Phương trình vi phân trong mặt phẳng phức và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

VÕ THỊ BÍCH NGỌC

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MẶT
PHẲNG PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - 2021


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

VÕ THỊ BÍCH NGỌC

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MẶT
PHẲNG PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Lê Hải Trung

Đà Nẵng - 2021








MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Dẫn nhập về số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Dạng đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Các phép tính về số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3. Biểu diễn hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4. Mođun và argumen của số phức z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5. Dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.6. Toạ độ của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.7. Dạng mũ của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.8. Mặt cầu Rieman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Hàm một biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Các khái niệm liên quan đến tô pô trên mặt phẳng phức
10
1.2.2. Định nghĩa hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Phép tính vi phân của hàm phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1. Giới hạn hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2. Hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3. Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.4. Điều kiện khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.5. Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20


1.3.6. Hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.7. Quan hệ giữa hàm giải tích và hàm điều hoà . . . . . . . . 22
1.4. Tích phân của hàm phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.1. Tích phân đường của hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.2. Định lý Cauchy cho miền đơn liên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.3. Định lý Cauchy cho miền đa liên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.4. Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
1.4.5. Công thức Newton-Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.6. Cơng thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.7. Đạo hàm cấp cao của một hàm giải tích . . . . . . . . . . . . 33
1.5. Dẫn nhập về chuỗi hàm phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.1. Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
1.5.2. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5.3. Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.4. Chuỗi Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.5. Điểm kì dị của hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MẶT
PHẲNG PHỨC VÀ ỨNG DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2. Phương pháp Frobenius cho phương trình vi phân cấp hai và ứng
dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.1. Phương pháp Frobenius cho phương trình vi phân cấp hai
trong mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.2. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giải tích phức là một trong những ngành cổ điển của toán học, bắt
nguồn từ khoảng thể kỷ 19 và thậm chí có thể là trước đó. Một số nhà
tốn học nổi tiếng nghiên cứu lĩnh vực này như : Euler, Gauss, Riemann,
Cauchy, Weierstrass và nhiều nhà toán học khác ở thế kỷ 20. Giải tích
phức, đặc biệt là phương trình vi phân trong miền phức có nhiều ứng
dụng trong cơ khí, lý thuyết số giải tích, động lực phức. . . Vì thế nó đang
được nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ theo cả lý thuyết và ứng dụng. Từ
thế kỷ 17, nhiều nhà tốn học đã đóng góp cho lý thuyết về vi phân. Cũng
trong thời kỳ này, khái niệm vi phân được khái qt hóa trong khơng gian
Euclide và mặt phẳng phức. Với mong muốn nghiên cứu về phương trình
vi phân trong mặt phẳng phức và các ứng dụng của nó cùng với sự gợi ý
và hướng dẫn khoa học từ TS Lê Hải Trung, tôi quyết định chọn đề tài :
“Phương trình vi phân trong mặt phẳng phức và ứng dụng” cho luận văn
thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Trong luận văn này, chúng tôi tiến hành nghiên cứu những vấn đề sau
đây:
❼ Hệ thống lại các kiến thức về Phương trình vi phân trong mặt phẳng

phức trong các tài liệu tham khảo khác nhau.
❼ Nghiên cứu về phương trình vi phân trong mặt phẳng phức.
❼ Ứng dụng phương trình vi phân trong mặt phẳng phức .

3. Đối tượng nghiên cứu
❼ Phương trình vi phân trong mặt phẳng phức.

2

❼ Các ứng dụng của phương trình vi phân trong mặt phẳng phức.

4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân, phương trình vi phân trong
mặt phẳng phức và ứng dụng phương trình vi phân trong mặt phẳng phức.
5. Phương pháp nghiên cứu

• Tham khảo tài liệu, liên quan đến việc thực hiện luận văn thuộc các
lĩnh vực: Đại số tuyến tính, giải tích, lý thuyết phương trình vi phân
...
• Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.
• Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn về kết
quả đang nghiên cứu để hồn chỉnh luận văn của mình.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo,
nội dung của luận văn được chúng tơi chia thành hai chương.

• Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 Dẫn nhập về số phức.
1.2 Hàm một biến phức.
1.3 Phép vi phân của hàm phức.
1.4 Tích phân của hàm phức.
1.5 Dẫn nhập về chuỗi hàm phức.

• Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MẶT PHẲNG
PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
2.2 Phương pháp Frobenius với phương trình vi phân cấp hai và ứng
dụng.


3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1. Dẫn nhập về số phức
1.1.1. Dạng đại số của số phức
Ta gọi số phức là một biểu thức dạng (x + iy) trong đó x và y là các
số thực và i là đơn vị ảo. Các số x và y là phần thực và phần ảo của số
phức. Ta thường kí hiệu:

z = x + iy,
x = Rez = Re(x + iy),
y = Imz = Im(x + iy).
Tập hợp các số phức được kí hiệu là C. Vậy: C = {z = x + iy|x ∈
R, y ∈ R}, trong đó R là tập hợp các số thực. Nếu y = 0 ta có z = x,
nghĩa là số thực là trường hợp riêng của số phức với phần ảo bằng 0. Nếu

x = 0 ta có z = iy và đó là một số thuần ảo.
Số phức z = x − iy được gọi là số phức liên hợp của z = x + iy . Vậy
Re(z) = Re(z), Im(z) = −Im(z), z = z. Số phức −z = −x − iy là số
phức đối của z = x + iy.
Hai số phức z1 = x1 + iy1 và z2 = x2 + iy2 được gọi là bằng nhau nếu

x1 = x2 và y1 = y2 .
1.1.2. Các phép tính về số phức
a. Phép cộng: Cho hai số phức z1 = x1 + iy1 và z2 = x2 + iy2 . Ta gọi
số phức z = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )là tổng của hai số phức z1 và z2 .
Phép cộng có các tính chất sau:

z1 + z2 = z2 + z1 (giao hoán),
z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 (kết hợp).


4

b. Phép trừ: Cho hai số phức z1 = x1 + iy1 và z2 = x2 + iy2 . Ta gọi
số phức z = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 ) là hiệu của hai số phức z1 và z2 .
c. Phép nhân: Cho hai số phức z1 = x1 + iy1 và z2 = x2 + iy2 . Ta gọi
số phức z = z1 .z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) là tích của hai số phức

z1 và z2 . Phép nhân có các tính chất sau:
z1 , z2 = z2 .z1 (tính giao hốn),
(z1 .z2 ).z3 = z1 .(z2 .z3 ) (tính kết hợp),
z1 (z2 + z3 ) = z1 .z2 + z2 .z3 (tính phân phối),
(−1.z) = −z,
z.0 = 0.z = 0,
i.i = −1.
d. Phép chia: Cho hai số phức z1 = x1 + iy1 và z2 = x2 + iy2 . Nếu

z2 = 0 thì tồn tại một số phức z = x + iy sao cho z.z2 = z1 . Số phức:
x1 x2 + y1 y2
y1 x 2 − y 2 x 1
z1

=
+i
z=
2
2
z2
x2 + y2
x22 + y22
được gọi là thương của hai số phức z1 và z2 .
e. Phép nâng lên luỹ thừa: Ta gọi tích của n số phức z là luỹ thừa
bậc n của z và kí hiệu: z n = z.z...z Đặt w = z n = (x + iy)n thì theo định
nghĩa phép nhân ta tính được Re(w) và Im(w) theo x và y . Nếu z n = w
thì ngược lại ta nói z là căn bậc n của w và ta viết:
√
z = n w.
1.1.3. Biểu diễn hình học
Cho số phức z = x + iy . Trong mặt phẳng xOy ta xác định điểm
M (x, y) gọi là toạ độ của số phức z . Ngược lại cho điểm M trong mặt
phẳng, ta biết toạ độ (x, y) và lập được số phức z = x + iy . Do đó ta gọi
xOy là mặt phẳng phức. Ta cũng có thể biểu diễn số phức bằng một vectơ tự do có toạ độ là (x, y).


5

1.1.4. Mođun và argumen của số phức z

−−→
Số phức z có toạ độ là M . Ta gọi độ dài r của vec tơ OM là mođun
của z và kí hiệu là |z|.

