MÔ HÌNH HÓA VÀ PHÂN TÍCH HỆ THỐNG CƠ KHÍ

buaTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM
KHOA CƠ KHÍ CHẾ TẠO MÁY

ĐỀ TIỂU LUẬN
MƠN: MƠ HÌNH HĨA VÀ PHÂN TÍCH HỆ THỐNG CƠ KHÍ
GVHD: PGS.TS. ****** ***** **** **
(THỜI HẠN NỘP: …………)
CÂU 1: Anh/chị hãy làm rõ phương pháp mơ hình hóa hệ tịnh tiến bằng phương trình vi
phân và phương trình trạng thái. Cho ví dụ thực tế để minh họa.
CÂU 2: Anh/chị hãy làm rõ cơ sở phân tích đáp ứng của hệ thống cơ khí bằng hàm truyền
đạt. Cho ví dụ thực tế để minh họa.
CÂU 3: Anh/chị hãy làm rõ cơ sở phân tích đáp ứng của hệ thống cơ khí bằng hàm truyền
đạt. Cho ví dụ thực tế để minh họa.

Hướng dẫn:
1) Mơ tả hoạt động của hệ thống (Câu 1, Câu 2, Câu 3)
2) Xác định mơ hình tốn học (Câu 1, Câu 2, Câu 3)
3) Xác định và phân tích hàm truyền đạt của hệ thống (Câu 3)
4) Mô phỏng bằng Matlab cho tất cả ví dụ minh họa.
……Hết……


MỞ ĐẦU

MỤC LỤC

1. Lời nói đầu .............................................................................................................. 1
2. Mục tiêu nghiên cứu ............................................................................................... 1
3. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................ 2
4. Kết cấu .................................................................................................................... 2
NỘI DUNG

CÂU 1: Anh/chị hãy làm rõ phương pháp mơ hình hóa hệ tịnh tiến bằng phương
trình vi phân và phương trình trạng thái.Cho ví dụ thực tế để minh họa. .....................3
1.1. Phương pháp mơ hình hóa hệ tịnh tiến bằng phương trình vi phân và bằng
phương trình trạng thái ............................................................................................... 3
1.2. Đưa ra mơ hình hệ thống ..................................................................................... 5
1.3. Ví dụ thực tế .........................................................................................................7
1.4. Mơ phỏng bài toán trên matlab ..........................................................................10
CÂU 2: Anh/chị hãy làm rõ phương pháp mơ hình hóa hệ quay bằng phương trình vi
phân và phương trình trạng thái. Cho ví dụ thực tế để minh họa. ...............................12
2.1. Phương pháp mơ hình hóa hệ tịnh tiến bằng phương trình vi phân và bằng
phương trình trạng thái ............................................................................................. 12
2.2. Ví dụ thực tế .......................................................................................................19
2.3. Mô phỏng trên matlab ........................................................................................22
CÂU 3: Anh/chị hãy làm rõ cơ sở phân tích đáp ứng của hệ thống cơ khí bằng hàm
truyền đạt.Cho ví dụ thực tế để minh họa. ....................................................................... 27
3.1. Định nghĩa về hàm truyền ................................................................................ 27
3.2. Cho ví dụ thực tế để minh họa ...........................................................................29
KẾT LUẬN .............................................................................................................................2
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................... 3


MỞ ĐẦU
1. Lời nói đầu
Đất nước ta đang trên đà phát triển, do đó khoa học kĩ thuật đóng một vai trị quan trọng
trong cơng cuộc cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Việc áp dụng khoa học kĩ thuật chính là
làm tăng năng suất lao động, thay thế sức lao động của người lao động một cách có hiệu quả nhất,
bảo đảm an toàn cho người lao động trong quá trình làm việc. Để tạo nền tảng tốt cho bước phát
triển trong tương lai, chúng ta cần đầu tư, nghiên cứu, giáo dục, phát triển khoa học kĩ thuật một
cách nghiêm túc ngay từ trong các trường đại học.
Mơ Hình Hố và Phân Tích Hệ Thống Cơ Khí là một môn học giúp sinh viên ngành Chế

