Hội tụ thống kê trong không gian topo

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

Hoàng Trung Hiếu

HỘI TỤ THỐNG KÊ
TRONG KHƠNG GIAN TOPO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Đà Nẵng - 2021


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

Hoàng Trung Hiếu

HỘI TỤ THỐNG KÊ
TRONG KHƠNG GIAN TOPO
Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Lương Quốc Tuyển

Đà Nẵng - 2021

3

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
CHƯƠNG 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.2. Giới hạn trên và giới hạn dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Không gian topo, tập hợp mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Lân cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5. Tập hợp đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
1.6. Bao đóng của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7. Phần trong của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
CHƯƠNG 2. Hội tụ thống kê trong không gian topo . . . . . 33
2.1. Hội tụ thống kê trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2. Dãy Cauchy thống kê trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3. Mật độ tiệm cận trên N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
2.4. Hội tụ thống kê trong không gian topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57


4

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Khái niệm hội tụ thống kê của dãy số thực đã được H. Fast giới thiệu vào
năm 1951 bằng cách dựa vào khái niệm mật độ tiệm cận của tập A ⊂ N, là
một mở rộng của hội tụ thông thường của một dãy số thực (xem [2]). Tuy
nhiên, ý tưởng đầu tiên về hội tụ thống kê đã xuất hiện dưới tên gọi như
hội tụ thông thường trong ấn bản (Warsaw, 1935) của chuyên khảo nổi
tiếng của A. Zygmund. Hội tụ thống kê đã được nghiên cứu trong nhiều
khía cạnh khác nhau bởi một số tác giả như R.A. Bernstein, Z. Frolik, H.
ˇ
Fast, T. Salát,
v.v (xem [1]).
Hội tụ thống kê có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của
toán học như lý thuyết tính tổng, lý thuyết số, chuỗi lượng giác, lý thuyết
xác suất, lý thuyết đo lường, lý thuyết tối ưu hóa và lý thuyết xấp xỉ ([1]).
Bằng cách thay các dãy số thực bởi các dãy trong một không gian
ˇ
metric, P. Kostyrko, M. Maˇcaj, T. Salát
đã nghiên cứu tổng quát sự hội tụ
thống kê cho các dãy trong không gian metric (xem [4]). Năm 2008, G. Di
Maio và L.D.R. Koˇcinac đã thu được nhiều kết quả thú vị khi nghiên cứu
sự hội tụ thống kê trên không gian topo Hausdorff, trên khơng gian đều.
Nhờ đó, các tác giả đã thu được một số ứng dụng của chúng trên không
gian hàm và trên siêu không gian.
Với mong muốn nghiên cứu về sự hội tụ thống kê trên tập số thực cũng
như trên không gian topo, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Lương
Quốc Tuyển, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Hội tụ thống kê trên không
gian topo” làm đề tài cho luận văn của mình.
2. Mục đích nghiên cứu

5

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu sự hội tụ thống kê trên tập
số thực, trên không gian metric và trên không gian topo. Chứng minh chi
tiết một số kết quả trong tài liệu.
3. Đối tượng nghiên cứu
Hội tụ thống kê trên không gian R, hội tụ thống kê trên không gian
topo Hausdorff.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm và tính chất của sự hội tụ thống kê trên
khơng gian topo.
5. Phương pháp nghiên cứu

• Tham khảo tài liệu, hệ thống lại một số kiến thức về topo đại cương.
• Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả đi trước liên quan hội
tụ thống kê.
• Bằng cách tương tự hóa, khái qt hóa nhằm đưa ra các kết quả mới
cũng như mở rộng một số kết quả của các tác giả đi trước.
• Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả
đang nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài của mình.
6. Cấu trúc của luận văn
Nội dung khóa luận được chúng tơi trình bày trong hai chương. Ngồi
ra, khóa luận có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và
Tài liệu tham khảo.
Chương 1, trình bày một số kiến thức về hội tụ thông thường của dãy
số, không gian topo nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2.
Chương 2, trình bày về sự hội tụ thống kê trên tập không gian topo.

