Tài liệu ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013- 2014 Môn thi: TOÁN - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ppt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm : 01 trang
Câu I (2,0 điểm)
1) Phân tích đa thức
3 3 3
( ) (3 2) (1 2 ) (1 )P x x x x= − + − + −
thành nhân tử.
2) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện
4a b c abc+ + + =
.
Tính giá trị của biểu thức:
(4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )A a b c b c a c a b abc= − − + − − + − − −
Câu II ( 2,0 điểm)
1) Giải phương trình
2
4 6 2 2 3 2x x x− + = + + −
.
2) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
5
( ) 6
x y
xy x y

+ =



− =


.
Câu III (2,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện
2 2
4 5 2( )x xy y x y− + = −
.
2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho
2 3 4
1+ + + +p p p p
là số hữu tỷ.
Câu IV (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A thay
đổi trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD,
BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
1) Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
2) Chứng minh
AO EF⊥
.
3) Xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x xy y y yz z

z zx x
S
x y z y z x z x y
− + − +
− +
= + +
+ + + + + +
Hết
Họ và tên thí sinh Số báo danh
Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Câu Ý Nội dung Điểm
I 1 Phân tích
3 3 3
( ) (3 2) (1 2 ) (1 )= − + − + −P x x x x
thành nhân tử 1,00
Đặt
3 3 3
3 2, 1 2 , 1 0= − = − = − ⇒ + + = ⇒ = + +a x b x c x a b c P a b c
0,25
3 3
( ) 3 ( )= + + − +P a b c ab a b
0,25
2 2

( ) ( ) ( ) 3 ( )
 
= + + + − + + − +
 
a b c a b a b c c ab a b
0,25
3 ( ) 3 3(3 2)(1 2 )(1 )= − − = = − − −ab c abc x x x
0,25
I 2
(4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )A a b c b c a c a b abc= − − + − − + − − −
1,00
4 4 4 4 4 16
(4 )(4 ) (16 4 4 )
+ + + = ⇔ + + + =
⇒ − − = − − +
a b c abc a b c abc
a b c a b c bc
0,25
(4 4 4 4 4 4 ) (4 4 )= + + + − − + = + +a a b c abc b c bc a a abc bc
0,25
2
(2 ) (2 ) 2= + = + = +a a bc a a bc a abc
0,25
Tương tự
(4 )(4 ) 2 , (4 )(4 ) 2− − = + − − = +b c a b abc c a b c abc
2( ) 3 2( ) 8⇒ = + + + − = + + + =A a b c abc abc a b c abc
0,25
II 1 Giải phương trình
2
4 6 2 2 3 2− + = + + −x x x

1,00
ĐK:
2 2
− ≤ ≤
x
. Pt
( )
(2 )(2 ) 3 2 2 3 2 0⇔ − + − − + − + =x x x x
0,25
( ) ( )
2 2 3 2 2 3 0⇔ − + − − + − =x x x
( ) ( )
2 3 0
2 3 2 2 0
2 2 0

+ − =
⇔ + − − − = ⇔

− − =


x
x x
x
0,25
Giải pt
2 3 0 7+ − = ⇔ =x x
(Loại) 0,25
Giải pt

2 2 0 2− − = ⇔ = −x x
(TM). Vậy x = -2 0,25
II 2 Giải hệ phương trình
2 2
2 2
5
( ) 6

+ =


− =


x y
xy x y
1,00
Hệ
2 2
2 2
2 2
( ) ( ) 5
5
( )( ) 6
( )( ) 6

− + + =

+ =


⇔ ⇔
 
− + =
− + =



x xy y xy
x y
xy x y x y
x xy y xy
Đặt
2 2
,= − = +a x xy b y xy
ta được hệ
5
6
+ =


=

a b
ab
0,25
Giải hệ pt này ta được
2 2
2 2
2, 3 2, 3
3, 2

3, 2

= = − = + =

⇒


= =
− = + =


a b x xy y xy
a b
x xy y xy
0,25
TH 1.
2
2 2 2 2
2
2
3 3 2 2 3 5 2 0
3

− =

⇒ − = + ⇔ − − =

+ =



x xy
x xy y xy x xy y
y xy
0,25
2
2
2 1 1, 2
1 1 3
3 ,
2
2 2

= ⇒ = ⇒ = ± = ±


= − ⇒ = ⇒ = ± =


m
x y y y x
y x x x y
TH 2.
2
2 2 2 2
2
3
2 2 3 3 2 5 3 0
2

− =


⇒ − = + ⇔ − − =

+ =


x xy
x xy y xy x xy y
y xy
2
2
1 1 3
3 ,
2
2 2
2 1 1, 2

= ⇒ = ⇒ = ± = ±


= − ⇒ = ⇒ = ± =

m
x y y y x
y x x x y
Vậy hệ pt có tám nghiệm là
1 3 1 3 3 1 3 1
(2;1), ( 2; 1), ; , ; , (1; 2), ( 1;2), ; , ;
2 2 2 2 2 2 2 2
− − − −

