Tài liệu Chương 1: Cơ học chất điểm và chất rắn - Vật lý đại cương pdf

7

Chương 1
CƠ HỌC CHẤT ðIỂM VÀ VẬT RẮN

§ 1.1. ðỘNG HỌC CHẤT ðIỂM.
1.1.1. Một số khái niệm:
a) Chuyển ñộng và hệ quy chiếu
Chuyển ñộng là khái niệm cơ bản của cơ học. Chuyển ñộng của một vật là sự dời vị trí
của vật này ñối với vật khác hoặc giữa các phần của một vật ñối với nhau trong không gian và
theo thời gian.
Muốn xác ñịnh vị trí của một vật trong không gian ta phải xác ñịnh khoảng cách từ vật
ñó ñến một vật khác ñược quy ước là ñứng yên. Vật
ñược quy ước là ñứng yên, chọn là mốc ñể xác ñịnh vị
trí của các vật trong không gian gọi là hệ quy chiếu.
Thường chọn hệ quy chiếu sao cho bài toán trở nên
ñơn giản nhất. ðể khảo sát sự thay ñổi vị trí của vật
trong không gian khi chuyển ñộng, người ta gắn vào hệ
quy chiếu một hệ toạ ñộ. Thường người ta hay sử dụng
hệ toạ ñộ Descartes Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz
vuông góc nhau từng ñôi một (hình 1.1). Vị trí một
ñiểm trong hệ toạ ñộ ðề các ñược xác ñịnh bởi 3 toạ ñộ
x,y,z. Ta viết M(x,y,z).
ðể khảo sát thời gian chuyển ñộng của vật, người ta gắn vào hệ quy chiếu một cái
ñồng hồ. Mốc tính thời gian cũng ñược chọn sao cho bài toán ñơn giản nhất.
Rõ ràng tuỳ thuộc vào hệ quy chiếu ta chọn mà một vật có thể ñứng yên với hệ quy
chiếu này nhưng lại chuyển ñộng với hệ quy chiếu khác - ðiều ñó cho thấy chuyển ñộng hay
ñứng yên chỉ có tính chất tương ñối.
b) Chất ñiểm
ðể ñơn giản khi khảo sát chuyển ñộng của vật người ta ñưa ra khái niệm chất ñiểm: Là

một vật có khối lượng nhưng kích thước của vật rất nhỏ hơn khoảng cách ta khảo sát.
c) Véc tơ toạ ñộ và phương trình chuyển ñộng
ðể xác ñịnh tọa ñộ của chất ñiểm người ta cũng ñưa ra khái niệm véc tơ tọa ñộ
r
r
: Là
véc tơ ñược vẽ từ gốc tọa ñộ ñến chất ñiểm ñược khảo sát. Giữa x,y,z và
r
r
có mối liên hệ:

kzjyixr
r
r
r
r
++=


quỹ ñạo
Z
X
Y
M
r

i
v

j

v

k
v

x
y
z

Hình 1.1
Vuihoc24h.vn

8

Trong quá trình chất ñiểm chuyển ñộng vec tơ toạ ñộ luôn thay ñổi theo thời gian.
Phương trình liên hệ giữa tọa ñộ không gian của chất ñiểm và thời gian chuyển ñộng ñược
gọi là phương trình chuyển ñộng. Chẳng hạn: x = x(t); y = y(t); z = z(t)
Hay:
r
r
=
r
r
(t)
d) Quỹ ñạo chuyển ñộng
Quỹ ñạo chuyển ñộng của chất ñiểm là ñường tạo bởi tất cả các vị trí của chất ñiểm
trong không gian trong suốt quá trình chuyển ñộng.
Muốn xác ñịnh quỹ ñạo chuyển ñộng ta phải xác lập phương trình quỹ ñạo bằng cách
khử tham số thời gian trong các phương trình chuyển ñộng của chất ñiểm.
e) Hoành ñộ cong

Giả sử chất ñiểm chuyển ñộng trên quỹ ñạo
cong bất kỳ, trên quỹ ñạo ñó ta chọn một ñiểm M
0

cố ñịnh và một chiều dương. Khi ñó tại mỗi thời
ñiểm, vị trí của chất ñiểm M ñược xác ñịnh bởi giá
trị ñại số
cung
SMM =
0
, ñược gọi là hoành ñộ cong của chất
ñiểm M (hình 1.2).
1.1.2. Vận tốc chuyển ñộng
Vận tốc chuyển ñộng là ñại lượng ñặc trưng cho phương, chiều và ñộ nhanh chậm của
chuyển ñộng.
Xét một chất ñiểm chuyển ñộng, ở thời ñiểm
1
t
chất ñiểm ở vị trị
1
M
có véc tơ toạ ñộ
1
r
r
, ở thời ñiểm
2
t
chất ñiểm ở vị trí
2

