Hướng dẫn giải đề thi thử đại học số 2 2013 - môn toán

Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Phan Huy Khải
Hướng dẫn giải ñề thi thử ñại học số 02

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-




ðÁP ÁN, THANG ðIỂM ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC SỐ 2 NĂM 2012
Câu ðáp án ðiểm
I
1) Txñ: D=R\{1}
2 1
lim 2
1
x
x
x
→±∞
−
=
−
⇒
y = 2 là ñường tiệm cận ngang.
1 1
2 1 2 1
lim ; lim
1 1

x x
x x
x x
+ −
→ →
− −
= +∞ = −∞
− −
⇒
x =1 là ñường tiệm cận ñứng
( )
2
1
' 0
1
y
x
= − <
−
với mọi x
D
∈

Bảng biến thiên:
x -
∞
1 +
∞

y' - -

y
2 +
∞


-
∞
2

Hàm số nghịch biến trên khoảng:(-
∞
;1) và (1;+
∞
)
Hàm số không tồn tại cực trị
Khi x = 0
⇒
y =1; x = -1
⇒
7 5 77 0
x y z
+ − − =
3
2
y
=

ðồ thị hàm số nhận ñiểm I(1;2) là tâm ñối xứng

2)
Phương trình ñường thẳng d
1
:
1 7
3 3
y x
= − +

Vì A, B ñối xứng qua d
1
⇒
m = 3 (do khi ñó d
⊥
d
1
)
Vậy phương trình ñường thẳng d:y = 3x + n
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của d và (C) là:

2 1
3
1
x
x n
x
−
= +
−

ñiều kiện x
≠
1
0,25 ñ





0,25 ñ




0,25 ñ










0,25 ñ

0,25 ñ

HƯỚNG DẪN GIẢI ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC SỐ 02
MÔN: TOÁN
Giáo viên: PHAN HUY KHẢI
Thời gian làm bài: 180 phút

Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Phan Huy Khải
Hướng dẫn giải ñề thi thử ñại học số 02

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-



(
)
2
3 5 1 0
x n x n
⇔ + − − + =
(1)

ðể d cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt A, B ta có ñiều kiện
( ) ( )
2
5 12 1 0
3 5 1 0
n n
n n

∆ = − − − >


+ − − − ≠


ñúng với mọi n
Gọi tọa ñộ ñỉnh A(x
A
;3x
A
+ n), B(x
B
;3x
B
+ n)
⇒
tọa ñộ trung ñiểm của ñoạn thẳng
AB là
(
)
3

;
2 2
A B
A B
x x
x x
I n
+
 
+
+
 
 
, theo ñịnh lí viet ta có:
5
3
A B
n
x x
−
+ =
tọa ñộ
ñiểm
5 5
;
6 2
n n
I
− +
 

 
 
, vì A, B ñối xứng qua d
1

⇒
I
∈
d
1
⇒
n = -1
Vậy phương trình ñường thẳng d:y =3x-1






0,25 ñ



0,25 ñ

0,25 ñ
II
1)
Giải phương trình:
4 4 2

2 2
sin os sin 2 1 os2
cot 2 os2 cot 2
1 os2 2
x c x x c x
xc x x
c x
+ + +
− = +
−
(1)
ðiều kiện:
sin 2 0 ,
2
x x k k Z
π
≠ ⇔ ≠ ∈

(1)
⇔
( )
( )
2
2
2 sin 2 1
cot 2 1 os2 0
2 1 os2 2
x
x c x
c x

+
 
− + + =
 
−
 

os4 1
c x
⇔ =

2
x n
π
⇔ = ,n
∈
Z(loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
2)
Giải phương trình:
( )
3 2 2
8 13 6 6 3 5 5 0
x x x x x x
− + + + − − + =
(1)
ðk:
2
5 5 0
x x

− + ≥

Từ (1)
( )
(
)
( )
2 2
3 5 2 6 3 5 5 0
x x x x x x
⇒ − − − + − − + =


2 2
3
5 2 6 5 5 0 (2)
x
x x x x
=

⇔

− − + − + =



Giải (2): ñặt
2
5 5
x x

− +
= t, ñiều kiện t
≥
0
( )
2
1
2 6 7 0
7
t
t t
t
=

⇔ + − = ⇔

= −


Với t =1
⇒
2
5 5
x x
− +
=1
1
4
x
x

=


=

(thỏa mãn ñiều kiện)
Vậy phương trình có hai nghiệm
x
=1 và
x
= 4




0,25 ñ


0,5 ñ



0,25 ñ




0,25 ñ

0,25 ñ



0,25 ñ



0,25 ñ

III
Tính :