6

Trong chương này, chúng tôi chứng minh chi tiết một số kết quả về dãy
hội tụ thống kê trên R, tạo tiền đề cho việc nghiên cứu sự hội tụ thống
kê trên khơng gian topo. Trình bày mối quan hệ giữa dãy hội tụ thống
kê và dãy hội tụ thông thường trên R. Nghiên cứu về mối quan hệ giữa
dãy hội tụ thống kê và dãy Cauchy thống kê trên R và chứng minh rằng
dãy hội tụ thống kê và dãy Cauchy thống kê trên R là tương đương. Cuối
cùng, chúng tôi ghiên cứu về mật độ tiệm cận trên N và sự hội tụ thống
kê trong không gian topo, là một sự tổng quát hóa của hội tụ thống kê
trên R. Tương tự dãy hội tụ thống kê trên R, chúng tơi chứng minh một
số tính chất của dãy hội tụ thống kê trong không gian topo và mối quan
hệ giữa dãy hội tụ thống kê và dãy s∗ -hội tụ.


7

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, trước tiên, chúng tơi trình bày một số khái niệm và
tính chất về dãy hội tụ thông thường trên R nhằm làm tiền đề cho việc
nghiên cứu sự hội tụ thống kê trên R và trên khơng gian topo. Sau đó,
chúng tơi trình bày các kiến thức cơ bản của topo đại cương nhằm phục
vụ cho việc chứng minh cho chương sau.

1.1. Dãy số thực
Mục này dành cho việc trình bày về sự hội tụ thông thường của dãy số
thực, và chứng minh chi tiết một số kết quả của nó.

Định nghĩa 1.1.1. Cho {xn } ⊂ R và L ∈ R. Ta nói rằng dãy {xn } có
giới hạn bằng L khi n → ∞, nếu với mọi ε > 0, tồn tại N ∈ N sao cho

|xn − L| < ε với mọi n ≥ N.
Lúc này ta ký hiệu

lim xn = L hoặc xn → L khi n → ∞.

n→∞

Ví dụ 1.1.2. Cho dãy số thực {xn } được xác định như sau.

xn =

3n + 2
với mọi n ∈ N.
n+1

Khi đó, lim xn = 3.
n→∞

Thật vậy, giả sử ε > 0, khi đó

|xn − 3| =

3n + 2
1
−3 =
<ε
n+1

n+1


8

khi và chỉ khi n >

1
1
− 1. Như vậy, nếu lấy số ngun dương N > − 1,
ε
ε

thì ta có

|xn − 3| < ε với mọi n ≥ N.
Do đó, lim xn = 3.
n→∞

Định lí 1.1.3. Nếu {xn } ⊂ R có giới hạn, thì giới hạn đó là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử lim xn = a và lim xn = b với a, b ∈ R. Ta cần chứng
n→∞

n→∞

minh rằng a = b. Thật vậy, với mọi ε > 0, vì xn → a nên tồn tại N1 ∈ N
sao cho
ε
|xn − a| < với mọi n ≥ N1 .
2

Mặt khác, vì xn → b nên tồn tại N2 ∈ N sao cho

|xn − b| <

ε
với mọi n ≥ N2 .
2

Ta đặt N = max{N1 , N2 }, khi đó với mọi n ≥ N , ta có

|a − b| ≤ |a − xn | + |xn − b| < ε.
Qua giới hạn khi ε → 0 ta suy ra |a − b| = 0, kéo theo a = b.
Định lí 1.1.4. Nếu {xn } hội tụ, thì nó bị chặn.
Chứng minh. Giả sử xn → L, khi đó với ε = 1, tồn tại N ∈ N∗ sao cho

|xn − L| < 1 với mọi n ≥ N,
kéo theo rằng

|un | < |L| + 1 với mọi n ≥ N .
Bây giờ, ta đặt

M = max{|u1 |, |u2 |, ..., |uN −1 |, |L| + 1},
ta thu được |un | ≤ M với mọi n.


