Phép tính tích phân của hàm vectơ và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————

HỒ ANH ĐIỀN

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM VECTƠ
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - 2021


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————

HỒ ANH ĐIỀN

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM VECTƠ
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học :
TS. Hoàng Nhật Quy

Đà Nẵng - 2021


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Phép tính tích phân của hàm vectơ và
một số ứng dụng" khơng có sự trùng lặp với bất kỳ đề tài luận văn nào khác.
Tôi cũng xin khẳng định luận văn này là cơng trình nghiên cứu tổng quan
của tơi dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Nhật Quy. Các kết quả trong luận
văn này được tổng hợp từ những tài liệu có nguồn gốc rõ ràng.
Tác giả

Hồ Anh Điền


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của
thầy hướng dẫn TS. Hoàng Nhật Quy, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng.
Nhân dịp này tơi xin bày tỏ sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy
đã giúp đỡ tơi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi cũng
xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng,
Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn, cùng q thầy cơ giáo giảng dạy
lớp cao học K39 tại đã dày công giảng dạy trong suốt khóa học, tạo điều
kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và thực hiện đề tài.
Nhân đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thần
của gia đình, bạn bè đã luôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành
tốt khóa học và luận văn này.
Tác giả

Hồ Anh Điền

TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ
Tên đề tài: Phép tính tích phân của hàm vectơ và một số ứng dụng
Ngành: Tốn giải tích
Họ và tên học viên: Hồ Anh Điền
Người hướng dẫn khoa học: TS. Hoàng Nhật Quy
Cơ sở đào tạo: Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng
Tóm tắt




Những kết quả chính của luận văn:
- Đã hệ thống hóa một số khái niệm và các kết quả liên quan tới vectơ, hàm vectơ và phép
tính tích phân của hàm vectơ.
- Trình bày một số ứng dụng của hàm vectơ và phép tính tích phân của hàm vectơ trong nghiên
cứu một số trường vectơ trong vật lý (như trường điện từ, trường hấp hẫn,..), trong nghiên
cứu dạng vi phân và hình học vi phân trong tốn học.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn:
- Luận văn được viết trên cơ sở tham khảo các kết quả từ 06 tài liệu tham khảo bằng Tiếng
Việt và 02 tài liệu tham khảo bằng Tiếng Anh là các sách chuyên khảo của các nhà xuất bản
uy tín trong nước và trên thế giới. Do vậy, đây có thể là một tài liệu tham khảo bổ ích cho
học viên cao học ngành Tốn Giải Tích và độc giả quan tâm về lĩnh vực này.
Xác nhận của giáo viên hướng dẫn

Người thực hiện đề tài


INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS

Name of thesis: Integral calculus of vector functions and some applications
Major: Mathematical analysis
Full name of Master student: Ho Anh Dien
Supervisors: PhD. Hoang Nhat Quy
Training institution: The University of Danang - University of Education.
Summary




The main results of the thesis:
- Systematically presenting some concepts and results related to vectors, vector functions
and integral calculus of vector functions.
- Presenting some applications of vector functions and integral calculus of vector functions
in the study of some vector fields in physics (such as electromagnetic fields, gravitational
fields, ..), in the study of differential forms and geometry differential in mathematics.
The applicability in practice and subsequent research of the thesis:
- The thesis is written on the basis of referencing results from 06 references in Vietnamese
and 02 references in English, which are monographs of prestigious domestic and
international publishers. Therefore, this can be a useful reference for graduate students
majoring in Calculus and readers interested in this field.
Supervior’s confirmation

Student


Mục lục
MỞ ĐẦU

2

1 Kiến thức cơ sở

5

2

1.1
1.2

Một số kiến thức về vectơ trong mặt phẳng và không gian . .
Hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
12

1.3

Đạo hàm và tích phân hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Đạo hàm của hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . .

15
15

1.4

1.3.2 Tích phân của hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . .
Mặt tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

20

1.5
1.6

Trường vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sơ lược về dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
37

Một số ứng dụng của phép tính tích phân hàm vectơ
40
2.1 Tích phân đường của hàm vectơ và ứng dụng . . . . . . . . . 40
2.2
2.3

Tích phân mặt của hàm vectơ và ứng dụng . . . . . . . . .
Tích phân của dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59
67

2.4

Một số ứng dụng trong hình học vi phân

70

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . .

74

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình tốn học phổ thông, phương pháp tọa độ và vectơ đã
được đề cập ở mức độ rất cơ bản, và mang lại phương pháp tiếp cận mới,
các lời giải hay cho nhiều bài tốn về hình học. Dựa trên lý thuyết về tọa
độ, vectơ và hàm số, khái niệm hàm vectơ đã được xây dựng và nghiên cứu.
Tiếp cận lý thuyết về hàm số theo hướng này giúp chúng ta có cái nhìn đa
dạng về các khái niệm tốn học, mang lại sự mới mẻ và tìm được các ứng
dụng hữu ích hơn cho các nội dung tốn học nói chung và nội dung về phép
tính tích phân nói riêng.
Phép tính tích phân của hàm vectơ có nhiều ứng dụng khi nghiên cứu các
trường vectơ trong vật lý (như trường điện từ, trường hấp dẫn, dòng chất
lỏng,...), nghiên cứu về dạng vi phân và hình học vi phân trong tốn học.
Là giáo viên dạy tốn ở trường phổ thơng với mong muốn được tìm hiểu sâu
hơn về phép tính tích phân hàm vectơ và các ứng dụng của nó, mong muốn
có cách tiếp cận mới mẻ hơn để từ đó đưa ra cách truyền đạt để học sinh
có thể nắm bắt và tiếp cận kiến thức về tích phân một cách dễ dàng và thú
vị hơn, cùng được sự hướng dẫn khoa học của TS. Hồng Nhật Quy, tơi
đã chọn đề tài “Phép tính tích phân của hàm vectơ và một số ứng
dụng” để thực hiện trong luận văn Thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là:

