Phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán xác định hệ số khuếch tán

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN LÊ DUY KHANG

PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HĨA THƯA
CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH
HỆ SỐ KHUẾCH TÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2021


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN LÊ DUY KHANG

PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HĨA THƯA
CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH
HỆ SỐ KHUẾCH TÁN

Chun ngành: Tốn Giải Tích
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. PHẠM QUÝ MƯỜI

Đà Nẵng - 2021


1

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

3

MỞ ĐẦU

4

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

8

1.1

Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . . . . .

8

1.2

Không gian Hilbert và hệ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Các không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4

Toán tử liên tục và khả vi Fréchet . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5

Dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6

Bài tốn đặt khơng chỉnh và phương pháp chỉnh hóa . . . . 21

Chương 2. BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH
KHUẾCH TÁN

25

2.1

Phát biểu bài tốn Dirichlet cho phương trình khuếch tán . 25

2.2

Cơng thức nghiệm yếu

2.3

Tính tồn tại duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . 26

2.4

Tính khả vi của các tốn tử FD (·)y và Fφδ (·) . . . . . . . . 29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Chương 3. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ KHUẾCH TÁN
VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HĨA THƯA

38

3.1

Phát biểu bài tốn xác định hệ số khuếch tán . . . . . . . . 38

3.2

Phương pháp chỉnh hóa thưa . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1

Tính đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39


2

3.2.2

3.3

Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

55

TÀI LIỆU THAM KHẢO

56


3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Phương pháp chỉnh hóa thưa cho
bài tốn xác định hệ số khuếch tán" khơng có sự trùng lặp với bất kỳ đề
tài luận văn nào khác. Tôi cũng xin khẳng định luận văn này là cơng trình
nghiên cứu tổng quan của tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Quý Mười.
Các kết quả trong luận văn này được tổng hợp từ những tài liệu có nguồn
gốc rõ ràng.
Tác giả

Nguyễn Lê Duy Khang

4

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình nghiên cứu, các nhà khoa học nhiều khi phải giải những
bài tốn mà nghiệm của chúng khơng ổn định theo dữ kiện ban đầu, tức
là một thay đổi nhỏ của dữ liệu có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn của
kết quả. Những bài toán như thế được gọi là đặt không chỉnh (ill-posed
problem). Trong thực tế, sai số đầu vào là khơng thể tránh khỏi, vì vậy
việc chỉnh hóa bài toán, làm cho nghiệm xấp xỉ càng gần với nghiệm đúng
khi sai số dữ liệu càng nhỏ, là một cơng việc hết sức quan trọng.
Bài tốn xác định hệ số khuếch tán là bài toán xác định hệ số σ trong
phương trình:

− div(σ∇φ) = y trong Ω, φ = 0 trên ∂Ω
từ dữ liệu nhiễu φδ ∈ H01 (Ω) của φ sao cho φ∗ − φδ

H 1 (Ω)

(1)

≤ δ (δ > 0).

Bài toán này đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu, và đó là
một bài tốn đặt khơng chỉnh. Một vài phương pháp chỉnh hóa đã được
đưa ra, trong đó phổ biến nhất là chỉnh hóa Tikhonov và chỉnh hóa biến
phân tồn phần. Tuy nhiên, trong nhiều tình huống người ta biết rằng hệ

số σ ∗ cần tìm có một biểu diễn thưa, tức là chỉ tồn tại hữu hạn các tọa
độ khác không của σ ∗ − σ 0 trong một cơ sở trực chuẩn (hoặc khung) của

L2 (Ω). Điều này gợi ý chúng ta sử dụng phương pháp chỉnh hóa thưa cho
bài tốn này, qua đó dẫn đến bài tốn cực tiểu có dạng:

min Fφδ (σ) + αΦ σ − σ 0 ,
σ∈A

(2)


5

trong đó α là một tham số chỉnh hóa, tập A được định nghĩa bởi

A = σ ∈ L∞ (Ω) : λ ≤ σ ≤ λ−1 h.k.n trong Ω và supp σ − σ 0 ⊂ Ω
(3)
với λ ∈ (0; 1) cho trước, σ 0 là giá trị nền của σ và Ω là một tập con mở
compact với biên trơn trong Ω,

σ ∇ FD (σ)y − φδ

Fφδ (σ) :=

2

dx

(4)

