Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC

BÀI TOÁN GÁN PHỔ NHỊ PHÂN MŨ VÀ TUYẾN TÍNH
HĨA CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHƠNG ƠTƠNƠM

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2022


VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC

BÀI TOÁN GÁN PHỔ NHỊ PHÂN MŨ VÀ TUYẾN TÍNH
HĨA CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHƠNG ƠTƠNƠM

CHUN NGÀNH: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN
MÃ SỐ: 9 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

HÀ NỘI - 2022


i

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự

hướng dẫn cán bộ hướng dẫn khoa học Các kết quả viết chung đã
nhận
được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án Các kết quả, số
liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trên bất kỳ
cơng trình nào khác Các dữ liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ
NCS


ii

LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thiện tại Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học
và Cơng nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TSKH
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc
nhất đến Thầy
Trong suốt quá trình tác giả làm nghiên cứu sinh, thông qua các bài
giảng, hội nghị và sinh hoạt học thuật, tác giả luôn nhận được sự quan
tâm giúp đỡ cũng như những ý kiến đóng góp q báu của các thầy cơ
ở viện Tốn học Việt Nam Tác giả cũng xin chân thành cám ơn Trung
tâm Quốc tế Đào tạo và Nghiên cứu Toán học, Viện Tốn học đã hỗ trợ
kinh phí cho tác giả thơng qua đề tài nghiên cứu sinh của trung tâm
Tác
giả xin chân thành cảm ơn!
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo trường Đại học Xây
dựng
đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứu
sinh
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô, anh, chị em trong trong phịng
Phương trình vi phân và phịng Xác suất thống kê, Viện Toán học và
các

bạn bè đồng nghiệp đã luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả trong
quá trình học tập và nghiên cứu
Luận án này là món q tinh thần, tác giả xin kính tặng đến gia đình
thân u của mình với lịng biết ơn, yêu thương và trân trọng


iii

Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mở đầu

1

Bảng kí hiệu

8

1 Kiến thức chuẩn bị

9

1 1 Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình vi phân tuyến 9
tính
12
Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình sai phân
tuyến
tính

15

1 3 Hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian
1 3 1 Hệ điều khiển tuyến tính liên tục

18

1 3 2 Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc

20

18

2 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với
hệ số phụ thuộc thời gian

22

2 1 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục 23
2 1 1 Đặt bài toán và kết quả

24

2 1 2 Một số kết quả chuẩn bị

25

2 1 3 Chứng minh kết quả

29


iv

2 2 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến rời rạc
2 2 1 Đặt bài toán và kết quả

32

2 2 2 Một số kết quả chuẩn bị

33

2 2 3 Chứng minh kết quả

32

42

3 Định lý Sternberg cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm 47
3 1 Đặt bài tốn và phát biểu Định lý Sternberg cho phương
trình vi phân không ôtônôm

49

3 2 Làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ thành phần
không cộng hưởng
3 3 Hệ sai phân liên kết

52
57

3 3 1 Khái niệm hệ sai phân liên kết và một số tính
chất
3 3 2 C k tương đương của hệ sai phân liên kết
Hệ sai phân liên kết với hệ thuộc Oflat
k (A)
333

59
63

3 4 Phương pháp đường cho phương trình sai phân
3 5 Chứng minh Định lý Sternberg

57

66
71

Kết luận

80

Danh mục cơng trình khoa học của tác giả có liên quan đến
luận án
Bảng thuật ngữ

81
82


1

Mở đầu
1 Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài
Trong các thập niên gần đây hệ động lực khơng ơtơnơm, ở đó hệ có
các
yếu tố ngẫu nhiên hoặc phụ thuộc thời gian, được dùng để mơ hình
hóa
nhiều hiện tượng trong thực tế ở các lĩnh vực khác nhau như sinh học,
kinh tế,

