Phép tính vi phân của hàm vectơ và một số ứng dụng

✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆●
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

✖✖✖✖✖

❱Ơ ❚❍➚ ❚❍Ị❨ ❱❹◆

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒
❚➊◆ ✣➋ ❚⑨■

P❍➆P ❚➑◆❍ ❱■ P❍❹◆ ❈Õ❆ ❍⑨▼ ❱❊❈❚❒
❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ Ù◆● ❉Ö◆●
❈❍❯❨➊◆ ◆●⑨◆❍✿ ❚❖⑩◆ ●■❷■ ❚➑❈❍
▼➣ số
ữớ ữợ ồ


◆➂◆● ✲ ◆❿▼ ✷✵✷✶


▼ư❝ ❧ư❝
▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
▼Ð ✣❺❯
✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð

✹
✺
✽

✶✳✶

◆❤➢❝ ❧↕✐ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✈❡❝tì ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✷

●✐ỵ✐ ❤↕♥ ✈➔ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♠ët ❜✐➳♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺

✶✳✸

✣↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♠ët ❜✐➳♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✶✳✹

❈→❝ q✉② t➢❝ t➻♠ ✤↕♦ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

✶✳✺

❚➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♠ët ❜✐➳♥ sè

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✶✳✻

❙ì ❧÷đ❝ ✈➲ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✷ ▼ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì
✷✳✶

Ù♥❣ ❞ư♥❣ ❤➔♠ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤à♥❤ ❧÷đ♥❣ ✳

✷✹

✷✳✶✳✶

✣ë ❞➔✐ ❝✉♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✷✳✶✳✷

✣ë ❝♦♥❣ ❝õ❛ ♠ët ✤÷í♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

✷✳✶✳✸

❱❡❝tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ ✤ì♥ ✈à

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✷

✷✳✶✳✹

❱❡❝tì trị♥❣ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

✷✳✶✳✺

P❤→♣ ❞✐➺♥✱ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♠➟t t✐➳♣ ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♠➟t t✐➳♣

✸✺

✷✳✶✳✻

✣ë ❝♦♥❣ ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♠➟t t✐➳♣ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ♣❤➥♥❣

y = f (x)
✷✳✷

✷✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

Ù♥❣ ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr÷í♥❣ ✈❡❝tì

✸✼

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✽

✷✳✷✳✶

❚r÷í♥❣ ✈❡❝tì ✈➔ trữớ ổ ữợ





r ừ ởt trữớ ổ ữợ

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✷

✷✳✷✳✸

❘æt❛ ❝õ❛ ♠ët tr÷í♥❣ ✈❡❝tì

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✻

✷


✷✳✷✳✹

✷✳✸

✷✳✹

✣✐✈❡❝❣✐➠♥❣ ❝õ❛ ✶ tr÷í♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✾

Ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟t ❧➼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✸

✷✳✸✳✶

❱❡❝tì ✈➟♥ tè❝✱ tè❝ ✤ë ✈➔ ✈❡❝tì ❣✐❛ tố ừ t







rữớ tỡ ởt tr t ỵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✽

✷✳✸✳✸

❚r÷í♥❣ tỡ tr t ỵ

✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼✺

Ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❞↕♥❣ ✈✐ ♣❤➙♥
✷✳✹✳✶

❱✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♠ët ❜✐➳♥ sè

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼✺

✷✳✹✳✷

❱✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ✈❡❝tì ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼✼

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✽✷

✸

▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ r✐➯♥❣ tæ✐✳ ❈→❝ sè ❧✐➺✉✱ ❦➳t
q✉↔ ♥➯✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷đ❝ ❛✐ ❝ỉ♥❣ ❜è tr♦♥❣
❜➜t ❦➻ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ♥➔♦ ❦❤→❝✳

❚→❝ ❣✐↔

❱ơ ❚❤à ❚❤ò② ❱➙♥

✹


TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ
Tên đề tài: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM VECTO VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG.
Ngành: TỐN GIẢI TÍCH – K38
Họ và tên học viên: VŨ THỊ THÙY VÂN
Người hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG NHẬT QUY
Cơ sở đào tạo: Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng.
Tóm tắt:
*Những kết quả chính của luận văn:
Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học: “ Phép tính vi phân của hàm vecto và một số
ứng dụng” đã đạt được một số kết quả sau đây:
- Đã hệ thống hóa một số khái niệm và các kết quả liên quan tới vectơ, hàm vectơ, giới hạn và
tính liên tục của hàm véc tơ, đạo hàm của hàm véctơ.
- Trình bày một số ứng dụng của hàm vectơ và phép tính vi phân của hàm vectơ trong nghiên
cứu một số trường vectơ trong vật lý, trong nghiên cứu dạng vi phân trong toán học. Các kết
quả ứng dụng đưa ra trong luận văn khá nhiều.
*Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn:
Tác giả tìm hiểu và viết luận văn dựa trên việc tham khảo các kết quả mới từ các tài liệu
chuyên ngành về lĩnh vực, được xuất bản bởi các NXB uy tín trong nước và trên thế giới. Các

kết quả thu được chứng minh một cách chặt chẽ và đầy đủ, luận văn do vậy có cơ sở khoa học.
Về ý nghĩa thực tiễn, đây có thể là một tài liệu tham khảo bằng tiếng Việt bổ ích cho học viên
cao học ngành Tốn Giải tích và các độc giả quan tâm về lĩnh vực hàm véctơ và ứng dụng.
Xác nhận của giáo viên hướng dẫn

TS. HOÀNG NHẬT QUY

Người thực hiện đề tài

VŨ THỊ THÙY VÂN


INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS

Name of thesis: The differential calculus of vector functions and some applications.
Major: Mathematical analysis.
Full name of Master student: VU THI THUY VAN
Supervisors: PhD. HOANG NHAT QUY
Training institution: The University of Danang, University of Education.
Summary

* The main results of the thesis:
The research topic of the Master of Science thesis: “The differential calculus of vector
functions and some applications” has achieved the following results:
- Systematized a number of concepts and results related to vectors, vector functions, limits and
continuity of vector functions, derivatives of vector functions.
- Presenting some applications of vector functions and differential calculus of vector functions
in the study of some vector fields in physics, in the study of differential forms in mathematics.
The application results given in the thesis are quite numerous.
* The applicability in practice and subsequent research of the thesis:

The author researches and writes the thesis based on the reference to new results from the
documents specialized in the field, published by prestigious domestic and international
publishers. The obtained results are rigorously and fully demonstrated, thus the thesis has a
scientific basis. In terms of practical significance, this can be a useful reference in Vietnamese
for graduate students majoring in Analytical Mathematics and interested readers in the field of
vector functions and applications.
Supervior’s confirmation

