Tải bản đầy đủ (.pdf) (98 trang)

Rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh thông qua một số bài toán cơ bản hình học 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.39 MB, 98 trang )

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHẠM MINH ĐỨC

RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH THƠNG
QUA MỘT SỐ BÀI TỐN CƠ BẢN HÌNH HỌC 9

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2021
i


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHẠM MINH ĐỨC

RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH THƠNG
QUA MỘT SỐ BÀI TỐN CƠ BẢN HÌNH HỌC 9

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP
DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN
Mã số: 8.14.01.11

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS – TS. Nguyễn Thị Lan Phƣơng

HÀ NỘI – 2021
ii




LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo trong khoa Sƣ phạm,
trƣờng Đại học Giáo dục đã giúp đỡ và có những ý kiến đóng góp quý báu
trong quá trình sƣu tầm tƣ liệu, soạn thảo đề cƣơng và hoàn thành luận văn.
Đặc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn và gửi lời biết ơn sâu sắc nhất
đến PGS - TS. Nguyễn Thị Lan Phƣơng, ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn, chỉ
bảo tận tình trong q trình làm luận văn, để tác giả hồn thành tốt luận văn
thạc sĩ của mình.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã quan tâm, động
viên và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hồn thành luận văn.
Mặc dù có nhiều cố gắng trong suốt quá trình thực hiện luận văn, song
do giới hạn kiến thức và khả năng lý luận của bản thân cịn nhiều thiết sót và
hạn chế. Tác giả kính mong sự chỉ dẫn và đóng góp của các thầy cơ giáo để
luận văn của tơi đƣợc hồn hiện hơn.
Hà Nội, ngày 06 tháng 12 năm 2021
Tác giả

Phạm Minh Đức

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
CMR

Chứng minh rằng

ĐPCM


Điều phải chứng minh

GTLN

Giá trị lớn nhất

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

TDST

Tƣ duy sáng tạo

THCS

Trung học cơ sở

ii



DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ
Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra thường xuyên………………………….…..76
Biểu đồ 3.1. Điểm bài kiểm tra của lớp thực nghiệm ………………...…….76
Bảng 3.2. Kết quả bài kiểm tra giữa kì I……………………………….…..77
Biểu đồ 3.2. Điểm bài kiểm tra của lớp đối chứng …………………………77
Biểu đồ 3.3. Điểm bài kiểm tra của lớp đối chứng …………………………77
Biểu đồ 3.4. Điểm bài kiểm tra của lớp đối chứng …………………………78

iii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ……………………………………………………………..…..i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT …………………………..………..….ii
DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ ……………………...…….……..iii
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2
3. Đối tƣợng, khách thể, phạm vi nghiên cứu ................................................... 2
3.1. Khách thể nghiên cứu................................................................................. 2
3.2. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................ 2
3.3. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Câu hỏi nghiên cứu ....................................................................................... 2
5. Giả thiết khoa học ......................................................................................... 2
6. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 3
7. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................... 3
7.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận ............................................................... 3
7.2. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm ........................................................... 3
7.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm .......................................................... 3
8. Đóng góp của luận văn .................................................................................. 3

8.1. Về mặt lý luận............................................................................................. 3
8.2. Về mặt thực tiễn.......................................................................................... 3
9. Cấu trúc luận văn .......................................................................................... 3
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN DẠY HỌC THEO
HƢỚNG RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH ............. 5
1.1. Tƣ duy sáng tạo .......................................................................................... 5
1.1.1. Tư duy ...................................................................................................... 5
1.1.2. Tư duy sáng tạo ....................................................................................... 9
1.1.4. Các giai đoạn của sự sáng tạo .............................................................. 10
iv


1.1.5. Các đặc điểm của tư duy sáng tạo ........................................................ 11
1.1.6. Dạy học tư duy sáng tạo cho học sinh .................................................. 12
1.2. Bài tốn cơ bản.........................................................................................13
1.3. Phát triển trí tuệ và bồi dƣỡng năng lực nghiên cứu toán học cho học
sinh .................................................................................................................. 15
1.3.1. Phát triển các thao tác tư duy ............................................................... 15
1.3.2. Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác ..................................... 16
1.3.3. Rèn luyện tư duy độc lập và tư duy sáng tạo ........................................ 17
1.3.4. Chủ đề hình học trong chương trình tốn học lớp 9 ............................ 18
1.4. Thực tiễn dạy học theo hƣớng rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh... 18
KẾT LUẬN CHƢƠNG I ................................................................................ 18
CHƢƠNG 2. TỔ CHỨC DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN
HÌNH HỌC 9 ĐỂ RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC
SINH .......................................................................................................... 22
2.1. Vận dụng các biện pháp phát triển tƣ duy sáng tạo vào dạy học một số bài
tốn cơ bản hình học 9 .................................................................................... 22
2.1.1. Biện pháp 1. Tập cho học sinh có thói quen mị mẫm, dự đốn kết luận
rồi dùng phân tích, tổng hợp để kiểm tra tính đúng đắn của kết luận……....22