Figure 1.1

Với z = 0:
Góc ϕ xác định sai khác 2kπ được gọi là argumen của z và kí hiệu là
arg z :

r = |z| = OM,
−→ −−→
arg z = (Ox, OM ) = ϕ + 2kπ.
Đặc biệt, trị số của arg z nằm giữa −π và π được gọi là giá trị chính của

arg z và kí hiệu là arg z . Trường hợp z = 0 thì arg z khơng xác định. Giữa
phần thực, phần ảo, mođun và argumen có liên hệ:
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ,
x2 + y 2 ,
y
tan ϕ = ,
x

r=


y
arctan x , khi x > 0
arg z = π + arctan xy khi x < 0, y > 0

−π + arctan xy khi x < 0, y < 0.

6

Với x = 0 từ định nghĩa ta có:

arg z =

π
2,

− π2

khi y > 0
khi y < 0.

Hai số phức bằng nhau có mođun và argumen bằng nhau.

|z| = |z|
z.z = |z|2 .
Từ cách biểu diễn số phức bằng vec tơ ta thấy số phức (z1 − z2 ) biểu
−−−→
diễn vectơ M2 M1 , với điểm M1 là toạ độ của z1 đến điểm M2 là toạ độ của
z2 . Từ đó suy ra |z| = r biểu thị đường trịn tâm O, bán kính r. Tương tự

|z − z1 | = r biểu thị đường tròn tâm z1 , bán kính r; |z − z1 | > r là phần
mặt phức ngồi đường trịn và |z − z1 | < r là phần trong đường trịn đó.
Hơn nữa ta có các bất đẳng thức tam giác:
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |; |z1 − z2 | ≥ |z1 | − |z2 |.
Từ định nghĩa phép nhân ta có:

z1 .z2 = r1 .r2 [(cos ϕ1 cos ϕ2 −sin ϕ1 sin ϕ2 )−i(sin ϕ1 cos ϕ2 +sin ϕ2 cos ϕ2 )]

= r1 .r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )].
Vậy: |z1 .z2 | = |z1 |.|z2 |, arg(z1 .z2 ) = arg z1 + arg z2 + 2kπ.
Tương tự, nếu z2 = 0 thì:
r1
z1
= [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )].
z2
r2
Suy ra:
z1
|z1 |
| |=
z2
|z2 |
z1
arg( ) = arg z1 + arg z2 + 2kπ.
z2
1.1.5. Dạng lượng giác của số phức
Nếu biểu diễn số phức z theo r và ϕ ta có: z = x+iy = r(cos ϕ+i sin ϕ).
Đây là dạng lượng giác số phức z .


7

Ví dụ 1.1.1. z = −2 = 2(cos π + i sin π). Các phép nhân chia dùng số
phức dưới dạng lượng giác rất tiện lợi. Ta có:

z1 = r1 (cos ϕ + i sin ϕ), z2 = r2 cos Ψ + i sin Ψ,
z = z1 .z2 = r1 r2 [cos(ϕ + Ψ) + i sin(ϕ + Ψ)],
r1

z1
= [cos(ϕ − Ψ) + i sin(ϕ − Ψ)].
z=
z2
r2
Áp dụng công thức trên để tính tích n thừa số z , tức là z n ta có:

[r(cos ϕ + i sin ϕ)]n = rn (cos nϕ + i sin nϕ).
Đặc biệt khi r = 1 ta có cơng thức Moivre:

(cos ϕ + i sin ϕ)n = (cos nϕ + i sin nϕ),
thay ϕ bằng −ϕ ta có:

(cos ϕ − i sin ϕ)n = (cos nϕ − i sin nϕ).
1.1.6. Toạ độ của số phức
a. Toạ độ của tổng và hiệu: Toạ độ của tổng hay hiệu hai số phức
là tổng hay hiệu hai vec tơ biểu diễn số phức đó.
b. Toạ độ của tích hai số phức: Ta có thể tìm toạ độ của tích hai
số phức bằng phương pháp dựng hình. Cho hai số phức z1 và z2 . Ta dựng
trên cạnh Oz1 tam giác Oz1 z đồng dạng với tam giác O1z2 . Như vậy Oz
là tích của hai số phức z1 và z2 .

