Phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán xác định hệ số dẫn điện trong chụp cắt lớp điện trở kháng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MAI NGUYỄN MINH HỒNG

PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HỐ THƯA
CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ DẪN
ĐIỆN TRONG CHỤP CẮT LỚP ĐIỆN
TRỞ KHÁNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2021


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MAI NGUYỄN MINH HỒNG

PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HỐ THƯA
CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ DẪN
ĐIỆN TRONG CHỤP CẮT LỚP ĐIỆN
TRỞ KHÁNG
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn
TS. PHẠM QUÝ MƯỜI

Đà Nẵng - 2021


LOI CAM DOAN

Toi xin cam doan day la c6ng trlnh nghien

CU'.U

cua rieng t6i. Cac s6

li�u, k@t qua neu trong lui;i,n van la trung thl)'c va chua tll'ng dU'Qc ai c6ng
b6 trong b§,t kl c6ng trlnh nao khac.

Tac gia

Mai Nguy€n Minh Hoang


TRANG THONG TIN LUAN VA.N TRAC SI
Tend� tai: PHUdNG PH.AP CHINH HO.A THUA CHO BAI TO.AN
xAc D�NH H]t DAN DI]tN TRONG CHlJP CAT LdP DI]tN
TRd KR.ANG.
Nganh: Toan Giai tich.
HQ va ten h9c vien: Mai Nguyen Minh Hoang.
Nguai hudng dan khoa h9c: TS. Ph9-m Quy Muoi.
Co scJ dao tc,1,0: Truong D9-i h9c Su ph9-m - D9-i h9c Da Niing.

so

Tom d.t: Xet. bai toan xac djnh M s6 dan di�n a trong phucmg trlnh elliptic:
- div(aV¢)

=0

(1)

trong D,

tu du: li�u bj nhieu cua toan tfr Neumann-to-Dirichlet.
Bai toan (1) da dtrQc chi' ra la bai toan di:\t khong chi'nh. Do tinh di:i,t khong chi'nh va du: li�u
nhieu thu duqc. nen bai toan tlm nghi�m s6 cho M s6 dan di�n a tu du: li�u nhieu la bai toan
khong 611 djnh va la bai toan riit kh6. Nghi�m s6 cho bai toan da ngay cang thu h(1t sv quan tam
cua nhi§u nha, khoa h9c va da c6 mot vai gia.i thu�t s6 duqc d§ xuiit. Trong h§.u h§t cac trtrang
hQp, nguai ta dua v§ bai toan t6i uu dl,1a tren pl1ltong phap blnh phtwng be nhAt va, sau d6 gia.i
bai toan b5.ng phUCfng phap Newton. Tuy nhien, ch§.t lUQng cua anh phl).c hbi (nghi�m phl).c h6i)
thu dttQc van con kem va rAt khiem t6n khi so sanh v6i cac phtwng phap khac.
Bai toan (1) phat sinh tu nhi§u bai toan tht_rc t§. Ching hc_111 nhu xac djnh vj tri khong d6ng
nhAt ben trong cac d6i tuQng c6 do dan 11§11 da bi§t, tu'c la chung c6 khai triJn thua trong mot
CCf SC! nao d6 cua khong gian. Vf dl)., phat hi�n ca,c v§t nut hoi;ic bQt khi trong mot s6 v�t li�u xay
dl,1ng va phan bi�t mo ung thu cung thuoc loc_1i bai toan nay.
Vl tM, trong lu�n van nay, chung toi mu6n nghien cu:u Bai toan (1) v6i gia thi§t la M s8 dan
di�n a* dn du0c pht_1c h6i c6 tfnh th1ra. H011 nu:a, trong thvc t�, ch(mg ta chi' c:6 mot s6 do luang
hu:u hc_111 cho t�p du: li�u cua toan tfr Neumann-to-Dirichlet. Chinh vl v�y, chung ta nen sfr dl).ng
phu0ng phap ch111h h6a thua cho bai toan trong truang hQp nay.
Lu�n van da trlnh bay cac kifo thu:c CCf SC! lien quan; nghien cu:u bai toan thu�n trong chl).p ciit
16p di�n trcJ khang; nghien cu:u ba.i toan ngtrQc, phu0ng phap chinh h6a thua va sfr dl).ng Matlab
dJ gia.i ca.c vi dl). s6.
Tu kh6a: H� s6 dan di�n, chl).p dt 16p di�n trcJ khang, plnwng phap chinh h6a thtra.

