Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 5: Ước lượng các tham số của đại lượng ngẫu nhiên (Trường ĐH Thương mại)

CHƯƠNG 5

ƯỚC LƯỢNG
CÁC THAM SỐ CỦA ĐLNN


Chương 5

ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ CỦA ĐLNN
1. Ước lượng điểm.
2. Ước lượng bằng khoảng tin cậy.
•

Ước lượng kỳ vọng tốn của ĐLNN.

•

Ước lượng tỷ lệ của đám đơng.

•

Ước lượng phương sai của ĐLNN.


Chương 5

§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
1.1 Ước lượng điểm
Giả sử cần ước lượng tham số θ của ĐLNN X trên một đám
đơng nào đó.
• Ta lấy mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2,…,Xn)

• Tùy thuộc vào θ, XDTK: θ* = f(X1,X2,…,Xn).
• Khi n khá lớn với mẫu cụ thể w = (x1,x2,…,xn), tính tốn
θ*tn = f (x1,x2,…,xn)
Ta lấy θ ≈ θ*tn làm ước lượng điểm cho tham số θ.


Chương 5

§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá bản chất tốt của ước lượng.
1.2.1 Ước lượng không chệch.
Thống kê θ* được gọi là ước lượng không chệch của θ nếu
E(θ*) = θ
Ngược lại, ta nói θ* được gọi là ước lượng chệch của θ .


Chương 5

§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
1.2 Cáctiêuchuẩnđánhgiábảnchấttốtcủaướclượng.
1.2.1 Ướclượngkhơngchệch.
Ta có: X làướclượngkhơngchệchcủaμ.
S’ 2làướclượngkhôngchệchcủaσ 2.
Nếuθ*làướclượngchệchcủaθvàđượcgọilàướclượngtiệmcậnkhô
ngchệchnếu

θ

=θ

.

Chương 5

§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
1.2.2 Ước lượng vững.
Thống kê θ* được gọi là ước lượng vững của θ nếu với mọi
ε >0 ta có:

lim P(  *     )  1
n 

Theo định lý Trêbưsép (trường hợp đặc biệt) thì:
• X là ước lượng vững của μ.
• f là ước lượng không chệch của p.


Chương 5

§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá bản chất tốt của ước lượng.
1.2.3 Ước lượng hiệu quả (ước lượng không chệch tốt nhất).
Thống kê θ* được gọi là ước lượng hiệu quả của θ nếu nó là
ước lượng khơng chệch và có phương sai nhỏ nhất so với các
ước lượng khơng chệch khác trên cùng một mẫu.
• X là ước lượng hiệu quả của μ.
•

f là ước lượng hiệu quả của p.

Chương 5

§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá bản chất tốt của ước lượng.
1.2.4 Ước lượng đủ.
Thống kê θ* được gọi là ước lượng đủ của θ nếu nó chứa
tồn bộ thơng tin từ mẫu.
Trung bình mẫu, phương sai mẫu … là các ước lượng đủ
Chú ý: Tuy ước lượng điểm đơn giản nhưng có hạn chế là
khơng biết sai số cũng như có thể gặp sai số rất lớn nếu kích
thước mẫu nhỏ.


Chương 5

§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.1 Khái niệm.
Giả sử cần ước lượng tham số θ của ĐLNN X trên đám đơng.
• Chọn mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2, …, Xn),
• Từ ước lượng điểm tốt nhất của θ xây dựng thống kê:
G = f(X1,X2, …, Xn, θ)
sao cho G có quy luật xác định và có biểu thức chứa θ.


Chương 5

§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
Vớiγ = 1- αchotrước, xácđịnhα1≥ 0, α2 ≥0 thỏamãnα1+ α2 = α.

Từđóxácđịnhcácphânvị g1- α1và gα2:
P(g

P(θ*1<θ<θ*2 ) = 1- α

Trongđó: Xácsuấtγ = 1- αđượcgọilàđộ tin cậy.
Khoảng(θ*1 ; θ*2 ) đượcgọilàkhoảng tin cậy
I = θ*2-θ*1 đượcgọilàđộdàicủakhoảng tin cậy


Chương 5

§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
Chú ý:
+ Thường chọn độ tin cậy khá lớn như 0,9; 0,95 hay
0,99…. theo nguyên lý xác suất lớn thì biến cố (θ*1 < θ < θ*2 )
hầu chắc chắn xảy ra trong một lần thực hiện phép thử.
+ Xác suất mắc sai lầm trong ước lượng khoảng là α.