M
có véc tơ toạ ñộ
2
r
r
. Như vậy trong khoảng thời gian
12
ttt
−
=
∆
véc tơ toạ
ñộ thay ñổi một lượng là
12
rrr
r
r
r
−
=
∆
(hình 1.3). Khi ñó
tỷ số
t
r
∆
∆
r
ñược gọi là vận tốc trung bình của chuyển ñộng
cho biết mức ñộ nhanh chậm trung bình của chuyển ñộng

trong cả khoảng thời gian chất ñiểm chuyển ñộng. Muốn
xác ñịnh ñộ nhanh chậm của chuyển ñộng tại từng thời
ñiểm ta phải xét khoảng thời gian chuyển ñộng vô cùng
nhỏ, tức là
0
→
∆
t
, khi ñó tỉ số
t
r
∆
∆
r
dần tới một giới hạn

+
S
(C)
M
o
M

Hình 1.2


1
r
v

2
r
v

r
v
∆

v
v

M
1
M
2

Hình 1.3

Vuihoc24h.vn

9

xác ñịnh ñược gọi là vận tốc của chuyển ñộng.
Tức là
dt
rd
t
r
v
t

r
r
r
=
∆
∆
=
→∆ 0
lim

Vậy: Vận tốc chuyển ñộng của chất ñiểm là ñại lượng ñược xác ñịnh bằng ñạo hàm
của véc tơ toạ ñộ chất ñiểm theo thời gian.
Ta nhận thấy khi
0
→
∆
t
thì
r
r
∆
trùng với tiếp tuyến của quỹ ñạo chuyển ñộng, nên
véc tơ vận tốc có phương tiếp tuyến với qũy ñạo và có chiều cùng chiều với chuyển ñộng.
Trong hệ toạ ñộ Descartes, nếu chọn
kji
r
r
r
,,
là véc tơ ñơn vị hướng theo ba trục Ox,

Oy, Oz, ta có:
kzjyixr
r
r
r
r
++=
Khi ñó
(
)
kzjyix
dt
d
v
r
r
r
r
++=
Hay:
kvjvivv
zyx
r
r
r
r
++=
Về ñộ
lớn:

222
zyx
vvvv ++=
r

Trong ñó :
dt
dz
v
dt
dy
v
dt
dx
v
zyx
===
,,
là các thành phần vận tốc theo các trục Ox, Oy, Oz.
ðơn vị vận tốc là m/s
1.1.3. Gia tốc chuyển ñộng
Gia tốc chuyển ñộng là ñại lượng ñặc trưng cho sự thay ñổi của véc tơ vận tốc.
Xét một chất ñiểm chuyển ñộng, ở thời ñiểm
1
t
vận tốc chất ñiểm là
1
v
r
, ở thời ñiểm

2
t

vận tốc chất ñiểm là
2
v
r
. Như vậy trong khoảng thời
gian
12
ttt
−
=
∆
vận tốc chất ñiểm thay ñổi một
lượng
12
vvv
r
r
r
−
=
∆
(hình 1.4), khi ñó tỷ số
t
v
∆
∆
r

ñược gọi là gia tốc trung bình của chuyển ñộng
Muốn xác ñịnh gia tốc chuyển ñộng tại từng
thời ñiểm, ta phải xét khoảng thời gian vô cùng nhỏ,
tức là
0
→
∆
t
, khi ñó tỷ số
t
v
∆
∆
r
sẽ dần tới một giới
hạn xác ñịnh, gọi là gia tốc chuyển ñộng.
Nghĩa là:
dt
vd
t
v
a
t
r
r
r
=
∆
∆

=
→∆ 0
lim





Hình 1.4

1
V

V∆

Vuihoc24h.vn

10

Vậy: Gia tốc chuyển ñộng của chất ñiểm là ñại lượng ñược xác ñịnh bằng ñạo hàm
vận tốc chuyển ñộng của chất ñiểm theo thời gian.
Ta nhận thấy trong chuyển ñộng cong bất kỳ, khi
0
→
∆
t
thì
v
r
∆

luôn hướng về phía
lõm của qũy ñạo nên véc tơ gia tốc có phương hướng về phía lõm của quỹ ñạo.
Trong hệ toạ ñộ Descartes ta có:
(
)
kvjviv
dt
d
a
zyx
r
r
r
r
++=

Hay:
kajaiaa
zyx
r
r
r
r
++=
Về ñộ lớn:
222
zyx
aaaa ++=
r

Trong ñó:
2
2
2
2
2
2
,,
dt
zd
dt
dv
a
dt
yd
dt
dv
a
dt
xd
dt
dv
a
z
z
y
y
x
x
======

ðơn vị gia tốc là: m/s
2

ðể thấy rõ hơn ñặc trưng cho sự thay ñổi véc tơ vận tốc của gia tốc, ta phân tích gia
tốc ra hai thành phần:
nt
aaa
r
r
r
+
=