Xac nh�n cua giao vien huong dan

TS. Ph,:lm Quy Muoi

Nguoi thvc hi�n d� tai

lVIai Nguyen Minh Hoang



1

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

3

BẢNG KÍ HIỆU

4

MỞ ĐẦU

5

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

9

1.1

1.2

Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian
Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Toán tử và một số khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1

Toán tử liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2

Hàm nửa liên tục, hàm nửa liên tục yếu, hàm coercive 12

1.2.3

Hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.4

Tốn tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.5

Toán tử liên tục Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.6

Toán tử kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3

Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4

Toán tử khả vi Fréchet, dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1

Toán tử khả vi Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2

Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15


2

1.5 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Định lí Lax-Milgram, định lí biểu diễn Riesz, định lí nhúng
Sobolev, định lí nhúng Kondrashov . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Bất đẳng thức Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Chương 2. BÀI TOÁN THUẬN TRONG CHỤP CẮT LỚP
ĐIỆN TRỞ KHÁNG

22

2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Công thức nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Tính khả vi của Tốn tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 3. BÀI TỐN NGƯỢC VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH
HĨA THƯA

30

3.1 Phát biểu bài toán ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Phương pháp chỉnh hóa thưa . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Tốc độ hội tụ của phương pháp chỉnh hóa thưa . . . . . . . 40
3.4 Nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
KẾT LUẬN

52

TÀI LIỆU THAM KHẢO

53


3

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của
thầy hướng dẫn, TS. Phạm Quý Mười, Trường Đại học Sư phạm, Đại học
Đà Nẵng. Tơi xin bày tỏ sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi cũng
xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm, Đại
học Đà Nẵng, Phòng Đào tạo, Khoa Tốn, cùng q thầy cơ giáo giảng
dạy lớp cao học Giải tích - K39 tại Đà Nẵng đã dày cơng giảng dạy trong
suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và
thực hiện luận văn.
Nhân đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về vật chất và tinh
thần của gia đình, cảm ơn những người bạn đã ln đồng hành và tạo mọi
điều kiện giúp đỡ để tôi hồn thành tốt khóa học và luận văn này.


4

BẢNG KÍ HIỆU

R

: Tập số thực

Rn

: Khơng gian Euclid n - chiều

∇

: Tốn tử gradient

·

V

: Chuẩn trong khơng gian V

inf f

: Cận dưới đúng của ánh xạ f

sup f

: Cận trên đúng của ánh xạ f

min f

: Giá trị nhỏ nhất của ánh xạ f

max f

: Giá trị lớn nhất của ánh xạ f

div F

: divergence của hàm vectơ F

∂u
∂xi

: Đạo hàm riêng của hàm u theo biến xi

x, y

: Tích vơ hướng của x và y

hkn

: Hầu khắp nơi

suppu

: Giá của hàm u


5

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Xét bài toán xác định hệ số dẫn điện σ trong phương trình elliptic:

− div(σ∇φ) = 0 trong Ω,

(1)

từ dữ liệu bị nhiễu của toán tử Neumann-to-Dirichlet.
Bài toán (1) đã được Calderon xem xét lần đầu tiên vào năm 1980 và
tính giải được duy nhất cho nghiệm của bài toán được Sylvester và Uhlman
chứng minh trong không gian rộng hơn với số chiều từ ba trở lên vào năm
1987. Sau đó, có một số kết quả mở rộng khác như tính duy nhất nghiệm

