(LUẬN văn THẠC sĩ) tính ổn định của hệ động lực và ứng dụng trong kinh tế

Mục lục
Mở đầu

2

Bảng các ký hiệu

4

1 Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
1.1 Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Công thức nghiệm Cauchy của hệ phương trình vi
phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Khái niệm ổn định của hệ phương trình vi phân .
1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định . . . . . . . .
1.2.1 Phương pháp thứ nhất Lyapunov . . . . . . . . .
1.2.2 Phương pháp thứ hai Lyapunov . . . . . . . . . .

5
5
6
7
8
8
18

2 Một vài ứng dụng trong kinh tế
2.1 Mơ hình Solow cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Mơ hình Solow với luật dân số Schoener . . . . . . . . .
2.2.1 Lập mô hình và nghiên cứu tính chất điểm cân
bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Hàm dân số Schoener và vai trò của tiến bộ công
nghệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31
32
35

Kết luận

47

Tài liệu tham khảo

48

1

TIEU LUAN MOI download :

35
43


MỞ ĐẦU
Lý thuyết ổn định nghiệm các phương trình vi phân do A.Lyapunow, một
nhà toán học người Nga đặt nền móng vào cuối thế kỉ 19 ngày càng có
nhiều ứng dụng trong các nghiên cứu lý thuyết và triển khai ứng dụng
[4,5,6,7,10,11,12]. Lý thuyết ổn định quan tâm đến dáng điệu nghiệm khi
thời gian dần về vô cùng. Các hệ phương trình như vậy thường được gọi
một cách đơn giản là các hệ động lực [1,2,4,5]. Việc nghiên cứu tính ổn

định thường được thực hiện bằng nhiều phương pháp, trong đó cơ bản
nhất là hai phương pháp được chính Lyapunov giới thiệu. Phương pháp
thứ nhất dựa vào tập phổ của hệ [1,2]. Phương pháp thứ hai dựa vào một
loại hàm bổ trợ, thường được gọi là hàm Lyapunov[9,10,11]. Sau phần tổng
quan về lý thuyết ổn định, luận văn sẽ trình bày cách vận dụng các kiến
thức cơ bản của lý thuyết này để phân tích tính chất của một loại mơ hình
Kinh tế rất nổi tiếng là mơ hình Solow (giải thưởng Nobel về Kinh tế năm
1987) [7,8]. Việc phân tích định tính mơ hình Solow về tăng trưởng kinh
tế sẽ giải thích được nhiều câu hỏi về các hiện tượng tăng trưởng của các
nền kinh tế đóng. Sự tăng trưởng của nền kinh tế chỉ tập trung vào một
số yếu tố chính như tỷ số vốn trên lao động, tỷ số đầu ra trên lao động và
lượng lao động [6,9]. Luận văn gồm 2 chương:
- Chương 1 trình bày kiến thức tổng quan về phương trình vi phân và lý
thuyết ổn định.
- Chương 2 trình bày kết quả nghiên cứu của chúng tơi về định tính mơ
hình Solow.
Chương 1 bao gồm các kiến thức đã có, chúng tơi chỉ là người hệ thống lại.
Chương 2 là phần cải tiến mơ hình theo cách của chúng tơi với hy vọng
nhận được mơ hình mới có những đặc điểm tốt hơn so với mơ hình ngun
thuỷ. Việc cải tiến được thực hiện bằng cách thay thế luật tăng trưởng
dân số dạng mũ của Malthus trong mơ hình ngun thủy bằng luật tăng
2

TIEU LUAN MOI download :


trưởng dân số Schoener. Chúng tôi chọn hàm biến động dân số này là vì
các lý do sau: Chưa có cơng trình nào trước đây đã làm cơng việc này.
Hàm tăng trưởng Schoener có một vài ưu thế so với các hàm dân số khác,
dễ thấy nhất là khi thời gian dần về vô cùng lượng dân số tiến tới giá trị

