Đề thi toán THPT quốc gia 2022 (57)

Câu 1.

ĐỀ TỐN NGUYỄN KHUYẾN – LÊ THÁNH TƠNG 2021-2022
Tập hợp M có 12 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là
B. C122 .

A. 122 .
Câu 2.

Cho cấp số cộng  un  có u4  12 và u14  18. Giá trị công sai của cấp số cộng đó là
A. d  4 .

C. d  3 .

B. d  3 .

Câu 3.

Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x   x  x  1

Câu 4.

số đã cho là
A. 3 .
B. 1 .
C. 4 .
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập các định của nó?
A. y 

Câu 5.

D. A122 .

10
C. A12
.

 2 .
x

2

D. d  2 .

 x  2   x  3
5

x

B. y   0,5 .

1
1
.
B.  .
C. 3 .
3
3
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ?

A. y 

Câu 7.



Câu 9.



x

3 1 .

B. y    e  .

C. y   x .

x

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 

D. 3 .

D. y   e  2  .
x

2x 1
là
x 1

1

.
D. y  2 .
2
Cho hàm số y  f ( x) xác định và liên tục tại mọi x  1 có bảng biến thiên như bảng dưới
đây.
x
0
3


1
2
4

0
0
f ( x )


 0 

A. y  1 .

Câu 8.

x

2
D. y    .
3

Cho a  0, a  1 , giá trị của log a3 a bằng
A.

Câu 6.

. Số điểm cực trị của hàm
D. 2 .

e
C. y    .
 

x

7

B. y  1 .

C. y 

Số điểm cực trị của hàm số là
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
Cho hai số phức z1  5i và z2  2020  i phần thực của số z1 z2 bằng

D. 2 .

A. 5 .

D. 10100 .

B. 5 .
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

C. 10100 .

 P : x  2 y  z  5  0 .

Điểm nào dưới đây thuộc

 P ?
A. M 1;1; 6  .

B. N  5;0;0  .

C. P  0;0; 5 .

D. Q  2; 1;5 .

Câu 11. Tìm đạo hàm của hàm số y  log 7 x với x  0 .

7
1
1
ln 7
.
B. y  .
C. y 

.
D. y  
.
x
x
x ln 7
x
Câu 12. Cho khối chóp có diện tích đáy B  6a 2 và chiều cao h  2a . Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. 12a 3 .
B. 2a 3 .
C. 4a 3 .
D. 6a 3 .
Câu 13. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
1
x e 1
A.  dx  ln x  C .
B.  x e dx 
C .
x
e 1
1
e x 1
C.  e x dx 
D.  cos 2 xdx  sin 2 x  C .
C.
2
x 1
A. y 

/>

Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho a   2; 2;0  , b   2; 2;0  , c   2; 2; 2  . Giá trị của a  b  c bằng
B. 11 .

A. 2 6 .
Câu 15. Phương trình 3x
A. x  0; x  2 .

2

2 x

 1 có nghiệm là
B. x  1; x  3 .

Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?
A. u2   2;  2;3 .
B. u4   2;  4;6  .
Câu 17. Cho hàm số f  x  liên tục trên

C. 2 11 .

D. 6 .

C. x  0; x  2 .

D. x  1; x  3 .

x  3 y 1 z  5



. Vectơ nào sau đây là một
2
2
3
C. u3   2;6;  4  .
1

và thỏa mãn



D. u1   3;  1;5 .

f  x dx  2 ;

0

3

 f  x  dx  6 .

Tính

1

3

I   f  x  dx.

0

A. I  8 .
B. I  12 .
C. I  4 .
D. I  36 .
Câu 18. Khối nón có chiều cao h  4 và đường kính đáy bằng 6 .Thể tích khối nón bằng
A. 12 .
B. 144 .
C. 48 .
D. 24 .
Câu 19. Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước 2; 4; 6 . Thể tích khối hộp đã cho bằng:
A. 8 .
B. 16 .
Câu 20. Trong không gian Oxyz ; cho mặt cầu

C. 48 .
D. 12 .
2
2
2
 S  : x  y  z  4 x  2 y  6 z  1  0 . Toạ độ tâm

I của mặt cầu là:
A. I (4; 2;6) .
B. I (2; 1;3) .
C. I (4; 2; 6) .
Câu 21. Cho hàm số y  f ( x) có bẳng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào

A. (0;1) .
B. ( 1;1) .

C. (4; ) .

D. I (2;1; 3) .

D. (; 2) .

Câu 22. Nghiệm của phương trình log 2  x  9   5 là
A. x  41 .
B. x  16 .
C. x  23 .
Câu 23. Cho x, y  0 và  ,   . Khẳng định nào sau đây sai?
A.  x   x .


B. x  y   x  y  . C. x .x   x   .


D. x  1 .
D.  xy   x . y .


Câu 24. Cho hình trụ có bán kính đáy r  2 và chiều cao h  5 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã
cho bằng
A. 28 .
B. 20 .
C. 10 .
D. 20 .

Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 1;0; 2  , B 1; 2;1 C  3; 2;0  và D 1;1;3 . Đường thẳng
đi qua A và vuông góc với mặt phẳng  BCD  có phương


x  1 t

A.  y  4t .
z  2  t


Câu 26. Cho

x  1 t

B.  y  4
.
 z  2  2t


x  1 t

C.  y  2  4t .
 z  2  2t


1

1

1

0

0

0

x  2  t

D.  y  4  4t .
 z  4  2t


 f  x dx  2 và  g  x dx  5 . Tính   f  x   2 g  x dx

A. 8 .
Câu 27. Cho hình chóp

B. 12 .

C. 1 .
SA   ABCD  đáy

có

S.ABCD

D. 3 .
ABCD là hình chữ nhật. Biết

AD  2a, SA  a . Khoảng cách từ A đến  SCD  bằng
A.

3a
.
7

B.

3a 2
.
2

C.

2a
.
5

D.

