.
Khi
đó
ln
x
1
I
x
.ln
x
1
dx
0 2 x 1dx
0
2
2
dv xdx
v x
0
2
1
1
1
1
1
ln 2 1 x 2
1
x2
1 x2 1
1
x2
1
1
x ln x 1
ln x 1
dx
ln
x
1
x
1
dx
2
2 0 x 1 x 1
2
2 0
x 1
2 2 2
0 4
0
0
Cách 3:
1
1
du
dx
1
1
1
u
ln(
x
1)
1 x2
1
x2 1
x 1
x 1
Đặt
Khi đó I x.ln x 1dx
ln x 1
dx x
2
2
2
2 2
dv xdx
0 4
0
0
v x 1
0
2
2 4i
Câu 13. Tìm phần thực của số phức z
.
1 i
A. 2 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
2 4i 2 4i 1 i 2 6i
Ta có z
1 3i. Suy ra phần thực của z bằng 1 .
1 i
2
1 i 1 i
Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có SA ABC , SA a, AC 3a , tam giác SBC vuông cân tại B . Tính thể
tích khối chóp S.ABC theo a .
2a 3 14
a 3 14
a3 7
a 3 21
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn B.
BC SB
BC SAB BC AB .
Ta có
BC SA
Khi đó: BC AC 2 AB 2 2a 2 SC BC 2 4a SA SC 2 AC 2 a 7.
1
1
S ABC BA.BC a.2a 2 a 2 2.
2
2
/>
1
1
a 3 14
Thể tích khối chóp S.ABC là: VS . ABC .SA.S ABC .a 7.a 2 2
.
3
3
3
Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 m 0 có hai nghiệm là hai số phức
phân biệt.
A. m 0 .
B. m 0 .
C. m 0 .
D. m 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình x 2 m 0 có hai nghiệm là hai số phức phân biệt
a 0
1 0
1 0
m 0.
0
4m 0
m 0
Chú ý:
Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0. Như vậy mỗi số thực cũng là một số phức.
Câu 16. Tính diện tích tồn phần của hình nón có bán kính đáy 3 cm và chiều cao 4 cm.
A. 15 cm2 .
B. 24 cm2 .
C. 21 cm 2 .
D. 39 cm2 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Dựa vào hình vẽ, ta có bán kính R OB 3 cm và chiều cao SO h 4 cm .
Xét tam giác SOB vng tại O có SB 2 SO 2 OB 2 42 32 25 cm2 SB 5 cm .
Diện tích tồn phần hình nón Stp Rl R 2 .OB.SB .OB 2 .3.5 .32 24 cm2
Câu 17. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f x
x
2 x2 1
2 x2 1
A. F x
.
4
2 x2 1
B. F x
.
2
C. F x 2 2 x 2 1 .
D. 4 2 x 2 1 .
?
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có F x f x dx
2
1
4x
1 2 x 1
1
dx
dx
dx
2x2 1 C .
2
2
2
2 2 2x 1
2 2 2x 1
2
2x 1
x
Câu 18. Hàm số nào dưới đây khơng có điểm cực trị?
A. y x3 2 x .
B. y 2 x3 x 1 .
C. y x3 4 x 5 .
D. y x3 x 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có
/>
6
x
3
nên hàm số có 2 điểm cực trị, loại A.
y x3 2 x; y 3x 2 2 0
6
x
3
6
x
6
nên hàm số có 2 điểm cực trị, loại B.
y 2 x3 x 1 y 6 x 2 1 0
6
x
6
2 3
x
3
nên hàm số có 2 điểm cực trị, loại C.
y x3 4 x 5 y 3x 2 4 0
2 3
x
3
3
2
y x x 2 y 3x 1 0, x nên hàm số nghịch biến trên , chọn D.
Câu 19. Tính thể tích khối cầu có bán kính
A. 4 3 cm3 .
B. 12 cm3 .
3 cm.
C. 6 cm3 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
D. 2 3 cm3 .
3
4
4
Thể tích khối cầu có bán kính R 3cm là Vkc R 3 3 4 3 cm3 .
3
3
12
Câu 20. Giá trị lớn nhất của hàm số f x
trên đoạn 2;1 là
8 x2
12
3
A.
.
B. .
C. 3 .
D. 4 .
7
2
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Tập xác định D \ 2 2 .
Với mọi x 2;1 thì hàm số liên tục trên tập xác định.