PhD. HOANG NHAT QUY

Student

VU THI THUY VAN


é
ỵ ồ t
r ữỡ tr t ❤å❝ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤➣ t❤➜② ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥
❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣ ✈➔ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❜ð✐ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝õ❛
✈❡❝tì✳ ◆❣♦➔✐ ❝→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ✈❡❝tì ❝á♥ ❝â ù♥❣ ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ✈➟t
❧➼ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤→❝ ♥ú❛✳ ❍➔♠ ✈❡❝tì ❧➔ sü ♠ð rë♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈❡❝tì
❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤➦t t÷ì♥❣ ù♥❣ ♠é✐ ❣✐→ trà

t ∈ I ⊂ R

✈ỵ✐ ♠ët ✈❡❝tì tr♦♥❣ ♠➦t

♣❤➥♥❣ ❤♦➦❝ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✭✈➔ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥ ❧➔ ♠ët ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣
❣✐❛♥ ✈❡❝tì ♥➔♦ ✤â✮✳ ❑❤✐ ✤â ♠é✐ ✈❡❝tì ❝â t❤➸ ①❡♠ ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✈❡❝tì ❤➡♥❣✳ ❈â
t❤➸ ♥â✐ ❤➔♠ tỡ sỹ t ủ ừ ỵ tt ữỡ tồ ở tỡ

ỵ tt số ợ sỹ ❤é trđ ❝õ❛ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ ❝ư ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♥❤÷
♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ♣❤➨♣ t➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥✱ ❤➔♠ ✈❡❝tì trð ♥➯♥ ❤ú✉ ❤✐➺✉ tr♦♥❣
❝→❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ t ỵ tt ữợ õ ở t ồ ✈✐➺❝
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤➔♠ ✈❡❝tì ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝→✐ ♥❤➻♥ ♠ỵ✐✱ ữỡ t ợ
tứ õ t ữủ ỳ ớ ❣✐↔✐ ❤❛② ❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥✱ ❝→❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❤ú✉
ừ ỵ tt t ồ õ ỵ tt ✈➲ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ♥â✐ r✐➯♥❣
tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳
▼➦❝ ❞ò ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ✈➔ ♣❤➨♣ t♦→♥ ✤↕♦ ❤➔♠ ♥â✐ r✐➯♥❣ ❝â
♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ t♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣ ✈➔ tr♦♥❣ ❝→❝ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❚✉②
♥❤✐➯♥✱ ♥❤ú♥❣ ✈❛✐ trá ♥➔② ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ❦❤ỉ♥❣ ✤÷đ❝ t❤➸ ❤✐➺♥ rã ♥➨t tr♦♥❣
❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ❤å❝ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✳ ❱✐➺❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ tr♦♥❣ ♠ët sè
❧➽♥❤ ✈ü❝ q tở t ỵ tt t ✳ ✮ ❦❤ỉ♥❣ ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ ✤ó♥❣
♠ù❝ ✈ỉ t➻♥❤ ✤➣ ❣➙② r❛ sü ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♥➔② ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣➙② ✤÷đ❝ ✤ë♥❣
❧ü❝ ✈➔ ♥✐➲♠ ✤❛♠ ♠➯ ❦❤✐ ❤å❝ t♦→♥ ❝õ❛ ❤å❝ s✐♥❤✳ ❱✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠

✺


♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ❝â t❤➸ ✤❡♠ sỹ ợ tr ữỡ
t õ ợ tr ữỡ tr t
ồ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ✤➲ t➔✐ ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ❦ý ✈å♥❣ s➩ ❧➔ ❝ì sð ✤➸ ①➙② ❞ü♥❣
❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ✤➔♦ s➙✉ ✈➔ ♠ð rë♥❣ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t♦→♥ ❤å❝ ♣❤ê tổ
ự ồ õ t ữợ ừ ữỡ tr ử ờ
tổ
ợ ỳ ỵ ữ tr ữợ sỹ ữợ ồ ừ

t ◗✉②

✱ tỉ✐ ✤➣ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐

♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣✑

❚❙✳ ❍♦➔♥❣

✏P❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ✈➔

✤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ ❝õ❛ ♠➻♥❤

✷✳ ▼ö❝ t✐➯✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿

✲ ❍➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ✈❡❝tì✳
✲ P❤→t ❜✐➸✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ ✈❡❝tì ✈➔ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❤➔♠
✈❡❝tì ♥❤÷✿ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ ✤↕♦ ❤➔♠✱ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐
♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳
✲ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ tỡ tr ự
ởt số ổ t ỵ

ố t÷đ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿
✸✳✶✳ ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ♣❤➨♣

t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♥❤÷✿ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱
✤↕♦ ❤➔♠✱ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤
❝❤✉➞♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✳

✸✳✷✳ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

✣➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t❤✉ë❝ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤ t♦→♥ ❤å❝✳ ❈ö t❤➸✱ ✤➲ t➔✐
s➩ ❤➺ t❤è♥❣ ❤â❛ ❝→❝ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✈❡❝tì ✱ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ t➼♥❤ ❝❤➜t
❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠

✈❡❝tì tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣
❝õ❛ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✳

✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

✲ ❚❤✉ t❤➟♣✱ tê♥❣ ❤ñ♣✱ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣
✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
✲ ✣å❝✱ tr❛ ❝ù✉ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠ët ❝→❝❤
❧♦❣✐❝ ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣✳

✻


r ờ t t ỵ ừ ữớ ữợ

ị ồ tỹ t ❝õ❛ ✤➲ t➔✐

❑➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❣✐ó♣ tỉ✐ ❤✐➸✉ s➙✉ s➢❝ ❤ì♥ ✈➲ ♣❤➨♣ t➼♥❤
✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ ❣â♣ ♣❤➛♥ ♥➙♥❣ ❝❛♦ ❝❤➜t ❧÷đ♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ♠æ♥ ❜➟❝
❚❍P❚ ♠➔ tæ✐ ✤❛♥❣ ✤↔♠ ♥❤➟♥✳
✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤÷đ❝ s➩ trð t❤➔♥❤ t÷ ❧✐➺✉ ❝❤➼♥❤ ✤➸ tæ✐
①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ tü ❝❤å♥ ✈➔ ❝→❝ ❤♦↕t ✤ë♥❣ tr↔✐ ♥❣❤✐➺♠ s→♥❣ t↕♦ t❤❡♦
②➯✉ ❝➛✉ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❤ê t❤ỉ♥❣ ♠ỵ✐ s➩ tr✐➸♥ ❦❤❛✐ ❜➢t ✤➛✉ tø ♥➠♠ ✷✵✷✵✳

✻✳ ❈➜✉ tró❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥

◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ✷ ❝❤÷ì♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❞➔♥❤ ✤➸
tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ✈❡❝tì✱ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ ❣✐ỵ✐
❤↕♥ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❧➔ ♠ët sè
ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ởt số ổ t ỵ

q ự ❞↕♥❣ ✈✐ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ t♦→♥ ❤å❝✳

✼


❈❤÷ì♥❣ ✶

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ ❞➔♥❤ ✤➸ ❤➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥
tỵ✐ ✈❡❝tì❀ ❤➔♠ ✈❡❝tì❀ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥✱ ✤↕♦ ❤➔♠ ✈➔ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠
✈❡❝tì✳ ✣➙② ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝➛♥ t❤✐➳t ❝❤♦ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ù♥❣
❞ư♥❣ ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✷✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔
ð ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶❪✱ ❬✷❪✱ ❬✹❪✱ ❬✺❪✱ ❬✻❪✳