2a 3
.
3

Câu 28. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x3  3x 2 trên đoạn  4; 1 bằng
Câu 29. Tìm

D. 4 .

C. 16 .

B. 4 .

A. 0 .

  x  sin 2x  dx .

A. x 2 

cos 2 x
C .
2

B.

x 2 cos 2 x

C .
2
2

C.

x2
 cos 2 x  C .
2

D.

x2
 sin x  C .
2

Câu 30. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z  1  3i  0 . Tìm phần ảo của số phức w  1  iz  z .
A. 1 .
B. i .
C. 2 .
D. 2i .
Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I (1;1;1) và A(1; 2;3) . Phương trình mặt cầu có tâm I và
đi qua điểm A .
A. ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2  29 .

B. ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2  25 .

C. ( x  1)2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  5 .

D. ( x  1) 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  5 .
2 x 2 3 x  7

1
 32 x  21 .
Câu 32. Số nghiệm nguyên của bất phương trình  
3
 
A. 7 .
B. 6 .
C. vô số.
2
Câu 33. Hàm số y  2

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
3x  1
A. ( 1;1) .
B. ( ; 0) .
C. .

D. 8 .

D. (0;  ) .

x 1 y 1 z
x y 1 z  2

 ;  2  : 

. Khoảng cách giữa
2
2
1
2
1
4
bằng d . Khẳng định đúng là

Câu 34. Trong không gian Oxyz , cho  1  :

 1  và  2 
A. d 

15

.
85

B. d 

15
.
89

Câu 35. Cho phương trình z 2  2 z  5  0  z 
A. 2 5 .



3 1

a



a

.a

2 2

2 3



2 2

1
.
86

D. d 

1
.
89

có hai nghiệm z1 , z2 . Tổng z1  z2 bằng

B. 10 .

Câu 36. Rút gọn biểu thức P 
A. P  a 4 .

C. d 

C. 4 .

D. 2 .

C. P  a 5 .

D. P  a .

với a  0

B. P  a 3 .

/>

Câu 37. Trong không gian Oxyz cho    :

 

x2 y
  z và điểm A  2; 1; 2  . Phương trình mặt phẳng
2
2

chứa    và khoảng cách từ A đến   bằng

ab
đúng là:
cd
1
A. S   .
2

5 là ax  by  cz  d  0 . Giá trị của

S

B. S 

1

.
2

C. 1 .

Câu 38. Cho  C1  : y  f  x   ax 2  bx  c  a  0  và  C2  : y 

D. 3 .

2
, đồ thị của  C1  như hình sau
x

b
và  C1  tiếp xúc  C2  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C1  và  C2  bằng a ln 2  ;
c
b
a, b, c  ; tối giản. Khẳng định đúng là:
c
A. a  b  c  9 .
B. a  b  c  3 .
C. a  b  c  5 .
D. a  b  c  7 .
Câu 39. Cho số phức z1 thỏa z1  1 , số phức z2 thỏa z2  2  4i  2 . Giá trị lớn nhất của
z1  z2  2 a  b

A. a  b  8 .
B. a  b  23 .
C. a  b  7 .
D. a  b  5 .

Câu 40. Cho tứ diện ABCD có BCD  ABC  ADC  90, BC  4, CD  3 và khoảng cách từ A đến
đường thẳng BD bằng 3 . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng V . Khẳng định đúng là:
18
12
36
108
A. V  .
B. V  .
C. V 
.
D. V 
.
5
5
5
5
x 1 y z  2
 
. Phương trình đường thẳng
Câu 41. Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng    :
2
2
3

 d  qua O  0;0;0 

cắt    tại A và  d      là

x y
z

 
.
25 8 22
Câu 42. Cho tập hợp X  1;2;3;4;5;6;7 , chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có ba chữ số a, b, c đôi
A. 3 x  6 y  2 z  0 .

B. x  y 

3z
.
4

C.

x y
z


.
3 30 4

D.

một khác nhau thuộc X . Xác suất số tự nhiên được chọn chia hết cho 6 bằng P.
17
28
17
28
A. P  3 .
B. P 

.
C. P 
.
D. P  3 .
A7
A7
105
105


Câu 43. Cho hàm số y
y

f x có f

3

1

ax 2

1 và f x

bx

c a,b, c

. Đồ thị hàm số

f ' x như sau

Số điểm cực trị của g x
A. 5 .

f f x

2

f2 x

f x

8 2

6f x

C. 7 .

B. 2 .

Câu 44. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S : x

6

2

là

8
D. 6 .

y2

z

6

2

54 . Hai đường thẳng

d1 , d2 cùng thuộc mặt phẳng Oxy đều đi qua gốc tọa độ O và cùng tiếp xúc với mặt cầu

x

có

S

phương

trình

a1t

d1 : y
z

S
A. S

a1
a2

a3
0 .

b1
b2

b3

x

b1t

a2t , d2 : y

b2t , t

a 3t

b3t

z

.

Khẳng

định

đúng là
B. S

2.

1
.
4
Câu 45. Cho hàm số y  f  x    x3  bx 2  cx có đồ thị như hình vẽ sau

C. S

D. S

2.

y
4
3
1
x
-1 O

-1

2 3

Hình phẳng  H  giới hạn bởi y  f  x  , y  0, x  0, x  4 quay quanh Ox sinh ra một khối
trịn xoay có thể tích bằng V . Khẳng định đúng là

3074
3072
3073
A.V 
.
B. V 
.
C. V 
.
35
35
35

/>
D. V 

3076
.
35


Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho ( P) : x  2 y  2 z  0, A(2; 4;0), B(0; 2; 4) . Phương trình mặt
phẳng    chứa A, B và thỏa mãn

   ,  P    AB,  P 

là    : ax  by  cz  d  0 . Khẳng

định đúng là
A.

ab
 2.
cd

B.

ab
 2.
d c

C.

ab 1
 .
cd 2

D.