9

Nhận xét 1.1.5. Ta thấy rằng dãy {(−1)n } là bị chặn nhưng nó khơng
hội tụ. Như vậy, chiều ngược lại của Định lí 1.1.4 nói chung là khơng đúng.
Định nghĩa 1.1.6. Cho dãy số thực {an }. Khi đó,

1) {an } được gọi là tăng nếu an ≤ an+1 với mọi n ∈ N∗ .
2) {an } được gọi là tăng nghiêm ngặt nếu an < an+1 với mọi n ∈ N∗ .
3) {an } được gọi là giảm nếu an ≥ an+1 với mọi n ∈ N∗ .
4) {an } được gọi là giảm nghiêm ngặt nếu an > an+1 với mọi n ∈ N∗ .
Định nghĩa 1.1.7. Cho dãy số thực {an } và {mn } là dãy tăng nghiêm
ngặt. Khi đó, hàm số

f :N→R
n → f (n) = amn
được gọi là một dãy con của {an }.
Nhận xét 1.1.8. Nếu {amn } là một dãy con của {an }, thì

mn ≥ n với mọi n ∈ N∗ .
Định lí 1.1.9. Nếu {an } là dãy hội tụ đến a và {amn } là dãy con của
{an }, thì {amn } cũng hội tụ đến a.
Chứng minh. Bởi vì {an } là dãy hội tụ đến a nên với mọi ε > 0, tồn tại
N ∈ N∗ sao cho

|an − a| < ε với mọi n ≥ N .
Mặt khác, vì mn ≥ n với mọi n ∈ N∗ nên

|amn − a| < ε với mọi n ≥ N .
Điều này chứng tỏ rằng {amn } là dãy hội tụ đến a.


10

Định lí 1.1.10. Giả sử rằng a, b ∈ R và

lim an = a, lim bn = b.

n→∞

n→∞

Khi đó,
1) lim (an + bn ) = lim an + lim bn ;
n→∞

n→∞

n→∞

2) lim (an − bn ) = lim an − lim bn ;
n→∞

n→∞

n→∞

3) lim (an bn ) = lim an lim bn ;
n→∞

n→∞

n→∞

lim an
an
n→∞

=
(b = 0 và bn = 0 với mọi n ∈ N∗ ).
4) lim
n→∞ bn
lim bn
n→∞

Chứng minh. (1) Với mọi ε > 0, vì an → a nên tồn tại N1 ∈ N∗ sao cho

|an − a| < ε/2 với mọi n ≥ N1 .
Mặt khác, vì bn → b nên tồn tại N2 ∈ N∗ sao cho

|bn − b| < ε/2 với mọi n ≥ N2 .
Đặt N = max{N1 , N2 }, ta có

|(an + bn ) − (a + b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < ε với mọi n ≥ N .
Do vậy, ta suy ra (1) đúng.
(2) Chứng minh hồn tồn tương tự với (1).
(3) Ta có

|an bn − ab| = |(an bn − an b) + (an b − ab)|
= |an ||bn − b| + |b||an − a|.
Mặt khác, vì {an } là dãy hội tụ nên theo Định lí 1.1.4, nó bị chặn. Do đó,
tồn tại M > 0 sao cho


11

|an | ≤ M với mọi n ∈ N∗ .
Hơn nữa, vì an → a nên với mọi ε > 0, tồn tại N1 ∈ N∗ sao cho

