Đề thi toán THPT quốc gia 2022 (49)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (945.25 KB, 22 trang )
Câu 1.
Câu 2.
ĐỀ TỐN SỞ N BÁI 2021-2022
Cho hình nón có bán kính đáy bằng 5, độ dài đường sinh bằng 7. Diện tích xung quanh của
hình nón bằng
A. 12 .
B. 175 .
C. 70 .
D. 35 .
Cho cấp số nhân un có u1 3 và cơng bội q 4 . Khi đó u2 bằng
4
.
3
Nghiệm của phương trình 5 x 3 là
A. 12 .
Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
B.
3
D. .
4
C. 12 .
3
D. x .
5
Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua
gốc tọa độ O và điểm Q 4; 3;5 ?
A. x log 5 3 .
B. x log 3 5 .
C. x 3 5 .
A. u 4;3;5 .
B. u 4; 3;5 .
C. u 4; 3; 5 .
D. u 4; 3;5 .
Cho hàm số y x3 3x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 .
Câu 6.
Cho khối trụ có chiều cao h 5 và bán kính đáy r 3 . Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A. 30 .
B. 45 .
C. 15 .
D. 75 .
Câu 7.
Tập xác định D của hàm số y x
3
A. D ;0 .
.
Câu 8.
Câu 9.
B. D
là
C. D
\ 0 .
D. D 0; .
Cho lăng trụ có đáy B 3a 2 và chiểu cao bằng 4a . Thể tích khối lăng trụ bằng
A. 3a 3 .
B. a 3 .
C. 4a 3 .
D. 12a 3 .
Cho hàm số f x liên tục trên
và có bảng xét dấu f x như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số là
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
Câu 10. Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây thuộc trục Oz ?
A. B 0;2;0 .
B. A 0;0;2 .
C. D 1; 2;3 .
D. 1 .
D. C 2;0;0
Câu 11. Cần chọn 2 cái bút bi từ 15 cái bút bi khác nhau. Khi đó số cách chọn là
A. C152 .
B. 30 .
C. A152 .
D. 215 .
Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x3 21x trên đoạn [2;19] bằng
A. 34 .
B. 14 7 .
C. 14 7 .
D. 36 .
Câu 13. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như hình sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ;1 .
B. 1; .
C. 1; .
Câu 14. Cho hàm số f x 1 cos x . Khẳng định nào sau đây đúng?
/>
D. ; 1 .
f x dx x sin x C .
C. f x dx sin x C .
f x dx x sin x C .
D. f x dx sin x C .
A.
B.
Câu 15. Số phức z 3 4i có phần ảo là
A. 4i .
B. 4i .
C. 4 .
Câu 16. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 2 i có tọa độ là
A. 2;1 .
B. 2;1 .
C. 1; 2 .
D. 4 .
D. 2; 1 .
Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 8 z 17 0 . Tọa độ tâm
I và bán kính R của mặt cầu S là
A. I 2;1; 4 , R 4 .
B. I 2; 1; 4 , R 2 .
C. I 2; 1; 4 , R 4 .
D. I 2;1; 4 , R 2 .
Câu 18. Cho mặt cầu có đường kính bằng 6. Diện tích S của mặt cầu đã cho bằng
A. S 72 .
B. S 18 .
C. S 36 .
D. S 144 .
2
Câu 19. Nếu
f x dx 4 và
0
2
2
g x dx 5 thì
f x g x dx bằng
0
0
B. 9 .
A. 9 .
C. 1 .
Câu 20. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên.
D. 1 .
Số nghiệm thực của phương trình 4 f x 3 0 là
A. 3 .
B. 2 .
2
2
0
0
D. 0 .
C. 1 .
f x dx 3 thì 3 f x 2 dx bằng
Câu 21. Nếu
A. 7 .
B. 11 .
C. 13 .
4
2
Câu 22. Trong tập số phức, phương trình z 3z 4 0 có tập nghiệm là
A. 1;2i .
B. 1; 1 .
C. 1;1; 2i; 2i .
Câu 23.
D. 9 .
D. 2; 2; i; i .
Cho hai số phức z 1 i và w 4 2i . Môđun của số phức z.w bằng
A. 2 5 .
B. 10 2 .
Câu 24. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y
A. y 1 .
B. y 1 .
C. 10 .
D. 2 10 .
2x 1
là
x 1
C. y
1
.
2
3
D. y 2 .
dx
1 5x 4 a ln b với a là số hữu tỷ và b là số nguyên tố. Khi đó a b bằng
56
54
A. 11 .
B.
.
C. 12 .
D.
.
5
5
Câu 25. Tính
/>
Câu 26. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y x
A. m 4.
B. m 1.
Câu 27. Đạo hàm của hàm số y ln 7 x 5 là
A. y '
1
.
7 x 5 ln 7
B. y '
4
trên khoảng 0; . Tìm m
x
C. m 3.
D. m 2.
7
.
7 x 5 ln 7
C. y '
7
.