(xem [21, 22]) Khi nghiên cứu các hệ này, chúng ta thường

quan tâm đến các dáng điệu tiệm cận của nghiệm của hệ Ở đây, một
số
khía cạnh quan trọng của lý thuyết định tính hệ động lực khơng
ơtơnơm
là lý thuyết tuyến tính, lý thuyết ổn định, lý thuyết đa tạp bất biến và
tuyến tính hóa, lý thuyết dạng chuẩn tắc và lý thuyết rẽ nhánh (xem
[21])
Năm 1978, R Sacker và G Sell đã phát triển lý thuyết phổ nhị phân

mũ cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm hay được gọi là phổ
Sacker
- Sell (xem [34, 36]) Cho đến nay phổ nhị phân mũ là một trong những
công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết định tính của
phương
trình vi phân khơng ơtơnơm Cụ thể, trong lý thuyết ổn định, nghiệm
tầm thường của phương trình phi tuyến là ổn định mũ nếu phổ nhị
phân
mũ của phương trình tuyến tính tương ứng là âm (xem [7]) Điều kiện
tách phổ phù hợp của hệ tuyến tính cũng kéo theo sự tồn tại các đa
tạp


bất biến trơn của hệ phi tuyến tương ứng (xem [2]) Trong [26], Palmer


2

đã mở rộng định lý tuyến tính hóa Hartman-Grobman cho phương trình
vi phân khơng ơtơnơm với điều kiện đủ là 0 khơng thuộc phổ nhị phân
mũ của hệ tuyến tính Sử dụng cấu trúc của phổ nhị phân mũ và xây
dựng các điều kiện cộng hưởng phù hợp, Siegmund xây dựng định lý
về
dạng chuẩn tắc cho phương trình vi phân không ôtônôm trong [37]
Gần
đây dựa trên sự hiểu biết về sự thay đổi của cấu trúc phổ nhị phân mũ
vào tham s, cỏc tỏc gi Păotzsche v Rasmussen trong [30, 32] xây
dựng
và phân tích nhiều hiện tượng rẽ nhánh khác nhau cho phương trình vi
phân khơng ơtơnơm Cuối cùng, các phương pháp số để tính tốn số

mũ
nhị phân cũng được phát triển (xem [14, 24]) và các tài liệu tham khảo
liên quan
Do sự quan trọng của phổ nhị phân mũ trong lý thuyết định tính
phương trình vi phân khơng ơtơnơm nên chúng tơi chọn và nghiên cứu
một số khía cạnh liên quan đến phổ nhị phân mũ Cụ thể, trước hết
chúng
tơi nghiên cứu bài tốn gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến
tính khơng ơtơnơm Ở đây hệ điều khiển tuyến tính khơng ơtơnơm
được
cho bởi hai dạng sau:
Dạng vi phân:
x˙ (t) = A(t)x(t) +
B(t)u(t),

t ∈ R,

với A(t), B(t) là các hàm ma trận liên tục từng khúc và u(t) là hàm
điều khiển Trong trường hợp hàm điều khiển được xây dựng có dạng
u(t) = F (t)x(t) , trong đó F (t) là hàm ma trận liên tục từng khúc, chúng
ta thu được phương trình vi phân tuyến tính có dạng
x˙ (t) = (A(t) + B(t)F (t))x(t)


Một câu hỏi quan trọng được đặt ra là:


3

Câu hỏi 1a: Đối với hệ điều khiển vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm liệu

ta có thể tìm được hay khơng một điều khiển phản hồi tuyến tính phù
hợp để gán phổ nhị phân mũ cho hệ này?
Dạng sai phân:
xn+1 = Anxn + Bnun,