L2 , trong đó L2 = L(r, b, c), nghĩa là giá trị tới hạn này có thể điều chỉnh
tuỳ theo tình thế bằng cách thay đổi độ lớn các tham số r, b, c (đặc trưng
độ tăng tuyến tính, độ tự tiêu hao, độ cạnh tranh của quần thể). Điều này
là khác so với các giá trị bất biến L∞ trong tăng trưởng dân số Bentalanffy
hay L∗ trong tăng trưởng dân số Richards. Với hàm dân số mới chúng tơi
nhận được kết quả về tính ổn định, ổn định tiệm cận, tính hút tồn cục
của mơ hình Solow tương ứng. Chúng tơi có so sánh những điểm giống
nhau và khác nhau giữa mơ hình ngun thủy với mơ hình được cải tiến.
Đây là lần đầu tiên em làm quen với việc đọc các bài báo mới rồi thay
đổi các dự kiện để tự thực hiện các tính tốn mới, rút ra kết luận, trình
bày và chứng minh theo cách của mình. Vì thế, bản luận văn chắc chắn
khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót. Kính mong các thầy và các bạn đồng
nghiệp chỉ bảo và lượng thứ.
Bản khoá luận được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS.
Nguyễn Sinh Bảy. Nhân dịp này em xin cảm ơn thầy đã dành nhiều thời
gian để hướng dẫn và giúp đỡ em trong học tâp các kiến thức chuyên ngành
và trong việc hoàn thiện bản luận văn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến lãnh đạo và các thầy cơ trong Khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Sau Đại
Học, trường ĐHKHTN, ĐHQGHN về kiến thức quý giá mang lại cho em
trong thời gian học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn các thầy và
các bạn trong Xemina của tổ Giải tích, ĐHKHTN. Cảm ơn các bạn trong
tập thể lớp Cao học, cảm ơn gia đình, người thân về những lời động viên,
khích lệ.
Hà Nội, 12/2011
Nguyễn Thùy Linh

3

TIEU LUAN MOI download :

Bảng các ký hiệu
R - tập số thực. R+ := [0; ∞)
Rn - không gian vec tơ n chiều. X - không gian Banach

U (t, s) - ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất
E - tập các nghiệm của một phương trình vi phân
χ[φ], φ ∈ E - số mũ đặc trưng của nghiệm x = φ(t)
χ[f ] - số mũ cả của phương trình x˙ = f (t, x)
K - lớp hàm . H - ma trận Hurwitz
K := K(t) - lượng vốn của quốc gia được xem xét tại thời điểm t
L := L(t) - lượng lao động tại thời điểm t
I := I(t) - lượng đầu tư tại thời điểm t
G := G(t) - đại lượng đặc trưng cho sự tiến bộ về năng lực sản xuất của
mỗi lao động

Y := Y (t) - sản lượng của quá trình sản xuất tại thời điểm t
δ - chỉ số sụt giảm vốn
n - tốc độ tăng trưởng dân số
g - tốc độ tiến bộ của công nghệ
k - tỷ số vốn trên lao động
s - chỉ số tích lũy
t - biến thời gian
y - tỷ số đầu ra trên lao động.

4

TIEU LUAN MOI download :

Chương 1

Tính ổn định nghiệm của
hệ phương trình vi phân
1.1

Tổng quan

Xét phương trình vi phân:

x˙ = f (t, x)

(1.1)

trong đó f : R+ × D −→ X : (t; x) −→ f (t; x);
R+ = [0; +∞); D ⊆ X là một miền đơn liên của không gian Banach X .
Trong luận văn ta chỉ xét với X = Rn .
Với một điểm cho trước (to ; xo ) ∈ G := R+ × D, ký hiệu x(t) :=

x(t; to ; xo ) dùng để chỉ nghiệm của phương trình (1.1), thỏa mãn điều kiện
ban đầu (to ; xo ) theo nghĩa x(to ) = x(to ; to ; xo ) = xo .
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm:
5

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Định lý 1.1.[1] Giả sử với hệ (1.1):

(i) Hàm f liên tục theo (t, x) trên miền G = R+ × D, D mở trong X ;
(ii) Hàm f lipschitz theo biến x (x ∈ D).
Khi đó, với mỗi điểm ban đầu cho trước (to ; xo ) ∈ G đều tồn tại duy nhất
một nghiệm của phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho.
Trong trường hợp đó, có thể kéo dài nghiệm theo trục t đến vơ cùng.

1.1.1

Cơng thức nghiệm Cauchy của hệ phương trình
vi phân tuyến tính

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính: [1,2]

x˙ = A(t)x + f (t)

(1.2)

thỏa mãn x(to ) = xo . Khi đó, hệ (1.2) có nghiệm tổng quát là:
t

x(t) = U (t, to )xo +

U (t, τ )f (τ )dτ.
to

trong đó U (t, τ ) là ma trận cơ bản của hệ (1.2). Ma trận này có các tính
chất:

U (t, t) = I ∀t ≥ 0;
U (t, s)U (s, τ ) = U (t, τ ) ∀t ≥ s ≥ τ ≥ 0;

dU (t, s)
= A(t)U (t, s) ∀t ≥ s ≥ 0.
dt
Nếu A(t) là ma trận hằng thì U (t, τ ) = eA(t−τ ) . Khi đó, hệ phương
trình vi phân tuyến tính với ma trận hằng có nghiệm:
t
A(t−to )

x(t) = e

eA(t−τ ) f (τ )dτ.

xo +
to

6

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân

1.1.2

Khái niệm ổn định của hệ phương trình vi
phân

Ta ln giả thiết hàm f trong phương trình:

x˙ = f (t, x)

(1.3)

là đủ tốt để điều kiện tồn tại, duy nhất và kéo dài nghiệm được thỏa mãn.
Định nghĩa 1.1.[1,2] Giả sử x = x∗ (t) là một nghiệm của hệ (1.1).

