Tài liệu ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013- 2014 Môn thi: TOÁN (Đề Chung) - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM potx

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
CHUYÊN
QUẢNG NAM Năm học : 2013 - 2014
Khóa thi ngày 06 tháng 6 năm 2013
Môn: TOÁN ( Toán chung)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không tính thời gian giao
đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1. (1,5 điểm)
Cho hai biểu thức :
1
A = 2 18
2
+
và
1 1 x 2
B = .
x 2 x 2 x
−
 
+
 ÷
+ −
 
(với x > 0
và x
x 4≠
)
a) Rút gọn A và B.
b) Tìm giá trị x để
A.B = 2

.
Câu 2. (1,5 điểm)
a) Giải hệ phương trình (Không dùng máy tính bỏ túi)
x 2y 5
2x y 0
+ =


− =

.
b) Cho hàm số y = 2x
2
có đồ thi (P). Hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần
lượt là 2 và -1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B.
Câu 3. (2 điểm)
Cho phương trình bậc hai: x
2
+ 2(m – 1)x + 2m – 6 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
với mọi m.
b) Tìm tất cả các giá trị m để
1 2
1 2
1 1
x x 13 0
x x

+ + + =
.
Câu 4. (4 điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên đoạn AO lấy điểm C sao cho
R
AC =
4
. Vẽ dây cung ED vuông góc với AO tại C. Hai tiếp tuyến tại E và B của
đường tròn (O) cắt nhau tại M. Đường thẳng DM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai
là K. Đường thẳng EK cắt MO , MB lần lượt tại G, H. Gọi I là giao điểm của OM và
EB.
a) Chứng minh tứ giác OIEC nội tiếp.
b) Tính AE theo R.
c) Chứng minh HM
2
= HK. HE.
d) Tính MG theo R.
Câu 5. (1 điểm)
Cho a, b thỏa mãn điều kiện :
0 a 2≤ ≤
;
0 b 2≤ ≤
và a + b = 3. Chứng minh
2 2
a +b 5≤
hết
GV : Nguyễn Đức Tuấn - THCS Trần Phú Điện Bàn
1
Bài giải : 19g Ngày 9 / 6/2013
Đề chung chuyên toán

Quảng Nam Năm 2013 _ 2014
Bài 1 : A =
1 2
2 18 2. 3 2 4 2
2 2
+ = + =

1 1 2
2 2
x
B
x x x
−
 
= +
 ÷
+ −
 
=
2 2 2 2
( 2)( 2) 2
x x x
x x x x
 
− + + −
=
 ÷
 ÷
+ − +
 

b) Khi A.B=
2
. ta có
2
2x +
.
4 2
=
2
Suy ra
8
2x +
= 1 nên 8 =
2x +
<=>
x
= 6 <=> x =36 ( TMĐK)
Bài 2:
a) Giải hệ phương trình
2 5 2 5 5 5 1
2 0 4 2 0 2 2
x y x y x x
x y x y y x y
+ = + = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = = =
   
Vậy hệ pt có nghiệm x = 1 , y =2

b)

2
( ) : 2
8 ê (2;8)
2
A
A
Do A P y x
y N n A
x

∈ =
⇒ =

=





2
( ) : 2
2 ê ( 1;2)
1
B
B
Do B P y x
y N n B
x


∈ =
⇒ = −

= −

Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b
Do đường thẳng AB qua A, B
Nên ta hệ pt :
8 2 6 3 2
2 2 4
a b a a
a b a b b
= + = =
  
⇔ ⇔
  
= − + = − + =
  
Vậy đường thẳng AB là : y = 2x + 4
Bài 3: Với phương trình x
2
+2(m-1)x+2m – 6 = 0 (1)
a) Ta có ∆’ = (m-1)
2
– (2m- 6) = m
2
– 2m +1 - 2m +6
= m
2

– 4m + 4 + 3 = ( m +2 )
2
+ 3
Do ( m +2 )
2
≥ 0 Với mọi m
nên ( m +2 )
2
+ 3 ≥ 3 > 0 Với mọi m
hay ∆’ > 0 . Vậy pt (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Điều kiện pt (1) có 2 nghiệm là với mọi m
Theo hệ thức Viet có x
1
+ x
2
= - 2( m – 1) , x
1
. x
2
= 2m – 6
Theo đề cho có
2 1
1 2
1 2
13 0
x x
x x
x x
+
+ + =

Suy ra
2( 1)
2 6 13 0
2 6
m
m
m
− −
+ − + =
−
, ĐK m ≠ 3
 -2m + 2 + 4m
2
– 24m + 36 + 26m – 78 = 0
GV : Nguyễn Đức Tuấn - THCS Trần Phú Điện Bàn
2
 4m
2
– 40 = 0
 m =
10±
( TMĐK)
Vậy m =
10±
‘
Bài 4 :
a) Chứng minh tứ giác OIEC nội tiếp
Chứng minh được OM ┴ EB tại I ,
ED ┴ AB tại C
Nên

·
·
0
90EIO ECO+ =

Suy ra tứ giác EIOC nội tiếp
b. Tính AE theo R .
∆AEB vuông tại E
( AEB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
EC ┴ AB
Suy ra AE
2
= AC . AB =
4
R
.2R =
2
2
R
Suy ra AE = R
2
2
c. Chứng minh HM
2
=HK.HE.
Ta có :
· ·
MEK MDE=
(Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây
cùng chắn cung EK)

mà
·
·
EDM DMB=
(slt)
Nên
·
·
KMH MEK=
Suy ra ∆HMK đồng dạng ∆HEM (gg)
Suy ra HM
2
=HK.HE
d. Tính MG theo R .
Xét đường tròn (O) có HB
2
= HK.HE ( phương tích )
mà HM
2
=HK.HE
Suy ra HM = HB. Nên G là trọng tâm tam giác MEB
Suy ra MG =
2/
3
MI ,
Mà
2 2
AE R 2
OI
2 4

OE R 4R
OM 2 2R
OI
R 2 2
4
= =
= = = =
Suy ra MI =
2 2R
-
2
4
R
=
2R
(2-
1
4
) =
7
4
2R
Nên MG =
7
6
2R
Bài 5: Do 0≤ a ≤ 2 mà a + b = 3 . Nên 3 – b ≤ 2 <=> b ≥ 1
suy ra b – 1 ≥ 0
trong khi b -2 ≤ 0
GV : Nguyễn Đức Tuấn - THCS Trần Phú Điện Bàn

3
Suy ra (b – 1 )(b – 2) ≤ 0 hay b
2
– 3b + 2 ≤ 0
Tương tự a
2
– 3a + 2 ≤ 0
suy ra a
2
+ b
2
– 3( a + b) + 4 ≤ 0
hay a
2
+ b
2
– 3. 3 + 4 ≤ 0
Vậy a
2
+ b
2
≤ 5
GV : Nguyễn Đức Tuấn - THCS Trần Phú Điện Bàn
4