Tài liệu Bài giảng giải tích potx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.03 MB, 188 trang )
1
BỘ MÔN TOÁN HỌC
CHỦ BIÊN : NGUYỄN VĂN ĐẮC
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH
(Toán I – II, dành cho khối ngành kinh tế)
2
MÔN HỌC: TOÁN I - II (Giải tích)
- Số tín chỉ : 4 (3.1.0) - Số tiết : 60 tiết ; LT: 45 tiết ; BT: 15 tiết .
- Chương trình đào tạo ngành: Dành cho các ngành kinh tế
- Đánh giá: Điểm quá trình : 40% Điểm thi kết thúc: 60% (thi cuối kỳ - hình thức thi: viết, 90 phút)
- Tài liệu chính thức:
+ James Stewart Calculus early vectors , Texas A & M University .
+ Toán cao cấp (Nguyễn Đình Trí chủ biên) tập 2, tập 3.
+ Toán cao cấp phần giải tích dành cho các nhóm ngành kinh tế của các trường kinh tế.
LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY LÝ THUYẾT (Syllabus)
Buổi Nội dung lý thuyết (2 tiết / 1 buổi)
1 + Phổ biến đề cương và thông báo các quy định của Bộ môn về môn học.
+ Hàm số: các hàm cơ bản và cách thiết lập hàm mới từ các hàm đã biết.
+ Một số hàm trong kinh tế.
2 + Giới hạn của dãy số.
+ Giới hạn của hàm số.
+ Các dạng vô định.
3 + Vô cùng bé- Vô cùng lớn.
+ Khử các dạng vô định bằng VCL – VCB.
+ Tính liên tục của hàm số.
4 + Đạo hàm và ý nghĩa trong kinh tế.
+ Các quy tắc tính đạo hàm và bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản.
+ Quy tắc L’Hopital để khử dạng vô định.
5 + Vi phân của hàm số và ứng dụng- Các quy tắc tính vi phân.
+ Đạo hàm cấp cao và vi phân cấp cao.
+ Một số định lý về hàm khả vi.
6 + Khai triên Taylor và ứng dụng.
+ Ứng dụng đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
+ Ứng dụng trong kinh tế: Giá trị cận biên, hệ số co giãn, quyết định tối ưu.
7 + Hàm hai biến và ví dụ.
+ Giới hạn của hàm hai biến.
+ Tính liên tục.
8 + Đạo hàm riêng.
+ Vi phân toàn phần.
+ Đạo hàm riêng của hàm hợp.
3
9 + Hàm ẩn hai biến và đạo hàm riêng của hàm ẩn.
+ Vi phân toàn phần cấp cao.
+ Ứng dụng đạo hàm riêng trong kinh tế.
10 + Cực trị tự do và ứng dụng: Khái niệm, cách tìm, ứng dụng trong kinh tế.
11 + Cực trị có điều kiện ràng buộc.
+ Cực trị trên miền đóng và bị chặn.
+ Một số ví dụ trong kinh tế.
12 + Hàm cầu Marshall và hàm cầu Hick.
+ Kiểm tra giữa kỳ tại lớp lý thuyết.
13 + Khái niệm nguyên hàm (Tích phân bất định).
+ Các định lý.
+ Cách tìm nguyên hàm của một số lớp hàm.
14 + Khái niệm tích phân xác định.
+ Một số định lý cơ bản về tích phân xác định.
+ Cách tính.
15 + Tích phân suy rộng với cận vô hạn.
+ Tích phân suy rộng với cận hữu hạn.
+ Một số ví dụ về ứng dụng tích phân trong kinh tế.
16 Tích phân hai lớp:
+ Khái niệm.
+ Tính chất.
+ Các cách tính.
17 + Các khái niệm mở đầu về phương trình vi phân.
+ Một số dạng phương trình vi phân cấp I: Phân ly biến số; thuần nhất; tuyến tính; Bernoulli.
18 + Phương trình vi phân cấp 2 có thể hạ cấp
+ Phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng.
19 Chuỗi số:
+ Định nghĩa và một số tính chất.
+ Một số chuỗi thường gặp.
+ Một số tiêu chuẩn và dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương.
20 + Chuỗi đan dấu.
+ Chuỗi có số hạng với dấu bất kỳ.
21 + Chuỗi lũy thừa.
+ Đạo hàm và tích phân chuỗi lũy thừa.
+ Chuỗi taylor và Maclaurin.
22 Ôn tập và giải đáp thắc mắc
4
LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY BÀI TẬP (Syllabus)
Buổi Nội dung bài tập (2 tiết / 1 buổi)
1 Hàm số, giới hạn và sự liên tục của hàm số
2 Đạo hàm, vi phân hàm một biến và các ứng dụng
3 Hàm số hai biến, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn.
4 Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, giá trị lớn nhất nhỏ nhất và các ứng dụng
5 Hàm cầu Marshall, hàm cầu Hick. Nguyên hàm, tích phân xác định, tích phân suy rộng.
6 Tích phân hai lớp và phương trình vi phân
7 Chuỗi số, chuỗi hàm
CẤU TRÚC ĐỀ THI KẾT THÚC MÔN HỌC
Môn học: TOÁN I - II (Giải tích, dành cho kinh tế)
Hình thức thi: Tự luận - (Thời gian 90 phút)
Câu 1 (2 điểm) Giới hạn, hàm số và đạo hàm
+ Tính giới hạn.
+ Hàm liên tục, gián đoạn, khả vi, hàm ngược.
+ Ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế.
Câu 2 (2 điểm) Hàm nhiều biến
+ Tính đạo hàm riêng hàm 2 biến.
+ Cực trị hàm 2 biến và ứng dụng trong kinh tế.
Câu 3 (2 điểm) Tính tích phân
+ Tích phân 1 lớp.
+ Tích phân 2 lớp.
Câu 4 (2 điểm) Phương trình vi phân
+ Giải phương trình vi phân cấp 1.
+ Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2, hệ số hằng số với vế phải đặc biệt.
Câu 5 (2 điểm) Chuỗi
+ Tìm tổng của chuỗi; khảo sát sự hội tụ của chuỗi số.
+ Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa.
+ Khai triển hàm thành chuỗi luỹ thừa.
5
$1. HÀM MỘT BIẾN
Đối tượng chính của giải tích toán học là hàm số. Chương này đề cập đến những khái niệm cơ bản nhất về
hàm số một biến, cần nhấn mạnh là có bốn cách biểu thị một hàm số: Bằng phương trình, bằng bảng, bằng
đồ thị và bằng lời. Ngoài ra, có nhắc lại một số hàm đã học ở chương trình phổ thông và cách xây dựng hàm
mới từ các hàm đã cho, đặc biệt lưu ý về các hàm ngược. Cuối cùng là khái niệm về mô hình toán và một số
mối quan hệ hàm trong phân tích kinh tế.