✶✳✶ ◆❤➢❝ ❧↕✐ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✈❡❝tì
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✱ ✈❡❝tì ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ♠ët ✤♦↕♥ t❤➥♥❣
tr♦♥❣ ✤â q✉② ✤à♥❤ ♠ët ✤➛✉ ♠ót ❧➔ ✤✐➸♠ ✤➛✉ ✭✤✐➸♠ ❣è❝✮ ✈➔ ✤➛✉ ♠ót ❝á♥ ❧➔
❧➔ ✤✐➸♠ ❝✉è✐ ✭✤✐➸♠ ♥❣å♥✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✤ë ❞➔✐ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ✤â ❣å✐ ❧➔ ✤ë ở
ợ ừ tỡ ữớ t ự t õ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ ❝❤✐➲✉ tø
✤✐➸♠ ✤➛✉ ✤➳♥ ✤✐➸♠ ❝✉è✐ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ ✈❡❝tì✳ P❤➨♣ ❝ë♥❣ ❤❛✐ ✈❡❝tì ❝❤♦ t
ởt tỡ ợ ữủ q t ✤✐➸♠ ❤♦➦❝ q✉② t➢❝ ❤➻♥❤ ❜➻♥❤
❤➔♥❤✳ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ♠ët sè tỹ
ữỡ ợ

a

õ ở

ữủ ợ

a



ợ ởt tỡ ⃗a ❝❤♦ t❛ ♠ët ✈❡❝tì ♠ỵ✐ ❝ị♥❣
|λ||⃗a| ✈➔ ❝â ❝❤✐➲✉ ❝ị♥❣ ❝❤✐➲✉ ✈ỵ✐ ⃗a ♥➳✉ λ > 0✱

λ < 0✳

❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣✱ ✈❡❝tì ✤÷đ❝ ❤✐➸✉ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❝õ❛

K ∈ {R, C}✳

♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì tr➯♥ tr÷í♥❣ sè
tr➯♥ tr÷í♥❣

K

❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣

V ̸= ∅

Ð ✤➙②✱ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì

♠➔ tr➯♥ ✤â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥

✽


❝ë♥❣ ❝→❝ ✈❡❝tì ✈➔ ♥❤➙♥ ♠ët sè ✈ỵ✐ ♠ët ✈❡❝tì t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ t✐➯♥ ✤➲ s❛✉ ✤➙②✿

u, v, w ∈ V ✈➔ λ, β ∈ K
u + v = v + u❀
(u + v) + w = u + (v + w)





ỗ t tỡ ổ ỵ
ợ ồ tỡ

u

0

tỗ t tỡ ố ỵ

(u) + u = 0
(λβ)u = λ(βu)❀
✭✻✮ 1.u = u✱ ð ✤➙② 1 ❧➔ sè
✭✼✮ (λ + β)u = λu + βu❀
✭✽✮ λ(u + v) = λu + βu✳

u + 0 = 0 + u = u❀
❤✐➺✉ ❧➔ −u✮ s❛♦ ❝❤♦ u + (−u) =

s❛♦ ❝❤♦

✤ì♥ ✈à t❤✉ë❝ tr÷í♥❣

K❀

❱➔ tr➯♥ ♥➲♥ t↔♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì✱ t♦→♥ ❤å❝ ❝❛♦ ❝➜♣ ✤➣ ♣❤→t tr✐➸♥ ❝→❝
❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❦❤→❝ ♥❤÷ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱ ❦❤ỉ♥❣ ✈❡❝tì tỉ ♣ỉ✱ ổ

t t ự ử ừ ỵ t❤✉②➳t ✈❡❝tì ♥❣÷í✐ t❛ ✤➣ rót r❛
❝→❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ tỡ ỗ ở ợ ỏ õ t ồ ữ ở
ừ tỡ ữợ ừ tỡ ỗ ữỡ ừ tỡ
ử t õ ữủ ữủ ổ ữợ õ ở ợ
ữỡ tỡ õ ở ợ ữợ

ử ã

ữủ t ữ ố ữủ t t ổ

ữủ ữủ ổ ữợ

ã

ữủ t ỵ ữ ở ớ tố tố ỹ ❧➔ ❝→❝ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣

✈❡❝tì✳
✣➸ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ ✈➲ s❛✉✱ s❛✉ ✤➙② t❛ s➩ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐
♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✈❡❝tì✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳

❈→❝ ✈❡❝tì ❝â ✤ë ợ ữủ ồ

tỡ ỡ

r tỡ ỡ ữủ t ợ tỡ ❜➡♥❣ ♠ët

→
−
a
ˆ ❧➔ ✤↕✐ ❞✐➺♥ ❝❤♦ ♠ët ✈❡❝tì ✤ì♥ ✈à
→
−
→
−
a = a. a
ˆ ✱ ð ✤➙② a ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ừ tỡ a

ụ ử
ó r

t ữợ ừ tỡ

r ❤➺ trư❝ tå❛ ✤ë ❉❡s❝❛rt❡s ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣
✤ì♥ ✈à tr➯♥ ❝→❝ trư❝

Ox, Oy

✳

Oxy ✱ ❝→❝ ✈❡❝tì

❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ⃗

i, ⃗j ✳

❚r♦♥❣ ❤➺ trư❝ tå❛ ✤ë ❉❡s❝❛rt❡s ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥
✈❡❝tì ✤ì♥ ✈à tr➯♥ trư❝

⃗a

Ox, Oy, Oz

❧➛♥ ❧÷đt ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ⃗
i, ⃗j, ⃗k ✳

✾

Oxyz ✱

❝→❝


✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳

❱❡❝tì ✲ ❦❤ỉ♥❣ ❧➔ ✈❡❝tì ❝â ✤ë ❧ỵ♥ ổ ổ

õ ữợ ữủ ỵ





0

tỡ ✤è✐ ❝õ❛ ✈❡❝tì

✈❡❝tì ❝â ✤ë ❞➔✐ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹✳

→
−
a

→
−
a

−
−→
a
→
−
a

ữủ

ữ ữủ ữợ ợ tỡ

♠ët

❈→❝ ✈❡❝tì ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ♥➳✉ ❝❤ó♥❣ ❝â ũ ở

ũ ữợ

P ở
tỡ
−→

→
−
→
−
a , b ,✳ ❚❛ ❜✐➸✉
−→
❞✐➵♥ ❝→❝ ✈❡❝tì ⃗
a, ⃗b ❧➛♥ ❧÷đt ❜ð✐ P Q, QR✳ ❑❤✐ ✤â ✈❡❝tì ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❜ð✐ P R ✤÷đ❝
→
−
−
→
−
→
− →
✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ a b ỵ a + b ✳
❈❤♦ ❤❛✐ ✈❡❝tì

◗✉② t➢❝ ①→❝ ✤à♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ✈❡❝tì ♥❤÷ tr➯♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ q✉② t➢❝ ❜❛
✤✐➸♠ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ở tỡ


P trứ tỡ

a, b

ỵ



a + (− b )✳
−−→′
−
→
−
−→ −→
→
− →
❇✐➵✉ ❞✐➵♥ a , b ❜ð✐ ❝→❝ ✈❡❝tì P Q, QR✱ ❦❤✐ ✤â QR s➩ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝❤♦ − b ✱
−−→
′
✈ỵ✐ QR = QR✳ ❱➔ t❤❡♦ q✉② t➢❝ ❜❛ ✤✐➸♠ t❤➻ ⃗
a − ⃗b = QR′

❧➔

→
−
a − b✱

❍✐➺✉ ❤❛✐ ✈❡❝tì

✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

✶✵


✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✼✳ ✭❚ê♥❣ ❝õ❛
♥❤✐➲✉ ✈❡❝tì✮
−→

