Tài liệu Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thanh Hóa năm 2011 môn Toán docx

1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2010 – 2011

Thời gian làm bài: 150 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
Điểm của bài thi
Các giám khảo
(Họ và tên, chữ ký)
Số phách
Bằng số
1.

Bằng chữ
2.


Chú ý: 1) Kết quả tính chính xác đến 5 chữ số thập phân (trừ kết quả bài 1)
2) Thí sinh ghi kết quả vào ô trống bên phải, đối với các bài từ bài 6 – 10 có thêm phần
tóm tắt lời giải.
3) Thí sinh không được có thêm ký hiệu nào khác trong bài làm.


Đề bài Kết quả

Bài 1:
(2 điểm)
Tìm gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình:

3(sin cos ) 5sin cos 2xx xx+− =

Bài 2:
(2 điểm)
Tính gần đúng diện tích tam giác ABC có cạnh AB = 6 dm, các
góc A =
0' ''
123 3128
và B =
0'''
25 40 26
.





Bài 3:
(2 điểm).
Giải hệ phương trình
22 2
33 3
log 3 log log
log 12 log log
x
x

yy x
x
yy
⎧
+=+
⎪
⎨
+=+
⎪
⎩






Bài 4:
(2 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M (1; -1) và hai
đường thẳng: d
1
: x – y – 1 = 0 ; d
2
: 2x + y – 5 = 0.
Tính gần đúng toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đi qua điểm
M và tiếp xúc với đường thẳng d
2
. Biết tâm của đường tròn nằm
trên đường thẳng d
1

.





2
Bài 5: (2 điểm).
Tính tổng S tất cả các nghiệm x thuộc đoạn [2; 40] của phương
trình: 2cos
2
x + cot
2
x =
3
2
1sin
sin
x
x
+
.

Bài 6: (2 điểm).
Trong hộp có 100 viên bi được đánh số từ 1 đến 100. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 viên.
Tính xác suất của biến cố: "Tổng 3 số trên 3 viên bi là một số chia hết cho 3".

Lời giải tóm tắt bài 6 Kết quả

3

Bài 7:
(2 điểm).
Tính toạ độ gần đúng 2 điểm A, B nằm trên đồ thị hàm số
1
2
−
=
x
x
y đối xứng với nhau
qua đường thẳng d: y = x – 1.
Lời giải tóm tắt bài 7 Kết quả

4
Bài 8: (2 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,
SA (ABCD)⊥
. Cho
SA = AB = a; Gọi C’ là trung điểm SC, (P) là mặt phẳng đi qua A, C’ và vuông góc với mặt
phẳng (SAC) cắt SB, SD lần lượt tại B’, D’. Tính thể tích khối đa diện ABCDB’C’D’ , biết
rằng: a = 7,12345 cm.
Lời giải tóm tắt bài 8 Kết quả

5
Bài 9: (2 điểm). Cho dãy số (
n
u
)
12

11
4, 2
35
nnn
uu
uuu
+
−
==
⎧
⎨
=+
⎩
(n
≥
2)
a. Viết quy trình bấm phím tính
1n
u
+
.
b. Tính
10 15
à.uvu


Lời giải tóm tắt bài 9 Kết quả

6
Bài 10: (2 điểm).
Cho hàm số f(x) =
2010 2009 2008
( 1) (2 1) (2009 1) 2010 1
x
kx kx kx k++ + + ++ + + +

với k thuộc R. Tính f (1 – k).
Lời giải tóm tắt bài 10 Kết quả

1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
THANH HÓA “GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY”NĂM HỌC 2010 – 2011

Thời gian làm bài: 150 phút
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN
Điểm của bài thi
Các giám khảo
(Họ và tên, chữ ký)
Số phách
Bằng số

1.

Bằng chữ

2.


Chú ý: 1) Kết quả tính chính xác đến 5 chữ số thập phân (trừ kết quả bài 1)
2) Thí sinh ghi kết quả vào ô trống bên phải, đối với các bài từ bài 6 – 10 có thêm phần
tóm tắt lời giải.
3) Thí sinh không được có thêm ký hiệu nào khác trong bài làm.

Đề bài Kết quả Điểm

Bài 1:

Tìm gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương
trình:

3(sin cos ) 5sin cos 2xx xx+− =


00
1
27 26 '33" 360xk≈− +
00
2
51 01'14" 360xk≈− +
00
3
62 33'27" 360xk≈+

00
4
141 01'14" 360xk≈+
Với k
Z
∈


0,5
0,5
0,5
0,5

Bài 2:

Tính gần đúng diện tích tam giác ABC có cạnh AB = 6 dm,
các góc A =
0' ''
123 3128
và B =
0'''
25 40 26
.