d
 5.
c

a
. Mặt phẳng  P  thay đổi
2
ln đi qua O và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác AOB . Độ dài AB khi diện tích của
tam giác AOB lớn nhất bằng

Câu 47. Cho khối nón đỉnh O trục OI , bán kính bằng a chiều cao bằng

5a 2
a 10
a 10
.
C.
.
D.
.
2
4
8
Câu 48. Cho hàm số y  f   x   ax3  bx 2  cx có đồ thị hàm số y  f   x  như sau

A. 2a .

B.

và f  0   0 . Số điểm cực trị của hàm số g  x   f  xf  x    ln  xf  x   bằng
A. 9 .
B. 7 .
C. 8 .
D. 10 .
2
3 
Câu 49. Cho  C1  : y  g  x   ;  C2  : y  f  x   4 x 2  bx  c ,  C2  tiếp xúc với Ox tại A  ; 0  và
x
2 
qua B  2;1 . Giá trị nhỏ nhất của

 4  x  2 f  x 
2g 
  x 2 x  3 trên đoạn  0; 2 bằng
 1  f  x    2  x  



a
a 2  b2
và M  2
. Giá trị của M nằm thuộc khoảng nào sau đây:
a  b2
b
A. M   2;0  .

B. M   0;1 .

Câu 50. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên
hình sau

C. M  1;2  .

D. M   2; 4  .

, có f   x   0 , x   x3 ; x2  và đồ thị y  f  x  như


1  f   f  x0   . f  x0  
Gọi  f  x   xf   f  x0    f  f  x0    1  m ; 
  n ; x0   x3 ;0

2


2

2

Khi đó giá trị nhỏ nhất của S 

2

 m  1 4n  1



1 m  4n
 m.n trên x   x3 ; x2  bằng k
2 1  4m.n

và T   k  f  x0    k  f  x0    x 2 . Khẳng định đúng là
A. T   0;1 .

B. T   2;3 .

C. T   4;5 .

---------- HẾT ----------

/>
D. T   5;6  .

1
B
26
A

2
C
27
C

Câu 1.

3
A
28
C

4
A
29
B

5
A
30
A

6

C
31
C

7
D
32
A

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
BẢNG ĐÁP ÁN
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
A A A C C C C A A A A C
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
D B A C A A A A D B A A

20
B
45
A

21
A
46
C

22
C
47
C

23
B
48
C

24
D
49
B

25
D
50
B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Tập hợp M có 12 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là
B. C122 .

A. 122 .

D. A122 .

10
C. A12
.

Lời giải
Chọn B

Số tập con thỏa mãn đề bài chính là số cách chọn 2 phần tử lấy trong tập hợp M có 12 phần tử.
Số tập con gồm 2 phần tử của tập hợp M là C122 .
Câu 2.

Cho cấp số cộng  un  có u4  12 và u14  18. Giá trị công sai của cấp số cộng đó là
A. d  4 .
Chọn C
Ta có un

u4

u1
12

u14

C. d  3 .
Lời giải

B. d  3 .

18

D. d  2 .

n 1 d , theo đề bài ta có hệ phương trình:
u1

3d

12

u1

13d

18

u1
d

21
3

Vậy d  3.
Câu 3.

Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x   x  x  1
số đã cho là
A. 3 .

B. 1 .

2

 x  2   x  3
5

7

. Số điểm cực trị của hàm

C. 4 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn A

x  0
x  1
2
5
7
f   x   0  x  x  1  x  2   x  3  0  
x  2

x  3

Bảng xét dấu:

x

0
0

f x

Câu 4.

1
0

2
0

3
0

+

Từ bẳng xét dấu, suy ra hàm số có 3 điểm cực trị
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập các định của nó?
A. y 

 2 .

Chọn A

x

B. y   0,5 .
x

x

e
C. y    .
 
Lời giải

x

2
D. y    .
3


Hàm số y 
Câu 5.

 2  là hàm số mũ, có cơ số a   2   1 nên đồng biến trên tập xác định
x

.

Cho a  0, a  1 , giá trị của log a3 a bằng
A.

1
.
3

1
B.  .
3

D. 3 .

C. 3 .

Lời giải

Chọn A

Câu 6.

1
1
Ta có log a3 a  log a a  .
3
3
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên

A. y 





x

3 1 .

B. y    e  .

?

C. y   x .

x

D. y   e  2  .
x

Lời giải
Chọn C
Hàm số y   x là hàm số mũ, có cơ số a    1 nên đồng biến trên tập xác định
Câu 7.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y  1 .

.

2x 1
là
x 1

B. y  1 .

C. y 

1
.
2

D. y  2 .

Lời giải
Câu 8.

Chọn D
Cho hàm số y  f ( x) xác định và liên tục tại mọi x  1 có bảng biến thiên như bảng dưới
đây.
x
0
3


1
2
4

0
0
f ( x )


 0 

Số điểm cực trị của hàm số là
A. 3 .
B. 4 .

C. 5 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn A

Hàm số có các điểm cực trị là x  3, x  0, x  2
Câu 9.

Cho hai số phức z1  5i và z2  2020  i phần thực của số z1 z2 bằng
A. 5 .

B. 5 .

C. 10100 .
Lời giải

D. 10100 .

Chọn A
Ta có: z1 z2  5i(2020  i)  5  10100i
Suy ra phần thực của số z1 z2 bằng 5 .
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

 P : x  2 y  z  5  0 .

Điểm nào dưới đây thuộc

 P ?
A. M 1;1; 6  .

B. N  5;0;0  .

C. P  0;0; 5 .
Lời giải

Chọn A
Với M 1;1;6   1  2.1  6  5  0  M   P  .
Với N  5;0;0   5  2.0  0  5  10  N   P  .
Với P  0;0; 5  0  2.0  5  5  10  P   P  .
/>
D. Q  2; 1;5 .