7x 5
D. y '
1
.
7x 5
x 4 y 1 z 1
. Mặt
3
2
4
phẳng đi qua N và vng góc với đường thẳng d có phương trình là
Câu 28. Trong khơng gian Oxyz cho điểm N 1; 2; 3 và đường thẳng d :
A. 3x 2 y 4 z 3 0.
C. 3x 2 y 4 z 5 0.
B. 3x 2 y 4 z 3 0.
D. 3x 2 y 4 z 5 0.
Câu 29. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B ' C ' có AB a 6 , góc giữa đường thẳng A ' C và
mặt phẳng ABC bằng 30 o . Thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' bằng
9a 3 3
3a 3 6
a3 3
.
.
.
B.
C.
4
2
6
Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho điểm I 1; 4; 3 và mặt phẳng
D. 2a 3 3.
A.
P : x 2 y 2z 3 0 .
Mặt
cầu S tâm I và tiếp xúc với P có phương trình là
A. x 1 y 4 z 3 36.
B. x 1 y 4 z 3 16.
C. x 1 y 4 z 3 25.
D. x 1 y 4 z 3 36.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Câu 31. Với mọi số a , b dương thoả mãn log 2 a log 2 b 2 , khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a 2b 2 .
B. a 4b 2 .
C. a 2 2b.
Câu 32. Cho a 0 và a 1 , khi đó log a a 3 a bằng
4
5
A. .
B. .
3
6
C.
D. a 2 4b.
5
.
3
D.
2
.
3
Câu 33. Tập nghiệm của bất phương trình log3 x 2 2 là
A. 2;7 .
B. 7; .
C. 2; .
D. ;7 .
Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 1, SA ABCD và
SA 6 . Góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng
A. 90.
B. 30.
C. 60.
D. 45.
x 9 y 1 z 3
Câu 35. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
và mặt phẳng
8
2
3
P : x 2 y 4 z 1 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. d song song với P .
B. d nằm trong P .
C. d cắt và khơng vng góc với P .
D. d vng góc với P .
Câu 36. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 7 x 2 16 , x
. Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số m để hàm số y f x 9 8 x m có ít nhất ba điểm cực trị.
A. 5 .
B. 7 .
C. 8 .
D. 6 .
Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vng cạnh 4a . Mặt bên SCD là tam giác cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Cạnh bên SA tạo với đáy một góc 30 . Thể tích
khối chóp S.ABCD bằng
/>
32a 3 15
B.
.
3
4a 3 15
A.
.
9
a 3 15
C.
.
9
32a 3 15
D.
.
9
Câu 38. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 mx 2 m 6 x 1 đồng biến
trên khoảng 0; 4 là
A. ;6.
B. ;3 .
C. 3;6.
D. ;3.
Câu 39. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 4 , mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi K là trung điểm của CD . Khoảng
cách giữa hai đường thẳng BK và SC bằng
8 93
6 93
4 93
2 93
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
31
31
31
31
Câu 40. Trong một trò chơi, xác suất để Tuấn thắng trong một trận là 0, 3 (khơng có hịa). Số trận Tuấn
phải chơi tối thiểu để xác suất Tuấn thắng ít nhất một trận trong loạt trận đó lớn hơn 0,9 là bao
nhiêu?
A. 7.
B. 8.
C. 5.
D. 6.
2
Câu 41. Cho hàm số f x x 4 x 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
f 2 x m 6 f x m 5 0 có 6 nghiệm phân biệt?
B. 2 .
C. 3 .
D. 1 .
, x 1
8 x 2
Câu 42. Cho hàm số f x
. Giả sử F x là nguyên hàm của f x trên
3
3x 4 x 5 , x 1
A. 4 .
thỏa
F 0 2 . Giá trị của F 1 F 4 bằng:
A. 64 .
B. 62 .
C. 64 .
D. 62
x y 1 z 1
:
1
2
1
và mặt
Câu 43. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
phẳng
P : x 2 y z 3 0 . Đường thẳng nằm trong P đồng thời cắt và vng góc với có
phương trình là
x 1 t
x 3
x 1
x 1 2t
A. y 1 2t .
B. y 1 t .
C. y t .
D. y 1 t .
z 2 3t
z 2t
z 2 2t
z 2
3.9 x 8.6 x
3 là a; b c; . Khi đó 2a b c bằng
6 x 2.4 x
A. 2 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 0 .
Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn z 1 z 7 4i . Tích phần thực và phẩn ảo của z bằng
Câu 44. Tập giá trị của x thỏa mãn
A. 6 .
B. 8 .
C. 8 .
D. 6 .
Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2; 3 và mặt phẳng P : 2 x 2 y z 9 0 . Đường
thẳng d đi qua A và có véctơ chỉ phương là u 3; 4; 4 cắt P tại B . Điểm M thay đổi
trong P sao cho M ln nhìn đoạn AB dưới một góc 90 . Khi độ dài MB lớn nhất, đường
thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. I 3; 2;11 .
