chuyên đề ôn thi đại học môn toán - tích phân, ứng dụng của tích phân

Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản:
Bảng 1 Bảng 2

Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số) ax + C

x
α

1
1
x
C
α
α
+
+
+

()ax b
α
+

a
1
1
()
1
ax b

C
α
α
+
+
+
+

1
x

ln
x
C+

1
ax b
+

1
ln ax b C
a
++

x
a


ln
x

a
C
a
+


x
e

x
eC+

ax b
e
+

1
ax b
eC
a
+
+

sinx -cosx + C sin(ax+b)

1
cos( )ax b C
a
−+
+

cosx Sinx + C cos(ax+b)

1
sin( )ax b C
a
++

2
1
cos
x


tgx + C
2
1
cos ( )ax b
+

1
()tg ax b C
a
++

2
1
sin
x

-cotgx + C
2
1
sin ( )ax b
+


1
cot ( )gax b C
a
−+
+

'
()
()
ux
ux

ln ( )ux C+

22
1
x
a
−


1

ln
2
x
a
C
axa
−
+
+

tgx

ln cos
x
C−+

22
1
x
a+

22
ln
x
xa C+++
cotgx
ln sin
x
C+

Phương pháp 1:
• Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên
hàm cơ bản
• Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức và biến đổi
lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.
Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
3
1
() cos
1
fx x
x
x
=+
+−
2.
2
2x 5
f(x)
x4x3
−
=
−

+


83
Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân
Ví dụ: Tính các tích phân: 1.
5
cos sin
x
xdx
∫
2.
cos
tgx
dx
x
∫
3.
1ln
x
dx
x
+
∫

I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên
[
]
;ab

. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
thì:

[]
() () () ()
b
b
a
a
f
xdx Fx Fb Fa==−
∫
( Công thức NewTon - Leiptnitz)

2. Các tính chất của tích phân:
• Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác đònh tại a thì :
() 0
b
a
fxdx
=
∫

•
Tính chất 2:
() ()
ba
ab
f
xdx f xdx=−

∫∫

•
Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên
[
]
;ab
thì:
()
b
a
cdx c b a
=
−
∫

• Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên
[
]
;ab
và
() 0
f
x ≥
thì
() 0
b
a
fxdx≥
∫

• Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[
]
;ab
và
[
]
() () x a;bfx gx≥∀∈
thì

() ()
bb
aa
f
xdx gxdx≥
∫∫

• Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên
[
]
;ab
và
( ) ( m,M là hai hằng số)mfx M
≤
≤
thì

() () ()
b
a

mb a f xdx Mb a
−
≤≤
∫
−

•
Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[
]
;ab
thì

[]
() () () ()
bb
aa
b
a
f
x gx dx f xdx gxdx±= ±
∫∫∫

•
Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[
]
;ab
và k là một hằng số thì

.() . ()
bb
aa
kf xdx k f xdx=
∫∫
• Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[
]
;ab
và c là một hằng số thì

() () ()
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx=+
∫∫∫

• Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên
[
]
;ab
cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghóa
là :
( ) ( ) ( )
bbb
aaa
f x dx f t dt f u du==
∫∫∫
=

84
Bài 1: Tính các tích phân sau:

85
1)
1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
2)
1
0
x
dx
2x 1+
∫
3)
1
0
x1 xdx−
∫
4)
1
2
0
4x 11

dx
x5x6
+
++
∫

5)
1
2
0
2x 5
dx
x4x4
−
−+
∫
6)
3
3
2
0
x
dx
x2x1++
∫
7)
6
66
0
(sin x cos x)dx

π
+
∫
8)
3
2
0
4sin x
dx
1cosx
π
+
∫

9)
4
2
0
1sin2x
dx
cos x
π
+
∫
10)
2
4
0
cos 2xdx
π

∫
11)
2
6
1sin2xcos2x
dx
sinx cosx
π
π
++
+
∫
12)
1
x
0
1
dx
e1+
∫
.
13)
dxxx )sin(cos
4
0
44
∫
−
π
14)

∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
15)
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
16)
∫
−
2
0
sin25
cos
π
dx

x
x

17)
∫
−+
−
0
2
2
32
4
dx
x
x

18)
∫
+
+
−
1
1
2
52
x
x
dx

Bài 2:
1)
3
2
3
x1dx
−
−
∫
2)
4
2
1
x3x2dx
−
−+
∫
3)
5
3
(x 2 x 2)dx
−
+−−
∫
4)
2
2
2
1
2

1
x2
x
+−
∫
dx

5)
3
x
0
24dx−
∫
6)
0
1 cos2xdx
π
+
∫
7)
2
0
1sinxdx
π
+
∫
8)
dxxx
∫
−

2
0
2

Bài 3:
1) Tìm các hằng số A,B để hàm số
f(x) Asin x B
=
π+
thỏa mãn đồng thời các điều kiện
và
'
f(1) 2=
2
0
f(x)dx 4
=
∫