Tạo Máy có bước đi chập chững, làm quen với cơng việc tính tốn thiết kế mà mỗi người kĩ sư cơ
khí sẽ gắn cuộc đời mình vào đó. Học tốt mơn học này sẽ giúp cho sinh viên mường tượng ra
được cơng việc tương lai, qua đó có cách nhìn đúng đắn hơn về con đường học tập đồng thời tăng
thêm lịng nhiệt huyết, u nghề cho mỗi sinh viên. Khơng những thế quá trình thực hiện sẽ là
thử thách thực sự đối với những kĩ năng mà sinh viên đã được học từ những năm trước như vẽ cơ
khí, kĩ năng sử dụng phần mềm: matlab,… cùng với những kiến thức trong những môn học nền
tảng khác.
Nhận thấy mục tiêu đó phù hợp với u cầu của mơn học “Mơ hình hóa và phân tích hệ
thống cơ khí”. Với sự quan trọng và tính cấp thiết đó, nhằm cung cấp cái nhìn khái quát nhất về
những nội dung cơ bản nhất của môn học, tiểu luận này sẽ giải quyết ba vấn đề sẽ được đưa ra
phần dưới đây để cho mọi người có những cái nhìn khách quan, dễ hiểu nhất đối với môn học,
mối liên hệ giữa môn học và thực tế như thế nào,…

2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm làm rõ về cách thức hoạt động của phương pháp mơ hình hóa hệ tịnh tiến
và hệ quay bằng phương trình vi phân và trạng thái. Đồng thời, trình bày một số khái niệm xoay
quanh cũng như khả năng liên hệ của chúng với thực tế cuộc sống thơng qua các ví dụ.
Nội dung tiểu luận nhằm trang bị cho sinh viên một cách nhìn tổng quát hơn về đáp ứng hệ
thống cơ khí bằng hàm truyền. Qua đó, giúp các bạn sinh viên hiểu rõ nguyên lí hoạt động của

1


chúng. Vận dụng kiến thức để giải quyết một số vấn đề cụ thể của thực tiễn của doanh nghiệp về
các hệ thống cơ khí.

3. Phương pháp nghiên cứu
Là sự kết hợp một số phương pháp cụ thể như: logic, thu thập tài liệu, phân tích, tổng hợp,
đánh giá để hoàn thiện tiểu luận.

4. Kết cấu
- Mục lục
- Nội dung của bài tiểu luận (bao gồm phần mở đầu, phần nội dung, phần kết luận)
- Tài liệu tham khảo
Trong đó, phần nội dung được chia làm 03 câu:

Câu 1: Anh/chị hãy làm rõ phương pháp mơ hình hóa hệ tịnh tiến bằng phương trình
vi phân và phương trình trạng thái. Cho ví dụ thực tế để minh họa.
Câu 2: Anh/chị hãy làm rõ cơ sở phân tích đáp ứng của hệ thống cơ khí bằng hàm
truyền đạt. Cho ví dụ thực tế để minh họa.
Câu 3: Anh/chị hãy làm rõ cơ sở phân tích đáp ứng của hệ thống cơ khí bằng hàm
truyền đạt. Cho ví dụ thực tế để minh họa.

2


NỘI DUNG
CÂU 1: ANH/CHỊ HÃY LÀM RÕ PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HĨA HỆ TỊNH
TIẾN BẰNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG
THÁI.CHO VÍ DỤ THỰC TẾ ĐỂ MINH HỌA.
1.1. Phương pháp mơ hình hóa hệ tịnh tiến bằng phương trình vi phân và bằng
phương trình trạng thái
Phương trình vi phân là một phương trình tốn học nhằm biểu diễn mối quan hệ
giữa một hàm chưa được biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác
nhau). Phương trình vi phân đóng vai trị cực kì quan trọng trong kĩ thuật, vật lý, kinh tế và
một số ngành khác.
Ví dụ: một phương trình vi phân đơn giản

f’=
1.1.1. Biến

��(�)
��

Các ký hiệu cho các biến cơ bản được sử dụng để mô tả hành vi động của hệ thống cơ tịnh
tiến là:
x:

khoảng cách

(m)

v:

Vận tốc

(m/s)

a:

Gia tốc

(m/s2)

f:

lực

N

Tất cả các biến trên đều là hàm theo thời gian
Chuyển vị được đo đối với một số điều kiện tham chiếu, thường là vị trí cân bằng
của hệ hoặc điểm được cho. Vận tốc thường được biểu thị dưới dạng đạo hàm của các
chuyển vị tương ứng của nó.

