Đề thi toán THPT quốc gia 2022 (61)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1022.89 KB, 25 trang )
ĐỀ TỐN N LẠC – VĨNH PHÚC 2021-2022
Câu 1:
Diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y
Câu 2:
độ bằng
A. 3 .
B. 10 .
Đạo hàm của hàm số y 3x là
3x
.
B. y ' 3x .
ln 3
Giá trị lớn nhất của hàm số
A.
B.
Hình chóp ngũ giác có bao nhiêu cạnh?
A. 10 .
B. 6 .
A. y
Câu 3:
Câu 4:
1
Câu 5:
Câu 6:
Câu 8:
Câu 9:
C. 6 .
D. 2 .
C. y ' x.3x 1 .
D. y ' 3x.ln 3 .
trên đoạn
C.
bằng
D.
C. 8 .
D. 12 .
C. 0 a 1; b 1 .
D. a 1; 0 b 1 .
1
6
2
Nếu a a và b
A. a 1; 0 b 1 .
2
b
3
thì
B. a 1; b 1 .
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số C : y x 3x 1 tại giao điểm của C với trục Oy có
3
phương trình là:
A. y x 1 .
Câu 7:
2x 1
và các trục tọa
x3
B. y 3 x 3 .
C. y 3 x 1 .
D. y 3x 1 .
Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 2 x , x . Điểm cực trị của hàm số là:
A. x 1 .
B. x 2 .
C. x 1 .
x 1
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
là:
x2
D. x 2 .
A. y 1 .
B. x 2 .
1
D. y .
2
Tập xác định của hàm số y
A. D 0; .
x
B. D
C. x 1 .
1 là
.
C. D 1; .
\ 1 .
D. D
Câu 10: Một nguyên hàm của hàm số f ( x) x sin 2 x là
1 2
1
1
x 2 cos 2 x .
B. F ( x) x 2 cos 2 x .
2
2
2
1
1
1
C. F ( x) x 2 cos 2 x 1
D. F ( x) x 2 2 cos 2 x .
2
2
2
Câu 11: Cho hình nón có độ dài đường sinh l 10 , bán kính đáy r 6 . Diện tích xung quanh của hình
nón đã cho bằng
A. 80 .
B. 48 .
C. 140 .
D. 60 .
Câu 12: Cho hình trụ trịn xoay có bán kính đường trịn đáy là r 3 , thiết diện qua trục của hình trụ là
hình vng. Thể tích khối trụ tương ứng là
A. V 27 .
B. V 36 .
C. V 18 .
D. V 54 .
Câu 13: Cho các số thực a, m, n và a 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. F ( x)
A. a m . a n a m n
B. a m a n a m n .
C. a m . a n a m.n
D. a m a m.n
Câu 14: Tìm m để hàm số y x3 3mx 2 (m2 2) x m 1 đạt cực đại tại x 1 .
m 1
A.
.
m 5
B. m 1.
/>
n
D. m 5 .
C. Khơng có giá trị của m thỏa.
Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a 2 , cạnh bên SA a và
vng góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ A đến SBC bằng
a 6
a 6
a 2
a 2
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
3
2
3
Câu 16: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B , chiều cao h là
1
1
A. V 3B.h.
B. V B.h.
C. V B.h.
D. V B.h.
2
3
Câu 17: Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 2.
B. 6.
C. 4.
D. 9.
ax b
Câu 18: Cho hàm số y
có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
cx 1
A.
A. a 0, b 0, c 0 .
B. a 0, b 0, c 0 .
C. a 0, b 0, c 0 .
D. a 0, b 0, c 0 .
Câu 19: Tập nghiệm của bất phương trình log 1 x 2 3 x 2 là
2
A. ;0 3; .
B. 1; 4 .
C. 1;0 3; 4 .
D. ; 1 4; .
Câu 20: Thể tích của khối cầu có bán kính R 6 cm bằng
A. 288 cm3 .
B. 72 cm3 .
C. 288cm3 .
D. 216 cm3 .
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M thỏa mãn OM 2i 3 j k . Tọa độ của
điểm M là
A. M 2;1;3 .
B. M 2;3; 1 .
C. M 2;3;0 .
/>
D. M 2; 1;3 .
Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x1
A. 5; .
B. 3; .
1
là
16
C. ; 5 .
D. 3; .
Câu 23: Cho số thực dương a 1 . Giá trị của biểu thức log 2 4a bằng
A. 2 log 2 a .
B. 4 log 2 a .
C. 2 log 2 a .
D. 4 log 2 a .
Câu 24: Cho cấp số cộng U n có U1 2,U 2 6 . Công sai d của cấp số cộng đó bằng
A. 3 .
C. 4 .
B. 4 .
D. 12 .
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1;2;1 , B 2; 1;0 , C 2;1;3 . Tìm
tọa độ D sao cho ABCD là hình bình hành.
A. D 3;0; 2 .
B. D 5;4;4 .
Câu 26: Cho hàm số y f x liên tục trên
C. D 1;2;4 .
1 2 4
D. D ; ;
3 3 3
và có đồ thị như hình vẽ
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 1;1 .