Ω

với toán tử phi tuyến FD (·)y : A ⊂ Lq (Ω) → H01 (Ω) được xác định bởi

FD (σ)y = u là nghiệm của bài toán (1), và
Φ(ϑ) :=

ωk ϑ, ϕk

p

(1 ≤ p ≤ 2)

(5)

với {ϕk } là một cơ sở trực chuẩn (hoặc khung) của L2 (Ω), ·, · là tích vơ
hướng trong L2 (Ω) và ωk ≥ ωmin > 0 với mọi k .
Một vài giải thuật đã được đề xuất cho bài toán (2), và chúng thật sự
có hiệu quả. Tuy nhiên, ta vẫn cần nghiên cứu thêm về tính khả vi của

Fφδ (·), tính đặt chỉnh cũng như tốc độ hội tụ của bài toán (2). Với mong
muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết chỉnh hóa, đặc biệt là phương pháp
chỉnh hóa thưa cho bài tốn ngược đặt khơng chỉnh, tơi quyết định chọn
đề tài “Phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài tốn xác định hệ số khuếch
tán” cho luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán xác định hệ số
khuếch tán.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Bài toán khuếch tán thuận và bài toán khuếch tán ngược.


6

- Phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài tốn khuếch tán ngược.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập, phân tích và tổng hợp tài liệu liên quan đến nội dung nghiên
cứu.
- Phân loại và hệ thống hóa lý thuyết.
- Trình bày báo cáo tại seminar của nhóm nghiên cứu.
- Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài trình bày chi tiết phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán xác
định hệ số khuếch tán, là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao
học và những người có nhu cầu tìm hiểu về bài tốn ngược, bài tốn đặt
khơng chỉnh nói chung và bài tốn xác định hệ số khuếch tán nói riêng.
6. Cấu trúc luận văn
Phần I: Mở đầu
Phần II: Nội dung chính gồm 3 chương
Chương 1. Kiến thức cơ sở
Chương 2. Bài toán Dirichlet cho phương trình khuếch tán
Chương 3. Bài tốn xác định hệ số khuếch tán và phương pháp chỉnh
hóa thưa
Phần III: Kết luận và kiến nghị
Phần IV: Tài liệu tham khảo
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của
thầy hướng dẫn, TS. Phạm Quý Mười, Khoa Toán, Trường Đại học Sư
phạm - Đại học Đà Nẵng. Tơi xin bày tỏ sự kính trọng và lịng biết ơn sâu
sắc đến Thầy vì đã hướng dẫn và giúp đỡ tơi trong suốt q trình thực

7

hiện luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo Trường Đại
học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, Phịng Đào tạo, Khoa Tốn, cùng q
thầy cơ giáo giảng dạy lớp cao học K39 Tốn Giải tích đã dày cơng giảng
dạy trong suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình
học tập và thực hiện luận văn.
Nhân đây, tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về cả vật chất lẫn
tinh thần của gia đình, bạn bè, những người đã ln tạo mọi điều kiện
thuận lợi nhất có thể để tơi hồn thành tốt khóa học và luận văn này.


8

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, luận văn trình bày một số kiến thức của giải tích
có liên quan đến luận văn bao gồm không gian định chuẩn, không gian
Banach, không gian Hilbert, cơ sở trực chuẩn, các không gian Sobolev,
hàm khả vi Fréchet, dưới vi phân của hàm lồi và các khái niệm cơ bản về
bài toán đặt khơng chỉnh. Tồn bộ kiến thức trong chương này được tham
khảo từ các tài liệu [1], [2] và [3].

1.1

Không gian định chuẩn và không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1. (Chuẩn và không gian định chuẩn)
Cho X là một không gian vectơ trên trường K (K = R hoặc K = C).
Ánh xạ

· : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các

điều kiện sau với mọi x, y ∈ X và với mọi λ ∈ K:
a. x ≥ 0 và x = 0 ⇔ x = 0.
b. λx = |λ| x .
c. x + y ≤ x + y .
Khi đó, khơng gian vectơ X cùng với chuẩn
khơng gian định chuẩn, kí hiệu là X, ·

·

trên X được gọi là một

. Hơn nữa, d(x, y) := x − y

là một metric trên X (metric sinh bởi chuẩn).
Nhận xét 1.1.2. Điều kiện thứ ba trong định nghĩa trên được gọi là bất
đẳng thức tam giác. Ta cũng có một bất đẳng thức tam giác thứ hai:

x−y ≥

x − y

với mọi x, y ∈ X.