Các mục chính:
1.1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến
1.2. Lập hàm số mới từ các hàm số đã biết
1.3. Mô hình toán học
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM MỘT BIẾN
1. Định nghĩa hàm một biến
Khái niệm hàm số xuất hiện khi có một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng khác.
Ta xét các tình huống sau đây:
A. Diện tích S của một đường tròn thì phụ thuộc vào bán kính r của nó, quy tắc kết nối giữa r với S
được cho bởi phương trình
. Mỗi số dương r được ấn định với một giá trị duy nhất của S, ta
nói S là hàm của r.
B. Dân số thế giới P thì phụ thuộc vào thời gian t. Bảng sau đây ghi lại
giá trị gần đúng của dân số thế giới P(t) tại thời điểm t.
Chẳng hạn
. Nhưng chắc chắn rằng với mỗi
t cho trước thì chỉ có duy nhất một giá trị P(t) tương ứng. Ta nói P là
hàm của t.
C. Chi phí vận chuyển bưu phẩm C thì phụ thuộc vào cân nặng w của
bưu phẩm. Mặc dù không có một công thức đơn giản xác lập mối quan
hệ của C theo w nhưng bưu điện vẫn có một quy tắc để xác định được
duy nhất một giá trị của C khi đã biết w. Như thế, C là hàm của w.
D. Gia tốc chuyển động thẳng đứng a của bề mặt trái đất được đo bởi
máy ghi địa chấn trong một trận động đất là một hàm của thời gian t.
Hình 1 là đồ thị được tạo ra bởi máy đo địa chấn trong suốt trận động
đất tại Los Angeles vào năm 1994.
Hình 1
Với mỗi giá trị t cho trước, dựa vào đồ thị ta tìm được duy nhất một giá trị a tương ứng.
Mỗi ví dụ trên mô tả một quy tắc, mà theo đó cứ mỗi giá trị được cho trước (r, t, w hoặc t) ta xác
định được duy nhất một số tương ứng (S, P, C hoặc a). Trong mỗi trường hợp đó ta nói số sau là
hàm của số trước. Tổng quát ta có định nghĩa.
6
Định nghĩa hàm một biến số
Cho D là một tập con khác của tập số thực .
Một hàm f là một quy tắc ấn định mỗi số cho trước thuộc tập D với duy nhất một số, ký hiệu là
f(x), trong tập E.
• D được gọi là tập xác định của f.
• Số f(x) được gọi là giá trị của f tại x, đọc là “ f tại x ”.
• Tập gồm các giá trị của f tại x,với x chạy khắp tập xác định, được gọi là tập giá trị của f.
• Ký hiệu được dùng để biểu thị cho số bất kỳ trong tập xác định của f được gọi là biến độc
lập, ký hiệu dùng để biểu thị cho số bất kỳ trong tập giá trị của f thì được gọi là biến phụ
thuộc. Trong Ví dụ A, r là biến độc lập và S là biến phụ thuộc.
Việc hình dung một hàm như một chiếc máy là việc rất có ích xem Hình 2.
Hình 2 Mô hình chiếc máy cho hàm số
Nếu x nằm trong tập xác định của hàm f , khi biến đầu vào x được đưa vào máy thì nó được
chấp nhận và máy sẽ tạo ra, theo quy tắc của f, “sản phẩm” là biến đầu ra f(x). Như thế, ta có thể
hình dung tập xác định là tập các biến đầu vào và tập giá trị là tập gồm các biến đầu ra.
Một cách khác để hình dung về một hàm số là dùng biểu đồ mũi tên như Hình 3.
Hình 3 Biểu đồ mũi tên cho hàm f.
Mỗi mũi tên kết nối một số thuộc tập xác định với giá trị được ấn định cho nó theo quy tắc f. Như
thế, f(x) là số được ấn định cho x, f(a) được ấn định cho a, và cứ thế.
Phương pháp phổ biến nhất để hình dung một hàm số là xét đồ thị của nó. Nếu f là một hàm số
với tập xác định là D, thì đồ thị của nó là tập gồm các cặp số có thứ tự
(Lưu ý, đây chính là cặp biến đầu ra-đầu vào.) Nói khác đi, đồ thị của f là tập gồm các điểm
(x, y) trên mặt phẳng tọa độ với y = f(x) và x thuộc tập xác định của f. Đồ thị của hàm f cho ta một
bức tranh tổng thể về đặc điểm của hàm số. Bởi vì tung độ y của điểm (x,y) trên đồ thị là số sao cho
y = f(x) nên ta có thể thấy giá trị của hàm số là khoảng cách đại số từ điểm đó đến trục hoành (xem
Hình 4). Hình chiếu của đồ thị trên trục hoành chính là tập xác định và hình chiếu của nó trên trục
tung là tập giá trị (xem Hình 5).
Hình 4 Hình 5
7
VÍ DỤ 1 Đồ thị của hàm f được cho ở Hình 6.
Hình 6
(a) Tìm giá trị của f(1) và f(5).
(b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm f.
Giải
(a) Từ Hình6, ta có điểm (1, 3) nằm trên đồ thị của hàm số, nên giá trị của hàm tại 1 là f(1) =
3. Khi x = 5, điểm nằm trên đồ thị tương ứng nằm phía dưới trục hoành và cách trục hoành
khoảng 0,7 đơn vị vì thế, ta ước đoán giá trị .
(b) Hình chiếu của đồ thị hàm số trên trục hoành là [0, 7] và trục tung là [-2; 4] nên ta có
Tập xác định là [0, 7] và tập giá trị là
.
VÍ DỤ 2 Cho hàm số
và , hãy tính
theo a và h.
Giải Trước tiên tính bằng cách thay thế x trong công thức f(x) bởi a + h :
Thay vào biểu thức đã cho và đơn giản hóa, ta được
Biểu thức
trong Ví dụ 2, chẳng hạn ta sẽ xét nó ở bài 2, nó biểu thị tỷ lệ thay đổi trung
bình của hàm f giữa hai giá trị x = a và x = a + h.
Đồ thị của một hàm số là một đường trong mặt phẳng tọa độ. Vấn đề được đặt ra là một
đường có đặc điểm như thế nào thì là đồ thị của một hàm số. Để trả lời câu hỏi này, ta dùng
tiêu chuẩn sau đây.
TIÊU CHUẨN CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỨNG
Một đường trong mặt phẳng xy là đồ thị của một hàm khi và chỉ khi không có đường thẳng
đứng nào cắt đường đó tại hai điểm phân biệt.
Quan sát Hình sau
Đồ thị một hàm số Không là đồ thị hàm số
Nếu mỗi đường thẳng đứng x = a cắt đường đã cho tại duy nhất một điểm (a; b) (Hình bến trái), thì
xác định một hàm f theo quy tắc f(a) = b. Nhưng nếu tồn tại đường x = a cắt đồ thị tại quá hai điểm
8
phân biệt(Hình bên phải), chẳng hạn là tại (a, b) và (a, c), thì đường đó không là đồ thị hàm số bởi
vì hàm số không thể ấn định hai giá trị khác nhau cho cung một số a.
