Hướng dẫn giải đề tự ôn số 1 môn toán

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán - thầy Trần Phương
Hướng dẫn giải đề thi thử đại học số 01

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -


ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 01
MÔN: TOÁN
(HƯỚNG DẪN GIẢI)

PHẦN I (Chung cho tất cả các thí sinh)
Câu I. Cho hàm số:
 
 
3 2 2
21
1 4 3
32
y x m x m m x      
.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -3.
2. Với giá trị nào của m hàm số có cực đại, cực tiểu? Gọi x
1
, x
2
là hoành độ hai điểm cực đại, cực tiểu của
hàm số, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 
1 2 1 2

.2x x x x
.
Hướng dẫn giải: Ta có
 
22
2 2 1 4 3y x m x m m

     
.
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
hay
 
 
2
22
1 2 4 3 0 6 5 0 5 1m m m m m m

               

Theo định lí Vi-ét, ta có
 
12
1x x m   
,
 
2
12

1
. 4 3
2
x x m m  

Suy ra
 
 
22
11
4 3 2 1 8 7
22
m m m m m      

Ta nhận thấy, với
 
5; 1m  
thì
 
2
2
9 8 7 4 9 0m m m       

Do đó A lớn nhất bằng
9
2
khi m = -4.

Câu II.
1. Giải phương trình

 
44
2
1 cot2 cot
2 sin cos 3
cos
xx
xx
x

  

Hướng dẫn giải: Điều kiện: sin2x  0.
Phương trình


2 4 2
2
21
2 1 sin 2 3 sin 2 sin 2 2 0
2
sin
x x x
x
       

 
2
2
2

sin 2 2
sin 2 1 cos2 0
44
sin 2 1
x
k
x x x k
x



        





2. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình
 
 
2
4 4 5 2 2x x m x x     
nghiệm đúng với
mọi giá trị x thuộc đoạn
2; 2 3




Hướng dẫn giải: Đặt

2
45t x x  
. Từ
 
2; 2 3 1; 2xt

   

. Bất phương trình đã cho tương
đương với:
   
2
2
5
5 2 0
2
t
t m t m g t
t

      

(do
20t 
)
Bất phương trình nghiệm đúng
 
 
2; 2 3 max , 1; 2x m g t t


     

.
Xét hàm g(t) có g(t) đồng biến
 
 
 
 
1
1; 2 max 2 , 1; 2
4
t m g t m t

      

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán - thầy Trần Phương
Hướng dẫn giải đề thi thử đại học số 01

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


Câu III. 1. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
2AD a
, CD = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và
 
3 2 0SA a a
. Gọi K là trung điểm của cạnh AC. Chứng
minh mặt phẳng (SBK) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và tính

thể tích khối chóp SBCK theo a.
Hướng dẫn giải: 1. Gọi H là giao của AC và BK thì
BH =
2
3
BK
23
3
a

và CH =
1
3
; CA =
6
3
a

2 2 2 2
2BH CH a BC BK AC     

Từ BK  AC và BK  SA  BK  (SAC)  (SBK)  (SAC)
V
SBCK
=
1
3
SA.S
BCK
=

1
3
2
3
2
32
2
a
aa
(đvtt)
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O
1
A
1
B
1
với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0) và
O
1
(0; 0; 4). Xác định tọa độ điểm M trên AB, điểm N trên OA
1
sao cho đường thẳng MN song song với
mặt phẳng ():
2 5 0x y z   
và độ dài MN =
5
.
Hướng dẫn giải:
Có A
1

(2; 0; 4) 
 
1
2; 0; 4OA 
 phương trình OA
1
:
 
2
0 2 ; 0; 4
4
xn
y N n n
zn









Có
 
2; 4; 0AB 
 phương trình AB:
 
22
4 2 2 ; 4 ; 0

0
xm
y m N m m
z



  





Vậy
 
2 2 2; 4 ; 4MN n m m m   

Từ
 
 
 
 
1
/ / . 0 2 2 2 2 4 4 0 1; 0; 2
2
MN MN n n m m n n N


          
.

