chuyên đề ôn thi đại học môn toán - hàm số mũ , hàm số lôgarít phương trình và bất phương trình có chứa mũ và logarít

Chuyên đề : HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARÍT
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:

•
n
n thừa số
a a.a a=

(n Z ,n 1,a R)
+
∈≥∈
•
1
aa= a∀
•
0
a1=

a0∀≠

•
n
n
1
a
a
−

=
{
}
(n Z ,n 1,a R/ 0 )
+
∈≥∈

•
m
n
m
n
aa=
(
a0;m,nN>∈
)
•
m
n
m
n
m
n
11
a
a
a
−
==

2. Các tính chất :

•

mn mn
a.a a
+
=

•
m
mn
n
a
a
a
−
=
•
mn nm m.n
(a ) (a ) a==

•
nnn
(a.b) a .b=

•
n
n

n
aa
()
b
b
=




3. Hàm số mũ
: Dạng :
x
ya=
( a > 0 , a
≠
1 )
• Tập xác đònh :
DR=

• Tập giá trò :
TR
+
=
(
x
a0 xR>∀∈ )
• Tính đơn điệu:
* a > 1 :
x

ya=
đồng biến trên
R

* 0 < a < 1 :
x
ya= nghòch biến trên
R

• Đồ thò hàm số mũ :











Minh hoïa
:

a>1
y=a
x
y
x
1
0<a<1
y=a
x

y
x
1
f(x) =2^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y

f(x)=(1/2)^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1

-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y

y=2
x

y=
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1

1
x
y
y
x

1
O
O
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a
≠
1 và N > 0


dn
M
a
log N M a N
=
⇔=



Điều kiện có nghóa
: N
a
log có nghóa khi
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≠
>

0
1
0
N
a
a


2. Các tính chất
:


•
a
log 1 0=

•
a
log a 1=

•
M
a
log a M=

•
log N
a
aN=

•
a12 a1 a2
log (N .N ) log N log N=+

•

1
aa1a2
2
N
log ( ) log N log N
N
=−

•

aa
log N .log N
α
=α
Đặc biệt :
2
aa
log N 2.log N=



3. Công thức đổi cơ số
:

•

aab
log N log b.log N=

•
a
b
a
log N
log N
log b
=


* Hệ quả:
•

a
b
1
log b
log a
=
và
ka
a
1
log N log N

k
=












4. Hàm số logarít: Dạng
a
ylogx=
( a > 0 , a
≠
1 )
• Tập xác đònh :
+
=DR
• Tập giá trò =TR
•
Tính đơn điệu:
* a > 1 :
a
ylogx=
đồng biến trên

+
R

* 0 < a < 1 :
a
ylogx= nghòch biến trên
+
R
•
Đồ thò của hàm số lôgarít:








Minh họa
:

5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
:


1. Đònh lý 1: Với 0 < a
≠
1 thì : a
M
= a
N

⇔
M = N


2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a
M
< a
N

⇔
M > N (nghòch biến)


3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a
M
< a
N

⇔
M < N (đồng biến )


4. Đònh lý 4: Với 0 < a
≠
1 và M > 0;N > 0 thì : log
a
M = log
a
N
⇔
M = N

5. Đònh lý 5
: Với 0 < a <1 thì : log
a
M < log
a
N
⇔
M >N (nghòch biến)


6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log
a
M < log
a
N

⇔
M < N (đồng biến)



0<a<1
y=log
a
x
1
x
y
O
f(x)=ln(x)/ln(1/2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y

y=log
2
x
x
y
x
y
f(x)=ln(x)/ln(2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
xy
2
1
log=
1

O
1
O
a>1
y=log
a
x
1
y
x
O
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
Dạng cơ bản:
x
am=
(1)
•
m0≤
: phương trình (1) vơ nghiệm
•
m0>
:
x
a
amxlogm=⇔=
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : a
M
= a
N

(Phương pháp đưa về cùng cơ số)