Thành phần
t
a
r
có phương tiếp tuyến với quỹ ñạo chuyển ñộng, ñược gọi là gia tốc
tiếp tuyến, cùng chiếu vận tốc khi vận tốc tăng và ngược chiều vận tốc khi vận tốc giảm, . Kết
quả tính toán tìm ñược ñộ lớn
dt
dv
a
t
=
.
Thành phần
n
a

r
có phương vuông góc với tiếp tuyến của quỹ ñạo có chiều hướng về
phía lõm của quỹ ñạo, gọi là gia tốc pháp tuyến hay gia tốc hướng tâm, ñộ lớn tính ñược:
R
v
a
n
2
=
, với R là bán kính quỹ ñạo cong tại ñiểm ta ñang xét.
Từ các kết quả trên ta dễ dàng nhận thấy gia tốc tiếp tuyến ñặc trưng cho sự thay ñổi
về ñộ lớn còn gia tốc pháp tuyến ñặc trưng cho sự thay ñổi về phương của véc tơ vận tốc.
1.1.4. Vận tốc góc và gia tốc góc
Giả sử một chất ñiểm chuyển ñộng trên quỹ ñạo
tròn bán kính R (hình 1.5), sau khoảng thời gian
t
∆

chất ñiểm vạch ñược một cung
s
∆
tương ứng bán kính
quét ñược một góc
θ
∆
. Khi ñó vận tốc góc của chất
ñiểm ñược ñịnh nghĩa:

dt
d

t
t
θ
θ
ω
=
∆
∆
=
→∆
lim
0


R
M
’

M

S
∆

θ
∆

O

Hình 1.5

Vuihoc24h.vn

11

Nếu trong khoảng thời gian
t
∆
, vận tốc góc của chất ñiểm thay ñổi một lượng
ω
∆
,
khi ñó gia tốc góc của chất ñiểm ñược ñịnh nghĩa:

dt
d
t
t
ω
ω
β
=
∆
∆
=
→∆
lim
0

ðơn vị của vận tốc góc là rad/s, của ra tốc góc là rad/s
2

.
Người ta có thể biểu diễn vận tốc góc bằng một
véc tơ (nằm trên trục của vòng tròn quỹ ñạo có chiều
thuận chiều quay của chuyển ñộng theo quy tắc vặn
ñinh ốc) và biểu diễn gia tốc góc bằng một véc tơ (nằm
trên trục qua của quỹ ñạo tròn, cùng chiều véc tơ vận
tốc góc nếu
ω
tăng và ngược chiều với véc tơ vận tốc
nếu
ω
giảm (hinh 1.6)
Từ công thức liên hệ của hình tròn (
θ
∆
=
∆
Rs

và từ các khái niệm về vận tốc, gia tốc và vận tốc góc,
gia tốc góc ta có thể suy ra mối liên hệ:

β
ω
θ
RaRVRs
t
=
=
∆

=
∆
;; và
2
ω
Ra
n
=

1.1.5. Một số dạng chuyển ñộng ñơn giản
a) Chuyển ñộng thẳng biến ñổi ñều
ðây là chuyển ñộng có quỹ ñạo thẳng và véc tơ
gia tốc không thay ñổi , do ñó:

constaaa
tn
=
=
=
và0
Kết quả sau những khoảng thời gian bằng nhau, vận tốc thay ñổi những lượng bằng
nhau.
Tức là:
atvv
t
vv
a
t
t
+=

−
=
0
0
hay

Từ ñó ta suy ra phương trình chuyển ñộng của chất ñiểm
2
0
2
1
attvs +=

b) Chuyển ñộng tròn biến ñổi ñều
ðây là chuyển ñộng có quỹ ñạo tròn và gia tốc góc không thay ñổi, tức là sau những
khoảng thời gian như nhau vận tốc góc thay ñổi những lượng bằng nhau.

t
t
βωω
ω
ω
β
+=
−
=
0
0
hay

t
a

β
v

ω
v

R


β
v

ω
v

R
t
a


Hình 1.6

Vuihoc24h.vn

12

Từ ñó ta có phương trình chuyển ñộng của chất ñiểm:
2
0
2
1
tt
βωθ
+=


§ 1.2. ðỘNG LỰC HỌC CHẤT ðIỂM
1.2.1. Nội dung các ñịnh luật Newton
a) ðịnh luật Newton thứ nhất
Một chất ñiểm cô lập ñang ñứng yên sẽ tiếp tục ñứng yên, nếu ñang chuyển ñộng sẽ
chuyển ñộng thẳng ñều.
Như vậy ñịnh luật 1 Newton cho thấy một chất ñiểm cô lập sẽ bảo toàn trạng thái
chuyển ñộng. Tính bảo toàn trạng thái chuyển ñộng ñược gọi là tính quán tính. Hệ quy chiếu
mà ñịnh luật Newton thứ nhất ñược nghiệm ñúng gọi là hệ quy chiếu quán tính.
b) ðịnh luật Newton thứ hai
Bằng thực nghiệm Newton ñã ñưa ra ñịnh luật:
Gia tốc chuyển ñộng của chất ñiểm tỷ lệ thuận với lực tác dụng và tỷ lệ nghịch với
khối lượng của chất ñiểm, tức là
m
F
ka
r
r
=
.
Trong hệ ñơn vị SI, hệ số tỷ lệ k = 1.Ta có:

m
F
a
r
r
=

Từ ñịnh luật Newton ta nhận thấy khối lượng của chất ñiểm ñặc trưng cho tính quán
tính của chất ñiểm.
c) ðịnh luật Newton thứ ba
Nghiên cứu mối tương tác giữa các chất ñiểm, Newton ñã ñưa ra ñịnh luật:
Nếu chất ñiểm 1 tác dụng lên chất ñiểm 2 một lực
12
F
r
, thì ñồng thời chất ñiểm 2 cũng
tác dụng lên chất ñiểm 1 một lực
21
F
r
. Hai lực này có phương, ngược chiều và cùng ñộ lớn.
Tức là:
21
F
r
= -
12
F
r
hay

