Bài giảng Toán cao cấp C2

✬

✩

TS. PHAN ĐỨC TUẤN

TỐN CAO CẤP C2

ĐẠI HỌC SÀI GỊN
✫

✪


Lời nói đầu

Học phần Tốn cao cấp C2 giới thiệu về ma trận, định thức, hệ phương
trình tuyến tính và không gian véctơ.
Học phần yêu cầu sinh viên đạt được những mục tiêu sau:
Về kiến thức: Hiểu biết về ma trận; định thức; các phương pháp giải hệ
phương trình tuyến tính; ứng dụng trong bài tốn kinh tế; các vấn đề trong
khơng gian véc-tơ.
Về kỹ năng: Biết tính tốn trên ma trận; giải hệ phương trình tuyến tính
và các bài tốn trong khơng gian vecto.
Về phương pháp học tập: Sinh viên nhận tài liệu và đọc trước các bài
giảng; đặt câu hỏi thảo luận và làm bài tập đầy đủ.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 03 năm 2022
Phan Đức Tuấn


Những kí hiệu

Trong cuốn sách này ta dùng những kí hiệu với các ý nghĩa xác định
trong bảng dưới đây:
N
N∗
Z
Q
R
C
In
Mm × n ( R )
Rn
Mn ( R )
0m × n
A −1
AT
−A
∅

tập hợp số tự nhiên
tập hợp số tự nhiên khác 0
tập hợp số nguyên
tập hợp số hữu tỉ
tập hợp số thực
tập hợp số phức
Ma trận đơn vị cấp n
Tập hợp tất cả các ma trận cấp m × n
Khơng gian véc tơ n chiều trên R
Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường số thực
Ma trận không cấp m × n
Ma trận nghich đảo của ma trận A

Ma trận chuyển vị của ma trận A
Ma trận đối của ma trận A
tập hợp rỗng


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Những kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Khái niệm về ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2. Các ma trận đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3. Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.1. Ma trận bậc thang dòng (echelon matrix): . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.2. Các phép biến đổi sơ cấp dòng (BĐSC) trên các ma trận (elementary row operations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2.3. Ma trận khả nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3. Định thức của ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.1. Phép thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.2. Khai triển Lapace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.3.3. Tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.3.4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.3.5. Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.4. Hệ phương trình tuyến tính tổng qt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.4.1. Phương pháp Gauss: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.4.2. Phương pháp Cramer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.5.1. Mối liên hệ giữa hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và hệ
phương trình tuyến tính tổng qt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6. Một số mơ hình tuyến tính trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . .

35

1.6.1. Mơ hình cân bằng thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.6.2. Mơ hình Input-Output Leontief. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Chương 2. KHÔNG GIAN VÉC TƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43


2

MỤC LỤC
Danh mục từ khóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44


CHƯƠNG 1

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ

PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1.1. MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Khái niệm về ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Các ma trận đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1. Ma trận bậc thang dòng (echelon matrix): . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2. Các phép biến đổi sơ cấp dòng (BĐSC) trên các ma trận (elementary row operations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3. Ma trận khả nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Định thức của ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1. Phép thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2. Khai triển Lapace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.3. Tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.5. Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4. Hệ phương trình tuyến tính tổng qt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.1. Phương pháp Gauss: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.2. Phương pháp Cramer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.1. Mối liên hệ giữa hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và hệ
phương trình tuyến tính tổng qt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế . . . . . . . . 35
1.6.1. Mơ hình cân bằng thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.2. Mơ hình Input-Output Leontief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.1. MA TRẬN
1. Khái niệm ma trận. Các loại ma trận.
2. Các phép toán đại số trên ma trận.

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

4

3. Ma trân bạc thang dòng và các phép biến đổi sơ cấp dịng.
4. Ma trận nghịch đảo và cách tìm ma trận nghịch đảo.
5. Hạng của ma trận và cách tìm hạng ma trận.