Ví du 1 : Giải các phương trình sau :
1)
x1 2x1
927
++
=
2)
2
x3x2
24
−+
=

3)
xx2x1x1
11
3.4 .9 6.4 .9
32
+++
+=−
Ví du 2ï
: Giải các phương trình sau
1)
x10 x5
x10 x15
16 0,125.8
++

−−
=
2)
x5 x17
x7 x3
32 0,25.128
++
−−
=


2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2x 8 x 5
34.3270
++
−+=

2)
xxx
6.9 13.6 6.4 0−+=
3)
xxx
5.2 7. 10 2.5=−

4)
xx
(2 3) (2 3) 4−++=

5)
(
)
(
)
xx
526 526 10++−=

6)
322
2
2
2
=−
−+− xxxx

7)
027.21812.48.3 =−−+
xxxx

8)
07.714.92.2
22
=+−
xxx

9)
22
xx2 x1x2

45.2 60
+− −+−
−−=
10)
32cosx 1cosx
47.420
++
−−=

Bài tập rèn luyện:
1)
4)32()32( =−++
xx
(
1
±
x
)
2)
xxx
27.2188 =+ (x=0)
3)
13
250125
+
=+
xxx
(x=0)
4)
12

21025
+
=+
xxx
(x=0)
5)
xx
(3 8) (3 8) 6++−=
( )2
±
=
x
6)
xxx
8.21227 =+ (x=0)

3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,

Ví dụ : Giải phương trình sau :
1) 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x

2) 0422.42
2
22
=+−−

−+ xxxxx

3)
2x 1 x 1 x
5 7 175 35 0
++
+− −=

4)
x36 x3 4
2x1 2 x1
x.2 2 x.2 2
−+ −+
−+
+= +

5)
()
2
22
x1
xx 1x
422 1
+
+−
+= +



4. Phương pháp 4: Lấy lơgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó

(Phương pháp lơgarít hóa)
Ví dụ
: Giải phương trình
1)
2
x1 x x2
3.2 8.4
−
−
=
2)
1
5.8 500
x
x
x
−
=


5. Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
•
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C
có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0
∈ (a;b) sao cho
f(x
0

) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
•
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . (
do đó nếu tồn tại x
0
∈ (a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))
Phương pháp chiều biến thiên hàm số

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 3
x
+ 4
x
= 5
x

2) 2
x
= 1+
x
2
3
3)
x

1
() 2x 1
3
=+

4)
3x 2
2x8x14
−
=− + −
5)
()
x2 x2
3.25 3x 10 .5 3 x 0
−−
+− +−=


Bài tập rèn luyện:
1) 163.32.2 −=+
xxx
(x=2)
2)
x
x
−= 32
(x=1)

IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG
:

Dạng cơ bản:
a
log x m
=
(1)
•
m∀∈\
:
m
a
log x m x a=⇔=

1. Phương pháp 1
: Biến đổi phương trình về dạng :
aa
log M log N
=
(đồng cơ số)

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2
21
2
1
log log (x x 1)
x
=−−

2)

[
]
2
log x(x 1) 1−=

3)
22
log x log (x 1) 1+−=
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
+=
x
log (x 6) 3
2)
xx1
21
2
log (4 4) x log (2 3)
+
+=− −
3)
)3(log)4(log)1(log
2
1
2
2
1
2
2
xxx −=++−

( 141;11 +−=−= xx )
4)
() () ()
8
42
2
11
log x 3 log x 1 log 4x
24
++ − =
(
)
x3; x 323==−+

5)
() () ()
233
111
444
3
log x 2 3 log 4 x log x 6
2
+−= −+ +

(
)
x2; x1 33==−
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1)
2
22
64
3
log 2x log x
+=

2)
051loglog
2
3
2
3
=−++ xx

3)
42 24
log log x log log x 2+=

4)
x3 3
x
1
log 3 log x log 3 log x
2
+= + +

5)
()