Figure 1.2


8

Thật vậy, do tam giác Oz1 z đồng dạng với tam giác O1z2 nên ta có:
z
z1

=

z2
1

hay z = z1 .z2 .

c. Toạ độ của thương hai số phức: Việc tìm thương hai số phức
đưa về tìm tích z1 . z12 . Vì vậy ta chỉ cần tìm w = z1 .
Trước hết ta giả thiết |z| < 1. Ta tìm w theo các bước sau:
- Vẽ đường tròn đơn vị và z .
- Dựng tại z đường vuông với Oz và cắt đường tròn đơn vị tại s.
- Vẽ tiếp tuyến với đường tròn tại s và cắt Oz tại t.
- Do ∆Ozs và ∆Ost đồng dạng nên ta có |t| =
- Lấy w đối xứng với t qua trục Ox.
Trường hợp |z| > 1 ta vẽ như hình b
- Vẽ đường tròn đơn vị và z .
- Từ z vẽ tiếp tuyến với đường tròn tại s.
- Dựng tại s đường vuông với Oz cắt Oz tại t.
- Do Ozs và Ost đồng dạng nên ta có |t| =
- Lấy w đối xứng với t qua trục Ox.

Figure 1.3

1
|z| .

1
|z| .

9

1.1.7. Dạng mũ của số phức
Nhờ công thức Euler eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ ta có thể biểu diễn số phức
dưới dạng số mũ:

z = reiϕ = |z|ei arg z .
√
3π
Ví dụ 1.1.2. z = −1 − i = 2e−i 4 . Biểu diễn số phức dưới dạng mũ rất
tiện lợi khi cần nhân hay chia các số phức:
z1 = r1 eiϕ , z2 = r2 eiα ,
z1 .z2 = r1 .r2 ei(ϕ+α) ,
z1
z2

=

r1 i(ϕ−α)
.
r2 e

1.1.8. Mặt cầu Rieman
Ta xét một mặt cầu S tâm (0, 0, 0.5), bán kính 0.5 (tiếp xúc với mặt
phẳng xOy tại O). Mặt phẳng xOy là mặt phẳng phức z với Ox là trục
thực và Oy là trục ảo. Đoạn thẳng nối điểm z = x + iy có toạ vị là N
của mặt phẳng phức với điểm P (0, 0, 1) của mặt cầu cắt mặt cầu tại điểm
M (a, b, c). Ta gọi M là hình chiếu nổi của điểm z lên mặt cầu S với cực P .

Phép ánh xạ này lập nên một tương ứng một - một giữa tất cả các điểm
của mặt phẳng z và của mặt cầu S thủng tại P . Vì các điểm P , M , và N
cùng nằm trên một đường thẳng nên ta có:
OT
a
b
PM
1−c
= = =
=
,
ON
x y
PN
1
hay xa = 1−c
1 ,
a
b
1−c ; y = 1−c ;
2
+b2 )
|z|2 = (a(1−c)
2 ,
2
2
2

hay x =
Từ đó:

z=

a+ib
1−c .

và do : a + b + c − c = 0,
suy ra : |z|2 =

(c)
1−c ,

|z|2
1+|z|2 ;

a=

hay c =

x
1+|z|2 ;

b=

y
1+|z|2 .

Hình chiếu nổi có tính chất đáng lưu ý sau: Mỗi đường tròn của mặt
phẳng z (đường thẳng cũng được coi là đường trịn có bán kính ∞) chuyển
thành một đường trịn trên mặt cầu và ngược lại. Thật vậy để ý x =

10
z+z
2 ;y

= z−z
2i ta thấy mỗi đường tròn của mặt phẳng z thoả mãn một
phương trình dạng:
1
i
Azz + B(z + z) − C(z − z) + D = 0.
2
2
Trong đó A, B, C, D là các số thực thỏa mãn A ≥ 0, B 2 + C 2 > 4AD, đặc
biệt đối với đường thẳng A = 0. Áp dụng các giá trị của z, x, y ta có:
(A − D).c + Ba + Cb + D = 0,
đây là một đường tròn trên mặt cầu S.