¯ . Păavăarinta v cỏc
c chng minh vi biờn thuc C 1,1 và hàm σ ∈ C 1,1 (Ω)
cộng sự đã chứng minh tính duy nhất nghiệm với hệ số dẫn điện Lipschitz.
Trong khơng gian hai chiều, tính duy nhất nghiệm được chứng minh bởi
Nachman với σ ∈ W 2,p (Ω), p > 1 và sau đó được mở rộng bởi Brown và
Uhlmann với σ ∈ W 1,p (Ω), p > 1.
Bài toán (1) đã được chỉ ra là bài toán đặt khơng chỉnh. Do tính đặt
khơng chỉnh và dữ liệu nhiễu thu được, nên bài tốn tìm nghiệm số cho hệ
số dẫn điện σ từ dữ liệu nhiễu là bài tốn khơng ổn định và là bài tốn rất
khó. Nghiệm số cho bài toán đã ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều
nhà khoa học và đã có một vài giải thuật số được đề xuất. Trong hầu hết
các trường hợp, người ta đưa về bài toán tối ưu dựa trên phương pháp
bình phương bé nhất và sau đó giải bài toán bằng phương pháp Newton.
Tuy nhiên, chất lượng của ảnh phục hồi (nghiệm phục hồi) thu được vẫn
còn kém và rất khiêm tốn khi so sánh với các phương pháp khác.


6

Bài toán (1) phát sinh từ nhiều bài toán thực tế. Chẳng hạn như xác
định vị trí khơng đồng nhất bên trong các đối tượng có độ dẫn nền đã
biết, tức là chúng có khai triển thưa trong một cơ sở nào đó của khơng
gian. Ví dụ, phát hiện các vết nứt hoặc bọt khí trong một số vật liệu xây
dựng và phân biệt mô ung thư cũng thuộc loại bài tốn này.

Hình 1: Hệ thống chụp cắt lớp trở kháng điện trong Y học

Vì thế, trong luận văn này, chúng tơi muốn nghiên cứu Bài tốn (1) với
giả thiết là hệ số dẫn điện σ ∗ cần được phục hồi có tính thưa. Hơn nữa,
trong thực tế, chúng ta chỉ có một số đo lường hữu hạn cho tập dữ liệu
của tốn tử Neumann-to-Dirichlet. Chính vì vậy, chúng ta nên sử dụng
phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài tốn trong trường hợp này.
Với những lí do trên, tơi chọn đề tài “Phương pháp chỉnh hoá thưa cho
bài toán xác định hệ số dẫn điện trong chụp cắt lớp điện trở kháng” để
thực hiện luận văn của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu


7

Luận văn sẽ nhắm vào hệ thống lại các kiến thức cơ sở liên quan, nghiên
cứu bài toán thuận, bài tốn ngược và phương pháp chỉnh hóa thưa cho
bài tốn xác định hệ số dẫn điện trong chụp cắt lớp điện trở kháng. Luận
văn sẽ áp dụng các giải thuật, lập trình trong Matlab để giải số một vài
ví dụ số.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Bài toán thuận trong bài toán chụp cắt lớp điện trở kháng.
- Bài toán ngược về xác định hệ số dẫn điện trong bài toán chụp cắt

lớp điện trở kháng.
- Phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài tốn xác định hệ số dẫn điện
trong bài toán chụp cắt lớp điện trở kháng.
- Một số giải thuật để tìm nghiệm số cho bài toán ngược.
4. Phương pháp nghiên cứu
Với đề tài: “Phương pháp chỉnh hoá thưa cho bài toán xác định hệ số
dẫn điện trong chụp cắt lớp điện trở kháng” tôi sẽ sử dụng các phương
pháp nghiên cứu sau:
- Thu thập, phân tích và tổng hợp các tài liệu liên quan đến nội dung
nghiên cứu.
- Phân loại và hệ thống hóa lý thuyết.
- Trao đổi và thảo luận với giáo viên hướng dẫn và nhóm nghiên cứu
tại các buổi seminar.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có giá trị về cả mặt lí thuyết và thực tiễn. Luận văn là tài liệu
tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và những người có nhu cầu tìm
hiểu bài toán xác định hệ số dẫn điện trong chụp cắt lớp điện trở kháng.