2.1.2. Biện pháp 2. Tập cho học sinh biết vận dụng phép tương tự ...............23
2.1.3. Biện pháp 3. Tập cho học sinh biết phân tích tình huống đặt ra dưới
nhiều góc độ khác nhau, biết giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau và
lựa chọn cách giải quyết tối ưu ......................................................................25
2.1.4. Biện pháp 4. Tập cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức, hệ thống
hóa phương pháp ...........................................................................................26
2.2. Một số dạng bài tốn cơ bản hình học 9 góp phần rèn luyện TDST cho
học sinh ..........................................................................................................27

v


2.2.1. Nguyên tắc phân loại các dạng bài toán ..............................................27
2.2.2. Các dạng bài tốn cơ bản hình học 9 góp phần rèn luyện và phát triển
TDST .............................................................................................................28
2.3. Tổ chức dạy bài tốn cơ bản hình học 9 để rèn luyện và phát triển tƣ duy
cho học sinh ...................................................................................................32
2.3.1. Hướng dẫn học sinh khai thác một số bài toán cơ bản hình học 9 để rèn
luyện tư duy sáng tạo......................................................................................32
2.3.2. Tổ chức dạy học bài tốn hình học phẳng lớp 9 theo hướng rèn luyện tư
duy sáng tạo cho học sinh .............................................................................72
Kết luận chƣơng 2 .........................................................................................76
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................ 73
3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................. 73
3.2. Nội dung thực nghiệm .............................................................................. 73
3.3. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm ................................................................. 73
3.3.1. Đối tượng và địa bàn thực nghiệm sư phạm ......................................... 73
3.3.2. Thời gian thực nghiệm sư phạm............................................................ 73
3.3.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ..................................................... 74
3.3.4. Tiến hành thực nghiệm .......................................................................... 74

3.4. Kết quả thực nghiệm ................................................................................ 75
3.4.1. Đánh giá thông qua quan sát sư phạm ................................................. 75
3.4.2. Đánh giá thông qua kết quả bài kiểm tra thường xuyên....................... 76
KẾT LUẬN .................................................................................................... 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 81

vi


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cách mạng công nghiệp 4.0 đang làm thay đổi và tác động vào mọi mặt
của đời sống xã hội. Để làm chủ đƣợc xã hội, cuộc sống và bản thân, con
ngƣời không những nắm bắt mà cịn phải thƣờng xun cập nhật những
thơng tin khoa học. Vì thế yêu cầu đặt ra là chúng ta phải thay đổi các phƣơng
pháp dạy học để ngƣời học có thể tiếp nhận đƣợc những thơng tin cơ bản và
thiết thực nhất đáp ứng đƣợc nhu cầu của của cuộc sống, xã hội và thời đại.
Đổi mới phƣơng pháp dạy học là một định hƣớng đã đƣợc kh ng định
trong các Nghị quyết Trung ƣơng 4 và Nghị quyết Trung ƣơng 2 và đƣợc quy
định r trong Luật Giáo dục năm 2005. Trong những năm qua việc đổi mới
phƣơng pháp giáo dục tại Việt Nam đƣợc diễn ra thƣờng xuyên. Cộng với việc
xã hội đã thay đổi rất nhiều do dịch bệnh Covid kéo dài. Điều này thay đổi rất
nhiều cách học của học sinh, học sinh đƣợc tiếp cận với đa dạng hơn các phƣơng
pháp và hình thức dạy học khác nhau. Dẫn đến sự thay đổi của giáo viên trong
phƣơng pháp giảng dạy vốn đã tất yếu nay lại càng cấp thiết hơn.
Trong chƣơng trình Tốn THCS, phần hình học ph ng lớp 9 đóng một
vai trị quan trọng. Phần kiến thức này khơng chỉ là nội dung của kì thi tuyển
sinh vào lớp 10 THPT mà khi giảng dạy giáo viên sẽ giúp phát triển tƣ duy và
trí tuệ cho học sinh. Khi học nội dung hình học ph ng lớp 9 học sinh phải biết
vận dụng tồn bộ những kiến thức về hình học ph ng từ đó tƣ duy tìm ra lời

giải cũng nhƣ tìm thêm những câu hỏi mới cho từng dạng bài tập. Thực tế cho
thấy số lƣợng dạng bài tập hình học ph ng 9 khá đa dạng và đƣợc xây dựng
trên một số giả thiết ban đầu, vì thế giáo viên cần vận dụng những phƣơng
pháp dạy học mới để khai thác, phát triển bài toán. Từ những hoạt động dạy
học đó giáo viên đã góp phần phát triển và rèn luyện tƣ duy sáng tạo của học
sinh.

1


Xuất phát từ những lí do trên mà tơi chọn đề tài nghiên cứu của luận
văn là: “Rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh thông qua một số bài tốn
cơ bản hình học 9”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu hình thức tổ chức dạy học một số bài tốn cơ bản hình học
9 để rèn luyện và phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
3. Đối tƣợng, khách thể, phạm vi nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu
Quá trình tổ chức dạy học mơn Tốn cấp THCS cụ thể là mơn Tốn lớp 9.
3.2. Đối tượng nghiên cứu
Những hình thức tổ chức dạy học một số bài hình học ph ng lớp 9
nhằm rèn luyện tƣ duy cho học sinh.
Một số biện pháp rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
3.3. Phạm vi nghiên cứu
Các bài toán hình học cơ bản cấp THCS cụ thể là mơn Toán lớp 9.
4. Câu hỏi nghiên cứu
Nghiên cứu này làm sáng tỏ một số câu hỏi
Câu 1. Khái niệm, cấu trúc, đặc điểm, giai đoạn phát triển và biểu hiện
của tƣ duy sáng tạo ở học sinh phổ thông?
Câu 2. Dạy học phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh diễn ra nhƣ nào?

Câu 3. Có bao nhiêu biện pháp rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh
và nội dung các biện pháp đó nhƣ thế nào?
Câu 4. Tổ chức dạy học các bài tốn hình học 9 cơ bản thế nào để phát
triển đƣợc tƣ duy sáng tạo cho học sinh?
5. Giả thiết khoa học
Nếu tổ chức dạy học các bài tốn hình học ph ng lớp 9 theo hƣớng rèn
luyện và phát triển tƣ duy sáng tạo của học sinh, sẽ góp phần nâng cao chất
lƣợng dạy và học ở trƣờng phổ thông.