2


• Hệ thơng hóa lại các kiến thức liên quan tới vectơ, hàm vectơ và phép tốn
tích phân của hàm vectơ.
• Nghiên cứu một số ứng dụng của phép tính tích phân của hàm vectơ khi
nghiên cứu các trường vectơ trong vật lý, nghiên cứu dạng vi phân và hình
học vi phân trong toán học.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a. Đối tượng nghiên cứu
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề cơ bản về phép
tính tích phân hàm vectơ: khái niệm, một số tính chất và ứng dụng của phép
tính tích phân hàm vectơ.
b. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu thuộc chuyên ngành giải tích tốn học. Cụ thể, đề tài
sẽ hệ thống hóa các khái niệm, kết quả và mở rộng khái niệm hàm vectơ,
tích phân hàm vectơ, trường vectơ và nghiên cứu một số ứng dụng của phép
tính tích phân hàm vectơ trong một số lĩnh vực vật lý và toán học.
4. Cấu trúc luận văn
Cấu trúc của luận văn gồm các phần chính sau đây:

• Mở đầu: Phần này nhằm giới thiệu sơ lược về đối tượng nghiên cứu
chính của chun ngành Giải tích vectơ nói chung và hàm vectơ nói riêng.
• Phần nội dung: Nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương cụ thể
như sau:
Chương 1. Kiến thức cơ sở: Chương này trình bày một số kiến thức
về vectơ trong mặt phẳng và trong không gian, định nghĩa hàm vectơ,trường
vectơ, tích phân của hàm vectơ và sơ lược về dạng vi phân.

3


Chương 2. Một số ứng dụng của phép tính tích phân hàm vectơ:
Chương này được giành để giới thiệu về tích phân đường của hàm vectơ và
ứng dụng, tích phân mặt của hàm vectơ và ứng dụng. Ngồi ra cịn giới thiệu
sơ lược về tích phân của dạng vi phân và một số ứng dụng trong hình học vi
phân.

• Kết luận
• Tài liệu tham khảo

4


Chương 1

Kiến thức cơ sở
Chương này trình bày một số kiến thức vectơ trong mặt phẳng và không
gian, định nghĩa hàm vectơ, tích phân hàm vectơ, trường vectơ. Ngồi ra cịn
trình bày sơ lược về dạng vi phân. Các khái niệm và kết quả trong chương
này được tham khảo trong các tài liệu [1],[2],[4],[5], [6].

1.1

Một số kiến thức về vectơ trong mặt
phẳng và khơng gian

Trong chương trình tốn phổ thơng, vectơ được định nghĩa là một đoạn
thẳng trong đó quy định một đầu mút là điểm đầu (điểm gốc) và đầu mút

cịn là điểm cuối (điểm ngọn). Khi đó, độ dài đoạn thẳng đó gọi là độ dài
(độ lớn, module) của vectơ, đường thẳng chứa đoạn thẳng đó gọi là phương
và chiều từ điểm đầu đến điểm cuối gọi là chiều của vectơ. Phép cộng hai
vectơ cho ta một vectơ mới được xác định bởi quy tắc ba điểm hoặc quy
tắc hình bình hành, phép nhân một số thực λ với một vectơ ⃗a cho ta một
vectơ mới cùng phương với ⃗a, có độ dài bằng |λ||⃗a| và có chiều cùng chiều
với ⃗a nếu λ > 0, ngược chiều với ⃗a nếu λ < 0 và bằng vectơ không nếu λ = 0.
Trong chương trình tốn cao cấp, vectơ được hiểu là một phần tử của
một không gian vectơ trên trường số K ∈ {R, C}. Ở đây, không gian vectơ
trên trường K là một tập hợp V ̸= ∅ mà trên đó định nghĩa hai phép tốn

5


cộng các vectơ và nhân một số với một vectơ thỏa mãn các tiên đề sau đây:
Cho u, v, w ∈ V và λ, β ∈ K
(1) u + v = v + u;
(2) (u + v) + w = u + (v + w);
(3) Tồn tại vectơ không (ký hiệu là 0) sao cho u + 0 = 0 + u = u;
(4) Với mọi vectơ u, tồn tại vectơ đối (ký hiệu là −u) sao cho u + (−u) =
(−u) + u = 0;
(5) (λβ)u = λ(βu);
(6) 1.u = u, ở đây 1 là số đơn vị thuộc trường K;
(7) (λ + β)u = λu + βu;
(8) λ(u + v) = λu + βu.
Và trên nền tảng không gian vectơ, tốn học cao cấp đã phát triển các
khơng gian khác như không gian định chuẩn, không vectơ tô pô, không gian
Banach,...
Để thuận tiện cho việc ứng dụng của lý thuyết vectơ người ta đã rút ra
các đặc trưng của vectơ gồm độ lớn (cịn có các tên gọi khác như độ dài,

module) của vectơ và hướng của vectơ (bao gồm phương và chiều của vectơ).
Và lúc này ta có hai loại đại lượng: đại lượng vơ hướng (chỉ có độ lớn) và đại
lượng vectơ (có độ lớn và hướng).
Ví dụ:

• Các đại lượng vật lí như: khối lượng, thể tích, cơng, năng lượng,... là đại
lượn vơ hướng.
• Các đại lượng vật lý như: độ dời, vận tốc, gia tốc, lực,... là các đại lượng
vectơ.
Định nghĩa 1.1.1. Các vectơ có độ lớn bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị.
Trong một số tài liệu, vectơ đơn vị được phân biệt với vectơ khác bằng
→
−
một dấu mũ; ví dụ a
ˆ là đại diện cho một vectơ đơn vị theo hướng của vectơ
→
−
⃗a. Rõ ràng, ⃗a = a a
ˆ . Trong hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz , các
vectơ đơn vị trên trục Ox, Oy, Oz lần lượt được kí hiệu là ⃗i, ⃗j, ⃗k .
Định nghĩa 1.1.2. Vectơ - khơng là vectơ có độ lớn bằng khơng và khơng
→
−
có hướng, được ký hiệu 0 .

6


Định nghĩa 1.1.3. Vectơ đối của vectơ ⃗a, được kí hiệu là −⃗a, là một vectơ
có module bằng module của vectơ ⃗a nhưng ngược hướng với vectơ ⃗a.

Định nghĩa 1.1.4. Các vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng
modun và cùng hướng.
CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỀ VECTƠ
Định nghĩa 1.1.5 (Phép cộng hai vectơ). Cho hai vectơ ⃗a, ⃗b được biểu
−→ −→
−→
diễn lần lượt bởi P Q, QR. Khi đó vectơ biểu diễn bởi P R được định nghĩa
là tổng của ⃗a và ⃗b, được viết: ⃗a + ⃗b và được gọi là quy tắc 3 điểm của phép
cộng vectơ (hình vẽ)

Định nghĩa 1.1.6 (Phép trừ hai vectơ). Hiệu giữa hai vectơ ⃗a⃗b được
viết là ⃗a − ⃗b và theo quy tắc của đại số vơ hướng nó được viết thành tổng
−→ −→
−→
⃗a + (−⃗b). Biểu diễn ⃗a, ⃗b bởi các vectơ P Q, QR như trước, khi đó QR′ sẽ đại
diện cho −⃗b, với QR’ = QR.
−−→
Nên ⃗a − ⃗b hoặc ⃗a + (−⃗b) được biểu diễn bởi P R′ (hình vẽ)

7


Định nghĩa 1.1.7 (Tổng của nhiều vectơ). Giả sử có n vectơ ⃗a1 , ⃗a2 , . . . , ⃗an .
−−→
Cho ⃗a1 được biểu diễn bởi OA1 , ⃗a2 được đại diện bởi A1 A2 , . . . , ⃗an được biểu
−−→ −−→ −−−→ − →
a +−
a
diễn bởi A A . Vậy thì OA = OA + A A = →
n−1

n

2

1

1

2

1

2

−−→ −−→ −−−→ →
−
−
OA3 = OA2 + A2 A3 = −
a1 + →
a2 + →
a3 ;
−−→ −−→ −−−→ →
−
−
−
OA4 = OA3 + A3 A4 = −
a1 + →
a2 + →
a3 + →

a4
··········································
−−→ −−−−→ −−−−−→ →
−
−
−
OAn = OAn−1 + An−1 An = −
a1 + →
a2 + →
a3 + . . . + →
an
Định nghĩa 1.1.8 (Phép nhân một vectơ với một số). Cho số thực
−
m ∈ R, m ̸= 0 và vectơ ⃗a ̸= ⃗0. Khi đó, tích của m và vectơ ⃗a, ký hiệu m→
a,
được định nghĩa như một vectơ có độ lớn bằng ma, cùng phương với ⃗a và
cùng chiều với ⃗a nếu m > 0, ngược chiều với ⃗a nếu m < 0.
Nếu m = 0 hoặc ⃗a = ⃗0 thì m⃗a = ⃗0.
Ta nhắc lại kết quả sau đây liên quan tới phép cộng vectơ và phép nhân
một số với một vectơ.
−→ −→
Định lý 1.1.1. Nếu các vectơ ⃗a, ⃗b được biểu diễn lần lượt bởi OP , OQ và
m, n là các hằng số dương, khi đó m⃗a + n⃗b = (m + n)⃗c, với ⃗c được biểu diễn
−→
bởi vectơ OR, R là một điểm trên PQ sao cho mPR = nRQ.
Định nghĩa 1.1.9 (Tọa độ vectơ trong mặt phẳng). Cho vectơ ⃗r trong
−→
hệ trục tọa độ Oxy . Đặt ⃗r = OP . Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của P lên
−→
−−→

các trục tọa Ox, Oy . Đặt OA = x, OB = y . Khi đó, ta có OA = x⃗i, OB =
y⃗j . Vậy ta có
−→ −→ −−→
⃗r = OP = OA + OB = x⃗i + y⃗j.