Khi đó:
 


 
2
1
22
2
8
4
1
; ; 0
55
5
2 1 16 4 5
0
2; 0; 0
M
m
MN m m
m
MA





      









Câu IV. 1. Tính tổng:
2 2 2 2
0 1 2

1 2 3 1
n
n n n n
C C C C
S
n
       
    
   
   
    
   
, ở đó n là số nguyên dương và
k
n
C
là số
tổ hợp chập k của n phần tử.
Hướng dẫn giải: Ta có:

   
 
   
1
1
1!
!
11
, 0,1, ,
1 1 1
! ! 1 1 ! !
kk
nn
CC
n
n
kn
k k n
k n k n k n k



      
  
   

Vậy:
 
       
2 2 2 2

1 2 3 1
1 1 1 1
2
1

1
n
n n n n
S C C C C
n

   

    



Từ
     
1 1 2 2
1 . 1 1
n n n
x x x
  
   
, cân bằng hệ số
1n
x

ở hai vế ta có:

         
2 2 2 2 2
0 1 2 3 1 1
1 1 1 1 1 2 2

nn
n n n n n n
C C C C C C

     
     

Vậy:
 
1
22
2
1
1
n
n
C
S
n






Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán - thầy Trần Phương
Hướng dẫn giải đề thi thử đại học số 01

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn (C):
22
6 2 6 0x y x y    
và các điểm B(2;
-3) và C(4; 1). Xác định tọa độ điểm A thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác ABC cân tại điểm A và có
diện tích nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải: Để ABC làm tam giác cân tại A thì A phải nằm trên đường trung trực () qua trung
điểm BC là M(3; 1) và nhận
 
2; 4BC
làm véc tơ pháp tuyến nên () có phương trình:
 
 
2 3 4 1 0 2 1 0x y x y       

Vì A  (C) nên tọa độ A là nghiệm của hệ:
22
6 2 6 0
2 1 0
x y x y
xy


    


  



Giải hệ tìm ra hai điểm A
1
(-1; 1) và A
2
(
21
5

;
13
5
)
Do
12
18
20
5
A M A M  
nên
12
A BC A BC
SS
. Vậy điểm cần tìm là A(-1; 1)

PHẦN 2 (thí sinh làm một trong hai câu)
Câu Va. 1. Tính tích phân:
 
ln5
ln2
10 1 1
xx
dx
I
ee




.
Hướng dẫn giải: Đặt
2
1 1 2
x x x
t e t e tdt e dx      
. Khi x = ln2 thì t = 1; khi x = ln5 thì t = 2.
Khi đó:
 
 


2
ln5 2 2 2
2

2
ln2 1 1 1
1
2 3 5
1 1 1 1 1
2 ln ln
3 3 3 3 3 3 2
9
9
10 1
xx
dx tdt dt t
I dt
t t t
t
tt
ee

        
  



   

2. Giải hệ phương trình:
 
 
 
2

2
1
2
22
3
2 2 4
2
2 2 4 1 0 5
x
y
x
xy
x y x x y x


  



    


Hướng dẫn giải: Điều kiện: x  0
 
     
2
2
12
5 2 2 2 1 0 2 1
x

x xy x xy x xy y
x

   
          
   

Thay vào (4) nhận được:
2
22
1 1 2
2
22
2 1 3 1 2 1
11
22
22
xx
xx
x x x
xx
xx

  
      

2
22
1 1 2
22

2 2 2 2
1 1 2 1 2 1
22
xx
xx
x x x x
ff
x x x x


   

     
   
   

Ở đó
 
2
2
t
t
ft
là hàm đồng biến với mọi t.
Từ đó suy ra
 
2
22
1 2 1 3
2

4
xx
xy
xx

  
    



Vậy nghiệm của hệ phương trình là
3
2
4
xy

  
.
Câu Vb. 1. Tính tích phân:
4
3
0
sin
cos
xx
I dx
x




.
Hướng dẫn giải: Đặt u = x và
3
sin
cos
x
dv dx du dx
x
  
và
2
1
2cos
v
x

.
Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán - thầy Trần Phương
Hướng dẫn giải đề thi thử đại học số 01

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -


Từ đó:
4
4
4
22

0
0
0
1 1 1
tan
2 4 2 4 2
2cos cos
x dx
Ix
xx




     


2. Giải phương trình
   
2
2 7 7 2
log log 3 2log 3 log
2
x
x x x x x

    


(6)

Hướng dẫn giải: Điều kiện: x > 0

Xét
2
2
ln
ln2
log 2
22
x
xx
xx
x
    
(7)
Đặt:
   
ln 1 lnxx
f x f x
xx


  
;
 
0f x x e

  
.
Vậy phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm. Dễ thấy x = 2 và x = 4 là nghiệm của (7).

Xét
 
27
log 2log 3xx
(8)
Đặt:
2
log 2
t
x t x  

 
 






2
4 2 1
8 7 2 3 6 9 1
7 7 7
t t t
tt
      
có nghiệm duy nhất t = 2.
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 và x = 4.

Nguồn: Hocmai.vn