n ∈ Z,

với (An) là dãy ma trận bị chặn và khả nghịch bị chặn, (B n) là dãy ma
trận bị chặn và (un) là dãy điều khiển Trong trường hợp dãy điều khiển
được xây dựng có dạng un = Unxn, chúng ta thu được phương trình sai
phân tuyến tính
xn+1 = (An + BnUn) xn
Một câu hỏi quan trọng được đặt ra là:
Câu hỏi 1b: Đối với hệ điều khiển sai phân tuyến tính khơng ơtơnơm
liệu ta có thể tìm được hay khơng một điều khiển phản hồi tuyến tính
phù hợp để gán phổ nhị phân mũ cho hệ này?
Song song với bài toán gán phổ nhị phân mũ chúng tôi nghiên cứu
về
ứng dụng của phổ nhị phân mũ trong lý thuyết tuyến tính hóa Nhắc lại
rằng, một trong những định lý quan trọng trong lý thuyết tuyến tính
hóa
là Định lý Hartman Grobman và được mở rộng cho phương trình vi
phân
khơng ơtơnơm (xem [26]) Nội dung chính của định lý này nói rằng tại
xung quanh điểm cân bằng hyperbolic thì dịng sinh bởi phương trình
vi
phân khơng ơtơnơm sẽ tương đương động lực với một phương trình
tuyến
tính Cụ thể, xét phương trình vi phân khơng ơtơnơm
x˙ (t) = A(t)x(t) + f (t,

x),

t ∈ R,


trong đó A(t) là ma trận hàm liên tục và hàm f (t, x) liên tục, bị chặn


4

thỏa mãn f (t, 0) = 0 và
||f (t, x1) − f (t, x2)|| ≤ L||x1 − x2||,
với mọi t, x, x1, x2 Giả sử phương trình tuyến tính
x˙ (t) = A(t)x(t),
là hyperbolic (có tính nhị phân mũ), khi đó tồn tại một đồng phôi H (t,
x)
trong lân cận của điểm cân bằng tầm thường x = 0 sao cho nếu x(t) là
một nghiệm bất kì của phương trình trên thì H (t, x(t)) sẽ là nghiệm
của
phương trình tuyến tính
x˙ (t) = A(t)x(t)
Câu hỏi được đặt ra là:
Câu hỏi 2: Tính trơn của phép biến đổi H là như thế nào?
2 Mục tiêu nghiên cứu
Trong luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu các chủ điểm sau
trong lý thuyết của phương trình vi phân khơng ơtơnơm:
(i) Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ
thuộc thời gian
(ii) Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn cho hệ phương trình vi
phân

khơng ơtơnơm
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Với các mục tiêu đặt ra như trên, trong luận án này chúng tôi nghiên
cứu các nội dung sau:


5

Nội dung 1 Điều kiện cần và đủ để gán phổ nhị phân mũ cho hệ
điều khiển tuyến tính có hệ số phụ thuộc thời gian
Nội dung 2 Xây dựng điều kiện đủ về tách phổ cho tuyến tính hóa
trơn của phương trình vi phân khơng ơtơnơm

4 Phương pháp nghiên cứu
Xuất phát từ mục tiêu của đề tài nghiên cứu, các phương pháp
nghiên
cứu được sử dụng như sau:
· Để trả lời cho Câu hỏi 1a và Câu hỏi 1b trước hết chúng tơi sẽ
phân tích những cấu trúc phổ nhị phân mũ của hệ phương trình
tuyến
tính phụ thuộc vào thời gian Sau đó chúng tơi sẽ đi tìm ra những
dạng chuẩn tắc của hệ dưới một phép biến đổi tương đương Cuối
cùng chúng tơi đi tính phổ của các hệ ở dạng chuẩn tắc đó để tìm
điều kiện sao cho hệ điều khiển tuyến tính của chúng ta là gán
được
phổ nhị phân mũ
· Đối với Câu hỏi 2 chúng tôi xây dựng và chứng minh Định lý Sternberg cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm Để chứng minh định
lý này chúng tôi làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ các
thành
phần không cộng hưởng của hệ phi tuyến Sau đó chúng tơi dùng

phương pháp đường mở rộng để chứng minh kết quả
5 Kết quả của luận án
Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:


6

· Đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính liên tục là
gán được phổ nhị phân mũ
· Đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính rời rạc là
gán
được phổ nhị phân mũ
· Đưa ra một phiên bản của Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn
cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm
Các kết quả chính của luận án được cơng bố trong 04 bài
báo trên các tạp chí quốc tế có uy tín và đã được báo cáo tại:

1 Xêmina của Phịng Phương trình vi phân, Viện Tốn học, Viện Hàn
lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
2 Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX (14-18/8/2018), Nha Trang
3 Hội thảo Tối ưu và tính tốn Khoa học lần thứ 18 (20-22/8/2020),
Hòa
Lạc, Hà Nội
4 Hội nghị đánh giá kết quả làm việc của nghiên cứu sinh các năm
2017, 2018, 2019, 2020, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và
Cơng
nghệ Việt Nam
5 Xêmina của Bộ mơn Tốn, Khoa Cơng nghệ Thông tin, Trường Đại
học Xây dựng

6 Bố cục của luận án
Ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục cơng trình khoa học của tác
giả có liên quan đến luận án và Tài liệu tham khảo, luận án có ba
chương


7

Trong Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị, bao
gồm định nghĩa và một số kết quả về cấu trúc phổ nhị phân mũ, hệ
điều
khiển tuyến tính phụ thuộc thời gian dưới dạng vi phân và sai phân,
tính
điều khiển được đều
Trong Chương 2, chúng tơi nghiên cứu một số vấn đề về bài toán gán
phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển phụ thuộc thời gian Trong chương
này chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để gán phổ nhị phân mũ cho
hệ
điều khiển tuyến tính có hệ số phụ thuộc vào thời gian
Trong Chương 3, chúng tôi xây dựng Định lý Sternberg về tuyến tính
hóa trơn cho phương trình phân khơng ơtơnơm


8

Bảng kí hiệu
N

Tập hợp các số tự nhiên

N∗

Tập hợp các số tự nhiên khác 0

Z

Tập hợp các số nguyên

R

Tập hợp các số thực

R+

Tập hợp các số thực không âm

R−

Tập hợp các số thực khơng dương

L∞(J, Rd×d)

Tập tất cả các ma trận hàm nhận giá trị trong
Rd×d đo được và bị chặn trên J, với J = R, R+

L∞(Z, Rd×s)

Tập hợp các dãy ma trận trong Rd×s bị chặn

LLya(Z, Rd×s)

Tập hợp các dãy ma trận trong Rd×s bị chặn
và khả nghịch bị chặn

KCd,m(J)

Tập tất cả các ma trận hàm nhận giá trị trong
Rd×m bị chặn và liên tục từng khúc trên J

C k(Rd)

{f : Rd → Rd là các hàm C k khả vi}

Dif k(Rd)

{f ∈ C k(Rd) : f −1 tồn tại và f −1 ∈ C k(Rd)}

Dif k0 (Rd)

{f ∈ Dif k(Rd) : f (0) = 0}

ΣJED(A)

Phổ nhị phân mũ của hệ x˙ = A(t)x trên J


9

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khái niệm và cấu trúc phổ nhị
phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính (Mục 1 1) và cho phương
trình sai phân tuyến tính (Mục 1 2) Mục 1 3 được dành để giới thiệu hệ
điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian và các đặc trưng
cho
tính điều khiển được đều của hệ
11

Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình vi phân tuyến
tính

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm có dạng:
x˙ = A(t)x,

t ∈ J,

(1 1)

trong đó J ở đây có thể là R+ (thời gian một phía dương), R− (thời gian
một phía âm) hoặc R (thời gian hai phía) và A : J → R d×d là ánh xạ đo
được và thỏa mãn
M := ess sup ||A(t)|| < ∞
t∈J

Ta kí hiệu ΦA( , ) : J × J → Rd×d là tốn tử tiến hóa của (1 1), tức là
ΦA( , s)ξ là nghiệm của bài toán (1 1) với điều kiện ban đầu x(s) = ξ