(loại)
(loại)
(thỏa mãn)
Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Phan Huy Khải
Hướng dẫn giải ñề thi thử ñại học số 02

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-


2 2 2
0 0 0
1 cos
cos cos

2 3sin 1 2 3sin 1
x
I x x dx dx x xdx
x x
π π π
 
= + = +
 
+ + + +
 
∫ ∫ ∫

2
1
0
cos 2 3
1 2ln
3 4
2 3sin 1
x
I dx
x
π
 
= = +
 
+ +
 
∫

2 2
2
2
0
0 0
cos sin sin x 1
2
I x xdx x x dx
π π
π
π
= = − = −
∫ ∫

1 2
4 3 1
ln
3 4 2 3
I I I
π
= + = + −

0,25 ñ


0,25 ñ


0,25 ñ

0,25 ñ

IV
Gọi I là trung ñiểm AD, K là hình chiếu của B
xuống B’I, vì A= 60
0
⇒

∆
ABD ñều cạnh a.
( )
'
'
BI AD
BIB AD
BB AD
⊥

⇒ ⊥

⊥



0
' 30
B IB⇒ =
Mà
3

2
a
BI =
=>
0
' .tan 30
2
a
BB BI
= =

Diện tích ñáy ABCD là:

2
3
2
2
ABCD ABD
a
S S= = (ñvdt)
Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là

3
3
'.
4
ABCD
a
V BB S= = (ñvtt)
Do BC//AD

⇒
BC//(B’AD)
⇒
khoảng cách từ BC tới mặt phẳng (B’AD) bằng
khoảng cách từ B tới (B’AD).
Vì
( )
'
'
BK B I
BK B AD
BK AD
⊥

⇒ ⊥

⊥


Xét
∆
B’BI vuông tại B ta có
2 2 2
1 1 1 3
' 4
a
BK
BK BI BB
= + ⇒ =

Vậy khoảng cách từ ñường thẳng BC tới (B’AD) bằng
3
4
a
.









0,25 ñ



0,25 ñ




0,25 ñ

0,25 ñ

V
ðặt
; ; 2( ) 1
a b x b c y a c z x y z a b c
+ = + = + = ⇒ + + = + + =

xy yz zx
P
xy z yz x zx y
=> = + +
+ + +

Ta có
( ) ( )( )
xy xy xy
xy z xy z x y z x z y z
= =
+ + + + + +

0,25 ñ



0,25 ñ

I
B
A

B'
A'
D
D'
C
C'
K
Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Phan Huy Khải
Hướng dẫn giải ñề thi thử ñại học số 02

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-


1
.
2
xy x y x y
xy z x z y z x z y z
 
⇒ = ≤ +
 
+ + + + +
 
(1)
Chứng minh tương tự
1
.

2
yz y z y z
yz x y x z x y x z x
 
= ≤ +
 
+ + + + +
 
(2)
1
.
2
zx z x z x
zx y z y x y z y x y
 
= ≤ +
 
+ + + + +
 
(3)
Lấy (1)+(2)+(3) ta ñược:
3
2
P
≤
=> P
Max
=
3
2

khi a = b = c =
1
6







0,25 ñ



0,25 ñ
Phần riêng
A. Theo chương trình chuẩn
VI.a
1) Tọa ñộ ñiểm D là:
3 0 0
2 0 0
x y x
x y y
− = =
 
⇔
 
− = =
 
⇒

D(0;0)
≡
O
Vectơ pháp tuyến của ñường thẳng
AD và BD lần lượt là
(
)
(
)
1 2
3; 1 , 1; 2
n n
− −
 

⇒
( )

0
1
os 45
2
c ADB ADB= ⇒ =

⇒
AD=AB (1)
Vì góc giữa ñường thẳng BC và AB bằng
45
0


BCD
⇒
= 45
0

⇒

∆
BCD vuông cân tại B
⇒
DC = 2AB
Theo bài ra ta có:
( )
2
1 3.
24
2 2
ABCD
AB
S AB CD AD
= + = =