2


6. Nhiệm vụ nghiên cứu
Ba nhiệm vụ chính mà luận văn tập trung giải quyết là:
- Nghiên cứu lý luận về dạy học rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh
thơng qua một số bài tốn cơ bản hình học 9.
- Tổ chức dạy học một số dạng bài tốn cơ bản hình học 9 để rèn luyện
và phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
- Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi, hiệu quả và
những vấn đề tích cực mà nghiên cứu mang lại.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
7.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các tài liệu về phƣơng pháp dạy học, các tài liệu viết về
dạy học theo hƣớng rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
7.2. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm thƣờng hƣớng vào nghiên cứu diễn
biến và nguyên nhân của các sự kiện, hiện tƣợng. Từ đó nghiên cứu những
giải pháp thực tiễn đã áp dụng để tìm ra các giải pháp tốt nhất.
7.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Giảng dạy một số nội dung soạn theo hƣớng của đề tài nhằm đánh giá

tính khả thi và hiệu quả và những vấn đề tích cực mà đề tài mang lại.
8. Đóng góp của luận văn
8.1. Về mặt lý luận
Góp phần làm r khái niệm, cấu trúc, các giai đoạn của tƣ duy và định
hƣớng dạy học phát triển và rèn luyện tƣ duy sáng tạo.
8.2. Về mặt thực tiễn
Kết quả nghiên cứu của luận văn có thể sử dụng nhƣ một tài liệu tham
khảo cho GV trong quá trình giảng dạy và học tập mơn tốn ở trƣờng THCS.
9. Cấu trúc luận văn
Mở đầu

3


Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học theo hƣớng rèn luyện tƣ
duy sáng tạo cho học sinh
Chương 2. Tổ chức dạy học một số bài toán cơ bản hình học 9 để rèn
luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh
Chương 3. Thực nghiệm sƣ phạm.
Kết luận

4


CHƢƠNG 1.
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN DẠY HỌC
THEO HƢỚNG RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
1.1. Tƣ duy sáng tạo
1.1.1. Tư duy
1.1.1.1. Khái niệm về tư duy

Tƣ duy là từ ngữ chỉ những hoạt động của tinh thần, đem những cảm
giác sửa đổi và cải tạo thế giới thông qua hoạt động vật chất, làm cho con
ngƣời có nhận thức đúng đắn về sự vật xung quanh đồng thời có cách ứng xử
với nó, là sự phản ánh quá trình nhận thức ở trình độ cao, sự nhận thức một
cách khái quát, tích cực, gián tiếp và sáng tạo về thế giới qua các khái niệm,
phán đốn.
Tƣ duy có khả năng khái qt hóa sự trìu tƣợng vì tƣ duy mới có thể
khái qt bản chất, quy luật của các sự việc, hiện tƣợng. Do đó, tƣ duy mang
đến cho con ngƣời những tri thức về thế giới và các sự vật, hiện tƣợng trong
thế giới một cách gián tiếp.
Tƣ duy là một quá trình sáng tạo giúp con ngƣời học hỏi, rèn luyện để
có tri thức nhận biết vấn đề và cách giải quyết những vấn đề đó. Nói chung, tƣ
duy của não bộ vận hành với những kỹ năng học đƣợc có thể giúp trí thơng
minh đƣợc ni dƣỡng và phát triển mà ở đó con ngƣời dùng suy nghĩ , xem
xét, giải quyết những sự vật, hiện tƣợng trong cuộc sống.
1.1.1.2. Những đặc điểm của tư duy
Tính có vấn đề của tư duy
Vấn đề là những tình huống, hồn cảnh có những mục đích nhất định,
một vấn đề mới xảy đến, tuy nhiên ứng phó với vấn đề đó là những những
kiến thức cũ, những phƣơng pháp hành động cũ tuy cịn có thể dùng, song
không đủ sức giải quyết.
Tƣ duy sẽ xuất hiện khi gặp những hồn cảnh, tình huống có vấn đề,

5


những vấn đề này phức tạp và mới mẻ, nếu áp dụng cách giải quyết cũ thì
khơng thể giải quyết đƣợc. Muốn giải quyết vấn đề đó con ngƣời phải tìm
cách thức giải quyết mới. Tuy nhiên khơng phải bất cứ hồn cảnh nào tƣ duy
cũng xuất hiện.

Tính gián tiếp của tư duy
Tƣ duy con ngƣời không nhận thức thế giới một cách trực tiếp mà có
khả năng nhận thức nó một cách gián tiếp. Tính gián tiếp của tƣ duy đƣợc
biểu hiện ở chỗ để có đƣợc tƣ duy con ngƣời cần biết sử dụng ngôn ngữ, ngôn
ngữ giúp con ngƣời sử dụng các kết quả nhận thức (quy tắc, khái niệm, công
thức, quy luật…) và những kinh nghiệm vốn có của bản thân vào q trình tƣ
duy, có thể kể đến là q trình phân tích, so sánh, khái quát… để từ đó có
hiểu biết về bản chất của sự vật, hiện tƣợng…
Tính gián tiếp của tƣ duy cịn đƣợc thể hiện qua q trình tƣ duy con
ngƣời sử dụng những cơng cụ, phƣơng tiện máy móc, cơng cụ để nhận thức
đối tƣợng mà không thể trực tiếp tri giác chúng. Tính gián tiếp của tƣ duy con
giúp con ngƣời có đƣợc những phán đốn có tính khoa học đối với những sự
vật xảy ra trong quá khứ và cả tƣơng lai. Ví dụ nhƣ dự báo thời tiết, dự báo về
tính hình phát triển của nền kinh tế, dự báo về biến đổi khí hậu…
Tính trừu tượng và khái quát của tư duy
Trừu tƣợng là dùng trí óc để gạt bỏ những thứ không cần thiết và chỉ
giữ lại những yếu tố cần thiết quan trọng cho tƣ duy. Khái quát là việc dùng
tri thức để hợp nhất những đối tƣợng khác nhau vào cùng một nhóm, một loại,
dựa trên những đặc điểm những thuộc tính giống nhau.Tính trừu tƣợng và
khái qt của tƣ duy có mối liên hệ mật thiết với nhau ở mức độ cao. Khơng
có trừu tƣợng thì khơng thể tiến hành khái qt, nhƣng có trừu tƣợng mà
khơng có khái qt thì hạn chế quá trình tiếp nhận sự hiểu biết về mọi vật …
Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngơn ngữ