B. J 1; 2;5 .
C. H 2; 1;3 .
D. K 4; 2;5 .
Câu 47. Cho hình tứ diện ABCD có AD ABC ,
ABC là tam giác vuông tại B. Biết
BC 3a, AB 4a 3, AD 6a. Quay tam giác ABC và ABD (bao gồm tất cả các điểm bên
trong của hai tam giác đó) xung quanh đường thẳng AB ta được hai khối tròn xoay. Thể tích
phần chung của hai khối trịn xoay đó bằng
/>
8 3 a 3
16 3 a 3
25 3 a 3
.
.
.
A.
B.
C.
3
3
3
Câu 48. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn:
14 3 a 3
.
D.
3
6 xy 12 y 2 x 1 e2 xy e6 x y 12 2 x 3 y y 12 e y
A. 8.
B. 4.
C. 2.
D. 6.
Câu 49. Một mảnh vườn tốn học có dạng hình chữ nhật, chiều dài là 25m và chiều rộng là 10m . Các nhà
Toán học dùng hai đường parabol, mỗi parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi qua 2
điểm đầu của cạnh đối diện, phần mảnh vườn nằm ở miền trong của cả hai parabol (phần gạch sọc
như hình vẽ minh họa) được trồng hoa Hồng. Biết chi phí để trồng hoa Hồng là 35.000đồng /m 2 .
Số tiền các nhà Toán học phải chi để trồng hoa trên phần mảnh vườn đó? (Số tiền được làm trịn
đến hàng nghìn).
A. 4.124.000 đồng.
B. 3.300.000 đồng.
C. 5.185.000 đồng.
D. 4.243.000 đồng.
Câu 50. Cho hai số phức z , w thỏa mãn z 7 , w 7 và 3z 4w 35 . Giá trị lớn nhất của biểu thức
4 z 3w 2022i bằng
A. 2022 .
B. 4044 .
C. 2057 .
D. 2071 .
-------------------------- HẾT --------------------------
/>
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 5, độ dài đường sinh bằng 7. Diện tích xung quanh của hình
nón bằng
A. 12 .
B. 175 .
C. 70 .
D. 35 .
Lời giải
Chọn D
Sxq rl .5.7 35 .
Câu 2. Cho cấp số nhân un có u1 3 và cơng bội q 4 . Khi đó u2 bằng
A. 12 .
B.
4
.
3
C. 12 .
3
D. .
4
Lời giải
Chọn A
Ta có: u2 u1.q 3.4 12 .
Câu 3. Nghiệm của phương trình 5 x 3 là
A. x log 5 3 .
B. x log 3 5 .
C. x 3 5 .
3
D. x .
5
Lời giải
Chọn A
5x 3 x log5 3 .
Câu 4. Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc
tọa độ O và điểm Q 4; 3;5 ?
A. u 4;3;5 .
B. u 4; 3;5 .
C. u 4; 3; 5 .
D. u 4; 3;5 .
Lời giải
Chọn B
Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm Q 4; 3;5 có vectơ chỉ phương u OQ 4; 3;5
Câu 5. Cho hàm số y x3 3x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 .
Lời giải
Chọn D
y x3 3x 2 .
y 3x 2 6 x
x 0
y 0
x 2
Bảng biến thiên
Vậy hàm số y x3 3x 2 nghịch biến trên khoảng 0; 2 .
/>
Câu 6. Cho khối trụ có chiều cao h 5 và bán kính đáy r 3 . Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A. 30 .
B. 45 .
C. 15 .
D. 75 .
Lời giải
Chọn B
Ta có V r 2 .h 32.5 45 .
Câu 7. Tập xác định D của hàm số y x
A. D ;0 .
3
là
B. D
.
C. D
\ 0 .
D. D 0; .
Lời giải
Chọn D
Do
3
nên điều kiện xác định của y x 3 là x 0 .
Nên tập xác định của hàm số y x 3 là D 0; .
Câu 8. Cho lăng trụ có đáy B 3a 2 và chiểu cao bằng 4a . Thể tích khối lăng trụ bằng
A. 3a 3 .
B. a 3 .
C. 4a 3 .
D. 12a 3 .
Lời giải
Chọn D
Ta có V B.h 3a 2 .4a 12a 3 .
Câu 9. Cho hàm số f x liên tục trên
và có bảng xét dấu f x như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số là
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
Lời giải
D. 1 .
Chọn A
Dựa và bảng xét dấu của f x hàm số có 2 điểm cực tiểu.
Câu 10. Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây thuộc trục Oz ?
A. B 0;2;0 .
B. A 0;0;2 .
C. D 1; 2;3 .
D. C 2;0;0
Lời giải
Chọn B
Ta có A 0;0;2 thuộc trục Oz .
Câu 11. Cần chọn 2 cái bút bi từ 15 cái bút bi khác nhau. Khi đó số cách chọn là
A. C152 .
B. 30 .
C. A152 .
D. 215 .
Lời giải
Chọn A
Lý thuyết.