3


Mối quan hệ của các biến được biểu thị theo phương trình vi phân như sau:
��

v = ��

Vận tốc:

Gia tốc:

a=

��
��

=

�2 �
��

Một số biến nằm ngoài các biến đầu bài như:
w: năng lượng (J)

Mối quan hệ của chúng theo phương trình vi phân sẽ là:

p: cơng suất (w)

p=

��
��

Bởi vì cơng suất được định nghĩa là tốc độ năng lượng được cung cấp hoặc tiêu hao
của nó theo thời gian
1.1.2. Các thành phần
Khối lượng
Giả sử ta có 1 vật có khối lương M (kg), chịu tác dụng của lực ƒ.

Theo “Định luật II Newton” phát biểu rằng tổng các lực tác dụng lên một vật bằng
thời gian tốc độ thay đổi của động lượng có dạng:
�

��

(Mv)= f

Trường hợp nếu khối lượng khơng đổi (M= hằng số) thì ta có thể viết lại thành:
��

M �� = f

Từ trên cho thấy một khối lượng có thể được mơ hình hóa bằng mối quan hệ đại số
giữa gia tốc

��
��

và ngoại lực f. Để (5) giữ được, giá trị của cả

sẽ làm cho vận tốc tăng theo hướng mà lực tác dụng.
4

��
��

và f phải như nhau, vì lực


lò xo
Bất kỳ phần tử cơ học nào bị thay đổi hình dạng khi chịu tác dụng của lực đều có thể
được đặc trưng bởi phần tử độ cứng, với điều kiện là tồn tại mối quan hệ đại số giữa độ
giãn dài và lực
Phần tử độ cứng phổ biến nhất là lò xo, mặc dù hầu hết các phần tử cơ học đều trải
qua một số sự lệch hướng khi bị căng.

Hình trên cho thấy một lị xo mà các đầu của nó bị dịch chuyển bởi các lượng x1 và
x2 so với các vị trí tham chiếu tương ứng của chúng. Nếu x1 = x2 = 0 tương ứng với điều
kiện khơng tác dụng lực vào lị xo thì độ dãn dài tại thời điểm bất kỳ là x2 - x1. Đối với một
lị xo tuyến tính
Lực của lò xo:

f = K.∆x (Độ cứng lò xo K (N/m))

Ma sát
Ma sát là yếu tố khó nhất trong ba yếu tố để mơ hình hóa chính xác. Tuy nhiên, trừ
khi được nêu rõ ràng, trong trường hợp của hệ thống tuyến tính, ma sát được coi là ma sát
nhớt. Điều này có nghĩa là (nghĩa là, lực ma sát được giả thiết là tỷ lệ với vận tốc). Có hai
cách riêng biệt mà ma sát sẽ được biểu diễn, dưới dạng một chuỗi x giữa hai vật thể hoặc
dưới dạng một dấu gạch ngang

5


Các lực là hàm đại số của vận tốc tương đối giữa hai vật được mơ hình hóa bởi các
phần tử ma sát. Một khối lượng trượt trên màng dầu có dịng chảy tầng, như được mơ tả
trong hình ở trên, chịu ma sát nhớt và tuân theo quan hệ tuyến tính

f =B ∆�

trong đó: ∆�= v2-v1

B(N.s/m)

Hướng của lực ma sát sẽ ngược lại chuyển động của khối lượng lực f do màng dầu
tác dụng lên khối lượng M là lực sang trái.(Theo định luật thứ ba của Newton, khối lượng
tác dụng một lực bằng f vào bên phải màng dầu.
Các định luật kết nối.
Định luật D’Alembert
Định luật D 'Alembert là phát biểu lại “định luật thứ hai của Newton” điều chỉnh tốc
độ thay đổi của động lượng, Đối với một khối lượng khơng đổi, chúng ta có thể viết:
��
(����)� = �
��

�

Trong đó tổng trên chỉ số i bao gồm tất cả các lực bên ngoài (fext)i trên các lực và
vận tốc là các đại lượng vectơ, nhưng chúng có thể được coi là các đại lượng vô hướng mà
chuyển động bị ràng buộc theo một hướng cố định, ta có thể viết lại như sau:
��
(����)� − �
=0
��
�

��

Dấu trừ liên kết với lực quán tính cho biết khi �� > 0 thì lực tác dụng theo chiều âm.
khối lượng có thể được coi là ở trạng thái cân bằng - tổng các lực bằng không với
��
điều kiện bị giới hạn - M �� được coi như một lực bổ sung, Lực hư cấu này được gọi là lực
quán tính hoặc lực D 'Alembert và nó với các lực bên ngồi cho phép chúng ta viết phương
trình lực dưới dạng cân bằng:

6


�

�� = 0

Phương trình này được gọi là định luật D'Alembert.
Định luật Newton III
Khi một vật tác dụng lực lên vật thể thứ hai, vật thứ hai sẽ tác dụng một lực cùng độ lớn

và ngược chiều về phía vật thứ nhất.
Định luật chuyển vị
Nếu 2 đầu của 2 phần tử được kết nối với nhau thì tại những đầu đó buộc phải có
chuyển động với khoảng dịch chuyển và vận tốc như nhau.
Điều trên thực sự là hệ quả của việc chúng ta có thể xác định duy nhất các điểm
trong khơng gian.

1.2. Đưa ra mơ hình hệ thống
Mơ hình hệ thống phải kết hợp cả luật phần tử và luật liên kết. Các định luật phần tử
liên quan đến chuyển vị, vận tốc và gia tốc. Vì gia tốc của một điểm là đạo hàm của vận
tốc, trong đó vận tốc là đạo hàm của độ dời, chúng ta có thể viết tất cả các định luật nguyên
��

tố dưới dạng x và các đạo hàm của nó hoặc dưới dạng x, v, và �� . Điều quan trọng các

hướng dương giả định cho chuyển vị, vận tốc và gia tốc, thông thường các hướng giả định
cho a, v và x là giống nhau đều chọn hướng dương(+) làm hướng giả định, vì vậy sẽ khơng

7


cần thiết phải chỉ ra cả ba hướng dương trên sơ đồ. Các dấu chấm trên các biến được sử
��

dụng để biểu thị các vi phân liên quan đến thời gian. Ví dụ, � = �� và � =
Sơ đồ cơ hệ tự do

�2 �
��2

Có thể hiểu nơm na là từ sơ đồ hình vẽ thơng qua sơ đồ cơ hệ tự do ta sẽ viết lại hình
vẽ thành dưới dạng 1 sơ đồ gồm các biến M, x, v, hay đạo hàm của chúng.
Mơ hình khơng gian-trạng thái
Khi các hệ thống trở nên phức tạp hơn, việc biểu diễn chúng bằng các phương trình
vi phân hoặc các hàm truyền trở nên cồng kềnh. Điều này càng đúng nếu hệ thống có
nhiều đầu vào và đầu ra. Biểu diễn khơng gian trạng thái của một hệ thống thay thế một
phương trình vi phân bậc n bằng một phương trình vi phân ma trận bậc nhất duy nhất. Biểu
diễn không gian trạng thái của một hệ được cho bởi hai phương trình:
q(t) = Aq(t) + Bu(t)
y(t)= Cq(t) + Du(t)
Phương trình đầu tiên được gọi là phương trình trạng thái, phương trình thứ hai
được gọi là phương trình đầu ra. Đối với một hệ thống bậc n (tức là, nó có thể được biểu
diễn bằng một phương trình vi phân bậc n) với r đầu vào và m đầu ra, kích thước của mỗi
ma trận như sau:
Hàng x cột