❈❤♦

→
−
a1

✤÷đ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❜ð✐

❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❜ð✐

→
−
→
−
A n−1 A n ✳

−
OA1 , →
a2

−
−
−
n ✈❡❝tì →
a 1, →
a 2 , ..., →
a n✳
−−−→
→
−
❜ð✐ A1 A2 , ..., a n ✤÷đ❝

●✐↔ sû ❝â

✤÷đ❝ ✤↕✐ ❞✐➺♥

❱➟② t❤➻

−−→ −−→ −−−→ →
−
OA2 = OA1 + A1 A2 = −
a1+→
a 2;
−−→ −−→ −−−→ →
−

→
−
−
OA3 = OA2 + A2 A3 = a 1 + a 2 + →
a 3;
−−→ −−→
−
−
−
−
OA4 = OA3 + A3 A4 = →
a1+→
a2+→
a3+→
a 4;
................................................................
−−→ −−−−→ −−−−−→ →
−
−
−
OAn = OAn−1 + An−1 An = −
a1+→
a2+→
a 3 + ... + →
a n.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✽✳ ✭P❤➨♣ ♥❤➙♥ ♠ët ✈❡❝tì ✈ỵ✐ ♠ët sè✮

❈❤♦ số tỹ

m tỡ a ỵ m
a
ữủ ữ ởt tỡ õ ở ợ ma ũ ữỡ ✈ỵ✐ ⃗
a ✈➔
❝ị♥❣ ❝❤✐➲✉ ✈ỵ✐ ⃗
a ♥➳✉ m > 0✱ ữủ ợ a m < 0
m R, m ̸= 0

◆➳✉

m=0

✈➔ ✈❡❝tì

❤♦➦❝

⃗a ̸= ⃗0✳

⃗a = ⃗0

t❤➻

❑❤✐ ✤â✱ t➼❝❤ ❝õ❛

m⃗a = ⃗0✳

❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ❧✐➯♥ q✉❛♥ tỵ✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ✈❡❝tì ✈➔ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥
♠ët sè ✈ỵ✐ ởt tỡ

ỵ tỡ
a , b ✤÷đ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❧➛♥ ❧÷đt ❜ð✐ OP , OQ



c , ợ
c ữủ
số ữỡ ❦❤✐ ✤â m→
a + n b = (m + n)→
→
−→
❞✐➵♥ ❜ð✐ ✈❡❝tì −
OR, R ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ tr➯♥ P Q s❛♦ ❝❤♦ mP R = nRQ✳
m, n

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✾ ❚å❛ ✤ë ✈❡❝tì
tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣✮✳
−→
✭

❈❤♦ ✈❡❝tì

⃗r

tr♦♥❣

Oxy ✳ ✣➦t ⃗r = OP ✳ ●å✐ A, B ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ P ❧➯♥
−→
−−→
Ox, Oy ✳ ✣➦t OA = x, OB = y ✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â OA = x⃗i, OB =

❤➺ trö❝ tå❛ ✤ë
❝→❝ trö❝ tå❛

y⃗j ✳

❱➟② t❛ ❝â

❈➦♣

−→ −→ −−→
⃗r = OP = OA + OB = x⃗i + y⃗j.

(x, y) ❣å✐ ❧➔ tå❛ ✤ë ❝õ❛ ✈❡❝tì ⃗r tr♦♥❣ tồ ở Oxy ỵ r = (x, y)✳

✶✶


✣➦t

(Ox, ⃗r) = α, (⃗r, Oy) = β ✳
||⃗r|| = r =

❚❛ ❝â

x2 + y 2 , cos α =

x
y
, cos β = .
r
r

❚ø ✤➙② s✉② r❛

cos2 α + cos2 β = 1.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✵ ❚å❛ ✤ë ✈❡❝tì−→tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥✮✳
✭

❈❤♦ ✈❡❝tì

⃗r

Oxyz ✳ ✣➦t ⃗r = OP ✳ ●å✐ A, B, C ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❝→❝ ❤➻♥❤
❝❤✐➳✉ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ❝õ❛ P ❧➯♥ ❝→❝ trö❝ tå❛ ✤ë Ox, Oy, Oz ✳ ✣➦t OA = x, OB =
−→
−−→
−→
y, OC = z ✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â OA = x⃗i, OB = y⃗j, OC = z⃗k ✳ ❱➟② t❛ ❝â

tr♦♥❣ ❤➺ trö❝ tå❛ ✤ë

−→ −→ −−→ −→
⃗r = OP = OA + OB + OC = x⃗i + y⃗j + z⃗k.
(x, y, z)

(x, y, z)
ở

ồ tồ ở ừ tỡ

r

tr tồ ở



Oxyz

ỵ ❤✐➺✉

⃗r =


✣➦t

(⃗r, Ox) = α, (⃗r, Oy) = β, (⃗r, Oz) = γ ✳
x2 + y 2 + z 2 , cos α =

||⃗r|| = r =

❑❤✐ ✤â t❛ ❝â

x
y
z

, cos β = , cos γ = .
r
r
r

❚ø ✤➙② s✉② r❛

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✶✳

✭❚ê♥❣ ✈➔ ❤✐➺✉ ❝→❝ ✈❡❝tì t❤❡♦ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥✮ ●✐↔ sû ❝→❝

→
−
−
−
r1 , →
r2 , →
r3 , ... ✤÷đ❝ ❜✐➸✉
trư❝ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ Ox, Oy, Oz
→
−
→
−
→
−
→
−
r1 = x1 i + y1 j + z1 k

→
−
→
−
→
−
→
−
r2 = x2 i + y2 j + z2 k
→
−
→
−
→
−
→
−
r3 = x3 i + y3 j + z3 k

✈❡❝tì

❞✐➵♥ t❤❡♦ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝

✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳

→
−
→
−
→

−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
r1 + →
r2 + →
r3 = (x1 i + y1 j + z1 k ) + (x2 i + y2 j + z2 k ) + (x3 i +
→
−
→
−
y3 j + z3 k ) + ...
→
−
→
−
→
−
= (x1 + x2 + x3 + ...) i + (y1 + y2 + y3 + ...) j + (z1 + z2 + z3 + ...) k
❑➳t q✉↔ ❝❤♦ t❤➜② ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ❝→❝ ✈❡❝tì t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝ë♥❣ ❝→❝ t❤➔♥❤
♣❤➛♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳ ❍♦➔♥ t♦➔♥ t÷ì♥❣ tü trứ tỡ

ổ ữợ


b

t ợ ởt õ

ữủ ỵ





a.b



ữủ ữủ ổ ữợ

a.b = ab cos .




a
a.b. cos

ổ ữợ ừ tỡ

ó r ổ ữợ ừ tỡ ❝â t➼♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ✈➻✿

→
−
→
− −
→
−
a . b = ab cos θ = ba. cos θ = b .→
a

• ❇✐➸✉ tự tồ ở ừ t ổ ữợ tr t
a = (x1 , y1 ), ⃗b = (x2 , y2 ) õ t ổ ữợ ừ a b ❧➔

❈❤♦ ❝→❝ ✈❡❝tì

⃗a⃗b = x1 x2 + y1 y2 .
• tự tồ ở ừ t ổ ữợ tr ổ ❣✐❛♥✿ ❈❤♦
⃗a = (x1 , y1 , z1 ), ⃗b = (x2 , y2 , z2 )✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ❜✐➸✉ t❤ù❝ tå❛ ✤ë ❧➔

❝→❝ ✈❡❝tì

⃗a⃗b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .
•

❈❤♦

⃗a = (x, y, z)✳

❑❤✐ ✤â t❛ ❝â

||⃗a|| =

√
⃗a⃗a =

x2 + y 2 + z 2 .