3
Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 21x trên đoạn [2;19] bằng
A. 34 .
B. 14 7 .
C. 14 7 .
Lời giải
Chọn C
Ta có
f x 3x 2 21
/>
D. 36 .
x 7
f x 0
x 7
f 2 34; f
7 14
7; f 19 6460 .
Suy ra min f x 14 7 .
[2;19]
Câu 13. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như hình sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ;1 .
B. 1; .
C. 1; .
D. ; 1 .
Lời giải
Chọn D
Lý thuyết.
Câu 14. Cho hàm số f x 1 cos x . Khẳng định nào sau đây đúng?
f x dx x sin x C .
C. f x dx sin x C .
A.
f x dx x sin x C .
D. f x dx sin x C .
B.
Lời giải
Chọn B
Ta có
f x dx x sin x C .
Câu 15. Số phức z 3 4i có phần ảo là
A. 4i .
B. 4i .
D. 4 .
C. 4 .
Lời giải
Chọn D
Só phức z 3 4i có phần ảo là 4 .
Câu 16. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 2 i có tọa độ là
A. 2;1 .
B. 2;1 .
C. 1; 2 .
D. 2; 1 .
Lời giải
Chọn B
Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 8 z 17 0 . Tọa độ tâm
I và bán kính R của mặt cầu S là
A. I 2;1; 4 , R 4 .
B. I 2; 1; 4 , R 2 .
C. I 2; 1; 4 , R 4 .
D. I 2;1; 4 , R 2 .
Lời giải
Chọn D
2a 4
a 2
2b 2 b 1
I 2;1; 4 ; R
Ta có:
2
c
8
c
4
d 17
d 17
2
2
12 4 17 2
2
Câu 18. Cho mặt cầu có đường kính bằng 6. Diện tích S của mặt cầu đã cho bằng
/>
A. S 72 .
C. S 36 .
Lời giải
B. S 18 .
D. S 144 .
Chọn C
2
6
Diện tích S của mặt cầu là: S 4 R 4 . 36
2
2
2
Câu 19. Nếu
f x dx 4 và
0
2
f x g x dx bằng
0
0
B. 9 .
A. 9 .
2
g x dx 5 thì
C. 1 .
Lời giải
D. 1 .
Chọn D
Ta có:
2
2
2
0
0
0
f x g x dx f x dx g x dx 4 5 1
Câu 20. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Số nghiệm thực của phương trình 4 f x 3 0 là
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
Lời giải
D. 0 .
Chọn A
Ta có: 4 f x 3 0 f x
3
4
Từ đồ thị ta thấy, phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
2
Câu 21. Nếu
2
f x dx 3 thì 3 f x 2 dx bằng
0
A. 7 .
0
B. 11 .
C. 13 .
Lời giải
Chọn C
/>
D. 9 .
2
2
2
Ta có 3 f x 2 dx 3 f x dx 2 dx 3. 3 2 x 0 9 4 13 .
2
0
0
0
Câu 22. Trong tập số phức, phương trình z 3z 2 4 0 có tập nghiệm là
A. 1;2i .
B. 1; 1 .
C. 1;1; 2i; 2i .
4
D. 2; 2; i; i .
Lời giải
Chọn C
z2 1
z 1
2
Ta có z 3z 4 0 2
.
z 4 z 2i
Phương trình z 4 3z 2 4 0 có tập nghiệm là 1;1; 2i; 2i .
4
2
Câu 23. Cho hai số phức z 1 i và w 4 2i . Môđun của số phức z.w bằng
A. 2 5 .
B. 10 2 .
C. 10 .
D. 2 10 .
Lời giải
Chọn D
Ta có z.w 1 i 4 2i 6 2i z.w
Câu 24. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y
A. y 1 .
6 2
2
2
2 10 .
2x 1
là
x 1
B. y 1 .
C. y
1
.
2
D. y 2 .
Lời giải
Chọn D
1
2x 1
x 2 ..
lim
Ta có: lim y lim
x
x x 1
x
1
1
x
1
2
2x 1
x 2.
lim y lim
lim
x
x x 1
x
1
1
x
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y 2 .
2
3
Câu 25. Tính
dx
5x 4 a ln b với a
là số hữu tỷ và b là số nguyên tố. Khi đó a b bằng
1
A. 11 .
B.
56
.
5
C. 12 .
D.
54
.
5
Lời giải
Chọn B
3
3
dx
1
1
1
ln 5 x 4 ln11 ln1 .ln11 .
Ta có:
5x 4 5
5
5
1
1
1
1
56
Suy ra a ; b 11 a b 11
.
5
5
5
4
trên khoảng 0; . Tìm m
x
C. m 3.
D. m 2.
Lời giải
Câu 26. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y x
A. m 4.
B. m 1.
Chọn A
/>
Ta có: y ' 1
x 2 0;
4
4
.