Ta có f x
12
24 x
f x
2
8 x
8 x2
2
f x 0 x 0 2;1 .
3
12
Xét f 0 ; f 2 3; f 1
. So sánh cách giá trị ta có Max f x 3 đạt được tại x 2 .
x 2;1
2
7
12
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f x
trên đoạn 2;1 là 3 khi x 2 .
8 x2
Câu 21. Cho hình vng ABCD có diện tích bằng 4 cm 2 . Tính thể tích khối trịn xoay do hình vng ABCD
quay quanh trục AC tạo nên.
4 2
16 2
2 2
cm3 .
cm3 .
cm3 .
A.
B. cm 3 .
C.
D.
3
3
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn A.
/>
Hình vng ABCD có diện tích bằng 4 cm 2 nên S ABCD AB 2 4 cm2 AB 2 cm AC BD 2 2 cm .
Khi quay hình vng quanh đường chéo AC ta được hai khối nón có thể tích là
2
1
1 BD AC 1
V1 R12 h1
.
3
3 2 2
3
2
1
1 BD CA 1
V2 R2 2 h2
.
3
3 2 2 3
2 .
1
2 .2 2 cm3 .
3
2 .
1
2 .2 2 cm3 .
3
2
2
Vậy thể tích khối trịn xoay do hình vng ABCD quay quanh trục AC tạo nên là V V1 V2
4 2 3
cm .
3
Câu 22. Tính mơđun của số phức z , biết rằng 2 i z 2 i 1 3i .
2
A. 5 .
C. 5 2 .
Hướng dẫn giải
B. 2 5 .
D. 10 .
Chọn C.
2 i 1 3i 2 i 1 3i 2 i 35 5i 7 i .
Ta có 2 i z 2 i 1 3i z
4 1
5
2 i
2
2
2
Vậy mô đun của số phức z là z 7 i 7 2 12 5 2 .
Câu 23. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có AB 2 cm, CD 4 cm, AA 6 cm , AB song song với CD .
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng CC DD bằng 2 cm .
Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.ABCD .
A. 12 cm3 .
B. 72 cm3 .
C. 24 cm3 .
Hướng dẫn giải
D. 36 cm3 .
Chọn B.
Kẻ AK CD ; K CD , mà AK CC AK CC DD AK d A , CCDD .
Do M là trung điểm của AC nên AK d A , CCDD 2.d M , CCDD 4 cm .
2 4 4 12 cm2 .
1
AB CD . AK
2
2
Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD.ABCD là VABCD. ABCD AA.S ABCD 6.12 72 cm3 .
Diện tích hình thang ABCD là S ABCD
/>
Câu 24. Khẳng định nào dưới đây đúng?
2
2
1
1 2
1
A. x dx x |1 .
B. x dx e x |12 .
e
e
e
1
1
2
1
C. x dx e x |12 .
e
1
Hướng dẫn giải
2
D.
1
e
x
dx
1
1 1
|2 .
ex
Chọn D.
2
2
1
1
Ta có I x dx e x dx e x dx e x
e
1
1
2
1
2
1
ex
1
2
.
2x m
nghịch biến trên khoảng 0;1 .
2x 1
C. m 1 .
D. m 1 .
Hướng dẫn giải
Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y
A. m 1 .
B. m 1.
Chọn B.
1
\ .Ta có hàm số đã cho liên tục trên khoảng 0;1 .
2
2 2m
Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 thì y
0 2 2m 0 m 1 .
2
2 x 1
Tập xác định D
Câu 26. Từ các số 0,1, 2,3, 4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau đôi một và không chia
hết cho 5?
A. 192 .
B. 180.
C. 240.
D. 204.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Trước hết ta tìm số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau đôi một tạo nên từ các chữ số đã cho.
Giả sử số lập được có dạng a1a2 a3a4 , a1 0 , ai a j với i j , i 1, 4 , j 1, 4 .
+ Vì a1 0 nên a1 có 5 cách chọn chọn a1 .
+ Có A53 cách chọn chọn bộ 3 số a2 a3a4 .
Suy ra có 5. A53 300 số.
Tiếp theo ta tìm số có bốn chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 5 được tạo nên từ các chữ số đã cho.
Giả sử số lập được có dạng a1a2 a3a4 , a1 0 , ai a j với i j , i 1, 4 , j 1, 4 , a4 0;5 .
Trường hợp 1: a4 0 khi đó có A53 cách chọn bộ 3 số a2 a3a4 suy ra có A53 60 số.