2
x25
log 125x .log x 1
=

6)
xx x
16 64
log 2.log 2 log 2=

7)
2
5x 5
5
log log x 1
x
+=

8)
()
()
()
3
log 9 x 2 3
x2 9x2
−
−=−
3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,

Ví dụ : Giải phương trình sau : log x 2.log x 2 log x.log x

77
22
+
=+
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất.
(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)


* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C
có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho
f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) .
( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))

Phương pháp chiều biến thiên hàm số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2
22
log (x x 6) x log (x 2) 4−− += + +

2)
()
6
log x
26
log x 3 log x+=
3)
()
23
log 1 x log x+=

V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
< a
N
(
,,≤>≥
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

36x
4x 11
2
x6x8
1) 2 1
1
2) 2
2
−
−−
+
+
>
⎛⎞
>
⎜⎟
⎝⎠


Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
xx1
x2x
1
3()
3
−−
−
≥

2)
2
x1
x2x
1
2
2
−
−
≥


2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ
: Giải các bất phương trình sau :

xx
2x 1 x
1) 9 2.3 3
2) 5 5 4
+
<
+
>+


Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2x x 2

23.(2)320
+
−
+<

2)
x3x
22 9
−
+≤
3)
2x 4 x x 2
345.69.20
++
+− ≤

4)
21
1
xx
11
() 3.() 12
33
+
+
>
5)
52428
11
>+−+

++ xxx
(
)20
≤
<
x

6)
11
21212.15
++
+−≥+
xxx
(
2
≤
x
)

VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
aa
log M log N
<
( ,,≤>≥)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
22

log (x x 2) log (x 3)
+
−> +

2)
2
0,5 0,5
log (4x 11) log (x 6x 8)
+
<++
3)
2
13
3
log (x 6x 5) 2log (2 x) 0
−
++ −≥
4)
(
)
11 2
24
log x 2log x 1 log 6 0+−+≤

5)
13
2
x1
log log 0
x1

+
≥
−

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x
log (5x 8x 3) 2
−
+>

2)
−
<
23
3
log log x 3 1

3)
2
3x x
log (3 x) 1
−
−
>

4)
x
9

x
log (log (3 9)) 1
−
≤
5)
(
)
()
x
x3
log log 9 72 1
−
≤
6)
)12(log12log4)1444(log
2
555
++<−+
−xx

7)
()
(
)
x2x1x
11
42
log 4 4 log 2 3.2
+
+≥ −

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số

Ví dụ
: Giải bất phương trình sau :
1)
2
22
log x log x 2 0+−≤
2)
log x 4
2
x32
+
<

3)
2
log x log x
66
6x12+≤

4)
2
3
14
2
log x log x 2 0
+

−>

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
x
x
2
32
log (3 2) 2.log 2 3 0
+
+
+−>

2)
2
2x
x
log 64 log 16 3
+
≥

3)
2
3log
3)(log
2
2
2
>
+

+
x
x
(
2
1
8
1
<< x )


















VII. HE PHệễNG TRèNH:

Vớ duù : Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh

1)
23
93
x1 2y 1
3lo
g
(9x ) lo
gy
3

+ =


=


6)





=+
=

4)(log)(log
)
3
1

()3(
22
2
yxyx
yxyx


2)





=+
=
25
1
1
log)(log
22
4
4
1
yx
y
xy
7)
y
3
34 x

(x11)3
x
ylogx1


+ =



+=



3)





=
+
+
=
+
y
yy
x
xx
x
22

24
452
1
23
8)





=+
=

2)(log
11522.3
5
yx
yx


4)





=+
=
3
644.2

yx
yx
9)
x4y30
log x log y 0
42
+=

=





5)



=+
=+
4loglog2
5)(log
24
22
2
yx
yx

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
DẠNG 1: Các bài toán giải phương trình và bất phương trình
Bài 1:
Giải các phương trình
1)
1
2
12
2
1