8

6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung luận văn được chia
thành ba chương.
Chương 1 trình bày về kiến thức cơ sở bao gồm:
- Khơng gian định chuẩn, khơng gian Banach, khơng gian Hilbert.
- Tốn tử và một số khái niệm liên quan.
- Tập lồi và hàm lồi.
- Toán tử khả vi Fréchet, dưới vi phân.
- Khơng gian Sobolev.

- Định lí Lax-Milgram, định lí biểu diễn Riesz, định lí nhúng Sobolev,
định lí nhúng Kondrashov.
- Bất đẳng thức Poincaré.
Chương 2 trình bày về bài tốn thuận trong chụp cắt lớp điện
trở kháng bao gồm:
- Phát biểu bài tốn thuận.
- Cơng thức nghiệm yếu.
- Tính tồn tại duy nhất nghiệm.
- Tính đặt chỉnh.
- Tính khả vi của các tốn tử.
Chương 3 trình bày về bài tốn ngược và phương pháp chỉnh
hóa thưa bao gồm:
- Phát biểu bài tốn ngược.
- Phương pháp chỉnh hóa thưa.
- Tốc độ hội tụ của phương pháp chỉnh hóa thưa.
- Nghiệm số.


9

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này tác giả trình bày một số kiến thức cơ sở về không gian
định chuẩn, khơng gian Banach, khơng gian Hilbert; Tốn tử và một số khái
niệm liên quan; Tập lồi và hàm lồi; Tốn tử khả vi Fréchet, dưới vi phân;
Khơng gian Sobolev; Định lí Lax-Milgram, định lí biểu diễn Riesz, định lí
nhúng Sobolev, định lí nhúng Kondrashov và bất đẳng thức Poincaré. Các
kết quả trong chương này chủ yếu tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [5].

1.1
1.1.1

Không gian định chuẩn, không gian Banach,
không gian Hilbert
Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là khơng gian tuyến tính trên trường số thực
R. Một chuẩn trên X là ánh xạ

· : X → R thỏa mãn các tính chất sau

(i) x ≥ 0 ∀x ∈ X;
(ii) x = 0 ⇔ x = 0;
(iii) kx = |k| · x

∀x ∈ X, ∀k ∈ R;

(iv) x + y ≤ x + y

∀x, y ∈ X .

Bất đẳng thức (iv) được gọi là bất đẳng thức tam giác.
Một khơng gian tuyến tính trên trường số thực R với chuẩn
gọi là không gian định chuẩn trên trường R.

·

được

10

1.1.2

Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian định chuẩn. Ta nói rằng dãy

{uk }∞
k=1 ⊂ X hội tụ đến u ∈ X nếu limk→∞ uk − u = 0. Kí hiệu uk → u
khi k → ∞ hay limk→∞ uk = u.
Định nghĩa 1.1.3. Cho X là không gian định chuẩn. Dãy {uk }∞
k=1 ⊂ X
được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, ∃N > 0 sao cho uk − ul <

ε, ∀k, l ≥ N .
Định nghĩa 1.1.4. (Không gian Banach)
Cho X là không gian định chuẩn. X được gọi là không gian Banach
nếu mỗi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.

1.1.3

Không gian Hilbert

Cho H là khơng gian tuyến tính trên trường số thực R.
Định nghĩa 1.1.5. (Tích vơ hướng)
Tích vơ hướng là ánh xạ

., . : H × H → R
(x, y) → x, y
thỏa mãn các tính chất sau
(i) x, x ≥ 0, ∀x ∈ H và x, x = 0 ⇔ x = 0;
(ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ H ;
(iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ H và ∀α ∈ R;
(iv) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H .
Kí hiệu. Nếu ., . là một tích vơ hướng, thì nó sinh ra một chuẩn cảm
sinh xác định bởi

x := x, x

1/2

(x ∈ H).


11

Định nghĩa 1.1.6. (Khơng gian tiền Hilbert)
Khơng gian tuyến tính H cùng với tích vơ hướng ., . được gọi là không
gian tiền Hilbert. Mỗi không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn
với chuẩn cảm sinh bởi
1/2

x := x, x

(x ∈ H).