• Nói nghiệm này ổn định nếu: ∀to ≥ 0, ∀ > 0, ∃δ = δ( , to ) sao
cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) xuất phát từ (to ; x(to )) thỏa mãn

x(to ) − x∗ (to ) < δ thì cũng thỏa mãn x(t) − x∗ (t) <

∀t ≥ to .

• Nếu x = x∗ (t) ổn định và có thêm tính hút, nghĩa là tồn tại δ1 > 0
sao cho:

x(to ) − x∗ (to ) < δ1 ⇒ x(t) − x∗ (t) → 0
khi t → ∞ thì nghiệm nói trên (và bản thân hệ) được gọi là ổn định
tiệm cận.

• Nếu δ, δ1 có thể chọn khơng phụ thuộc vào to thì các nghĩa ổn định
trên được gọi là ổn định đều.

• Tại t = to nếu tồn tại N > 0, δ > 0 sao cho:
x(t) − x∗ (t) ≤ N e−δ(t−to )

∀t ≥ to .

thì ta nói hệ là ổn định mũ.

7

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Trong trường hợp nghiệm x = x∗ (t) có tính hút tại t = to thì tập Ωto :=

{xo ∈ D : x∗ (t) − x(t) → 0 khi t → +∞} được gọi là miền hút của
nghiệm này tại thời điểm to . Khi miền hút không phụ thuộc vào to , nếu

Ω = Rn thì nói nghiệm trên là hút tồn cục, Ω = D thì nói nghiệm trên
là hút tồn cục trên tập D.

Để bài tốn được đơn giản, ta thường cho thêm giả thiết:

f (t, 0) = 0 ∀t ≥ 0.
Khi đó, nghiệm x = x∗ (t) thường lấy là nghiệm tầm thường x = x∗ (t) ≡

0 ∀t ≥ 0. Trong trường hợp x∗ (t) khơng tầm thường thì dùng phép đổi
biến z(t) = x(t) − x∗ (t) đưa hệ (1.1) về hệ của biến z : z˙ = g(t; z) với tính
chất: g(t; 0) = 0 ∀t ≥ 0.

1.2

Các phương pháp nghiên cứu tính ổn
định

Ta có thể khảo sát tính ổn định bằng phương pháp thứ nhất Lyapunov, phương pháp thứ hai của Lyapunov, các bất đẳng thức chuyên
dụng hoặc khảo sát trực tiếp theo định nghĩa.

1.2.1

Phương pháp thứ nhất Lyapunov

Phương pháp này nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi
phân được thực hiện thơng qua việc tìm tập phổ của hệ phương trình.
Một khái niệm ta sẽ nói tới ngay sau đây.

8

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Xét phương trình vi phân:

x˙ = f (t, x),

(1.4)

t ∈ R+ , x ∈ X (X = Rn ).
Ký hiệu E là tập nghiệm của phương trình này. Ta sẽ xây dựng phiếm hàm

χ : E −→ R như sau:
Nếu ϕ ≡ 0 ta lấy χ[0] = 0.
Nếu ϕ(t) = 0, ta đặt:

ln ||ϕ(t)||
t→+∞

t

χ[ϕ] = lim

và gọi giới hạn này là số mũ đặc trưng của nghiệm x = ϕ(t).
ln ||ϕ(t)||
t
t→+∞

Nếu lim

ln ||ϕ(t)||
t
t→+∞

= lim

là hữu hạn thì χ[ϕ] gọi nó là số mũ

đặc trưng ngặt của hàm x = ϕ(t).
Định nghĩa 1.2.[1] Tập hợp các số mũ đặc trưng riêng (khác ±∞)
của các nghiệm đặc trưng của hệ (1.4) được gọi là tập phổ Lyapunov của
hệ phương trình vi phân đó:

σ[f ] = {χ[ϕ] : ϕ ∈ E}.