Với Q  2; 1;5  2  2.  1  5  5  4  Q   P  .
Câu 11. Tìm đạo hàm của hàm số y  log 7 x với x  0 .
A. y 

7
.
x

B. y 

1
.
x

C. y 

1
.
x ln 7

D. y  

ln 7
.
x

Lời giải
Chọn C
Ta có y  log 7 x  y 

1
.
x ln 7

Câu 12. Cho khối chóp có diện tích đáy B  6a 2 và chiều cao h  2a . Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. 12a 3 .
B. 2a 3 .
C. 4a 3 .
D. 6a 3 .
Lời giải
Chọn C
1
Thể tích khối chóp đã cho bằng V  Bh  4a 3 .
3
Câu 13. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
1
x e 1
A.  dx  ln x  C .
B.  x e dx 
C .
x
e 1

1
e x 1
C.  e x dx 
D.  cos 2 xdx  sin 2 x  C .
C.
2
x 1
Lời giải
Chọn C
e x 1
x
x
x
 e dx  x  1  C sai vì  e dx  e  C .
Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho a   2; 2;0  , b   2; 2;0  , c   2; 2; 2  . Giá trị của a  b  c bằng
B. 11 .

A. 2 6 .

C. 2 11 .
Lời giải

D. 6 .

Chọn C

a  b  c   2;6; 2   a  b  c  4  36  4  2 11 .
Câu 15. Phương trình 3x
A. x  0; x  2 .

2

2 x

 1 có nghiệm là
B. x  1; x  3 .

C. x  0; x  2 .

D. x  1; x  3 .

Lời giải
Chọn A
3x

2

2 x

x  0
 1  x2  2 x  0  
.
x  2

Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?
A. u2   2;  2;3 .
B. u4   2;  4;6  .

x  3 y 1 z  5



. Vectơ nào sau đây là một
2
2
3
C. u3   2;6;  4  .

D. u1   3;  1;5 .

Lời giải
Chọn A
Theo bài ra ta có u   2;  2;3 là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng d .


Câu 17. Cho hàm số f  x  liên tục trên

1

và thỏa mãn



f  x dx  2 ;

0

3

 f  x  dx  6 .

Tính

1

3

I   f  x  dx.
0

A. I  8 .

B. I  12 .

C. I  4 .
Lời giải

D. I  36 .

Chọn A
3

1

3

0

0

1

Ta có: I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  6  8 .
Câu 18. Khối nón có chiều cao h  4 và đường kính đáy bằng 6 .Thể tích khối nón bằng
A. 12 .
B. 144 .
C. 48 .
D. 24 .
Lời giải
Chọn A
Theo bài ra ta có bán kính đường trịn đáy r  3 .
1
1
Thể tích của khối nón bằng V   r 2 h   32.4  12 .
3
3
Câu 19. Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước 2; 4; 6 . Thể tích khối hộp đã cho bằng:
A. 8 .

B. 16 .

Chọn C
Ta có : V  a.b.c  2.4.6  48 .
Câu 20. Trong không gian Oxyz ; cho mặt cầu

I của mặt cầu là:
A. I (4; 2;6) .

C. 48 .
Lời giải

D. 12 .

 S  : x2  y 2  z 2  4x  2 y  6z  1  0 .

B. I (2; 1;3) .

C. I (4; 2; 6) .

Toạ độ tâm

D. I (2;1; 3) .

Lời giải
Chọn B
Mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  6 z  1  0  ( x  2)2  ( y  1) 2  ( z  3) 2  13 .
Tâm của mặt cầu là : I (2; 1;3)
Câu 21. Cho hàm số y  f ( x) có bẳng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào
A. (0;1) .
B. ( 1;1) .

C. (4; ) .
Lời giải

Chọn A
Từ bảng biến thiên hàm số nghịch biến trong khoảng (0;1) .
Câu 22. Nghiệm của phương trình log 2  x  9   5 là
/>

D. (; 2) .


A. x  41 .

B. x  16 .

C. x  23 .
Lời giải

D. x  1 .

Chọn C
x  9  0
 x  9
log 2  x  9   5  

 x  23 .
5
 x  23
x  9  2
Câu 23. Cho x, y  0 và  ,   . Khẳng định nào sau đây sai?

A.  x   x .


B. x  y   x  y  . C. x .x   x   .


D.  xy   x . y .



Lời giải
Chọn B
Ta có:  x  y   x  C1 x 1 y  C2 x 2 y 2  ...  C 1 xy 1  y .


Vậy nên x  y   x  y  là một khẳng định sai.


Câu 24. Cho hình trụ có bán kính đáy r  2 và chiều cao h  5 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã
cho bằng
A. 28 .
B. 20 .
C. 10 .
D. 20 .
Lời giải
Chọn D
Hình trụ h  l  5 và S xq  2 rl  2. .2.5  20 .
Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 1;0; 2  , B 1; 2;1 C  3; 2;0  và D 1;1;3 . Đường thẳng
đi qua A và vng góc với mặt phẳng  BCD  có phương
x  1 t

A.  y  4t .
z  2  t


x  1 t

B.  y  4

.
 z  2  2t


x  1 t

C.  y  2  4t .
 z  2  2t

Lời giải

x  2  t

D.  y  4  4t .
 z  4  2t


Chọn D
 BC   2;0; 1
  BC , BD    1; 4; 2  .

BD

0;

1;
2




Suy ra VTPT của mặt phẳng  BCD  là n   1; 4; 2  .
Đường thẳng d đi qua A và vng góc với mặt phẳng

 BCD 

nên d có VTCP

n   1; 4; 2  Do đó loại đáp án A và B sai.

t  1

Thay toạ độ A 1;0; 2  vào đáp án D suy ra t  1  t  1 .
t  1

x  2  t

Vậy đường thẳng đi qua A và vng góc với mặt phẳng  BCD  có phương trình  y  4  4t .
 z  4  2t


Câu 26. Cho

1

1

1

0

0

0

 f  x dx  2 và  g  x dx  5 . Tính   f  x   2 g  x dx

A. 8 .
Chọn A

B. 12 .

C. 1 .
Lời giải

D. 3 .


1

  f  x   2 g  x dx  2  10  8 .
0

Câu 27. Cho hình chóp

S.ABCD

SA   ABCD 

có

đáy

ABCD là hình chữ nhật. Biết

AD  2a, SA  a . Khoảng cách từ A đến  SCD  bằng
A.