ε
với mọi n ≥ N1 .
M + |b|

|an − a| <

Mặt khác, vì bn → b nên tồn tại N2 ∈ N∗ sao cho

|bn − b| <

ε
với mọi n ≥ N2 .
M + |b|

Đặt N = max{N1 , N2 }, ta có

|an bn − ab| < M

ε
ε
+ |b|
= ε với mọi n ≥ N .
M + |b|
M + |b|

Do vậy, ta suy ra (3) đúng.
(4) Sử dụng tính chất (3) ta chỉ cần chứng minh rằng

1

1
= .
n→∞ bn
b
lim

Thật vậy, trước tiên ta chứng minh rằng, tồn tại N1 ∈ N∗ sao cho

|bn | >

|b|
với mọi n ≥ N .
2

Bởi vì b = 0 nên và bn → b nên tồn tại N1 ∈ N∗ sao cho

|b| − |bn | ≤ |bn − b| <

|b|
với mọi n ≥ N1 .
2

Điều này suy ra rằng

|bn | >

|b|
với mọi n ≥ N1 .
2

Tiếp theo, vì bn → b nên với mọi δ > 0, tồn tại N2 ∈ N∗ sao cho


12

|bn − b| < δ với mọi n ≥ N2 .
Nếu ta đặt N = max{N1 , N2 }, thì

1
|bn − b| 2δ
1
− =
< 2 với mọi n ≥ N .
bn b
|bn ||b|
b
b2
Do vậy, với mọi ε > 0, nếu ta lấy δ = ε, thì
2
1
1
2δ
− < 2 < ε với mọi n ≥ N .
bn b
b
Bởi thế, ta suy ra (4) đúng.
Nhờ Định lí 1.1.10 ta suy ra
Hệ quả 1.1.11. Nếu {an } là dãy hội tụ, thì với mọi c ∈ R ta có
1) lim (c + an ) = c + lim an ;
n→∞

n→∞

2) lim (can ) = c lim an .
n→∞

n→∞

Bổ đề 1.1.12. Cho {an }, {bn } ⊂ R và A, B ∈ R. Khi đó,
1) Nếu an → A và tồn tại N ∈ N∗ sao cho an = bn với mọi n > N , thì

bn → A.
2) Nếu an → A, thì
(a) Nếu A > B , thì tồn tại N ∈ N∗ sao cho an > B với mọi n > N .
(b) Nếu A < B , thì tồn tại N ∈ N∗ sao cho an < B với mọi n > N .
Chứng minh. (1) Với mọi ε > 0, vì an → A nên tồn tại N ∈ N∗ sao cho

|an − A| < ε với mọi n > N .
Bây giờ, ta đặt

N0 = max{N, N }.


13

Khi đó, với mọi n > N0 ta có bn = an , và

|bn − A| = |an − A| < ε.
(2) Giả sử an → A, khi đó
(a) Nếu A > B , thì ta lấy ε = A − B > 0. Bởi vì an → A nên tồn tại

n ∈ N∗ sao cho

|an − A| < ε = A − B với mọi n > N.
Do đó, với mọi n > N , ta có

A − an ≤ |an − A| < A − B.
Điều này suy ra rằng an > B với mọi n > N .
(b) Giả sử A < B , khi đó ε = B − A > 0. Do an → A nên tồn tại

N ∈ N∗ sao cho với mọi n > N , ta có
|an − A| < ε = B − A,
kéo theo

an − A ≤ |an − A| < B − A.
Như vậy, an < B với mọi n > N .
Định lí 1.1.13. Nếu dãy {an } hội tụ, thì dãy {|an |} cũng hội tụ.
Chứng minh. Giả sử rằng an → a, khi đó với mọi ε > 0, tồn tại N ∈ N∗
sao cho

|an − a| < ε với mọi n ≥ N.

(1.1)

Hơn nữa, với mọi n ∈ N ta có

|an | = |(an − a) + a| ≤ |an − a| + |a|,
kéo theo

|an | − |a| ≤ |an − a|.

(1.2)


14

Tương tự, với mọi n ∈ N ta cũng có

|a| = |(a − an ) + an | ≤ |a − an | + |an |,
kéo theo

− |an − a| ≤ |an | − |a|.