B. 0; 2 .
C. 2;3 .
D. ;0 .
Câu 27: Một nhóm học sinh gồm 8 học sinh nam, 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh
gồm 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ?
A. C73 .C82
3
2
B. C8 C7 .
Câu 28: Cho hình lập phương có đường chéo AC
phương bằng
5
C. C15 .
2a . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối lập
4 a2
.
C. 4 a 2 .
3
Câu 29: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. 3 a 2 .
B.
f x g x dx f x dx g x dx .
C. f x g x dx f x dx g x dx .
A.
D. C83 .C72 .
D. a 2 .
f x dx f x C .
D. kf x dx k f x dx. k
B.
Câu 30: Phương trình 9 x 5.3x 6 0 có nghiệm là
A. x 1, x log3 2 .
B. x 1, x log3 2 . C. x 1, x log 2 3 .
.
D. x 1, x log3 2 .
Câu 31: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân
biệt của phương trình f 2 f x 0 là
/>
A. 7 .
B. 5 .
D. 4 .
C. 6 .
Câu 32: Cho hình chóp S.ABC có SA ABC , SB a 2 , hai mặt phẳng SAB và SBC vng
góc với nhau. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB bằng 450 , góc giữa đường
thẳng SB và mặt phẳng đáy ABC bằng 00 900 . Thể tích lớn nhất của khối chóp
S.ABC bằng
a3 2
a3 2
a3 2
.
B.
.
C.
.
2
6
3
Câu 33: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
D. a3 2 .
A.
91
1 x 2
(m 3)31
A. 7.
1 x 2
2m 1 0 có nghiệm thực?
B. 5.
C. 4.
D. 3.
Câu 34: Cho hàm số y f x là hàm đa thức bậc 3 có đồ thị như hình bên
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m 100;100 để hàm số
h x f 2 x 4 f x 3m có đúng 3 điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
A. 5047 .
B. 5049 .
C. 5043 .
D. 5050 .
x2
Câu 35: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (0; 20] để hàm số y
đồng biến trên
x 3m
khoảng ; 6 .
A. 4 .
B. 2 .
C. 21 .
Câu 36: Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y
D. 20 .
x x2
có hai đường tiệm cận
x2 2x m
2
đứng?
/>
A. ; 8 8;1 .
B. ; 1 .
C. ;1 .
D. 8;1 .
Câu 37: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số
f ( x) x3 3x 2 m2 5 trên đoạng 1;2 bằng 19 . Tính tổng bình phương tất cả các phần tử
của S .
A. 4 .
B. 5 .
C. 8 .
D. 16 .
Câu 38: Một trang trại cần xây dựng một bể chứa nước hình hộp chữ nhật bằng gạch khơng nắp ở phía
trên. Biết bể có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và thể tích (phần chứa nước) bằng 8m3. Hỏi
chiều cao của bể gần nhất với kết quả nào dưới đây để lượng gạch xây bể là nhỏ nhất?
A. 1,8m .
B. 1,3m .
C. 1,1m .
D. 1, 2m .
x
1
2023
e 2 . Tính giá trị biểu thức H f 1 f 2 ... f 2022
Câu 39: Cho f x 2023.ln e
A. 1011.
B. 2022 .
C. e 2022 .
1011
D. e .
x2 1 y 1
Câu 40: Cho x; y là các số thực dương và thõa mãn
. Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức
x
y
P
y4
là
x
A. m 3 .
B. m 2 2 .
C. m 4 .
D. m 8 .
nghiệm?
A. 1 .
B. 3 .
C. 7 .
D. 9 .
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2log3 2 x 1 log3 mx2 1 có
Câu 42: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hàm số y f x2 2 x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. 1; 2 .
B. 2;0 .
C. 2; .
D. 1;1 .
Câu 43: Một khối nón có bán kính đáy bằng 2cm , chiều cao bằng 3cm . Một mặt phẳng đi qua đỉnh
và tạo với đáy một góc 60 chia khối nón thành 2 phần. Tính thể tích phần nhỏ hơn (kết quả
làm tròn đến hàng phần trăm)
A. 2, 47cm3 .
B. 2,36cm3 .
C. 1, 42cm3 .
D. 1,53cm3 .
Câu 44: Cho hàm số f x liên tục trên khoảng
0;
và f x 0 với mọi x 0 . Tính tổng
f 1 f 2 ... f 2022 biết rằng f x 2 x 1 f 2 x và f 1
1
2
2021
2021
2022
2022
.
B.
.
C.
.
D.
.
2022
2022
2023
2023
Câu 45: Anh X muốn mua chiếc xe máy Yamaha Exciter 150i giá 47500000 đồng của cửa hang Phú Tài
nhưng vì chưa đủ tiền nên anh X đã quyết định mua theo hình thức như sau: trả trước 15 triệu
đồng và trả góp trong 12 tháng, với lãi suất 0,6%/tháng. Hỏi mỗi tháng anh X sẽ phải trả cho
cửa hàng Phú Tài số tiền là bao nhiêu ( qui tròn đến hàng đơn vị)?