2.62
)1(3
3
=+−−
− xx
xx
(x=1)
2)
)4(log4log2)1(log
3
8
2
2
4
xxx ++−=++ ( 622;2 −== xx )
3)
)2(loglog
37
+= xx
(x=49)
4)
)2(loglog
75
+
= xx
(x=5)
5)
072.32.5
35
13

=+−
−
−
x
x
(x=1)
6)
3
28
12
2
1
log4log232log
+=−
−
x
x
(
2
5
=x )
7)
x
xx
x
1
3
2
2
log

3
2
log
=
−−
(x=1,x=2,x=4)
8)
05
8
log3
2
2
log
2 =−
−
+
x
x
x
x
(
2,
2
1
== xx
)
9)
xxxx 26log)1(log
2
2

2
−=−+
( 2,
4
1
== xx )
10)
x
x
x
4
4
log
2
)10(log.2log21 =−+
(x=2,x=8)

Bài 2: Giải các bất phương trình
1)
09.93.83
442
>−−
+++ xxxx
(x>5)
2)
23.79
12
2
2
2

≤−
−−−−− xxxxxx
(
20
4
1
≥∨≤≤− xx
)
3)
xxx −+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
112
2
1
2
1
36
(

1101 >∨
<
<
∨
−
<
xxx
)
4)
0128
8
1
4
1
13
≥−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−xx

(
3
4
−≤x )
5)
)1(log1)21(log
5
5
+
+
<− xx (
2
1
5
2
<<− x )
6)
xx
22
loglog2 >−
(
2
4
1
<≤ x
)
7)
1)93(loglog
9
<−

x
x
(
10log
3
>x
)
8)
)13(log
1
)3(log
1
2
2
4
−
<
+
x
xx
(
1
3
2
<< x
)
9)
0
1
)3(log)3(log

3
3
1
2
2
1
>
+
+−+
x
xx
(-2 < x <-1)




Bài 3 : Tìm tập xác đònh của các hàm số sau:
1.
2
1
2
32
log
2
x
x
y
x
−−
=

+
2.
38
0,3
2
log ( 1)
2
28
xx
x
y
xx
−−−
−
−
=+
−
−


DẠNG 2: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số
Bài 1
: Với giá trò nào của m thì phương trình sau có nghiệm: 0)12.(44 =−−
xx
m (
10 ≥∨
<
mm
)
Bài 2: Cho phương trình: 022.4

1
=+−
+
mm
xx

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
21
xx
≠
sao cho 3
21
=
+
xx (m=4)
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: 014)12(16).3( =++−++ mmm
xx

(
4
3
1 −<<− m
)

BÀI TẬP RÈN LUYỆN (GIẢI MẪU)

Bài 1: Giải phương trình:
() () ()
11 1
22 2
log x 1 log x 1 log 7 x 1 (1)−+ +− − =


Bài giải:
Điều kiện:
x10 x 1
x10 x 1 1x7
7x0 x7
⎧⎧
⎪⎪
−> >
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
+> ⇔ >−⇔< <
⎨⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
−> <
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎩

Khi đó:

() () () ()
()
()
()
11 1
22 2
2
2
11
22
2
2
22
2
1 log x 1 log x 1 log 7 x 1
1
log x 1 log 7 x
2
1
x 1 7 x
2
2x 1 49 14x x
x 14x 50 0
x3

x17
⇔−++− −=

⎡⎤
⇔−= −
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⇔−= −
⇔−=−+
⇔+ −=
⎡
=
⎢
⇔
⎢
=−
⎢
⎣

So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là
x3=



Bài 2: Giải phương trình:
() () ()
233
111
444
3
log x 2 3 log 4 x +log x 6 (1)
2

+−= − +


Bài giải:
Điều kiện:
x20 x 2
6x4
4x0 x4
x2
x60 x 6
⎧⎧
⎪⎪
+≠ ≠−
⎪⎪
⎧
−< <
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪
−>⇔ < ⇔
⎨⎨⎨
⎪⎪⎪
≠−
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
+> >−
⎪⎪