S
≈
12,69597 dm
2

2.0
Bài 3:
Giải hệ phương trình
22 2
33 3
log 3 log log
log 12 log log
x
x
yy x
x
yy
⎧
+=+
⎪
⎨

+=+
⎪
⎩

4
3
4
3
log 2
2log 2
x
y
=
⎧
⎪
⇔
⎨
=
⎪
⎩

Hay
2,40942
4,81884
x
y
≈
⎧
⎨
≈

⎩



2.0


Bài 4:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M (1; -1) và
hai đường thẳng: d
1
: x – y – 1 = 0 ; d
2
: 2x + y – 5 = 0.
Tính gần đúng toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đi
qua điểm M và tiếp xúc với đường thẳng d
2
. Biết tâm của
đường tròn nằm trên đường thẳng d
1
.
I
1
1
1
1,14214
0,14214
x
y

≈
⎧
⎨
≈
⎩
1
5(9 6 2)R =−
≈
1,15095

I
2
2
2
27,14214
28,14214
x
y
≈−
⎧
⎨
≈−
⎩

2
5(9 6 2)R =+

≈
39, 09828

0,5


0,5

0,5

0,5
2
Bài 5:
Tính tổng S tất cả các nghiệm x thuộc đoạn [2; 40] của
phương trình: 2cos
2
x + cot
2
x =
3
2
1sin
sin
x
x
+
.


S = 117π
S ≈ 367,56634

2.0
Bài 6:
Trong hộp có 100 viên bi được đánh số từ 1 đến 100. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 viên.
Tính xác suất của biến cố: "Tổng 3 số trên 3 viên bi là một số chia hết cho 3".

Lời giải tóm tắt bài 6 Kết quả
Điểm
Trong 100 số tự nhiên từ 1 đến 100, có 33 số chia hết cho
3, có 34 số chia cho 3 dư 1 và có 33 số chia cho 3 dư 2.
T/h 1: Cả 3 số trên 3 viên có cùng số dư khi chia cho 3:

333
33 34 33
CCC++
T/h 2: Ba số trên 3 viên bi chia cho 3 có số dư khác nhau
từng đôi:
111
33 34 33
C.C.C
Gọi A là biến cố cân tính xác suất, ta có

333111
33 34 33 33 34 33
3
100
CCCC.C.C
P(A )
C
+++
=

=
817
2450
⇒
33347,0)( ≈AP

+ Lời giải đúng




+ P(A) =
817
2450

Hay
33347,0)( ≈AP



1,0



1.0
Bài 7:
Tính toạ độ gần đúng 2 điểm A, B nằm trên đồ thị hàm số
1
2
−

=
x
x
y đối xứng với nhau qua
đường thẳng d: y = x – 1.
Lời giải tóm tắt bài 7 Kết quả
Điểm
Ta có : AB ⊥ d => đường thẳng AB có phương trình dạng : y = - x + m
=> Toạ độ hai điểm A, B là nghiệm của hệ :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
+−=
1
2
x
x
y
mxy

⇒
2x
2
– (m +1)x + m = 0 (1) => x
A
+ x

B
=
2
1
+
m

Gọi I là trung điểm của AB =>
1
24
2( )31
24
AB
I
AB
I
xx
m
x
mx x m
y
+
+
⎧
==
⎪
⎪
⎨
−+
−

⎪
==
⎪
⎩

Mà I thuộc đường thẳng d: y = x – 1
⇒
31
4
m
−
=
1
4
m
+
-1 ⇒ m = -1
Thay m = -1 vào pt (1) được : 2x
2
– 1 = 0
Với x
1
=
2
2
1
2
2
1
+−=⇒− y ; Với x

2
=
2
2
1
2
2
2
−−=⇒ y
+ trình bày
lời giải đúng





1
1
0,70711
0,29289
x
y
≈−
⎧
⎨
≈−
⎩
⎩
⎨
⎧

−≈
≈
70711,1
70711,0
2
2
y
x


1.0







0.5


0.5






3
Bài 8:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,
SA (ABCD)
⊥
. Cho SA = AB = a; Gọi
C’ là trung điểm SC, (P) là mặt phẳng đi qua A, C’ và vuông góc với mặt phẳng (SAC) cắt
SB, SD lần lượt tại
B', D'
. Tính thể tích khối đa diện ABCDB’C’D’ , biết rằng:
a = 7,12345 cm.
Lời giải tóm tắt bài 8 Kết quả
Điểm
I
O
A
B
C
D
S
B'
C'
D'


Có BD ⊥ AC và BD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD)) nên BD ⊥ (SAC).
mp(P) ⊥ mp(SAC) nên (P) // BD.
Vậy (P) qua A, C’ và song song với BD.
Ta có (P) // BD nên B’D’ // BD.
B’D’ // BD nên B’D’ ⊥ (SAC).
Do C’ là trung điểm của SC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là
giao điểm của B’D’ và AC’.

