bài tập lớn đại số tuyến tính

Đ¾I HàC BÁCH KHOA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KỸ THU¾T HĨA HàC
------------------------------------------

BÀI T¾P LàN

Đ¾I Sà TUY¾N TÍNH
Nhóm thực hiện: Nhóm 7
Lớp: L12
Tên

MSSV

1. Nguyễn T¿n Ln

1710184

2. Nguyễn Chí Bảo

1710590

3. Ngơ Thái Thanh Thư

1710323

4. TrÁn Duy Tân

1713082

5. Mai Thß Thanh Ngân

1712282

6. Phan Tráng Nhân

1712442

Giáo viên hướng dẫn: Lê Nguyễn Hạnh Vy
TP.HCM, tháng 5 năm 2018


Mục Lục…………………………………………………………………
I. PHÀN BÁO CÁO NHÓM
1. Đề tài bài t¿p lán ……………………………………………………….
2. Cơ sở lý thuy¿t ………………………………………………………….
3. Các bưác ch¿y chương trình ……………………………………………
4. Đo¿n code ………………………………………………………………
5. Ví dụ minh họa …………………………………………………………

II. PHÀN BÁO CÁO CÁ NHÂN
1. PHÀN 1: Ma tr¿n và định thức …………………….………………..
2. PHÀN 2: Hệ phương trình……………………………………………
3. PHÀN 3: Không gian vector…………….……………………………
4. PHÀN 4: Không gian Euclide ……………………………………….
5. PHÀN 5: Ánh x¿ tuy¿n tính – trị riêng – vector riêng……………….

1


I. PHÀN BÁO CÁO NHÓM
1.

Đề tài bài t¿p lán:
Chủ đề 2: Tích hai ma tr¿n.
Yêu cÁu: Input: cho phép nh¿p hai ma tr¿n A và B. Chương trình phải
kiểm tra xem 2 ma tr¿n có nhân được vái nhau được khơng? Output: ma tr¿n
tích và ma tr¿n nghịch đảo.
Chủ đề 14: Tìm cơ sở và sá chiều của khơng gian giao F ∩ G và không

gian tổng F + G của hai không gian con F và G.

Yêu cÁu: input: nh¿p vào hai không gian con (t¿p sinh của hai khơng gian
con F và G, hoặc hệ phương trình). Output: sá chiều và cơ sở của không gian
giao và tổng.

2.

Cơ sở lý thuy¿t:
 Phép nhân hai ma tr ¿n:
Cho A = (aij)m x p , B = (bij)p x n . Tích 2 ma tr¿n A.B = C = (cij)m x n
Cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj
&&&
&&&&&&&
& Ā1Ā &
) =&(āÿĀ &)
).( & & &
AB = (ÿÿ1 ÿÿ2 & ÿÿ�㕝
&&&&&&..
&&&
& Ā�㕝Ā &
Điều kiện phép nhân: Sá cßt ma tr¿n trưác bằng sá hàng ma tr¿n sau.

Cách nhân theo tích vơ hưáng:
Cij = hi(A) × cj(B)
 Ma tr¿n nghịch đảo:
2


Ma tr¿n vuông A gọi là khả nghịch n¿u tồn t¿i ma tr¿n B sao cho
BA = AB = I
A nghịch đảo khi và chỉ khi det(A) b 0
Cách tìm ma tr¿n nghịch đảo:
Bdsc theo hàng
(�㔴|�㔼)

(�㔼|�㔴−1)

 Cơ sở và sá chiều F ∩ G (F,G cho d¿ng t¿p sinh):

- Cho hai không gian con F và G của KGVT V. Giao 2 không gian
con:
F ∩ G = {�㕥 ∈ �㕉|�㕥 ý ỵ }

- Tớnh cht giao 2 không gian con:
( F ∩ G)
( F ∩ G)

F

(F + G)

V

G

(F + G)

V

- Cách tìm:
+ Tìm cơ sở trực giao của ma tr¿n cơ sở F, G là F1,G1.
+ Tìm ma tr¿n cơ sở trực sao của tổng hai ma tr¿n F1T, G1T chính
là ma tr¿n cơ sở của F ∩ G.

 Cơ sở và sá chiều F + G (F, G cho d¿ng t¿p sinh):

- Cho hai không gian con F và G của KGVT V. Tổng 2 khơng gian
con là mßt khơng gian con nhß nh¿t chứa hai không gian đã cho:
F + G = {ÿ + | ý ỵ}
3


- Tính ch¿t tổng 2 khơng gian con:
F = < f1, f2, … , fn >

G = <g1, g2, … , gm >

Ta có: F + G = <f1, f2, … , fn , g1, g2, … , gm>
- Tìm ma tr¿n cơ sở và sá chiều bằng cách đưa F + G về ma tr¿n
b¿c thang.