10

Trước khi trình bày khái niệm về phổ nhị phân mũ, chúng tôi giới thiệu
về khái niệm nhị phân mũ (xem [13])
Định nghĩa 1 1 (Nhị phân mũ) Hệ (1 1) được gọi là có nhị phân mũ
trên J nếu tồn tại các hằng số K ≥ 1, α > 0 và một họ các phép chiếu
bất biến P : J → Rd×d, t → P (t) tức là
P (t)ΦA(t, s) = ΦA(t, s)P (s) với t, s ∈ J,
thỏa mãn
||Φ(t, s)P (s)|| ≤ Ke−α(t−s) với t ≥ s, s, t ∈ J,

(1 2)

||Φ(t, s) (I − P (s)) || ≤ Keα(t−s) với t ≤ s, s, t ∈ J

(1 3)

và

Dựa trên khái niệm nhị phân mũ, ta có khái niệm phổ nhị phân mũ
như sau (xem [36])
Định nghĩa 1 2 (Phổ nhị phân mũ) Phổ nhị phân mũ của (1 1) trên J
là tập
ΣJED(A) = {γ ∈ R : x = (A(t) − γI ) x khơng có nhị phân mũ trên J}
và tập dải thức ρ(A) = J\ΣJED(A) là phần bù của phổ ΣJED(A)
Chú ý 1 3 Để thuận tiện trong trình bày, ta sử dụng thêm các kí hiệu
sau:
R

R

R

R

Σ+ED(A) := ΣED+ (A), Σ−ED(A) := ΣED− (A) và Σ±ED(A) := ΣED+ (A) ∪ ΣED− (A)
Sau đây chúng ta tính tốn phổ nhị phân mũ cụ thể cho phương trình
tuyến tính khơng ơtơnơm một chiều


11

Hệ quả 1 4 (Phổ nhị phân của phương trình tuyến tính phụ thuộc thời
gian một chiều) Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ở dạng
x˙ = m(t)x,

(1 4)

trong đó m : J → R là hàm đo được và bị chặn Khi đó hệ (1 4) có nhị
phân mũ khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau thỏa mãn
a := lim
inf

t

1
t−s

t−s→∞

m(τ )dτ > 0,

(1 5)

m(τ )dτ < 0

(1 6)

s

hoặc
1
b := lim sup
t−s→∞ t − s

t

s

Hơn nữa phổ nhị phân mũ của hệ (1 4) được cho bởi Σ JED(m) = [a, b]
Chứng minh Toán tử tiến hóa của hệ (1 4) là
t

Φm(t, s) = exp  m(τ )dτ  với s, t ∈ J
s

(⇒) Giả sử hệ (1 4) có nhị phân mũ với phép chiếu bất biến P : J → R
và các hằng số K > 1, α > 0 Do tính bất biến của P nên ta có P (s) ≡ 1
hoặc P (s) ≡ 0 Ta xét sau đây hai trường hợp:
Trường hợp P (s) ≡ 1, từ (1 2) ta có
t



Φm(t, s) = exp  m(τ )dτ  ≤ Ke−α(t−s),
s

do đó

t

1
t−s

m(τ )dτ ≤

log K
− α,
t−s

s

với mọi s ≤ t, t, s ∈ J Lấy giới hạn trên khi t − s → ∞ ta nhận được
(1 6) Đối với trường hợp P (s) ≡ 0 bằng cách chứng minh tương tự và
sử
dụng (1 3) ta cũng nhận được (1 5)