Chương 5

§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
+ Khi G có phân phối N(0,1) hoặc phân phối Student
nếu chọn α1= α2 = α/2 ta có khoảng tin ngắn nhất và đó là các
khoảng tin cậy đối xứng
+ Để ước lượng giá trị tối đa hoặc tối thiểu của θ ta
chọn α1= α hoặc α2 = α

Chương 5

§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.2 Ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN.
Giả sử ĐLNN X trên đám đơng có E(X) = μ và Var(X) = σ2
trong đó μ chưa biết.
2.2.1 ĐLNN X có phân phối chuẩn, phương sai đã biết.
Vì X ~ N(μ; σ2) nên
X ~ N (;

2
n

) U 

X 


n

~ N (0;1)


Chương 5

§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.2.1 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, phươngsaiđãbiết.
•Khoảng tin cậyđối xứng (α1 = α2=α/2)
Vớiđộ tin cậy 1- αtatìmđượcphânvị uα/2saocho

P(- uα/2< U< uα/2 ) = 1- α
P(− uα/2 <
P(

σ

uα/2

σ

< uα/2 ) = 1− α
+

σ

uα/2) = 1- α


Chương 5

§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.2.1 ĐLNN X có phân phối chuẩn, phương sai đã biết.

P( X      X   )  1    
Khoảng tin cậy đối xứng của μ:
trong đó





n

u
2

(X  ; X  )


Chương 5

§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
Khi đó:

* Độ tin cậy của ước lượng là 1- α = γ .
* Khoảng tin cậy đối xứng: ( X   ; X   )
* Độ dài của khoảng tin cậy I = 2ε.
* Sai số của ước lượng là ε.

Chú ý: Nếu khoảng tin cậy đối xứng là (a; b) thì sai số
của ước lượng được tính theo cơng thức: ε = (b-a)/2.


Chương 5

§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.2.1 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn,

đãbiết.

Ta cóbabàitốncầngiảiquyết:

•Bàitốn 1: Biếtkíchthướcmẫu n, biếtđộ tin cậy,
cầntìmsaisốhoặckhoảng tin cậy.

• Bài tốn 2: Biết kích thước mẫu n, biết sai số ε, tìm độ tin
cậy.
 n

u / 2 
    1

2


Chng 5

Đ2. C LNG BNG KHONG TIN CY
2.2.1 LNN Xcúphõnphichun,

óbit.

ãBitoỏn 3: Biếtđộ tin cậy, biếtsaisố, cầntìmkíchthướcmẫutốithiểu
 2u 2 /2
n
2

Chú ý: Nếu biết μ, cần ước lượng X ta sẽ có:

P(    X    )  1    

Chng 7

Đ2. C LNG BNG KHONG TIN CY
2.2.1 LNN Xcúphõnphichun,

óbit.

ãKhong tin cậyphải: (α1 = 0; α2= α ULgiátrịtốithiểucủaμ)
Ta

vẫndùngthốngkêtrên,

xácđịnhphânvịuαsaocho :

P( X 


n

vớiđộ

tin

P(U
.u   )  1    

Khoảng tin cậy phải: ( X 



n

.u ;  )

cậy

1

–

α,


Chng 5

Đ2. C LNG BNG KHONG TIN CY
2.2.1 LNN Xcúphõnphichun,

óbit.

ãKhong tin cậytrái: (α1 = α; α2= 0 ULgiátrịtốiđa củaμ).
Ta

vẫndùngthốngkêtrên,

vớiđộ

xácđịnhphânvịuαsaocho :

P(  X 

tin

cậy

P(-uα< U) = 1 – α


n

.u )  1    

Khoảng tin cậy trái: (; X 


n

.u )

1

–

α,


Chương 5

§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.2.2 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn,

chưa biếtn< 30.

VìX ~ N(μ; σ2) nêntaxâydựngthốngkê
X 
T
~ T ( n 1)
S'
n


Chương 5

§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.2.2 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn,

chưa biếtn< 30.

•Khoảng tin cậyđối xứng:(α1 = α2= α/2)
t( n/21)
Vớiđộ tin cậy 1 – αtatìmđượcphânvịsaocho:
( n 1)
 /2

P (| T | t

)  1

P( X      X   )  1    
Khoảng tin cậy đối xứng của μ: ( X   ; X   )

trong đó  

S'
n

t( n/ 21)


Chương 5

§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.2.2 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn,

chưa biếtn< 30.

Ta cóbabàitốncầngiảiquyết:
•Bàitốn 1: Biếtkíchthướcmẫu n, biếtđộ tin cậy,
cầntìmsaisốhoặckhoảng tin cậy.

• Bài tốn 2: Biết kích thước mẫu n, biết sai số ε, tìm độ tin cậy.
( n 1)
 /2

t



 n
s

,




2

   1


Chương 5

§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.2.2 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn,

chưa biếtn< 30.

•Bàitốn 3: Biếtđộ tin cậy, biếtsaisố, cầntìmkíchthướcmẫutốithiểu.
Ta sửdụngphươngphápmẫukép.

Bước 1: Ta điều tra mẫu sơ bộ kích thước k
W = (X1,X2,…,Xk) từ đó tìm được S’k


Chương 5

§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.2.2 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn,

chưa biếtn< 30.

Bước 2: Giảsửcầnđiềutramẫucókíchthước n: W = (X1,X2,…,Xn)
Xâydựng TK:

1 n
Xi  

n i 1
( k 1)
T
~
T
S k'
n

Lập luận tương tự ta có:



' ( k 1)
k  /2

S .t

n

 S .t
 n  
 

' ( k 1)
k  /2





2