Định nghĩa 1.1.7. (Không gian Hilbert)

Một không gian tiền Hilbert H được gọi là không gian Hilbert nếu nó
là một khơng gian Banach với chuẩn sinh bởi tích vơ hướng.
Ví dụ 1.1.8. (Một số ví dụ về khơng gian Hilbert)
a) Không gian Rn là không gian Hilbert với tích vơ hướng chính tắc.
b) Trong l2 với x = (xk ) , y = (yk ), nếu ta định nghĩa
∞

x, y :=

xk yk ,
k=1

thì ., . là tích vơ hướng, l2 , ., .

là không gian Hilbert.

c) Không gian L2 (U ) là một không gian Hilbert với

f, g :=

f gdx.
U

Định lý 1.1.9. (Bất đẳng thức Cauchy–Schwartz)
Cho H là một khơng gian tiền Hilbert. Khi đó,

| x, y | ≤ x · y

1.2
1.2.1

∀x, y ∈ H.

Toán tử và một số khái niệm liên quan
Toán tử liên tục

Định nghĩa 1.2.1. Cho X, Y là hai khơng gian định chuẩn. Tốn tử

f : X → Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0
sao cho với mọi x ∈ X mà x − x0 < δ ta đều có f (x) − f (x0 ) < ε.


12

Nhận xét 1.2.2. Ngồi cách định nghĩa trên ta có thể định nghĩa sự liên
tục của toán tử f tại x0 theo một cách khác như sau: Toán tử f được gọi
là liên tục tại x0 nếu mọi dãy (xn ) mà xn → x0 thì f (xn ) → f (x0 ) .
Định nghĩa 1.2.3. Toán tử f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục
tại mọi x0 ∈ X .

1.2.2

Hàm nửa liên tục, hàm nửa liên tục yếu, hàm coercive

Định nghĩa 1.2.4. Hàm f : X → R được gọi là nửa liên tục dưới tại

x0 ∈ X nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho
f (x) ≥ f (x0 ) − ε, ∀x ∈ X thỏa mãn: x − x0 < δ.
Định nghĩa 1.2.5. Hàm f : X → R được gọi là nửa liên tục trên tại x0
nếu −f là nửa liên tục dưới tại x0 .

Định nghĩa 1.2.6. Hàm f : X → R được gọi là nửa liên tục dưới yếu tại

x0 nếu limx→x0 inf f (x) ≥ f (x0 ) .
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới yếu nếu nó nửa liên tục dưới yếu
tại mọi x ∈ X .
Định nghĩa 1.2.7. Hàm f : X → R được gọi là coercive nếu với mọi dãy

(xn ) ⊂ X , ta có f (xn ) → +∞ khi xn → +∞.
1.2.3

Hội tụ yếu

Định nghĩa 1.2.8. Cho X là không gian Hilbert. Dãy {xn } trên X được
gọi là hội tụ yếu đến x0 ∈ X , kí hiệu xn → x0 , nếu

xn , y → x0 , y ,

∀y ∈ X.


13

1.2.4

Tốn tử tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 1.2.9. Cho X, Y là các khơng gian định chuẩn trên trường
R. Tốn tử tuyến tính f : X → Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại số M
sao cho f (x) ≤ M x với mọi x ∈ X .
Định lý 1.2.10. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn và f : X → Y

là toán tử tuyến tính. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương
(i) f liên tục trên X ;
(ii) f liên tục tại x0 ;
(iii) f liên tục tại 0;
(iv) f bị chặn.

1.2.5

Toán tử liên tục Lipschitz

Định nghĩa 1.2.11. Cho X, Y là hai khơng gian định chuẩn. Tốn tử

f : X → Y được gọi là liên tục Lipschitz nếu tồn tại một hằng số dương
L sao cho
f (x) − f (y)

Y

≤L x−y

X,

với mọi x, y ∈ X .

1.2.6

Toán tử kép

Định nghĩa 1.2.12. Cho A : X → Y bị chặn và lấy ϕ ∈ Y ∗ . Khi đó

f (x) = ϕ(Ax) với mọi x ∈ X là hàm tuyến tính trên X . Hơn nữa, ta có
|f (x)| ≤ ϕ

Y

· A · x .

