Chủ đề 7 các CÔNG THỨC cơ bản về TÍCH PHÂN

CHỦ ĐỀ 7: CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm hình thang cong
Cho hàm số y  f ( x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn  a; b  . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm
số y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b được gọi là hình thang cong.
2. Tích phân là gì?
Định nghĩa: Cho f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn  a; b  . Giả sử F( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên
đoạn  a; b  . Hiệu số F  b   F  a  được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn

 a; b  ) của hàm số f ( x) , kí hiệu là

b

f  x  dx .
�
a

Ta cịn dùng kí hiệu
Vậy

F x

f  x  dx  F  x 
�
b

b

a

a

b
a

để chỉ hiệu số F  b   F  a 

 F  b  F  a 

b

Ta gọi

�là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f  x  dx là biểu thức dưới dấu tích phân và

f ( x ) là

a

hàm số dưới dấu tích phân.
 Chú ý: Trong trường hợp a  b hoặc a  b , ta quy ước

a

b

a

a

a

b

f  x  dx 0 ; �
f  x  dx   �
f  x  dx
�
b

 Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi

f  x  dx
�

b

hay

a

f  t  dt . Tích phân
�
a

đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.
Tức là:

b

b

b

a

a

a

f  x  dx  �
f  t  dt  �
f  u  du
�

 Ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số f ( x) liên tục và không âm trên đoạn  a; b  , thì tích phân

b

f  x  dx
�
a

thang cong giới hạn bởi đồ thị của f ( x) , trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b .
b

f  x  dx
Vậy S  �
a

b

b

a

a

kf  x  dx  k �
f  x  dx (với k là hằng số)
- Tính chất 1: �

là diện tích S của hình


b

b

b

a

a

a

�
f  x  dx ��
g  x  dx

- Tính chất 2: �
�f  x  �g  x  �
�dx  �
- Tính chất 3:

b

c

b

a

a

c

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  a  c  b 
�

Chú ý: Mở rộng của tính chất 3.
b

c1

c2

b

a

a

c1

cn

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  ...�
f  x  dx  a  c1  c2  ...  cn  b 
�
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ví dụ 1: Tích các tích phân sau:
1

1

2

x 2  3x  1
I

dx
B.
2
�
x


x
1

x 2  x dx
A. I  �
2

0



xe
C. I  �
0

3 x 1


2

 dx

sin x
D. I 
dx
�
1  cos x
0

Lời giải
1

1

1
1
2  x2
a) I   �2  x 2 d 2  x 2   �
20
20
1

3



 2 x 

2 3

1


0





1
2

 d  2 x 
2

1 2
  . 2  x2
2 3





3 1
2
0

2 2 1
3





2 2
2
2
2 d x2  x
2

x 2  3x  1
x x
2x  1
5
b) I  � 2
dx  �2
dx  �2
dx  �
dx  � 2
dx  1  ln x 2  x  1  ln
1
x x
x x
x x
x x
3
1
1
1
1
1
2

1



xe
c) I  �
0

3 x 1



1

�x 2 e3 x 1 � 1 e 2 1
dx  � 
�  
3 �0 2 3 3e
�2


2


2

d  cos x 
sin x
d) I 
dx


  ln 1  cos x
�
�
1


cos
x
1

cos
x
0
0


2
0

 ln 2

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
ln 2

2

dx
A. I  �
x  x3
1

x

x

0

3

3

C. I 

e e
�

B. I 



2

 1 dx





3 x x  x 2  16 dx
D. I  �

x x 2  1dx
�

0

0

Lời giải





2
2
2
x  3  x dx
dx
x3  x
I



dx
a)
�
�
�
3
x

x

3
x


x

3
x

3

x
1
1
1



2



3

1
1
1 12
2
�
2
x

3

d
x

3

x dx  �

 
 �
�
31
31
9
�





 x  3 
3

2



2 3� 2
x � 5 5 2 2 7
9
�1 9




ln 2

b) I 

e e
�
x

0

x



ln 2

 1 dx 

3

1
x x  1dx 
c) I  �
2
0



1 d ex 1 

x





ex 1

3 ln 2



3

1
3

0
1
2

1 2
x 1 d x 1  .
�
2 3
0

2



 
2

0

3

3

e
�

2



 