, y ' 0 1 2 0
2
x
x
x 2 0;
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f x f 2 4
x 0;
Câu 27. Đạo hàm của hàm số y ln 7 x 5 là
A. y '
1
.
7 x 5 ln 7
B. y '
7
.
7 x 5 ln 7
C. y '
7
.
7x 5
D. y '
1
.
7x 5
Lời giải
Chọn C
Ta có: y ' ln 7 x 5 '
7 x 5 '
7x 5
7
.
7x 5
x 4 y 1 z 1
. Mặt
3
2
4
phẳng đi qua N và vng góc với đường thẳng d có phương trình là
Câu 28. Trong khơng gian Oxyz cho điểm N 1; 2; 3 và đường thẳng d :
A. 3x 2 y 4 z 3 0.
C. 3x 2 y 4 z 5 0.
B. 3x 2 y 4 z 3 0.
D. 3x 2 y 4 z 5 0.
Lời giải
Chọn C
Do mặt phẳng vng góc với đường thẳng d ta chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm
là n ud 3; 2; 4 .
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm N 1; 2; 3 và có vectơ pháp tuyến n 3; 2; 4 là:
3 x 1 2 y 2 4 z 3 0 3x 2 y 4 z 5 0 .
Câu 29. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B ' C ' có AB a 6 , góc giữa đường thẳng A ' C và
mặt phẳng ABC bằng 30 o . Thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' bằng
A.
9a 3 3
.
4
B.
a3 3
.
6
C.
3a 3 6
.
2
Lời giải
/>
D. 2a 3 3.
Chọn C
Ta có lăng trụ ABC.ABC đều nên AA ABC AC, ABC ACA 30 .
Tam giác A ' AC vuông tại A có AA ' AC.tan 30o a 6.
Tam giác ABC đều cạnh a nên S ABC
a 6
1
a 2.
3
2
3
4
3a 2 3
.
2
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' là VABC . ABC AA '.S ABC
Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho điểm I 1; 4; 3 và mặt phẳng
3a 3 6
.
2
P : x 2 y 2z 3 0 .
Mặt
cầu S tâm I và tiếp xúc với P có phương trình là
A. x 1 y 4 z 3 36.
B. x 1 y 4 z 3 16.
C. x 1 y 4 z 3 25.
D. x 1 y 4 z 3 36.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Lời giải
Chọn A
Bán kính mặt cầu là: R d ( I ;( P ))
1 2.4 2. 3 3
12 22 (2) 2
6.
Phương trình mặt cầu là: x 1 y 4 z 3 36.
2
2
2
2
Câu 31. Với mọi số a , b dương thoả mãn log 2 a log 2 b 2 , khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a 2b 2 .
B. a 4b 2 .
C. a 2 2b.
Lời giải
D. a 2 4b.
Chọn D
a2
a2
2
4 a 2 4b.
Ta có: log 2 a log 2 b 2 log 2
b
b
2
Câu 32. Cho a 0 và a 1 , khi đó log a a 3 a bằng
4
5
5
A. .
B. .
C. .
3
6
3
Lời giải
Chọn D
1
3
4
3
2
3
D.
2
.
3
2
3
Ta có: log a a a log a a.a log a a log a a .
3
Câu 33. Tập nghiệm của bất phương trình log3 x 2 2 là
A. 2;7 .
B. 7; .
C. 2; .
D. ;7 .
Lời giải
Chọn B
x 2 0
x 2
x 7.
log3 x 2 2
2
x 7
x 2 3
Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 1, SA ABCD và
SA 6 . Góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng
/>
A. 90.
B. 30.
C. 60.
Lời giải
D. 45.
Chọn C
Ta có: SC , ABCD SC , AC SCA.
Xét SAC vuông tại A :
tan SCA
SA
6
3 SCA 60.
AC AB. 2
Câu 35. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
d :
x 9 y 1 z 3
và mặt phẳng
8
2
3
P : x 2 y 4 z 1 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. d song song với P .
B. d nằm trong P .
C. d cắt và khơng vng góc với P .
D. d vng góc với P .
Lời giải
Chọn B
Gọi A d P suy ra A 9 8t;1 2t;3 3t .
A P : 9 8t 2 1 2t 4 3 3t 1 0 0t 0 . Phương trình thỏa mãn t
nên d
nằm trong P .
Câu 36. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 7 x 2 16 , x
. Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số m để hàm số y f x 9 8 x m có ít nhất ba điểm cực trị.
A. 5 .
Chọn D
B. 7 .
C. 8 .
Lời giải
D. 6 .
Xét hàm số y f x9 8x m , y ' 9 x8 8 f ' x9 9 x8 m .
x 9 9 x8 m 7
x9 9 x8 7 m
y ' 0 x9 9 x8 m 4 x 9 9 x8 4 m .
x9 9 x8 m 4
x9 9 x8 4 m
Xét hàm số g x x9 8x g ' x 9 x8 8 0, x
.