1.1.1. Khái niệm về ma trận
Một bảng hình chữ nhật gồm m × n số thực được sắp thành m dòng và n cột
được gọi là ma trận cấp m × n.
Ví dụ ma trận



7 8 9
A= 5 6 7 
1 2 3

là ma trận có 3 dịng 3 cột có cấp là 3 × 3.

Dạng tổng quát của Ma trận được biểu diễn như sau


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


A = ( aij )m×n =  ..
..

..  ,
...
 .
.
. 
am1 am2 · · · amn

trong đó

i được gọi là chỉ số dòng.
j được gọi là chỉ số cột.
aij là phần tử nằm ở dịng i và cột j.
Đơi khi người ta ký hiệu ma trận dạng móc vng như sau:



1 2 3
A= 4 5 6 
7 8 9

Tập hợp tất cả các ma trận cấp m × n được ký hiệu là Mm×n (R ).
Các ví dụ về ma trận:
1) Ma trận
A=
là ma trận cấp 1 × 3.

10 −7 5


1.1 MA TRẬN

5

Nói chung một ma trận chỉ có một dịng (m = 1) như ma trận trên thì
được gọi là ma trận dòng.
2) Ma trận


là ma trận cấp 4 × 1.


5
 −5 

B=
 −6 
9

Một ma trận chỉ có một cột như ma trận ở trên (n = 1) thì được gọi là ma
trận cột.
3) Bảng số hình chữ nhật 2 dòng 3 cột như thế này
11 −7 5
3
5 6

A=
được gọi là là ma trận cấp 2 × 3.

1.1.2. Các ma trận đặc biệt
1. Ma trận vuông: Ma trận có số dịng bằng số cột (m = n) được gọi là ma

trận vuông cấp n, ký hiệu A = ( aij )n .
Dạng tổng quát của ma trận vuông được biểu diễn như sau


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


A = ( aij )n =  ..
..
..  .
...
 .
.
. 
an1 an2 · · · ann
Các phần tử a11 ; a22 ; ...; ann tạo thành một đường chéo trên ma trận vuông
và gọi là đường chéo chính.
Các phần tử a1n ; a2(n−1) ; ...; a1n cũng tạo thành đường chéo trên ma trận
vuông và gọi là đường chéo phụ.
Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu là Mn (R ).
Ví dụ ma trận



1 2 3
A= 4 5 6 
7 8 9

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

6

là ma trận vuông cấp ba (do ma trận lúc này hình vng nên người ta gọi là
ma trận vng). Các phần tử 1; 5; 9 tạo thành một đường chéo gọi là đường
chéo chính và các phần tử 3; 5; 7 tạo thành đường chéo còn lại gọi là đường
chéo phụ.
2. Ma trận chéo: Ma trận vuông A = ( aij )n được gọi là ma trận chéo nếu
aij = 0; ∀i ̸= j. Ký hiệu dưới dạng tổng quát là A = dig( a11 ; a22 ; ...; ann ).
Ví dụ: Ma trận



1 0 0
A =  0 5 0  = dig(1; 5; 9)
0 0 9

là ma trận chéo hay ma trận đường chéo.

3. Ma trận đơn vị. Ma trận chéo cấp n có tất cả các phần tử trên đường
chéo chính bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In .
Ví dụ:
I2 =


1 0
0 1



1 0 0
I3 =  0 1 0 
0 0 1


1 0 0 0
 0 1 0 0 

I4 = 
 0 0 1 0 
0 0 0 1

là các ma trận đơn vị cấp 2, 3, 4.

4. Ma trận tam giác trên. Ma trận vuông A = ( aij )n được gọi là ma trận
tam giác trên nếu nếu các phần tử ở dưới đường chéo chính bằng 0, hay
aij = 0∀i > j.
Ví dụ ma trận


là ma trận tam giác trên.