2





2

3

x

2



1

3

3


0

3

�
3x x  x  16 dx  �
3 x dx  3�
x x  16dx  �x3 
d) I  �
�
0
0
0
2

3

Ví dụ 3: Biết rằng

2



2

7
3
3

�
x  16 �  88.
�0
2



3

x

dx  a ln 2  b ln 3 , trong đó a, b �� .
�
x 1
2

2

Tính giá trị của biểu thức S  4ab  a  b
A. S  5

C. S 

B. S  6

5
2

D. S 

7
2

Lời giải
� 3
2
a
�
d
x

1
3
x
1

1
1 8 3
1
� 2
2
 ln x  1  ln  ln 2  ln 3 � �
Ta có �2 dx  � 2
2
1
x 1
2 2 x 1
2
2 3 2
2
2
�
b
� 2
3

3





3 3 1
Suy ra S  4.    5 . Chọn A.
4 2 2
Ví dụ 4: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên đoạn  a; b  và 3F  a   2  3F  b 

b

f  x  dx
Tính tích phân I  �
a

A. I  2

C. I 

B. I  2

2
3

D. I 

2
3

Lời giải
2
F  b  F  a  �
Ta có: 3F  a   2  3F  b  � 3 �
�
� 2 � F  b   F  a   3
b

2
f  x  dx  F  b   F  a    . Chọn D.

Do đó I  �
3
a
Ví dụ 5: Cho các tích phân

5

3

3

�f  x  dx  2; �f  t  dt  4 . Tính

B. I  6

A. I  2

Ta có:

2

2

2

5

3

3

3

�f  x  dx  �f  y  dy 2; �f  t  dt 
2

5

5

3

2

3

5

f  y  dy
�
2

C. I  2
Lời giải
5

D. I  6

�f  y  dy  4 (tích phân khơng phụ thuộc vào biến)

3

f  y  dy  �
f  y  dy  �
f  y  dy � I  4  2  2 . Chọn A.
Lại có: �


Ví dụ 6: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên đoạn  1; 2 ; f  1  1 và f  2   3
2

�
2x  f �
Tính tích phân I  �
 x �
�
�dx
1

A. I  5

C. I 

B. I  4

11
2

D. I  7

Lời giải
2

2

1

1

2 xdx  �
f�
Ta có: I  �
 x  dx  x 2 1  f  2   f  1  3  4  7 . Chọn D.