Biểu thị một hàm số Có bốn cách biểu thị:
• Bằng lời (dùng ngôn ngữ để mô tả)
• Bằng các con số(dùng bảng các giá trị)
• Bằng đồ thị.
• Bằng đại số(biểu thị bằng một công thức hiện)
Nếu một hàm có thể biểu thị bằng nhiều cách thì ta sẽ dễ dàng hiểu biết về nó một cách sâu sắc,
chẳng hạn như những hàm số ở phổ thông ta đều bắt đầu từ hàm cho bởi công thức rồi sau đó là xác
định được đồ thị của nó. Tuy nhiên, có những hàm số thì biểu thị bằng cách này là tiện sử dụng hơn
so với cách khác hoặc khó mà biểu thị bằng cách khác, chẳng hạn diện tích S =
có thể biểu thị
bằng đồ thị (một nửa của parabol) nhưng ở dạng đồ thị thì không tiện dùng. Trong khi đó gia tốc
chuyển động theo phương thẳng đứng của vỏ trái đất trong một trận động đất như Hình 1, thì khó có
thể biểu thị bằng đại số.
Trong ví dụ dưới đây, ta cho một hàm bằng cách dùng ngôn ngữ mô tả và yêu cầu biểu thị hàm
đó bằng đại số.
VÍ DỤ 3 Một container hình hộp chữ nhật không có nắp phía trên với thể tích là 10m
3
. Chiều dài
của đáy bằng hai lần chiều rộng. Nguyên liệu để làm đáy là 10$ một m
2
; nguyên liệu làm các mặt
bên là 6$ một m
2
. Giá nguyên liệu để làm chiếc container là một hàm của chiều rộng mặt đáy, hãy
biểu thị hàm này bằng một công thức.
Giải Đặt w là chiều rộng của mặt đáy, thì chiều dài của
mặt đáy là 2w; và đặt h là chiều cao của container.
Diện tích của mặt đáy là
nên giá nguyên
liệu để làm mặt đáy là
$.
Hai mặt bên có diện tích là và hai mặt bên còn lại
có diện tích là nên giá nguyên liệu để làm các mặt
bên là 2
$.
Như vậy, giá nguyên liệu tổng cộng là
2
Mặt khác, thể tích của nó là 10m
3
nên ta có
ứ
Thay vào công thức tính C, ta được
Vậy, giá nguyên liệu được biểu thị theo chiều dài cạnh đáy bởi công thức sau
Một hàm số cho bởi công thức, nếu không nói gì thêm thì quy ước tập xác định của hàm số là tập
các giá trị của biến độc lập làm cho công thức có nghĩa. Tuy
nhiên: y = sinx với
, thì phải hiểu tập xác định là
[
].
VÍ DỤ 4 Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau.
(a)
(b)
.
Giải (a)
có nghĩa khi , nên tập xác
định là [2; +).
(b)
có nghĩa khi và , nên tập xác định là
.
Hàm xác định trên từng khoảng
9
Xét hàm cho bằng lời: C(w) là chi phí vận chuyển bưu phẩm có cân nặng là w. Ngành bưu điện đưa
ra quy tắc tính như sau: 39 cents nếu cân nặng không quá 1ounce, mỗi ounce tiếp theo có chi phí
vận chuyển là 24 cents và bưu phẩm chỉ được có cân nặng tối đa là 13 ounce.
Hàm này được trình bày ở dạng bảng thì sử dụng thuận tiện hơn, bảng các giá trị như bên lề.
Từ bảng giá trị, thì được dạng công thức của hàm như sau:
ế
ế
ế
ế
ế
ế
Đồ thị trong hình dưới đây:
Đồ thị như hình bậc thang
ta thấy tập xác định của hàm số là (0; 13] và trên mỗi khoảng xác định thì quy tắc tính giá trị của
hàm số lại khác nhau. Một hàm như vậy được gọi là hàm xác định trên từng khoảng. Một cách tổng
quát, hàm số được gọi là xác định trên từng khoảng nếu quy tắc xác định của hàm số trên mỗi
khoảng xác định là khác nhau. Chẳng hạn các hàm sau là hàm xác định trên từng khoảng
ế
ế
ế
ế
ế
ế
ế
2. Hàm số chẵn – Hàm số lẻ
• Nếu hàm f thỏa mãn f(-x) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định thì f được gọi là hàm số chẵn.
Đồ thị hàm chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, do đó chỉ cần vẽ đồ thị ứng với phần
sau đó lấy thêm hình đối xứng qua trục tung ta được toàn bộ đồ thị.
• Nếu hàm f thỏa mãn f(-x) = - f(x) với mọi x thuộc tập xác định thì f được gọi là hàm số lẻ.
Đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, do đó chỉ cần vẽ đồ thị ứng với phần
sau đó lấy thêm hình thu được bằng cách lấy đối xứng qua gốc tọa độ.
Hàm chẵn Hàm lẻ
10
3. Dáng điệu của hàm số
Đồ thị của hàm f trong hình dưới đây đi lên từ A đến B, đi xuống từ B đến C, và lại đi lên từ C đến
D. Ta nói hàm f đồng biến trên khoảng [a; b] và nghịch biến trên khoảng [b; c] và lại đồng biến trên
khoảng [c; d]. Lưu ý rằng với hai số bất kỳ
nằm giữa hai số a và b với
, thì
. Ta sử dụng điều này để định nghĩa hàm số đồng biến.
Một hàm số f được gọi là đồng biến trên khoảng I (ở đây được hiểu là một trong các dạng:
[a; b] (a; b) [a; b) (a; b]) khi:
với
ở trong I.
Một hàm số f được gọi là nghịch biến trên khoảng I khi:
với
ở trong I.
Lưu ý rằng bất đẳng thức
phải xảy ra với mọi cặp số
ở trong I với
.
4. Một vài hàm số đã học
i) Hàm tuyến tính là hàm có dạng y = mx + b trong đó m và b là các số đã cho; m là hệ số góc và b
là tung độ gốc.
Hàm này có nét đặc biệt là: Nếu m = 0 thì giá trị của nó không thay đổi khi x thay đổi và gọi là hàm
hằng. Nếu thì giá trị của nó thay đổi một mức cố định khi x thay đổi một mức cố định, chẳng
hạn hàm
có hệ số góc là 3 nên mỗi khi x tăng 0,1 đơn vị thì giá trị của hàm tăng 0,3
đơn vị. Dưới đây là đồ thị hàm số và bảng giá trị hàm số tại một vài điểm.
ii) Hàm đa thức Hàm P được gọi là một đa thức nếu nó được cho bởi công thức có dạng
trong đó n là số nguyên dương và
là các hằng số và ta gọi là các hệ số của đa thức.