(1.3)

Nhờ (1.2) và (1.3) ta suy ra với mọi n ∈ N ta có

|an | − |a| ≤ |an − a|.

(1.4)

Kết hợp (1.1) và (1.4) ta suy ra

|an | − |a| < ε với mọi n ≥ N.
Như vậy, |an | → |a|, nghĩa là dãy {|an |} hội tụ.
Bổ đề 1.1.14. Cho {un }, {vn } ⊂ R sao cho un → A, vn → B . Khi đó,
nếu tồn tại N ∈ N∗ sao cho un ≤ vn với mọi n > N , thì A ≤ B .
Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng A > B . Khi đó, ε = A − B > 0. Theo
Định lí 1.1.10, ta suy ra

un − vn → A − B.

Mặt khác, theo Bổ đề 1.1.12(2) ta suy ra tồn tại N ∈ N∗ sao cho

un − vn > 0 với mọi n > N .
Chọn n0 = max{N, N }, ta có

◦ Nếu n0 ≥ N , thì un0 ≤ vn0 ;
◦ Nếu n0 ≥ N , thì un0 > vn0 .
Điều này mâu thuẫn với un ≤ vn với mọi n > N .
Định lí 1.1.15. Giả sử {an } ⊂ R, khi đó nếu {an } tăng và bị chặn trên,
hoặc {an } giảm và bị chặn dưới, thì nó hội tụ.
(Định lí Weierstrass)


15

Chứng minh. Ta đặt A = {an : n ∈ N∗ } ⊂ R. Khi đó,
(1) Giả sử {an } tăng và bị chặn trên. Khi đó, tồn tại α = sup A. Ta chứng
minh an → α.
Thật vậy, với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho

α − ε < a n0 .
Mặt khác, với mọi n ≥ n0 , ta có an ≥ an0 . Do đó,

α − ε < an0 ≤ an ≤ α < α + ε.
Như vậy, |an − α| < ε, kéo theo an → α.
(2) Giả sử {an } giảm và bị chặn dưới. Khi đó, tồn tại β = inf A. Ta chứng
minh an → β .
Thật vậy, với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho

an0 < β + ε.

Mặt khác, với mọi n ≥ n0 , ta có an ≤ an0 . Do đó,

β − ε < β ≤ an ≤ an0 < β + ε.
Như vậy, |an − β| < ε, kéo theo an → β .
Định lí 1.1.16. Cho {[an , bn ]} ⊂ R thỏa mãn

an ≤ bn với mọi n ∈ N∗ .
Khi đó, nếu
1) [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ] với mọi n ∈ N∗ .
2) bn − an → 0.
∞

thì

[an , bn ] là tập một điểm.
n=1

(Nguyên lý dãy các đoạn thẳng lồng thắt của Cantor)


16

Chứng minh. (1) {an } tăng và bị chặn trên, {bn } giảm và bị chặn dưới.
Thật vậy, vì [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ] nên với mọi n ∈ N∗ , ta có

an+1 ≤ an ≤ bn ≤ · · · ≤ b1 ;
a1 ≤ · · · ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn .
Như vậy, {an } tăng và bị chặn trên và {bn } giảm và bị chặn dưới.
(2) Theo Định lí Weierstrass, tồn tại

a = lim an = sup an ,
n→∞

n∈N∗

b = lim bn = sup bn .
n→∞

n∈N∗

∞

[an , bn ] = {a}.

(3) Ta chứng minh a = b và

n=1

Thật vậy, theo giả thiết ta có

lim (an − bn ) = 0,

n→∞

do đó ta suy ra

lim an − lim bn = 0, và a = b.

n→∞

n→∞

∞

Bây giờ, ta chứng minh rằng {a} =

[an , bn ].
n=1

∞

• {a} ⊂

[an , bn ].
n=1

Bởi vì {an } tăng và bị chặn trên, {bn } giảm và bị chặn dưới và

a = sup an , b = sup bn
n∈N∗

n∈N∗

nên ta có

an ≤ a = b ≤ bn .