12

(⇐) Giả sử điều kiện (1 5) thỏa mãn Ta cố định δ > 0 sao cho α − δ >

0,
theo định nghĩa của giới hạn dưới tồn tại ∆ > 0 sao cho
t

1
t−s

m(τ )dτ ≥ a − δ,
s

và





1
exp  t − s

m(τ )dτ  ≥ e(t−s)(a−δ),
s

với mọi t − s > ∆, t, s ∈ J Do m bị chặn nên tồn tại một hằng số K > 0
sao cho





exp 

m(τ )dτ  ≥ Ke(t−s)(a−δ),

s

với mọi t, s ∈ J, t ≥ s Điều đó có nghĩa là (1 4) có nhị phân mũ với
phép chiếu P (s) ≡ 0 Bằng cách chứng minh tương tự với (1 6) ta suy
ra
được (1 4) có nhị phân mũ với phép chiếu P (s) ≡ 1
Phổ nhị phân mũ của (1 4) là tập ΣJED(m) = [a, b] được suy ra trực
tiếp từ chứng minh trên và định nghĩa của phổ nhị phân mũ (Định
nghĩa
1 2)
Sau đây chúng tôi giới thiệu định lý về cấu trúc của phổ nhị phân mũ
cho hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm và phân hoạch
tương ứng
Định lý 1 5 (Định lý phổ nhị phân mũ) Phổ nhị phân mũ Σ JED(A) của
hệ (1 1) là hợp của tối đa d đoạn đóng rời nhau, tức là
ΣJED(A) = [a1, b1] ∪ [a2, b2] ∪
trong đó a1 ≤ b1 < a2 ≤ b2 ≤

∪ [aℓ, bℓ],

< aℓ ≤ bℓ với ℓ ≤ d Hơn nữa, trong

trường hợp J = R ta có phân hoạch Rd thành tổng trực tiếp của các
không


13

gian véc tơ con
Rd = W1(s) ⊕ W2(s) ⊕

⊕ Wℓ(s)

sao cho với mọi ε > 0 tồn tại hằng số K > 1 thỏa mãn với mọi ξ ∈ Wi(s)
và t ≥ s, t, s ∈ J ta ln có
1 e(t−s)(ai−ϵ) ≤ ||ΦA(t, s)ξ|| ≤ Ke(t−s)(bi+ϵ)
K
Chứng minh (Xem trong [36, Theorem 3])
Trong phần còn lại của mục này, ta sẽ nhắc lại hai kết quả quan
trọng
có liên quan đến phổ nhị phân mũ của (1 1) Kết quả đầu tiên là về
chéo
hóa hệ thành các khối mà mỗi khối sẽ tương ứng với một đoạn phổ Để
phát biểu kết quả này, ta cần khái niệm tương đương giữa hai hệ như
sau:
Định nghĩa 1 6 (Tương đương tiệm cận1) Hai hệ
x˙ = M (t)x,

y˙ = N (t)y,

với M, N ∈ KC n,n(J), được gọi là tương đương tiệm cận nếu tồn tại họ
phép biến đổi tuyến tính, khả nghịch và trơn T : J → R n×n sao cho T,
T −1, T˙ là bị chặn và
T˙ (t) = N (t)T (t) − T (t)M (t) với t ∈ J
Phép biến đổi T được gọi là phép biến đổi Lyapunov
Định lý 1 7 (Chéo hóa) Xét hệ (1 1), ta kí hiệu phổ nhị phân mũ của
hệ (1 1) là tập

ΣJED(A) = [a1, b1] ∪ [a2, b2] ∪
1Khái

niệm tương đương tiệm cận này được gọi là tương đương động lực (xem [38])

∪ [aℓ, bℓ],


14

trong đó a1 ≤ b1 < a2 ≤ b2 ≤

< aℓ ≤ bℓ với ℓ ≤ d Khi đó tồn tại một

phép biến đổi Lyapunov T sao cho hệ (1 1) và hệ chéo khối




B (t)

 1
y˙ = 


Bℓ(t)



 y,



là tương đương tiệm cận Hơn nữa
ΣJED(B1) = [a1, b1],

, ΣJED(Bℓ) = [aℓ, bℓ]

Chứng minh (Xem trong [38])
Phần cuối của mục này được dành để trình bầy một số kết quả về
phổ
nhị phân mũ của hệ chéo khối, hệ tam giác trên
Định lý 1 8 (Phổ nhị phân mũ của hệ tuyến tính có cấu trúc dạng khối
tam giác trên) Xét hệ phương trình vi phân có dạng tam giác trên ở
dạng
khối


x˙ = W (t)x, với W (t) = 

X (t)