⎪⎪
⎩⎩

Khi đó:

() () ()
() ()
()
()()
[]
()()
()()()
()()()
111
444
111
444
11
44
2
2
1 3log x 2 3 3log 4 x 3log x 6
log x 2 1 log 4 x log x 6
log 4 x 2 log 4 x x 6
4 x 2 4 x x 6
x2x 8
4x 2 4 x x 6 x 6x 16 0

4x 2 4 x x 6
x1 33

x2x320
⇔+−=−++
⇔+−=−++
⇔+=−+
⇔+=− +
⎡
⎡
=∨=−
⎡
+=− + + −=
⎢
⎢
⎢
⇔⇔⇔
⎢
⎢
⎢
+=−− +
=±
−−=
⎢
⎢
⎢
⎣
⎣
⎣

So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là
x2x1 33=∨=−

Bài 3: Giải phương trình:
()
()
2
1
24
2
log x 2 log x 5 log 8 0 (1)++ − + =


Bài giải
:
Điều kiện:
x20
x2
x5
x5 0
⎧
+>
⎧
>−
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
⎨⎨
≠

−≠
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎩

Khi đó:

() ( )
()
[]
()
()
()
()
()
222
22
2
2
1 log x 2 log x 5 log 8
log x 2 x 5 log 8
x 2 x 5 8
x5
x5
x5
x3x6
x2x5 8 x 3x18 0

2x5

2x5
2x5
317
x25x 8
x3x20
x
2
⇔++−=
⇔+−=
⇔+ −=
>
⎧
⎪
⎡
>
⎡⎧
>
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎢
⎪
⎢
⎪
⎨
⎨
⎨
=− ∨ =

⎪
⎢
⎢
⎪
⎪
⎪
+−= −−=
⎩
⎢
⎢
⎪
⎪
⎪
⎩⎩
⎢
⎢
⇔⇔⇔
⎧
−< <
⎢
⎢
⎧⎧
−< <
−< <
⎪⎪
⎢
⎢
⎪⎪
⎪
⎪

⎨
⎢
⎨
⎢
±
⎪
⎪
+−=
−−=
⎢
=
⎢
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎣⎩
⎣
x6
317
x
2
⎡
⎢
⎢
⎡
=
⎢
⎢

⎢
⎢
⇔
⎢
±
⎪
⎢
⎪
⎢
=
⎪
⎢
⎪
⎢
⎣
⎨
⎢
⎪
⎪
⎢
⎪
⎪
⎩
⎣

Vậy nghiệm của phương trình (1) là
x6
317
x
2

⎡
=
⎢
⎢
±
⎢
=
⎢
⎣



Bài 4: Giải phương trình:
1
22
2
log x 2 log x 5 log 8 0−+ ++ =
(1)


Bài giải:
Điều kiện:
x2 0
x2
x5
x50
⎧
−≠
⎧
≠

⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
⎨⎨
≠−
+≠
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎩

Khi đó:

() ( )
()
()
()
()
()
()
()
22
2
2
1logx2x5log8
x 2 x 5 8
x3x6
x2x5 8 x 3x18 0

317
x2x5 8
x3x20
x
2
⇔−+=
⇔− +=
⎡
=− ∨ =
⎡
⎡
−+= +−=
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔⇔⇔
⎢
⎢
±
⎢
−+=−
−+=
⎢
=
⎢
⎢
⎣
⎣

⎣

So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là
x3x6
317
x
2
⎡
=− ∨ =
⎢
⎢
±
⎢
=
⎢
⎣




Bài 5: Giải phương trình:
()
42
2x 1
11
log x 1 log x 2
log 4 2
+
−+ =+ +
(1)

Bài giải:
Điều kiện:
x1
x10
1
2x 1 0
x
2
x1
2x 1 1
x0
x20
x2
⎧
>
⎪
⎧
−>
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
+>
⎪