17
∞

Suy ra a ∈ [an , bn ] với mọi n ∈ N∗ , kéo theo a ∈

[an , bn ].
n=1

∞

[an , bn ] ⊂ {a}.

•

n=1
∞

Giả sử x ∈

[an , bn ], khi đó x ∈ [an , bn ] với mọi n ∈ N∗ , kéo theo

n=1

an ≤ x ≤ bn với mọi n ∈ N∗ .
Do đó, a ≤ x ≤ a, kéo theo x = a.

1.2. Giới hạn trên và giới hạn dưới
Mục này dành cho việc trình bày về khái niệm về giới hạn trên và giới
hạn dưới của một dãy số.
Bổ đề 1.2.1. Cho ∅ = A ⊂ B ⊂ R là các tập bị chặn. Khi đó,

sup A ≤ sup B; inf A ≥ inf B.

Chứng minh. Bởi vì A, B là các tập bị chặn khác rỗng của R nên tồn tại
sup A, sup B , inf A, inf B . Hơn nữa,

• Với mọi x ∈ A, ta có x ∈ B , kéo theo x ≤ sup B . Như vậy, sup B là
cận trên của A. Do đó, sup A ≤ sup B.
• Với mọi x ∈ A, ta có x ∈ B , kéo theo x ≤ sup B . Như vậy, sup B là
cận trên của A. Do đó, sup A ≤ sup B.
Bổ đề 1.2.2. Giả sử {an } ⊂ R là dãy bị chặn. Khi đó, với mọi n ∈ N∗ ,
tồn tại

Mn = sup{an , an+1 , . . . };
mn = inf{an , an+1 , . . . }.
Hơn nữa, {mn } là một dãy tăng và bị chặn trên, {Mn } là một dãy giảm
và bị chặn dưới.


18

Chứng minh. (1) Với mọi n ∈ N∗ , ta có

∅ = {an , an+1 , . . . } ⊂ R.
Bởi vì {ai } bị chặn nên tồn tại M > 0 sao cho

|ai | < M với mọi i ∈ N∗ .
Do đó, ta suy ra

−M < ai < M với mọi i ≥ n.
Như vậy, tồn tại Mn và mn thỏa mãn

−M ≤ mn ≤ Mn ≤ M.

(2) Với mọi n ∈ N, vì

{an+1 , an+2 , . . . } ⊂ {an , an+1 , . . . }
nên theo Bổ đề 1.2.1, ta suy ra {Mn } là dãy giảm và bị chặn dưới, {mn }
là dãy tăng và bị chặn trên.
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử {an } là dãy bị chặn. Khi đó, theo Bổ đề 1.2.2
và Định lí Weierstrass, ta suy ra tồn tại

lim sup an = lim Mn = inf∗ sup{an , an+1 , . . . } ;
n→∞

n→∞

n∈N

lim inf an = lim mn = sup
n→∞

n→∞

n∈N∗

inf{an , an+1 , . . . } .

Ta nói lim sup an là giới hạn trên, lim inf an là giới hạn dưới của {an }.
n→∞

n→∞

1.3. Không gian topo, tập hợp mở

Mục này dành cho việc trình bày khái niệm và tính chất cơ bản của
khơng gian topo và tập hợp mở.


19

Định nghĩa 1.3.1. Cho X là một tập hợp và τ là một tập con của X
thỏa mãn điều kiện sau.
1) ∅, X ∈ τ .
2) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , thì

Uα ∈ τ .
α∈Λ

3) Nếu U , V ∈ τ , thì U ∩ V ∈ τ .
Khi đó,
❼ τ được gọi là một topo trên X .
❼ Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo.
❼ Một phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở.
❼ Mỗi phần tử của X được gọi là điểm của nó.