6


Tƣ duy và ngơn ngữ có mối quan hệ mật thiết với nhau. Nếu khơng nhờ
có ngơn ngữ thì q trình tƣ duy của con ngƣời khơng thể diễn ra đƣợc, đồng
thời các kết quả của quá trình tƣ duy ví dụ nhƣ khái niệm, dự đốn, … về các

sự vật, hiện tƣợng cũng không đƣợc chủ thể và ngƣời khác tiếp nhận.
Ngôn ngữ diễn đạt kết quả của tƣ duy, là phƣơng tiện biểu đạt kết quả
tƣ duy, do đó có thể khách quan hóa kết quả tƣ duy cho ngƣời khác và cho
bản thân chủ thể tƣ duy.
Tính chất lý tính của tư duy
Tƣ duy giúp con ngƣời phản ánh đƣợc bản chất của sự vật hiện tƣợng,
những mối liên hệ và quan hệ có tính chất quy luật. Nhƣng tƣ duy khơng hồn
tồn phản ánh đúng bản chất sự vật hiện tƣợng mà phụ thuộc vào chiến thuật
và phƣơng pháp tƣ duy.
1.1.1.3. Các giai đoạn của tư duy
Giai đoạn nhận thức vấn đề: Khi gặp tình huống có vấn đề, chủ thể tƣ
duy nhận thức nó và đặt ra vấn đề cần giải quyết, trên cơ sở đó đề ra nhiệm vụ
của q trình tƣ duy.
Giai đoạn xuất hiện các liên tưởng: Đây là giai đoạn huy động vốn tri
thức, kinh nghiệm có liên quan đến vấn đề làm xuất hiện trong đầu chủ thể tƣ
duy những mối liên tƣởng xung quanh vấn đề cần giải quyết.
Giai đoạn sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết: Trong giai
đoạn này, chủ thể tƣ duy gạt bỏ những liên tƣởng không cần thiết, đƣa ra
những phƣơng án giải quyết có thể có đối với nhiệm vụ tƣ duy.
Giai đoạn kiểm tra giả thuyết: Kết quả của việc kiểm tra sẽ dẫn đến sự
kh ng định, phủ định hay chính xác hóa giả thuyết. Nếu tất cả các giả thuyết
đều bị phủ định thì một quá trình tƣ duy mới lại bắt đầu từ đầu.
Giai đoạn giải quyết nhiệm vụ: Khi giả thuyết (tức là cách giải quyết
nhiệm vụ có thể có) đã đƣợc kh ng định thì nó sẽ đƣợc thực hiện, nghĩa là đi
đến câu trả lời cho vấn đề đƣợc đặt ra.

7


1.1.1.4. Các thao tác tư duy

Phân tích tổng hợp
Phân tích: là q trình dùng trí óc để phân chia đối tƣợng nhận thức thành các
bộ phận, các thành phần khác nhau. Nó giúp chủ thể nhận thức đối tƣợng đầy
đủ hơn, sâu sắc hơn.
Tổng hợp: là q trình dùng trí óc để hợp nhất các thành phần đã đƣợc tách ra
qua phân tích thành một chỉnh thể.
Phân tích và tổng hợp quan hệ mật thiết với nhau, bổ sung cho nhau: phân
tích đƣợc tiến hành theo hƣớng của tổng hợp, còn tổng hợp đƣợc thực hiện
trên kết quả của phân tích. Phân tích và tổng hợp khơng chỉ liên quan với
nhau mà còn quan hệ chặt chẽ với các thao tác tƣ duy khác. Chúng có mặt ở
mọi giai đoạn của quá trình tƣ duy cũng nhƣ ở mọi sự vận hành của các thao
tác khác.
So sánh: là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự
đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các
sự vật, hiện tƣợng. So sánh có liên quan chặt chẽ với các thao tác tƣ duy khác
và có vai trị quan trọng trong hoạt động nhận thức, đặc biệt là ở giai đoạn đầu
của q trình nhận thức ở trẻ em.
Trừu tượng hóa và khái qt hóa
Trừu tượng hóa: là q trình dùng trí óc để gạt bỏ những dấu hiệu thứ yếu,
khơng cần thiết và giữ lại những yếu tố cần thiết cho tƣ duy.
Khái qt hóa: là q trình dùng trí óc để hợp nhất nhiều đối tƣợng khác nhau
thành một nhóm, một loại theo những dấu hiệu chung nhất định.
Trừu tượng hóa và khái quát hóa có mối quan hệ qua lại mật thiết với nhau:
trừu tƣợng hóa đƣợc tiến hành theo hƣớng của khái qt hóa, cịn khái qt
hóa đƣợc thực hiện trên kết quả của trừu tƣợng hóa. Ngồi ra, chúng cịn có
liên hệ chặt chẽ với các thao tác tƣ duy khác nhƣ: phân tích, so sánh, …