Figure 1.4

1.2. Hàm một biến phức
1.2.1. Các khái niệm liên quan đến tô pô trên mặt phẳng phức
a. ε - lân cận. Tập hợp những điểm z ∈ C thỏa mãn hệ thức

U (z0 , ε) = {z ∈ C : |z − z0 | < ε}.
Trong đó ε là số dương cho trước, được gọi là ε - lân cận của điểm z0 . Đó
là hình trịn có tâm tại z0 và bán kính ε.
b. Điểm trong của một tập. Giả sử E là tập hợp con của C và zo
là một điểm thuộc E . Nếu tồn tại một ε -lân cận của zo nằm hồn tồn

trong E thì zo được gọi là điểm trong của tập E . Tập các điểm trong của
E ký hiệu là int(E).
c. Biên của một tập. Điểm ζ thuộc mặt phẳng phức được gọi là điểm
biên của tập E nếu mọi ε - lân cận của ζ đều chứa cả những điểm thuộc


11

E và không thuộc E . Tập hợp các điểm biên của tập E được gọi là biên
của tập E , ký hiệu là ∂E . Nếu điểm η không thuộc E và tồn tại ε - lân
cận của η khơng chứa điểm nào của E thì η được gọi là điểm ngồi của
tập E .
Ví dụ 1.2.1. Xét tập E là hình trịn |z| < 1. Mọi điểm của E đều là điểm
trong. Biên của E là đường tròn |z| = 1. Mọi điểm |η| > 1 là điểm ngoài
của E .
d. Tập mở. Tập E ⊂ C được gọi là tập mở nếu mọi điểm z ∈ E đều
là điểm trong của nó.
Định lí 1.2.2. Họ các tập con mở của C thỏa mãn các tính chất sau đây
(các tiên đề cấu trúc tôpô):
1. ∅ và C là những tập mở.
2. Hợp của một số hữu han hay vô han bất kỳ các tâp mở là môt tâp
mở.
3. Giao của một số hữu hạn tập mở là tập mở.
Chứng minh.
1. Hiển nhiên.
2. Giả sử {Uλ } là họ các tập con mở bất kì. Nếu z0 ∈ Uµ bất kì thì

∃r > 0 sao cho U (z0 , r) ⊂ Uµ ⊂ U =

λ Uλ .

3. Giả sử U1 , . . . , Un là những tập hợp mở. Nếu U0 = ni=1 Ui = ∅
thì U mở (theo 1.). Giả sử U0 = ∅ và z0 ∈ U0 . Khi đó, với mỗi giá trị

i(i = 1, 2, . . . , n) sẽ tồn tại εi > 0 sao cho
U (z0 , εi ) ⊂ Ui .
Hiển nhiên rằng U (z0 , ε) ⊂ U0 , trong đó

ε = min |εi | > 0.
i=1,n

e. Tập đóng. Tập E ⊂ C được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó
C \ E là tập mở.
Định lí 1.2.3. Họ các tập con mở của C thỏa mãn các tính chất sau đây


12

(các tiên đề cấu trúc tôpô):
1. ∅ và C là những tập đóng.
2. Hợp của một số hữu han tâp đóng là mơt tâp đóng.
3. Giao của một số hữu hạn hay vơ hạn bất kì các tập đóng là tập đóng.
Chứng minh. Suy trực tiếp từ định lí 1.2.2 và các qui tắc lấy phần
bù.
f. Tập liên thông. Tập hợp E ⊂ C được gọi là tập liên thông nếu
trong E không tồn tại một tập con nào đồng thời vừa đóng vừa mở, ngồi
trừ chính tập E và tập ∅.
Định lí 1.2.4. Giả sử U là tập mở trong C. Hai điều kiện sau đây là
tương đương
1. Tập hợp U liên thông.