Ví dụ 7: Cho

2


2


2

0

0

�
f  x  dx  5 . Tính I  �

�
�f  x   2sin x �
�dx
B. I  5 

A. I  7


2

D. I  5  

C. I  3
Lời giải


2


2


2


2

0

0

0

0


2

Ta có I  �
�
f  x  dx  2 �
sin xdx  �
f  x  dx  2 cos x
�f  x   2sin x �
�dx  �

 7 . Chọn A.
0

2

2

2

1

1

1

�
g  x  dx  1 . Tính I  �
x  2 f  x   3g  x  �
�f  x  dx  2 và �
�
�dx

Ví dụ 8: Cho tích phân
A. I 

5
2

B. I 

7
2

C. I 

17
2

D. I 

11
2

Lời giải

2

2

2

2

1

1

1

1

�
x  2 f  x   3g  x  �
xdx  2 �
f  x  dx  3 �
g  x  dx
Ta có I  �
�
�dx  �
x2

2

2

1
17
 2.2  3.  1  2   4  3 
. Chọn C.
2
2
1
1

Ví dụ 9: Biết

3x  1

a

c

dx  3ln 
�
x  6x  9
b 6
2

trong đó a, b là hai số nguyên dương và

0

a
là phân số tối giản.
b

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a  b  2c

B. a  b  4c

C. a  b  5c
Lời giải

D. a  b  c
1

1�
3x  1
3
10 �
10 �
4 5
�
�
�
dx  �

d  x  3  �
3ln x  3 
 3ln 
Ta có: �2
�
2
�x  3  x  3 �

x  6x  9
x3�
3 6
�
0
0�
�
0
1

Do đó a  4; b  3; c  5 � a  b  5c . Chọn C.
1

2

�x  1 �
Ví dụ 2: Biết �
�
�dx  a  b ln 2  c ln 3  a, b, c �� . Đẳng thức nào sau đây đúng?
x

2
�
�
0


A. 2  a  b  c   7

B. 2  a  b  c   7

C. 2  a  b  c   5
Lời giải

D. 2  a  b  c   5

1
2
2
1
1 �
6
9 � �
9 �
�x  1 �
� 3 �
1
1

dx  �x  6 ln x  2 
�
�
Ta có �
�
�dx  �
�
�dx  �
�
2
x2�

x2�
x

2
x  2 �0
x

2
�


0�
0�
0 �
�
� �
1

� 5
2
�
2 a  b  c  5
a
5
�
�
�x  1 �
��
��
. Chọn D.

�
�dx   6 ln 2  6 ln 3 � � 2
x2�
2
2
a

b

c

29


0�
�
�
b  6, c  6
�
1

2

f  x  dx  4
 1  2, �
Ví dụ 11: Cho hàm số f  x   a.sin   x   b biết rằng f �
0

Tính giá trị biểu thức P  a.  b
A. 2

B. – 1

C.1
Lời giải

D. 0

Ta có f  x   a.sin   x   b � f �
 x   a. .cos   x  � f �
 1  a.  2 � a  

2


2

�
cos   x  �
�
f  x  dx  4 � �
a.sin   x   b �
b.x 
Mà �
�  2b  4 � b  2 . Chọn D.
�
�dx  �
a
.


0
0
�
�0
2

2

Ví dụ 12: Cho hàm số f  x  luôn dương và có đạo hàm trên đoạn  1; 2  . Biết rằng

2

f�
 x  dx  3
�

và

1

 
�f  x  dx  ln 2 . Tính f  2 
2

f �x

1

A. f  2   3

B. f  2   6

C. f  2   4
Lời giải

D. f  2   8

2

Ta có

f�
 x  dx  f  2   f  1  3  1
�
1

d�
�f  x  �
� ln �f x �2  ln �f 2 � ln �f 1 � ln f  2   ln 2
dx

�
�
�   �1
� � � �
f  x
f  x
f  1
1
1

2

Lại có

Do đó

f�
 x

f  2
f  1

2

 eln 2  2 � f  2   2 f  1

(2)

Từ (1) và (2) suy ra f  2   6; f  1  3 . Chọn B.
2

Ví dụ 13: (Đề Minh họa Bộ Giáo dục và Đào tạo 2017) Biết

�
 x  1
1

dx
 a  b  c với a, b,
x  x x 1

c là các số nguyên dương. Tính P  a  b  c
A. P  24

B. P  12

C. P  18
Lời giải

D. P  46


2

Ta có I  �
x  x  1
1
Lại có



x 1  x





dx
x 1  x





x 1  x  1�

1
 x 1  x
x 1  x

2
2
�2 dx 2 d  x  1 �
x 1  x
1 �
�1
�I �
dx  �

dx

2
�
�
�
�
�
�
x
x


1
2
x
x
x

1
�
�


1
1
1 2 x 1 �
�1



 2 x  2 x 1



2
1

 4 2  2 3  2  32  12  2 � a  32; b  12; c  2

Vậy a  b  c  46 . Chọn D.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

 x  liên tục trên �, thỏa mãn f  0  
Câu 1: Biết hàm số f  x  có đạo hàm f �


f�
 x  dx  2
�


và tích phân
2

. Tính f   

0

A. f    

3
2

B. f     2

C. f    

5
2

D. f     3
2

 x  liên tục trên � và f  0    ,
Câu 2: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f �

�f � x  dx  6

.Tính

0

f  2 
A. f  2   6

B. f  2   7

C. f  2   5

D. f  2   0
x

f�
 x  dt
Câu 3: Biết f  x  có đạo hàm liên tục trên � và có f  0   1 . Tính I  �
0

A. I  f  x   1

B. I  f  x  1

C. I  f  x 

D. I  f  x   1

Câu 4: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  . Khi đó hiệu số F  1  F  2  bằng
2

2

A.

f  x  dx
�

 f  x  dx
B. �

1

1

1

 F  x  dx
C. �
2

2

 F  x  dx
D. �
1

Câu 5: (Đề thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2017) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên đoạn  1; 2  ,
2

f  1  1 và f  2   2 . Tính I  �
f�
 x  dx
1

A. I  1

B. I  1

C. I  3

D. I 

7
2

x

f�
 t  dt
Câu 6: Cho f  x  là hàm số có đạo hàm liên tục trên � và có f  0   1 . Tính I  �
0

A. I  f  x   1

B. I  f  x  1

C. I  f  x 

D. I  f  x   1

Câu 7: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên đoạn  1;3 thỏa mãn f  1  1 và f  3  m . Tìm giá trị của
3

tham số m để tích phân

f�
 x  dx  5
�
1

A. m  6

B. m  5

C. m  4

D. m  4


Câu 8: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên đoạn  2; 4 thỏa mãn f  2   4 và f  4   2 . Tính tích
4

phân I 

�f � x  dx

2

A. I  6

B. I  6

C. I  2

D. I  2

Câu 9: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên đoạn  3;5 thỏa mãn f  3  1 và f  5   9 . Tính tích phân
5

I�
4f�
 x  dx
3

A. I  40

B. I  32

C. I  36

D. I  44

Câu 10: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên đoạn  1; 4  thỏa mãn f  1  1 và

4

f�
 x  dx  2 . Tính giá trị
�
1

của f  4  .
A. f  4   2

B. f  4   3

C. f  4  

1
4

Câu 11: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên đoạn  1;3 thỏa mãn f  3  5 và

D. f  4   4
3

f�
 x  dx  6 . Tính giá trị
�
1

của f  1 .
A. f  1  1

B. f  1 

1
11

C. f  1  11

D. f  1  10

Câu 12: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên đoạn  a; b  và 2 F  a   1  2 F  b  . Tính
b

f  x  dx
tích phân I  �
a

A. I  1

B. I  1

C. I  

1
2

D. I 

Câu 13: Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên đoạn
2

�f  x  dx  1

1
2

 1; 2 .

và F  1  1 . Tính F  2 

1

A. F  2   2

B. F  2   0

C. F  2   3

D. F  2  

1
3

Biết rằng


2

�f  x  dx  2

Câu 14: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Cho tích phân

và

1

2

2

1

1

�
g  x  dx  1 . Tính I  �
x  2 f  x   3g  x  �
�
�
�dx .

A. I 

5
2

7
2

B. I 

C. I 

17
2

D. I 

11
2


2

f  x  dx  5 . Tính tích phân
�

Câu 15: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 104) Cho tích phân

0


2

.
�
I�
�f  x   2sin x �

�dx
0

B. I  5 

A. I  7
Câu 16: Cho


2

D. I  5  

C. I  3

3

3

3

1

1

1

�
f  x  dx  2 và �
g  x  dx  1 . Tìm I  �

1008 f  x   2 g  x  �
�
�
�dx

A. I  2017

B. I  2016

C. I  2019

D. I  2018

Câu 17: Cho f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên �. Chọn mệnh đề sai?
A.

b

b

a

a

f  x  dx  �
f  y  dy
�
f  x  dx  0
�

b

a

a

a

b

b

b

a

a

a

�
f  x  dx �
g  x  dx
D. �
�f  x  g  x  �
�dx  �

a

Câu 18: Cho

b

�
f  x  dx  �
g  x  dx
B. �
�f  x   g  x  �
�dx  �

a

C.

b


4


4

f  x  cos 2 x  5
.
Tính
tích
phân
f
x
dx


a
I

dx theo a.
 