Có I là trọng tâm tam giác SAC nên SI =
2
3
SO, suy ra SB’ =
2
3
SB.
Gọi V = V
S
.
ABCD
, V
1
=V
S
.
AB’C’D’
và V
2
= V
ABCDB’C’D’
. Ta có:
V
2
= V- V
1
.
V =

ABCD

a
SA S a a
==
3
2
11
333
.
Có
.''
.
''
.
SABC
SABC
V
SA SB SC
VSASBSC
===
21 1
32 3

Suy ra
.
.''
SABC
SABC
V
V =
3

. Mà
.'' .
,
SABC SABC
VVVV==
1
11
22
nên
Va
V ==
3
1
39
.
Vậy
aa a
VVV
=−= − =
33 3
21
2
39 9
3
32646,80 cm≈

SB’ =
2
3
SB




=
.''
.
SABC
SABC
V

V
1
3

Va
V ==
3
1
39

V
2
=
3
2
9
a

3
32646,80 cm≈

0.5






0.5




1.0

4
Bài 9: Cho dãy số (
n
u
)
12
11
4, 2
35
nnn
uu
uuu
+−
==
⎧
⎨
=+
⎩
(n
≥
2)
a. Viết quy trình bấm phím tính
1n
u
+
.
b. Tính
10 15
à.uvu

Lời giải tóm tắt bài 9 Kết quả
Điểm
Nhập 2 SHIFT STO X
4 SHIFT STO A
2 SHIFT STO B
ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1
ALPHA : ALPHA A ALPHA = 3 ALPHA B + 5 ALPHA A
ALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1
ALPHA : ALPHA B ALPHA = 3 ALPHA A + 5 ALPHA B
Sau đó bấm phím “ = ” liên tục với giá trị của X là chỉ số của u.










U
10
= 503192
U
15
= 651858506

1.0

0.5
0.5

Bài 10:
Cho hàm số f(x) =
2010 2009 2008
( 1) (2 1) (2009 1) 2010 1
x
kx kx kx k
+
+++++ +++, với k
thuộc R. Tính f (1 – k).
Lời giải tóm tắt bài 10
Kết quả
- Điểm
+ Xét khi x = 1 => 1 – k = 1 ⇔ k = 0. Ta có:
f(1) = 1 + 1 + …+ 1 = 2011 (vì có 2011số 1)
+ Xét khi x
1≠
ta có :
x
2009
+ 2x
2008
+ 3x

2007
+ …+ 2009 x + 2010 = (x
2009
+ x
2008
+ … + x + 1) + (x
2008
+
x
2007
+ …+ x + 1 ) + … + (x
2
+ x + 1) + (x + 1) + 1
=
2010 2009 3 2
11 111

1 1 111
xx xxx
xx xxx
−− −−−
+++++
− − −−−
=
()
2010 2009 3 2
1
1 2011
1
xx xxx

x
⎡
⎤
++++++−
⎣
⎦
−
=
2011 2011
2
1 1 2011 2010
(2011)
11 (1)
xxx
xx x
−−+
−=
−− −

=> f(x) = (x
2010
+ x
2009
+ … + x + 1) + k (x
2009
+ 2x
2008
+ 3x
2007
+ …+ 2009x + 2010).

=

2011
1
1
x
x
−
+
−
k
2011
2
2011 2010
(1)
xx
x
−+
−
=
2012 2011
2
( 1) (2011 1) 2010 1
(1)
x
kx kx k
x
+
−− +++
−

Khi x
≠ 1 ta có x = 1
– k
≠ 1 => k ≠ 0

⇒ f (1 – k) =
2012 2011
2
(1 ) ( 1)(1 ) (2011 1)(1 ) 2010 1kk k k k k
k
−+−−− +−+ +

⇒ f(1- k) = 2011
Vậy f (1- k) = 2011 với mọi k thuộc R.

(0,5 đ)



(1,0 đ)

f (1- k)
= 2011

(0.5đ)