Z (t)

0

Y (t)


,

trong đó X : R → Rk×k, Y : R → R(d−k)×(d−k), Z : R → Rk×(d−k) đo được
và bị chặn Khi đó,
Σ±ED(X ) ∪ Σ±ED(Y ) ⊂ ΣED(W ) ⊂ ΣED(X ) ∪ ΣED(Y )
Chứng minh (Xem trong [8, Section 4])
Từ định lý trên, ta thu được hệ quả sau về phổ nhị phân mũ cho hệ
phương trình vi phân tuyến tính dạng tam giác trên
Hệ quả 1 9 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính
x˙ = U (t)x,

(1 7)


15

trong đó U ∈ L∞(J, Rd×d) và U (t) = (uij (t))d≤i,j ≤d là ma trận tam giác
trên với mọi t ∈ J Ta kí hiệu ΣJED(U ) là phổ nhị phân mũ của hệ (1 7)
và ΣJED(uii) là phổ nhị phân mũ của hệ
x˙ i = uii(t)xi với i = 1, 2,

d

i) Nếu J = R+ hoặc J = R− thì
d

ΣJED(U ) =

ΣJED(uii)
i=1

ii) Nếu J = R thì

d

ΣRED(U ) ⊂

ΣRED(uii)
i=1

Chứng minh i) (Xem [8, Theorem 5 5])
ii) (Xem [15, Proposition 5])

12

Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình sai phân tuyến
tính

Trong mục này chúng tơi giới thiệu khái niệm phổ nhị phân mũ cho
phương trình sai phân tuyến tuyến khơng ơtơnơm Trước hết ta đưa ra
một số kí hiệu sau:
T = Z (thời gian hai phía) hoặc T = Z≥0 (thời gian một phía)
L∞(Z, Rd×s) là tập hợp các dãy ma trận trong Rd×s bị chặn
LLya(Z, Rd×d) là tập hợp các dãy ma trận trong Rd×d bị chặn và khả
nghịch bị chặn


16

Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính khơng ơtơnơm có dạng
xn+1 = Anxn

với n ∈ T,

(1 8)

trong đó T = Z hoặc T = Z≥0 và A = (An)n∈T ∈ LLya(T, Rd×d) Tốn
tử tiến hóa của (1 8) được cho bởi ΦA(·, ·) : T × T → Rd×d, (m, n) →
ΦA(m, n), trong đó

ΦA(m,
n) :=


 Am An+1,




id,




 A−1
An−1,
m+1

nếu m > n,
nếu m = n,
nếu m < n

Khi đó ΦA(m, n)ξ là nghiệm của (1 8) với điều kiện ban đầu x n = ξ,
trong
đó m, n ∈ T và ξ ∈ Rd Tương tự như Mục 1 1 chúng ta cũng có khái
niệm nhị phân mũ cho hệ sai phân tuyến tính (1 8)
Định nghĩa 1 10 (Nhị phân mũ) Hệ (1 8) được gọi là có nhị phân mũ
trên T nếu tồn tại các hằng số K ≥ 1, α > 0 và một họ các phép chiếu
bất biến (Pn)n∈T trong Rd×d tức là
PmΦA(m, n) = ΦA(m, n)Pn với m, n ∈ T,
thỏa mãn
||ΦA(m, n)Pn|| ≤ Ke−α(m−n) với m ≥ n, m, n ∈ T,

(1 9)

||ΦA(m, n) (I − Pn)) || ≤ Keα(m−n) với m ≤ n, m, n ∈ T

(1 10)

và

Định nghĩa 1 11 (Phổ nhị phân mũ) Phổ Nhị phân mũ của (1 8) trên
T là tập
ΣTED(A) = {γ ∈ R : xn+1 = e−γ
A nx n

khơng có nhị phân mũ trên T}