9

Định nghĩa 1.1.3. (Dãy hội tụ)
Cho X là một không gian định chuẩn. Dãy (xn ) ⊂ X được gọi là hội
tụ nếu tồn tại x0 ∈ X sao cho lim xn − x0 = 0. Khi đó, ta cũng nói x0
n→∞

là giới hạn của dãy (xn ) và viết lim xn = x0 .
n→∞

Định nghĩa 1.1.4. (Dãy Cauchy)
Cho X là một không gian định chuẩn. Dãy (xn ) ⊂ X được gọi là
dãy Cauchy nếu

lim

n,m→∞

xn − xm

= 0, tức là với mọi ε > 0, tồn tại

n0 = n0 (ε) ∈ N sao cho xn − xm < ε với mọi n, m ≥ n0 (ε).
Nhận xét 1.1.5. Mọi dãy hội tụ trong một không gian định chuẩn đều
là dãy Cauchy.
Định nghĩa 1.1.6. (Không gian Banach)
Một không gian định chuẩn X được gọi là một không gian Banach nếu

X cùng với metric sinh bởi chuẩn là không gian đầy đủ, hay nói cách khác

mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.

1.2

Không gian Hilbert và hệ trực chuẩn

Định nghĩa 1.2.1. (Tích vơ hướng và khơng gian tiền Hilbert)
Cho X là một không gian vectơ trên trường K (K = R hoặc K = C).
Ánh xạ ·, · : X × X → K được gọi là một tích vơ hướng trên X nếu nó
thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X và với mọi λ ∈ K:
a. x, x ≥ 0 và x, x = 0 ⇔ x = 0.
b. x, y = y, x .
c. λx, y = λ x, y .
d. x + y, z = x, z + y, z .
Khi đó, khơng gian vectơ X cùng với tích vơ hướng ·, · trên X được gọi


10

là một khơng gian tiền Hilbert, kí hiệu là X, ·, · .
Nhận xét 1.2.2. Các tính chất sau đây dễ dàng được suy ra từ định
nghĩa:
a. x, y + z = x, y + x, z với mọi x, y, z ∈ X .
b. x, λy = λ x, y với mọi x, y ∈ X , với mọi λ ∈ K.
Định lý 1.2.1. (Chuẩn sinh bởi tích vơ hướng)
Nếu X là một khơng gian tiền Hilbert thì ánh xạ
cho bởi công thức x =

·

: X → R được

x, x là một chuẩn trên X . Hơn nữa, với mọi

x, y ∈ X , ta có:
a. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
b. Công thức nhị thức: x ± y
c. x + y

2

+ x−y

2

=2 x

2

= x
2

≤ x . y .

x, y

+ y

2

+ y

2

2

± 2 Re x, y .

.

Định nghĩa 1.2.3. (Không gian Hilbert)
Nếu một không gian tiền Hilbert X là không gian Banach với chuẩn
sinh bởi tích vơ hướng thì X được gọi là một không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.2.4. (Dãy hội tụ yếu)
Cho X là một không gian Hilbert. Dãy (xn ) ⊂ X được gọi là hội tụ yếu
về x0 ∈ X nếu xn , y → x0 , y với mọi y ∈ X và kí hiệu là xn

x0 .

Định nghĩa 1.2.5. (Phần bù trực giao)
Cho X là một không gian tiền Hilbert trên K (K = R hoặc K = C).
a. Hai phần tử x và y được gọi là trực giao nếu x, y = 0.
b. Cho M là một tập con của X . Tập hợp:

M ⊥ := x ∈ X : x, y = 0 với mọi y ∈ M


11

được gọi là phần bù trực giao của M .

M ⊥ ln là một khơng gian con đóng và M ⊂ (M ⊥ )⊥ . Hơn nữa nếu
A ⊂ B thì B ⊥ ⊂ A⊥ .
Định lý 1.2.2. (Tốn tử chiếu)
Cho X là một không gian Hilbert và V là một khơng gian con đóng của

X . Khi đó, V = (V ⊥ )⊥ . Mỗi x ∈ X có một phân tích duy nhất dưới dạng
x = v + w, trong đó v ∈ V và w ∈ V ⊥ . Toán tử P : X → V biến x thành
v được gọi là toán tử chiếu trực giao lên V và có các tính chất sau:
a. P v = v với mọi v ∈ V , tức là P 2 = P .
b. x − P x ≤ x − v

với mọi v ∈ V .