Trường hợp 2: a4 5 khi đó a1 0 và a1 5 nên a1 có 4 cách chọn, có A42 cách chọn bộ 2 số a2 a3 suy ra có
4 A42 48 số. Vậy có 60 48 108 số có bốn chữ số đơi một khác nhau và chia hết cho 5.
Do đó số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 300 108 192 số.
Câu 27. Trong khơng gian tọa độ Oxyz , tính diện tích hình bình hành ABCD, biết AB 1; 1; 2 , AC 2;1; 0
A.
29 .
B.
29
.
2
21
.
2
Hướng dẫn giải
C.
D.
21 .
Chọn D.
AB, AC (2; 4; 1) . Vậy S ABCD AB, AC 4 16 1 21 .
Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 2mx 2m nghịch biến trên tập số thực .
A. m 0 .
B. m 2 .
C. 0 m 2 .
D. m 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
y 0, m.2mx 2m.ln 2 0,
Ta có y ' m.2mx 2m.ln 2 . Hàm số nghịch biến trên tập số thực
m 0 (Vì 2mx 2 m.ln 2 0 ).
/>
Câu 29. Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O (gốc tọa độ),
A 2; 0; 2 , B
5;1; 2 , C 2;1;3 .
A. x 2 y 2 z 2 x 3 0 .
C. x 2 y 2 z 2 2 y 4 z 0 .
B. x 2 y 2 z 2 10 0 .
D. x 2 y 2 z 2 2 x y 21 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi phương trình mặt cầu tâm I a; b; c đi qua bốn điểm O , A , B , C có dạng
( S ) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 .
Theo giả thiết bài toán ta được
O(0;0;0) ( S ) : d 0; A(2;0; 2) ( S ) : a c 2; B( 5;1; 2) ( S ) : 5a b 2c 5.
C (2;1;3) ( S ) : 4a 2b 6c 14.
Từ bốn phương trình trên ta được a 0; b 1; c 2; d 0 .
Vậy mặt cầu S có phương trình x 2 y 2 z 2 2 y 4 z 0 .
Câu 30. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm và chiều cao bằng 2 cm
A. 6 cm 2 .
B. 18 cm 2 .
C. 12 cm 2 .
D. 20 cm2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Sxq 2 rh 2 .3.2 12 .
Câu 31. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y ln x là đường thẳng có phương trình
A. x 1 .
B. y e .
C. x 0 .
D. x e .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Tập xác định D 0; .
Ta có lim y lim ln x đồ thị hàm số nhận đường thẳng x 0 làm tiệm cận đứng.
x 0
x 0
Câu 32. Cho hình chóp đều S.ABCD có chiều cao bằng 2a và thể tích bằng 6a 3 . Tính độ dài đoạn thẳng AC
theo a .
3a 2
A.
.
B. 3a .
C. 9a .
D. 3a 2 .
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
1
1
Ta có VSABCD h.S ABCD 6a 3 .2a.x 2 x 3a.
3
3
Đáy ABCD là hình vng cạnh 3a , suy ra đường chéo AC 3a 2 .
Câu 33. Hàm số y
A. 1.
x 1
có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
x2
B. 2.
C. 3.
Hướng dẫn giải
D. 4.
Chọn A.
Áp dụng công thức: số điểm cực trị của hàm y f ( x) bằng tổng của số cực trị của y f ( x) và số nghiệm
(khác các điểm cực trị) của phương trình f ( x) 0 .
/>
Ta có hàm y f ( x)
Vậy hàm y
x 1
khơng có điểm cực trị; phương trình f ( x) 0 có một nghiệm là x 1 .
x2
x 1
có một điểm cực trị.
x2
Câu 34. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 m 1 x 2 m đồng biến trên tập số thực
A. m 1 .
B. m 1.
C. m 1.
Hướng dẫn giải
.
D. m 2 .
Chọn C.
Ta có y 3x 2 2(m 1) x . Hàm số đã cho đồng biến trên tập số thực
3 0
a 0
m 1.
y 0, x R 3x 2 2(m 1) x 0, x
2
0
(m 1) 0
Câu 35. Đường thẳng y 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào dưới đây?
1
2
2
3
A. y 2 .
B. y 1
.
C. y
.
