Tài liệu TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC VÀ THPT CHUYÊN; MÔN TOÁN; CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ; BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI (PHẦN 5) pot

CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
1

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI (PHẦN 5)


Bài 1. Cho hàm số:
2
6
y ax ax x a
   
(1); với a là tham số thực.
1. Vẽ đồ thị của hàm số (1) trong trường hợp
1
a

.
2. Ký hiệu đồ thị của (1) là (P). Với giá trị nào của a thì
a) (P) đi qua gốc tọa độ O.
b) (P) đi qua điểm M thuộc phân giác góc phần tư thứ nhất và có hoành độ bằng 5.
3. Chứng minh rằng đồ thị (P) của hàm số (1) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của a.
4. Với giá trị nào của a thì (P) cắt đường thẳng : 3
y x a
  
tại hai điểm nằm về phía trên trục hoành và bên
trái trục tung.
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
3 3

y x x
  
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P).
2. Chứng minh rằng có hai đường thẳng đi qua
1
1;
2
I
 
 
 
; vuông góc với nhau đồng thời tiếp xúc với (P).
3. Tìm tập hợp điểm mà từ các điểm đó kẻ được hai tiếp tuyến tới (P) sao cho hai tiếp tuyến này vuông góc với
nhau.
4. Tìm tập hợp các điểm mà qua mỗi điểm đó không có tiếp tuyến nào của (P) đi qua.
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
1 1
2 2
y x
 
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ (P).
2. Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình:
2
1 1
1
2 2
x m

  
(m là tham số thực).
3. Chứng minh rằng mọi điểm M nằm trên (P) cách đều trục hoành và một điểm K cố định. Xác định tọa độ K.
4. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (P) tại điểm M tạo với đường thẳng MK và trục tung những góc nhọn có số
đo bằng nhau.
5. Lập phương trình tiếp tuyến của (P) đi qua điểm


2;4
A
.
Bài 4. Cho hàm số




1 1
y x x
   (1).
1. Đơn giản hàm số đã cho bằng phương pháp chia trường hợp.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số đã cho.
3. Xét phương trình




1 1 2 1
x x m
   
. Hãy tìm m để

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Phương trình có ba nghiệm phân biệt.
c) Phương trình có ít nhất một nghiệm âm.
d) Phương trình có hai nghiệm trái dấu.
4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên


2;1

.
Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
2 3
y x x
  
.
1. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và trục hoành.
2. Gọi d là đường thẳng có hệ số góc a và luôn quay xung quanh điểm


2;5
A
.
a) Lập phương trình đường thẳng d.
b) Tìm a để parabol (P) và đường thẳng d tiếp xúc nhau.
c) Tìm giá trị thực của a để (P) cắt d tại hai điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
3. Tịnh tiến đồ thị (P) sang trái 2 đơn vị và lên trên hai đơn vị. Vẽ đồ thị tìm được.
4. Tìm tiếp tuyến của (P) đi qua gốc tọa độ.
5. Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo tham số m:
2

2 2 7
x x m
  
.
CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
2

Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):


2 2
2 4 2 1 8 3
y x m x m
    
.
1. Xác định giá trị m biết (P) đi qua giao điểm của trục tung và đường thẳng
: 3 6
y x
  
.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ (P) trong trường hợp
1
m

.
3. Chứng minh rằng parabol (P) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định với mọi giá trị của m.
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):


2

2 1 3 5
y x m x m
    
.
1. Tìm m để (P) đi qua giao điểm của tia phân giác góc phần tư thứ nhất và đường
5
y

.
2. Với giá trị nào của thì parabol có tung độ đỉnh bằng
6

?
3. Tìm tập hợp đỉnh của (P).
4. Với mỗi giá trị của m, hàm số


2
2 1 3 5
y x m x m
    
có giá trị nhỏ nhất
min y
.
Tính


max min y
và giá trị m tương ứng.
Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho họ đồ thị







2
: 1 2 2 3
m
P y m x m x m
     

1. Vẽ đồ thị
 
1
P

.
2. Tìm m để đồ thị đi qua gốc tọa độ O.
3. Chứng minh rằng mọi đồ thị của họ đồ thị trên luôn luôn đi qua hai điểm cố định. Trong trường hợp (
m
P
) là
đường thẳng; kết luận trên còn đúng hay không ?
4. Tìm tọa độ các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho qua mỗi điểm đó không có đường cong nào của họ đồ
thị trên đi qua.
5. Tìm giá trị của m để họ đồ thị tiếp xúc với đường
: 4 6 0
x y m
    

.
Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho họ parabol (P):




2
2 3 1 9 2 0
y mx m x m m
     
.
1. Chứng minh rằng mỗi đồ thị trong họ đường cong đều tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định.
2. Gọi giao điểm (nếu có) của họ đồ thị và trục hoành là E và F. Chứng minh rằng hai điểm E và F luôn liên
hợp điều hòa với nhau đối với hai điểm cố định.
Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho họ parabol (P):
2 2
2 2 3 4
y x mx m m
    