BBT:
/>
Hàm số y f x 9 8 x m
là hàm chẵn, để nó có ít nhất 3 điểm cực trị thì hàm số
y f x9 8x m có ít nhất một điểm cực trị dương. Dựa vào bảng biến thiên, ta có
m
7 m 0 m 7
m 1;2;3;4;5;6 .
Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vng cạnh 4a . Mặt bên SCD là tam giác cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Cạnh bên SA tạo với đáy một góc 30 . Thể tích
khối chóp S.ABCD bằng
32a 3 15
32a 3 15
a 3 15
4a 3 15
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
9
9
9
Lời giải
Chọn D
SCD ABCD , SCD ABCD CD .
SH CD SH ABCD .
Ta có
SA, ABCD SA, AH SAH 30 , HA
Suy ra tan 30
Gọi H là trung điểm của CD thì
DH 2 AD 2
2a
2
4 a 2 5a .
2
SH
2 15
1
32a 3 15
SH HA.tan 30
a . Vậy VABCD SH .S ABCD
.
HA
3
3
9
Câu 38. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 mx 2 m 6 x 1 đồng biến
trên khoảng 0; 4 là
A. ;6.
B. ;3 .
C. 3;6.
Lời giải
Chọn D
Ta có y 3x 2 2mx m 6 .
/>
D. ;3.
Để hàm số đồng biến trên khoảng 0; 4 thì y 0, x 0;4 và dấu " " xảy ra tại hữu hạn
điểm
3x 2 2mx m 6 0 x 0; 4
m 2 x 1 3x 2 6 x 0;4
3x 2 6
3x 2 6
.
x 0; 4 ; Đặt: g x
2x 1
2x 1
3x 2 6
.
m min g x ; với g x
x 0;4
2x 1
6 x 2 x 1 2 3x 2 6 6 x 2 6 x 12
x 1 0; 4
.
g x
;
g
x
0
2
2
2 x 1
2 x 1
x 2 0; 4
m
Có: g 0 6; g 1 3; g 4 6 suy ra min g x 3.
x 0;4
Vậy m 3.
Câu 39. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 4 , mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi K là trung điểm của CD . Khoảng
cách giữa hai đường thẳng BK và SC bằng
8 93
6 93
4 93
2 93
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
31
31
31
31
Lời giải
Chọn C
Gọi I là trung điểm của AB , khi đó SI ABCD .
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O I như hình vẽ.
Ta có I 0;0;0 , S 0;0;2 3 ; K 4;0;0 ; C 4;2;0 ; B 0;2;0 .
BS 0; 2;2 3 ; BK 4; 2;0 ; SC 4;2; 2 3
/>
Suy ra BK ; SC 4 3;8 3;16 .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BK và SC bằng
d BK ; SC
BS . BK ; SC
BK ; SC
16 3 4 93
.
31
4 31
Câu 40. Trong một trò chơi, xác suất để Tuấn thắng trong một trận là 0, 3 (khơng có hịa). Số trận Tuấn
phải chơi tối thiểu để xác suất Tuấn thắng ít nhất một trận trong loạt trận đó lớn hơn 0,9 là bao
nhiêu?
A. 7.
B. 8.
C. 5.
D. 6.
Lời giải
Chọn A
Gọi n là số trận tối thiểu để Tuấn thắng có xác suất lớn hơn 0,9.
A là biến cố “Tuấn không thắng trận nào trong n trận”: P A 0,7n .
A là biến cố “Tuấn thắng ít nhất một trận trong n trận”: P A 1 P A 1 0, 7 n .
Do P A 0,9 1 0, 7 n 0,9 0, 7 n 0,1 n log 0,7 0,1 n 6, 45 .
Vậy, số trận Tuấn phải chơi tối thiểu là 7 trận.
Câu 41. Cho hàm số f x x 2 4 x 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
f 2 x m 6 f x m 5 0 có 6 nghiệm phân biệt?
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
Lời giải
D. 1 .
Chọn C
Ta có bảng biến thiên của f x là:
Từ đó ta có được bảng biến thiên của f x là:
f x 1
Ta có: f 2 x m 6 f x m 5 0
.
f x m 5
Do phương trình f x 1 có hai nghiệm là x 2 .
Nên phương trình f x m 5 phải có 4 nghiệm phân biệt khác x 2 .
1 m 5 3 4 m 8 .
/>
, x 1
8 x 2
Câu 42. Cho hàm số f x
. Giả sử F x là nguyên hàm của f x trên
3
3x 4 x 5 , x 1
F 0 2 . Giá trị của F 1 F 4 bằng:
A. 64 .
B. 62 .
thỏa
D. 62
C. 64 .
Lời giải
Chọn A
0
4
4
Ta có: F 1 F 4 F 0 f x dx f x dx F 0 f x dx .
1
1
0
1
4
1
4
1
1
1
1
f x dx f x dx 3x 3 4 x 5 dx 8 x 2 dx 64 .