8


Cặp (x, y) gọi là tọa độ của vectơ ⃗r trong hệ tọa độ Oxy . Ký hiệu là ⃗r = (x, y).

Đặt (Ox, ⃗r) = α, (⃗r, Oy) = β . Ta có

||⃗r|| = r =

x2 + y 2 , cos α =

x
y
, cos β = .
r
r

Từ đây suy ra

cos2 α + cos2 β = 1.
Định nghĩa 1.1.10 (Tọa độ vectơ trong không gian). Cho vectơ ⃗r
−→
trong hệ trục tọa độ Oxyz . Đặt ⃗r = OP . Gọi A, B, C lần lượt là các hình
chiếu vng góc của P lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz . Đặt OA = x, OB =
−→

−−→
−→
y, OC = z . Khi đó ta có OA = x⃗i, OB = y⃗j, OC = z⃗k . Vậy ta có

−→ −→ −−→ −→
⃗r = OP = OA + OB + OC = x⃗i + y⃗j + z⃗k.
Bộ (x, y, z) gọi là tọa độ của vectơ ⃗r trong hệ tọa độ Oxyz .
Ký hiệu ⃗r = (x, y, z).

9


Đặt (⃗r, Ox) = α, (⃗r, Oy) = β, (⃗r, Oz) = γ . Khi đó ta có

||⃗r|| = r =

x2 + y 2 + z 2 , cos α =

y
z
x
, cos β = , cos γ = .
r
r
r

Từ đây suy ra

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
Định nghĩa 1.1.11 (Tổng, hiệu các vectơ theo tọa độ). Giả sử các

vectơ ⃗r1 , ⃗r2 , ⃗r3 , . . . được biểu diễn theo các thành phần của chúng trong các
−→ −−→ −→
trục vng góc OX, OY , OZ
⃗r1 = x1⃗i + y1⃗j + z1⃗k
⃗r2 = x2⃗i + y2⃗j + z2⃗k
⃗r3 = x3⃗i + y3⃗j + z3⃗k
.......................

⃗r1 +⃗r2 +⃗r3 +. . . = x1⃗i + y1⃗j + z1⃗k + x2⃗i + y2⃗j + z2⃗k + x3⃗i + y3⃗j + z3⃗k
= (x1 + x2 + x3 + . . .)⃗i + (y1 + y2 + y3 + . . .) ⃗j + (z1 + z2 + z3 + . . .) ⃗k .
Kết quả cho thấy phép cộng các vectơ thực hiện bằng cách cộng các thành
phần của chúng. Hồn tồn tương tự khi trừ các vectơ.
TÍCH CỦA CÁC VECTƠ

−
Định nghĩa 1.1.12. (Tích vơ hướng) Tích vơ hướng của hai vectơ →
a và
→
−
b tạo với nhau một góc θ được định nghĩa là đại lượng vô hướng a.b. cos θ
→
−
−
và được ký hiệu là →
a.b.
⃗a.⃗b = ab cos θ.
10


Rõ ràng, phép nhân vô hướng của các vectơ là có tính giao hốn vì:

→
−
→
− −
→
−
a . b = ab cos θ = ba. cos θ = b .→
a

• Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng trong mặt phẳng: Cho các vectơ
⃗a = (x1 , y1 ), ⃗b = (x2 , y2 ). Khi đó tích vơ hướng của ⃗a và ⃗b là
⃗a⃗b = x1 x2 + y1 y2 .
• Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng trong không gian: Cho các vectơ
⃗a = (x1 , y1 , z1 ), ⃗b = (x2 , y2 , z2 ). Khi đó ta có biểu thức tọa độ là
⃗a⃗b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .
• Cho ⃗a = (x, y, z). Khi đó ta có
√
||⃗a|| = ⃗a⃗a =

x2 + y 2 + z 2 .

Từ Định nghĩa 1.1.12 ta có kết quả sau đây.
Định lý 1.1.2. Cho các vectơ ⃗a, ⃗b. Khi đó ta có

−||⃗a||||⃗b|| ≤ ⃗a⃗b ≤ ||⃗a||||⃗b||.
Đẳng thức của bất đẳng thức thứ nhất và thứ hai xảy ra khi lần lượt hai vectơ
⃗a và ⃗b là cùng phương ngược chiều và cùng phương cùng chiều.
Định nghĩa 1.1.13. (Tích có hướng)
→
−

−
Tích có hướng của 2 vectơ →
a và b tạo với nhau một góc θ được định
nghĩa như một vectơ (gọi là vectơ tích) có độ lớn là a.b. sin θ, có phương
vng góc với phương của cả 2 vectơ ⃗a, ⃗b và có chiều tuân theo quy tắc cái
đinh ốc (tức là, nếu đặt các đinh theo phương vng góc với cả ⃗a và ⃗b, rồi
vặn đinh ốc theo chiều quay từ vectơ ⃗a đến vectơ ⃗b thì chiều tiến của đinh
→
−
−
ốc chính là chiều của vectơ tích có hướng). Vectơ tích của 2 vectơ →
a và b
→
−
−
được ký hiệu là →
a ∧ b hoặc [⃗a, ⃗b].