A. 1948000 đồng.
B. 2014545 đồng.
C. 2014546 đồng.
D. 1948927 đồng.
A.
/>
Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a 3, SA SB SC SD 2a .
Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCD bằng:
A.
13 3
a .
12
B.
13 2 3
a .
12
C.
13 6 3
a .
12
D.
13 3 3
a .
12
Câu 47: Cho hình trụ T có chiều cao bằng 2a , hai đường trịn đáy của T có tâm lần lượt là O và
O1 , bán kính bằng a . Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm O1 lấy
điểm B sao cho AB a 5. Thể tích khối tứ diện OO1 AB bằng
A.
a3 3
.
12
B.
a3 3
.
3
C.
a3 3
.
4
D.
a3 3
.
6
2
Câu 48: Cho hàm số y f x liên tục trên 0; thỏa mãn 2 xf ' x f x 3x x , x 0; .
Biết f 1
A. 14 .
1
, tính f 4 .
2
B. 4 .
C. 24 .
D. 16 .
Câu 49: Cho hàm số y f x , đồ thị của hàm số y f ' x là đường cong ở hình bên. Tìm tất cả các
giá trị thực của tham số m để bất phương trình f 2 x
8 x3
4 x m 0 đúng với mọi
3
1 1
x ; .
2 2
5
A. m f 1 .
B. m f 0 .
C. m f 0 .
D. m f 3 .
3
Câu 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vng góc với mặt đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng
2a 21
. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng
7
2a 3 3
A.
.
3
4a 3 3
B.
.
3
8a 3 3
.
3
---------- HẾT ----------
C.
/>
D.
a3 3
.
3
1.C
11.D
21.B
31.B
41.C
Câu 1:
Câu 2:
BẢNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
3.C
4.A
5.A
6.D
7.B
8.B
13.A
14.D
15.B
16.C
17.C
18.B
23.A
24.B
25.B
26.B
27.D
28.C
33.A
34.B
35.B
36.A
37.C
38.D
43.C
44.D
45.D
46.D
47.D
48.D
2.D
12.D
22.A
32.A
42.A
9.C
10.C
19.D
20.A
29.D
30.A
39.A
40.C
49.B
50.B
2x 1
Diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y
và các trục tọa
x3
độ bằng
A. 3 .
B. 10 .
C. 6 .
D. 2 .
Lời giải
2x 1
Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y
là các đường x 3 và y 2 .
x3
2x 1
Diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y
và các trục tọa
x3
độ bằng S 2.3 6 (đvdt).
Đạo hàm của hàm số y 3x là
A. y
3x
.
ln 3
C. y ' x.3x 1 .
B. y ' 3x .
D. y ' 3x.ln 3 .
Lời giải
Ta có y ' 3 .ln 3 .
x
Câu 3:
trên đoạn
C.
Lời giải
xác định và liên tục trên
.
Giá trị lớn nhất của hàm số
A.
B.
Hàm số
Cho
Bảng biến thiên của hàm số trên
Câu 4:
hoặc
là:
bằng
D.
.
Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số
Hình chóp ngũ giác có bao nhiêu cạnh?
A. 10 .
B. 6 .
trên
là
.
C. 8 .
D. 12 .
Lời giải
Hình chóp ngũ giác có 5 cạnh đáy và 5 cạnh bên nên có tất cả 10 cạnh.
Câu 5:
1
2
1
6
Nếu a a và b
A. a 1; 0 b 1 .
2
b
3
thì
B. a 1; b 1 .
C. 0 a 1; b 1 .
Lời giải
/>
D. a 1; 0 b 1 .
1 1
Ta có: 2 6 a 1 và
1
12
6
a a
Câu 6:
2 3
0 b 1
2
3
b
b
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số C : y x3 3x 1 tại giao điểm của C với trục Oy có
phương trình là:
A. y x 1 .
B. y 3 x 3 .
C. y 3 x 1 .
D. y 3x 1 .
Lời giải
Giao điểm của C với trục Oy là điểm M 0;1 .
Ta có: y ' 3x 2 3 y ' 0 3.
Phương trình tiếp tuyến của C tại M 0;1 có dạng: y 3 x 0 1 y 3x 1 .
Câu 7:
Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 2 x , x . Điểm cực trị của hàm số là:
A. x 1 .
B. x 2 .
C. x 1 .
Lời giải
D. x 2 .
f x x 1 2 x , x
f x 0
x 1
x 2
Ta có bảng biến thiên:
Điểm cực trị của hàm số là x 2 .
Câu 8:
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
A. y 1 .
x 1
là:
x2
B. x 2 .
1
D. y .
2
C. x 1 .
Lời giải
x 1
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
là: x 2 .
x2
Câu 9:
Tập xác định của hàm số y
A. D 0; .
x
B. D
1 là
.
C. D 1; .
D. D
Lời giải
Hàm số y
x
1
xác định khi và chỉ khi x
1
0 hay x
Câu 10: Một nguyên hàm của hàm số f ( x) x sin 2 x là
/>
1.
\ 1 .
1 2
x 2 cos 2 x .
2
1
1
C. F ( x) x 2 cos 2 x 1
2
2
1 2 1
x cos 2 x .