Tập xác định của một đa thức bất kỳ là . Nếu
thì ta nói P là đa thức bậc n.
Chẳng hạn, ta đã học đa thức bậc 1:
đây chính một hàm tuyến tính; đa thức bậc hai:
là một tam thức bậc hai; đa thức bậc ba; đa thức bậc bốn trùng phương. Đa
thức
là đa thức bậc sáu.
Nói chung các đa thức được sử dụng nhiều trong ứng dụng toán học, đặc biệt trong việc tính gần
đúng và lập mô hình toán.
iii) Hàm lũy thừa là hàm cho có dạng
trong đó a là một hằng số. Hàm này đã được
trình bày ở chương trình phổ thông trung học. Trường hợp đặc biệt là a số nguyên dương thì ta
được hàm đa thức.
11
Đồ thị của hàm nói trên trong một số trường hợp riêng:
iv) Hàm phân thức là thương của hai đa thức:
. Tập xác định là tập các giá trị của x
làm cho . Ta đã học về phân thức: bậc 1 / bậc 1 và bậc 2/bậc 1.
v) Hàm lượng giác: . Mỗi hàm đều là hàm tuần hoàn.
là hai hàm có tập xác định là và tập giá trị là [-1; 1].
Hàm có tập xác định là
} và tập giá trị là .
vi) Hàm mũ là hàm có dạng
, trong đó a là một số dương khác 1 và gọi là cơ số. Đồ thị
của hai hàm
và
được vẽ ở hình dưới đây, cả hai hàm đều có tập xác định là
, tập giá trị là .
12
vii) Hàm logarit là hàm có dạng
, trong đó a là số dương khác 1. Đồ thị của một số
hàm logarit cụ thể được vẽ trong hình dưới đây. Mỗi hàm đều là hàm có tập xác định là và
tập giá trị là . Hàm logarit là hàm ngược của hàm số mũ (xem ở mục sau).
Các hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit thuộc tập hợp các hàm siêu việt, tập hợp các hàm
siêu việt còn có hàm xác định bởi tổng của một chuỗi và các hàm khác mà ta chưa biết tên.
1.2 Lập hàm số mới từ các hàm số đã biết
1. Phép biến đổi các hàm
Mục này ta sẽ xây dựng các hàm mới từ các hàm đã học được liệt kê ở Mục I bằng cách tịnh tiến đồ thị.
Tịnh tiến theo phương thẳng đứng và phương ngang
Giả sử c là số dương, thì đồ thị
hàm y = f(x) + c thu được bằng cách
tịnh tiến đồ thị hàm y = f(x) lên trên c
đơn vị (bởi vì hoành độ giữ nguyên
còn tung độ thì tăng lên c đơn vị).
Tương tự, nếu g(x) = f(x – c), thì giá
trị của g tại x bằng giá trị của f tại x –
c(c đơn vị về phía trái của x) do đó đồ
thị của y = f(x - c) thu được bằng
cách dịch chuyển đồ thị của y = f(x)
về phía phải c đơn
vị. Xem Hình vẽ
13
Tổng quát ta có.
Cho c > 0. Ta nhận được đồ thị của hàm
, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm
lên trên đơn vị
, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm
xuống dưới đơn vị
, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm
sang trái đơn vị
, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm
sang phải đơn vị
2. Phép toán giữa các hàm số
Hai hàm số f và g có thể được tổ hợp lại để được các hàm mới f + g, f – g. fg và f/g theo kiểu tương tự như
là ta cộng, trừ, nhân, chia hai con số.
Trước tiên, ta đưa ra khái niệm hai hàm số bằng nhau: Hai hàm f , g được gọi là bằng nhau nếu
thỏa mãn cả hai điều kiện là có tập xác định bằng nhau và f(x) = g(x) với mỗi x thuộc tập xác định.
Các hàm số nào sau đây bằng nhau:
ế
ế
ế
ế
Cho hai hàm . Tổng, hiệu hai hàm được xác định tương ứng như
sau
Nếu tập xác định của là A và của là B, thì tập xác định của
và đều là bởi vì cả
đều có nghĩa.
Một cách tương tự, tích và thương của các hàm được định nghĩa như
sau:
Tập xác định của hàm là . Tuy nhiên, ta không thể chia cho
số 0 nên tập xác định của hàm là
.
3. Phép hợp hai hàm số
Có một cách khác để tổ hợp hai hàm cho trước để được một hàm mới. Ví dụ, cho hai hàm số
và
. Do là hàm của u và u là hàm của x, từ đó được y là hàm của x. Ta xác
định bằng cách thay thế:
Thủ tục tìm ra hàm mới này được gọi là phép hợp thành bởi vì hàm mới được tạo thành từ hai hàm
đã cho.
Một cách tổng quát, cho trước hai hàm bất kỳ lấy một số bất kỳ x nằm trong tập xác định của
hàm và tìm được . Nếu nằm trong tập xác định của hàm , thì ta lại tính được
. Kết quả là ta được một hàm mới
, hàm này nhận được bằng cách thế g
vào f . Ta gọi hàm mới này là hàm hợp của và ký hiệu bởi (đọc là “ o tròn ”)
Định nghĩa Cho trước hai hàm , hàm hợp của là một hàm được ký hiệu là và
được xác định như sau:
Chú ý: Tập xác định của hàm là tập gồm các số thuộc tập xác định của hàm sao cho
thuộc tập xác định của hàm , nghĩa là
xác định khi cả và
đều xác định.
VÍ DỤ 5 Nếu
và
. Hãy tìm hàm và .
Giải Ta có
Và
Nhận xét: Nói chung .
Lưu ý rằng: Ký hiệu nghĩa là tác động trước rồi sau đó mới đến
14
Mô hình chiếc máy cho hàm hợp
4. Hàm ngược
Quan sát thị trường vàng ở một quận tại Hà Nội vào một thời điểm nào đó, người ta ghi nhận được
thông tin sau:
Giá 1chỉ (triệu đồng)=: P Lượng cầu(kg)=: Q
d
1,5
5
1,4
10
1,3 20
1,0 30
0,9 50
0,8 60
Lượng cầu là hàm của Giá cả
Đặt Q
d
là lượng cầu(Quantity Demanded) và P(Price) là giá một chỉ vàng vào thời điểm đang
xét, ta thấy bảng trên cho ta thấy Q
d
là một hàm của P: Q
d
= f(P) và lượng cầu tăng khi giá giảm.