Tính chất của số mũ đặc trưng.[1] Với ϕ, ψ không tầm thường,
ta có:
1. χ[||ϕ||] = χ[ϕ];
2. χ[kϕ] = χ[ϕ];

9

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
3. ||ϕ(t)|| ≤ ||ψ(t)|| ⇒ χ[ϕ] ≤ χ[ψ];
4. χ[ϕ + ψ] ≤ max{χ[ϕ], χ[ψ]};
5. χ[||ϕ.ψ||] ≤ χ[ϕ] + χ[ψ];
6. χ[ ϕ1 ] = −χ[ϕ] nếu ∃T > 0 : ϕ(t) = 0 ∀t ≥ T và χ[ϕ] là ngặt.
Số mũ Lyapunov nhỏ nhất và lớn nhất:

χmax [f ] = max{χ[ϕ] : ϕ ∈ E};
χmin [f ] = min{χ[ϕ] : ϕ ∈ E}.
Khái niệm số mũ đặc trưng cũng được mở rộng cho các ma trận hàm như
sau:

Định nghĩa1.3. Số mũ đặc trưng của ma trận hàm trên [0, ∞)

A(t) = (aij (t))n×n
là:

χ[A] = max χ[aij ].
i,j

Số mũ đặc trưng này có thể hữu hạn hoặc bằng ±∞.
Tính chất. Giả sử A(t), B(t) là các ma trận hàm cỡ n×n trên [0, ∞)
thì ta cũng có các hệ thức:
1. χ[A] = χ[ A ];
2. χ[A + B] ≤ max {χ[A], χ[B]};

3. χ[AB] ≤ χ[A] + χ[B].
10

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Trên đây là các khái niệm số mũ đặc trưng trên hệ tổng quát. Ta sẽ tìm
hiểu chi tiết hơn trên một số loại hệ phương trình đặc biệt.

Số mũ Lyapunov của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Xét hệ:

x˙ = A(t)x. (x ∈ Rn )
Đầu tiên ta xét trường hợp autonomous.

a. Hệ autonomous
Xét hệ:

x˙ = Ax

A - ma trận hằng.

(1.5)

Giả sử ma trận hằng A có n giá trị riêng, trong đó λ1 , λ2 , ..., λk là các giá
trị riêng thực với bậc bội tương ứng là s1 , s2 , ..., sk . và λk+1 , λk+2 , ..., λk+h
là các giá trị riêng phức thực sự với bậc bội tương ứng là r1 , r2 , ..., rh .
Ta biết rằng tập nghiệm của hệ (1.5) bao hàm từ tập các tổ hợp tuyến
tính của các vectơ dạng:

Rj (t)vj eReλj t ,
trong đó: Rj (t) = Psj −1 (t) với j = 1, k;

Rj (t) = Prj −1 (t)cos(Imλj )t + Qrj −1 sin(Imλj )t với j = k + 1, k + h.
R˙ j (t)
t→∞ Rj (t)

Ta nhận xét rằng lim
chọn:

= 0 ∀j . Ta thấy, nếu trong tổ hợp tuyến tính


1 khi p = j
Cp =
0 khi p = j

thì nghiệm có dạng:

xj (t) = vj i Pj (t)eReλi t (vj i ∈ R)

11

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân

vji lnPj (t)

⇒ χ[xj ] = lim Reλj +
= Reλj .
t→∞
t
Cho j chạy từ 1 đến k + h, ta thấy số mũ của các nghiệm xj của hệ chính
là phần thực của giá trị riêng λj tương ứng.
Tiếp theo, nghiệm tùy ý x(t) có dạng:

x(t) =

Cj xj (t).
j

Theo tính chất của số mũ đặc trưng, ta có:

χ[x] = max χ[xj ].
j

Vậy khơng có thêm các số mũ đặc trưng nào khác ngoài:

σ(A) = {Reλj : det(A − λI) = 0}.
Như vậy, với hệ thuần nhất dừng, tập phổ Lyapunov khơng gì khác tập
phần thực của các giá trị riêng.

Định lí 1.2.[1,2] Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.5) ổn định nếu:

Reλj ≤ 0 ∀λj ∈ σ(A),
trong đó các nghiệm đặc trưng có phần thực bằng khơng đều có ước cơ bản
đơn. Nếu

Reλj < 0 ∀λj ∈ σ(A)
thì hệ là ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Gọi λj là tất cả các nghiệm đặc trưng của ma trân A. Chúng
12

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
có phần thực khơng âm. Giả sử λj = αj + iβj , (j = 1, 2, ..., p). Mọi nghiệm
của phương trình đều có dạng:
p

eαj t eiβj t vj Pj (t),

x(t) =
j=1

trong đó vj Pj (t) là hàm - vectơ đa thức nào đó có bậc nhỏ hơn số bội của

λj .
Với αj < 0, ta có:

eαj t Pj (t) → 0 khi t → ∞,
và

|eiβj t | = 1
nên x(t) → 0 khi t → +∞. Với αj = 0 khi đó Pj (t) là hằng số, do đó

eαj t eiβj t vj Pj (t) là bị chặn trên R+ . Như vậy, mọi nghiệm x(t) bị chặn trên

nửa trục to ≤ t < +∞. Ta sẽ chứng minh x(t) ≡ 0 ổn định. Thật vậy, gọi

X(t) là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn hóa của hệ (1.5):
X(t) = [xjk (t)],
trong đó X(t0 ) = E . Vì mọi nghiệm x(t) của hệ giới nội nên ma trận X(t)
giới nội, giả sử M > 0:

X(t) ≤ M

∀t > to .