3a
.
7

B.

3a 2
.
2

C.

2a
.
5

D.

2a 3
.
3

Lời giải

Chọn C

Dựng AH  SD .Có CD   SAD   CD  AH  AH   SCD   d  A,  SCD    AH
1
1
1


 AH 
2
2
AH
AS
AD 2

SA. AD
AS  AD
2

2



a.2a
a  4a
2

2



2a

.

5

Câu 28. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x3  3x 2 trên đoạn  4; 1 bằng
B. 4 .

A. 0 .

C. 16 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn C

x  0
y  3x 2  6 x  3x( x  2)  0  
.
 x  2
y (4)  16 

y (2)  4   min y  y (4)  16
[ 4; 1]
y (1)  2 

Câu 29. Tìm

  x  sin 2x  dx .

A. x 2 

cos 2 x
C .
2

B.

x 2 cos 2 x
x2

 C . C.
 cos 2 x  C .
2
2
2
Lời giải

Chọn B

  x  sin 2 x  dx 

x2 1
x 2 cos 2 x
 cos 2 x  C  
C .
2 2

2
2

/>
D.

x2
 sin x  C .
2


Câu 30. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z  1  3i  0 . Tìm phần ảo của số phức w  1  iz  z .
B. i .

A. 1 .
Chọn A

1  i  z  1  3i  0  z 

D. 2i .

C. 2 .
Lời giải

1  3i
 2i  z  2i .
1 i

w  1  iz  z  1  i(2  i)  (2  i)  2  i .
Vậy phần ảo của số phức w là 1 .

Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I (1;1;1) và A(1; 2;3) . Phương trình mặt cầu có tâm I và
đi qua điểm A .
A. ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2  29 .
B. ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2  25 .
C. ( x  1)2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  5 .

D. ( x  1) 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  5 .
Lời giải

Chọn C
Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A , nên bán kính của mặt cầu

R  IA  (1  1)2  (2 1)2  (3 1)2  5
Vậy, phương trình mặt cầu là ( x  1)2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  5 .
2 x 2 3 x  7

1
 32 x  21 .
Câu 32. Số nghiệm nguyên của bất phương trình  
3
 
A. 7 .
B. 6 .
C. vô số.
Lời giải
Chọn A

D. 8 .

2 x 2 3 x  7

2
1
 32 x 21  32 x 3 x 7  32 x 21  2 x 2  3x  7  2 x  21  2 x 2  x  28  0
Ta có,  
3
7
 x4
2
Vậy, số nghiệm nguyên của bất phương trình là 7.
2
Câu 33. Hàm số y  2
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
3x  1
A. ( 1;1) .
B. ( ; 0) .
C. .
D. (0;  ) .

Lời giải
Chọn D

12 x
 0  x  0.
3x  1
(3x 2  1)2
x 1 y 1 z
x y 1 z  2

 ;  2  : 


Câu 34. Trong không gian Oxyz , cho  1  :
. Khoảng cách giữa
2
2
1
2
1
4
 1  và  2  bằng d . Khẳng định đúng là
Hàm số y 

A. d 

15
.
85

2

2

nghịch biến khi và chỉ khi y  0 

B. d 

15
.
89

C. d 

1
.
86

D. d 

Lời giải
Chọn B
Đường thẳng  1  có vecto chỉ phương u1   2; 2;1 và đi qua điểm A 1; 1;0  .
Đường thẳng   2  có vecto chỉ phương u2   2;1; 4  và đi qua điểm B  0;1; 2  .

1
.
89


Ta có u1 , u 2    7; 6; 2  ; AB   1; 2; 2 
Khoảng cách giữa  1  và   2  là
d

AB. u1 , u2 

1.7  6.2  2.  2 



u1 , u2 




7 2   6    2 
2

2

Câu 35. Cho phương trình z 2  2 z  5  0  z 
A. 2 5 .





B. 10 .

15
.
89

có hai nghiệm z1 , z2 . Tổng z1  z2 bằng
C. 4 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn A
 z  1  2i
 z1  1  2i
2

2
Ta có z 2  2 z  5  0  z 2  2 z  1  4   z  1   2i    1
.

 z2  1  2i
 z2  1  2i

 1

Suy ra z1  z2 

Câu 36. Rút gọn biểu thức P 

2

a

 22 
3 1

.a 2

a 
2 2

A. P  a 4 .

 1
3

2

  2   2 5 .
2

với a  0

2 2

B. P  a 3 .

C. P  a 5 .
Lời giải

D. P  a .

Chọn C
Ta có P 

a



a

3 1

.a 2

2 2



3

2 2



a

a

3 1 2  3
2 2



2 2



Câu 37. Trong không gian Oxyz cho    :

 
S



a3

 a 3 2  a 5 .
a 2

x2 y
  z và điểm A  2; 1; 2  . Phương trình mặt phẳng
2
2

chứa    và khoảng cách từ A đến   bằng

5 là ax  by  cz  d  0 . Giá trị của

ab
đúng là:
cd

1
A. S   .
2

B. S 

1
.
2

C. 1 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn A
Gọi M  2;0;0    .
Ta có AM   0;1; 2   AM  5  d  A,    nên AM    .
Suy ra   : 0  x  2   y  2 z  0  y  2 z  0 .
Vậy a  0, b  1, c  2, d  0  S 

ab
1
 .
cd
2

Câu 38. Cho  C1  : y  f  x   ax 2  bx  c  a  0  và  C2  : y 

2
, đồ thị của  C1  như hình sau
x

/>

b
và  C1  tiếp xúc  C2  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C1  và  C2  bằng a ln 2  ;
c
b
a, b, c  ; tối giản. Khẳng định đúng là:
c
A. a  b  c  9 .
B. a  b  c  3 .
C. a  b  c  5 .