>−
⎪
⎪
⎪
⇔⇔>
⎨⎨
⎪⎪+≠
⎪⎪
≠
⎪⎪
⎪⎪
+>
⎪⎪
>−
⎪⎪
⎩
⎪
⎩

Khi đó:

() () () ()
()( )
[]
()
[]
()( )( )
22 2
22
2

11 11
1logx1log2x1 logx2
22 22
log x 1 2x 1 log 2 x 2
x 1 2x 1 2 x 2
x1
2x 3x 5 0
5
x
2
⇔−+ +=++
⇔−+= +
⇔− += +
⎡
=−
⎢
⎢
⇔−−=⇔
⎢
=
⎢
⎣


So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là
5
x
2
=

Bài 6: Giải phương trình:
2
22 2
log 2x log 6 log 4x
4x2.3−=
(1)



Bài giải:

Điều kiện: x0>
Khi đó:
(
)
2
2
22 2 22
21 log x
log 2x log 6 log 4x 1 log x log 6
4x2.3 4 x2.3
+
+
−= ⇔ −=

Đặt
t
2

tlogx x2=⇒=, phương trình (2) trở thành:

()
()
()
2
2
t
log 6
21 t
1t t t log6 t
2
tt
tt t
2
tt
4 2 2.3 4.4 2 18.9
33
4.4 6 18.9 4 18
22
33
18 4 0
22

+
+
−=⇔−=
⎡
⎤
⎛⎞ ⎛⎞

⎟⎟
⎢
⎥
⎜⎜
⇔−= ⇔−=
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎢
⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣
⎦
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎟⎟
⎢⎥
⎜⎜
⇔+−=
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
t
t
34

29
t 2
31
(loai)
22
⎡
⎛⎞
⎟
⎢
⎜
=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎢
⎝⎠
⎢
⇔⇔=−
⎢
⎛⎞
⎢
⎟
⎜
=−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎢

⎝⎠
⎣

Với
t2=−
ta được nghiệm của phương trình (1) là :
1
x
4
=


Bài 7: Giải phương trình:
()
39x
3
4
2logx.log3 1
1logx
−−=
−
(1)


Bài giải:
Điều kiện:
3
x0
x0
1

9x 1 x
9
log x 1
x3
>
⎧
⎪
⎧
⎪
⎪
>
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
≠⇔≠
⎨⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
≠
⎪⎪≠
⎪
⎩
⎪
⎩

Khi đó:

()
()
33
33 33
2logx 4 2logx 4
111 (2)
log 9x 1 log x 2 log x 1 log x
−−
⇔−=⇔−=
−+−

Đặt
3
tlogx (t 2;t1)=≠−≠
, phương trình (2) trở thành:

2
t1
2t 4
1t3t40
t4
2t1t
⎡
=−
−
⎢
−=⇔−−=⇔
⎢

=
+−
⎢
⎣

•
Với
t1=−
ta được pt :
3
1
log x 1 x
3
=− ⇔ =

•
Với
t4=
ta được pt :
3
log x 4 x 81=⇔=

So với điều kiện ta được nghiệm của pt(1) là
1
x; x81
3
==


Bài 8: Giải phương trình:

()
(
)
xx+1
33
log 3 - 1 .log 3 - 3 = 6 (1)


Bài giải:

Điều kiện:
−> ⇔ >⇔ >
xx
310 3 1 x0

Khi đó:
()
()
(
)
⇔+−=
⎡⎤
⎣⎦
xx
33
1 log 3 - 1 . 1 log 3 1 6

Đặt:
()
=−

x
3
tlog3 1
, pt trở thành:
()
=
⎡
+=⇔+−=⇔
⎢
=
−
⎢
⎣
2
t2
tt 1 6 t t 6 0
t3

•
Với
=−
t3
:
()
−=−⇔ −= ⇔ = ⇔=
xxx
3 3
128 28
log 3 1 3 3 1 3 x log
27 27 27

•
Với
=
t2
:
()
−=⇔ −=⇔ = ⇔=
xxx
3 3
log 3 1 2 3 1 9 3 10 x log 10

Các nghiệm tìm được thỏa điều kiện.
Vậy pt(1) có hai nghiệm là
==
33
28
x log ; x log 10
27