2. Qua hai điểm tùy ý của tập U có thể nối chúng bằng một đường cong
liên tục nằm trọn trong U .
Chứng minh. Ta chứng minh từ (1) suy ra (2). Giả sử a ∈ U là điểm
bất kỳ cho trước. Ta ký hiệu E là tập hợp những điểm của U mà ta có
thể nối chúng với diểm a bằng những đường gấp khúc trong U . Tập hợp
E có các tính chất sau đây:
a) Tập hợp E = ∅ vì nó chứa ít nhất là điểm a.
b) Tập E là mở. Thật vậy, vì U mở nên với mỗi điểm c0 ∈ U tồn tại
một lân cân hình trịn với tâm là c0 nằm trọn trong U . Mỗi diểm của hình
trịn này đều có thể nối với c0 bằng một đường gấp khúc (chằng hạn, nối
theo bán kính). Như vây, nếu điểm c0 có thể nối với điểm a bằng đường
gấp khúc nằm trọn trong U thì tồn tại một lân cận của điểm c0 mà mọi
điểm của nó đều có thể nối với a băng đường gấp khúc ∈ U . Do đó E là
tập mở.
c) E là tập hợp đóng. Thật vậy, giả sử điểm c0 ∈ U là điểm tụ của E .
Ta sẽ chứng minh rằng c0 ∈ E . Với r > 0 nào đó, hình trịn S = S (c0 , r)
với bán kính r và với tâm tại c0 được chứa trong U . Vì điểm c0 là điểm


13

giới hạn của E nên tìm được điểm c ∈ S (c0 , r) ∩ E . Điểm c có thể nối với
điểm a vì c ∈ E và điểm c cũng có thể nối với c0 bởi đoạn thẳng trong U .
Như vậy tồn tại đường gấp khúc nằm trong U với gốc tại a và điểm cuối
tai c0 . Từ đó suy rằng c0 ∈ E và E là tập hợp đóng. Như vây, E là tập
hợp khơng trống, đồng thời vừa đóng vừa mờ trong U , do đó

E ≡ U.
Bây giờ ta chứng minh từ (2) suy ra (1). Giả sử điều kiện (2) xảy ra và
tập hợp mở U không liên thông, tức là theo định nghĩa 1.2.11 tồn tại hai

tập mở U1 , U2 sao cho:
U ∩ U1 = ∅,

U ∩ U2 = ∅;

U ∩ U1 ∩ U2 = ∅,

U ⊂ U1 ∪ U2 .
Giả sử z1 ∈ U1 , z2 ∈ U2 . Ta chứng minh rằng các điểm z1 và z2 không thể
nối với nhau bằng đường gấp khúc nằm trong U . Giả sử ngược lại, khơng
làm mất tính tổng qt ta có thể cho rằng z1 và z2 được nối với nhau bởi
một đoạn thẳng I nằm trọn trong U .
z = z1 + t (z2 − z1 ) ,

t ∈ [0, 1].

Khi đó theo trên ta có I ⊂ U1 ∪ U2 , I ∩ U1 ∩ U2 = ∅, I ∩ U1 = ∅, I ∩ U2 = ∅.
Nhưng điều này vơ lý vì đoạn thẳng I là tập hợp liên thông.
g. Miền. Ta gọi miền trên mặt phẳng phức là tập hợp G có các tính
chất sau:
- G là tập mở, nghĩa là chỉ có các điểm trong.
- G là tập liên thông, nghĩa là qua hai điểm tuỳ ý thuộc G, bao giờ
cũng có thể nói chúng bằng một đường cong liên tục nằm gọn trong G.
Tập G, thêm những điểm biên gọi là bao đóng và kí hiệu là G. Miền G
gọi là bị chặn nếu tồn tại một hình trịn tâm 0 bán kính R chứa G ở bên
trong.
Ta gọi một đường cong kín, không tự cắt trong mặt phẳng phức C là
một chu tuyến. Giả sử L là một chu tuyến trong C. Khi đó L chia mặt
phẳng phức làm hai miền: một miền bị chặn, tức là không chứa điểm ∞,
ký hiệu là DL hoặc DL+ và còn gọi là miền giới hạn bởi L. Miền còn lại gọi