2
2
1
D. F ( x) x 2 2 cos 2 x .
2
Lời giải
A. F ( x)
B. F ( x)
1
1
cos 2 x C .
2
Câu 11: Cho hình nón có độ dài đường sinh l 10 , bán kính đáy r 6 . Diện tích xung quanh của hình
nón đã cho bằng
A. 80 .
B. 48 .
C. 140 .
D. 60 .
Lời giải
Diện tích xung quanh của hình nón: S rl 10.6. 60
Câu 12: Cho hình trụ trịn xoay có bán kính đường trịn đáy là r 3 , thiết diện qua trục của hình trụ là
hình vng. Thể tích khối trụ tương ứng là
A. V 27 .
B. V 36 .
C. V 18 .
D. V 54 .
Lời giải
f ( x)dx ( x sin 2 x)dx 2 x
2
Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vng nên ta có OO ' AB h 2r 6 .
Vậy thể tích của khối trụ là V Sh r 2 h .32.6 54 .
Câu 13: Cho các số thực a, m, n và a 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a m . a n a m n
B. a m a n a m n .
C. a m . a n a m.n
D. a m a m.n
n
Lời giải
mn
Ta có: a .a a .
Câu 14: Tìm m để hàm số y x3 3mx 2 (m2 2) x m 1 đạt cực đại tại x 1 .
m
n
m 1
A.
.
B. m 1.
m 5
C. Khơng có giá trị của m thỏa.
D. m 5 .
Lời giải
Tập xác định D .
Ta có: y 3x 2 6mx m2 2 ; y 6 x 6m .
m 5
Hàm số đạt cực đại tại x 1 suy ra y 1 0 m 2 6m 5 0
.
m 1
Với m 5 : y 1 24 0 nên hàm số đạt cực đại tại x 1
Với m 1 : y 1 0 nên hàm số không đạt cực đại tại x 1.
Vậy m 5 là giá trị cần tìm.
Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a 2 , cạnh bên SA a và
vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ A đến SBC bằng
/>
A.
a 6
.
2
B.
a 6
.
3
C.
a 2
.
2
D.
a 2
.
3
Lời giải
Trong SAB kẻ AH SB
BC AB
BC SA
Ta có
BC SAB BC AH .
AB, SA SAB
AB SA A
AH SB
AH BC
Lại có
AH SBC d A, SBC AH .
SB, BC SBC
SB BC B
1
1
1
a 6
2
AH
.
2
2
AH
SA
AB
3
Câu 16: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B , chiều cao h là
1
1
A. V 3B.h.
B. V B.h.
C. V B.h.
D. V B.h.
2
3
Lời giải
Áp dụng cơng thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B , chiều cao h ta có V B.h .
Câu 17: Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 2.
B. 6.
C. 4.
D. 9.
Trong tam giác vng SAB có
/>
Lời giải
Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng như sau
Câu 18: Cho hàm số y
ax b
có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
cx 1
A. a 0, b 0, c 0 .
B. a 0, b 0, c 0 .
C. a 0, b 0, c 0 .
D. a 0, b 0, c 0 .
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta có
f 0 b 0 b 0
1
0c0
c
a
Đồ thị có tiệm cận ngang là y 0 nên a, c cùng dấu. Theo kết quả trên ta suy ra a 0
c
Độ thị có tiệm cận đứng là x
Câu 19: Tập nghiệm của bất phương trình log 1 x 2 3 x 2 là
2
A. ;0 3; .
B. 1; 4 .
C. 1;0 3; 4 .
D. ; 1 4; .
Lời giải
x 3x 0
x 2 3x 0
2
log 1 x 3 x 2 2
1 2
x 3x 4
2
x 3x
2
2
2
x ;0 3;
x ; 1 4;
x ; 1 4;
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ; 1 4;
Câu 20: Thể tích của khối cầu có bán kính R 6 cm bằng
A. 288 cm3 .
B. 72 cm3 .
C. 288cm3 .
Lời giải
/>
D. 216 cm3 .
4
Thể tích của khối cầu có bán kính R 6 cm là V .63 288 cm3
3
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M thỏa mãn OM 2i 3 j k . Tọa độ của
điểm M là
A. M 2;1;3 .
B. M 2;3; 1 .
C. M 2;3;0 .
D. M 2; 1;3 .
Lời giải
Ta có: OM xi y j zk M x; y; z
Theo đề bài ta có OM 2i 3 j k nên M 2;3; 1 .
Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x1
A. 5; .
B. 3; .
1
là
16
C. ; 5 .
D. 3; .
Lời giải
1
2 x 1 24 x 1 4 x 5.
16
Câu 23: Cho số thực dương a 1 . Giá trị của biểu thức log 2 4a bằng
Ta có: 2 x 1
A. 2 log 2 a .
B. 4 log 2 a .
C. 2 log 2 a .
D. 4 log 2 a .
Lời giải
Ta có: log 2 4a log 2 4 log 2 a 2 log 2 a
Câu 24: Cho cấp số cộng U n có U1 2,U 2 6 . Công sai d của cấp số cộng đó bằng
A. 3 .
C. 4 .
Lời giải
B. 4 .
U n là cấp số cộng có công sai
D. 12 .
d
Suy ra d U 2 U1 6 2 4 .