Bài 9: Giải phương trình:
=
x7
log 7x .log x 1
(1)

Bài giải:
Điều kiện:
>
⎧
⎪
⎨
≠
⎪
⎩
x0
x1

Khi đó:
() ()
⎛⎞
⇔=⇔+=
⎜⎟
⎝⎠
x7 7
7
111
1log7x.logx11 .logx1
22logx

Đặt
=
7
tlogx
, pt trở thành:
>

⎧
>
⎧
⎪⎪
⎛⎞
+=⇔ ⇔ ⇔=
⎨⎨
⎜⎟
⎛⎞
+−=
⎝⎠
+=
⎜⎟
⎪
⎪
⎩
⎝⎠
⎩
2
2
t0
t0
11
1 .t1 t1
11
tt20
2t
1.t1
2t

•
Với
=t1
:
=⇔ =
7
log x 1 x 7
(thỏa điều kiện)
Vậy pt(1) có nghiệm là
=x7



Bài 10: Giải phương trình:
()
(
)
−+
+
−+ − =
2
2
2x 1 x 1
log 2x x 1 log 2x 1 4
(1)


Bài giải:
Điều kiện:
⎧

<− ∨ >
⎪
⎧
+−>
⎪
⎪
⎪
>
−>
⎪
⎧
⎪
>
⎪
⎪⎪
−≠ ⇔ ≠ ⇔
⎨⎨⎨
≠
⎪⎪⎪
⎩
+> >−
⎪⎪
⎪⎪
≠
+≠
⎩
⎪
⎪
⎩
2

1
x1x
2
2x x 1 0
1
x
2x 1 0
1
2
x
2
2x 1 1 x 1
x1
x10 x 1
x0
x11

Khi đó:

() ( )( )
[
]
(
)
()
()
−+
−
−
⇔−++−=

⇔+ + + =
+
2x 1 x 1
2x 1
2x 1
1log 2x1x12log2x14
1
1 log x 1 2 4
log x 1

Đặt
()
−
=+
2x 1
tlog x1
, pt trở thành:
=
⎡
+=⇔− +=⇔
⎢
=
⎢
⎣
2
t1
2
t3t3t20
t2
t

• Với
=t1
:
()
−
+=⇔+= −⇔=
2x 1
log x 1 1 x 1 2x 1 x 2 (thỏa điều kiện)
• Với
=t2
:
() ( )
−
=
⎡
⎢
+=⇔+= − ⇔ − =⇔
⎢
=
⎢
⎣
2
2
2x 1
x 0 (loai)
log x 1 2 x 1 2x 1 4x 5x 0
5
x
4

Vậy pt(1) có tập nghiệm là
{
}
=
5
S2;
4


Bài 11: Giải bất phương trình:
−+
≥
2
1
2
x3x2
log 0
x
(1)



Bài giải:
Điều kiện:
<<
⎡
−+
>⇔
⎢

>
⎢
⎣
2
0x1
x3x2
0
x2
x

Khi đó:

()
−+
⇔≥
−+
⇔≤
−+
⇔≤
<
⎡
⇔
⎢
−≤≤+
⎢
⎣
2
11
22
2

2
x3x2
1log log1
x
x3x2
1
x
x4x2
0
x
x0

22x22

So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là
⎡
−
≤<
⎢
⎢
<≤+
⎣
22x1
2x2 2


Bài 12: Giải bất phương trình:
+⎛⎞
<
⎜⎟

+
⎝⎠
2
0,7 6
xx
log log 0
x4
(1)