2) Tìm các giá trò của hằng số a để có đẳng thức :
2
23
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12
+
−+ =
∫

II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1)

DẠNG 1:Tính I = bằng cách đặt t = u(x)
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx
∫
Công thức đổi biến số dạng 1:
[]
∫
=
∫
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxuf
Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt t dxxudtxu )()(
'
=⇒=
Bước 2: Đổi cận :
)(
)(
aut
but
ax

bx
=
=
⇒
=
=

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

[]
∫
=
b
fI (tiếp tục tính tích phân mới)
∫
=
)(
)(
)()('.)(
bu
aua
dttfdxxuxu


Tính các tích phân sau:
1)
2
32
0
cos xsin xdx

π
∫
2)
2
5
0
cos xdx
π
∫
3)
4
2
0
sin 4x
dx
1cosx
π
+
∫
4)
1
32
0
x1xdx−
∫

5)
2
23
0

sin2x(1 sin x) dx
π
+
∫
6)
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫
7)
e
1
1lnx
dx
x
+
∫
8)
4
0
1
dx
cosx
π
∫

9)
e
2
1
1lnx
dx
x
+
∫
10) 11)
1
536
0
x(1 x)dx−
∫
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x
π
−+
∫
12)
3
4
0
tg x
dx

cos2x
∫

13)
4
0
cos sin
3sin2
x
x
dx
x
π
+
+
∫
14)
∫
+
2
0
22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x
15)
∫

−+
−
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
16)
∫
+
2
0
2
)sin2(
2sin
π
dx
x
x

17)
∫
3
4
2sin
)ln(
π
π
dx

x
tgx
18)
∫
−
4
0
8
)1(
π
dxxtg
19)
∫
+
−
2
4
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx
20)
∫
+
+
2
0

cos31
sin2sin
π
dx
x
xx

21)
∫
+
2
0
cos1
cos2sin
π
dx
x
xx
22)
∫
+
2
0
sin
cos)cos(
π
xdxxe
x
23)
∫

−+
2
1
11
dx
x
x
24)
∫
+
e
dx
x
xx
1
lnln31

25)
∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x

2) DẠNG 2: Tính I = bằng cách đặt x =
b
a
f(x)dx
∫
(t)
ϕ


Công thức đổi biến số dạng 2:
[]
∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt dttdxtx )()(
'
ϕϕ

=⇒=
Bước 2: Đổi cận :
α
β
=
=
⇒
=
=
t
t
ax
bx

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
(tiếp tục tính tích phân mới)
[]
∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(

Tính các tích phân sau:

1)
1
2
0
1xdx−
∫
2)
1
2
0
1
dx
1x
+
∫
3)
1
2
0
1
dx
4x
−
∫
4)
1
2
0
1
dx

xx1
−+
∫

5)
1
42
0
x
dx
xx1
++
∫
6)
2
0
1
1cos sin
dx
x
x
π
++
∫
7)
2
2
2
2
0

x
dx
1x−
∫
8)
2
22
1
x4xdx−
∫


86
9)
2
3
2
2
1
dx
xx 1
−
∫
10)
3
2
2
1
93x
dx

x
+
∫
11)
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫
12)
2
2
2
3
1
1
dx
xx−
∫

13)
2
0
cos

7cos2
x
dx
x
π
+
∫
14)
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
15)
2
0
cos
1cos
x
dx
x
π
+

∫
16)
∫
+
+
−
0
1
2
22
x
x
dx

17)
∫
++
1
0
311 x
dx
18)
∫
−
−
2
1
5
1
dx

x
xx


II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
Tính các tích phân sau:
1)
8
2
3
1
1
dx
xx
+
∫
2)
7
3
32
0
1
x
dx
x+
∫
3)
3
52
0

1
x
xdx+
∫
4)
ln2
x
0
1
dx
e2
+
∫

5)
7
3
3
0
1
31
x
dx
x
+
+
∫
6)
2
23

0
1
x
xd+
∫
x
7)
∫
+
32
5
2
4xx
dx


III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần:


[]
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(

Hay:
[]
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt
)(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu
=
=
⇒
=
=

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :

[]
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Bước 3: Tính
[
và
]
b
a
vu.
∫
b
a
vdu

Tính các tích phân sau:
1)
2
5
1
lnx
dx
x

∫
2)
2
2
0
xcos xdx
π
∫
3)
1
x
0
esinxdx
∫
4)
2
0
sin xdx
π
∫
5) 6)
e
2
1
xln xdx
∫
3
2
0
xsinx

dx
cos x
π
+
∫


87
7) 8)
2
0
xsinxcos xdx
π
∫
4
2
0
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
9)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+
∫