Nhà kinh doanh có thể quan tâm đến việc P phụ thuộc vào Q
d
như thế nào, nói cách khác người
này có thể xem P là hàm của Q
d
, hàm này được gọi là hàm ngược của hàm f, được ký hiệu bởi
đọc là nghịch đảo. Như vậy
là mức giá tại lượng cầu Q
d
. Giá trị của
có thể được
tìm từ bảng trên bằng cách đặt tương ứng từ phải sang trái, để cho tiện ta có thể xây dựng bảng như
dưới đây bằng cách đảo hai cột trong bảng ở trên. Chẳng hạn
bởi vì
Lượng cầu(kg) Giá 1chỉ (triệu đồng)
5
1,5
10
1,4
20 1,3
30 1,0
50 0,9
60 0,8
Giá cả là hàm của Lượng cầu
Không phải hàm nào cũng có hàm ngược, xét hai hàm và có sơ đồ mũi tên như sau:
Để ý rằng không nhận một giá trị nào đó hai lần(hai biến đầu vào khác nhau thì hai biến đầu ra
khác nhau) trong khi đó lấy giá trị 4 hai lần(cả 2 và 3 đều có giá trị đầu ra là 4):
trong khi đó
nếu
. Các hàm có tính chất như hàm đều được gọi là hàm
tương ứng 1-1 giữa tập xác định và tập giá trị.
Định nghĩa Một hàm được gọi là tương ứng 1-1 giữa tập xác định và tập giá trị (gọi tắt là hàm
1-1) nếu nó không lấy một giá trị nào đó của nó hai lần; tức là,
15
Nếu một đường nằm ngang giao với đồ thị của hàm tại nhiều hơn một điểm, thì từ hình sau
ta thấy ngay là tồn tại hai số
và
sao cho
. Điều này nghĩa là f không phải là hàm
1-1. Có một phương pháp hình học để xác định xem một hàm có là hàm 1-1 hay không,
Dấu hiệu đường nằm ngang
Một hàm là hàm 1-1 khi và chỉ khi không tồn tại đường nằm ngang nào giao với đồ thị của nó tại
quá một điểm.
VÍ DỤ 6 Hàm
có phải là một hàm 1-1 không?
Lời giải 1: Nếu
thì
(Hai số khác nhau không thể có cùng một lũy thừa bậc ba).
Lời giải 2: Từ đồ thị của hàm số ta thấy, không tồn tại một đường nằm ngang nào cắt đồ thị hàm số
tại hai lần, theo dấu hiệu đường nằm ngang ta được hàm đã cho là hàm 1-1.
VÍ DỤ 7 Hàm
có phải là một hàm 1-1 không?
Lời giải1:Ta có
nên hàm này không phải là hàm 1-1.
Lời giải 2: Từ đồ thị của hàm số ta thấy có một đường nằm ngang cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt nên hàm
đã cho không phải là hàm 1-1.
Nhận xét: Một hàm đơn điệu trên khoảng xác định thì là hàm 1-1.
Chỉ có hàm 1-1 thì mới có hàm ngược, được xây dựng theo định nghĩa sau đây:
Định nghĩa Cho là hàm 1-1 với tập xác định là A và tập giá trị là B. Khi đó hàm ngược
là
hàm có tập xác định là B, tập giá trị là A và được xác định như sau:
với mọi y nằm trong B.
Chú ý: Không được nhầm lẫn số -1 trong
là lũy thừa. Tức là
không có nghĩa là
.
có thể được viết lại là
.
VÍ DỤ 8 Cho hàm 1-1 f, biết
Tìm
.
Giải
vì
;
vì
;
vì
.
Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy rằng, với mọi x và , thì
.
Biểu đồ mô tả hiện tượng này
16
Tiếp theo, ta tìm hiểu cách xây dựng hàm ngược. Nếu ta có hàm và là hàm mà ta có thể
giải phương trình để tìm được x theo y, theo định nghĩa về hàm ngược ta có hàm ngược là
. Nếu ta muốn gọi biến độc lập là x và biến phụ thuộc là y, thì ta phải hoán đổi x và y cho
nhau, ta được
.
Cách tìm hàm ngược của hàm 1-1
Bước 1 Viết .
Bước 2 Giải phương trình để tìm x theo y (nếu có thể)
Bước 3 Biểu thị hàm
theo biến độc lập là x, bằng cách đổi chỗ x và y cho nhau. Kết quả là ta
được hàm ngược là
.
VÍ DỤ 9 Tìm hàm ngược của hàm
.
Giải Trước tiên, ta có
.
Giải phương trình để tìm x theo y:
Đổi chỗ x và y:
Vậy hàm cần tìm là
.
Nguyên tắc đổi chỗ x và y để tìm viết hàm ngược theo biến x làm cơ sở cho ta có một phương pháp
để tìm đồ thị của hàm
từ đồ thị của hàm . Ta có: thuộc đồ thị hàm khi và chỉ khi
khi và chỉ khi
, tức là điểm thuộc đồ thị hàm
. Nhưng ta thu được
điểm từ điểm bằng cách lấy đối xứng qua đường y = x. Xem hình dưới đây
Đồ thị hàm
nhận được từ đồ thị hàm f bằng cách lấy đối xứng qua đường y = x.
Một số hàm ngược của hàm đã học
i) Ta có
là một hàm mũ, khi đó
Nên hàm
chính hàm ngược của hàm mũ.
ii) Hàm , với
là hàm có tập xác định chỉ là
và đồ thị là
Từ cách tìm hàm ngược, ta được:
ớọ
ì
ọ
Ta được hàm ngược của hàm đã cho là
với tập xác định là [-1; 1] và tập giá trị là
. Ta còn ký hiệu
.
17
Đồ thị hàm
. Đồ thị hàm .
iii) Tương tự, hàm có đồ thị như hình vẽ trên, là hàm 1-1, hàm ngược của nó
là
ọ, hàm này có tập xác định là [-1; 1]. Đồ thị
như sau.
Đồ thị hàm . Đồ thị hàm ớ
iv) Hàm ngược của hàm ớ
. Hàm này có đồ thị ở hình trên. Là hàm
1-1. Hàm ngược của nó được ký hiệu là
hoặc là và xác định như sau:
Hàm này có tập giá trị là
và tập xác định là
Đồ thị hàm
v) Hàm ngược của hàm với là hàm được ký hiệu là
hoặc , và
được xác định như sau
Hàm này có tập giá trị là và tập xác định là
.
Hàm sơ cấp * Hàm sơ cấp cơ bản là các loại hàm số sau: hàm hằng, hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm
logarit, hàm lượng giác và hàm lượng giác ngược.
* Hàm sơ cấp là hàm được tạo thành từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi một số hữu hạn các phép toán
số học và phép lấy hàm hợp.
18
1.3 Mô hình toán học
Xem xét lại ví dụ về sự tăng trưởng dân số:
Dân số thế giới P thì phụ thuộc vào thời gian t. Bảng sau đây ghi lại
giá trị gần đúng của dân số thế giới P(t) tại thời điểm t.
Vấn đề là: Hãy tìm cách biểu diễn hàm này bằng cách dùng công
thức? Rõ ràng là việc đưa ra một công thức để biểu diễn chính xác
số người tại một thời điểm bất kỳ t là không thể làm được. Nhưng
có thể tìm được một hàm cho bởi công thức mà hàm đó xấp xỉ P(t).