12
F
r
+
21
F
r
= 0
Chú ý: Mặc dù tổng hai lực bằng không nhưng hai lực không triệt tiêu nhau, vì chúng
ñặt ở hai ñiểm khác nhau.
1.2.2. ðộng lượng và ñịnh luật bảo toàn ñộng lượng
a) Khái niệm ñộng lượng
Vuihoc24h.vn

13

Xét chất ñiểm thứ nhất chuyển ñộng ñến và chạm với chất ñiểm thứ hai ñang ñứng
yên, giả sử sau va chạm chất ñiểm thứ hai chuyển ñộng.
Thực nghiệm cho thấy vận tốc chất ñiểm thứ hai thu ñược phụ thuộc vào khối lượng
và vận tốc chất ñiểm thứ nhất.
ðể ñặc trưng cho quá trình ñó người ta ñưa ra khái niệm ñộng lượng: ðộng lượng của
chất ñiểm là ñại lượng ñặc trưng cho khả năng truyền chuyển ñộng của chất ñiểm và ñược xác
ñịnh bằng tích số giữa khối lượng và vận tốc chuyển ñộng của chất ñiểm.
Tức là:
vmp
r
r
=

b) ðịnh lý về ñộng lượng

Từ ñịnh nghĩa về gia tốc và ñịnh luật hai Newton có:
dt
vd
mF
r
r
=

Hay:
( )
dt
pd
vm
dt
d
F
r
r
r
==

ðây là ñịnh lý về ñộng lượng ñược phát biểu: ðạo hàm véc tơ ñộng lượng của chất
ñiểm theo thời gian bằng tổng hợp lực tác dụng lên chất ñiểm.
c) ðịnh luật bảo toàn ñộng lượng
Xét một hệ cô lập gồm hai chất ñiểm, giả sử chất ñiểm thứ nhất tác dụng lên chất ñiểm
thứ hai một lực
12
F
r
và chất ñiểm thứ hai tác dụng lên chất ñiểm thứ nhất một lực

21
F
r

Theo ñịnh luật ba Newton thì:
0
2112
=+ FF
r
r

Theo ñịnh lý ñộng lượng thì:
dt
pd
F
dt
pd
F
1
21
2
12
,
r
r
r
r
==

Từ ñó ta có:

( )
constpppp
dt
d
=+=+
2121
hay 0
rrrr

Tổng quát, với hệ cô lập nhiều chất ñiểm
constppp
=
+
+
+
L
r
r
r
321

ðây là nội dung ñịnh luật bảo toàn ñộng lượng ñược phát biểu:
Tổng ñộng lượng của hệ chất ñiểm cô lập là không ñổi.
Chú ý: Với hệ chất ñiểm không cô lập, nếu theo một phương nào ñó tổng hợp lực tác
dụng lên hệ bằng không thì tổng ñộng lượng của hệ theo phương ñó ñược bảo toàn. ðó là
ñịnh luật bảo toàn ñộng lượng theo các phương.
1.2.3. Nguyên lý tương ñối Galileo
a) Nguyên lý
Vuihoc24h.vn

14

Bằng thực nghiệm Galileo ñã rút ra nguyên lý ñược phát biểu theo các cách như sau:
- Mọi hệ quy chiếu chuyển ñộng thẳng ñều so với hệ quy chiếu quán tính cũng là hệ
quy chiếu quán tính.
- Các hiện tượng, các quá trình cơ học ñều xảy ra giống nhau trong các hệ quy chiếu
quán tính khác nhau.
- Các phương trình ñộng lực học ñều có dạng giống nhau trong các hệ quy chiếu quán
tính.
b) Phép biến ñổi Galileo
Xét hai hệ quy chiếu quán tính Oxyz ñứng yên, O’x’y’z’ chuyển ñộng thẳng ñều dọc
theo Ox với vận tốc V, trên mỗi hệ quy chiếu gắn một ñồng hồ và giả sử ở thời ñiểm ban ñầu
hai gốc toạ ñộ trùng nhau.
Xét một chất ñiểm M bất kỳ trong không gian. Toạ ñộ không gian và thời gian của M
trong hai hệ là: x, y, z, t và x’, y’, z’, t’ (hình 1.7)
Theo quan ñiểm của Newton, thời gian
trôi trong hai hệ là như nhau, tức là
tt
′
=
.
Toạ ñộ không gian giữa hai hệ ñược xác
ñịnh:

/////
,, zzyyVtxooxx ==+=+=
Từ ñó ta có phép biến ñổi Galileo:

ttz zyyVtxx
′

=
′
=
′
=
+
′
=
và ; ;
hay
ttz yyVtxx
=
′
=
′
=
′
−
=
′
vàz ; ;

c. Lực quán tính
Từ phép biến ñổi Galileo ta thấy, nếu hệ quy chiếu O’x’y’z’ chuyển ñộng thẳng, ñều
so với hệ quy chiếu quán tính Oxyz ñứng yên thì gia tốc chuyển ñộng của chất ñiểm ở hai hệ
là:
aa
′
=
r

r
.
Xét trường hợp hệ quy chiếu O’x’y’z’ chuyển ñộng với gia tốc A =
dt
dV
so với hệ quy
chiếu quán tính Oxyz ñứng yên. Từ phép bién ñổi Galileo, ta có:

Aaa
r
r
r
+
′
=

Vì hệ O là hệ quy chiếu quán tính nên
amF
r
r
=
, nếu gọi
amF
′
=
′
r
r
là lực tác dụng lên
chất ñiểm trong hệ không quán tính O’ thì

(
)
AmFF
r
r
r
−+=
′


O
O
’

x, x
’

y’

y
z
z
’

M


x
’

v
x
x

Hình 1.7

Vuihoc24h.vn

15

ðiều này chứng tỏ chất ñiểm trong hệ quy chiếu không quán tính còn chịu thêm lực
AmF
qt
r
r
−=
ñươc gọi là lực quán tính. Lực quán tính luôn ngược chiều với gia tốc của hệ
không quán tính và là lực ảo không ño ñược. Lực quán tính ñược sử dụng ñể giải thích sự tăng
giảm trọng lượng của vật trong hệ chuyển ñộng có gia tốc so với traí ñất.
§ 1.3. CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG
1.3.1.Công và công suất.
Khi tác dụng lực lên chất ñiểm hay vật làm
chúng chuyển dời, ta nói rằng lực tác dụng ñã thực
hiện công trong chuyển dời.
Giả sử dưới tác dụng của lực
F
r
, chất ñiểm
chuyển dời một ñoạn
sd

r
. Khi ñó công của lực
F
r

trong chuyển dời ñược ñịnh nghĩa:

dsFFdssdFdA
s
===
α
cos
r
r

Trong ñó
α
là góc hợp bởi lực
F
r
và
sd
r
,
s
F

là hình chiếu của lực
F
r

lên phương chuyển dời
sd
r
(hình 1.8)
Nếu chất ñiểm chuyển dời từ vị trí M ñến N thì công của lực thực hiện trong quá trình
là
∫
→
→
=
CB
CB
FdsA
α
cos
Tùy thuộc vào góc giữa lực và phương chuyển dời mà công của lực có thể nhận giá trị
dương, âm hoặc bằng không.
ðơn vị tính công là Jun: 1J = 1N.1m.
ðể ñánh giá sức mạnh hay tốc ñộ sinh công của các nguồn ñộng lực người ta ñưa ra
khái niệm công suất ñược ñịnh nghĩa: Công suất của nguồn ñộng lực là ñại lượng có giá trị
bằng công của nguồn ñộng lực sinh ra trong một ñơn vị thời gian.
Tức là:
dt
dA
P =
ðơn vị công suất là Oát (W)
1.3.2. Năng lượng
a) Khái niệm
Năng lượng của một hệ (vật) là ñại lượng ñặc trưng cho mức ñộ vận ñộng và mức ñộ
tương tác của các hệ.

C
B
M
M
’

sd
v

α

F
v


Hình 1.8
Vuihoc24h.vn

16

Mỗi một hình thức vận ñộng cụ thể sẽ có một dạng năng lượng cụ thể; như: Cơ năng,
nhiệt năng, ñiện năng…Mặt khác, một hệ ở một trạng thái nhất ñịnh sẽ có giá trị năng lượng
xác ñịnh, khi trạng thái thay ñổi thì năng lượng của hệ thay ñổi.
Trong cơ học, cách thay ñổi năng lượng của hệ thường là do hệ tác dụng lực lên hệ
khác, khi ñó hệ thực hiện công. Thực nghiệm cho thấy ñộ thay ñổi năng lượng của hệ trong
một quá trình có giá trị bằng công vật thực hiện trong quá trình ñó.
b) ðịnh luật bảo toàn năng lượng
Giả sử một hệ, sau quá trình tương tác với bên ngoài, hệ thưc hiện một công A và
năng lượng của hệ thay ñổi từ W