D. a  b  c  7 .
Lời giải
Chọn A
3 
Đồ thị hàm số  C1  đạt cực trị tại  ; 0  và đi qua điểm  2;1 nên
2 
 b 3
  2a  2
a  4


2
4a  2b  c  1  b  12  y  4 x  12 x  9 .
 9a 3b
c  9

  c 0
2
4

Phương trình hồnh độ giao điểm của  C1  và  C2  là
x  2
2
3
2
.
4 x  12 x  9   4 x  12 x  9 x  2  0  
x  1
x


2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C1  và  C2  là
2

2

S
1
2

2
 4 x 2  12 x  9 dx 
x

2

4 3
3


2
 2ln | x |  x  6 x  9 x  1  4ln 2  .
3
2


2

Vậy a  4, b  3, c  2  a  b  c  9 .
Câu 39. Cho số phức z1 thỏa z1  1 , số phức

z2 thỏa z2  2  4i  2 . Giá trị lớn nhất của

z1  z2  2 a  b

A. a  b  8 .

B. a  b  23 .

C. a  b  7 .
Lời giải

D. a  b  5 .

Chọn A
Gọi M biểu diễn cho số phức z1 nên M thuộc đường trịn  C1  có tâm O  0;0  , R1  1 .
Gọi N biểu diễn cho số phức z2 nên N thuộc đường trịn  C2  có tâm I  2; 4  , R2  2 .


Ta có OI  2 5  R1  R2  3 nên hai đường trịn khơng cắt nhau.

Khi đó P  z1  z2  MN max  OI  R1  R2  2 5  3 .
Vậy a  5, b  3  a  b  8 .
Câu 40. Cho tứ diện ABCD có BCD  ABC  ADC  90, BC  4, CD  3 và khoảng cách từ A đến
đường thẳng BD bằng 3 . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng V . Khẳng định đúng là:
18
12
36
108
A. V  .

B. V  .
C. V 
.
D. V 
.
5
5
5
5
Lời giải
Chọn A

 Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên  BCD  .
Do CB  BA nên CB  BH ; CD  DA nên CD  DH hay HBCD là hình chữ nhật.
 Kẻ HI  BD suy ra AI  BD hay AI  3 .
9
1
1
1
1
1 42  32
12
Có
và AH  AI 2  HI 2  .




 2 2  HI 
2

2
2
2
2
5
HI
HB
HD
3
4
3 .4
5
1
1 9 1
18
 Vậy V  . AH .S BCD  . . .3.4  .
3
3 5 2
5
x 1 y z  2
 
. Phương trình đường thẳng
Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng    :
2
2
3

 d  qua O  0;0;0 

cắt    tại A và  d      là

A. 3 x  6 y  2 z  0 .

B. x  y 

3z
x y
z

.
C. 
.
4
3 30 4
Lời giải

Chọn D
 Do A    nên A 1  2t;2t; 2  3t  và OA  1  2t ; 2t ; 2  3t 

/>
D.

x y
z
 
.
25 8 22


 Vì  d      nên OA  u      2; 2;3 hay 2 1  2t   2  2t   3  2  3t   0  t 

4
17

x y
z
22  1
 25 8
.
 Suy ra OA   ; ;     25;8; 22  và  d  :  
25 8 22
 17 17 17  17
Câu 42. Cho tập hợp X  1;2;3;4;5;6;7 , chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có ba chữ số a, b, c đơi
một khác nhau thuộc X . Xác suất số tự nhiên được chọn chia hết cho 6 bằng P.
17
28
17
28
A. P  3 .
B. P 
.
C. P 
.
D. P  3 .
A7
A7
105
105
Lời giải
Chọn B

 Số số tự nhiện có 3 chữ số khác nhau từ X là A73  210. Suy ra số kết quả có thể là 210.
 Số chia hết cho 6 có dạng là ab2; ab4; ab6.
+ Với ab2 :  a, b  có thể là 1,3 ; 1,6  ;  3,4  ;  3,7  ;  4,6  ;  6,7  và các hoán vị.
+ Với ab4 :  a, b  có thể là  2,3 ; 1,7  ;  3,5 ;  2,6  ;  5,6  và các hoán vị.
+ Với ab6 :  a, b  có thể là 1,2  ; 1,5 ;  2,4  ;  2,7  ;  4,5  ; 5,7  và các hoán vị.
Suy ra , cố kết quả thuận lợi là:  6  5  6  .2  34
 Vậy P 

34
17

.
210 105

Câu 43. Cho hàm số y
y

f x có f

3

1

1 và f x

ax 2

bx

c a,b, c

. Đồ thị hàm số

f ' x như sau

Số điểm cực trị của g x
A. 5 .

f f x

2

f x

8 2

f2 x

6f x

C. 7 .
Lời giải

B. 2 .

là

8
D. 6 .

Chọn A
Đồ thị hàm số y

A

3

thế f x

f' x

là parabol có đỉnh I

1; 0 thuộc đồ thị nên a
1 3
x
3

x2

2x

1; 3 nên f x

1 . Do đó f x

C . Mà f

3

1

1 nên C

x

1
11

2

a x
3
6 3
.
3

1
x2

2

3 . Điểm
2x

2 . Vì


f x f' x

g' x

f' f x

f x

f' x

2f x

4

2

0

8

f x

2

6

0

f' f x

2f x

4

2

0

8

f x

2

6

Ta có:
f' f x

f x

4t 2

0.