• Biểu thức tọa độ của tích có hướng: Cho ⃗a = (x1 , y1 , z1 ), ⃗b = (x2 , y2 , z2 ).
khi đó
y1 z1
z1 x1
x1 y1
⃗a ∧ ⃗b =
,
,
.
y2 z2
z2 x2
x2 y2

11


Định nghĩa 1.1.14 (Tích hỗn tạp). Tích hỗn tạp của ba vectơ ⃗a, ⃗b, ⃗c là
biếu thức sau
⃗a.[⃗b, ⃗c].

• Biểu thức tọa độ của tích hỗn tạp: Cho ba vectơ ⃗a = (x1 , y1 , z1 ), ⃗b =
(x2 , y2 , z2 ), ⃗c = (x3 , y3 , z3 ). Khi đó tích hỗn tạp được xác định bởi
y2 z2
z2 x2
x 2 y2
⃗a.[⃗b, ⃗c] = x1
+ y1
+ z1
.
y3 z3
z3 x3
x 3 y3

1.2

Hàm vectơ

Trước hết ta đề cập tới hàm vectơ và một số kết quả liên quan. Các kết quả
ở mục này được tham khảo ở các tài liệu [1].
Định nghĩa 1.2.1. ([1]) Giả sử T là một tập hợp con của tập số thực
(T ⊂ R).
−
−r (t) từ tập hợp T vào không gian các vectơ hai

Hàm (ánh xạ) →
r : t → →
chiều hoặc ba chiều gọi là một hàm vectơ.
−r (T) là một tập hợp trong không gian các vectơ ba chiều và với mỗi
Giả sử →

t ∈ T , vectơ ⃗r(t) có các thành phần là x(t), y(t), z(t). Khi đó x = x(t), y =
y(t), z = z(t) là những hàm số thực xác định trên T. Ta gọi chúng là các
−r và viết
hàm số thành phần của hàm vectơ →
→
−
−
→
−
→
−r (t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)→
i + y(t) j + z(t) k , t ∈ T
→
−
−
→
−
−r = x→
hoặc viết gọn →
i +y j +zk.
Ví dụ 1.2.1. Cho hàm vectơ ⃗r(t) = t⃗i +
−r .
xác định của hàm vectơ →

√

t + 1⃗j + ln(2 − t)⃗k . Tìm tập hợp

−r là
Giải. Các hàm số thành phần của hàm vectơ →
x(t) = t, y(t) =

√

t + 1, z(t) = ln(2 − t).

−r là tập hợp tất cả các t ∈ R sao cho các
Tập hợp xác định của hàm vectơ →
hàm thành phần của ⃗r(t) xác định. Các biểu thức x(t), y(t), z(t) đồng thời

12


xác định khi

t+1≥0
⇔ −1 ≤ t < 2.
2−t>0
−r là khoảng [−1, 2).
Vậy tập hợp xác định của hàm vectơ →
→
−
−
−r = x→

Định nghĩa 1.2.2. . Giả sử hàm vectơ →
i + yj + z k xác định trên
→
−
→
−
→
−
một lân cận của điểm t0 ∈ R (có thể trừ điểm t0 ) và ⃗l = l1 i + l2 j + l3 k
−r có giới hạn tại điểm t là ⃗l và
là một vectơ khơng đổi. Ta nói rằng hàm →
0
viết limt→t0 ⃗r(t) = ⃗l nếu


 limt→t0 x(t) = l1 ,
limt→t0 y(t) = l2 ,


limt→t0 z(t) = l3 .
−r xác định trên khoảng (α, t ) (hoặc trên khoảng (t , β))
Nếu hàm vectơ →
0
0
thì


limt→t− (t→t+ ) x(t) = l1



0
0

lim ⃗r(t) = ⃗l ⇔ limt→t−0 (t→t+0 ) y(t) = l2
−

t→t0 (t→t+

0)

 limt→t− t→t+ z(t) = l3
0(
0)
Ví dụ 1.2.2. Cho hàm vectơ ⃗r(t) =

√

sin t ⃗
k.
1 − t⃗i + t2⃗j +
t

Tìm limt→0 ⃗r(t) và limt→1− ⃗r(t).

−r là (−∞, 0) ∪ (0, 1].
Giải. Tập hợp xác định của →
√
sin t ⃗
lim ⃗r(t) = lim 1 − t ⃗i + lim t2 ⃗j + lim
k

t→0
t→0
t→0
t→0 t
= ⃗i + ⃗k.
lim− ⃗r(t) =

t→1

lim−

t→1

√

1 − t ⃗i +

lim− t2 ⃗j +

t→1

lim−

t→1

sin t ⃗
k
t

= ⃗j + (sin 1)⃗k.

Định lý 1.2.1. Nếu hai hàm vectơ ⃗u và ⃗v có giới hạn tại điểm t0 ∈ R thì
a) limt→t0 [⃗u(t) + ⃗v (t)] = limt→t0 ⃗u(t) + limt→t0 ⃗v (t),
b) limt→t0 c⃗u(t) = c limt→t0 ⃗u(t)(c ∈ R),
c) limt→t0 [⃗u(t) · ⃗v (t)] = (limt→t0 ⃗u(t)) · (limt→t0 ⃗v (t)),
d) limt→t0 [⃗u(t) ∧ ⃗v (t)] = (limt→t0 ⃗u(t)) ∧ (limt→t0 ⃗v (t)).