14

là miền ngoài, ký hiệu là DL− .
Xét miền D trong C. Giả sử ∂D = L là một chu tuyến. Khi đó, trên
biên ∂D ta quy ước chiều dương là chiều mà khi ta đi dọc theo ∂D theo
chiều đó thì miền D ln nằm bên trái. Và chiều ngược lại với chiều dương
là chiều âm.
h. Miền đơn liên, miền đa liên. Miền D trong C được gọi là miền
đơn liên nếu mọi chu tuyến L năm trong D ta đều có DL ⊂ D. Nếu tồn
tại các chu tuyến L1 , L2 , ... sao cho DL1 , DL2 khơng chứa trong D thì miền

D gọi là miền đa liên. Nếu có một chu tuyến thỏa mãn điều kiện này thì
gọi là miền 1 - liên, có hai chu tuyến thỏa mãn thì gọi là miền 2 - liên,...

Figure 1.5

Hình a là miền đơn liên, hình b là miền 2 - liên, hình c là miền 3 - liên.
Ví dụ 1.2.5. Tập G1 = {z ∈ C : 1 < |z| < 2} là một miền nhị liên. Tập
G2 = {z ∈ C : |z − 1| > 1, |z − 2| < 2} là một miền đơn liên.
1.2.2. Định nghĩa hàm biến phức
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử E là một tập hợp điểm trên mặt phẳng phức.
Nếu có một quy luật cho ứng với mỗi số phức z ∈ E một số phức xác
định w thì ta nói rằng w là một hàm số đơn trị của biến phức z xác định
trên E và ký hiệu: w = f (z), z ∈ E . Tập E được gọi là miền xác định
của hàm số. Nếu ứng với một giá trị z ∈ E ta có nhiều giá trị của w thì
ta nói w là một hàm đa trị. Sau này khi nói đến hàm số mà khơng nói gì
thêm thì đó là một hàm đơn trị.

15

Ví dụ 1.2.7. Hàm w =
điểm z = 0.

1
z

xác định trong toàn bộ mặt phẳng phức trừ

Hàm w = z 2z+1 xác định trong toàn bộ mặt phẳng phức trừ điểm z = ±i
vì z 2 + 1 = 0 khi z = ±i.
a. Phần thực và phần ảo của hàm phức
Cho hàm w = f (z) nghĩa là cho phần thực u và phần ảo v của nó. Nói
khác đi u và v cũng là hai hàm theo biến z . Nếu z = x + iy thì có thể thấy

u và v là hai hàm thực của các biến thực độc lập x và y . Tóm lại. cho hàm
phức w = f (z) tương đương với việc cho hai hàm biến thưc u = u(x, y)
và v = v(x, y) và có thể viết w = f (z) dưới dạng:
w = u(x, y) + iv(x, y).
Ví dụ 1.2.8. Tách phần thực và phần ảo của hàm phức w = z1 .
Ta có:

w=

Vậy: u =

x
x2 +y 2 ;

1
1
x − iy
x − iy
=
=
= 2
z
x + iy
(x + iy)(x − iy) x + y 2
x
iy
= 2
−
.
x + y 2 x2 + y 2
y
v = − x2 +y
2.

Ví dụ 1.2.9. Tách phần thực và phần ảo của hàm w = z 3 .
Ta có: w = z 3 = (x + iy)3 = x3 + 3ix2 y + 3i2 xy 2 + i3 y 3

= (x3 − 3xy 2 ) + i(3x2 y − y 3 ).
Vậy: u = x3 − 3xy 2 ; v = 3x2 y − y 3 .

1.3. Phép tính vi phân của hàm phức
1.3.1. Giới hạn hàm biến phức
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử f (z) là hàm xác định trong lân cận của z0 (có

thể trừ z0 ). Ta nói số phức A là giới hạn của f (z) khi z dần tới z0 nếu
khi |z − z0 | → 0 thì |f (z) − A| → 0. Nói khác đi, với mọi ε > 0 cho trước,
luôn luôn tồn tại δ > 0 để khi |z − z0 | < δ thì |f (z) − A| < ε.
Ta kí hiệu: limz→

z0

f (z) = A.