1 2 3
A= 0 5 6 
0 0 9

5. Ma trận tam giác dưới. Ma trận vuông A = ( aij )n được gọi là ma
trận tam giác dưới nếu nếu các phần tử ở trên đường chéo chính bằng 0, hay
aij = 0∀i < j.

1.1 MA TRẬN

7

Ví dụ ma trận




1 0 0
A= 4 5 0 
7 8 9

là ma trận tam giác dưới.

Ma trận tam giác trên hoặc ma trận tam giác dưới gọi chung là ma trận
tam giác.
6. Ma trận không. Ma trận cấp m × n có tất cả các phần tử bằng khơng,
ký hiệu 0m×n (đơi khi là 0), được gọi là ma trận khơng.
Ma trận khơng cấp m × n có dạng

A = (0) m × n

0 ···
0 ···
.. . .
.
.

0 0 ···

0
0

=  ..
.


0
0

.. 
.
0

7. Ma trận chuyển vị. Cho ma trận A = ( aij )m×n , ma trận có cấp n × m
nhận được từ ma trận A bằng cách đổi dòng thành cột (hoặc đổi cột thành
dòng) được gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu A T , nghĩa là A T =
( a ji )n×m . Ví dụ ma trận chuyển vị của ma trận cấp 4 × 3


1 2 3
 4 5 6 

A=
 7 8 9 
10 11 12

là ma trận có cấp 3 × 4 sau




1 4 7 10
A T =  2 5 8 11 
3 6 9 12

8. Ma trận đối xứng. Ma trận vuông A = ( aij )n được gọi là ma trận đối
xứng nếu các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chính thì bằng nhau,
nghĩa là aij = a ji ∀i, j.
Ví dụ ma trận cấp 4 × 4 sau


1
 2
A=
 3
4


2
3
4
5
6
1 

6
9 −2 

1 −2 −1


8

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

là ma trận đối xứng.
9. Ma trận phản đối xứng. Ma trận vuông A = ( aij )n được gọi là ma
trận phản đối xứng nếu các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chính
thì đối nhau, nghĩa là aij = − a ji ∀i, j.
Ví dụ ma trận cấp 4 × 4 sau


0
 −2
A=
 3
−4

là ma trận phản đối xứng.


2 −3
4
0 −6 −1 

6
0 −2 
1

2
0

Chú ý từ định nghĩa ta suy ra các phần tử trên đường chéo chính của ma
trận phản đối xứng thì bằng 0.

1.1.3. Các phép toán trên ma trận
1. Hai ma trận bằng nhau. Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng
cùng cỡ và có tất cả các phần tử tương ứng vị trí bằng nhau.
Ví dụ. Tìm x, y, z, t sao cho hai ma trận sau bằng nhau
A=

x+y y+z
t + y t + 2z
B=

1 2
3 4

Lời giải. Theo định nghĩa hai ma trận bằng nhau khi và chỉ khi:


x+y



y + z

t+y




t + 2z

=1
=2
=3
=4

Từ hệ phương trình trên ta giải ra được x = 0; y = 1; z = 1; t = 2.
2. Nhân một số với một ma trận. Nhân một số với một ma trận là nhân
số đó với tất cả các phần tử của ma trận.
Cho A = ( aij )m×n thì với mỗi k ∈ R ta có kA = (kaij )m×n .


1.1 MA TRẬN

9

Đặc biệt (−1) A = (− aij )m×n được gọi là ma trận đối của ma trận A, ký
hiệu − A.
Ví dụ cho
1 2
3 4

A=
thì

−5 −10
−15 −20

(−5) A =

−1 −2
−3 −4

−A =

Chú ý từ định nghĩa ta suy ra: A ∈ Mm×n (R ) thì 0.A = 0m×n , 1.A = A.
3. Cộng hai ma trận. Cộng hai ma trận cùng cấp là cộng các phần tử tương
ứng vị trí. Tương ứng trừ hai ma trận cùng cấp là trừ các phần tử cùng vị trí.
Nếu A = ( aij )m×n và B = (bij )m×n thì A + B = ( aij + bij )m×n
A − B = ( aij − bij )m×n = A + (− B).
Ví dụ:
1. Thực hiện các phép tính trên ma trận.
Cho


Tính A + B và 5A − 2B.