D. y
.
x
x2
3x 2
2 x
Hướng dẫn giải
1
1
1
Xét hàm số y 2 , có tập xác định D \ 0 . Ta lại có lim y lim 2 2, lim y lim 2 2 .
x
x
x
x
x
x
x
1
Suy ra đồ thị hàm số y 2 có tiệm cận ngang y 2 .
x
Câu 36. Điểm M nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z 2 3i trên mặt phẳng phức?
A. M 0; 3 .
B. M 2;3 .
C. M 2; 3 .
D. M 3;2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Số phức z 2 3i có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M 2; 3 .
x 1 t
Câu 37. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : y t
t nằm trong mặt phẳng
z t
: ax y 5a b z 1 0 . Tính tổng a b .
A. 4.
B. 2 .
C. 0.
D. 7.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
x 1 t
Ta có d : y t
t
z t
, cho t 0 ta được A 1;0;0 d , cho t 1 ta được B 2;1; 1 d .
Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng suy ra A , B thuộc .
A 1;0;0 : ax y 5a b z 1 0 a.1 1 0 a 1
B 2;1; 1 : ax y 5a b z 1 0 b 3 . Vậy a b 4 .
Câu 38. Hàm số nào dưới đây có giá trị lớn nhất?
4x 1
A. y 2x3 3x2 x .
B. y
.
x2
C. y 2x 3x4 .
D. y 2 x 4 x 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
3
2
3
2
Xét phương án A, vì lim 2 x 3 x x nên hàm số y 2 x 3 x x khơng có giá trị lớn nhất.
x
/>
4x 1
4x 1
phương án B, vì lim
khơng có giá trị lớn nhất.
nên hàm số y
x2 x 2
x2
4
Xét phương án D, vì lim 2 x x 1 nên hàm số y
2 x 4 x 1 không có giá trị lớn nhất.
Xét
x
Xét
phương án C, hàm số y
2x 2x4 .
1
Ta có y 2 8 x3 , y 0 x 3 .
4
Hàm số có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có giá trị lớn nhất.
Câu 39. Trong không gian, cho điểm A thuộc mặt phẳng , điểm B không thuộc mặt phẳng , đường
thẳng AB hợp với mặt phẳng một góc 60 0 , AB 4 cm . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng .
A. 4 cm .
B.
8 3
cm .
3
C. 2 3 cm .
D. 2 cm .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi H là hình chiếu vng góc của B lên mặt phẳng .
Khi đó khoảng cách từ B đến mặt phẳng là độ dài BH ; góc giữa đường thẳng AB với mặt phẳng là
góc BAH 60 . Do đó BH AB.sin 60 4.
3
2 3 cm .
2
Câu 40. Trong không gian tọa độ Oxyz , điểm B là hình chiếu vng góc của điểm A 2;1;0 lên mặt phẳng
2 y z 6 0 . Điểm B thuộc mặt phẳng nào dưới đây?
A. x 2 y z 0 .
B. x y z 2 0 .
C. y z 2 0 .
D. x y z 2 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi P : 2 y z 6 0 . Ta có AB P tại B .
/>
x 2
Đường thẳng AB qua A 2;0;1 có VTCP u n ( P ) 0; 2;1 có phương trình tham số là y 2t t
z 1 t
Suy ra B 2; 2t;1 t . Vì B P nên thay tọa độ điểm B vào phương trình của mặt phẳng P ta được
.
2.2t 1 t 6 0 t 1 B 2; 2; 2 .Thay tọa độ điểm B 2; 2; 2 vào 4 phương án ta thấy D là đáp án
chính xác.
Câu 41. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 10;10 của tham số m sao cho hàm số
f x m2 6m x 4 2m 1 x 2 2m3 1 có giá trị nhỏ nhất?
A. 12 .
B. 14.
C. 15.
Hướng dẫn giải
D. 13.
Chọn C.
m 0
Khi m 2 6m 0
.
m 6
Với m 0 thì f x x 2 1 , đây là hàm số bậc hai có hệ số cao nhất a 1 0 nên hàm số khơng có giá trị
nhỏ nhất. Do đó m 0 khơng thỏa u cầu bài tốn.
Với m 6 thì f x 11x 2 431 , đây là hàm số bậc hai có hệ số cao nhất a 11 0 nên hàm số có giá trị nhỏ
nhất. Do đó, m 6 thỏa u cầu bài tốn.
Khi m2 6m 0 thì hàm f x là hàm số trùng phương nên để
f x có giá trị nhỏ nhất thì
m2 6m 0 m ;0 6; .