8



Tuy mỗi thao tác trên đều có chức năng riêng, nhƣng trong bất kỳ một quá
trình tƣ duy cụ thể nào chúng đều có mặt dù ít, dù nhiều và khi tham gia vào
một quá trình tƣ duy cụ thể, chúng thƣờng diễn ra theo một chiều hƣớng
thống nhất do chủ thể tƣ duy tiến hành nhằm giải quyết nhiệm vụ tƣ duy.
1.1.2. Tư duy sáng tạo
Khái niệm về sáng tạo
Sáng tạo là một thuộc tính tâm lý đặc biệt, thể hiện khi con ngƣời đứng
trƣớc hồn cảnh có vấn đề. Thuộc tính này là tổ hợp các phẩm chất và năng lực,
dựa trên cơ sở kinh nghiệm của bản thân và bằng tƣ duy độc lập cao mà nhờ đó
con ngƣời tạo ra đƣợc ý tƣởng mới, độc đáo, hợp lý trên bình diện cá nhân hay
xã hội.
Khái niệm về tư duy sáng tạo
Nói một cách dễ hiểu, tƣ duy sáng tạo là khả năng tƣ duy, sáng tạo, tìm
tịi ra những phƣơng án, chủ đề mới của một hay nhiều ngƣời về một lĩnh vực
nghiên cứu nào đó. Và trong thời đại hiện nay, bất kỳ ngành nghề nào nhƣ
chính trị, xã hội, kinh tế, nghệ thuật, kỹ thuật… đều cần đến tƣ duy sáng tạo.
Tại các trƣờng học, ngồi các kiến thức chun mơn, nhà trƣờng ln
ƣu tiên rèn luyện cho học sinh những kỹ năng mềm nhƣ giao tiếp, xử lý tình
huống và đặc biệt là tƣ duy sáng tạo. Mục đích là để học sinh rèn luyện sự
nhạy bén, sáng tạo của mình để áp dụng vào đời sống hằng ngày và dễ dàng
đạt đƣợc thành công hơn.
1.1.3. Tầm quan trọng của tư duy sáng tạo
Bất cứ lĩnh vực nào cũng cần có tƣ duy sáng tạo, trong khoa học, công
nghệ, nghệ thuật, quản lý và trong giải quyết vấn đề… Ta không thể phủ nhận
những cái sẵn có, nhƣng khơng thể kh ng định nó sẽ mang lại hiệu quả mãi
mãi mà muốn nó bền lâu thì cần những “đột phá”, những bƣớc “nhảy vọt”.
Tất cả những khác biệt làm nên sự phát triển cho mỗi cá nhân và cả xã hội. Và
từ đó Nhà tâm lý học ngƣời Anh Harry Adler có một khái niệm mới đó là “Trí

9



thông minh sáng tạo”. Trong thế kỷ 21, mỗi cá nhân đều phải chạy đua vơ
cùng quyết liệt để có đƣợc những vị trí nhất định trong xã hội, và để có đƣợc
điều đó, cần phải có sự khác biệt, và nói cụ thể đó là sự sáng tạo.
Sáng tạo là cách nhanh chóng trở thành lực lƣợng hƣớng dẫn trung tâm
trong nền kinh tế thế giới, theo quy luật phát triển vũ trụ, cái mới sinh ra đào thải
cái cũ và đứng trƣớc cái cũ. Ngƣời sáng tạo ra cái mới luôn là ngƣời dẫn đầu.
Học sinh trên ghế nhà trƣờng nếu có khả năng sáng tạo sẽ khơng ngừng
tìm những cách giải khác cho một bài tốn, tìm tịi hiểu thêm về những điều
mình chƣa biết, từ đó tích lũy nhiều kiến thức hơn. Tính sáng tạo và cách suy
nghĩ thông minh khi giải quyết vấn đề luôn đƣợc đánh giá cao. Học sinh khi
trên ghế nhà trƣờng có khả năng sáng tạo sẽ có điều kiện để phát huy sự sáng
tạo của mình trong cơng việc sau này.
1.1.4. Các giai đoạn của sự sáng tạo
Khi đến trƣờng học sinh đƣợc khám phá, đƣợc tạo điều kiện phát triển
tƣ duy sáng tạo, kích thích sự tị mị, ham học hỏi của bản thân. Quá trình
sáng tạo đƣợc tổng kết ở 5 giai đoạn: kích thích, khám phá, lập kế hoạch, hoạt
động, tổng kết.
Kích thích: Những kích thích tƣ duy sáng tạo bắt nguồn từ tính tị mị
hay thắc mắc và thích học hỏi.
Khám phá: Tƣ duy sáng tạo căn cứ vào những điều đã biết để tìm ra
những điều chƣa biết. Học sinh cần đƣợc giúp đỡ và hƣớng dẫn để có khả
năng khám phá, đơi khi phải xem xét lại từ đầu tất cả những gì mà các em đã
tiếp nhận một cách tự nhiên.
Lập kế hoạch: Giai đoạn này liên quan đến ba bộ phận đan xen nhau là xác
định vấn đề hay nhiệm vụ, thu thập thông tin, làm cho sự vật xuất hiện r ràng.
Hoạt động: Quá trình sáng tạo bắt đầu từ một ý tƣởng hay một loạt ý
tƣởng. Giáo viên cần tạo điều kiện để học sinh thực hiện hóa tƣ duy sáng tạo
bằng các hoạt động.