2
�
�
cos
x
0
0

A. I  a  2

B. I  a  5

C. I  a

Câu 19: Biết f  x  là một hàm số liên tục trên � thỏa mãn

D. I  a  1
6

6

0

2

f  x  dx  4; �
f  t  dt  3 . Hãy tính tích
�

2

phân

�
�
�f  v   3�
�dv
0

A. I  1

B. I  2
4

f  x  dx  10 và
Câu 20: Cho �
2

A. I  5

D. I  3

C. I  4

4

4

2

2

�
g  x  dx  5 . Tính tích phân I  �
3 f  x   5g  x  �
�
�
�dx.

B. I  15

C. I  5

D. I  10


Câu 21: Cho

b

b

a

c

f  x  dx  2 và �
g  x  dx  3 với a  b  c
�
B. I  5

A. I  2
Câu 22: Cho
A. I 

5

5

1

4

B. I 

Câu 23: Cho các tích phân
A. I  5

4

g  u  du 
�

1

10
3

a

D. I  1
4

1
�
. Tính I  �
�f  x   g  x  �
�dx
3
1

C. I 

22
3

D. I  

2

4

4

2

2

2

20
3

f  y  dy .
�f  x  dx  1, �f  t  dt  4 . Tính I  �

B. I  3

Câu 24: Biết

f  x  dx
. Tính tích phân I  �

C. I  1

f  t  dt  2 và
�f  x  dx  5; �

8
3

c

C. I  3


2


2

0

0

D. I  5

�
f  x  dx  5 . Tính tích phân I  �
�
�f  x   2sin x �
�dx
B. I  5 

A. I  5  


2

2

2

4

4

C. I  7

D. I  3

C. I  e 2  2

D. I  e3

f  x  dx  2 . Tính I  �
e 2 f  x  dx
Câu 25: Cho �
A. I  2e 2

B. I  e3  2
4

Câu 26: Cho

�f  x  dx  10 và

1

A. I  6

4

4

1

1

�
g  x  dx  3 . Tính I  �
3  f  x   2g  x  �
�
�
�dx

B. I  7
2

f  x  dx  1 và
Câu 27: Cho �
0

C. I  10

D. I  1

2

�
e  f  x �
�
�
�dx  e

x

a

 b với a, b là những số nguyên. Khẳng định nào sau

0

đây đúng?
A. a  b

B. a  b

C. a  b

Câu 28: Cho hàm số f  x  xác định liên tục trên  0; 4 thỏa

D. ab  1
3

4

f  x  dx  5
�

và

0

f  x  dx  3 . Tính tích

�
0

4

f  x  dx.
phân I  �
3

A. I  8
Câu 29: Cho hàm số

B. I  1

C. I  2

f  x  xác định liên tục trên �có

D. I  2
5

f  x  dx  3
�
2

7

I �
f  x  dx
2

7

f  x  dx  9 . Tính
và �
5


A. I  3

B. I  6

Câu 30: Cho f  x  liên tục trên � và
A. I  4023

3

3

4

1

4

1

f  x  dx  2016 , �
f  x  dx  2017 . Tính I  �
f  x  dx

�

B. I  1
1

Câu 31: Biết

x
�

2

0



 2 x dx  

A. 5

D. I  6

C. I  12

D. I  0

C. I  1

m
m

với m, n �� và
là phân số tối giản. Tính m  n.
n
n

B. 1

C. – 1

D. 6

k

Câu 32: Để

 k  4 x  dx  3k  1  0 thì giá trị nguyên của k là bao nhiêu?
�
1

A. k  1

B. k  2