❚ø ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✷ t❛ ❝â ❦➳t q✉↔ s

ỵ tỡ a, b ✤â t❛ ❝â
−||⃗a||||⃗b|| ≤ ⃗a⃗b ≤ ||⃗a||||⃗b||.

✣➥♥❣ t❤ù❝ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤ù ♥❤➜t ✈➔ t❤ù ❤❛✐ ①↔② r❛ ❦❤✐ ❧➛♥ ❧÷đt ❤❛✐ ✈❡❝tì
⃗a ✈➔ ⃗b ❧➔ ❝ị♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♥❣÷đ❝ ❝❤✐➲✉ ✈➔ ❝ị♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ❝ị♥❣ ❝❤✐➲✉✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✸✳ ✭❚➼❝❤ ❝â ữợ


õ ữợ ừ tỡ



a



b

t ợ ởt õ

ữ ởt tỡ ồ tỡ t õ ở ợ
ổ õ ợ ữỡ ừ tỡ

a, b



a.b. sin θ✱

⃗a

❝â ♣❤÷ì♥❣

✈➔ ❝â ❝❤✐➲✉ t✉➙♥ t❤❡♦ q✉② ❝→❝ ❝→✐

✤✐♥❤ è❝ ✭tù❝ ❧➔✱ ♥➳✉ ✤➦t ❝→❝ ✤✐♥❤ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ợ
ố t q tứ tỡ

ữủ

tỡ

b

a

a b



b

rỗ

t t ừ

ố ừ tỡ t õ ữợ tỡ t ừ tỡ
ữủ ỵ





a





b

[a, b]

ã tự tồ ở ừ t õ ữợ a = (x1 , y1 , z1 ), ⃗b = (x2 , y2 , z2 )✳
❦❤✐ ✤â

⃗a ∧ ⃗b =

y1 z1
z1 x1
x1 y1
,
,
y2 z2
z2 x2
x2 y2
✶✹

.


✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✹ ❚➼❝❤ ❤é♥ t↕♣✮✳
✭

❚➼❝❤ ❤é♥ t↕♣ ❝õ❛ ❜❛ ✈❡❝tì

⃗a, ⃗b, ⃗c

❧➔

❜✐➳✉ t❤ù❝ s❛✉

⃗a.[⃗b, ⃗c].

• ❇✐➸✉ t❤ù❝ tå❛ ✤ë ❝õ❛ t➼❝❤ ❤é♥ t↕♣✿ ❈❤♦ ❜❛ ✈❡❝tì ⃗a = (x1 , y1 , z1 ), ⃗b =
(x2 , y2 , z2 ), ⃗c = (x3 , y3 , z3 )✳ ❑❤✐ ✤â t➼❝❤ ❤é♥ t↕♣ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
y2 z2
z2 x2
x 2 y2
⃗a.[⃗b, ⃗c] = x1
+ y1
+ z1
.
y3 z3
z3 x3
x 3 y3

✶✳✷ ●✐ỵ✐ ❤↕♥ ✈➔ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♠ët
❜✐➳♥ sè
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶ ❍➔♠ ✈❡❝tì ♠ët ❜✐➳♥ sè✮✳
✭

sè t❤ù❝

(T ⊂ R)✳

❍➔♠ ✭→♥❤ ①↕✮

→
−
−
r :t→→
r

tø t➟♣ ❤ñ♣

T

●✐↔ sû

T

❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣

✈➔♦ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ✈❡❝tì ❤❛✐

❝❤✐➲✉ ❤♦➦❝ ❜❛ ❝❤✐➲✉ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✈❡❝tì✳
❚➟♣

T

❣å✐ ❧➔ t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì

⃗r(t)✳

❙❛✉ ✤➙② t❛ ❝❤õ ②➳✉ ✤➲ ❝➟♣ tỵ✐ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❜❛
❝❤✐➲✉✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ ✤÷ì❝
①❡♠ ①➨t t÷ì♥❣ tü✳

→
−
r (T ) ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ✈❡❝tì ❜❛ ❝❤✐➲✉ ✈➔
→
−

✈ỵ✐ ♠é✐ t ∈ T, ✈❡❝tì r (t) ❝â ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❧➔ x(t), y(t), z(t). ❑❤✐ ✤â
x = x(t), y = y(t), z = z(t) ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❤➔♠ sè t❤ü❝ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ T. ❚❛ ❣å✐
→
−
❝❤ó♥❣ ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ sè t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì r (t) ✈➔ ✈✐➳t
→
−
→
−
→
−
→
−
r (t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) i + y(t) j + z(t) k , t ∈ T,
→
−
→
−
→
−
→
−
❤♦➦❝ ✈✐➳t ❣å♥ r = x i + y j + z k .
❑❤✐ ❤➔♠ ✈❡❝tì ⃗
r(t) ❝❤♦ ❜ð✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝ tå❛ ✤ë ♥❤÷ tr➯♥✱ ♠➔ ❦❤ỉ♥❣ ♥â✐ rã
●✐↔ sû

t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❧➔ t➟♣ ♥➔♦ t❤➻ t❛ ❤✐➸✉ t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥â ❧➔ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ❝→❝ t➟♣
①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥
❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ❤➔♠ ✈❡❝tì

x(t), y(t), z(t)✳

⃗t(t) ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ❤❛✐ ❝❤✐➲✉

t❤➻ t❛ ❝ơ♥❣ ❝â ❝→❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ tå❛ ✤ë t÷ì♥❣ tü✱ ♥❤÷♥❣ ❝❤➾ ❝â ❤❛✐ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥

x(t), y(t)

✈➔ ❦❤ỉ♥❣ ❝â t❤➔♥❤ ♣❤➛♥

z(t)✳
✶✺


◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳✶✳
D ⊂ R✳

❈❤♦

y = f (x)

❧➔ ❤➔♠ sè ♠ët ❜✐➳♥ sè ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣

❑❤✐ ✤â✱ ❤➔♠ sè ✤➣ ❝❤♦ ❝â t❤➸ ❝❤✉②➸♥ t❤➔♥❤ ❤➔♠ ✈❡❝tì ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

❝ỉ♥❣ t❤ù❝ s❛✉

⃗r(t) = t⃗i + f (t)⃗j,

❱➼ ❞ư ✶✳✷✳✶✳
t➟♣ ❤ñ♣

(t ∈ D).

→
−
→
− √
→
−
→
−
r (t) = t i + t + 1 j + ln (2 − t) k .
→
−
①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì r .
→
−
❈→❝ ❤➔♠ sè t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì r ❧➔
❈❤♦ ❤➔♠ ✈❡❝tì

❚➻♠

●✐↔✐✿

x(t) = t, y(t) =

√

t + 1, z(t) = ln(2 − t).