Tính chất thứ hai suy ra rằng P x ∈ V là xấp xỉ tốt nhất của x ∈ X trong
không gian con đóng V .
Định nghĩa 1.2.6. (Khơng gian tách được)
Một khơng gian định chuẩn X được gọi là tách được nếu tồn tại một
tập con trù mật đếm được M , hay nói cách khác tồn tại M và một song
ánh j : N → M sao cho cl(M ) = X .
Định nghĩa 1.2.7. Cho X là một không gian Hilbert trên trường K. Với
bất kỳ một tập A ⊂ X , tập
n

αk xk : α ∈ K, xk ∈ A, n ∈ N

span A :=
k=1

được gọi là không gian con của X sinh bởi A.

Định nghĩa 1.2.8. (Hệ trực chuẩn)
Cho X là một không gian Hilbert tách được trên trường K (K = R
hoặc K = C). Một tập đếm được A = xk : k = 1, 2, 3, ... được gọi là
một hệ trực chuẩn của X nếu:


12

a. xk , xj = 0 với mọi k = j .
b. xk = 1 với mọi k ∈ N.

A được gọi là hệ đầy đủ hoặc hệ trực chuẩn tối đại nếu A là một hệ
trực chuẩn và không có hệ trực chuẩn B nào khác A thỏa mãn A ⊂ B .
Định lý 1.2.3. Cho X là một không gian Hilbert tách được trên trường K
(K = R hoặc K = C) và A = xk : k = 1, 2, 3, ... là một hệ trực chuẩn
của X . Khi đó:
a. Mọi tập con hữu hạn của A đều độc lập tuyến tính.
b. Nếu A là tập hữu hạn, tức A = xk : k = 1, 2, 3, ..., n thì với mỗi

x ∈ X , tồn tại duy nhất các hệ số αk ∈ K, k = 1, 2, 3, ..., n sao cho
n

x−

αk xk ≤ x − a với mọi a ∈ span A.
k=1

Các hệ số αk được xác định bởi αk = x, xk với mọi k = 1, ..., n.
c. Với mỗi x ∈ X , ta có bất đẳng thức Bessel:
∞

2

x, xk

≤ x 2,

k=1
∞

x, xk xk hội tụ trong X .

và chuỗi
k=1

d. A đầy đủ nếu và chỉ nếu span A trù mật trong X .
e. A đầy đủ nếu và chỉ nếu với mọi x ∈ X , ta có phương trình Parseval:
∞

x, xk

2

= x 2.

k=1

f. A đầy đủ nếu và chỉ nếu mỗi x ∈ X đều có khai triển Fourier (suy
rộng):

∞

x=

x, xk xk ,
k=1


13

trong đó sự hội tụ được hiểu theo chuẩn của X . Trong trường hợp này,
phương trình Parseval đúng với dạng tổng quát sau:
∞

x, xk y, xk .

x, y =
k=1

1.3

Các không gian Sobolev

Định nghĩa 1.3.1. (Không gian Lp )
Giả sử E là một tập con khác rỗng, bị chặn, đo được Lebesgue trong
không gian Rn và 1 ≤ p < ∞. Lp (E) được định nghĩa là không gian vectơ
bao gồm tất cả các hàm đo được Lebesgue f : E → R thỏa mãn
p

f (x) dx < +∞.
E

Nhận xét 1.3.2. Lp (E) là một không gian Banach với chuẩn

 p1

f

Lp (E)

p
f (x) dx .

:= 
E

Khi p = 2, L2 (E) là một khơng gian Hilbert với tích vơ hướng

f, g =

f (x)g(x)dx.
E

Đặc biệt, khi p = +∞, L∞ (E) là không gian Banach bao gồm tất cả các
hàm đo được Lebesgue, "bị chặn chính" với chuẩn

f

L∞ (E)

:= ess sup f (x) = inf

x∈E

|F |=0

sup f (x) .
x∈E\F

Định nghĩa 1.3.3. (Không gian C k )
Cho Ω là một tập mở, liên thông trong Rn và k ∈ N, C k (Ω) được định
nghĩa là không gian vectơ bao gồm tất cả các hàm liên tục f : Ω → R và
có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp k trên Ω.