2 ta được

t

4

f' t

6

8

f x

2

Đặt t

2f x

4

2

t

4

9t

3

5
4
16
t

t2

0

2t

t

4

2

t

5

0

4

4

0

4

Như vậy ta có:

g' x

0

x

1

3

Đồng thời đạo hàm không xác định khi và chỉ khi
f x
0
Tất cả đạo hàm bằng không và đạo hàm không xác định có năm nghiệm đơn do đó hàm số có
năm điểm cực trị.
Câu 44. Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu S : x

6

2

y2

z

6

2

54 . Hai đường thẳng

d1 , d2 cùng thuộc mặt phẳng Oxy đều đi qua gốc tọa độ O và cùng tiếp xúc với mặt cầu

x

có

S

phương

trình

d1 : y
z

S

a1
a2

A. S

a3
0 .

C. S

2.

b1
b2

b3

a1t

x

a2t , d2 : y

b2t , t

a 3t

b3t

z

.

Khẳng

định

đúng là
B. S
D. S

2.

1

.
4

Lời giải
Chọn A
Vì cả hai đường thẳng cùng thuộc mặt phẳng Oxy nên a3
I 6; 0;6 , R

b1t

b3

0 . Mặt cầu S có tâm

3 6 . Hình chiếu của I lên mặt phẳng Oxy là J 6;0;0 và bán kính đường

/>

tròn giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng

Oxy bằng 3 2 . Vì hai đường thẳng là tiếp tuyến

của đường tròn giao tuyến nên khoảng cách từ J đến hai đường thẳng đều bằng 3 2 . Ta có

OJ
d J , d1
Với a2

u1

6a2
a12

u1

a1

b2

b1

2a22

3 2

a22

S

a12

a22

a2

a1 .

0

Câu 45. Cho hàm số y  f  x    x  bx  cx có đồ thị như hình vẽ sau

3

2

y
4
3
1
x
-1 O

2 3

-1

Hình phẳng  H  giới hạn bởi y  f  x  , y  0, x  0, x  4 quay quanh Ox sinh ra một khối
trịn xoay có thể tích bằng V . Khẳng định đúng là
3074
3072
3073
A.V 
.
B. V 
.
C. V 
.
35
35
35
Lời giải

Chọn A

D. V 

3076
.
35


8  4b  2c  4
b  3
 f  2  4
Từ giả thiết ta có 


 y  f  x    x3  3x 2 .
c  0
c  0

 f   0  0
4

4

0

0

Thể tích khối trịn xoay là V   f 2  x  dx    x3  3x 2  dx 
2

3072
.
35

Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho ( P) : x  2 y  2 z  0, A(2; 4;0), B(0; 2; 4) . Phương trình mặt
phẳng    chứa A, B và thỏa mãn

   ,  P    AB,  P 

là    : ax  by  cz  d  0 . Khẳng

định đúng là
A.

ab
 2.
cd

B.

ab
 2.
d c

C.

ab 1
 .
cd 2

D.

d
 5.
c

Lời giải
Chọn C
Gọi  Q  là mặt phẳng chứa AB và vng góc với  P  . Ta có nQ   AB, nP    4;8;6 
   chứa A, B và thỏa mãn     ,  P     AB,  P         Q 
Suy ra n   AB, nQ    44; 28; 8      : 44 x  28 y  8 z  d  0 .
Vì A(2; 4;0)     nên d  24 suy ra

   : 44 x  28 y  8z  24  0  a  44k , b  28k , c  8k , d  24k  k  0 


Khi đó

ab 1

cd 2

a
. Mặt phẳng  P  thay đổi
2
ln đi qua O và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác AOB . Độ dài AB khi diện tích của
tam giác AOB lớn nhất bằng

Câu 47. Cho khối nón đỉnh O trục OI , bán kính bằng a chiều cao bằng

A. 2a .

B.

5a 2
.
8

C.

a 10
.
2

D.

a 10
.
4

Lời giải
Chọn C

a 5
.
2
Góc ở đỉnh của hình nón là COD  2COI .
CI a
Xét COI ta có tan COI 

  2 . Suy ra COI  6326 '6 ''  COD  12651'12 ''  90 .
OI a
2
1
Diện tích tam giác AOB là S  .OA.OB.sin AOB
2

Ta có OA  OB  OI 2  IA2 

Do AOB  COD nên sin AOB  1 .
1
1
1 a 5 a 5
Do đó S  .OA.OB.sin AOB  .OA.OB  .
.
.
2
2
2 2
2

Vậy diện tích tam giác AOB đạt giá trị lớn nhất khi sin AOB  1  OA  OB .
Khi đó AB  OA. 2 

a 5
a 10
.
. 2
2
2

Câu 48. Cho hàm số y  f   x   ax3  bx 2  cx có đồ thị hàm số y  f   x  như sau

/>

và f  0   0 . Số điểm cực trị của hàm số g  x   f  xf  x    ln  xf  x   bằng
A. 9 .
B. 7 .
C. 8 .
D. 10 .
Lời giải
Chọn C
x  0
Từ đồ thị ta thấy f   x   0  
, kết hợp đồ thị ta có f   x   ax 2  x  3 .
x

3

Mặt khác lại có f   2   4  a  1  f   x    x3  3x 2 .
Do đó f  x  

 x4
 x4
x5
 x3  C , f  0   0  C  0 hay f  x  
 x3  xf  x     x 4 .
4
4
4

 x5

 x5

Xét hàm số g  x   f    x 4   ln    x 4  , điều kiện x  4, x  0 .
 4

 4



 5

g   x     x 4  4 x3  
 4







x  0



  x5

1

16
.
f 
 x4   5
 , g x  0  x 
5
 4
  x  x 4 

   x5
4


1
 x4  
 f '
5
  x  x4
  4

4

  x5

1
 x4   5
Xét phương trình f  
.
 4
  x  x4

4

x  0
 x5
5 4
4
3
 x  t '   x  4x  0  
Đặt t 
.
 x  16
4
4
5

BBT:


Khi đó ta có phương trình f   t  

1
t  0 .
t

t  a  a   0; 2   1
1
Từ đồ thị trên ta thấy: f   t    
.
t
t  b  b   2;3   2 

Dựa vào bảng biến thiên cả hai phương trình 1 ,  2  đều có 3 nghiệm khác 0;

16
. Vậy tổng
5

số điểm cực trị là 8 .