Ta có: x(t) = X(t)x(to ) nên ∀ > 0, to ∈ R+ , ∃δ =

M

sao cho x(to ) < δ

thì:

x(t) ≤ X(t) . x(to ) < M.

M

< .

Vậy x(t) ≡ 0 ổn định Lyapunov hay hệ (1.5) ổn định theo Lyapunov.
Khi Reλj < 0 ∀λj ∈ σ(A) như ở phần chứng minh trên ta thấy x(t) → 0
13

TIEU LUAN MOI download :

Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
khi t → +∞. Nghiệm tầm thường lại là ổn định. Vậy nó ổn định tiệm
cận.
Tiêu chuẩn Hurwitz.
Giả sử phương trình đặc trưng det(A − λI) = 0 của hệ (1.5) là:

f (λ) = a0 + a1 λ + a2 λ2 + ... + an−1 λn−1 + an λn .
Việc giải phương trình phức bậc n này là khó hoặc khơng thể. Vì thế ta
sẽ gặp khó khăn để nhận biết phần thực của các giá trị riêng phân bố ra
sao so với trục ảo. Tiêu chuẩn sau đây cho phép ta khơng cần giải phương
trình đặc trưng mà vẫn biết được sự phân bố nói trên của tập phổ. Ta nói
đa thức f (λ) trên đây có dạng chuẩn nếu a0 > 0 và an = 0, (n ≥ 1). Nếu
có thêm phần thực của mọi giá trị riêng đều âm thì nói đây là một đa thức
Hurwitz. Khi đó, ma trận tương ứng sau gọi là ma trận Hurwitz:


a1
a3
a5
..
.

a0
a2
a4
..
.

0
a1
a3
..
.

0
a0
a2
..
.

0
0
a1
..
.




H=



a2n−1 a2n−2 a2n−3 a2n−4 a2n−5


... 0


... 0 

... 0 

..
.. 
.
.
. . . an

Ở đây: as = 0 khi s < 0 hoặc s > n.
Định lý 1.3.[1,2] Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) Hệ (1.5) ổn định tiệm cận;
(ii) f (λ) là đa thức Hurwitz;
(iii) Mọi định thức con chính của ma trận Hurwitz đều dương, trong đó

14

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân




∆1 = a1 > 0







a a

∆2 = 1 0 > 0
a3 a2





...............




∆ = a ∆
n
n n−1 > 0
gọi là các định thức con chính của H.

b. Trường hợp nonautonomous.

x˙ = A(t)x

(1.6)

Với hệ này, ta khơng cịn khái niệm phương trình đặc trưng. Việc tìm các
số mũ đặc trưng là khó hơn. Tuy nhiên, ta có các kết quả sau:

Định lý 1.4. Nếu ma trận hàm A(t) = [aij (t)]n×n là liên tục và bị
chặn trên R+ thì mọi nghiệm khơng tầm thường của nó đều có số mũ đặc
trưng hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử A(t) ≤ M ∀t ∈ R+ .
Theo công thức nghiệm Cauchy:
t

x(t) = xo +

A(s)x(s)ds
0
t

⇒ x(t) ≤ xo +

A(s)

x(s) ds.

0

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có:

x(to ) e−

t
0

A(s) ds

≤ x(t) ≤ x(to ) e

t
0

A(s) ds

15

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân

⇒ χ[ x(to ) e−

t
0

A(s) ds

] ≤ χ[ x(t) ] ≤ χ[ x(to ) e

t
0

A(s) ds].

(∗)

Do χ[ cϕ ] = χ[ϕ] và χ[ ϕ ] = χ[ϕ] nên từ (∗),ta có:

χ[e−

t
0

A(s) ds

] ≤ χ[x(t)] ≤ χ[e

t
0

A(s) ds

]

⇒ − c ≤ χ[x(t)] ≤ c,
(Vì χ[e

t
0

A(s) ds

] = lim

t→+∞

t
0

A(s) ds
t

ct
t→+∞ t

≤ lim

= c).

Định lý trên cho ta biết mọi số mũ đặc trưng của (1.6) là hữu hạn nếu

A(t) là liên tục và bị chặn trên R+ . Tiếp theo ta quan tâm đến số lượng
các phần tử của tập phổ.