Vậy tập tất cả các giá trị m để hàm số f x có giá trị nhỏ nhất là m ;0 6; .
Do m là số nguyên trên 10;10 để f x có giá trị nhỏ nhất nên có 15 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Bình luận: Với dạng bài tập này, bạn cần để ý dạng đồ thị hàm số của các hàm số bậc hai, hàm trùng phương
thì sẽ xử lí bài toán sẽ nhanh hơn. Hàm số bậc hai y ax 2 bx c , hàm trùng phương y ax 4 bx 2 c có giá
trị nhỏ nhất trên
khi a 0 và có giá trị lớn nhất trên
khi a 0 .
2
x3
7
x
x 2 2 x có đồ thị C2 . Đường thẳng
Câu 42. Cho hàm số y 4 x có đồ thị C1 , hàm số y
3
6
2
y ax b vừa là tiếp tuyến của C1 , vừa là tiếp tuyến của C2 . Tính tổng a b .
A. a b
3
.
2
B. a b
5
.
2
7
.
2
Hướng dẫn giải
C. a b
D. a b
9
.
2
Chọn D.
Xét hệ phương trình điều kiện tiếp xúc của đường thẳng y ax b và đồ thị C2 :
x3
2 x3
7
7
2
x
2
x
ax
b
x2 b 0
2
7
. Đặt k x x3 x 2 b .
3
6
6
3
3
6
x 2 2 x 2 a
a x 2 2 x 2
2
7
Do đường thẳng y ax b tiếp xúc C2 nên x 3 x 2 b 0 phải có nghiệm kép, giả sử x0 là nghiệm
3
6
x0 0
kép, khi đó k x0 0 2 x02 2 x0 0
.
x0 1
a 2
7
Với x0 0 thì
7 , ta có đường thẳng y 2 x .
6
b
6
/>
Xét hệ phương trình điều kiện tiếp xúc giữa đường thẳng y 2 x
x2
7
4 x 2 x
2
2
6
x
(1) . Do x
2
x
x
2
x
7
thẳng y 2 x không tiếp xúc với đồ thị
6
a 3
Với x0 1 thì
3 , ta có đường thẳng
b
2
7
tiếp xúc và đồ thị hàm số C1 là
6
1
1
3 2 nên hệ phương trình 1 vơ nghiệm. Do đó đường
x
x
C1 nên trường hợp này loại.
y 3x
3
.
2
Xét hệ phương trình điều kiện tiếp xúc giữa đường thẳng y 3 x
3
và đồ thị hàm số C1 là
2
x2
3
4 x 3x
3
2
2
x 1 . Do đó đường thẳng y 3 x tiếp xúc với đồ thị C1 .
2
x 2 3
x
3
3
Vậy đường thẳng y 3 x tiếp xúc đồng thời với hai đồ thị hàm số C1 và C2 . Suy ra a 3 và b , do
2
2
9
đó a b .
2
Câu 43. Cho hàm số f x liên tục trên tập xác định
và có bảng biến thiên như sau:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 15;15 của tham số m để hàm số y tan 1 mf x có tập
giá trị là tập số thực ?
A. 18.
B. 14.
C. 15.
D. 16.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
5
với mọi x .
12
24
5
5
m 1 mf x max 1 m;1
m .
Suy ra min 1 m;1
24
24
12
12
Do hàm tan x tuần hồn với chu kì T và có tập giá trị là
nên hàm số y tan 1 mf x có tập giá trị
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f x ta thấy rằng
f x
5
5
m min 1 m;1
m
khi và chỉ khi max 1 m;1
24
24
12
12
m
5
1
m 1 m
1 m ; 8 8; .
8
24 12
là
Do m là số nguyên thuộc đoạn 15;15 nên có 14 giá trị nguyên.
/>
1
Câu 44. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m thỏa mãn điều kiện 2 x m.31 x , x 2;3 .
3
3
3
A. m 2 .
B. m
.
C. m
.
D. m 2 .
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn A.
1
Ta có 2 x m.31 x 2 x m 3x 2 x m x 2 log 2 3 x log 2 3 1 m 2log 2 3 .
3
Bất phương trình x log 2 3 1 m 2log 2 3 thỏa với mọi x 2;3 tương đương
2 log 2 3 1 m 2log 2 3 m 2 .