Ý nghĩa

q

nx1

q được gọi là vectơ trạng thái, nó là một hàm theo thời gian

A

nxn

A là ma trận trạng thái, hằng số

B

nxr

B là ma trận đầu vào, một hằng số

u

rx1

u là đầu vào, một hàm theo thời gian

C

mxn

C là ma trận đầu ra, hằng số

D

mxr

D là ma trận chuyển tiếp trực tiếp (hoặc chuyển tiếp), hằng số

y

mx1

y là đầu ra, một hàm của thời gian

8


Lưu ý:
Phương trình trạng thái có một đạo hàm bậc nhất duy nhất của vectơ trạng thái ở bên
trái, và vectơ trạng thái, q (t), và đầu vào u (t) ở bên phải. Khơng có đạo hàm nào ở phía
bên tay phải.
Phương trình đầu ra có đầu ra ở bên trái và vectơ trạng thái, q (t), và đầu vào u (t) ở
bên phải. Khơng có đạo hàm nào ở phía bên tay phải.
1.3. Ví dụ thực tế
Để hiểu rõ hơn thế nào là sơ đồ cơ hệ tự do và Mơ hình khơng gian-trạng thái
Ta sẽ đi vào 1 ví dụ thực tế, sau đây là 1 chiếc xe, khi ta di chuyển chiếc xe trên
đường thì nó sẽ ln gập tình trạng đường gồ rề và rất là sốc, dằn và để khác phục tình
trạng đó người ta đã thiết kế ra bộ giảm chấn cho xe
Tìm Phương trình biến trạng thái và viết phương trình vi phân

Hơm này ta sẽ phân tích hệ thống giảm trấn của xe bằng phương trình vi phân và
tìm phương trình biến trạng thái của nó.
Sơ đồ hệ thống

Sơ đồ cơ hệ tự do

9


- Biến đầu vào: r(t)(m)
- Biến đầu ra: y(t)(m)
Ta có phương trình vi phân như sau:

My + By + Ky = Br + Kr

Nhìn vào Phương trình vi phân ta thấy Vế phải của PTVP có chứa đạo hàm của tín hiệu
vào và hệ thống mơ tả bởi PTVP có dạng:

�� �(�)
��−1 �(�)
��−1 �(�)
��(�)
+
.
.
.
+
+
+
.
.
.
+
+ ��−1 �(�)
�0
�
�
�(�)
=
�
�
�−1
0
�−2

�
���
��
���−1
���−1
Đạo hàm ở vế phải thấp hơn đạo hàm ở vế trái 1 bậc

Đặt biến trạng thái theo qui tắc:

x1(t)= y(t)

Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra:

x2(t)= �1 (�)-�1 �(�)

Biến thứ i (i=2..n) đặt bằng đạo hàm của biến thứ i-1 …
trừ 1 lượng tỉ lệ với tín hiệu vào:

x2(t)= ��−1 (�)-��−1 �(�)

10


Ta có phương trình trạng thái:
�(t) = Ax(t) + Br(t)
y(t)= Cx(t) + Dr(t)

Dựa vào cách làm trên, ta có:
Đặt Biến trạng thái:
x1(t)= y

�

x2(t)= �-� �(�)
Ta có Phương trình biến trang thái:

11


(3)

�

y = 0.y + x2 + 0. r + .r(t)
�
1

(4)

ta có : x = y = M ( − Ky − By + Br + Kr)

Phương trình đầu ra:

y = fđẩy = K.y+ 0.x1 + 0.r(t)
Từ (1), (2), (3), (4), (5), Ta cóphương trình dạng ma trận như sau:
�(t) = Ax(t) + Br(t)
y(t)= Cx(t) + Dr(t)

0
A= − �
�

�=

�
�

y = fđẩy

=
=

1
�
−�

�=

y = fđẩy

B=

�

�

�−�.
�

0
�
−

�

1

�
�

1
�
� .
+
−
�
�

�
0 �

C= 1 0

�
�

�

�

�−�.
�

�
�

D =0

.�

1.4. Mô phỏng bài tốn trên matlab
Giả sử: 1chiếc oto 4 chỗ có 4 giảm chấn tại 4 bánh xe, giả sử mỗi giảm chấn của 1 chiếc
oto chịu là 100kg, hệ số ma sát B= 50 N.s/m, độ cứng của lò xo K=100 N/m
Mô tả hệ thống trên mablap ta thu được đồ thị trang thái như sau:

12


Ta thu được đồ thi như hình sau:

13


CÂU 2: ANH/CHỊ HÃY LÀM RÕ PHƯƠNG PHÁP MƠ HÌNH HĨA HỆ
QUAY BẰNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG
THÁI. CHO VÍ DỤ THỰC TẾ ĐỂ MINH HỌA.
2.1. Phương pháp mơ hình hóa hệ tịnh tiến bằng phương trình vi phân và bằng
phương trình trạng thái
Phương trình vi phân là một phương trình tốn học nhằm biểu diễn mối quan hệ
giữa một hàm chưa được biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác
nhau). Phương trình vi phân đóng vai trị cực kì quan trọng trong kĩ thuật, vật lý, kinh tế và
một số ngành khác.

Ví dụ: một phương trình vi phân đơn giản
f’=

��(�)
��

Các ký hiệu cho các biến cơ bản được sử dụng để mô tả hành vi động của hệ thống cơ tịnh
tiến là:
:

góc

(rad)

:

Vận tốc góc

(rad/s)

a:

Gia tốc góc

(rad/s2)

�:

Moment xoắn

N.m

Tất cả các biến trên đều là hàm theo thời gian

Vận tốc và gia tốc của một vật có cùng phương để có các mối quan hệ:
ω=�

α=� = �

Công suất cung cấp cho thân là: P = τ.ω

14


Quy ước để chỉ các biến quay
Công suất là đạo hàm của năng lương
W và năng lượng cung cấp cho cơ hệ tại
thời điểm t là:

w(t) = w(t0) +

�
p(λ)dλ
0

H2.1

2.1.1 Đinh luật phân tử
Lực Quán Tính
Khi định luật thứ hai của Newton là đối với phần tử khối lượng vi sai dm trong H2.1

và kết quả là trên toàn bộ cơ thể, chúng tơi thu được
�

(Jω) = τ

��

Qua đó ta rút ra được độ lớn của quán tính được xác đinh theo công thức:
J = J0+Ma2
Trong hệ cơ quay, phần tử quán tính là khối lượng quay và được đặc trưng bởi
mơmen qn tính. Mơmen qn tính đối với một số hình dạng phổ biến được cho dưới đây:
Hình dạng

Hình ảnh

Hình trụ,

Moment quán tính
1 2
��
2

bán kính = r, khối lượng = m
Quay quanh trục tâm
Hình cầu rắn,

2 2
��
5

bán kính = r, khối lượng = m
Quay quanh tâm
hanh đồng nhất,
chiều dài = ℓ, khối lượng =

1 2
��
3

m
Xoay về đầu

15


Thanh đồng nhất,
chiều dài = ℓ, khối lượng =

1
��2
12

m
Quay quanh tâm
Khối lượng ở đầu thanh
không khối lượng,
chiều dài = ℓ, khối lượng =

��2

m
Đang quay về đầu

Mối quan hệ giữa mômen, mơmen qn tính và gia tốc góc được cho bởi:
τ = J� = J�

Ma sát

Phần tử ma sát quay là phần tử có mối quan hệ đại số giữa mơmen và vận tốc góc
tương đối giữa hai bề mặt.
τ = Br θ = Br ω

Ngoài ra ở 1 số trường hợp cịn được sử dụng như hình sau:
Vận tốc góc của các hình trụ là ω1 và ω2
Vận tốc góc tương đối là:
∆ ω = ω2 - ω1
Mômen xoắn của hệ được xác định như sau :
τ = B.∆ω

Hệ số ma sát B có đơn vị là Nms
Độ cứng
Độ cứng trong quay thường liên quan đến lò xo xoắn chẳng hạn như dây dẫn điện của đồng
hồ hoặc với một trục tương đối mỏng

16


Nếu cả hai đầu của thiết bị có thể di chuyển như
hình cạnh, sau đó luật phần tử liên hệ giữa τ và ∆�,
trong đó ∆� = ∆�2 - ∆�1. Đối với một tuyến tính

lị xo xoắn hoặc trục linh hoạt,

τ=K.∆�

Năng lượng tiềm năng được lưu trữ trong một phần
tử độ cứng xoắn và có thể ảnh hưởng đến phản ứng
của hệ thống vào thời điểm sau đó. Đối với một lò xo
hoặc trục thẳng, thế năng là:
1