13


Định nghĩa 1.2.3. a) Giả sử hàm vectơ ⃗r xác định trên một lân cận của
điểm t0 ∈ R. Ta nói rằng ⃗r liên tục tại điểm t0 nếu

lim ⃗r(t) = ⃗r (t0 ) .

t→t0

b) Hàm vectơ ⃗r xác định trên khoảng (α, t0 ] (hoặc trên khoảng [t0 , β)) được
gọi là liên tục trái (liên tục phải) tại điểm t0 nếu

lim ⃗r(t) = ⃗r (t0 )

t→t−
0

lim ⃗r(t) = ⃗r (t0 ) .

t→t+
0

c) Hàm vectơ ⃗r liên tục tại mỗi điểm của tập hợp mở T ⊂ R gọi là liên tục

−r xác định trên đoạn [a, b] gọi là liên tục trên đoạn này
trên T. Hàm vectơ →
nếu nó liên tục trên (a, b), liên tục phải tại a và liên tục trái tại b.
→
−
−
−r = x→
Hiển nhiên hàm vectơ →
i + yj + z k liên tục (liên tục phải, liên tục
trái) khi và chỉ khi các hàm số thành phần x, y, z của nó đều liên tục (liên
tục phải, liên tục trái).
Định nghĩa 1.2.4. (Đường tham số) Giả sử I là một khoảng trong R (I
có thể là một khoảng mở hoặc đóng hoặc nửa mở, bị chặn hoặc không bị
chặn) và
→
−
−
→
−
→
−r (t) = x(t)→
i + y(t) j + z(t) k .
(1)
là một hàm vectơ liên tục trên I. Tập hợp các điểm

C = {(x(t), y(t), z(t)) : t ∈ I}.
trong R3 được gọi là một đường tham số trong khơng gian. Các phương trình

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ I.
được gọi là một biểu diễn tham số của đường C, t được gọi là tham số. (1)

được gọi là một phương trình vectơ của đường C. Người ta cũng gọi (1) là
một biểu diễn tham số của C. Nếu I là đoạn [a, b] thì đường C được gọi là
một cung trong không gian. Điểm (x(a), y(a), z(a)) được gọi là điểm đầu và
điểm (x(b), y(b), z(b)) được gọi là điểm cuối của cung C. Nếu điểm đầu và
điểm cuối trùng với nhau thì C được gọi là một cung kín. Có thể xem đường
−−→
C được vạch nên bởi điểm cuối M(x(t), y(t), z(t)) của vectơ ⃗r(t) = OM khi

t biến thiên trên khoảng I .
14


Ví dụ 1.2.3. Các phương trình

x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt, t ∈ R.
trong đó x0 , y0 , z0 , l, m, n là những số thực cho trước, với (l, m, n) ̸= (0, 0, 0)
là biểu diễn tham số của đường thẳng đi qua điểm (x0 , y0 , z0 ) với vectơ chỉ
phương (l, m, n).
Ví dụ 1.2.4. Viết một biểu diễn tham số của đường cong C , giao tuyến của
mặt trụ x2 + 4y 2 = 4 và mặt phẳng x + y + z = 2.
Giải.

x2
+ y2 = 1
4
trong mặt phẳng Oxy. Ta biết rằng elip đó có một biểu diễn tham số là

Đường cong C nằm trên mặt trụ đứng có đường chuẩn là elip

x = 2 cos t, y = sin t, z = 0, 0 ≤ t ≤ 2π.

Vì C nằm trên mặt phẳng x + y + z = 2 nên z = 2 − 2 cos t − sin t. Do đó
các phương trình

x = 2 cos t, y = sin t, z = 2 − 2 cos t − sin t, 0 ≤ t ≤ 2π.
là một biểu diễn tham số của đường cong giao tuyến C. Phương trình vectơ
tương ứng của đường cong C là

⃗r(t) = 2 cos t⃗i + sin t⃗j + (2 − 2 cos t − sin t)⃗k, 0 ≤ t ≤ 2π.

1.3
1.3.1

Đạo hàm và tích phân hàm vectơ
Đạo hàm của hàm vectơ

−r xác
Định nghĩa 1.3.1. (Đạo hàm của hàm vectơ) Giả sử hàm vectơ →
−r tại
định trên một lân cận của điểm t0 ∈ R. Đạo hàm của hàm vectơ →
−r ′ (t ) (hoặc d⃗r
điểm t0 , kí hiệu là →
) được cho bởi công thức ⃗r′ (t0 ) =
0
dt t=0
⃗r (t0 + h) − ⃗r (t0 )
limh→0
nếu giới hạn này tồn tai.
h
Đạo hàm phải và đạo hàm trái của hàm vectơ được định nghĩa tương tự.
Từ định nghĩa 1.3.1 và định nghĩa giới hạn của hàm vectơ suy ra.