Các bưác ch¿y trương trình:

3.


Tích hai ma tr¿n:
B1: Nh¿p 2 ma tr¿n A, B.
B2: Kiểm tra A có nhân được vái B.
B3: Tính tích 2 ma tr ¿n A, B.
B4: Kiểm tra ma tr¿n A.B có khả nghịch.
B5: Tính ma tr¿n nghịch đảo của A, B.

 Tổng giao hai không gian con:
B1: Nh¿p t¿p sinh của F và G.
B2: Tìm cơ sở của F và G.
B3: Tìm ma tr¿n cơ sở và sá chiều của F + G.
B4: Tìm ma tr¿n cơ sở và sá chiều của F ∩ G.

Đo¿n code:

4.


Tích hai ma tr¿n:

4


function tichhaimatran
A = input('Nhap ma tran A: ');
B = input('nhap ma tran B: ');

while size(A,2)~=size(B,1);
disp('A khong nhan duoc voi B');
A = input('Nhap lai ma tran A: ');
B = input('nhap lai ma tran B: ');
end
for i = 1:1:size(A,1);
m = A(i,:);
for j = 1:1:size(B,2);
n = B(:,j);
h(i,j) = m*n;
end
end
disp('Tich cua ma tran A va B la C:');
disp(h);
if size(h,1)~=size(h,2)
disp('h khong la ma tran vuong nen khong co ma tran nghich dao')
else
n=size(h,1);
if rank(h)nghich dao')
else I=eye(n);
C=rref([h I]);
'A*B co ma tran nghich dao la'
C=C(:,[n+1:2*n])
end
end

5

 Tổng giao hai không gian con:
F=input('Nhap ma tran tap sinh cua F theo hang: ');
G=input('Nhap ma tran tap sinh cua G theo hang: ');
q=rank(F);%kiem tra xem so co so F
p=rank(G);%kiem tra xem so co so G
Q=F(1:q,:);%lay co so cua F
P=G(1:p,:);%lay co so cua G
N=[Q;P];% ma tran cac co so cua F va G theo hang
n=rank(N);%hang cua N
[m,n]=size(N);%gán cho m là so hàng n là so cot cua ma tran%
h=1;%gán cho h=1
for k=1:m-1;%cho k chay tu 1-> m-1
for j=h:n;%ung voi moi giá tri k ðang chay thi ta cho j(là
bien chi cot) chay tu h=1 ->n
for i=k:m;%ung voi moi giá tri j ta lai cho i(là bien chi
hàng)chay tu k=1 ->m
if(N(i,j)~=0)%i và j chay cho ðen khi phan tu ma tran
thuoc hàng i cot j khác 0(hieu là:neu quét ma tran tung cot mot tu
trên xuong duoi cho den khi gap mot phan tu khác 0 thi thoi)
break;%neu phan tu hàng i cot j khác 0 thi nó se
dung và bo lenh 'for'ðang chua nó tuc là lai bat ðau chay tu 'for
j=h:n'
end;
end;
if(N(i,j)~=0);
break;
end;
end;
if(i~=k)%truong hop nay chi xay ra sau cung khi i=m va k=m-1
for l=h:n;

a=N(k,l);
N(k,l)=N(i,l);
N(i,l)=a;
end;
end;
if(j~=h)
h=j;
end;
for i=k+1:m;
if(N(i,h)~=0)
a=N(i,h)/N(k,h);%gán cho a la thuong cua phep chia
phan tu duoi cho pt tren
for j=h:n;
N(i,j)=N(i,j)-a*N(k,j);%sau do phan tu ma tran
hang i cot j se nhan duoc gia tri moi bang phep tru tren
end;
end;
end;
h=h+1;
end;
N2=N(1:n,:);%lay so hang khac 0 cua N1

6


T1=null(Q,'r');%cho ra co so truc giao cua Q
T2=null(P,'r');%cho ra co so truc giao cua P
T=[T1'; T2'];%ma tran nghiem
R1=null(T,'r');%cho ra co so truc giao cua T
k=rank(R1');

disp(['Chieu cua co so cua F + G la: ',num2str(n)]);
disp('Co so cua F + G la: ');
disp(N2);
disp(['Chieu cua F giao G la: ',num2str(k)]);
disp('Co so cua F giao G la: ');
disp(R1')

5.