       
− − − −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
0,25
III 1 Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn
2 2
4 5 2( )− + = −x xy y x y
1,00
Pt
2 2
2(1 2 ) 5 2 0⇔ − + + + =x y x y y
Tồn tại x
2 2
' (1 2 ) (5 2 ) 0⇔ ∆ = + − + ≥y y y
0,25
2 2
2 1 0 ( 1) 2 1 2 1 2 1 2⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ +y y y y y
0,25
Do y là số nguyên nên
0, 1, 2= = =y y y
0,25
2
2
2
0 2 0 0, 2
1 6 7 3 2
2 10 24 0 4, 6
= ⇒ − = ⇔ = =
= ⇒ − + ⇔ = ±

= ⇒ − + = ⇔ = =
y x x x x
y x x x
y x x x x
Vậy các cặp số nguyên cần tìm là
(0;0), (2;0), (4;2), (6;2)
0,25
III 2 Tìm các số nguyên tố p sao cho
2 3 4
1+ + + +p p p p
là số hữu tỷ 1,00
2 3 4
1+ + + +p p p p
là số hữu tỷ
2 3 4 2
1 ,⇔ + + + + = ∈¥p p p p n n
0,25
2 3 4 2
2 3 4 2 2 3 4 2
2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 (1)
4 4 4 4 4 4 4 4 5
(2 ) (2 ) (2 2) 2 2 2 2
⇔ + + + + =
⇒ + + < < + + + + +
⇔ + < < + + ⇔ + < < + +
p p p p n
p p p n p p p p p
p p n p p p p n p p
0,25

2
2 2 1⇒ = + +n p p
. Thế vào (1) ta được
2 3 4 2 2 2
4 4 4 4 4 (2 1) 2 3 0+ + + + = + + ⇔ − − =p p p p p p p p
0,25
Giải pt tìm được
1= −p
(loại) và
3=p
Với
2 3 4
3 1 11= ⇒ + + + + =p p p p p
. Vậy
3=p
0,25
IV 1 Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF 1,00
Tứ giác DCEH nội tiếp suy ra
·
·
HDE HCE⇒ =
0,25
Tứ giác DBFH nội tiếp suy ra
·
·
HDF HBF⇒ =
0,25
Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra
·
·

·
·
HCE HBF HDE HDF⇒ = ⇒ =
Suy ra DH là tia phân giác của góc
·
EDF
0,25
Tương tự EH là tia phân giác của góc
·
DEF
. Vậy H là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác DEF.
0,25
IV 2 Chứng minh
AO EF⊥
1,00
Vẽ tiếp tuyến xAy của đường tròn (O) tại điểm A
Tứ giác AEHF nội tiếp suy ra
·
·
AFE AHE⇒ =
Tứ giác EHDC nội tiếp suy ra
·
·
AHE DCE⇒ =
0,25
·
·
DCE xAB=
(góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung cùng

chắn một cung)
0,25
Suy ra
·
·
AFE xAB Ax // EF= ⇒
0,25
AO ⊥ xAy ⇒ AO ⊥ EF
0,25
IV 3 Chứng minh
AO EF⊥
1,00
AO ⊥ EF ⇒ S
AEOF
=
1
AO.EF
2
0,25
Tương tự
BDOF CDOE
1 1
BO DF S BO.DF, CO DE S CO.DE
2 2
⊥ ⇒ = ⊥ ⇒ =
0,25
ABC AEOF BDOF CDOE
1
S = S + S S (AO.EF BO.DF+CO.DE)
2

1
= R(EF DF+DE)
2
⇒ + = +
+
0,25
Vậy chu vi tam giác DEF lớn nhất ⇔
ABC
S
lớn nhất ⇔ khoảng cách từ
A đến BC lớn nhất ⇔ A là điểm chính giữa của cung lớn BC.
0,25
V Tìm GTNN của
2 2 2 2
2 2
2 2 2
− + − +
− +
= + +
+ + + + + +
x xy y y yz z
z zx x
S
x y z y z x z x y
1,00
Ta có
2 2 2 2 2
1 3 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 2

− + = + + − ≥ + = +x xy y x y x y x y x y
0,25
Tương tự suy ra
2
2 2 2
+ + +
≥ + +
+ + + + + +
x y y z z x
S
x y z y z x z x y
0,25
Đặt
2 , 2 , 2
, ,
2 2 2
2
2 2 2
= + + = + + = + +
+ − + − + −
⇒ + = + = + =
+ − + − + −
⇒ ≥ + +
a x y z b y z x a z x y
b c a c a b a b c
x y y z z x
b c a c a b a b c
S
a b c
0,25

4 3 2 2 2 3 3
     
⇒ ≥ + + + + + − ≥ + + − =
 ÷  ÷  ÷
     
b a c a c b
S
a b a c b c
Do đó
3
4
≥S
. Đẳng thức xảy ra
= =x y z
. Vậy GTNN của S là
3
4
0,25
H
F
E
D
H
F
E
D
O
O
B
C

A
B
C
A
X
Y
Hình vẽ câu a Hình vẽ câu b
Chú ý. Học sinh có cách giải khác với cách giải nêu trong đáp án nhưng đúng giáo viên
vẫn cho đủ số điểm tương ứng.