10) 11) 12)
1
22x
0
(x 1) e dx+
∫
e
2
1
(xlnx) dx
∫
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+
∫

13)
2
1
ln
(1)
e
e
x
dx
x +
∫

14)
1
2
0
x
tg xdx
∫
15)
∫
−
1
0
2
)2( dxex
x
16) 17)
∫
+
1
0
2
)1ln( dxxx
∫
e
dx
x
x
1
ln
18)

∫
+
2
0
3
sin)cos(
π
xdxxx
19) 20)
∫
++
2
0
)1ln()72( dxxx
∫
−
3
2
2
)ln( dxxx

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
a
a
f(x)dx 0
−
=
∫

2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
aa
a0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=
∫∫
Bài 2: 1) CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì:
a)
22
00
f(sinx)dx f(cosx)dx
ππ
=
∫∫

b)
00
xf(sinx)dx f(sinx)dx
2
ππ
π
=
∫∫

ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau:

88
1)
n

2
+
nn
0
cos x
dx với n Z
cos x sin x
π
∈
+
∫
2)
4
2
44
0
cos x
dx
cos x sin x
π
+
∫
3)
6
2
66
0
sin x
dx
sin x cos x

π
+
∫


4) 5)
5
0
xsin xdx
π
∫
2
2
2
4sin
xcosx
dx
x
π
π
−
+
−
∫
6)
1
4
2
1
sin

1
x
x
dx
x
−
+
+
∫

7)
2
0
xsinx
dx
4cosx
π
−
∫
8)
43
0
cos sin
x
xxd
π
∫
x

Bài 3:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì
+
0
()
( ) với R và a > 0
1
x
fx
dx f x dx
a
αα
α
α
−
=∈
+
∫∫
;
a1
≠

ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau:
2)
1
2
1
1
12
x
x

dx
−
−
+
∫
3)
2
sin
31
x
x
dx
π
π
−
+
∫
1)
1
4
1
21
x
x
dx
−
+
∫

IV .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:

Công thức:


89
1
C
y
2
C
y
2
C
x
1
C
x





]
dxxgxfS )()(

[
∫
−=
b
a
[]
∫
−=
b
a
dyygyfS )()(



Tính diện tích của các hình phẳng sau:
1) (H
1
):
2
2
x
y4
4
x
y
42
⎧
=−
⎪
⎪

⎨
⎪
=
⎪
⎩
2) (H
2
) :
2
yx4x3
yx3
⎧
=
−+
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
3) (H
3
):
3x 1
y
x1
y0
x0
−
−
⎧

=
⎪
−
⎪
=
⎨
⎪
=
⎪
⎩

4) (H
4
): 5) (H
2
2
yx
xy
⎧
=
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
5
):
2
yx
y2x

⎧=
⎪
⎨
=
−
⎪
⎩
6) (H
6
):
2
yx50
xy30
⎧
+
−=
⎨
+
−=
⎩

7) (H
7
):
lnx
y
2x
y0
xe
x1

⎧
=
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
=
⎪
=
⎪
⎩
8) (H
8
) :
2
2
yx 2x
yx4
⎧
=−
⎪
⎨
x
=
−+
⎪
⎩
9) (H

9
):
2
33
yx x
2
yx
⎧
2
=
+−
⎪
⎨
⎪
=
⎩

10) (H
10
): 11)
2
y2yx0
xy0
⎧
−+=
⎨
+=
⎩
⎪
⎩

⎪
⎨
⎧
−=
=
)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC
12)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=Δ
=
=
1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC
x

V.
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY.

Công thức:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=Δ
=Δ
=
=
bx
ax
xgyC
xfyC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=Δ
=Δ
=
=
by
ay
ygxC
yfxC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
x
y
)(H
a
b
)(:)(

1
yfxC =
)(:)(
2
ygxC =
a
y
=
by =
O
y
x
x
)(H
a
b
)(:)(
1
xfyC
a
=
=
)(:)(
2
xgyC
bx =
O
=

b
a
x
y
0
=
x
O
)(:)( yfxC
=
by =
a
y
=
a
b
0
=y
)(:)( xfyC
=
b
a
x
=
bx =
x
y
O

[]
dxxfV
b
a
2
)(
∫
=
π
[]
dyyfV
b
a
2
)(
∫
=
π



Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x

2
+ x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
y x;y 2 x;y 0
=
=− =

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : và y = 4
2
y(x2)=−
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox
b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường :
22
4;yxyx2
=
−=+.
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
2
2
1
;
12
x
yy
x

==
+

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox





Hết

90