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1;2;1 , B 2; 1;0 , C 2;1;3 . Tìm
tọa độ D sao cho ABCD là hình bình hành.
A. D 3;0; 2 .
B. D 5;4;4 .
C. D 1;2;4 .
Lời giải
Gọi D a, b, c là tọa độ điểm cần tìm.
AB 3; 3; 1 , DC 2 a;1 b;3 c .
3 2 a
a 5
Để ABCD là hình bình hành thì AB DC 3 1 b b 4 .
1 3 c
c4
Vậy D 5;4;4 .
Câu 26: Cho hàm số y f x liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ
/>
1 2 4
D. D ; ;
3 3 3
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 1;1 .
C. 2;3 .
B. 0; 2 .
D. ;0 .
Lời giải
Nhìn hình ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 .
Câu 27: Một nhóm học sinh gồm 8 học sinh nam, 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh
gồm 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ?
A. C73 .C82
3
2
B. C8 C7 .
5
C. C15 .
D. C83 .C72 .
Lời giải
Để chọn được 5 học sinh gồm 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ ta thực hiện:
3
Bước 1: Chọn 3 học sinh nam từ 8 học sinh nam có C8 cách chọn.
2
Bước 2: Chọn 2 học sinh nữ từ 7 học sinh nữ có C7 cách chọn.
Theo qui tắc nhân ta có C83 .C72 cách chọn 5 học sinh gồm 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ.
Câu 28: Cho hình lập phương có đường chéo AC
phương bằng
A. 3 a 2 .
B.
2a . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối lập
4 a2
.
3
C. 4 a 2 .
D. a 2 .
Lời giải
Theo giả thiết, ABCD.A ' B ' C ' D ' là hình lập phương nên tâm mặt cầu ngoại tiếp của
ABCD.A ' B ' C ' D ' là trung điểm của AC ' .
AC '
a.
Đường chéo chính AC ' 2a nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp là r
2
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lập phương là S 4 r 2 4 a 2
Câu 29: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
f x g x dx f x dx g x dx .
C. f x g x dx f x dx g x dx .
A.
f x dx f x C .
D. kf x dx k f x dx. k
B.
Lời giải
/>
.
Câu D sai, vì kf x dx k f x dx. k 0 .
Câu 30: Phương trình 9 x 5.3x 6 0 có nghiệm là
A. x 1, x log3 2 .
B. x 1, x log3 2 . C. x 1, x log 2 3 .
D. x 1, x log3 2 .
Lời giải
3x 3
x 1
9 x 5.3x 6 0 x
x log3 2
3 2
Câu 31: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân
biệt của phương trình f 2 f x 0 là
A. 7 .
B. 5 .
C. 6 .
Lời giải
D. 4 .
2 f x a 2 a 1
f x 2 a 2 a 1
f 2 f x 0 2 f x b 0 b 1
f x 2 b 0 b 1
2 f x c 1 c 2
f x 2c 1 c 2
f x 2 a với 3 2 a 4 có 1 nghiệm
f x 2 b với 1 2 b 2 có 1 nghiệm
f x 2 c với 0 2 c 1 có 3 nghiệm
Vậy phương trình f 2 f x 0 có 5 nghiệm
Câu 32: Cho hình chóp S.ABC có SA ABC , SB a 2 , hai mặt phẳng SAB và SBC vng
góc với nhau. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB bằng 450 , góc giữa đường
thẳng SB và mặt phẳng đáy ABC bằng 00 900 . Thể tích lớn nhất của khối chóp
S.ABC bằng
A.
a3 2
.
6
B.
a3 2
.
3
C.
a3 2
.
2
Lời giải
/>
D. a3 2 .
Ta có:
SA ABC SAB ABC
BC SAB SC , SAB SC , SB BSC BSC 450
SAB SBC
ABC SBC BC
BC SB a 2 . BC SAB BC AB.
SA ABC SB, ABC SB, AB SBA SBA
1
1
1
1 1
a3 2
VS . ABC .SA. . AB.BC SB.sin .SB.cos .BC . sin 2 .2 2a 3
.
3
2
6
6 2
6
Đẳng thức xảy ra sin 2 1 2 900 450 .
a3 2
Vậy thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn nhất là
.
6
Câu 33: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
91
1 x 2
(m 3)31
1 x 2
2m 1 0 có nghiệm thực?
A. 7.
B. 5.
C. 4.
Lời giải
Tập xác định: D 1;1
Đặt t 31
1 x 2
t
x
1 x2
.31
1 x 2
D. 3.
.ln 3
t 0 x 0
BBT của t:
Vậy t 3;9 .
Phương trình trở thành: t 2 (m 3)t 2m 1 0 m
Xét f t
t 2 3t 1
.
2t
t 2 3t 1
; t 3; 9 .
2t
/>
Ta có: f ' t
t 2 4t 7
2 t
2
0 ; t 3;9 nên f t đồng biến trên đoạn 3;9 .