C. k  4

D. k  3
2

Câu 33: Có bao nhiêu số thực a thỏa mãn đẳng thức tích phân

x dx  2
�
3

a

A. Khơng có

B. Ba

C. Một

Câu 34: Có hai giá trị của số thực a là a1 , a2  a1  a2  thỏa mãn

D. Hai
a

 2 x  3 dx  0 .
�

Hãy tính

1

T  2a1  2a2  log 4  a1a2 
A. T 

13
2

B. T  14

C. T  20

D. T  56

C. I   b  a 

D. I  2  b  a 

b

2 xdx
Câu 35: Cho b  a  2 . Tính I  �
a

A. I    b  a 

B. I  2  b  a 
b





3x 2  2ax  1 dx với a, b là tham số.
Câu 36: Tính tích phân I  �
0

A. I  3b 2  2ab

B. I  b3  b 2 a  b

C. I  b3  b

2

Câu 37: Giải phương trình

 t  log x  dt  2 log
�
2

0

A. x  1

B. x � 1; 4

 3t
�
0

2
với ẩn là x.
x
C. x � 0; �

x

Câu 38: Cho bất phương trình

2

2

D. I  a  2

D. x � 1; 2



 8t  4 dt �x,  x  0  . Tính tổng các nghiệm nguyên của bất

phương trình.
A. 4

B. 5

C. 6

D. 7


LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: f  x 
Câu 2: f  x 



 2 � f     f  0   2 � f    

0
2
0

5
. Chọn C.
2

 6 � f  2   f  0   6 � f  2   5 . Chọn C.

Câu 3: I  f  x  0  f  x   f  0   f  x   1 . Chọn D.
x

1

2

2

1

f  x  dx � F  1  F  2   �
f  x  dx   �
f  x  dx . Chọn B.
Câu 4: F  x   �
Câu 5: I  f  x  1  f  2   f  1  1 . Chọn A.
2

Câu 6: I  f  t  0  f  x   f  0   f  x   1 . Chọn D.
x

Câu 7: f  x  1  5 � f  3  f  1  5 � m  1  5 � m  6 . Chọn A.
3

Câu 8: I  f  x 

4
2

Câu 9: I  4 f  x 

 f  4   f  2   6 . Chọn A.

5
3

 4�
�f  5   f  3 �
� 32 . Chọn B.

Câu 10: f  x  1  2 � f  4   f  1  2 � f  4   3 . Chọn B.
4

Câu 11: f  x  1  6 � f  3  f  1  6 � f  1  1 . Chọn A.
3

Câu 12: Ta có I  F  b   F  a   

1
. Chọn C.
2

Câu 13: Ta có F  2   F  1  1 � F  2   0 . Chọn B.
x2
Câu 14: I 
2

2

 2.2  3.  1 

1

17
. Chọn C.
2



Câu 15: Ta có I  5  2 cos x 2  7 . Chọn A.
0
Câu 16: Ta có I  1008.2  2.1  2018 . Chọn D.
Câu 17: Theo tính chất cơ bản của tích phân thì A, B, C đúng và D sai. Chọn D.

4


4

5
Câu 18: I  �
f  x  dx  � 2 dx  a  5 tan x
cos x
0
0


4

 a  5 . Chọn B.
0

Câu 19: Tích phân không phụ thuộc vào biến
6

2

2

0

6

2

0

6

f  x  dx  3 � I  �
f  x  dx  3x 0  �
f  x  dx  �
f  x  dx  6  4  3  6  1 . Chọn A.
Do đó �
2