Suy ra f ∈ X ∗ . Do đó tồn tại ánh xạ ϕ → f := A∗ ϕ. Điều này chứng tỏ
rằng A∗ : Y ∗ → X ∗ tuyến tính. Đến đây suy ra được x ∈ X và ϕ ∈ Y ∗


14

nên ta có

ϕ(Ax) ≡ (A∗ ϕ) (x).
Rõ ràng A∗ là tốn tử bị chặn. Đồng thời, ta có

A = sup A(x)

Y

= sup sup |ϕ(A(x))|
x =1 ϕ =1

x =1

= sup sup |ϕ(A(x))| =
ϕ =1 x =1

= sup A∗ (ϕ)
ϕ =1

sup

sup |A∗ (ϕ)(x)|

ϕ =1 x =1
X∗

= A∗ .

Do đó ta có A = A∗ .
Toán tử A∗ được gọi là toán tử kép của A. Kí hiệu A∗ : Y ∗ → X ∗ .

1.3

Tập lồi và hàm lồi

Cho không gian Hilbert H và L ⊂ H .
Định nghĩa 1.3.1. Tập L được gọi là tập lồi nếu

∀a, b ∈ L và λ ∈ [0, 1] ta có λa + (1 − λ)b ∈ L.
Định nghĩa 1.3.2. Cho hàm f xác định trên tập lồi L. Hàm f được gọi
là hàm lồi trên L nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y),
với mọi x, y ∈ L, 0 ≤ λ ≤ 1.
Định nghĩa 1.3.3. Hàm f được gọi là lồi chặt nếu

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y),
với mọi x, y ∈ L, x = y, 0 < λ < 1.


15

1.4

Toán tử khả vi Fréchet, dưới vi phân

1.4.1

Toán tử khả vi Fréchet

Định nghĩa 1.4.1. Cho V và W là không gian Banach, và U ⊂ V là một
tập con mở của V . Toán tử f : U → W được gọi là khả vi Fréchet tại

x ∈ U nếu tồn tại một tốn tử tuyến tính bị chặn A : V → W sao cho
lim

h→0

1.4.2

f (x + h) − f (x) − A(x)h
= 0.
h

Dưới vi phân

Định nghĩa 1.4.2. Cho f : Rn → R là một hàm lồi. Một vectơ g ∈ Rn
được gọi là dưới gradient của f tại x ∈ Rn nếu

f (x + δ) ≥ f (x) + δ T g, ∀δ ∈ Rn .
Định nghĩa 1.4.3. Tập tất cả dưới gradient của f tại x được gọi là dưới
vi phân của hàm f tại x, kí hiệu là ∂f (x). Tức là

∂f (x) = g : f (x + δ) ≥ f (x) + δ T g, ∀δ ∈ Rn .
Ví dụ 1.4.4. Cho f, g : R → R bởi

f (x) := |x|;


 −√x, x ≥ 0;
g(x) :=
.
 +∞, x < 0.

Khi đó,



{−1}, x < 0;


∂f (x) = [−1, 1], x = 0;



 {1},

x > 0.


 ∅,
∂g(x) =
 −

x ≤ 0;
1
√
2 x

, x > 0.

Định nghĩa 1.4.5. Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu tập

∂f (x) = ∅.


16

1.5

Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.5.1. (Không gian Lp (Ω))

Lp (Ω) = {u : Ω → R | u là đo được Lebesgue, u

Lp (Ω)

< +∞ . Trong

đó chuẩn được xác định bởi

u

Lp (Ω)

1
p

|u(x)|p dx

=

,

1 ≤ p < +∞.

Ω

Chú ý rằng trong Lp (Ω), hai hàm số bằng nhau nếu chúng bằng nhau
hầu khắp nơi. Khi đó, Lp (Ω) là một khơng gian tuyến tính với phép cộng
hai hàm số và phép nhân một số thực với một hàm số thông thường. Hơn
nữa, Lp (Ω) là một không gian Banach với chuẩn được định nghĩa như ở
trên. Khi p = 2, L2 (Ω) là một không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.5.2. (Đạo hàm suy rộng)
Kí hiệu C0∞ (Ω) là khơng gian các hàm khả vi vơ hạn có giá compact
trong Ω.