55
.
7
55 m
Để phương trình có nghiệm thì: m 1;
m 1; 2;3; 4;5; 6; 7 .
7
Kết luận: có 7 giá trị nguyên của m.
Bản word phát hành từ website Tailieuchuan.vn
Vậy f 3 f t f 9 1 f t
Câu 34: Cho hàm số y f x là hàm đa thức bậc 3 có đồ thị như hình bên
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m 100;100 để hàm số
h x f 2 x 4 f x 3m có đúng 3 điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
A. 5047 .
B. 5049 .
C. 5043 .
D. 5050 .
Lời giải
Gọi g x f
2
x 4 f x 3m .
g ' x 2 f x . f ' x 4 f ' x .
x 1
f ' x 0
g ' x 0
x 3
f x 2
x a, a 1;0
BBT
4
h x g x có đúng 3 điểm cực trị 3m 4 0 m .
3
m 100;100 , m S 2;3;.....;100
Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 5049.
Câu 35: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (0; 20] để hàm số y
x2
đồng biến trên
x 3m
khoảng ; 6 .
A. 4 .
B. 2 .
C. 21 .
/>
D. 20 .
Lời giải
Tập xác định: D
Có y '
3m 2
x 3m
2
\ 3m
.
y' 0
3m 2 0
m 2 / 3
2
m2
Để hàm số đồng biến trên ; 6 thì:
3
3m 6
m 2
m 2
m 1;2
Vì m (0;20], m
x2 x 2
Câu 36: Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 2
có hai đường tiệm
x 2x m
cận đứng?
A. ; 8 8;1 .
B. ; 1 .
C. ;1 .
D. 8;1 .
Lời giải
x 1
.
Ta có x 2 x 2 0
x 2
x2 x 2
Đồ thị hàm số y 2
có hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình
x 2x m
x 2 2 x m 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 và 2 . Tức là
' 1 m 0
m 1
2
m 1 m ; 8 8;1 .
1 2.1 m 0
m 8
2
2 2. 2 m 0
Câu 37: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số
f ( x) x3 3x 2 m2 5 trên đoạng 1;2 bằng 19 . Tính tổng bình phương tất cả các phần tử
của S .
A. 4 .
B. 5 .
C. 8 .
Lời giải
D. 16 .
0
2
x 0
Ta có f ' x 3 x 2 6 x 0
x 2
Bảng biến thiên
x
1
-
f'(x)
f(x)
0
+
m2+15
m2-3
m 2
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 1;2 bằng m 2 15 19
m 2
Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của S là 22 2 8
2
Đáp án
C.
/>
Câu 38: Một trang trại cần xây dựng một bể chứa nước hình hộp chữ nhật bằng gạch khơng nắp ở phía
trên. Biết bể có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và thể tích (phần chứa nước) bằng 8m3. Hỏi
chiều cao của bể gần nhất với kết quả nào dưới đây để lượng gạch xây bể là nhỏ nhất?
A. 1,8m .
B. 1, 3m .
C. 1,1m .
D. 1, 2m .
Lời giải
Gọi chiều rộng phần chứa nước của bể là x (mét), x 0 , khi đó theo bài ra ta có chiều dài phần
chức nước của bể là 2x .
Gọi chiều cao phần chứa nước của bể là h (mét).
Ta có thể tích phần chứa nước của bể là V 2 x 2 h 8 h 42
1
x
2
2
Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể là S 2 x 2 x h 2 x 6 xh 2 x
2 .
Thay (1) vào (2) ta có:
S
24
2 x 2 =f x
x
3
Khảo sát hàm f x ta có: f ' x
24
4x 0 x 3 6 f
2
x
6 246 2
3
3
3
36
Các giới hạn: lim f x ; lim f x .
x
x 0
Bảng biến thiên
1
x
+
63
0
f'(x)
+
0
+
+
f(x)
1
f(6 3 )
Lượng gạch xây bể nhỏ nhất khi và chỉ khi f x nhỏ nhất
x
3
Khi đó chiều cao của bể
6.
là
h
4
1, 2m. Vậy chọn đáp án D.
3
36
Câu 39: Cho f x 2023.ln e 2023 e 2 . Tính giá trị biểu thức H f 1 f 2 ... f 2022
x
1
A. 1011.
C. e 2022 .
Lời giải
B. 2022 .
D. e1011 .
x
1
2023
2
x
e
e
x
1
2023
2023
e
Ta có: f x 2023.ln e
.
x
e 2 . Suy ra f x 2023.
1
x
1
2023
2023
2
2
e
e e
e
x
e 2023
Do đó f x f 2023 x
e
x
2023
e
1
2
e
e
2023 x
2023
2023 x
2023
e
x
1
2
1
e 2023
e
x
2023
e
1
2
/>
e
1
e
x
2023
x
2023
e
1
2
e
x
2023
x
2023
e
1
2
x
2023
e
x
2023
1
2
e
1
2
x
2023
1
2
1.
e e .e
e e
e e
Vì vậy: 2H f 1 f 2022 f 2 f 2021 ... f 2022 f 1 2022 .
e
e
1
2
x
2023
Vậy H 2022 1011 .