2
3 
Câu 49. Cho  C1  : y  g  x   ;  C2  : y  f  x   4 x 2  bx  c ,  C2  tiếp xúc với Ox tại A  ; 0  và
x
2 
qua B  2;1 . Giá trị nhỏ nhất của

 4  x  2 f  x 
2g 
  x 2 x  3 trên đoạn  0; 2 bằng
 1  f  x    2  x  



a
a 2  b2
M

và
. Giá trị của M nằm thuộc khoảng nào sau đây:
a 2  b2

b
A. M   2;0  .

B. M   0;1 .

C. M  1;2  .

D. M   2; 4  .

Lời giải
Chọn B

3 
Do đồ thị f  x  tiếp xúc với Ox tại A  ; 0  và qua B  2;1 nên ta có:
2 

 3
2
9  b  c  0 b  12

nên f  x   4 x 2  12 x  9   2 x  3 .
 2
16  2b  c  1 c  9
Ta có:
4  x  2 f  x

1  f  x    2  x 


1

1

x
2

Khi đó:





2 1  f  x     2  x 

1  f  x    2  x 



2
1
2
1



2  x 1  f  x  2  x 1   2 x  32

1
1   2 x  3

2

 4  x  2 f  x 
2g 
  x 2x  3  2
 1  f  x    2  x  



2
1
x
1
2



 2.

1
1   2 x  3

/>
2

x
. 2x  3 .
2




x
2
a 
 x  2a
Đặt 
; x   0; 2  a   0;1 ; b  0;3

2
2
b  2 x  3
b  4a  3


●

Nếu ab  1  a 4a 2  3  1

 a  4a 2  3   1
 a  1 2a  12  0
 4a 3  3a  1  0
( vô lý do a   0;1 ).



 a  4a 2  3  1  4a 3  3a  1  0
 a  1 2a  12  0


● Nếu 0  ab  1
2 2

 2ab
1
1

a 2  1 b2  1
1
1
2
Áp dụng bổ đề 2
, ta có:
 2

a  1 b  1 1  ab
P

P

2 2
1
1
 2
a 1 b 1

 2ab 

2

Giá trị nhỏ nhất của

2 2

2
 2ab 
 ab  1  2ab  2 .
2
2 2
1  ab

 4  x  2 f  x 
2g 
  x 2 x  3 trên đoạn  0; 2 bằng
 1  f  x    2  x  



2 khi x  2 .

a 2  b2 3
   0;1 .
Ta có: a  2; b  1  M  2
a  b2 5
1
1
2
Chứng minh bổ đề: 2
với 0  ab  1
 2

a  1 b  1 1  ab
1
1

2
1   1
1 
 1
 2

 2


 2
0
2
a  1 b  1 1  ab
 a  1 1  ab   b  1 1  ab 
ab  a 2
ab  b 2
 2
 2
0
 a  1 1  ab   b  1 1  ab 
 a  b  a   b 2  1  b  b  a   a 2  1  0
  b  a   ab 2  a  a 2b  b   0
  b  a   ab  b  a    b  a    0
  b  a   ab  1  0 ( luôn đúng khi 0  ab  1).
2

Câu 50. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên
hình sau

, có f   x   0 , x   x3 ; x2  và đồ thị y  f  x  như

1  f   f  x0   . f  x0  
Gọi  f  x   xf   f  x0    f  f  x0    1  m ; 
  n ; x0   x3 ;0
2


2

2

Khi đó giá trị nhỏ nhất của S 

2

 m  1 4n  1



1 m  4n
 m.n trên x   x3 ; x2  bằng k
2 1  4m.n

và T   k  f  x0    k  f  x0    x 2 . Khẳng định đúng là
A. T   0;1 .

B. T   2;3 .

C. T   4;5 .

D. T   5;6  .

Lời giải
Chọn B
Từ đồ thị ta có f  x1   x1 , f  x3   0


 f  x0   0 do x0   x3 ;0
+) Trên  x3 ;0 thì f  x   0 suy ra 

 f  x0   f  x1   x1  x3
 f  x _ 0    x3 ; 0
+) Vì f   x   0, x   x3 ; x2 

Theo bất đẳng thức tiếp tuyến ta có f  x0    x3 ;0 thì

f  x   f   f  x0    x  f  x0    f  f  x0  

 f  x   xf   f  x0    f  f  x0    1

 f   f  x0    x  f  x0    f  f  x0    xf   f  x0    f  f  x0    1
 1  f   f  x0   . f  x0 

1

+) Lại có f   x0   0, x   x3 ; x2 

 y  f   x  đồng biến và liên tục trên  x3 ; x2 

Do x0   x3 ;0  x1  f  x0   0 (suy ra từ đồ thị)

 f   f  x0    f   x1   0 (do x  x1 là điểm cực trị của hàm số)

Mà f  x0   0  f   f  x0   . f  x0   0

 1  f   f  x0   . f  x0   1

 2
m   f  x   xf   f  x0    f  f  x0    1  1

Từ 1 và  2  suy ra

2

1  f   f  x0   f  x0  
1
n
 
2
4


+) Đặt m  a, 4n  b khi đó a, b  1 và a  b
2

Ta có: S 

2

 m  1 4n  1
2



Do



1 m  4n
 m.n
2 1  4m.n



1 ab 1

ab
2 ab  1 2

 a  1 b  1
a, b  1   a  1 b  1  0  ab 1  a  b   a  1 b  1   ab  1   a  b   2  ab  1

S



1
1 ab 1



ab
ab  1 2 ab  1 2

2  a  b ab  1  ab  ab  1
2



ab  1



2

/>