❚➟♣ ❤ñ♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì
❝→❝ ❤➔♠ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥

→
−
r

❧➔ t➟♣ ❤đ♣ t➜t

tR

s

x(t), y(t), x(t) ỗ tớ t❛ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧➔✿
t+1≥0
⇔ −1 ≤ t < 2.
2−t>0

❱➟② t➟♣ ❤đ♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì

→
−
r

❧➔ ❦❤♦↔♥❣

[−1, 2)✳

❙❛✉ ✤➙② t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✷✳

→
−
→
−
→
−
→
−
r = x i + y j + z k ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥
→
−
→
−
→
−
→
−
♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ✤✐➸♠ t0 ∈ R ✭❝â t❤➸ trø ✤✐➸♠ t0 ✮✳ ❈❤♦ l = l1 i +l2 j +l3 k
→
−
→
−
❧➔ ♠ët ✈❡❝tì ❦❤ỉ♥❣ ✤ê✐✳ ❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ ❤➔♠ r ❝â ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ t↕✐ ✤✐➸♠ t0 ❧➔ l ✈➔
→
−
→

−
✈✐➳t ❧➔ lim r (t) = l ♥➳✉
●✐↔ sû ❤➔♠ ✈❡❝tì

t→t0



lim x(t) = l1


 t→t0
lim y(t) = l2
t→t0



 lim z(t) = l
3

t→t0

◆➳✉ ❤➔♠ ✈❡❝tì

→
−
r

①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣

t❤➻

lim
−

t→t0 (t→t+
0)

→
−
→
−
r (t) = l ⇔















✶✻

(α, t0 )

❤♦➦❝ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣

lim

x(t) = l1 ,

lim

y(t) = l2 ,

lim

z(t) = l3 ,

+
t→t−
0 (t→t0 )
+
t→t−
0 (t→t0 )
+
t→t−
0 (t→t0 )

(t0 , β)


❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✷✳

❚➻♠

√
→
−
→
−
→
−
r (t) = 1 − t i + t2 j +
−
−
lim →
r (t) ✈➔ lim− →
r (t).
t→0
t→1
→
−
❚➟♣ ❤ñ♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ r ❧➔ (−∞, 0) ∪ (0, 1) .

−
sin t →
t k

❈❤♦ ❤➔♠ ✈❡❝tì

●✐↔✐✳

√

−
sin t →
→
−
→
−
k
lim ⃗r(t) = lim lim 1 − t i + lim t2 j + lim
t→0
t→0 t
t→0
t→0 t→0
= ⃗i + ⃗k.
lim− = lim−
t→1

t→1

lim−

t→1

√

1−t

→
−
i +

→
−
j +

lim− t2

t→1

lim−

t→1

→
−
→
−
= j + (sin 1) k .

−
sin t →
k
t

❚ø ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✷ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ tỡ ữủ
q ợ ừ số t ♣❤➛♥✳ ❉ü❛ ✈➔♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛
❤➔♠ sè t❤ü❝ ♠ët ❜✐➳♥ ✈➔ ♣❤➨♣ t♦→♥ tå❛ ✤ë ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì t õ t ự
ữủ ỵ s

ỵ ✶✳✷✳✷✳ ◆➳✉ ❤❛✐ ❤➔♠ ✈❡❝tì →
u ✈➔ →
v ❝â ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ t↕✐ ✤✐➸♠ t0 ∈ R t❤➻
−
−
−
−
❛✮ t→t
lim [→
u (t) + →
v (t)] = lim →
u (t) + lim →
v (t).
t→t
t→t
−
−
lim →
u (t) (c ∈ R).
❜✮ t→t
lim c →
u (t) = c t→t
−
−
−
−
❝✮ t→t
lim [→
u (t).→
v (t)] = lim →

u (t). lim →
v (t).
t→t
t→t
0

0

0

0

0

0

0

−
−
❞✮ t→t
lim [→
u (t) ∧ →
v (t)] =
0

0

−
lim →

u (t) ∧

t→t0

−
lim →
v (t) .

t→t0

❙❛✉ ✤➙② t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✸✳
✤✐➸♠

t0 ∈ R.

❛✮ ●✐↔ sû ❤➔♠ ✈❡❝tì

❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ ❤➔♠ ✈❡❝tì

→
−
r

→
−
r

①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛

❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ✤✐➸♠

t0

♥➳✉

−
−
lim →
r (t) = →
r (t0 ).

t→t0
❜✮ ❍➔♠ ✈❡❝tì

→
−
r

(α, t0 ] ❤♦➦❝
✤✐➸♠ t0 ♥➳✉

①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧✐➯♥ tư❝ tr→✐ ✭❧✐➯♥ tö❝ ♣❤↔✐✮ t↕✐

tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣

[t0 , β)

lim ⃗r(t) = ⃗r(t0 ) ( lim+ ⃗r(t) = ⃗r(t0 ).

t→t−
0
❝✮ ❍➔♠ ✈❡❝tì
✤✐➸♠ t❤✉ë❝

⃗r(t)

t→t0

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t➟♣

T✳
✶✼

T

♥➳✉ ♥â ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ♠å✐


❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ✭✣à♥❤ õ t
ự ữủ ỵ s

ỵ tỡ r(t) = x(t)i + y(t)⃗j + z(t)⃗k ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥

♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ✤✐➸♠ t0✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❤➔♠ ⃗r(t) ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ✤✐➸♠ t0 ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾
♥➳✉ ❝→❝ ❤➔♠ sè x(t), y(t), z(t) ❝ị♥❣ ❧✐➯♥ tư❝ t↕✐ ✤✐➸♠ t0✳

✶✳✸ ✣↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♠ët ❜✐➳♥ sè
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳

→
−
r ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ✤✐➸♠
−
−
r
t0 ∈ R. ✣↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì →
r t↕✐ ✤✐➸♠ t0 ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ →
r ′ (t0 ) ❤♦➦❝ d⃗
dt |t=t0 ✱
●✐↔ sû ❤➔♠ ✈❡❝tì

✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝

→
−
−
r ′ (t0 + h) − →
r ′ (t0 )
→
−
′
,
r (t0 ) = lim
h→0
h

(1)

♥➳✉ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ✈➳ ừ ổ tự tỗ t
✤↕♦ ❤➔♠ tr→✐ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì t↕✐

t0

✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛

t÷ì♥❣ ù♥❣ ợ ừ tr ữủ t ❦❤✐ ❝❤♦

t → 0−

✈➔

t → 0+ ✳
❇ð✐ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ✭✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✷✮✱ t❛ ❝â ❦➳t
q✉↔ s❛✉ ✤➙② ✈➲ ♠é✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ✈ỵ✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❝→❝
❤➔♠ sè t❤➔♥❤








ỵ tỡ
r (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐

✤✐➸♠ t0 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❝→❝ ❤➔♠ sè t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ x, y, z ❝õ❛ ♥â ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐
t0 ✳
−
◆➳✉ ❤➔♠ ✈❡❝tì →
r ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐ ✤✐➸♠ t0 t❤➻ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✤➔♦ ❤➔♠ ❝❤♦ ❜ð✐
⃗r′ (t0 ) = (x′ (t0 ) , y ′ (t0 ) , z ′ (t0 )) = x′ (t0 )⃗i + y ′ (t0 ) ⃗j + z ′ (t0 ) ⃗k.

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✶✳

❚➼♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì s❛✉

⃗r(t) = e2t⃗i + cos tj ln |t|k.