2
x2 1 y 1
. Giá trị nhỏ nhất
x
y
Câu 40: Cho x; y là các số thực dương và thõa mãn
P
m của biểu thức
y4
là
x
A. m 3 .
C. m 4 .
Lời giải
B. m 2 2 .
Theo đề bài
x2 1 y 1
x( x 2 1)
x
y
Xét hàm số y f t t 3 t trên
D. m 8 .
y ( y 1) x3 x
y
3
y . (1)
(0; ) :
Ta có: y f (t ) 3t 2 1 0 t (0; ) . Do đó đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi
x
y.
Khi đó P
y4 y4
4
y
.
x
y
y
Áp dụng BĐT Cô-si ta được : P
Dấu
y
4
2
y
y.
4
P 4.
y
" " xảy ra y 4 y 4 x 2
y
Vậy Pmin
4 x 2; y 4
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
nghiệm?
A. 1 .
B. 3 .
2log3 2 x 1 log3 mx2 1 1
m
để phương trình 2log3 2 x 1 log3 mx2 1 có
C. 7 .
Lời giải
D. 9 .
1
2 x 1 0
x
Điều kiện: 2
2
mx 1 0
mx 2 1 0
Với điều kiện * , ta có 1 log3 2 x 12 log3 mx 2 1 2 x 12 mx 2 1
2 x 1
2
mx 2 1 mx 2 4 x 2 4 x m 4 x 2 4 x 0 x m 4 x 4 0
x 0(l )
x m 4 x 4 0
x 4
4m
Để phương trình 1 có nghiệm khi và chỉ khi
/>
1
4
4 m 2
4 m 4
4 m 4
16
m
4
m
1 0
2
4 m
Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình 2log3 2 x 1 log3 mx2 1 có
nghiệm
Câu 42: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hàm số y f x2 2 x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. 1; 2 .
C. 2; .
B. 2;0 .
D. 1;1 .
Lời giải
Xét hàm số g x f x 2 2 x và h x f x 2 2 x . Ta có h x g x .
2 x 2 0
2
x 2 x 2
2
.
g x 2 x 2 . f x 2 x . g x 0 2
x 2x 3
x 2 2 x 8
2x 2 0 x 1
x 2 2 x 2 : vô nghiệm
x 2 2 x 3 : do
f x không đổi dấu khi qua x 3 nên ta khơng xét nghiệm của phương trình
này.
x 2
x2 2 x 8
x 4
Ta có bảng xét dấu của g x và h x như sau
Vậy hàm số y h x nghịch biến trên 1; 2 .
Câu 43: Một khối nón có bán kính đáy bằng 2cm , chiều cao bằng 3cm . Một mặt phẳng đi qua đỉnh và
tạo với đáy một góc 60 chia khối nón thành 2 phần. Tính thể tích phần nhỏ hơn (kết quả làm
tròn đến hàng phần trăm)
3
A. 2, 47cm .
B.
2,36cm3 .
3
C. 1, 42cm .
Lời giải
/>
3
D. 1,53cm .
Gọi O là tâm đáy, S là đỉnh của nón; A, B là các giao điểm của mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo
với đáy một góc 60 với đường trịn đáy như hình vẽ. Kẻ OH AB .
OH AB
AB SOH AB SH
Ta có
SO AB
Lại có SAB đáy AB
Suy ra
SAB , đáy = SH , OH SHO (vì SOH 90 )
Suy ra SHO 60 OH SO.cot 60 1
Lại có cos AOH
OH 1
AOH 60 AOB 120
OA 2
Khi đó diện tích hình viên phân tạo bởi đường trịn đáy và dây AB là
S
R 2 .120 1
4
OA.OB.sin120 3
360
2
3
1
1
4
4 3
1 1, 42cm3
Vậy thể tích cần tính là V SO.S . 3. 3
3
3
9
3
Câu 44: Cho hàm số f x liên tục trên khoảng
f 1 f 2 ... f 2022 biết rằng
A.
2022
.
2023
B.
2021
.
2022
0; và f x 0 với mọi x 0 .
f x 2 x 1 f 2 x và f 1 1
C.
2021
.
2022
2
2022
D.
.
2023
Lời giải
1
Ta có: 2
2x 1 2
2 x 1
f x 2 x 1
f x
f x
f x
f x
1
1
x2 x C
2 C C 0 f x 2 1 1 1
f x
f 1
x x
x 1 x
Ta có: f 1 f 2 ... f 2022
1 1
1
1
1
f 2022 f 2021 ... f 1
... 1
2023 2022 2022 2021
2
1
2022
.
1
2023
2023
/>
Tính tổng
Câu 45: Anh X muốn mua chiếc xe máy Yamaha Exciter 150i giá 47500000 đồng của cửa hang Phú Tài
nhưng vì chưa đủ tiền nên anh X đã quyết định mua theo hình thức như sau: trả trước 15 triệu
đồng và trả góp trong 12 tháng, với lãi suất 0,6%/tháng. Hỏi mỗi tháng anh X sẽ phải trả cho
cửa hàng Phú Tài số tiền là bao nhiêu ( qui tròn đến hàng đơn vị)?