1
thành W
2
, tức là biến ñổi một lượng là
12
WWW
−
=
∆

Theo mối liên hệ thực nghiệm giữa công và năng lượng thì:
A
=
∆
W

Như vậy nếu hệ nhận công từ bên ngoài (
0
>
A
) thì năng lượng của hệ tăng, nếu hệ
sinh công cho môi trường (
0
<
A
) thì năng lượng của hệ giảm và nếu hệ không trao ñổi với
bên ngoài (hệ cô lập) thì năng lượng của hệ không thay ñổi. ðây là nội dung của ñịnh luật bảo
toàn năng lượng ñược phát biểu:
Với hệ cô lập năng lượng của hệ ñược bảo
toàn, hay năng lượng không tự sinh ra, không tự

mất ñi mà chỉ chuyển từ dạng này sang dạng khác
hoặc từ vật này sang vật khác.
Trong cơ học, năng lượng của hệ gọi là cơ
năng gồm ñộng năng và thế năng.
c) ðộng năng
ðộng năng là thành phần năng lượng tương
ứng với sự chuyển dời của vật.
Xét một chất ñiểm khối lượng m, chịu tác dụng của lực
F
r
và chuyển rời từ vị trí 1
ñến vị trí 2, ở vị trí 1 chất ñiểm có vận tốc
1
v
, ở vị trí 2 chất ñiểm có vận tốc
2
v
(hình 1.9).
Khi ñó công của lực
F
r
thực hiện là:

ds
dt
dv
mdsFsdFA
NMNM
s
NM

NM
∫∫∫
→→→
→
===
r
r

hay:
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
mvmvmvdvA
v
v
NM
−==
∫
→


1

2

1
v

2
v

F
v

Sd



Hình 1.9


Vuihoc24h.vn

17

Mặt khác do trạng thái của chất ñiểm thay ñổi nên năng lượng thay ñổi, và theo mối
liên hệ giữa công và năng lượng (ở ñây là ñộng năng), ta có:
A
M→N
= W
ñM
– W
ñN

Từ ñó ta suy ra ñộng năng của chất ñiểm ở vị trí M và N tương ứng là:
W
dM
=
;
2
1
2
1
mv
W
dN
=
2
2
2
1
mv
.
Tổng quát, chất ñiểm có khối lượng m, chuyển ñộng với vận tốc v có ñộng năng là:
2
2
1
mvW
d
=

d) Thế năng
Nếu trong một khoảng không gian nào ñó mà ñặt chất ñiểm ở mọi vị trí nó ñều chiu

lực tác dụng thì ta nói rằng trong không gian ñó có một trường lực. Trường lực ñược gọi là
trường thế (lực tương ứng gọi là lực thế) nếu công của lực làm chuyển dời chất ñiểm trong
trường không phụ thuộc dạng ñường chuyển dời mà chỉ phụ thuộc vị trí ñầu và cuối của
chuyển dời.
Thế năng là dạng năng lượng ñặc trưng cho tương tác trong trường thế và ñược ñịnh
nghĩa: Thế năng của chất ñiểm trong trường lực thế là một hàm phụ thuộc vào vị trí của chất
ñiểm sao cho ñộ giảm thế năng của chất ñiểm trong một quá trình bằng công của lực thế thực
hiện trong quá trình ñó:

(
)
(
)
NMA
NM tt
WW
−
=
→

- Áp dụng ñịnh nghĩa trên vào trường lực hấp dẫn, có thể tính ñược thế năng tương tác
giữa hai vật khối lượng M
1
, M
2
cách nhau một khoảng r là:

( )
r
MM

G
21
t
rW =

Trong ñó
2
11
1067,6
kg
m
NG
−
⋅=
là hằng số hấp dẫn vũ trụ.
ðặc biệt, trong trường hấp dẫn của Trái ñất, một vật khối lượng m cách bề mặt Trái
ñất một ñoạn h, có thế năng là: W
t
(h) = mgh.
Trong ñó g = 9,8 m/s
2
là gia tốc rơi tự do của vật.
- Với trường lực ñàn hồi, biểu thức thế năng là:
( )
2
xW
2
t
x
k=

Trong ñó k là hệ số ñàn hồi, x là ñộ biến dạng của vật.
Vuihoc24h.vn

18

§ 1. 4. CHUYỂN ðỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN
1.4.1. Vật rắn và chuyển ñộng của vật rắn
Vật rắn là hệ chất ñiểm, trong ñó khoảng cách tương ñối giữa các chất ñiểm luôn luôn
không thay ñổi.
Chuyển ñộng của vật rắn nói chung rất phức tạp, nhưng ta có thể phân tích thành hai
chuyển ñộng cơ bản ñó là chuyển ñộng tịnh tiến và chuyển ñộng quay.
- Trong chuyển ñộng tịnh tiến, các chất ñiểm của vật rắn ñều chuyển ñộng giống nhau
(có cùng quỹ ñạo và trong những khoảng thời gian như nhau các chất ñiểm ñều chuyển ñộng
ñược những quãng ñường bằng nhau, nên vận tốc và gia tốc của các chất ñiểm là như nhau).
Vì vậy ta chỉ cần xét chuyển ñộng của một chất ñiểm ta sẽ biết ñựơc chuyển ñộng của vật rắn.
- Chuyển ñộng quay có nhiều dạng: quanh một ñiểm, quanh một trục (cố ñịnh hoặc
chuyển ñộng). Trong chuyển ñộng quay quanh một trục cố ñịnh, các chất ñiểm của vật rắn
ñều chuyển ñộng theo những quỹ ñạo tròn. Trong một khoảng thời gian các chất ñiểm ñều
quay ñược những góc bằng nhau, nên vận tốc góc và gia tốc góc của các chất ñiểm là như
nhau. Vì vậy ta lấy vận tốc góc và gia tốc góc làm ñại lượng ñặc trưng cho chuyển ñộng quay.
1.4.2. Phương trình chuyển ñộng quay của vật rắn
a) Khái niệm về mô men lực
Giả sử dưới tác dụng của lực
F
r
bất kỳ, vật
rắn sẽ quay quanh trục cố ñịnh ∆ (hình 1.10). Ta phân
tích lực
F

r
thành:

21
FFF
r
r
r
+=
=
tn
FFF
r
r
r
++
2

Lực
n
F
r
vuông góc với trục quay, hướng theo
bán kính quỹ ñạo của ñiểm ñặt lực, lực
2
F
r
song song
với trục quay, lực
t

F
r
tiếp tuyến với quỹ ñạo chuyển
ñộng của ñiểm ñặt lực.
Ta thấy chỉ có thành phần lực
t
F
r
mới có khả
năng làm vật rắn quay quanh trục
Thực tế cho thấy tác dụng của lực gây ra
chuyển ñộng quay của vật rắn, không những phụ
thuộc vào ñộ lớn lực tiếp tuyến còn phụ thuộc vào ñiểm ñặt của lực tiếp tuyến. ðiểm ñặt lực
càng xa trục quay thì tác dụng của lực tiếp tuyến càng lớn.

F

2
F

1
F

n
F

t
F

M

v

O
∆

M


Hình 1.10

Vuihoc24h.vn

19

Vì vậy, ñể ñặc trưng cho tác dụng gây ra chuyển ñộng quay của vật rắn quanh một
trục người ta ñưa ra khái niệm mô men lực ñược ñịnh nghĩa:
t
FrM
r
r
r
×=
với
r
r
là véctơ nằm
trên mặt phẳng quỹ ñạo của ñiểm ñặt lực, có chiều từ tâm quay ñến ñiểm ñặt lực.
Mô men lực có phương nằm trên trục quay, có chiều của véc tơ là tích hai véctơ
r
r

và
t
F
r
, có ñộ lớn
t
FrM
⋅
=
.
b) Phương trình chuyển ñộng quay của vật rắn
Xét một vật rắn quay quanh trục cố ñịnh ∆, với gia tốc góc
β
do chịu tác dụng của mô
men ngoại lực
M
r
.
Ta xét một chất ñiểm bất kỳ của vật rắn có khối lượng m
i
, cách trục quay một khoảng
r
i
, chất ñiểm này cũng quay với gia tốc góc
β
. Chất ñiểm chịu tác dụng của lực tiếp tuyến
ti
F
r
và có gia tốc tiếp tuyến

ti
a
r
(hình 1.11).
Theo ñịnh luật Niutơn thứ hai ta có:

tii
amF
=
.
Nhân hai vế với r
i
và chú ý
β
iti
ra
=
, ta
ñược:
β
2
iitii
rmFr =

Với toàn vật rắn, ta có:
∑∑
==
=
n
i

ii
n
i
tii
rmFr
1
2
1
β

ðặt
∑
=
=
n
i
tii
FrM
1
là tổng hợp mô men lực tác dụng
lên vật rắn và
∑
=
=
n
i
ii
rmI
1
2

là mô men quán tính của
vật rắn ñối trục quay. Ta có phương trình:

β
IM
=

Dạng vec tơ:
β
r
r
IM =

ðây là phương trình cơ bản chuyển ñộng quay của vật rắn quanh một trục.
c) ðặc ñiểm và ý nghĩa của mô men quán tính:

i
r

m
i
i
v

ω

L

∆

O

Hình 1.11
Vuihoc24h.vn

20

Từ biểu thức ñịnh nghĩa
∑
=
=
n
i
ii
rmI
1
2
ta nhận thấy mô men quán tính của vật rắn ñối
với trục quay phụ thuộc vào hình dạng, kích thước của vật rắn, khối lượng của vật và phân bố
khối lượng vật ñối với trục quay nên phụ thuộc vị trí của vật rắn ñối với trục quay.
Từ phương trình chuyển ñộng quay
β
IM
=
ta suy ra mô men quán tính của vật rắn
ñặc trưng cho mức ñộ quán tính của vật rắn trong chuyển ñộng quay.
Bằng tính toán người ta ñã suy ra mô men quán tính của một số vật rắn:
- Với một thanh mảnh ñồng chất chiều dài l, khối lượng m, mô men quán tính của
thanh ñối với trục quay ñi qua tâm của thanh và vuông góc với thanh là:

2
12
1
lmI =

- Với một ñĩa tròn ñồng chất bán kính R, khối lượng M, mô men quán tính của ñĩa ñối
với trục quay ñi qua tâm của ñĩa, vuông góc với ñĩa là:

2
2
1
MRI =

1.4.3. ðịnh luật bảo toàn mô men ñộng lượng
Mô men ñộng lượng của chất ñiểm ñược ñịnh nghĩa:

vmrprL
r
r
r
r
r
×=×=

Từ ñó ta suy ra mô men ñộng lượng của vật rắn ñối với trục quay là:

)(
1
ii
n

i
i
rmrL
r
r
r
r
××=
∑
=
ω
Hay:
ωω
rr
r
IrmL
i
n
i
i
=⋅×=
∑
=
2
1

Xét tr
ườ
ng h
ợ

p mô men ngo
ạ
i l
ự
c tác d
ụ
ng lên v
ậ
t r
ắ
n b
ằ
ng không (
M
= 0), khi
ñ
ó ta
có:
(
)
0====
ω
ω
β
I
dt
d
dt
d
IIM . T

ừ

ñ
ó ta suy ra:
constIL ==
ω


ð
ây là n
ộ
i dung
ñị
nh lu
ậ
t b
ả
o toàn mô men
ñộ
ng l
ượ
ng c
ủ
a v
ậ
t r
ắ
n
ñượ
c phát bi

ể
u:
N
ế
u t
ổ
ng h
ợ
p mô men ngo
ạ
i l
ự
c tác d
ụ
ng lên v
ậ
t r
ắ
n b
ằ
ng không thì mô men
ñộ
ng
l
ượ
ng c
ủ
a v
ậ
t r

ắ
n
ñượ
c b
ả
o toàn.
1.4.4. Sự ly tâm và ứng dụng
a) Sự ly tâm:
Xét một chất ñiểm chuyển có khối lượng m nằm trong một hệ chất ñiểm chuyển ñộng
tròn (ví dụ một phân tử bất kỳ trong vật rắn quay quanh một trục). Nếu toàn hệ chất ñiểm
Vuihoc24h.vn

21

chuyển ñộng với vận tốc góc
ω
và chất ñiểm ta xét cách trục một khoảng R thì chất ñiểm sẽ
có gia tốc hướng tâm
Ra
n
2
ω
=
và chịu lực hướng tâm
nn
amF
r
r
=

Khi ñó chất ñiểm sẽ chịu lực quán tính
nqt
amF
r
r
−=
. Lực này có cùng phương nhưng
ngược chiều với lực hướng tâm, có tác dụng làm chất ñiểm chuyển ñộng ra xa tâm của quỹ
ñạo, ñược gọi là lực li tâm và có ñộ lớn bằng
RmF
2
ω
=
. Sự xuất hiện lực li tâm tác dụng lên
vật gọi là sự li tâm.
Như vậy với các chất ñiểm có khối lượng khác nhau cùng cách trục một khoảng như
nhau sẽ chịu lực li tâm tác dụng khác nhau chất ñiểm nào có khối lượng càng lớn sẽ chịu lực
li tâm tác dụng càng lớn.
b) Ứng dụng
Ứng dụng ñiển hình nhất của sự li tâm là người ta ñã tạo ra máy li tâm ñể tách các
thành phần có khối lượng khác nhau trong hỗn hợp các hạt nhỏ.
Chẳng hạn có thể dùng máy li tâm ta có thể tách hồng cầu trong huyết tương, tách một
số thành phần khoáng hòa tan trong dung dịch hoặc rút các dịch của dược liệu, hoa quả. Trong
các ñộng cơ ôtô, xe máy người ta dùng phương pháp ly tâm ñể tách các chất cặn trong dầu bôi
trơn v.v
Ngoài ra sự li tâm còn ñược sử ñược sử dụng ñể làm khô các sản phẩm, ñồ dùng hàng
ngày,
CÂU HỎI ÔN TẬP
1- Phân biệt vận tốc tức thời và vận tốc trung bình.
2- Nêu ñịnh nghĩa và ý nghĩa vật lý của gia tốc trung bình, gia tốc tức thời, gia tốc tiếp tuyến

và pháp tuyến.
3- Nêu ý nghĩa của lực và khối lượng. Phát biểu ñịnh luật thứ 2 của Newton.
4- Nêu ý nghĩa vật lý của ñộng lượng, xung lượng của lực. Thiết lập biểu thức và phát biểu
các ñịnh lý về ñộng lượng.
5- Phát biểu và nêu ý nghĩa của ñịnh luật thứ 3 của Newton.
6- Thiết lập ñịnh luật bảo toàn ñộng lượng. Giải thích hiện tượng súng giật lùi khi bắn.
7- Trình bày khái niệm năng lượng và ñịnh luật bảo toàn năng lượng.
8- Lập biểu thức tính ñộng năng. Phát biểu ñịnh lý ñộng năng
9- Trình bày khái niệm trường lực thế, thế năng, ñịnh lý thế năng.
Vuihoc24h.vn

22

10- Thành phần nào của lực có tác dụng thực sự gây ra chuyển ñộng quay của vật rắn
quanh một trục cố ñịnh.
11- Vì sao ñể ñặc trưng cho tác dụng làm thay ñổi trạng thái chuyển ñộng quay người ta
dùng mô men lực.
12- Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển ñộng quay của vật rắn quanh một trục cố
ñịnh. Nêu ý nghĩa của mô men quán tính.

Vuihoc24h.vn