14

C k Ω được định nghĩa là không gian vectơ bao gồm tất cả các hàm
v ∈ C k (Ω) thỏa mãn v và các đạo hàm riêng đến cấp k của nó có thể mở
rộng liên tục lên miền Ω.

C k Ω là không gian Banach với các chuẩn
f

C (Ω)

= max f (x) và f
x∈Ω

C k (Ω)

Dα y

=

C (Ω)

với k ≥ 1.

|α|≤k

Định nghĩa 1.3.4. (Giá)
Cho hàm v : Ω → R, ta định nghĩa giá của v là tập

supp v := x ∈ Ω : v(x) = 0 .
Định nghĩa 1.3.5. (Không gian C0k )
Cho Ω là một tập mở, liên thông trong Rn và k ∈ N ∪ {∞}. C0k (Ω)
được định nghĩa là không gian vectơ con của C k (Ω) bao gồm các hàm

v ∈ C k (Ω) thỏa mãn supp v ⊂⊂ Ω, tức supp v là tập con compact trong
Ω.
Định nghĩa 1.3.6. (Không gian L1loc )

L1loc (Ω) được định nghĩa là tập tất cả các hàm khả tích địa phương
trong Ω, tức là

L1loc (Ω) :=

f :Ω→R

f (x) dx < ∞, ∀E ⊂⊂ Ω .
E

Định nghĩa 1.3.7. (Đa chỉ số)
Cho v = v(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ C k (Ω) và α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Nn . Ta định
nghĩa

∂ |α| v
.
∂ α1 x1 ∂ α2 x2 ...∂ αn xn
Ta nói α là một đa chỉ số và |α| = α1 + α2 + ... + αn là độ dài của α. Đặc
Dα v :=

biệt, ta quy ước D(0) v := v .


15

Định nghĩa 1.3.8. (Đạo hàm riêng yếu)
Cho y ∈ L1loc (Ω) và α = (α1 , α2 , ..., αn ) là một đa chỉ số. Nếu tồn tại
hàm w ∈ L1loc (Ω) sao cho với mọi v ∈ C0∞ (Ω), ta đều có

y(x)Dα v(x)dx = (−1)|α|
Ω

w(x)v(x)dx
Ω

thì w được gọi là đạo hàm riêng yếu của y ứng với α.
Định nghĩa 1.3.9. (Không gian W k,p )
Cho 1 ≤ p < ∞ và k ∈ N. W k,p (Ω) được định nghĩa là không gian vectơ
bao gồm tất cả các hàm f ∈ Lp (Ω) có các đạo hàm riêng yếu Dα f ∈ Lp (Ω)

với mọi đa chỉ số α mà |α| ≤ k .
Các không gian W k,p (Ω) cịn được gọi là các khơng gian Sobolev.
Nhận xét 1.3.10. W k,p (Ω) là không gian Banach với chuẩn

 p1

f

W k,p (Ω)

p

Dα f (x) dx .

=
|α|≤k

Ω

Đặc biệt, với p = ∞, ta có chuẩn

f

W k,∞ (Ω)

= max Dα y
|α|≤k

L∞ (Ω)

.

Định nghĩa 1.3.11. (Không gian H 1 và H01 )
Với p = 2, đặt H k (Ω) := W k,2 (Ω). Khi đó H k (Ω) là khơng gian Hilbert
với tích vơ hướng

u, v

H k (Ω)

Dα u, Dα v

=

L2 (Ω)

.

|α|≤k

Với k = 1, ta có

H 1 (Ω) =

f : Ω → R f ∈ L2 (Ω) và Di f ∈ L2 (Ω), i = 1, n


16

là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng

u, v

H 1 (Ω)

=

∇u.∇vdx

uvdx +
Ω

Ω

cùng với chuẩn

f
trong đó ∇f

2

H 1 (Ω)

= D1 f

2

f 2 + ∇f

=

2

1
2

dx

,

Ω
2

+ ... + Dn f .

Cuối cùng, ta định nghĩa

H01 (Ω) =

f ∈ H 1 (Ω) f |∂Ω = 0 .