15


Định nghĩa 1.3.2. Hàm vectơ ⃗r(t) = x(t)⃗i + y(t)⃗j + z(t)⃗k có đạo hàm tại
điểm t0 khi và chỉ khi các hàm số thành phần x, y, z của nó có đạo hàm tại
−r có đạo hàm tại điểm t thì
t . Nếu hàm vectơ →
0

0

→
−
−
→
−
→
−r ′ (t ) = (x′ (t ) , y′ (t ) , z′ (t )) = x′ (t ) →
′
′
0
0
0
0
0 i + y (t0 ) j + z (t0 ) k .
Định nghĩa 1.3.3. Giả sử đường C với phương trình vectơ

⃗r(t) = x(t)⃗i + y(t)⃗j + z(t)⃗k.
có đạo hàm tại điểm t0 . Khi đó

→
−
→
−
→
−r ′ (t ) = lim r (t0 + h) − r (t0 ) .
0
h→0
h
−r (t ) và →
−r (t + h) :
Gọi M và N là các điểm cuối của hai vectơ →
0
0
M (x (t0 ) , y (t0 ) , z (t0 )) , N (x (t0 + h) , y (t0 + h) , z (t0 + h))
→ −−→ −−→
−r (t + h) − →
−r (t ) = −
Ta có →
ON − OM = MN.
0
0
−→
−−→
1 →
−r (t )] = 1 −
[−r (t0 + h) − →
MN có cùng phương với vectơ MN.
Vectơ

0
h
h
→
−
→
−
′
Nếu r (t0 ) ̸= 0 thì khi t → 0, đường thẳng MN quay quanh điểm M và
−r ′ (t ).
dần đến đường thẳng MT đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương →
0
→
−
′
Vectơ r (t0 ) được gọi là vectơ tiếp tuyến của đường C tại điểm M. Đường
−r ′ (t ) làm vectơ chỉ phương được gọi là
thẳng MT đi qua điểm M và nhận →
0
tiếp tuyến của đường C tại điểm M.
Như vây, có thể xem tiếp tuyến của đường C tại điểm M là vị trí giới hạn
của cát tuyến MN khi điểm N theo đường C dần đến điểm M . Phương trình
vectơ của tiếp tuyến của đường C tại điểm M là
−r (t ) + λ→
−r ′ (t ) , λ ∈ R.
⃗
R(λ)
=→
0
0

⃗r′ (t)
→
−
Nếu ⃗r′ (t) ̸= 0 thì vectơ T⃗ (t) = ′
,
∥⃗r (t)∥
trong đó ∥⃗r′ (t)∥ = x′2 (t) + y ′2 (t) + z ′2 (t) là độ dài của vectơ ⃗r′ (t), được
gọi là vectơ tiếp tuyến đơn vị tại điểm (x(t), y(t), z(t)) của đường C.
Ví dụ 1.3.1. Viết một biểu diễn tham số của tiếp tuyến của đường xoắn ốc

⃗r(t) = a cos t⃗i + b sin t⃗j + t⃗k, t ∈ R
tại điểm M 0, b,

π
.
2
16


Giải. Ta có

⃗r′ (t) = −a sin t⃗i + b cos t⃗j + ⃗k.
π
π −−→
π
Điểm M 0, b,
là ảnh của t =
OM = ⃗r
. Vectơ tiếp tuyến của
2

2
2
π
= −a⃗i+⃗k . Tiếp tuyến của đường xoắn ốc
đường xoắn ốc tại điểm M là ⃗r′
2
−r ′ π .
tại điểm M là đường thẳng đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là →
2
π
Biểu diễn tham số của tiếp tuyến đó là x = −at, y = b, z = + t, t ∈ R.
2
Định nghĩa 1.3.4. Giả sử C là một đường với phương trình vectơ

→
−
−
→
−
→
−r (t) = x(t)→
i + y(t) j + z(t) k , t ∈ I.
trong đó I là một khoảng. Ta nói rằng C thuộc lớp C 1 trên I nếu hàm vectơ
−
→
−r có đạo hàm →
−r ’ liên tục trên I. Ngoài ra, nếu →
−r ′ (t) ̸= →
0 với mọi t ∈ I
(có thể trừ điểm đầu hoặc điểm cuối của I nếu I là một khoảng nửa mở hoặc

một khoảng đóng) thì C được gọi là một đường trơn.
Định nghĩa 1.3.5. Xét đường cong phẳng với phương trình vectơ

⃗r(t) = 1 + t3 ⃗i + t2⃗j,

t∈R

−
→
−
−
−r ′ (t) = 3t2 →
−r ′ (0) = →
Ta có →
i + 2t j và →
0.
C là một đường thuộc lớp C1 nhưng không phải là một đường trơn.
Tại điểm (1, 0), ảnh của t = 0, đường cong khơng có tiếp tuyến. Điểm I(1, 0)
gọi là điểm lùi của C.
Đường C gồm mỗi phần là một trơn. Người ta gọi C từng khúc.
Một cách tổng quát, ta có
Định nghĩa 1.3.6. Đường C gồm một số hữu hạn đường trơn gọi là trơn
từng khúc.
CÁC QUY TẮC TÌM ĐẠO HÀM Có thể mở rộng các quy tắc tìm
đạo hàm của hàm số thực cho hàm vectơ.