10


Tổng kết: Khi một ý tƣởng đã thực hiện, một vấn đề đã đƣợc giải quyết,
một khám phá đã kết thúc thì tiếp đó là việc đánh giá và tổng kết bằng những
câu hỏi: Chúng ta đã làm gì? Chúng ta đã đạt đƣợc mục đích chƣa?,...
Khi học sinh bắt tay vào việc giải quyết vấn đề trƣớc hết học sinh đã
hứng thú với vấn đề đó, có động cơ học tập thì sẽ thúc đẩy sự tìm tịi, thắc
mắc, và cùng với nó là sự tự tin giải quyết vấn đề. Học sinh đƣợc trang bị đầy
đủ kiến thức nhƣng điều đó chƣa đảm bảo học sinh đã hiểu r và vận dụng
tốt. Lúc này vai trò của giáo viên rất quan trọng là ngƣời đƣa đƣờng chỉ lối,
giúp đỡ, hƣớng dẫn học sinh vận dụng những gì mà các em đã biết để giải
quyết vấn đề. Kiến thức là một cơng cụ của hoạt động, nó vơ tận và ln thay
đổi. Vì vậy cần rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh một cách thƣờng
xuyên và liên tục.
1.1.5. Các đặc điểm của tư duy sáng tạo
Tính mềm dẻo: Là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của
hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm
khác, định nghĩa lại sự vật hiện tƣợng, xây dựng phƣơng pháp tƣ duy mới, tạo
ra sự vật mới trong mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ, nhận ra bản
chất của sự vật và nhiều phán đốn.
Tính nhuần nhuyễn: Là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ
hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hồn cảnh, đƣa ra giả thuyết mới
và ý tƣởng mới. Là khả năng tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và
tình huống khác nhau. Càng nhiều ý tƣởng thì càng có nhiều khả năng xuất
hiện những ý tƣởng độc đáo.
Tính độc đáo: Là khả năng tìm kiếm và giải quyết bằng phƣơng thức lạ
hoặc duy nhất. Ngƣời ta có thể phát hiện tính độc đáo trong tƣ duy sáng tạo
của học sinh thông qua lời giải của các em khi thực hiện bài tập.

Tính hồn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và
hành động, phát triển ý tƣởng, kiểm tra và chứng minh ý tƣởng.

11


Ngồi ra, tƣ duy sáng tạo cịn có những yếu tố quan trọng khác nhƣ:
tính nhạy cảm vấn đề , tính chính xác. Các yếu tố cơ bản trên có quan hệ mật
thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Các yếu tố cơ bản này lại có mối
quan hệ mật thiết với các yếu tố khác nhƣ: tính nhạy cảm vấn đề , tính chính
xác, tính hồn thiện,... Tất cả các yếu tố đặc trƣng nói trên cùng góp phần tạo
nên tƣ duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con ngƣời.
1.1.6. Dạy học tư duy sáng tạo cho học sinh
Trƣờng học muốn tạo nên những học sinh học tốt, có tƣ duy, cần phải
tạo ra một lớp học có nhiều tƣơng tác tƣ duy hơn nữa. Từ hình thức làm việc
theo cá nhân, làm việc theo nhóm đơi để thảo luận về các vấn đề gây tranh cãi
đến hình thức giải quyết vấn đề theo nhóm lớn, hoặc làm việc cả lớp.
Tƣ duy sáng tạo là trọng tâm của nhấn mạnh hiện tại về các kỹ năng tƣ
duy. Các trƣờng học hiện nay đã thực hiện nhiều cải cách để trau dồi những
lối tƣ duy này một cách đầy đủ hơn, những thành quả mà họ đạt đƣợc rất
xứng đáng với những nỗ lực đó.
Tƣ duy sáng tạo là một hình thức tƣ duy bậc cao của con ngƣời và là
mục tiêu hƣớng tới của chƣơng trình giáo dục Tốn học ở bậc phổ thơng.
Thực tế có khá nhiều nghiên cứu về tƣ duy sáng tạo, trong các nghiên cứu này
các tác giả không những làm sáng tỏ các khái niệm về tƣ duy sáng tạo mà cịn
tạo ra những tình huống dạy học để phát triển tƣ duy sáng tại của học sinh. Số
lƣợng nghiên cứu tƣ duy sáng tạo thông qua giảng dạy một nội dung Tốn
học nào đó trong chƣơng trình Tốn học phổ thơng là khá nhiều.
Việc dạy học các chủ đề Toán học ở bậc THCS rèn luyện tƣ duy sáng
tạo cịn hạn chế vì nhiều lý do. Một trong các lý do đó là ngƣời học chƣa thực

sự chủ động, tích cực, hứng thú tham gia các hoạt động giáo dục trong nhà
trƣờng. Bên cạnh đó một lý do nữa là do giáo viên chƣa thực sự tích cực và
chủ động trong việc đổi mới phƣơng pháp dạy học. Bên cạnh đó nội dung