Ví dụ minh họa:


Tích hai ma tr¿n:

Ā Ā ā
Ā ā ă
Ví dụ 1: Cho ma tr¿n A = (
) và ma tr¿n B = (Ă ā Ā )
ă Ă ā
Ā ă Ă

Ā ā Ă
Ā Ā Ā
Ví dụ 2: Cho ma tr¿n A = (2Ā ÿ Ā ) và ma tr¿n B = ( Ā ÿ Ā )
Ā ă ą
ă Ą ā

7

 Tổng giao hai khơng gian con:
Ví dụ 1: Trong R3 cho hai không gian con F = < (-1;1;0), (2;0;1) > ,
G = < (1;1;0), (-1;0; 1) >
(VD 4.45/ Trang 104 sách đại số tuyến tính thầy Hiệp và thầy Vinh)

Ví dụ 2: Trong R3 cho hai khơng gian con F = < (1;0;1), (1;1;1) > ,
G = < (1;1;0), (2;1; 1) >
8


(VD 4.47/ Trang 105 sách đại số tuyến tính thầy Hiệp và thầy Vinh)

II.
1.

PHÀN BÁO CÁ NHÂN:
PhÁn 1: Ma tr¿n và đßnh thức:
Sinh viên thực hiện:
Há tên: TrÁn Duy Tân

MSSV: 1713082

Đề bài:

Các dòng lệnh:
a=[0 2 -4; -1 -4 5; 3 1 7;0 5 -10];
rank(a)
rank(a*a')
rank(a'*a)

9


Kết quả thu được: r(A) = r(AAT) = r(ATA) = 2

Sinh viên thực hiện:
Há tên: Nguyễn T¿n Luôn

MSSV: 1710184

Đề bài:

Các dòng lệnh:
A=[1 2 1;-1 1 -2] ;
B=[-1 2;0 2;-1 1];
C=[2 1 0;-1 1 1;0 2 -1];
a=2*A*C-(C*B)'

ā
Āÿ Ā
Kết quả thu được: a = (
)
2Āā 2�㗗 Ă

2.

PhÁn 2: Hệ phương trình:
Sinh viên thực hiện:
Há tên: Nguyễn Chí Bảo

MSSV: 1710590

Đề bài:

10


Các dòng lệnh:
A=[1 2 3 4; 2 1 2 3;3 2 1 2;4 3 2 1];
B=[1 2 3 4 7;2 1 2 3 6;3 2 1 2 7;4 3 2 1 18];
rank(A)
rank(B)
%r(A)=r(B) = 4=> hệ có nghiệm duy nh¿t

Kết quả thu được: Hệ có nghiệm duy nh¿t.

3.

PhÁn 3: Khơng gian vector:
Sinh viên thực hiện:
Há tên: Mai Thß Thanh Ngân

MSSV: 1712282

Đề bài:
Tìm h¿ng và họ con ĐLTT cực đ¿i của họ vecto M =
{(1,1,1,0), (1, 22,1,1), (2,1,2, 21)}

Các dòng lệnh:
>> M=[1 1 1 0;1 -2 1 1;2 1 2 -1];

>> rank(M)
>> rref(M)
11


>> %ho con DLLT cuc dai la (1,0,1,0) (0,1,0,0) (0,0,0,1)

Kết quả thu được: r(M) = 3, họ con ĐLTT cực đ¿i của M là

4.

PhÁn 4: Không gian Euclide:
Sinh viên thực hiện:
Há tên: Ngô Thái Thanh Thư

MSSV: 1710323

Đề bài:
4) Trong R3, cho tích vơ hưáng (x,y) = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3 – x1y3 – x3y1.
Tìm góc và khoảng cách giữa 2 vecto u = (1,1,2),v = (2,1,-1)
Các dòng lệnh:
>> A = [1 0 -1;0 2 0; -1 0 3];
>> u = [ 1 1 2];
v = [2 1 -1];
w=u-v;
goc = acos((u*A*v')/(norm(u)*norm(v)))
>> khoangcach = sqrt(w*A*w')

Kết quả thu được: goc(u,v) = 2,559 rad, d(u-v) = 5,831

5.

PhÁn 5: Ánh x¿ tuyến tính – trß riêng – vector riêng:
Sinh viên thực hiện:
Há tên: Phan Tráng Nhân

MSSV: 1712442

Đề bài:
12


2) Cho axtt f: R3 → R2, bi¿t f(1,1,0) = (2,-1), f(1,1,1) = (1,2), f(1,0,1) =
(- 1,1). Tìm f(2,0,3).
Các dịng lệnh:
>> E=[1 1 0; 1 1 1; 1 0 1];
>> E=E';
>> F = [2 0 3];
>> F = F';
>> x=inv(E)*F
f = (-1)*[ 2 -1] + 1*[1 2]+ 2*[-1 1]

Kết quả thu được: f(2,0,3) = (-3,5)

Cảm ơn cô đã xem và đánh già bài báo cáo của nhóm!

13