1 1
A= 4 0 
2 4


9 8
B= 2 8 
0 4

Lời giải. Ta có

 
 
 

1 1
9 8
1+9 1+8
10 9
A+B =  4 0 + 2 8  =  4+2 0+8  =  6 8 
2 4
0 4
2+0 4+4
2 8

Ta có



 
 
 

5 5
18 16
5 − 18 5 − 16
−13 −11
5A − 2B =  20 0  −  4 16  =  20 − 4 0 − 16  =  16 −16 
10 20

0 8
10 − 0 20 − 8
10
12


MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

10
2. Cho




3 −2
6
3 −8 
A= 4
2 −2
5

và



Tìm ma trận X sao cho


5 7 −1
7 

B= 4 0
3 6
5

a) A − X = B;
b) 3A + 2X = I3 ;
Lời giải: a) Ta có


b) Ta có


−2 −9
7
3 −15 
A−X = B ⇔ X = A−B =  0
−1 −8
0


−8
6
2X = I3 − 3A =  −12 −8
−6
6

−4
3 −9

−6 −4 −12

⇔X=
−3
3 −7

4. Tích của hai ma trận.


−18
−24 
−14



Cho hai ma trận A = ( aij )m×n và B = (bij )n× p . Tích của ma trận A với ma
trận B, ký hiệu AB, là một ma trận có cấp m × p và nếu AB = (cij )m× p thì cij
được xác định bởi công thức cij = ∑nk=1 aik bkj = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj .
Nghĩa là phần tử cij của ma trận tích AB là tổng của n tích các phần tử
của hàng i của ma trận A và cột j của ma trận B (theo thứ tự từ 1 đến n).
Chú ý rằng tích hai ma trận tồn tại khi số cột của ma trận đứng trước
bằng với số dòng của ma trận đứng sau.
Ma trận tích có số dịng bằng số dịng của ma trận đứng trước và có số
cột bằng số cột của ma trận đứng sau.
Phép nhân hai ma trận, nói chung, khơng có tính giao hốn.
Lấy ví dụ ma trận hàng cấp 1 × 4 nhân ma trận cột cấp 4 × 1 như sau:


1.1 MA TRẬN

11

a11 a12 a13 a14


b11
 b12 


 b13 
b14


sẽ được một ma trận cấp 1 × 1 là


b11
 b21 

a11 a12 a13 a14 
 b31  = ( a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 + a14 b41 )
b41
Cụ thể hơn

10 7 5 1




5
 5 
  = (10.5 + 7.5 + 5.6 + 1.9) = (124)

 6 
9

Trường hợp nhân hai ma trận nhiều dòng nhiều cột ta làm tương tự, lấy
ví dụ nhân hai ma trận cấp 2 × 3 và 3 × 2 sau:
11 −7 5
3
5 6


−1 0
 3 1 =
0 0


−32 −7
12
5

ta được một ma trận cấp 2 × 2 với c11 = 11.(−1) + (−7).3 + 5.0 = −32,
c12 = 11.0 + (−7).1 + 5.0 = −7, c21 = 3.(−1) + (5).3 + 6.0 = 12 , c22 =
3.0 + 5.1 + 6.0 = 5, trong đó cij là phần tử dịng i cột j của ma trận tích như
kết quả ở trên.
Ví dụ. Cho