Wp =2K(∆�)2

Độ dời góc tương đối tại thời điểm t0 là một trong
những điều kiện ban đầu ta cần để tìm phản ứng của
một hệ thống đối với t ≥ t0

Mô men xoắn truyền qua một trục
Địn bẩy
Nói về đồn bẩy trong hệ thống cơ khí thì chúng ta đã gặp q nhiều, hình sau đây
cung là 1 cơ cấu dạng bẫy rất phổ biến

17


Một đòn bẩy lý tưởng được giả định là thanh chắc chắn quay tại điểm và khơng có khối
lượng, khơng có ma sát, khơng có động lượng và khơng có năng lượng tích trữ.
lớn hơn 0,25 rad), chuyển động của các đầu có thể được coi là tịnh tiến. Trong Hình 5.8,
hãy biểu thị độ dịch chuyển góc của địn bẩy so với vị trí nằm ngang. , tính bằng radian. Do
đó, đối với các dịch chuyển nhỏ, chúng ta có:

và phân tích những phương trình này:

�2 = (
�2 = (

�1
). �1
�2

�1
). �1
�2

Bởi vì tổng các khoảnh khắc về điểm trục biến mất, theo yêu cầu của sự vắng mặt giả định
của khối lượng, nó theo sau rằng f2d2-f1d₁ = 0, hoặc:
�2 = (

�1
). �1
�2

Bánh răng

Xem xét cặp bánh răng được thể hiện trong Hình .Để phát triển các mối quan hệ
hình học cơ bản và mơmen xoắn, chúng ta sẽ giả sử các bánh răng lý tưởng, khơng có
mơmen qn tính, khơng có năng lượng tích trữ, khơng có ma sát và chia lưới hoàn hảo

18

của các răng. quán tính hoặc ma sát ổ trục trong một cặp bánh răng thực tế có thể được
biểu diễn bằng các phần tử gộp riêng biệt trong biểu đồ cơ hệ tự do.
�1
�2

=

�1
�2

= � (N được gọi là tỷ số truyền)

Từ trên ta rút ra được các công thức sau: r1θ1=r2θ2;
�1
�2

�1
�2

=

�1
�2

=N

�

= �1 =N
2

Bởi vì bánh răng khơng có qn tính, tổng các mơmen xoắn trên mỗi bánh răng phải bằng
khơng.
Do đó, ta có:
fcr1− τ1=0;
fcr2−τ2=0
Trường hợp nếu Loại bỏ lực tiếp xúc fc, giá trị hiếm khi được quan tâm, thu được:
�1
�2

=−

�1
�2

= −N

Bánh răng thứ nhất là P1 = τ1.ω1và công suất cung cấp cho bánh răng thứ hai là P2 =
τ2.ω2, khơng có năng lượng nào có thể bị tiêu tán dưới dạng nhiệt do giả sử không có ma
sát. Áp dụng định luật bảo tồn năng lượng:
P1+P2=0
�1

τ1ω1 + τ2ω2=0

�2

2.1.2. Định luật liên kết

19

=−

�1
�2

= −N


Các luật liên kết cho các hệ thống quay liên quan đến các luật cho momen và các vị
trí lệch góc. Cũng tương tự như phần hệ thống chuyển động tịnh tiến.
Động năng quay : K = Iω^2
Động lượng góc : L = Iω
Định luật áp dụng phản lực moment có sự thay đổi quan trọng khi so sánh với định
luật áp dụng phản lực.
2.1.3. Định luật D’Alembert’s
Đối với một vật có momen qn tính khơng đổi quay quanh 1 trục cố định, ta có thể
viết (6) là:
J� = �

�

(����)� − J� = 0

Trong đó tổng trên i bao gồm tất cả các mơmen qn tính tác động lên vật thể.
Giống như phiên phản chuyển tiếp của định luật D’Alembert’s.
Jω có thể xem là 1 momen qn tính.
khi nó bao gồm tất cả các momen quán tính tác động lên vật thể, phương trình 21 rút
gọn thành phương trình 22 (cho 1 vật thể ở trạng thái cân bằng)