Định lý 1.5.[5] Nếu ma trận hàm A(t) là liên tục và bị chặn trên
R+ thì số mũ đặc trưng của hệ x˙ = A(t)x chỉ là hữu hạn phần tử. Nếu ký
hiệu chúng qua αi , ta có thể sắp xếp

α1 < α2 < ... < αk ,
trong đó k ≤ n và αi là nghiệm bội si . Hơn nữa: s1 + s2 + ... + sk = n.
Tính ổn định của hệ tựa tuyến tính hệ số hằng.
Xét hệ phương trình trong Rn :

x˙ = Ax + f (t, x)

(1.7)
f (t,x)
x
t→0

Định lý 1.6. Nếu A là ma trận ổn định và lim

= 0 ∀t ∈ R+

thì hệ (1.7) là ổn định tiệm cận.

16

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Chứng minh. Nghiệm Cauchy của (1.7) là:
t

x(t) = eA(t−to ) +

eA(t−s) f (s, x(s))ds.
0

Vì A là ma trận ổn định nên cũng là ổn định mũ. Vậy tồn tại N > 0 và

δ > 0 sao cho:
eAt ≤ N e−δt ∀t ≥ 0.
Do đó:

x(t) ≤ N e

−δ(t−to )

t

xo +

N e−δ(t−s) f (s, x(s)) ds.

0
f (t,x)
x
x→0

Vì lim

= 0 ∀t ∈ R+ nên với > 0 cho trước đều tồn tại δ1 > 0 sao

cho:

x(t) < δ1 ⇒ f (t, x) ≤

x(t)

∀t ≥ 0.

Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có:

x(t) ≤ N xo e−δ(t−to )e
Vậy với

<

δ
N

t
to N ds

= N xo e(N

−δ)(t−to )

∀t ≥ to .

thì x(t) → 0 khi t → ∞. Khi đó, hệ là ổn định tiệm

cận.
Ví dụ 1.1. Xét hệ:

x˙ = −2x − 5x + 1 x2 sin2 t
1
1
2
4 1
x˙ = x − 3x + 1 x2 sin2 t
2
1

2
4 1
Ta có:

A=

−2 −5
1 −3

det(A − λI) = 0 ⇔ λ = −3 ± 2i.
17

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Vậy A là ma trận ổn định.
Lại có:

f (t, x) = f (x) =

1 2
2
4 x1 sin t
1 2
2
4 x1 sin t

⇔ f (t, x) ≤

1
x 2.
4

Dễ thấy:

lim

x→0

1
f (t, x)
= x = 0.
x
4

Vậy theo định lý hệ trên hệ là ổn định tiệm cận.

Định lý 1.6 cũng đúng cho hệ khơng dừng dạng tựa tuyến tính nếu

f (t, x) bị chặn trên R+ :
x˙ = A(t)x + f (t, x).
Ma trận A(t) ổn định, nghĩa là ∃N > 0, δ > 0 sao cho ma trận cơ bản

U (t, s) thỏa mãn:
U (t, s) ≤ N e−δ(t−s) ∀t ≥ s ≥ 0;
t

x(t) = U (t, to )xo +

U (t, s)f (s, x(s))ds.
to

1.2.2

Phương pháp thứ hai Lyapunov

Phương pháp này khảo sát tính ổn định nghiệm của hệ phương trình
vi phân thông qua một hàm bổ trợ gọi là hàm Lyapunov [1,2]. Các kết quả
nhận được chỉ là các điều kiện đủ để hệ ổn định.

18

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Xét hệ:

x˙ = f (t, x)

(1.8)

trong đó f (t, 0) = 0. Ký hiệu:

D := {(t, x) : 0 ≤ t < ∞, x < H} = R+ × Ω.
K := {ϕ : R+ −→ R+ , ϕ(0) = 0, liên tục và đơn điệu tăng trên R+ }. (lớp Hahn)
Định lí 1.7.[9] Giả sử tồn tại hàm V : R+ × Ω −→ R+ khả vi liên
tục theo t và x trên tập D và trên D có:

(i) V (t, 0) = 0 ∀t ∈ R+ ;
(ii) Tồn tại hàm a(.) ∈ K sao cho: a( x ) ≤ V (t, x) ∀(t, x) ∈ R+ × Ω;
(iii) V˙ (t, x) ≤ 0 ∀(t, x) ∈ R+ × Ω.
Khi đó, nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.8) là ổn định.
Chứng minh. Với

> 0 cho trước.

Vì a(.) đồng biến trên R+ nên

a( ) > a(0) ⇒ a( ) > 0.