12


hình học với những đặc điểm của mình cũng khiến cho các nghiên cứu về tƣ
duy sáng tạo còn hạn chế. Đặc biệt trong dạy các chủ đề trong hình học 9.
Chính vì vậy nên việc dạy học theo hƣớng tƣ duy sáng tạo các chủ đề trong
hình học 9 là cấp thiết, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn giảng dạy ở các
trƣờng phổ thông, cụ thể ở đây là chƣớng trình hình học 9,
1.2. Bài tốn cơ bản
Bài tập Tốn học có vai trị quan trọng trong việc học Tốn. Thơng qua
giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả
nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phƣơng pháp, những
hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong tốn
học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngơn ngữ. Đặc biệt là
về mặt kiểm tra, bài tập là phƣơng tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và
học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh.
Sách giáo khoa Việt Nam hiện hành khơng phân biệt hai khái niệm Bài
tốn và Bài tập chỉ dùng từ bài tập để chỉ các đề bài toán ra cho học sinh, dù
chúng là các ứng dụng trực tiếp từ các tri thức lí thuyết (ví dụ sử dụng cơng
thức nghiệm để giải phƣơng trình bậc hai bằng cách sử dụng biệt thức Delta)
hay chúng đòi hỏi một q trình giải phức tạp hơn u cầu mơ hình hóa một
vấn đề thực tiễn thành một bài tốn mà học sinh có thể áp dụng trực tiếp các
cơng thức trên. Sách giáo khoa của một số nƣớc có nền giáo dục phát triển
thƣờng phân biệt hai từ này. Ví dụ sách giáo khoa của Pháp, trong phần bài
tập về nhà cho học sinh đƣợc phân chia các đề bài thành hai phần: phần bài
tập và phần bài toán. Phần bài tập bao gồm các câu hỏi áp dụng trực tiếp phần

lí thuyết. Phần bài tốn bao gồm việc giải quyết nhiều vấn đề xuất phát từ
cuộc sống thực tiễn, địi hỏi sự mơ hình hóa chúng để đƣa về các bài tập.
Để giải bài tập chỉ cần yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc
hay thuật toán đã học. Nhƣng đối với bài toán để giải đƣợc phải tìm tịi, giữa các
kiến thức có thể sử dụng và việc áp dụng để sử lí các tình huống cịn có một

13


khoảng cách, vì các kiến thức đó khơng dẫn trực tiếp đến phƣơng tiện xử lí thích
hợp. Sau khi hƣớng dẫn học sinh giải bài tập, giáo viên thƣờng chủ yếu yêu cầu
học sinh lặp lại các phƣơng pháp đã đƣợc học khi giải các ví dụ tƣơng tự.
Trong quá trình dạy học tùy mức độ khác nhau bài tốn đƣợc chia
thành bài toán cơ bản và bài toán nâng cao. Bài toán cơ bản là những bài toán
ở mức độ nhận biết, thông hiểu, để giải quyết những bài toán này học sinh cần
sử dụng kiến thức và những thao tác toán học cơ bản. Những bài toán ở mức
độ vận dụng và vận dụng cao là bài toán nâng cao. Để giải quyết những bài
tập nâng cao bên cạnh nắm vững bài toán cơ bản, học sinh phải sử dụng
những hoạt động Tốn học phức hợp. Ví dụ trong một bài tập hình học có
nhiều câu hỏi, thƣờng những câu hỏi trƣớc là gợi ý cho những câu hỏi khó
phía sau. Nhƣ vậy để làm đƣợc câu hỏi này, học sinh phải nắm đƣợc cách giải
của những câu hỏi trƣớc đó sau đó áp dụng tƣ duy tốn học mới giải quyết
đƣợc yêu cầu của bài toán.
Bài toán có bản là một thuận ngữ chƣa có khái niệm. Khi nghiên cứu
sách giáo khoa và sách bài tập có một số bài tập học sinh gặp thƣờng xuyên,
những bài tốn đó cũng rất phổ biến trong đề thi vào lớp 10 trung học phổ
thông. Trong thực tế giảng dạy những bài toán nhƣ vậy giáo viên khi dạy
thƣờng gọi là bài toán cơ bản. Nhƣ vậy bài toán cơ bản ở đây có thể đƣợc
hiểu là bài tốn phổ biến, thƣờng xuyên xuất hiện trong sách giáo khoa, sách
bài tập. Đây là những bài toán ở mức độ vận dụng, thơng hiểu. Học sinh có

thể dễ dàng giải quyết những bài tập này khi nắm vững kiến thức cơ bản. Ở
đây khái niệm cơ bản cũng còn phụ thuộc vào đối tƣợng học sinh. Có thể
những câu hỏi này đối với học sinh này là khó, nhƣng với những học sinh
khác lại dễ. Vì vậy việc lựa chọn câu hỏi trong từng bài toán là yếu tố rất quan
trọng.
Các bài toán đƣợc phân theo mức độ nhận thức gồm các mức độ: câu
hỏi nhận biết, câu hỏi thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao.

14


Phƣơng pháp chung để giải bài toán nhƣ sau
Bƣớc 1. Tìm hiểu nội dung đề bài
Bƣớc 2. Tìm cách giải
Bƣớc 3. Trình bày lời giải
Bƣớc 4. Nghiên cứu sâu lời giải
Một câu hỏi đặt ra là làm thế để học sinh hiểu đƣợc và vận dụng đƣợc
phƣơng pháp chung để giải toán vào việc giải bài toán cụ thể mà học sinh gặp
trong q trình học tập. Nói chung, cách thức dạy học để giải bài toán nhƣ sau:
- Học sinh nắm đƣợc phƣơng pháp chung bốn bƣớc và có ý thức vận
dụng bốn bƣớc này trong quá trình giải tốn thơng qua việc giải những bài
tốn cụ thể.
- Khi giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho học sinh những câu hỏi
gợi ý đúng tình huống để học sinh đần dần biết sử dụng những câu hỏi này
nhƣ những phƣơng tiện kích thích suy nghĩ tìm tịi, dự đoán, phát hiện để thực
hiện từng bƣớc của phƣơng pháp chung giải toán. Những câu hỏi này lúc đầu
do giáo viên viên nêu ra để hỗ trợ cho học sinh nhƣng dần dần biến thành kiến
thức của bản thân học sinh, đƣợc học sinh tự nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi
ý cho từng bƣớc đi của mình trong q trình giải tốn.
Nhƣ vậy, q trình học sinh học phƣơng pháp giải tốn là một q trình

biến những tri thức phƣơng pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của
bản thân mình thơng qua giải hàng loạt bài tốn cụ thể. Từ phƣơng pháp giải
toán đi tới cách giải một bài tốn cụ thể cịn là cả một chặng đƣờng địi hỏi
lao động tích cực của học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo.
1.3. Phát triển trí tuệ và bồi dưỡng năng lực nghiên cứu toán học cho học sinh
1.3.1. Phát triển các thao tác tư duy
Phát triển năng lực phân tích, tổng hợp