1 −1 3
A =  1 −1 2 
1 −1 1

và



Tính AB và BA


1
2 −1
B =  1 −2 −2 
0
2 −3


MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

12

Lời giải. Ta có



0 10 −8
AB =  0 8 −5 
0 6 −2

và




2 −2
6
3 −3 
BA =  −3
−1
1
1

Chú ý ví dụ trên cho ta thấy AB ̸= BA tức phép nhân ma trận khơng có
tính giao hốn.
Nếu A ∈ Mn (R ) (tập các ma trận vuông cấp n) thì AA ln ln tồn tại
và khi đó ta định nghĩa A2 = AA. Tương tự, ta định nghĩa Ak+1 = Ak A với
k ≥ 0 và qui ước A0 = In
Ví dụ. Cho
A=

1 −1
0 −1

Tính A2 ; A3 và An với n là một số nguyên dương.
Lời giải. Ta có
A2 = AA =

1 −2
0
1

A3 = A2 A =

1 −3
0
1

Quan sát A2 , A3 ta dự đoán
An =

1 −n
0
1

Ta chứng minh điều này bằng quy nạp, thật vây, với n = 1 thì khẳng
định là đúng. Ta giả sử khẳng định đúng với n = k tức là có
Ak =

1 −k
0
1

,

lúc đó ta có

A k +1 = A k A =

1 −k
0
1

1 −1
0
1

=

1 −(k + 1)
0
1

.


1.1 MA TRẬN

13

Do đó khẳng định đúng với n = k + 1 và vì vậy đúng với mọi n theo nguyên
lý quy nạp.
Định lý 1.1 (Các tính chất của các phép toán trên ma trận). Với mọi A, B, C
Mmìn (R ); , à R ta cú
1. A + ( B + C ) = ( A + B) + C;
2. A + B = B + A;
3. A + 0m×n = A;
4. A + (− A) = 0mìn ;
5. ( + à) A = A + µA;
6. λ( A + B) = λA + λB;
7. (λµ) A = (àA);
8. 1A = A
Vi mi A Mmìn (R ), l, p là các số nguyên dương ta có

1. AIn = A = Im A;
2. A0n× p = 0m× p , 0l ×m A = 0l ×n .
Với mọi A ∈ Mm×n (R ), B ∈ Mn× p (R ), C ∈ M p×q (R ), λ ∈ R ta có
1. A( BC ) = ( AB)C;
2. λ( AB) = (λA) B = A(λB).
Với mọi A, B ∈ Mm×n (R ), C, D ∈ Mn× p (R ), ta có
1. A(C + D ) = AC + AD;
2. ( A + B)C = AC + BC.
Với mọi A, B ∈ Mm×n (R ), C ∈ Mn×m (R ), λ ∈ R, ta có
1. ( A T ) T = A; ( A + B) T = A T + B T ; (λA) T = λA T ;


MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

14

2. ( AC ) T = C T A T .
Bài tập
1. Cho

Tính




−3 −2
7 ,
A= 4
1 −5



5 0
B =  −5 1  ,
−6 9


2
7
0 .
C =  −8
11 −3

a) A + B − C; b) 2A − 7B; c) 3A + 5B − 2C.
2. Cho các ma trận
A=

10 −7 5
2
5 6

B=

1 8 3
−2 7 0

,
.

Tìm ma trận X sao cho
a) A − X = B; b) 3B + 2X = A; c) 5X − 2A = 4B.

3. Cho 2 ma trận
11 −7 5
,
3
5 6


4 0
B =  −5 2  .
7 9

A=

Tìm ma trận X sao cho

a) X − A + B T = 0; b) 3B T − 2X = 2A; c) 3X + A T − 2B = 0.


1.1 MA TRẬN

15

4. Cho hai ma trận
4 8 −1 3
7 2
5 0

A=



−1
 3
B=
 6
0

,


7
5 
.
4 
2

Tính AB và BA. Có kết luận gì về tính giao hốn của hai ma trận A, B.
5. Cho các ma trận
3 6
−1 5

A=

7 0
5 3

5

−2
C=

3

B=

,

−2
,
4

2
0 .
4

a) Tính AB, BC; b) Tính A( BC ), và A( BC ). So sánh hai kết quả.
6. Cho các ma trận
0
1 2
2 −1 3

A=
,

a) Tính AB;




1 −2
0 .