Câu 20: I  3.10  5.5  5 . Chọn A.
Câu 21: Tích phân khơng phụ thuộc vào biến


Do đó

b

b

c

c

a

b

f  x  dx  3 � I  �
f  x  dx  �
f  x  dx  2  3  1 . Chọn D.
�

�I 

4

5

4

1

1

1

5

4

4

1

1

f  x  dx  2; �
g  x  dx 
�
3

Câu 22: Tích phân khơng phụ thuộc vào biến. Do đó
4

5

1

1

g  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx   5  2  
�f  x  dx  �
3
3

22
. Chọn C.
3

Câu 23: Tích phân khơng phụ thuộc vào biến.
Do đó

4

4

2

4

2

2

2

2

f  x  dx 
�f  x  dx  4 � I  �

�f  x  dx  �f  x  dx  1  4  5 . Chọn A.


2


2


2

0

0

0



2

Câu 24: I  �
�
f  x  dx  �
2sin xdx  5   2 cos x 
�f  x   2sin x �
�dx  �
0

 5  2  7 . Chọn C.
2

2

4

4

e 2 f  x  dx  e 2 �
f  x  dx  e 2 .2  2e 2 . Chọn A.
Câu 25: I  �
4

4

4

4

1

1

1

1

�
3  f  x  2g  x �
3dx  �
f  x  dx  2 �
g  x  dx .
Câu 26: I  �
�
�dx  �
 3 x 1  10  2.  3  15  16  1 .Chọn D.
4

2

2

2

0

0

0

�
ex  f  x  �
e x dx  �
f  x  dx  e x  1  e 2  2
Câu 27: �
�
�dx  �
0
2

Do đó a  2; b  2 � a  b . Chọn C.
3

4

4

4

0

3

0

3

f  x  dx  �
f  x  dx  �

f  x  dx � I  �
f  x  dx  5  3  2 . Chọn C.
Câu 28: �
7

5

7

2

2

5

4

3

4

3

3

1

1

3

1

4

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  3  9  12 . Chọn C.
Câu 29: I  �
f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  2016  2017  1 . Chọn C.
Câu 30: I  �
1

1

�x3
�
2
x  2 x dx  �  x 2 �   � m  2; n  3 � m  n  5 . Chọn A.
Câu 31: �
3
�3
�0
0





2

k

Câu 32: Ta có

 k  4 x  dx  3k  1  0 �  kx  2 x 
�
2

1

k  1
�
�  k 2  2k  3  0 � �
. Chọn D.
k 3
�

k
1

 3k  1  0 �  k 2  k  2  3k  1  0


2

x4
x dx 
Câu 33: �
4
a

2

 4

3

a

a4
 2 � a4  8 � a  � 2 2 .
4

Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn. Chọn D.
a

Câu 34:

a 1
�
 a 2  3a  2  0 � �
a2
�

 2 x  3 dx   x 2  3x  1

�

a

1

a
a
1
2
Do đó T  2 1  2 2  log 4  a1a2   2  2  log 4 2  6 
b

1 13

. Chọn A.
2 2

2 xdx  x 2  b 2  a 2   b  a   b  a   2  b  a  . Chọn B.
Câu 35: I  �
a
b

a

b







3 x 2  2ax  1 dx  x 3  ax 2  x
Câu 36: I  �
0



b
0

 b3  ab 2  b . Chọn B.

Câu 37: ĐK: x  0
2

2

�t 2
�
2
2
t

log
x
dt

2

log
�
Ta có �

�  t log 2 x �  2log 2
2 
2
x
x
�2
�0
0
� 2  2 log 2 x  2 log 2

2
� 2�
� 2  2log 2 �x. � 2 (Đúng với mọi x  2 )
x
� x�

Do đó nghiệm của phương trình là: x � 0; � . Chọn C.
x

Câu 38:

 3t
�
0

2





 8t  4 dt �x � t 3  4t 2  4t



x
0

�x

� x3  4 x 2  4 x �x � x 3  4 x 2  3x �0 � x  x  1  x  3 �0  *
��
 ����
�
1 x 3 x�
 x
Với x  0 ta có:  * ۣ

 1; 2;3

T

6 . Chọn C.