2.1.4. Quy luật moment phản lực

�

�� = 0

Đối với các vật thể đang quay quanh cùng một trục, bất kỳ mômen nào do một phần
tử này tác dụng lên một phần tử khác đều kèm theo một mơmen phản lực có độ lớn bằng
nhau và ngược chiều lên phần tử thứ nhất. Trong hình 5.12, ví dụ, mơmen ngược chiều kim
đồng hồ K₁0₁ do trục K₁ tác dụng lên đĩa bên phải kèm theo mômen quay ngược chiều kim
đồng hồ K₁0₁ do đĩa tác dụng lên trục. Tuy nhiên, đối với các vật thể không quay quanh
cùng một trục, độ lớn của hai mômen không nhất thiết phải bằng nhau.
2.1.5. Quy luật dịch chuyển góc

20


Khi đó sự dịch chuyển góc đối với trục k2 (điều kiện khơng bị ứng suất θ2−θ1). Điều
này có thể phát biểu một cách tổng quát bằng cách nói rằng: Tại bất kỳ thời điểm nào, tổng
đại số của của sự biến thiên về độ dịch chuyển góc xung quang một hệ kín nào đều bằng
khơng.
�

∆�� = 0

(�1 − 0) + (�2 − 0) + (�3 − 0) = 0

Để hiểu rõ thêm về Mơ hình hố trong hệ xoay thì chúng ta sẽ đi vào 1 ví dụ thực tế
Trước khi có những cánh của tự động mở, đóng tự động bằng động cơ 2 chiều, thì ta
có các cánh cửa đóng 1 chiều nghĩa là chúng ta sẽ mở nó ra và cửa sẽ tự đóng, loại này

thường sẽ rất phổ biết là dùng pitton, nhưng ở một số nơi vẫn tồn tại một loại cửa cũng có
cơ chế tương tự như vậy nhưng mà bằng thanh răng, đây là một loại cửa mà khi ta tác động
lực vào nó thì thanh răng sẽ lăn trên bề mặt tiếp xúc của bánh răng để đi vào, và sau khi
ngừng tác động thì sẽ tự động trượt lại và đóng lại nhờ sự đàn hồi của lị xo
2.2. Ví dụ thực tế
Nguyên lý hoạt động và cấu tạo mô hình được biểu thị ở hình dưới đây:

21


Giả sử Đầu vào là hệ thống tịnh tiến và quay kết hợp được thể hiện trong Hình trên
là lực fa(t) tác dụng lên khối lượng M. Các phần tử K₁ và K₂ không bị lệch hướng khi x = 0
và  = 0. Viết phương trình vi phân đầu vào - đầu ra cho x và cho .
Từ mô hình ta suy ra được biểu đồ hệ thống tự do là:

Áp dụng đinh luật bảo toàn mooment và định luật bảo toàn năng lượng, ta thu được:
22


J� + �1 � − ��� = 0

M� + �� + �2 � + �� =− �� (�)
x

Trong đó fc là lực tiếp xúc giữa khối lượng và đĩa. � = , từ phương trình đầu tiên
�

R

�

chúng ta thấy rằng: fc = ( 2)� + ( 21)�.
�

�

Thay biểu thức này vào phương trình thứ hai sẽ cho ta:
(M+

�

�2

)� + �� + (�2 +

Ta có phương trình trạng thái:

�1
�2

)� =− �� (�)

�� �(�)
��−1 �(�)
+ . . . + ��−1
+ �� �(�) = �0 �(�)
�0
���
���−1

Đặt biến trạng thái theo qui tắc:

x1(t)= y(t)

Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra:

x2(t)= �1 (�)

Biến thứ i (i=2..n) đặt bằng đạo hàm của biến thứ …
i-1

x2(t)= ��−1

�(t) = Ax(t) + Br(t)
y(t)= Cx(t)

Theo bài ta có:
A=

B=

0

−1
�
M+ 2
�

C= 1 0
23