Định lý 1.3.1. (Định lý vết)
Cho Ω là một miền Lipschitz bị chặn trong Rn , Γ là biên của Ω và

1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó, tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục τ từ W 1,p (Ω)
vào Lp (Γ) sao cho với mọi y ∈ W 1,p (Ω)∩C Ω , ta ln có (τ y)(x) = y(x)
với mọi x ∈ Γ.

1.4

Toán tử liên tục và khả vi Fréchet

Định nghĩa 1.4.1. (Toán tử liên tục)
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn. Một toán tử f đi từ X vào

Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
với mọi x ∈ X mà x − x0 < δ ta đều có f (x) − f (x0 ) < ε.
Nhận xét 1.4.2. Một định nghĩa khác tương đương với định nghĩa trên:
Toán tử f được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi dãy (xn ) ⊂ X mà

xn → x0 thì f (xn ) → f (x0 ).
Định nghĩa 1.4.3. Toán tử f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục
tại mọi x0 ∈ X .


17

Định nghĩa 1.4.4. (Tốn tử tuyến tính)
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn trên trường K. Một toán tử

f đi từ X vào Y được gọi là tuyến tính nếu với mọi x, y ∈ X , với mọi
α, β ∈ K ta đều có f (αx + βy) = αf (x) + βf (y).
Định nghĩa 1.4.5. (Tốn tử tuyến tính bị chặn và chuẩn của tốn tử)
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn. Một tốn tử tuyến tính f đi
từ X vào Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại M > 0 sao cho f (x) ≤ M x
với mọi x ∈ X .
Số nhỏ nhất trong các hằng số này được gọi là chuẩn của toán tử f ,
tức là

f := sup

x=0

f (x)
.
x

Định lý 1.4.1. Cho f là một toán tử tuyến tính bị chặn từ khơng gian
tuyến tính định chuẩn X vào khơng gian tuyến tính định chuẩn Y . Khi đó,

f = sup
x=0

f (x)
= sup f (x) = sup f (x) .
x
x ≤1
x =1

Định lý 1.4.2. Cho f là một tốn tử tuyến tính đi từ khơng gian định
chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó, các mệnh đề sau là tương
đương:
a. f liên tục trên X .
b. f liên tục tại x0 ∈ X .
c. f liên tục tại 0.
d. f bị chặn.
Định nghĩa 1.4.6. (Không gian liên hợp)
Cho X là một không gian định chuẩn. Khơng gian liên hợp của X , kí
hiệu X ∗ , là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X . Hơn

18

nữa, X ∗ là một không gian Banach với chuẩn

f =

sup

f (x) .

x∈X, x =1

Định nghĩa 1.4.7. (Toán tử tuyến tính liên hợp)
Cho X , Y là các khơng gian Hilbert và f : X → Y là một toán tử
tuyến tính bị chặn. Khi đó, tồn tại duy nhất một tốn tử tuyến tính bị
chặn f ∗ : Y → X thỏa mãn

f (x), y = x, f ∗ (y) với mọi x ∈ X, y ∈ Y.
Toán tử f ∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tử f . Với X = Y , toán
tử f được gọi là tự liên hợp nếu f ∗ = f .
Định lý 1.4.3. (Định lý biểu diễn Riesz)
Cho V là một khơng gian Hilbert trên R. Khi đó, với mọi tốn tử tuyến
tính liên tục f ∗ ∈ V ∗ , tồn tại duy nhất u ∈ V sao cho f ∗ (v) = u, v với
mọi v ∈ V và f ∗

V∗

= u

V.

Định nghĩa 1.4.8. (Toán tử compact)
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn. Một tốn tử tuyến tính bị
chặn f đi từ X vào Y được gọi là compact nếu nó biến mỗi tập con bị chặn
bất kì của X thành một tập compact tương đối (có bao đóng compact)
của Y .
Định nghĩa 1.4.9. (Hàm nửa liên tục dưới)
Một hàm f : X → R được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu

lim inf f (x) ≥ f (x0 ).

x→x0

Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tại
mọi x ∈ X .