15


Chúng là hai thao tác cơ bản của quá trình tƣ duy. Phát triển năng lực
phân tích và tổng hợp cho học sinh là yếu tố quan trọng giúp cho học sinh
nắm vững kiến thức và vận dụng vào làm bài tập.
Phát triển năng lực so sánh
So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau của các sự vật, hiện
tƣợng. Muốn so sánh hai sự vật hay hiện tƣợng ngƣời ta phải phân tích các
dấu hiệu, các thuộc tính của chúng rồi đối chiếu các dấu hiệu các thuộc tính
của chúng với nhau rồi tổng hợp xem hai dấu hiệu, hai thuộc tính đó có gì
giống nhau và khác nhau.
Phát triển năng lực trừu tượng hóa và khái quát hóa
Phát triển năng lực trừu tƣợng hóa cho học sinh cần nắm vững mối liên hệ
chặt chẽ giữa tƣ duy cụ thể và tƣ duy trừu tƣợng: từ trực quan sinh động đến
tƣ duy trừu tƣợng, rồi từ đó đến thực tiễn.
Trong q trình trừu tƣợng hóa, việc tách những đặc điểm cơ bản của
một nhóm đối tƣợng để hình thành một khái niệm đƣợc gọi là sự khái quát
hóa. Để giúp học sinh phát triển năng lực khái quát hóa đúng đắn, cần luyện
tập cho học sinh biết phân tích, tổng hợp, so sánh để tìm ra cái chung ẩn náu
trong các hiện tƣợng, sau những chi tiết tản mạn khác nhau, phát hiện mối
liên hệ bản chất của sự vật mà hình thức bên ngồi rất đa dạng.

1.3.2. Rèn luyện tư duy logic và ngơn ngữ chính xác
Vì tốn học là một khoa học suy diễn nên mơn tốn có nhiều khả năng
to lớn để dạy cho học sinh tƣ duy chính xác, tƣ duy hợp logic. Nhƣng tƣ duy
không tách rời ngôn ngữ mà tƣ duy diễn ra dƣới hình thức ngơn ngữ, đƣợc
hồn thiện trong sự trao đổi ngôn ngữ của con ngƣời và ngƣợc lại ngơn ngữ
đƣợc hình thành và phát triển nhờ tƣ duy. Vì vậy việc rèn luyện tƣ duy logic
khơng thể tách rời việc rèn luyện ngơn ngữ chính xác cho học sinh.
Việc rèn luyện tƣ duy logic và ngôn ngữ chính xác thơng qua dạy học
mơn tốn đƣợc thực hiện theo ba hƣớng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau:

16


- Nắm vững các thuật ngữ toán học và các kí hiệu tốn học.
- Phát triển khả năng định nghĩa và phân chia các khái niệm.
- Phát triển khả năng suy luận chính xác, chặt chẽ, hợp logic.
Để rèn luyện tƣ duy logic cho học sinh đạt hiệu quả, giáo viên cần bồi
dƣỡng cho học sinh các quy tắc suy luận, giúp học sinh hiểu đƣợc các cấu trúc
logic của q trình chứng minh một định lí, u cầu học sinh trình bày đúng
đắn các bài tốn.
Bên cạnh đó giáo viên cần coi trọng việc giáo dục học sinh sử dụng
chính xác ngơn ngữ trong mơn tốn. Đặc biệt biết sử dụng các phép tốn logic
nhƣ: nếu...thì, và, hoặc, khi và chỉ khi, có ít nhất một, với mọi, tồn tại…
1.3.3. Rèn luyện tư duy độc lập và tư duy sáng tạo
Tƣ duy độc lập biểu hiện ở khả năng tự mình phát hiện đƣợc vấn đề cần
phải giải quyết, tự bản thân đƣa ra đƣợc phƣơng án cần phải giải quyết khi
gặp một trở ngại hay tìm đƣợc lời giải đáp cho các vấn đề gặp phải, không
dập khuôn theo lời giải có sẵn. Tính độc lập có mối quan hệ mật thiết với tính
phê phán của tƣ duy, luôn đề cao sự đánh giá mọi tƣ tƣởng và ý kiến của
ngƣời khác, có tinh thần hồi nghi khoa học, ln tự vấn : “Tại sao?”, “Từ

đâu mà có?”…
Tƣ duy sáng tạo ln suy nghĩ tìm tịi những điều mới, nó ln gắn liền
tính độc lập, tính phê phán và tính linh hoạt của tƣ duy. Tính linh hoạt của tƣ
duy biểu hiện ở các mặt chính sau:
- Khả năng thay đổi phƣơng hƣớng giải quyết vấn đề phù hợp với sự
thay đổi của các điều kiện, biết tìm ra phƣơng pháp mới để nghiên cứu và giải
quyết vấn đề, dễ dàng chuyển từ dạng hoạt động trí tuệ này sang dạng hoạt
động trí tuệ khác, khắc phục thái độ dập khn theo mẫu định sẵn, máy móc,
suy nghĩ theo lối mòn.
- Khả năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo trật tự ngƣợc
với trình tự đã có. Muốn phát triển cho học sinh tƣ duy độc lập và sáng tạo,

17


×