Chẳng hạn, người ta đã nhận được
Hình dưới đây cho thấy sự “ăn khớp” rất tốt giữa và .
Hàm như thế được gọi là mô hình toán học cho sự tăng trưởng dân số.
Đó là một ví dụ cho khái niệm sau đây:
Một mô hình toán học là một mô tả toán học(thường là bằng một hàm số hoặc phương trình) cho
hiện tượng trong thực tế, chẳng hạn như dân số, lượng cầu của một sản phẩm, tốc độ rơi của một
vật, tỷ lệ sống của trẻ sơ sinh.
Tên gọi của một số biến trong phân tích kinh tế
Trong phân tích kinh tế người ta phải xem xét các đại lượng như là: Lượng cung, lượng cầu, giá, chi
phí, doanh thu, tổng chi phí, tổng doanh thu, lượng lao động, lượng vốn, để cho tiện người ta dùng
các tiếp đầu từ của từ tiếng anh tương ứng để làm biến số biểu thị đại lượng đó.
Như vậy, ta có các biến kinh tế như sau:
Tên tiếng Việt Tên tiếng Anh Ký hiệu
Lượng cung Quantity Supplied Q
s
Lượng cầu Quantity Demanded Q
d
Giá hàng hóa Price P
Lượng chi phí,Lượng tiêu dùng Cost, Consumption C
Tổng chi phí Total Cost TC
Doanh thu
Revenue
R
T
ổ
ng doanh thu
Total Revenue
TR
Lợi nhuận Profit P
r
Lượng vốn Capital K
Lượng lao động Labour L
Chi phí cố định= Định phí Fix Cost FC
Chi phí phụ thuộc sản phẩm=Biến phí Variable Cost VC
Ti
ế
t ki
ệ
m
Saving
S
Thu nh
ậ
p
Income
I
19
i) Hàm cung và hàm cầu.
Hàm cung là hàm số được dùng để biểu diễn (mô hình toán ở dạng hàm số) sự phụ thuộc của
lượng cung một loại hàng hóa nào đó vào giá của nó trong điều kiện các yếu tố khác không đổi.
Như vậy, hàm cung có dạng Q
s
= S(P). (lượng cung là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán
ở mỗi mức giá.)
Hàm cầu là hàm số được dùng để biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cầu một loại hàng hóa nào
đó vào giá của nó trong điều kiện các yếu tố khác không đổi. Như vậy, hàm cầu có dạng Q
d
=
D(P).(lượng cầu là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá.)
Quy luật thị trường trong kinh tế học phát biểu rằng: Trong điều kiện các yếu tố khác không thay
đổi, hàm cung là hàm đồng biến; hàm cầu là hàm nghịch biến. Nghĩa là khi các yếu tố khác giữ
nguyên, giá hàng hóa tăng thì người bán sẽ muốn bàn nhiều hơn còn người mua sẽ mua ít đi.
Các nhà kinh tế gọi đồ thị của hàm cung, hàm cầu lần lượt là đường cung và đường cầu. Giao điểm
của hai đường được gọi là điểm cân bằng của thị trường. Tại điểm cân bằng của thị trường, ta có:
với mức giá cân bằng
thì người bán bán hết và người mua mua đủ, không có hiện tượng khan
hiếm và dư thừa hàng hóa.
Từ quy luật trên, ta thấy nếu muốn dùng mô hình tuyến tính cho hàm cung ta phải có:
ớ
ầu có dạng
ớ.
Chú ý: Hàm cung và hàm cầu đều có hàm ngược, trong các tài liệu kinh tế người ta thường biểu thị
sự phụ thuộc của giá cả vào lượng cung, lượng cầu thành ra người ta cũng gọi các hàm ngược của
các hàm cung và hàm cầu như đã nói trên là hàm cung và hàm cầu tương ứng đồ thị là đường cung
và đường cầu.
ii) Hàm sản xuất ngắn hạn.
Hàm sản xuất là hàm để biểu diễn sự phụ thuộc của sản
lượng hàng hóa của một nhà sản xuất vào các yếu tố sản
xuất, như là: vốn, lao động, (là các yếu tố đầu vào của sản
xuất). Trong kinh tế học, khái niệm ngắn hạn và dài hạn
không được xác định bởi khoảng thời gian cụ thể mà được
hiểu là như sau: Ngắn hạn là khoảng thời gian mà ít nhất
một trong các yếu tố sản xuất không đổi. Dài hạn là khoảng
thời gian mà tất cả các yếu tố sản xuất có thể thay đổi.
Khi phân tích sản xuất thì người ta thường quan tâm đến hai
yếu tố sản xuất quan trọng là: vốn (K) và lượng lao động (L). Trong ngắn hạn, thì K được cho là
không thay đổi. Như vậy hàm sản xuất ngắn hạn có dạng: trong đó Q là mức sản lượng.
iii) Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận
• Hàm doanh thu là hàm để biểu diễn sự phụ thuộc của tổng doanh thu vào sản lượng:
• Hàm chi phí là hàm để biểu diễn sự phụ thuộc của tổng chi phí vào sản lượng:
• Hàm lợi nhuận là hàm để biểu diễn sự phụ thuộc của tổng lợi nhuận (Ký hiệu là ) vào sản
lượng:
iv) Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm
• Hàm tiêu dùng là hàm để biểu diễn sự phụ thuộc của lượng tiền dành cho mua sắm hàng hóa
C (Consumption) của người tiêu dùng vào thu nhập I:
• Hàm tiết kiệm là hàm để biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm S vào biến thu nhập:
20
Đọc thêm: Mục đích của mô hình là nhằm hiểu biết về các hiện tượng trong thực tế và có thể đưa
ra dự đoán cho tương lai.
Hình sau đây mô tả quá trình của việc mô hình hóa toán học cho một hiện tượng trong thực tế
Một bài toán thực tế được đặt ra, nhiệm vụ của ta là đưa vào một mô hình toán học bằng cách xác
định và đặt tên biến độc lập, biến phụ thuộc và sử dụng giả thiết để đơn giản hóa hiện tượng thực tế
nhằm dễ vận dụng toán học. Sau đó vận dụng những hiểu biết của mình về lĩnh vực có liên quan và
kỹ năng toán học để liên kết các biến để nhận được phương trình. Trong tình huống không có
những kết luận về lĩnh vực đang xét ta buộc phải dùng cách thu thập số liệu và lập bảng giá trị, vẽ
đồ thị điểm để thấy xu hướng của các biến. Từ đó có thể nhận thấy được dùng hàm số nào(trong
những hàm đã biết) để làm mô hình toán cho hiện tượng đang xét. Giai đoạn thứ hai là áp dụng kiến
thức toán học(như là các kiến thức sẽ được trình bày trong giáo trình này) vào mô hình toán học để
thu được các kết luận toán học. Sau đó, ở giai đoạn thứ ba, ta giải thích các kết luận toán học thành
các thông tin về bài toán ban đầu từ đó đưa ra sự giải thích cho thực tế hoặc đưa ra dự đoán cho
hiện tượng. Bước cuối là kiểm tra các dự đoán bằng các số liệu thực tế mới. Nếu dự đoán không
thực sự tốt, thì ta có thể phải thực hiện lại quá trình để tìm ra một môt hình phù hợp hơn.