Giả sử u(x) ∈ Lp (Ω). Hàm số w(x) ∈ Lp (Ω) được gọi là đạo hàm riêng
suy rộng theo biến xj của hàm u(x), kí hiệu là

∂u(x)
= Dj u = w(x),
∂xj
nếu với mọi v(x) ∈ C0∞ (Ω) ta có

w(x)v(x)dx = −
Ω

u(x)
Ω

∂v(x)
dx.
∂xj

Giả sử α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn là đa chỉ số với αj ∈ N. Ta kí hiệu
|α| = α1 + α2 + . . . + αn và Dα = D1α1 D2α2 . . . Dnαn . Khi đó, ta định nghĩa
đạo hàm riêng suy rộng cấp cao như sau


17

Giả sử u(x) ∈ Lp (Ω). Hàm số wα (x) ∈ Lp (Ω) được gọi là đạo hàm riêng
suy rộng cấp α của u, kí hiệu là Dα u = wα , nếu với mọi v(x) ∈ C0∞ (Ω)
ta có

v(x)wα (x)dx = (−1)|α|

u(x)

Ω

Ω

∂v(x)
dx.
∂xj

Định nghĩa 1.5.3. (Không gian W m,p (Ω) và H m (Ω))
(i) Không gian W m,p (Ω) là không gian bao gồm các hàm u(x) ∈ Lp (Ω)
sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α| ≤ m, thuộc Lp (Ω) và
được trang bị chuẩn
 p1



u

W m,p (Ω)

|Dα u(x)|p dx .

=
0≤|α|≤m

Ω

(ii) Khi p = 2, ta có W m,p (Ω) = W m,2 (Ω) và được kí hiệu là H m (Ω).
Tức là

Hm (Ω) = u ∈ L2 (Ω), ∀α : |α| ≤ m, Dα u ∈ L2 (Ω) .
Khi đó, Hm (Ω) là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng

u, v

m

Dα uDα vdx

=
Ω

|α|≤m

Dα u, Dα v

=

L2 (Ω) ,

với mọi u, v ∈ Hm (Ω).

|α|≤m

Do đó, ta suy ra

u

2
m

= u, u

m

Dα u, Dα u =

=
|α|≤m

Dα u

2
L2 (Ω) .

|α|≤m

(iii) Khi m = 0, ta có H0 (Ω) = L2 (Ω).
(iv) Trong luận văn này, tôi chủ yếu làm việc trên không gian H 1 (Ω)
được định nghĩa như sau

H 1 (Ω) = u ∈ L2 (Ω) : Di u ∈ L2 (Ω), i = 1, . . . , N ,


18

với chuẩn được cho bởi

1/2

u

H 1 (Ω)

2

2

u + |∇u| dx

=

,

Ω

trong đó |∇u|2 = (D1 u)2 + . . . + (DN u)2 .
Cùng với tích vơ hướng

u, v

H 1 (Ω)

=

∇u · ∇vdx.

uvdx +

Ω

Ω

Như vậy, H 1 (Ω) là một không gian Hilbert.

1.6

Định lí Lax-Milgram, định lí biểu diễn Riesz,
định lí nhúng Sobolev, định lí nhúng Kondrashov

Định lý 1.6.1. [5] (Định lí Lax-Milgram)
Giả sử X là một khơng gian Hilbert thực, a(u, v) là phiếm hàm song
tuyến tính trên X . Giả thiết a(u, v) thỏa mãn các điều kiện
(i) Tồn tại c > 0 sao cho |a(u, v)| ≤ c||u|| · v với mọi u, v ∈ X .
(ii) Tồn tại γ > 0 sao cho a(u, u) ≥ γ u

2

với mọi u ∈ X .

Khi đó, với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên X đều tồn tại
duy nhất f ∈ X sao cho

F (u) = a(u, f ),

∀u ∈ X.