Cách 2:
1
4
1
1
F 1 F 4 F 1 F 1 F 4 F 1 f x dx f x dx
1
4
1
1
3 x 3 4 x 5 dx 8 x 2 dx 64
:
x y 1 z 1
1
2
1
Câu 43. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
và mặt phẳng
P : x 2 y z 3 0 . Đường thẳng nằm trong P đồng thời cắt và vng góc với có
phương trình là
x 1 t
x 3
x 1
x 1 2t
A. y 1 2t .
B. y 1 t .
C. y t .
D. y 1 t .
z 2 3t
z 2t
z 2 2t
z 2
Lời giải
Chọn D
d là đường thẳng cần tìm
Gọi
A t; 1 2t;1 t d
Gọi
A P t 2 1 2t 1 t 3 0 t 2 4t 1 t 3 0 t 1
Theo đề
A 1;1; 2
Suy ra
u 1; 2;1
Đường thẳng có véc-tơ chỉ phương
P có véc-tơ pháp tuyến n 1; 2; 1
Mặt phẳng
u ; n 0; 2; 4
Ta có
1
u ; n 0; 1; 2
u
2
d
Suy ra véc-tơ chỉ phương của đường thẳng là
u 0; 1; 2
A 1;1; 2
Đường thẳng d đi qua
và nhận
làm véc-tơ chỉ phương có phương trình
x 1
y 1 t
z 2 2t
.
/>
3.9 x 8.6 x
3 là a; b c; . Khi đó 2a b c bằng
6 x 2.4 x
B. 3 .
C. 1 .
D. 0 .
Lời giải
Câu 44. Tập giá trị của x thỏa mãn
A. 2 .
Chọn B
2x
x
3
3
3. 8.
2
2
Bất phương trình đã cho tương đương x 3 0 .
3
2
2
x
3
Đặt t , điều kiện 0 t 2 .
2
3t 2 8t
4
4
Xét hàm f t
có f t 3
3 3t 5
0.
2
t 2
t 2
t 2
2
Hơn nữa f f 3 0 .
3
Lập bảng biến thiên
1 x log 3 2
2
t
2
2
Bất phương trình f t 0 3
x log 3 3.
t 3
2
Do đó a 1 ; b log 3 2 ; c log 3 3 .
2
2
Vậy 2a b c 3 .
Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn z 1 z 7 4i . Tích phần thực và phẩn ảo của z bằng
A. 6 .
B. 8 .
C. 8 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn C
Đặt z a bi .
Theo bài ta ta có
a 1
2
b 2 a bi 7 4i
2
2
a 2
a 1 b 2 a 7
a 1 16 7 a
.
b 4
b 4
b 4
Vậy tích phần thực và phần ảo là 8.
Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2; 3 và mặt phẳng P : 2 x 2 y z 9 0 . Đường
thẳng d đi qua A và có véctơ chỉ phương là u 3; 4; 4 cắt P tại B . Điểm M thay đổi
trong P sao cho M ln nhìn đoạn AB dưới một góc 90 . Khi độ dài MB lớn nhất, đường
thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. I 3; 2;11 .
B. J 1; 2;5 .
C. H 2; 1;3 .
D. K 4; 2;5 .
/>
Lời giải
Chọn A
x 1 3t
Phương trình đường thẳng d : y 2 4t .
z 3 4t
B
Tọa
độ
là
nghiệm
của
x 1 3t
y 2 4t
2 1 3t 2 2 4t 3 4t 9 0 18t 18 0 t 1.
z
3
4
t
2 x 2 y z 9 0
Suy ra B 2; 2;1 .
hệ
Điểm M thuộc P và ln nhìn AB dưới một góc vng nên M thuộc đường trịn là giao
của mặt cầu đường kính AB với mặt phẳng P
1
Gọi E là trung điểm của AB , E ; 0; 1 .
2
Gọi I là hình chiếu của E lên P khi đó I là tâm đường trịn là giao tuyến của P với mặt
cầu đường kính AB .
Độ dài MB lớn nhất khi M là điểm đối xứng của B qua I , khi đó đường thẳng MB đi qua
B và I .
1
x 2 2t
Đường thẳng qua E và vng góc với P có phương trình : y 2t
.
z 1 t
1
x
2t
2
Tọa độ I là nghiệm của hệ : y 2t
z 1 t
2 x 2 y z 9 0
1
5
2 2t 2.2t 1 t 9 0 t 1 I ; 2;0 .
2
2
Ta có 2 IB 1;0; 2 .
/>
x 2 t
Phương trình đường thẳng BM : y 2 .
z 1 2t
Trong các đáp án thì đường thẳng BM đi qua I 3; 2;11 (ứng với t 5 ).