(a(0) = 0)

Cố định to > 0, hàm V (to , x) liên tục theo biến x và V (to , 0) = 0. Do đó,
với a( ) > 0 tồn tại lân cận Bδ (0) sao cho x(to ) ∈ Bδ (0):

V (to , x(to )) < a( ).

(1∗)

Vì V˙ (t, x) ≤ 0 nên V (t, x) là hàm đơn điệu giảm theo t. Do đó:

V (t, x(t)) ≤ V (to , x(to )) ∀t > to .

(2∗)

19

TIEU LUAN MOI download :

Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Theo (ii):

a( x ) ≤ V (t, x).

(3∗)

Từ (1∗), (2∗) và (3∗), suy ra:

a( x(t) ) ≤ V (t, x(t)) ≤ V (to , x(to )) < a( ).
Vì a(.) đồng biến, suy ra:

∀t ≥ to .

x(t) <
Vậy x(t) ≡ 0 ổn định.

Định lí 1.8. Nếu thay điều kiện (ii) trong Định lí 1.7 bằng điều kiện

(ii ) sau:
(ii )

a( x ) ≤ V (t, x) ≤ b( x ) ∀(t, x) ∈ R+ × Ω,

trong đó a(.), b(.) ∈ K thì nghiệm x(t) ≡ 0 ổn định đều.
Chứng minh. Vì b(.) ∈ K nên với

> 0, ta có: b−1 ( ) > 0.

Chọn δ = b−1 (a( )). Giả sử nghiệm x(t) thỏa mãn: x(to ) < δ . Khi đó,
theo (ii ):

V (to , x(to )) ≤ b( x(to ) ) < b(δ) = b(b−1 (a( ))) = a( ).
Suy ra:

V (to , x(to )) < a( ).

(4∗)

Vì V (t, x) ≤ 0 nên V (t, x) là hàm đơn điệu giảm theo t. Do đó:

V (t, x(t)) ≤ V (to , x(to )) ∀t ≥ to .

(5∗)

20

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Theo (ii ):

a( x ) ≤ V (t, x).

(6∗)

Từ (4∗), (5∗) và (6∗), ta có:

a( x(t) ) ≤ V (t, x(t)) ≤ V (to , x(to )) < a( ) ∀t ≥ to .
Vì a(.) đồng biến, suy ra:

x(t) <

∀t ≥ to .

Mà δ = b−1 (a( )) không phụ thuộc vào to nên x(t) ≡ 0 ổn định đều.
Hàm Lyapunov gọi là chặt nếu thỏa mãn thêm cả hai điều kiện sau:

(iv) ∃a, b ∈ K : a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||) ∀(t, x) ∈ R+ × Ω.
(v) ∃c(.) không giảm, xác định dương trên R+ sao cho: V˙ (t, x) ≤ −c(||x||) ∀t ≥
0, x ∈ Ω \ {0}.
Định lí 1.9. Nếu hệ phương trình (1.8) có hàm Lyapunov chặt thì nó
ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh. Theo hai định lý trên với các giả thiết của định lý ta có tính
ổn định đều của nghiệm x(t) ≡ 0. Ta chỉ cần chỉ ra tính hút về 0 khi

t → +∞. Quả vậy, từ (v), hàm V (t, x(t)) là giảm theo t và bị chặn dưới
bởi 0. Vậy phải tồn tại giới hạn sau đây (và ta gọi nó là q ):

lim V (t, x(t)) := q.

t→+∞

Do V (t, x) ≥ 0 nên q ≥ 0. Ta xét hai trường hơp sau:
+) Nếu q = 0 thì từ (i), ta có a(||x(t)||) → 0 khi t → 0. Do a(.) là đơn
điệu tăng nên từ đây ta có ||x(t)|| → 0 khi t → 0. Đó là điều cần chứng
21

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
minh.
+) Ta sẽ chỉ ra trường hợp q > 0 không thể xảy ra. Quả vậy, giả sử ngược
lại q > 0. Khi đó tồn tại T ≥ 0 và p ∈ (0; q) sao cho V (t, x(t)) > p ∀t ≥ T.
Theo (iv): V (t, x) ≤ b(||x||) nên ta có:

||x(t)|| ≥ b−1 (p) ∀t ≥ T.
Kéo theo:

c(||x||) ≥ c(b−1 (p)).
Vì vậy,
t

t

V˙ (s, x(s))ds ≤ −

T

c(||x(s)||)ds.
T

Hay với mọi t ≥ T , ta có:

V (t, x(t))− ≤ V (T, x(T )) − c(b−1 (p))(t − T )
⇔ V (t, x(t)) ≤ V (T, x(T )) − c(b−1 (p))(t − T ).