19

Định nghĩa 1.4.10. (Hàm nửa liên tục dưới yếu)
Cho X là một không gian Hilbert. Một hàm f : X → R được gọi là
nửa liên tục dưới yếu tại x0 ∈ X nếu lim inf f (xn ) ≥ f (x0 ), với mọi dãy

(xn ) hội tụ yếu về x0 .
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới yếu trên X nếu f nửa liên tục dưới
yếu tại mọi x ∈ X .
Định nghĩa 1.4.11. (Hàm liên tục Lipschitz)
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn và f : X → Y . Ta lấy một
tập mở A ⊂ X . Khi đó, f được gọi là liên tục Lipschitz trên tập con mở

A nếu tồn tại một hằng số L > 0 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho
với mọi x, y ∈ A ta đều có

f (x) − f (y) ≤ L x − y .
Nếu A = X thì ta nói f liên tục Lipschitz trên X .
Định nghĩa 1.4.12. (Hàm coercive)
Cho X là một không gian định chuẩn. Một hàm f từ X vào R được gọi
là coercive nếu f (x) → +∞ khi x → +∞.
Định nghĩa 1.4.13. (Khả vi Fréchet)
Cho V , W là hai không gian định chuẩn và U là một tập con mở của

V . Một hàm f đi từ U vào W được gọi là khả vi Fréchet tại x ∈ U nếu
tồn tại một tốn tử tuyến tính bị chặn A đi từ V vào W sao cho

lim

h →0

1.5

f (x + h) − f (x) − Ah
= 0.
h

Dưới vi phân của hàm lồi

Định nghĩa 1.5.1. (Hàm lồi)


20

Cho X là một không gian định chuẩn, M là một tập con khác rỗng của

X và một phiếm hàm f nhận giá trị thực mở rộng trên M :
f : M → R := [−∞; +∞].
Các tập hợp
domf := x ∈ M f (x) < +∞
và
epif := (x, γ) ∈ M × R f (x) ≤ γ
lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và trên đồ thị của f . Ngoài ra, với mỗi

α ∈ R, ta gọi tập mức dưới của hàm f là:
C(f ; α) := x ∈ M f (x) ≤ α = x ∈ M (x, α) ∈ epif .
Hàm f được gọi là chính thường nếu domf = 0. Hàm f > −∞ được
gọi là hàm lồi trên M nếu epif là tập lồi và được gọi là hàm lõm trên M
nếu −f là hàm lồi.
Nhận xét 1.5.2. Cho hàm f : X → (−∞; +∞]. Khi đó, f là lồi khi và
chỉ khi với mọi x, y ∈ X , với mọi λ ∈ (0; 1), ta đều có:

f λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).
Định nghĩa 1.5.3. (Dưới vi phân hàm lồi)
Giả sử f là một hàm lồi, chính thường trên khơng gian Hilbert X và

x0 ∈ domf . Một phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ được gọi là dưới gradient của f tại
x0 nếu với mọi x ∈ X :
f (x) ≥ f (x0 ) + x − x0 , x∗ .


21

Về mặt hình học, điều đó có nghĩa rằng hàm affine

ϕ(x) := f (x0 ) + x − x0 , x∗ , x ∈ X
có đồ thị là một siêu phẳng tựa của epif tại điểm x0 , f (x0 ) .
Tập hợp tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân
của f tại điểm đó và được kí hiệu là ∂f (x0 ). Như vậy

∂f (x0 ) = x∗ ∈ X ∗ f (x) − f (x0 ) ≥ x − x0 , x∗ , ∀x ∈ X .
Nếu ∂f (x0 ) là tập khác rỗng thì ta nói f khả dưới vi phân tại x0 . Để
thuận tiện ta cũng quy ước ∂f (x0 ) = ∅ nếu x0 ∈
/ domf . Dễ thấy

x∗ x − x0 , x∗ ≤ f (x) − f (x0 ) .

∂f (x0 ) =
x∈X

1.6

Bài toán đặt khơng chỉnh và phương pháp chỉnh
hóa

Theo Hadamard, một bài tốn được gọi là đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn
ba điều kiện sau:

• Bài tốn tồn tại ít nhất một nghiệm với mọi dữ liệu đầu vào.
• Bài tốn tồn tại khơng q một nghiệm với mọi dữ liệu đầu vào.
• Nghiệm của bài toán phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đầu vào.
Ngược lại, bài tốn khơng thỏa mãn một trong ba điều kiện trên được
gọi là bài toán đặt khơng chỉnh. Về mặt tốn học, các bài tốn thường

được mơ tả dưới dạng một phương trình tốn tử. Vì thế chúng ta có thể
phát biểu khái niệm đặt chỉnh như sau.