Câu 45. Cho phương trình ln x 2 x 2 x emx m 2 x 2 0 . Khoảng a; b là tập hợp tất cả các giá trị của
tham số m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thuộc khoảng 1;e4 . Tính
A.
b 2
.
a e2
B.
b 2
.
a e
b e3
.
a 3
Hướng dẫn giải
C.
D.
b
.
a
b 4
.
a e3
Chọn D.
Điều kiện xác định x 0 . Đặt t e mx mx ln t và t 0 , ta viết lại phương trình đã cho thành
ln x 2 x x 1 t ln t 2 x 2 0 ln xt 2 x 1 xt 1 0 .
ln xt 0
Nếu xt 1 thì
ln xt 2 x 1 xt 1 0 .
2
x
1
xt
1
0
ln xt 0
Nếu xt 1 thì
ln xt 2 x 1 xt 1 0 .
2
x
1
xt
1
0
Do đó xt 1, tức là phương trình đã cho tương đương với phương trình xemx 1 .
Dễ thấy rằng khi m 0 thì phương trình x.e mx 1 có duy nhất nghiệm, nên ta chỉ xét m 0 .
1
Đặt f x xemx , ta có f x emx mxemx emx mx 1 và f x x .
m
1
1
Do f x chỉ đổi dấu qua một điểm duy nhất là x nên nếu 1; e 4 thì f x chỉ có một chiều biến
m
m
thiên, suy ra phương trình f x 1 có nhiều nhất là một nghiệm.
Do đó
1
1; e 4 và ta có bảng biến thiên
m
/>
Dựa vào bảng biến thiên và những điều kiện trên ta thấy rằng phương trình xemx 1 có hai nghiệm phân biệt
1
m 1
m 1;0
4
1 e4
m ; e
b 4
1
4
1
4
a
e
b
4
e
khi và chỉ khi m
.
Vậy
và
,
nên
3.
m
e
;
4
e
1
a
e
m
e
;0
1
1
4
me4
m ; 4e
e 4 e me 1
n 2 ! n 1! ?
Câu 46. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện
An4 4
15
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
n 4 4
n *.
Điều kiện
*
n N
n 2 ! n 1! n 2 ! n 1!
n
1
n 4 n 3 15n 0
.
4
An 4
15
n 4 ! 15
n 4 n 3 15
n!
2
n 8n 12 0 2 n 6 . Do n nên n 3; 4;5 .
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 47. Cho hình lăng trụ ABCD.ABCD có AD 2BC và AD song song với BC . M là trung điểm CC ,
N là điểm trên cạnh AA sao cho AN 3AN . Mặt phẳng ( MND ) chia khối lăng trụ thành hai khối có thể
V
tích lần lượt là V1 và V2 (với V1 V2 ). Tính 1 .
V2
A.
V1 11
.
V2 25
B.
V1 11
.
V2 36
V1 23
.
V2 49
Hướng dẫn giải
C.
Chọn C.
Các bài toán phụ:
/>
D.
V1 23
.
V2 36
1. Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' , mặt phẳng P cắt các cạnh
AA, BB, CC , DD lần lượt tại M , N , P, Q thỏa
AM
BN
C P
DQ
x,
y,
z,
t.
AA
BB
C C
DD
VABC D.MNPQ x z y t
Khi đó: x z y t và
VABC D. ABCD
2
2
2. Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' , mặt phẳng P cắt các cạnh
AA, BB, CC lần lượt tại M , N , P thỏa
AM
BN
C P
x,
y,
z.
AA
BB
C C
V
xz
Khi đó ABC .MNP
VABC . ABC
2
Gọi I , I lần lượt là trung điểm của AD và AD suy ra IBCD.I BCD là hình hộp.
Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của ( MND ) với BB, II .
1
1 1
1
IQ 1
Khi đó: V1 VABCD. NPMD VABCI . NPMQ VICD.QMD . Ta có IQ AN . AA II , suy ra
.
2
2 4
8
II 8
2
1
Ta có thể tích các khối VI BC D.IBCD VABC D '. ABCD và VABI . ABI VABC D '. ABCD .
3
3
VABCI . NPMQ 1 AN CM 3
3 2
1
VIBCD.QPMD . VABC D. ABCD VABC D. ABCD
Áp dụng bài toán phụ 1:
VABCI . ABC I 2 AA CC 8
8 3
4
VICD.QMD 1 QI MC DD 5
Áp dụng bài toán phụ 2:
.