−
−
Định lý 1.3.1. Giả sử →
u và →

v là hai hàm vectơ có đạo hàm, φ là một hàm
số thực có đạo hàm và c là một số thực khơng đổi. Khi đó
−
−
−
−
a) [→
u (t) + →
v (t)]′ = →
u ′ (t) + →
v ′ (t)
17


−
−
b) [c→
u (t)]′ = c→
u ′ (t)
c) [φ(t)⃗u(t)]′ = φ′ (t)⃗u(t) + φ(t)⃗u′ (t)
−
−
−
−
−
−
d) [→
u (t) · →
v (t)]′ = →
u ′ (t) · →

v (t) + →
u (t) · →
v ′ (t)
−
−
−
−
−
−
e) [→
u (t) ∧ →
v (t)]′ = →
u ′ (t) ∧ →
v (t) + →
u (t) ∧ →
v ′ (t)
−
−
f) [→
u (φ(t))]′ = φ′ (t)→
u ′ (φ(t)).
Chứng minh. Ta chứng minh hai công thức c) và e). Các cơng thức cịn lại
được chứng minh một cách tương tự.
−
c) Giả sử →
u (t) = (x(t), y(t), z(t)). Khi đó

−
φ(t)→
u (t) = (φ(t)x(t), φ(t)y(t), φ(t)z(t))

Do đó

[φ(t)⃗u(t)]′ = ([φ(t)x(t)]′ , [φ(t)y(t)]′ , [φ(t)z(t)]′ )
= (φ′ (t)x(t) + φ(t)x′ (t), φ′ (t)y(t) + φ(t)y ′ (t), φ′ (t)z(t) + φ(t)z ′ (t))
= φ′ (t)(x(t), y(t), z(t)) + φ(t) (x′ (t), y ′ (t), z ′ (t))
= φ′ (t)⃗u(t) + φ(t)⃗u′ (t)
e) Với |h| > 0 đủ nhỏ, ta có

⃗u(t + h) ∧ ⃗v (t + h) − ⃗u(t) ∧ ⃗v (t)
h
⃗u(t + h) ∧ ⃗v (t + h) − ⃗u(t) ∧ ⃗v (t + h) ⃗u(t) ∧ ⃗v (t + h) − ⃗u(t) ∧ ⃗v (t)
=
+
h
h
⃗u(t + h) − ⃗u(t)
⃗v (t + h) − ⃗v (t)
=
∧ ⃗v (t + h) + ⃗u(t) ∧
h
h
−
−
Dễ thấy khi h → 0 thì vế phải của đẳng thức trên dần đến →
u ′ (t) ∧ →
v (t) +
→
−
→
−

u (t) ∧ v ′ (t).
−
−
Do đó hàm vectơ →
u ∧→
v có đạo hàm tại điểm t, và
−
−
−
−
−
−
[→
u (t) ∧ →
v (t)]′ = →
u ′ (t) ∧ →
v (t) + →
u (t) ∧ →
v ′ (t).□.

Định lý 1.3.2. Giả sử hàm vectơ ⃗r có đạo hàm trên khoảng I. Nếu ∥⃗r(t)∥ = c
với mọi t ∈ I , trong đó c là một hằng số thì vectơ ⃗r′ (t) vng góc với vectơ

⃗r(t) với mọi t ∈ I .
18


−r (t)∥2 = →
−r (t) · →
−r (t) nên →

−r (t) · →
−r (t) = c2 với mọi t ∈ I.
Chứng minh. Vì ∥→
Lấy đạo hàm hai vế của đồng nhất thức trên, ta được

−r (t) · →
−r (t)]′ = →
−r ′ (t) · →
−r (t) + →
−r (t) · →
−r ′ (t) = 2→
−r ′ (t) · →
−r (t)
0 = [→
−r ′ (t) · →
−r (t) = 0 với mọi t ∈ I. Vậy →
−r ′ (t) vng góc với →
−r (t).□
do đó →
Từ định lí trên suy ra rằng nếu đường cong C nằm trên một mặt cầu thì tiếp
tuyến của C tại mỗi điểm vng góc với bán kính của mặt cầu đi qua điểm
đó.

1.3.2

Tích phân của hàm vectơ

Tích phân của một hàm vectơ được định nghĩa qua các hàm số thành phần
của nó.

→
−
−
→
−
−r = x→
Định nghĩa 1.3.7. Giả sử hàm vectơ →
i + y j + z k liên tục trên
−r trên [a , b] được cho bởi cơng thức
đoạn [a, b]. Tích phân của hàm →
b

y(t)dt ⃗j +

x(t)dt ⃗i +

a

1
0

x(t)dt ⃗k.

a

a

a

Ví dụ 1.3.2. Tính I =

b

b

b

⃗r(t)dt =

→
−
→
− √
→
−
t2 i − 1 + t j + e2t k dt.

Giải. Theo định nghĩa, ta có
1√

1

t dt ⃗i −
2

I=
0

1

1 + tdt ⃗j +

0

e2t dt ⃗k

0

1
2 √
1
= ⃗i − (2 2 − 1)⃗j + e2 − 1 ⃗k.
3
3
2
−r là một hàm vectơ liên tục trên đoạn [a, b] và hàm
Định nghĩa 1.3.8. Nếu →
→
−
−′
−r trên đoạn [a, b] (tức là →
−r (t)
vectơ R là một nguyên hàm của →
R (t) = →
với mọi t ∈ [a, b]) thì
b
a

Kí hiệu

⃗
⃗r(t)dt = R(t)

b
a

⃗
⃗
= R(b)
− R(a).

→
−r (t)dt chỉ một nguyên hàm bất kì của hàm vectơ →
−r .

19