A. 1948000 đồng.
B. 2014545 đồng.
C. 2014546 đồng.
D. 1948927 đồng.
Lời giải
Đặt x là số tiền anh X trả 1 tháng, r 0, 6% là lãi suất hàng tháng và A 1 r
Số tiền vay là A 22500000 .
Số tiền còn nợ sau tháng thứ 1 : T1 A 1 r x
2
Số tiền còn nợ sau tháng thứ 2 : T2 A(1 r ) x (1 r ) x A(1 r ) x(1 r ) x
Số tiền còn nợ sau tháng thứ 12 :
T12 A(1 r )12 x 1 r )11 (1 r )10 ... (1 r ) 1 .
Anh X trả đúng 12 tháng thì hết nợ nên: T12 0 x
Ar 1 r
12
1 r
12
1
1948926,902
Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a 3, SA SB SC SD 2a .
Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCD bằng:
A.
13 3
a .
12
B.
13 2 3
a .
12
13 6 3
a .
12
Lời giải
C.
D.
13 3 3
a .
12
S
A
D
H
B
C
Gọi AD x x 0 .
Ta có AC x 2 3a 2 AH
1
1
AC
x 2 3a 2
2
2
Khi đó
SH 4a 2
x 2 3a 2
13 2 x 2
a
.
4
4
4
1
1
13 2 x 2 2a x 13a 2 x 2
Thể tích khối chóp V B.h .a 3x.
a
. .
.
3
3
4
4
4
4
3 2
x 2 13a 2 x 2
x 13a 2 x 2 4
13a 2
4
4
Đặt f x .
2
4
4
2
8
/>
2a 13a 2 13 3a 3
Thể tích lớn nhất của khối chóp V
.
.
12
3 8
Câu 47: Cho hình trụ T có chiều cao bằng 2a , hai đường trịn đáy của T có tâm lần lượt là O và
O1 , bán kính bằng a . Trên đường trịn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm O1
lấy điểm B sao cho AB a 5. Thể tích khối tứ diện OO1 AB bằng
a3 3
.
A.
12
a3 3
.
B.
3
a3 3
.
C.
4
a3 3
.
D.
6
Lời giải
B
A1
O1
O
A
Dựng đường sinh AA1
Ta có OO1 2a , A1 B AB 2 AA12 5a 2 4a 2 a .
0
0
Do đó tam giác O1 A1 B là tam giác đều O1 A1 , O1B 60 OA, O1B 60 .
3
Khi đó VOO AB
1
1
a 3
1
.
OA.O1 B.d OA, O1B .sin OA, O1B a.a.2a.sin 60
6
6
6
2
Câu 48: Cho hàm số y f x liên tục trên 0; thỏa mãn 2 xf ' x f x 3x x , x 0; .
1
Biết f 1 , tính f 4 .
2
A. 14 .
2 xf ' x f x 3x 2 x x f ' x
Suy ra
C. 24 .
Lời giải
B. 4 .
x f x
4
1
1
3
f x x2
2
2 x
D. 16 .
3
x f x ' x2
2
4
3
x 2 dx hay 2 f 4 f 1 63 f 4 16
2
2
1
Câu 49: Cho hàm số y f x , đồ thị của hàm số y f ' x là đường cong ở hình bên. Tìm tất cả các
giá trị thực của tham số m để bất phương trình f 2 x
8 x3
4 x m 0 đúng với mọi
3
1 1
x ; .
2 2
/>
B. m f 0 .
A. m f 1 5 .
3
C. m f 0 .
D. m f 3 .
Lời giải.
Ta có f 2 x
8 x3
8 x3
4x m 0 f 2x
4 x m (*).
3
3
g x
Đạo hàm
2
g ' x 2 f ' 2 x 8 x 2 4 2 f ' 2 x 2 x 2 .
Dựa vào đồ thị ta có
g ' x 0
x 0
2 x 0
1 1
x 1
2
x
1
x 2 ; 2
2
Bảng biến thiên
1 1
Từ BBT suy ra bất phương trình * đúng với mọi x ; khi và chỉ khi m f 0 .
2 2
Câu 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vng góc với mặt đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng
2a 21
. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng
7
/>
A.
2a 3 3
.
3
B.
4a 3 3
.
3
C.
8a 3 3
.
3
D.
a3 3
.
3
Lời giải
Gọi H là trung điểm của AB , theo đề ta có SH ABCD
Vì AB / / SCD nên d AB, SD d AB, SCD d H , SCD
Gọi F là trung điểm của CD , vẽ HK SF
Ta có CD HF , CD SH CD SHF CD HK
2a 21
7
Đặt AB x , SHF vng tại H có HK là đường cao
Suy ra d AB, SD HK
1
1
1
2
2
HK
HF
SH 2
7
1
4
7
2 2 2 x 2a
2
12a
x
3x
3x
1
1 2a 3 2 4a 3 3
VS . ABCD .SH .S ABCD .
.4a
.
3
3 2
3
.
/>