Câu 47. Cho hình tứ diện ABCD có AD ABC ,
ABC là tam giác vuông tại B. Biết
BC 3a, AB 4a 3, AD 6a. Quay tam giác ABC và ABD (bao gồm tất cả các điểm bên
trong của hai tam giác đó) xung quanh đường thẳng AB ta được hai khối trịn xoay. Thể tích
phần chung của hai khối trịn xoay đó bằng
16 3 a 3
8 3 a 3
25 3 a 3
14 3 a 3
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
Lời giải
Chọn A
Khi quay tam giác ABC và ABD (bao gồm tất cả các điểm bên trong của hai tam giác đó)
xung quanh đường thẳng AB ta được hai khối nón trịn xoay có cùng chiều cao AB nên hai
đáy của hai hình nón nằm trên hai mặt phẳng song song
Khi đó phần chung của hai hình nón trên là hai hình nón:
Hình nón N1 có đỉnh A, đường cao OA và bán kính đáy r OI .
Hình nón N 2 có đỉnh B , đường cao OB và bán kính đáy r OI .
1
Do đó Thể tích phần chung của hai khối trịn xoay đó là V V N1 V N2 OI 2 AB.
3
IK
BO
IK AO
Mặt khác do IK //DF //EC nên
và
DF BA
EC AB
1
IK IK BO AO
1
1 IK
1 IK 4a OI 2a.
DF EC BA AB
2 AD 2 BC
1
1
16 a 3 3
2
.
Vậy V .OI 2 . AB . 2a .4a 3
3
3
3
Câu 48. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn:
6 xy 12 y 2 x 1 e2 xy e6 x y 12 2 x 3 y y 12 e y
A. 8.
B. 4.
C. 2.
Lời giải
Chọn C
Ta có 6 xy 12 y 2 x 1 e2 xy e6 x y 12 2 x 3 y y 12 e y
/>
D. 6.
6 x 12 2 xy y e2 xy y e6 x12 6 x 12 2 xy y *
1
1
e6 x 12
f 2 xy y f 6 x 12 (1)
2 xy y
6 x 12
1
Xét hàm số f t et
t
Tập xác định D 0;
e2 xy y
1
0, t D f t luôn đồng biến trên tập xác định (2)
t2
6 x 12
9
Từ (1) và (2) suy ra 2 xy y 6 x 12 y
3
2x 1
2x 1
mà x, y
nên 2 x 1 ¦ 9 2 x 1 3;9
có f t et
x 1; y 6
x 4; y 4
Vậy có 2 cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn.
Câu 49. Một mảnh vườn tốn học có dạng hình chữ nhật, chiều dài là 25m và chiều rộng là 10m . Các nhà
Toán học dùng hai đường parabol, mỗi parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi qua 2
điểm đầu của cạnh đối diện, phần mảnh vườn nằm ở miền trong của cả hai parabol (phần gạch sọc
như hình vẽ minh họa) được trồng hoa Hồng. Biết chi phí để trồng hoa Hồng là 35.000đồng /m 2 .
Số tiền các nhà Toán học phải chi để trồng hoa trên phần mảnh vườn đó? (Số tiền được làm trịn
đến hàng nghìn).
A. 4.124.000 đồng.
B. 3.300.000 đồng.
C. 5.185.000 đồng.
Lời giải
D. 4.243.000 đồng.
Chọn A
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ bên dưới.
Parabol P x đi qua các điểm O 0;0 , A 12.5;10 và đạt cực trị tại x 0 có dạng
y P x ax 2 a 0 . Dễ dàng tìm được hàm số y P x
8 2
x .
125
/>
Gọi E , F lần lượt là hai giao điểm của hai parabol (hình vẽ). Hồnh độ điểm F là nghiệm
phương trình hồnh độ giao điểm của y P x và đường thẳng y 5
8 2
x 5
25 2
xF
.
125
4
x 0
Nhận xét, diện tích cần tìm được chia thành 4 phần bằng nhau, trong đó diện tích một phần
được tính như sau: S1
xF
25 2
4
0
0
5 P x dx
8 2
x
5
125
2
dx 29.46278 m .
Vậy số tiền các nhà Toán học phải chi để trồng hoa trên phần mảnh vườn đó bằng:
4 S1 35.000 4 29.46278 35.000 4.124.789 đồng.
Câu 50. Cho hai số phức z , w thỏa mãn z 7 , w 7 và 3z 4w 35 . Giá trị lớn nhất của biểu thức
4 z 3w 2022i bằng
A. 2022 .
Chọn C
B. 4044 .
C. 2057 .
Lời giải
D. 2071 .
3 z 4 w 3 z 4 w 3 z 4 w 9 z 16 w 12 zw wz 352 1
2
2
2
Thay z 7 , w 7 vào 1 ta được: zw wz 0 .
4 z 3w 4 z 3w 4 z 3w 16 z 9 w 12 zw wz 1225 .
2
2
2
Suy ra 4 z 3w 35 .
Ta có: 4 z 3w 2022i 4 z 3w 2022i 35 2022 2057 .
Dấu bằng xảy ra khi 4z 3w k.2022i với k , k 0 .
Vậy 4 z 3w 2022 max 2057 .
-----------------------HẾT-----------------------
/>