Bài giải:
Điều kiện:
++⎧⎧
>>
−< <−
⎪⎪
⎡
+−
⎪⎪
++
⇔⇔>⇔>⇔
⎢
⎨⎨
>
++
++
⎢
⎪⎪
⎣
>>
⎪⎪

++
⎩⎩
22
22
22
6
xx xx
00
4x 2
xx x4
x4 x4
10
x2
x4 x4
xx xx
log 0 1
x4 x4

Khi đó:

()
++⎛⎞
⇔<⇔>
⎜⎟
++
⎝⎠
++
⇔>⇔>
++
−< <−

⎡
−−
⇔>⇔
⎢
>
+
⎢
⎣
22
0,7 6 0,7 6
22
66
2
xx xx
1 log log log 1 log 1
x4 x4
xx xx
log log 6 6
x4 x4
4x 3
x5x24
0
x8
x4

So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là
−
<<−
⎡
⎢

>
⎢
⎣
4x 3
x8




Bài 13: Giải bất phương trình:
(
)
(
)
−
++≤
1
3
3
2 log 4x 3 log 2x 3 2
(1)





Bài giải:
Điều kiện:
⎧
>

−>
⎧
⎪
⎪
⇔⇔>
⎨⎨
+>
⎪
⎪
⎩
>−
⎩
3
x
4x 3 0
3
4
x
2x 3 0 3
4
x
2

Khi đó:

()
(
)
(
)

() ()
[]
()()
⇔−≤++
⇔−≤ +
⇔−≤ +
⇔−−≤
⇔− ≤ ≤
2
33
2
33
2
2
1log4x32log2x3
log 4x 3 log 9 2x 3
4x 3 9 2x 3
16x 42x 18 0
3
x 3
8

So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là
<
≤
3
x3
4

Bài 14: Giải bất phương trình:
−
−
⎛⎞
−
≤
⎜⎟
⎝⎠
2
2
2x x
x2x
1
92 3
3
(1)

Bài giải:

Ta có:
−
−−−
⎛⎞
−≤⇔−−≤
⎜⎟
⎝⎠
2
222
2x x
x2x x2x x2x

1
92 392.330
3

Đặt
−
=>
2
x2x
t3 (t0), bpt trở thành:
−
−≤⇔−≤≤
2
t2t30 1t3

Do
>t0
nên ta chỉ nhận
<≤0t3

Với
<≤0t3:
−
<≤⇔−≤⇔−−≤⇔−≤≤+
2
x2x 2 2
03 3 x 2x1 x 2x10 1 2x1 2

Vậy bpt(1) có tập nghiệm là
⎡⎤

=− +
⎣⎦
S12;1 2


Bài 15: Giải bất phương trình:
()
(
)
−
+
−<+ +
xx2
555
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
(1)


Bài giải:
Ta có:

()
()
(
)
()
()
()
−
−

−
⎡
⎤
⇔+−< +
⎣
⎦
⎡⎤
⇔+< +
⎣⎦
⇔+ < +
⇔− +<
⇔< < ⇔<<
xx2
525
xx2
55
xx2
xx
x
1 log 4 144 log 16 log 5 2 1
log 4 144 log 80 2 1
4 144 80 2 1
4 20.2 64 0

42 16 2x4

Vậy bpt(1) có tập nghiệm là
()
=S2;4

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải bất phương trình:

+
⎛⎞
≥
⎜⎟
+
⎝⎠
1
2
3
2x 3
log log 0
x1


Bài 2
: Giải phương trình:

⎛⎞
+= −
⎜⎟
⎝⎠
x

3
16
3log9x
log x x


Bài 3
: Giải phương trình:

()
(
)
++ −=
1
2
2
2 log 2x 2 log 9x 1 1


Bài 4
: Giải bất phương trình:

++
−−≤
2x 1 2x 1 x
325.60

Bài 5
: Giải bất phương trình:

−− −−
−−≤
22
2x 4x 2 2x x 1
216.220


Heát