Ví dụ 1.3.2. (1) Giả sử (X, d) là một không gian metric. Ta đặt

τ = U ⊂ X : U mở trong (X, d) .
Khi đó, τ là một topo trên X . Ta nói rằng τ là topo được sinh bởi d.
Như vậy, V mở trong (X, τ ) khi và chỉ khi V ∈ τ , khi và chỉ khi V mở
trong (X, d).
(2) Cho tập hợp X và

τ1 = {∅, X}, τ2 = P(X).

Khi đó, τ1 và τ2 là các topo trên X . Ta nói rằng τ1 là topo thơ và τ2 là
topo rời rạc.
(3) Cho X = {a, b, c} và

τ1 = ∅, X, {a}, {a, b}, {c} ,


20

τ2 = ∅, X, {a}, {a, b}, {a, c} ,
τ3 = {a, b}, {b, c} .
Khi đó, τ1 và τ3 không là topo, τ2 là topo.
Nhận xét 1.3.3. Đối với khơng gian topo (X, τ ), ta có
1) ∅, X là các tập hợp mở trong X .
2) Hợp các tập mở trong X là tập mở trong X .
3) Giao hữu hạn các tập mở trong X là các tập mở trong X .
4) Giao tùy ý các tập mở trong X có thể khơng mở trong X .
Chứng minh. Từ định nghia topo ta suy ra (1), (2), (3) là rõ ràng. Bây
giờ, ta chứng minh (4).
Thật vây, giả sử R là tập số thực với topo thông thường. Ta đặt

1 1
An = − ,
n n

với mọi n ∈ N.

Khi đó,
❼ An là tập mở với mọi n ∈ N.
❼

An = {0}.
n∈N

Thật vậy, vì {0} ⊂ An với mọi n ∈ N nên {0} ⊂

An .
n∈N

Bây giờ, giả sử x ∈

An , khi đó
n∈N

0 ≤ |x| <

1
với mọi n ∈ N.
n

Qua giới hạn khi n → ∞ ta suy ra x = 0. Như vậy,

An ⊂ {0}.
n∈N


21

❼ {0} không là tập mở trong R.

Như vậy, nhận xét được chứng minh.

1.4. Lân cận
Mục này dành cho việc trình bày khái niệm về lân cận và các tính chất
cơ bản của nó.
Định nghĩa 1.4.1. Cho A là tập con khác rỗng của không gian topo
(X, τ ). Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của tập A nêu
tồn tại V ∈ τ sao cho

A ⊂ V ⊂ U.
Ngoài ra, nếu U ∈ τ , thì ta nói rằng U là lân cận mở của A. Đặc biệt, nếu

A = {x}, thì ta nói rằng U là lân cận của x.
Nhận xét 1.4.2. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo. Khi đó,
1) Lân cận của một điểm khơng nhất thiết là một tập mở. Tuy nhiên,
mọi tập mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
2) Giao hữu hạn các lân cận của A cũng là một lân cận của A. Tuy
nhiên, giao tùy ý các lân cận của A có thể khơng là lân cận của A.
Chứng minh. (1) Giả sử trên R với topo thông thường ta lấy A = [−1, 1].
Khi đó, rõ ràng rằng A là lân cận của điểm 0 nhưng nó khơng là tập mở.
Bây giờ, giả sử A là một tập mở trong X . Khi đó, với mọi x ∈ A, ta
lấy Vx = A. Rõ ràng rằng Vx ∈ τ và x ∈ Vx ⊂ U . Như vậy, U là lân cận
của x trong X .
n

(2) Giả sử U1 , . . . , Un là các lân cận của A. Ta chứng minh U =

Ui
i=1

là lân cận của A. Thật vậy, với mọi i ≤ n, vì Ui là lân cận mở của A nên
tồn tại Vi ∈ τ sao cho

A ⊂ Vi ⊂ Ui .