B= 2
−1
1

b) Tính ( AB)3 .
7. Giả sử A là một ma trận vuông và f ( x ) = a0 + a1 x + · · · + an x n là một
đa thức hệ số thực. Ta ký hiệu f ( A) = a0 I + a1 A + · · · + an An .
Cho




1 2 3
A= 4 3 1 
7 1 2


16

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
và đa thức f ( x ) = x2 + 2x + 5.
Tính f ( A).
8. Cho ma trận
a b
0 c

A=

.

Tính An với n là một số nguyên dương.

1.2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
1.2.1. Ma trận bậc thang dòng (echelon matrix):
Là ma trận thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau đây
- Dịng có tất cả các phần tử bằng 0 (nếu có) ln nằm phía dưới dịng có
phần tử khác 0 (nếu có);
- Đối với hai dịng bất kỳ, nếu tính từ trái qua phải, phần tử khác 0 đầu
tiên (nếu có) của dịng dưới ln ở bên phải so với phần tử khác 0 đầu tiên
(nếu có) của dịng trên.
Ví dụ. Các Ma trận cấp sau
0
0
0
0
0

1
0
0
0
0

2
3
4 1
2
6
1 4
0 −2 −2 6

0
0 −3 4
0
0
0 2



A=






A=



Là các ma trận bậc thang.


3
4
6
1 

0 −2 

0

0 
0
0



2
0
0
0
0








Câu hỏi: Ma trận 0 (cấp tùy ý), ma trận tam giác bất kỳ, ma trận đơn vị
có phải là ma trận bậc thang (dịng) khơng? Tại sao?
Ma trận bậc thang rút gọn (dịng): Ma trận bậc thang có các phần tử
khác khơng đầu tiên của mỗi dòng của dòng bằng một, và là phần tử khác


1.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên dịng

17

khơng duy nhất của cột chứa phần tử đó được gọi là ma trận bậc thang rút

gọn.
Phần tử khác không đầu tiên của một dòng của ma trận còn được gọi là
phần tử cơ sở của dịng đó.
Ví dụ. Các Ma trận cấp sau




A=






B=



1
0
0
0
0

0
0
0
0
0

1
0
0
0
0
0
1
0
0
0

0
1
0
0
0
0
0
1
0
0

0
0
1
0
0
0
0

0
1
0

Là các ma trận bậc thang rút gọn.







0
0
0
0
0








1.2.2. Các phép biến đổi sơ cấp dòng (BĐSC) trên các ma
trận (elementary row operations)
Đó là một trong ba phép biến đổi sau đây trên mỗi ma trận:
(E1): Đổi chỗ hai dòng cho nhau di ↔ d j .
(E2): Nhân một dòng với một số khác không di → a.di ( a ̸= 0).

(E3): Cộng vào một dòng một bội của dòng khác di → di + a.d j (a tùy ý)
Một ma trận nhận được bằng một phép biến đổi sơ cấp nào đó được gọi
là tương đương với ma trận ban đầu.
Tính chất quan trọng: Mọi ma trận khác khơng, sau một số hữu hạn
các phép BĐSC, đều đưa được về một ma trận bậc thang mà được gọi là
dạng bậc thang của ma trận ban đầu. Chú ý: Dạng bậc thang của mỗi ma
trận không duy nhất và thường có nhiều cách BĐSC để đưa một ma trận về
dạng bậc thang.
Cũng thế, mọi ma trận khác không đều đưa được về một ma trận bậc
thang rút gọn.
Ví dụ. Dùng các phép biến đổi sơ cấp biến đổi ma trận


MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

18



về dạng bậc thang.