Bài toán
thực tế
Đưa vào công th
ứ
c
Mô hình
toán học
Gi
ả
i
Kết luận
toán học
Giải thích cho
thực tế
Dự đoán
cho vấn
đề thực tế
Ki
ể
m tra l
ạ
i
21
$2. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ
Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC
2.1 DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa về dãy số và ví dụ
Một dãy số được hiểu là một loạt các con số được viết theo một thứ tự xác định:
Số
được gọi là số hạng thứ nhất,
là số hạng thứ hai, và một cách tổng quát
là số hạng thứ
n.
Lưu ý rằng, với mỗi số nguyên dương n thì có tương ứng duy nhất một số
và do đó một dãy có
thể định nghĩa là một hàm số có tập xác định là tập số nguyên dương. Tuy nhiên, ta thường viết
thay vì f(n) cho giá trị của hàm tại n.
LƯU Ý: Dãy {
còn được ký hiệu bởi
ặc
VÍ DỤ 1 Một số dãy được xác định bằng cách đưa ra công thức tổng quát cho số hạng thứ n. Trong
các ví dụ sau đây, chúng ta đưa ra ba cách trình bày một dãy số: Dùng cách viết như đã nói trên,
cách khác là đưa ra số hạng tổng quát, và cuối cùng là liệt kê ra các số hạng đầu tiên trong dãy. Lưu
ý rằng, số n trong các ví dụ dưới đây không nhất thiết phải bắt đầu là 1.
(a)
(b)
(c)
(d)
■
VÍ DỤ 2 Dưới đây là một số dãy có sự xác định không đơn giản như những dãy trên.
(a) Dãy
, trong đó
là dân số của thế giới tính đến ngày 01 tháng Một của năm thứ n.
(b) Nếu ta đặt
là số thứ n sau dấu phẩy khi viết số e ở dạng thập phân, thì
là một dãy số
được nhiều người biết đến, dãy đó có các số hạng đầu tiên là
VÍ DỤ 3 (Bài toán lãi đơn) Nếu ta cho vay một số tiền là v
0
với lãi suất mỗi kỳ là r. Cuối mỗi kỳ
lãi được rút ra, chỉ để lại vốn cho kỳ sau(gọi là lãi đơn). Hỏi sau n kỳ số tiền có được là bao nhiêu?
Giải Sau kỳ đầu thì số tiền lãi là v
0
r nên số tiền có được là: v
0
+ v
0
r.
Sau kỳ thứ hai số tiền lãi là 2v
0
r nên số tiền có được là: v
0
+ 2(v
0
r).
Tổng quát, sau n kỳ số tiền lãi thu được là nv
0
r nên số tiền có được là: v
0
+ n(v
0
r).
Nhận xét: Số tiền có được sau n kỳ là a
n
= v
0
+ nv
0
r trong đó v
0
và r đã biết nên ta được một dãy số,
dãy này có đặc điểm là mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước cộng với một số cố định v
0
r.
Các dãy như thế được gọi là cấp số cộng.
VÍ DỤ 4 (Bài toán lãi gộp) Nếu ta cho vay một số tiền là v
0
(gọi là vốn) với lãi suất mỗi kỳ là r.
Cuối mỗi kỳ lãi được nhập vào vốn để tạo thành vốn mới và tính lãi cho kỳ sau(gọi là lãi gộp hoặc
lãi kép). Hỏi sau n kỳ số tiền có được là bao nhiêu?
Giải Sau một kỳ thì số tiền lãi là v
0
r, nên số tiền có được là: v
1
= v
0
+ v
0
r = v
0
(1 + r).
Sau hai kỳ thì số có được là: v
2
= v
1
+ rv
1
= v
0
(1 + r) + rv
0
(1 + r) = v
0
(1 + r)
2
.
Sau ba kỳ thì số tiền có được là: v
3
= v
2
+ rv
2
= v
0
(1 + r)
2
+ rv
0
(1 + r)
2
= v
0
(1 + r)
3
.
22
Tổng quát, sau n kỳ thì số tiền thu được là: v
n
= v
n-1
+ rv
n
-
1
= v
0
(1 + r)
n -1
+ rv
0
(1 + r)
n - 1
= v
0
(1 + r)
n
.
Nhận xét: Số tiền có được sau n kỳ là một dãy số với đặc điểm số đứng sau bằng số đứng liền
trước nhân với số cố định (1 + r). Những dãy số như vậy được gọi là cấp số nhân.
LƯU Ý Lãi suất r/ kỳ có thể đổi qua các kỳ khác. Chẳng hạn, nếu r = 7%/năm thì ta có:
- Lãi suất theo kỳ nửa năm: r =
%/nửa năm.
- Lãi suất theo kỳ là quý: r =
%/quý.
- Lãi suất theo kỳ là tháng: r =
%/tháng.
- Lãi suất theo kỳ là ngày: r =
%/ngày.
VÍ DỤ 5 Nếu một người cho vay số tiền 1000USD với lãi gộp 8%/ năm tính theo quý thì sau 5 năm
số tiền người này có được là bao nhiêu?
Giải Số tiền người này có được tính theo kết quả Ví dụ 4 với v
0
= 1000, r =
%/quý = 2% và sau 5
năm, tức là sau số kỳ là n = (5)(4) = 20.
Vậy, số tiền có được là v
20
= 1000(1+0,02)
20
1485,95USD.
2. Giới hạn là số thực của dãy số
a) Định nghĩa
Với mỗi dãy, chẳng hạn như dãy trong Ví dụ 1 (a),
, đều có thể biểu diễn hình học
bằng cách biểu thị các số hạng của dãy trên đường thẳng thực, như Hình 1, hoặc bằng cách vẽ đồ
thị, như Hình 2.
HÌNH 1 HÌNH 2
Lưu ý rằng, một dãy chính là một hàm số với tập xác định là tập các số nguyên dương, đồ thị của nó
là tập các điểm có tọa độ như sau
Từ Hình 1 hoặc Hình 2, ta thấy dường như các số hạng của dãy
ngày càng tiến dần
đến số 1 khi n càng lớn. Thực tế là, hiệu số
có thể làm nhỏ tùy ý bằng cách ta chọn số n đủ lớn. Ta nói ngắn gọn về sự kiện này bằng cách viế
t
.