VICD.I C D 3 II CC DD 24
5 1
5
VICD.QMD . VABC D '. ABCD VABC D '. ABCD
24 3
72
V
23
23
1 5
Từ đây ta có V1 VABCDNPMD VABC D '. ABCD VABC D '. ABCD . Vậy 1
.
V2 49
72
4 72
Câu 48. Cho hàm số f x
x 1 x m 2m . Đoạn a; b là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
2
hàm số đã cho có đúng hai điểm cực trị. Tính 2b 3a .
A. 2b 3a 11 3 3 .
B. 2b 3a 7 3 3 .
C. 2b 3a 9 3 3 .
D. 2b 3a 8 3 3 .
/>
m để
Hướng dẫn giải
Chọn A.
2
Điều kiện xác định: x 1 x m 2m 0 .
x 1
x 1 3x 2m 1 . Cho
f x 0
2m 1 .
2
2
x
2 x 1 x m 2m
2 x 1 x m 2m
3
Nhận xét: hàm số f x có đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi f x đổi dấu đúng 2 lần khi và chỉ khi
x 1 3x 2m 1 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện x 12 x m 2m 0 .
Ta có f x
2 x 1 x m x 1
2
2m 1
1
m 1
3
53 3
2
2 m
Tức là: 1 1 1 m 2m 0
.
m 0
2
2
2
m 2 2m 10m 1 0
2m 1 1 2m 1 m 2m 0
3
3
Từ đó suy ra a 2, b
53 3
. Vậy 2b 3a 11 3 3 .
2
1 1
Câu 49. Cho hàm số f x xác định và có đạo hàm trên khoảng 0; ; f x 0, x 0 , f ;
2 3
2
f x
2
1 f x 1 2 x 2 x 1 f x f x , x 0 . Tính tích phân I
dx .
f x
1
23
3
2
A. I
.
B. I .
C. I 1 ln3 .
D. I 1 ln .
6
2
3
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Với mọi x 0 , ta có
1 f x 1 2 x 2 x 1 f x f x 1 f x 2 x 1 1 f x . f x f x 0
2
2
2
2
x 1 1 f x f x 0 x 1 1 f x f x C .
1 1
f C 1.
2 3
f x 1
2
Khi đó x 1 1 f x f x 1 1 f x x 1 1 f x 1 0
.
f x x
x 1
f x
x
1
1 1
f x
;
x x 1 x 2 x .
Vì f nên suy ra f x
2
x
1
f
x
2
3
x 1
2
Khi đó I
1
2
f x
1
23
1
dx x 2 x dx x 3 x 2
.
f x
2 1 6
3
1
2
Cách khác:
Với mọi x 0 , ta có
1 f x 1 2 x 2 x 1 f x f x 1 2 f x f 2 x 1 2 x f x 2 x 1 f x f x
f 2 x 2 x 1 f x f x 1 2 x f x 2 f x 1 x 1 f 2 x 1 2 x f x 1 .
2
/>
1 1
Nguyên hàm hai vế ta được: x 1 f 2 x 1 2 x f x x C . Mà f C 0 .
2 3
Suy ra: x 1 f 2 x 1 2 x f x x 0 . Ta có Δ 1 2 x 4 x x 1 1 .
2
f x 1
Khi đó x 1 f x 1 2 x f x x 0
.
f x x
x 1
f x
x
1
1 1
f x
;
x x 1 x 2 x .
Vì f nên suy ra f x
2
x 1
2 3
x 1 f x
2
2
Khi đó I
1
2
f x
1
23
23
1
dx x 2 x dx x 3 x 2
. Vậy I
.
f x
2 1 6
6
3
1
2
Câu 50. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 7;7 để tập giá trị của hàm số
f x 2
mx 2
x 1
A. 6.
1
chứa đoạn ;16
2
B. 8.
C. 7.
Hướng dẫn giải
D. 9.
Chọn B.
mx 2
x 1
mx 2
1
chứa đoạn ;16 khi và chỉ khi tập giá trị của hàm số g x
x 1
2
mx 2
m2
chứa đoạn 1; 4 . Ta có g x
và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g x
là y m .
2
x 1
x 1
Tập giá trị của hàm số f x 2
m 2
Suy ra hàm số g x có tập giá trị chứa 1; 4 m 1 .
m 4
Vì m nguyên và m thuộc đoạn 7;7 nên các giá trị m cần tìm là : 7; 6; 5; 4; 3;5;6;7 .
Vậy có 8 giá trị m cần tìm.
/>