1 1 1 1
A= 1 2 3 4 
2 3 4 6

Lời giải. Ta có






1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
→ d2 − d1
d → d3 − d2  0 1 2 3  .
 1 2 3 4  dd32→
d3 −2d1  0 1 2 3  3 −→
−→
0 1 2 4
0 0 0 1
2 3 4 6


Tiếp tục dùng các phép biến đổi sơ cấp ta sẽ đưa ma trận về dạng rút
gọn như sau:





1 0 −1 −2
1 0 −1 0
d1 →d1 +2d3
d1 → d1 − d2  0 1
2 0 .
2
3  d2 →d2 −3d3  0 1
−→

−→
0 0
0
1
0 0
0 1

Ví dụ. Bằng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận sau về ma trận bậc
thang rút gọn (dòng)



1 −1
2
 2
0
3 
0
1 −1

1.2.3. Ma trận khả nghịch
Ma trận vuông A được gọi là có nghịch đảo hay khả nghịch nếu tìm được
một ma trận B vuông cùng cấp sao cho AB = BA = I (ma trận đơn vị cùng
cấp với A, B). Lúc đó B được gọi là (ma trận) nghịch đảo của A (inverse of
A) và ký hiệu là A−1 . Như vậy, nếu A khả nghịch thì AA−1 = A−1 A = I.
Nhận xét: - Không phải ma trận vng nào cũng khả nghịch. Ví dụ ma
trận 0, vì 0 nhân với ma trận nào cũng bằng 0 và do đó khơng thể bằng ma
trận đơn vị.
- Có thể chứng minh được rằng AB = I ⇒ BA = I.
Ví dụ:




1 1 2
A= 2 3 5 
3 4 8


1.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên dịng
Ta có

19




4
0 −1
2 −1 
B =  −1
−1 −1
1

là ma trận nghịch đảo của A vì AB = BA = I3 do đó A−1 = B.
Thuật tốn tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp.
Bài tốn: Cho ma trận vng A. Tìm nghịch đảo của A nếu có.
- Bước 1: Lập ma trận [ A| I ] bằng cách thêm vào bên phải A ma trận đơn
vị cùng cấp.
- Bước 2: BĐSC trên các dòng của [ A| I ] để đưa nó về dạng [ I | B] (B là ma

trận nào đó).
+ Nếu khơng thể biến đổi được như thế, khi đó trong q trình BĐSC
ma trận A, ma trận bên trái sẽ xuất hiện một dịng khơng ở một bước nào
đó, thì kết luận ngay A khơng khả nghịch, tức là A khơng có ma trận nghịch
đảo.
+ Nếu biến đổi được như thế thì kết luận A khả nghịch với A−1 = B
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo nếu có của ma trận sau



1 −1
2
0
3 
A= 2
0
1 −1

Lời giải. Đặt ma trận I3 bên phải của ma trận A và biến đổi ma trận A
thành ma trận đơn vị như sau:




1 0 0
1 −1
2
1 −1
2 1 0 0
d2 −2d1  0

↔ d2
 2
0
3 0 1 0  d2 →−→
2 −1 −2 1 0  d3−→
0
1 −1 0 0 1
0
1 −1
0 0 1





1 −1
2
1 0 0
1 0
0
1 −1
2
d1 →d1 −2d3
d3 −2d2  0
 0
1 −1
1 −1
0 0 1  d3 →−→
0 0
1  d2 → d2 + d3

−→
0
2 −1 −2 1 0
0
0
1 −2 1 −2







5 −2
4
3 −1
3
1 −1 0
1 0 0
d1 + d2  0 1 0 − 2
 0
1 0 −2
1 −1  d1 →−→
1 −1 
0
0 1 −2
1 −2
0 0 1 −2
1 −2

20

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Vậy ma trận nghịch đảo của A là
A −1




3 −1
3
1 −1 
=  −2
−2
1 −2

Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:


1
 1
A=
 1
1

0
1
1

1

0
0
1
1


0
0 

0 
1

Lời giải. Đặt ma trận I4 ở phía phải ma trận A như sau:


1
 1
A=
 1
1

0
1
1
1

0
0

1
1

0
0
0
1

1
0
0
0

0
1
0
0

0
0
1
0


0
0 

0 
1

Dùng các phép biến đổi sơ cấp theo thuật toán trên (sinh viên tự làm
xem như bài tập) ta nhận được:

A −1



1
0
0
 −1
1
0
=
 0 −1
1
0
0 −1

Phương trình ma trận AX = B và XA = B


0
0 

0 
1

- Cho A ∈ Mn (R ); det A ̸= 0, phương trình AX = B có nghiệm khi và
chỉ khi B ∈ Mn× p (R ), đồng thời nghiệm đó là duy nhất và được xác định

bởi X = A−1 B.
- Cho A ∈ Mn (R ); det A ̸= 0, phương trình XA = B có nghiệm khi và
chỉ khi B ∈ Mq×n (R ), đồng thời nghiệm đó là duy nhất và được xác định
bởi X = BA−1 .
Ví dụ: Cho các ma trận





1 −1
2
4 0 −1
0
3 ,B =  2 3
5 
A= 2
0
1 −1
3 4
8


1.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên dịng

21

Tìm ma trận X biết
1) AX = B;
2) XA = B.

Lời giải. 1. Ta có do A khả nghịch và


3 −1
3
1 −1 
A −1 =  − 2
−2
1 −2

nên





3 −1
3
4 0 −1
1 −1   2 3
5 =
AX = B ⇔ X = A−1 B =  −2
−2
1 −2
3 4
8

2. Ta có do A khả nghịch và
A −1
nên


3 −1
3
1 −1 
=  −2
−2
1 −2

XA = B ⇔ X = BA−1
Bài tập







4 0 −1
3 −1
3
5   −2
1 −1 
= 2 3
3 4
8
−2
1 −2

1. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau:

A=

2 5
−4 3







1 −2 3
2
2 3
0 5  ; C =  1 −1 0  ;
;B =  4
−1
2 3
−1
2 1

1
 0
D=
 0
0




2
1
2
3 4
 3
2
1 −2 4 
;E = 


1
1
0
2 0
2 −2
0
0 3

0
0
3
2


0
0 

4 
3

22

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2. Cho hai ma trận
A=

1 2
3 4

;B =

1 7 7
7 7 1

.

Tìm ma trận X thỏa mãn AX = B.
3. Cho các ma trận





1 −2 3
4 0 −1
0 5 ;B =  2 3
5 
A= 4
−1

2 3
3 4
8

Tìm ma trận X biết
1) AX = B;
2) XA = B.

1.3. Định thức của ma trận vuông
1.3.1. Phép thế
Định nghĩa 1.1. Mỗi song ánh từ tập {1, 2, . . . , } vào chính nó được gọi là
một phép thế bậc n. Tập hợp tất cả các phép thế ký hiệu là Sn . Khi đó số các
phép thế bậc n là n!. Thông thường phép thế σ ∈ Sn được ký hiệu bởi:
σ=

1
2 ···
n
σ (1) σ (2) · · · σ ( n )

.

- Ánh xạ đồng nhất e gọi là phần tử đơn vị của Sn .
- Phép thế đổi chỗ hai phần tử i < j và giữ nguyên các phần tử còn lại
gọi là phép thế sơ cấp, ký hiệu là (i, j).
- Cho a1 , ..., ak là các phần tử đôi một khác nhau của {1, ..., n}. Phép thế σ
giữ nguyên các phần tử khác a1 , ..., ak và thỏa mãn σ( a1 ) = a2 , ..., σ ( ak−1 ) =
ak , σ ( ak ) = a1 được gọi là một xích độ dài k, được ký hiệu là a1 , a2 , ..., ak .
Hai xích gọi là độc lập nhau nếu giao của chúng bằng ∅.
Mệnh đề 1.1. Mỗi phép thế σ ∈ Sn đều phân tích được thành tích của các xích độc

lập với nó.