Hơn nữa, tồn tại hằng số ca , không phụ thuộc vào F sao cho

||u|| ≤ ca ||F ||.
Chứng minh. Lấy u ∈ X cố định. Khi đó, u(v) = a(u, v) là phiếm hàm
tuyến tính trên X . Theo (i), ta có

|a(u, v)| ≤ c u · v với mọi v ∈ X .


19

Điều này chứng tỏ u(v) là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X . Theo
định lý Riesz-Frechét, tồn tại một phần tử, ký hiệu Au ∈ X , sao cho

u(v) = (Au, v), ∀v ∈ X.
Như vậy a(u, v) = (Au, v), ∀v ∈ X , và ta có một toán tử

A : X → X;
u → Au.
Ta thấy A là tốn tử tuyến tính. Thật vậy, với mọi λ1 , λ2 ∈ R, u1 , u2 ∈ X
và với mỗi v ∈ X , ta có

(A (λ1 u1 + λ2 u2 ) , v) = a (λ1 u1 + λ2 u2 , v) = λ1 a (u1 , v) + λ2 a (u2 , v)
= λ1 (Au1 , v) + λ2 (Au2 , v) = (λ1 Au1 + λ2 Au2 , v) .
Đẳng thức đúng với mỗi v ∈ X nên suy ra A tuyến tính. Theo giả thiết
(ii), ta có

Au

2

= (Au, Au) = a(u, Au) ≤ c u · Au , ∀u ∈ X.

Suy ra: Au ≤ c u , ∀u ∈ X. Bất đẳng thức này chứng tỏ A : X → X
là toán tử liên tục. Hơn nữa, với u1 , u2 ∈ X mà

Au1 = Au2

⇒

u1 = u2 .

(1.1)

Mặt khác, với mọi u ∈ X ta có

u

2

≤

1
c
c
1
a(u, u) = (Au, u) ≤
Au · u ⇒ u ≤
Au ,
γ
γ
γ

γ

∀u ∈ X.
(1.2)

Do đó, với u1 , u2 ∈ X mà

u1 = u2

⇒

Au1 = Au2 .

(1.3)


20

Từ (1.1) và (1.3) suy ra A : X → X là ánh xạ 1 − 1.
Bây giờ ta xét tập A(X) như sau: A(X) = {Au ∈ X : u ∈ X}. Ta
chứng minh A(X) đóng trong X . Thật vậy, giả sử {Auj } là dãy hội tụ
đến v ∈ X. Vì {Auj } là dãy Cauchy trong X nên ta có

lim

j,k→+∞

Auj − Auk = 0.

Từ (1.2) ta có

c
· Auj − Auk .
γ
Điều này chứng tỏ {uj } là dãy Cauchy trong X , cho nên tồn tại u ∈ X sao
uj − uk ≤

cho limj→+∞ uj = u trong X. Do A là ánh xạ liên tục nên Au = v ∈ A(X),
tức là A(X) đóng trong X .
Ta chứng minh A(X) = X . Giả sử A(X) ⊂ X, A(X) đóng. Ta lấy

u ∈ X mà u ∈
/ A(X), trực giao với A(X), tức là
(u, Au) = a(u, u) = 0.
Vì u

2

≤ γ1 a(u, u) = 0 nên u = 0, tức là A(X) = X. Vậy A : X → X là

song ánh.
Giả sử F (u) là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X . Theo định lý
Riesz-Frechét tồn tại duy nhất g ∈ X sao cho

F (u) = (g, u).
Khi đó, tồn tại f ∈ X sao cho Af = g . Do đó F (u) = (g, u) = (Af, u) =

a(f, u),

∀u ∈ X.

Định lý 1.6.2. [5] (Định lí biểu diễn Riesz)
Cho H là một không gian Hilbert trên R. Khi đó, với mọi tốn tử tuyến
tính liên tục f ∗ ∈ H ∗ , tồn tại duy nhất u ∈ V sao cho f ∗ (H) = u, v với
mọi v ∈ H và f ∗

H∗

= u

H.