ử ỵ t õ

1
r (t) = 2e2t⃗i − sin t⃗j − ⃗k.
t
✶✽


✶✳✹ ❈→❝ q✉② t➢❝ t➻♠ ✤↕♦ ❤➔♠
❈â t❤➸ ♠ð rë♥❣ ❝→❝ q✉② t➢❝ t➻♠ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ sè t❤ü❝ tỡ



ỵ sỷ
u

v ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ✈❡❝tì ❝â ✤↕♦ ❤➔♠✱ ϕ ❧➔ ♠ët ❤➔♠

sè t❤ü❝ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ✈➔ c ❧➔ ♠ët sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ✤ê✐✳
❑❤✐ ✤â
′
−
−
−
−
❛✮ [→
u (t) + →
v (t)] = →
u ′ (t) + →
v ′ (t),
′
−
−
❜✮ c →
u (t) = c →
u ′ (t) ,
′
−
−
−
❝✮ [φ(t)→
u (t)] = φ′ (t)→
u (t) + φ(t)→
u ′ (t),
′
−

−
−
−
−
−
❞✮ [→
u (t).→
v (t)] = →
u ′ (t).→
v (t) + →
u (t).→
v ′ (t),
′
−
−
−
−
−
−
❡✮ [→
u (t) ∧ →
v (t)] = →
u ′ (t) ∧ →
v (t) + →
u (t) ∧ →
v ′ (t),
′
−
−
❢✮ [→

u (φ(t))] = φ′ (t)→
u ′ (φ(t)).
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈→❝ ❝➙✉ ❛✮✱ ❜✮✱ ❞✮✱ ❢✮ s✉② r❛ tø ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠
t❤➔♥❤ ♣❤➛♥✳ Ð ✤➙② t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤❛✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❝✮ ✈➔ ❡✮✳
❝✮ ●✐↔ sû

→
−
u (t) = (x(t), y(t), z(t)) .

❑❤✐ ✤â

−
φ(t)→
u (t) = (φ(t)x(t), φ(t)y(t), φ(t)z(t)) .
❉♦ ✤â

′
−
[φ(t)→
u (t)] = [φ(t)x(t)]′ , [φ(t)y(t)]′ , [φ(t)z(t)]′

= (φ′ (t)x(t) + φ(t)x′ (t), φ′ (t)y(t) + φ(t)y ′ (t), φ′ (t)z(t) + φ(t)z ′ (t))
= φ′ (t)(x(t), y(t), z(t)) + φ(t)(x′ (t), y ′ (t), z ′ (t))
−
−
= φ′ (t)→
u (t) + φ(t)→
u ′ (t).
|h| > 0 ✤õ ♥❤ä✱ t❛ ❝â

→
−
−
−
−
u (t + h) ∧ →
v (t + h) − →
u (t) ∧ →
v (t)

❡✮ ❱ỵ✐

h
→
−
→
−
−
−
−
−
−
−
u (t + h) ∧ v (t + h) − →
u (t) ∧ →
v (t + h) →
u (t) ∧ →
v (t + h) − →
u (t) ∧ →
v (t)

=
+
h
h
→
−
→
−
→
−
→
−
u (t + h) − u (t) →
v (t + h) − v (t)
−
=
∧−
v (t + h) + →
u (t) ∧
.
h
h
→
−′
→
−
❉➵ t❤➜② ❦❤✐ h → 0 t❤➻ ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❞➝♥ ✤➳♥ u (t) ∧ v (t) +
′
→
−

−
−
−
−
−
u (t) ∧ →
v ′ (t). ❉♦ ✤â ❤➔♠ →
u ∧→
v ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐ ✤✐➸♠ t ✈➔ [→
u (t) ∧ →
v (t)] =
→
−
−
−
−
u ′ (t) ∧ →
v (t) + →
u (t) ∧ →
v ′ (t).
✶✾



ỵ sỷ tỡ
r õ ❤➔♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ I ✳ ◆➳✉

−
✈ỵ✐ ♠å✐ t ∈ I, tr♦♥❣ ✤â c ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè t❤➻ ✈❡❝tì →
r ′ (t) ✈✉ỉ♥❣

−
❣â❝ ✈ỵ✐ ✈❡❝tì →
r (t) ✈ỵ✐ ♠å✐ t ∈ I.
−
∥→
r (t)∥ = c

2
−
−
−
−
−
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ ∥→
r (t)∥ = c2 = →
r (t).→
r (t) ♥➯♥ →
r (t).→
r (t) = c2 ✈ỵ✐ ♠å✐ t ∈

′
−
−
I ▲➜② ✤↕♦ ❤➔♠ ❤❛✐ ✈➳ ừ ỗ t tự tr t ữủ 0 = [
r (t).→
r (t)] =
→
−
−
−

−
−
−
−
−
r (t).→
r (t) + →
r (t).→
r (t) = 2→
r (t).→
r (t), ❞♦ ✤â →
r (t).→
r (t) = 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ t ∈ I.
→
−′
→
−
❱➟② r (t) ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ✈ỵ✐ r (t).
❚ø ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✹✳✷✱ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣ ♥➳✉ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣

Γ

t❤➻ t✐➳♣ t✉②➳♥ ❝õ❛

Γ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ♠➦t ❝➛✉

t↕✐ ♠é✐ ✤✐➸♠ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ✈ỵ✐ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❝õ❛ ♠➦t ❝➛✉ ✤✐

q✉❛ ✤✐➸♠ ✤â✳

✶✳✺ ❚➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♠ët ❜✐➳♥ số
ữỡ tỹ t ợ ❤➔♠✱ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ♣➼❝❤ ♣❤➙♥
❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ✈❡❝tì ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ t➼♥❤ t♦→♥ q✉❛ ❝→❝ ❤➔♠ sè t❤➔♥❤ ♣❤➛♥
❝õ❛ ♥â✳ ❈ö t❤➸ t❛ ❝â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉ ✤➙②✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳✶✳
✤♦↕♥

→
−
→
−
→
−
→
−
r = x i + y j + z k ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥
−
[a, b] . ❚➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ →
r tr➯♥ [a, b] ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝
 b

 b

 b

b
→
−
→

−
→
−
→
−
r (t)dt =  x(t)dt i +  y(t)dt j +  z(t)dt k .

a

●✐↔ sû ❤➔♠ ✈❡❝tì

a

❱➼ ❞ư ✶✳✺✳✶✳
●✐↔✐✿

a
1

❚➼♥❤

I=

a

→
−
→
−
→

− √
(t2 i − 1 + t j + e2t k )dt.

0

❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ t❛ ❝â

1

I=

1



→
−
t2 dt i − 

0

√



1



→

−
1 + tdt j + 

0

0



→
−
e2t dt k

→
−
1→
2 √
1
−
→
−
= i − (2 2 − 1) j + (e2 − 1) k .
3
3
2
→
−
◆➳✉ r ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✈❡❝tì ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a, b] ✈➔ ❤➔♠
→
−

→
−′
→
−
→
−
✈❡❝tì R ❧➔ ♠ët ♥❣✉②➯♥ ❤➔♠ ❝õ❛ r tr➯♥ ✤♦↕♥ [a, b] ✭tù❝ ❧➔ R (t) = r (t) ✈ỵ✐

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳✷✳

✷✵


b

♠å✐

t ∈ [a, b]

b
→
−
→
−
→
−
→
−
r (t)dt = R (t)
= R (b) − R (a).

a
a
→
−
❤➔♠ ❜➜t ❦➻ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì r .