Tổng quát, ta nói dãy
có giới hạn là số thực L và viết là
hoặc
khi
nếu ta có thể làm cho trị tuyệt đối của hiệu số giữa
và L nhỏ bao nhiêu tùy ý miễn là n đủ lớn.
Nếu tồn tại
, ta nói dãy
hội tụ. Trong trường hợp ngược lại, thì gọi là phân kỳ.
Một cách chính xác, ta có định nghĩa sau:
23
ĐỊNH NGHĨA Cho
là một dãy, nếu có số thực L mà với mọi số đều có một số nguyên
dương N sao cho
khi n > N.
thì ta nói rằng dãy
hội tụ đến L và viết là
hoặc
khi
Định nghĩa trên được minh họa trong Hình 3. Các điểm trong đồ thị của dãy
phải nằm giữa hai
đường nằm ngang y = L + và y = L - nếu n > N. Điều này phải đúng với mọi số nhỏ tùy ý,
nhưng thông thường càng nhỏ thì N càng lớn.
Hình 3
VÍ DỤ 6 Chứng minh rằng
.
Giải -Với mọi số , cho trước. Ta có
tương đương với
. Từ đó thấy rằng cần
chọn số tự nhiên N >
để có được n > N thì
.
-Từ đó, Với mọi số ta chọn số tự nhiên N sao cho N
, ta được:
khi n > N thì
.
Ta nhận thấy phép chứng minh trên gồm hai phần. Thứ nhất là phân tích để chọn ra số N
phù hợp, thứ hai là đưa ra phép chứng minh theo định nghĩa.
VÍ DỤ 7 Chứng minh
.
Giải - Phân tích bài toán để tìm số N. Với mỗi số , cho trước. Ta có
tương đương với
, từ đó ta sẽ chọn N là số tự nhiên sao cho N >
.
Chứng minh: Với mỗi số , cho trước. Ta chọn số tự nhiên N sao cho N >
, khi đó cứ n >
N thì n > N >
tức là
.
Vậy,
b) Tính chất
+ Tính duy nhất
Định lý 1. Nếu dãy
có giới hạn là L, thì giới hạn đó là duy nhất.
+ Tính bị chặn
Định lý 2. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, nghĩa là tồn tại số dương M sao cho
với mọi n.
+ Tính bảo toàn thứ tự
Định lý 3. Nếu
,
với L, K là các số thực và
với
,
thì .
c) Các phép tính giới hạn
Định lý 4. Nếu
và
là các dãy hội tụ và c là một hằng số, thì
24
Nhận xét:
với mọi k là số tự nhiên.
VÍ DỤ 8 Tìm
Giải
Như vậy, ta có thể tìm giới hạn dãy số bằng cách phân tích dãy đã cho thành tổng, hiệu, tích,
thương của các dãy hội tụ và đã biết giới hạn.
Vấn đề được đặt ra là: Khi nào thì dãy số hội tụ?
Phần tiếp theo sẽ cung cấp cho ta các điều kiện nhận biết một dãy có hội tụ hay không.
d) Các điều kiện hội tụ
Điều kiện đủ 1. (Đơn điệu và bị chặn)
+ Dãy
được gọi là tăng nếu
với mọi , tức là
. Nó được gọi
là dãy giảm nếu
với mọi . Một dãy là tăng hoặc là giảm thì được gọi chung là dãy
đơn điệu.
+ Một dãy
được gọi là bị chặn trên nếu có một số M sao cho
với mọi 1
Nó được gọi là bị chặn dưới nếu có một số m sao cho
với mọi 1
Khi dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, thì ta nói
là dãy bị chặn.
+ Định lý 5. Mọi dãy tăng(giảm) và bị chặn trên(dưới) đều hội tụ.
VÍ DỤ 9 Hãy tìm hiểu về tính hội tụ và tìm giới hạn của dãy số được xác định như sau:
với n = 1, 2, 3,…
Giải Trước tiên ta tính toán và liệt kê các số hạng đầu tiên trong dãy đã cho
Các số hạng nói trên là cơ sở để ta ước đoán rằng dãy đã cho là dãy tăng và tiến dần đến 6. Để
khẳng định dãy trên là tăng, ta phải dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh
với mọi . Thật vậy, với n = 1 ta có
tức là điều phải chứng minh đúng với n
= 1. Giả sử điều phải chứng minh đúng với n = k, tức là ta có
nên
tương đương
suy ra
Ta đã chỉ ra được rằng
là đúng với k = n+ 1. Ta được điều phải chứng minh.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh
bị chặn bằng cách chỉ ra rằng
< 6 với mọi n.(Vì dãy đã cho là
dãy tăng nên nó đã bị chặn dưới bởi a
1
= 2). Ta có
, tức là
< 6 đúng khi n = 1. Giả
sử rằng nó đúng với n = k. Khi đó
25
Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta được
< 6 với mọi n.
Như vậy, dãy đã cho đơn điệu và bị chặn. Theo Định lý dãy đơn điệu thì dãy này hội tụ. Tuy nhiên,
Định lý đó không cho ta biết giới hạn bằng bao nhiêu. Ta chỉ biết rằng
là tồn tại, ta
dùng đẳng thức truy toán đã cho để có được
Vì
nên
(vì khi , thì . Như vậy, ta có
Giải phương trình tìm L, ta được L = 6, đúng như là ta đã dự đoán. ■
Điều kiện đủ 2.(Giới hạn kẹp)
Định lý 6. Nếu
với
và
Hệ quả. Nếu
, thì
.
VÍ DỤ 10. Tìm
.
Giải Ta có
nên
VÍ DỤ 11 Chứng minh rằng
khi
.
Giải Cho trước số Nếu , ta chọn N = 1 và hiển nhiên là với mọi n > N ta đều có
.
Nếu , thì:
tương đương
tức là
. Như vậy, ta chọn N là số tự
nhiên nào đó thỏa mãn
khi đó cứ đều được
.
Tóm lại, ta được
kéo theo
.
Điều kiện cần và đủ 3.(Dãy Cô-si)
Dãy
được gọi là dãy cô-si nếu với mỗi số cho trước luôn tồn tại số tự nhiên N sao cho với
mọi m, n lớn hơn N ta đều có
.
Định lý 7. Dãy
hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy cô-si.
VÍ DỤ 12 Xét tính hội tụ của dãy:
.
Giải
Nếu ta chọn
, thì với mọi số tự nhiên N ta luôn chọn được hai số m, n với m là số chẵn và n là
số lẻ và đều lớn hơn N và
. Vậy dãy đã cho không phải là dãy cô-si nên dãy này
phân kỳ.
3) Giới hạn là vô cực của dãy
Trong số những dãy phân kỳ, có những dãy mà cứ cho trước một số dương thì kể từ một số hạng
nào đó mọi số hạng của dãy đều lớn hơn số dương đó chẳng hạn như dãy
, những dãy như
thế được gọi là dãy có giới hạn . Có những dãy mà cứ cho trước một số âm thì mọi số hạng của