Khi t → +∞ dễ thấy vế phải của bất đẳng thức cuối dần về −∞. Điều đó
trái với giả thiết xác định dương của V (t, x(t)). Mâu thuẫn này cho thấy
điều giả sử q > 0 là vơ lý. Định lý được chứng minh.
Ví dụ 1.2. (Minh họa cho phương pháp thứ nhất)
Xét hệ:

X˙ = AX,
A=

X=

x1
x2

−7 −5
2 −1

Ta có: det(A − λI) = λ2 − 8λ + 17 = 0 ⇔ λ1,2 = −4 ± i.
22

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Vì:

Reλ1 = Reλ2 = −4 < 0.
nên hệ ổn định tiệm cận.

Ví dụ 1.3. (Minh họa cho phương pháp thứ hai)

Xét hệ:

X˙ = AX,
A=

Chọn V (t, x) = x

2

X=

x1
x2

−1 1
1 −1

= x21 + x22 và a(s) = s2 , ta có:

V (t, x) = x21 + x22 = x

2

= a( x ) = b( x );

V (t, 0) = 02 + 02 = 0 ∀t ≥ 0;
V˙ (t, x) = 2x1 x˙ 1 + 2x2 x˙ 2
= 2x1 (−x1 + x2 ) + 2x2 (x1 − x2 )
= −2(x21 + x22 )
= −2 x

2

.

Chọn c(s) = 2s2 , ta có:

V˙ (t, x) ≤ −c( x ).
Vậy hệ ổn định tiệm cận đều.

Chú ý. Trong Định lý 3 điều kiện tồn tại hàm Lyapunov chặt là thực
sự cần thiết. Thiếu điều kiện này sự ổn định tiệm cận là không được bảo
23

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
đảm. Điều đó có thể thấy qua phản ví dụ sau của Masera (1949).
Ví dụ 1.4. Giả sử g(.) : R+ −→ R là một hàm khả vi, giảm cùng
với hàm y = e−t trừ một số vô hạn các "khe" hở tại t = n ∈ Z+ với độ
1 n
2

dài của đoạn thẳng tương ứng trên R+ là

và y(n) = 1 ∀n ∈ Z+ .

Xét phương trình trong R1 :

g(t)
˙
x.
g(t)

x˙ =
Nghiệm qua (to , xo ) là:

x(t) =
Rõ ràng với xo = 0 thì x(n) =

g(t)
xo .
g(to )

g(n)
g(xo ) xo

xo
g(xo )

=

= 0.

Vậy x(t) không bị hút về 0 khi t → +∞ nên hệ không thể là ổn định tiệm
cận. Trong khi đó, nếu chọn

x2
V (t, x) = 2

3−
g (t)

t

g 2 (s)ds
0

thì ta có thể thấy:

V (t, x) khả vi, xác định dương trên R+ và V (t, 0) = 0;
V˙ (t, x) ≤ −c( x ) với c ∈ K,
(V (t, x) khả vi vì g(t) khả vi).
Nhận thấy:
∞

∞
2

g (s)ds <
0

∞

−s

e ds +
0

1

( )n = 2.
2
n=1

Lại có: g 2 (t) ≤ 1 ∀t ≥ 0.
Cho nên V (t, x) =

x2
g 2 (t)

3−

t 2
0 g (s)ds

≥ x2 := a( x ) với a ∈ K.

24

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Đạo hàm của V (t, x) :

∂V ∂x
∂V
+
V˙ (t, x) =
∂t

∂t ∂t
t
˙
x2
2 g(t)g(t)
2
= −2x
3−
g (s)ds + 2 [−g 2 (t)]
4
g (t)
g (t)
0
t
g(t)
˙
2x
3−
g 2 (s)ds .
x
+ 2
g (t)
g(t)
0
= −x2 .
Gọi −c( x ) := −x2 , có c(.) ∈ K. Như vậy mọi điều kiện của Định lý 3
đều thỏa mãn trừ giả thiết V (t, x) ≤ b( x ) ∀(t, x) ∈ R+ × Ω thì định lý
vẫn khơng đúng.

Tính khơng ổn định.

Xét hệ (1.8):

x˙ = f (t, x); f (t, 0) = 0 ∀t ≥ 0,
f : R+ × Ω → Rn (Ω ⊆ Rn ).
Đối lập với khái niệm nghiệm ổn định, ta có thể định nghĩa nghiệm không
ổn định như sau:

Nghiệm x(t) ≡ 0 của hệ (1.8) gọi là không ổn định nếu ∃

o

> 0,

∃to ≥ 0 sao cho ∀δ > 0, ∃xo ∈ Bδ (0) và ∃t1 > to sao cho
x(t1 ; to ; xo ) >

o.

25

TIEU LUAN MOI download :