✮ t❤➻

❝❤➾ ♠ët ♥❣✉②➯♥

❱➼ ❞ö ✶✳✺✳✷✳

❑➼ ❤✐➺✉

→
−
r (t)dt

❚➻♠ ♥❣✉②➯♥ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì s❛✉

→
−
→
−
→
−
→
−
r (t) = 2 cos t i − t sin t2 j + 2t k .

●✐↔✐✿

❚❤❡♦ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳✷ t❛ ❝â

→
−
r (t)dt = 2

cos tdt

→
−
i −

t sin t2 dt

→
−
j +

2tdt

→
−
k

→
−
1
→

−
cost2 + C2 j + t2 + C3 k
2
→
− →
−
1
→
−
→
−
= 2 sin t i + cost2 j + t2 k + C
2

→
−
= (2 sin t + C1 ) i +

→
−
C = c1⃗i + c2⃗j + c3⃗k

❚r♦♥❣ ✤â

❧➔ ♠ët ✈❡❝tì tũ ỵ



ỵ
sỷ

u ,
v ✈❡❝tì ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a, b] , c ❧➔ ♠ët
→
−

❤➡♥❣ sè ✈➔ C ❧➔ ♠ët ✈❡❝tì ❦❤ỉ♥❣ ✤ê✐✳ ❑❤✐ ✤â
b
b
−
−
−
❛✮ [→
u (t) + →
v (t)]dt = [→
u (t)]dt +
❜✮
❝✮
❞✮

a
b

a

b

−
[→
v (t)]dt,

a

b

−
−
u (t)]dt,
c →
u (t) dt = c [→

a
b

a

→
− b −
→
− →
u (t)]dt,
C. −
u (t) dt = C [→

a

a
b

→
−

u (t)dt ≤

a

b

−
∥→
u (t)∥dt.

a

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥ ⑩♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ ❞➵
❞➔♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❛✮✱ ❜✮✱ ❝✮✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❞✮✳
✣➦t

→
−
C =

b

−
[→
u (t)]dt✳

❚❤❡♦ ❝➙✉ ❝✮ t❛ ❝â

a

→
−
C

2

b

b

⃗ C
⃗ =C
⃗
= C.

⃗u(t)dt =
a

a

✷✶

→
− →
C .−
u (t) dt.


❱➻

→
− →
→
−
−
C .−
u (t) ≤ C . ∥→
u (t)∥

r❛

→
−
C

b
2

≤

✈ỵ✐ ♠å✐

t ∈ [a, b]

◆➳✉

→
−
C ̸= 0

t❤➻

b

→
−
→
−
−
C . ∥→
u (t)∥dt = C

a

•

♥➯♥ tø ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ s✉②

→
−
C > 0.

−
∥→
u (t)∥dt.
a

→
−
C ,

❈❤✐❛ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❝❤♦

t❛ ❝â ✤÷đ❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥

•

◆➳✉

→
−
C =0

t❤➻ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥

✶✳✻ ❙ì ❧÷đ❝ ✈➲ ❤➔♠ tỡ số
ử ừ ợ sỡ ữủ ✈➲ ❤➔♠ ✈❡❝tì ❤❛✐ ❜✐➳♥ sè ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣
❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❜❛ ❝❤✐➲✉✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ ❤❛✐ ❜✐➳♥ sè ✈➔ ♥❤➟♥
❣✐→ trà tr♦♥❣ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❦❤→❝ ❜❛ ❝❤✐➲✉ ✤÷đ❝ ①❡♠ ①➨t t÷ì♥❣ tü✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳✶✳
✭→♥❤

D ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ R2 ✭D ⊂ R2 ✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❤➔♠
①↕✮ ⃗
r : D −→ R3 , (u, v) → ⃗r(u, v) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✈❡❝tì ①→❝ ✤à♥❤ tr


D
ã

rữớ ủ

R3

ữủ tr tồ ở

Oxyz

t t ❝â ❜✐➸✉

t❤ù❝ tå❛ ✤ë ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ❧➔

⃗r(u, v) = x(u, v)⃗i + y(u, v)⃗j + z(u, v)⃗k = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
tr♦♥❣ ✤â

x(u, v), y(u, v), z(u, v)

❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ sè ❤❛✐ ❜✐➳♥ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥

D

✈➔

❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ sè t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✳

•

◆➳✉ ❤➔♠ ✈❡❝tì

⃗r(u, v)

❝❤♦ ❜ð✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝ tå❛ ✤ë ♠➔ ❦❤æ♥❣ ♥â✐ rã t➟♣

①→❝ ✤à♥❤ t❤➻ t❛ ❤✐➸✉ t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥â ❧➔ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ❝→❝ t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛
❝→❝ ❤➔♠ sè t❤➔♥❤ ♣❤➛♥✳

•

❈❤♦

z = f (x, y)

❧➔ ❤➔♠ sè ❤❛✐ ❜✐➳♥ sè ①→❝ ✤à♥❤ ✈ỵ✐

(x, y) ∈ D ⊂ R2 ✳

❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ❤➔♠ ✈❡❝tì t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔

⃗r(u, v) = (u, v, f (u, v))

✈ì✐

(u, v) ∈ D.

❚ø ❜✐➸✉ t❤ù❝ tå❛ ✤ë ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì t❛ t❤➜② ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ợ
tử ừ tỡ ữủ ởt tỹ ở q t tữỡ
ự ố ợ tồ ở t ử t t õ ỵ s❛✉ ✤➙②

✷✷

ỵ tỡ
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),

✈ỵ✐ (u, v) ∈ D ✈➔ (u0, v0) ∈ D✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
✭❛✮ ❍➔♠ ✈❡❝tì ⃗r ❝â ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ t↕✐ ✤✐➸♠ (u0, v0) ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❝→❝ ❤➔♠ t❤➔♥❤
♣❤➛♥ x(u, v), y(u, v), z(u, v) ✤➲✉ ❝â ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ t↕✐ (u0, v0) ✈➔ t❛ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝
lim
(u,v)→(u0 ,v0 )

⃗r(u, v) = (

lim

x(u, v),

(u,v)→(u0 ,v0 )

lim

y(u, v),

(u,v)→(u0 ,v0 )

lim

z(u, v)).

(u,v)→(u0 ,v0 )

✭❜✮ ❍➔♠ ✈❡❝tì ⃗r ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ✤✐➸♠ (u0, v0 ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ❝→❝ ❤➔♠ sè t❤➔♥❤
♣❤➛♥ x(u, v), y(u, v), z(u, v) ✤➲✉ ❧✐➯♥ tư❝ t↕✐ ✤✐➸♠ ✤â
✣↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ✤↕♦ ❤➔♠
r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ sè t❤➔♥❤ ♣❤➛♥✳ ❈ư t❤➸ t❛ ❝â ❝→❝ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ s❛✉✳

∂y
∂z
∂x
∂⃗r
= ⃗i + ⃗j + ⃗k.
∂u ∂u
∂u
∂u
∂⃗r
∂x
∂y
∂z
= ⃗i + ⃗j + ⃗k.
∂v
∂v
∂v
∂v
❈→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ❝❛♦ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ✤÷đ❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t÷ì♥❣ tü✳

✷✸