⇒
AB = 4
⇒
BD =
4 2

Gọi tọa ñộ ñiểm

;
2
B
B
x
B x
 
 
 
, ñiều kiện x
B
>0
⇒

2
2
8 10
5
4 2
2
8 10
5
B
B
B
B
x
x
BD x
x


= −

 

= + = ⇔
 

 
=




Tọa ñộ ñiểm
8 10 4 10
;
5 5
B
 
 
 
 

Vectơ pháp tuyến của BC là
(
)
2;1
BC
n =



⇒
phương trình ñường thẳng BC là:
2 4 10 0
x y
+ − =


2) Mặt cầu (S) có tâm I(2; -1; 3) bán kính R=5
Vectơ pháp tuyến của (P):
( )
(
)
2;3; 2
P
n
= −








0,25 ñ

0,25 ñ







0,25 ñ







0,25 ñ


B
D
C
A
(thỏa mãn)
(loại)
Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Phan Huy Khải
Hướng dẫn giải ñề thi thử ñại học số 02

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-


Vectơ chỉ phương của d:
(
)
3;1;5
u


Vectơ pháp tuyến của (Q):
( ) ( )
(
)
17; 16; 7
Q P
n n u
= ∧ = − −
  
vì (Q)
⊥
(P); (Q)//d
Gọi phương trình mặt phẳng (Q) có dạng:
17 16 7 0
x y z D
− − + =

Theo bài ra ta có:
( )
( )
2 2 2
15 66 29
34 16 21
; 5
17 16 7
15 66 29
D
D
d I Q
D

= −
+ − +
= = ⇔

+ +
= − −



Phương trình mặt phẳng (Q):
17 16 7 15 66 29 0
x y z
− − + − =
hoặc
17 16 7 15 66 29 0

x y z
− − − − =


0,25 ñ


0,25 ñ


0,5 ñ


VII.a

3 2
5 16 30 0
z z z
− + − =

có 3 nghiệm là:
1 2 3
3; 1 3 ; 1 3
z z i z i
= = + = +

⇒
2 2 2
1 2 3
7

A z z
= + + = −


0,5 ñ
0,5 ñ

B. Theo trương trình nâng cao
VI.b
1) Phương trình ñường tròn có tâm I(1;-2) bán kính R=3, từ A kể ñược hai tiếp
tuyến AB, AC tới ñường tròn và AB
⊥
AC
⇒
tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3
⇒
IA=
3 2
. ðể ñiểm A duy nhất
⇒

ñường thẳng IA vuông góc với d ta có:
( )
5
1
; 3 2
7
2
m
m

d I d
m
= −
−

= = ⇔

=


2) Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) ñi qua A và (P)//d, khi ñó
khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H ñến (P).
Giả sử ñiểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH
≥
HI
⇒
HI lớn nhất khi A
≡
I
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng ñi qua A và nhận
AH

là vectơ pháp tuyến
(
)
1 2 ; ;1 3
H d H t t t
∈ ⇒ + +
vì H là hình chiếu của A trên d nên
Vectơ chỉ phương của d là:

(
)
2;1;3
u =


(
)
(
)
0 4;1;4 7; 1;5
AH d AHu H AH⊥ ⇒ = ⇒ ⇒ − −
  

Phương trình mặt phẳng (P):
7 5 77 0
x y z
+ − − =


0,5 ñ


0,5 ñ




0,5 ñ

0,5 ñ

VII.b

ðiều kiện:
2
4 0
mx x m
+ + >
ñúng với
x R
∀ ∈


2
0
2
4 0
m
m
m
>

⇔ ⇔ >

∆ = − <

(1)

(
)
(
)
2 2
5
1 log 1 log 4
x mx x m
+ + ≥ + +
(
)
2
5 4 5 0
m x x m
⇔ − − + − ≥
ñúng với
x R
∀ ∈

2
5
5 0
3
0
10 21 0
m
m
m
m m
<

− >


⇔ ⇔ ⇔ ≤
 
∆ ≤
− + − ≤


(2)
Từ (1), (2)
⇒
bất phương trình ñúng với
x R
∀ ∈
khi m=3

0,25 ñ


0,25 ñ

0,25 ñ

0,25 ñ


Giáo viên : Phan Huy Khải
Nguồn :
Hocmai.vn