.
1. Tìm m để parabol đi qua giao điểm của hai đường thẳng
4 2; 5
y x y x
  
.
2. Tìm tập hợp các đỉnh của họ parabol (P).
3. Vẽ đồ thị (P) trong trường hợp tung độ đỉnh của (P) đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Chứng minh mọi đồ thị (P) luôn tiếp xúc với một parabol cố định.
5. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho qua mỗi điểm đó luôn có hai đường cong của họ đồ thị đi qua.
Bài 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol





2 2
1 2
: ; : 2 4
P y x P y x x
   
.
1. Tìm tọa độ các giao điểm A và B của hai parabol.
2. Qua A vẽ đường thẳng a cắt


1
P
và


2
P
lần lượt ở E, F (E và F khác A).
Qua B vẽ đường thẳng b cắt


1
P
và



2
P
lần lượt ở G, H (G và H khác B). Chứng minh EG song song với HF.
Bài 12. Cho hàm số
2
1
2
4
y x mx m
  
; có đồ thị là (P).
1. Tìm giá trị của m sao cho từ điểm


0; 1
A

có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến họ đồ thị và hai tiếp tuyến đó
vuông góc với nhau. Với mỗi giá trị tìm được của m, hãy viết phương trình của hai tiếp tuyến ấy.
2. Chứng tỏ rằng các parabol ứng với các giá trị tìm được ở câu 1 đều tiếp xúc với (P).
Bài 13.
1. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có đồ thị nào của họ hàm số
2
4 9
y mx x m
  
đi
qua dù m lấy bất kỳ giá trị nào.
2. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có đồ thị nào của họ hàm số sau đi qua dù m lấy
bất kỳ giá trị nào:



2 2
1 2 4 3
y x m x m m
     
.
3. Tìm parabol


2
:
P y ax bx c
  
biết nó đi qua hai điểm




0; 1 , 4; 5
A B
 
và tiếp xúc với đường thẳng có
phương trình
5 15
y x
 
.
CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
3

Bài 14. Cho hàm số


2
1 2 3
y mx m x m
    
(1); với m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của m sao cho đồ thị (P) của hàm số (1) đi qua điểm
1
2;
2
A
 
 
 
.
2. Với giá trị nào của m thì (P) có đỉnh nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất ?
3. Tìm tọa độ các điểm sao cho (P) luôn đi qua dù m lấy bất kỳ giá trị nào.
Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
y ax bx c
  
(a khác 0).
1. Gọi d là đường thẳng song song với trục hoành và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Chứng minh rằng
trung điểm đoạn AB thuộc trục đối xứng của (P).
2. Một đường thẳng song song với trục hoành, cắt đồ thị (P) tại hai điểm





2;1 , 3;1
M N
. Hãy cho biết
phương trình trục đối xứng của (P).
Bài 16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
2 3
y x x
  
và đường thẳng
: 2
d y m x
 
.
1. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d đi qua gốc tọa độ ?
2. Tìm các phép tịnh tiến biến đổi parabol (P) thành parabol


2
: 2 5
P y x x

 
.
3. Chứng minh d và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Xác định tọa độ trung điểm I của AB.
Bài 17. Lập phương trình parabol (P) thỏa mãn đồng thời
1. Tiếp xúc với đường thẳng
: 3

d y x
 
tại điểm


1;4
A
.
2. Có trục đối xứng là đường thẳng đi qua điểm
3
;0
4
B
 

 
 
và song song với trục tung.
Bài 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
y ax bx c
  
.
1. Xác định các hệ số
, ,
a b c
biết





1 1 1
f f
  
.
2. Tìm m để (P) vừa tìm được cắt (P) tại hai điểm A và B sao cho OA vuông góc với OB.
Bài 19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
y ax bx c
  
đi qua gốc tọa độ.
1. Hãy tính các hệ số
, ,
a b c
biết rằng




 
3
9
8
f x f x x
f x
  



 




2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc trục tung sao cho từ điểm đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với (P) và hai tiếp
tuyến ấy vuông góc với nhau.
Bài 20. Cho hàm số
 
2
1
2
f x x m x m
m
 
   
 
 
; với m là tham số khác 0.
1. Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm


3;10
P
.
2. Giả sử


 


 

1;1 1;1
;
x x
A Min f x B Max f x
   
 
. Tìm giá trị của m sao cho
8
B A
 
.
Bài 21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho họ parabol






2
: 1 2 1
m
P y m x mx m m
    
.
1. Tìm m để parabol có đỉnh nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ ba.
2. Tìm quỹ tích đỉnh của các parabol khi m thay đổi.
3. Xác định m để parabol cắt đường thẳng
:
d y m


tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 2.
Bài 22.
1. Chứng tỏ rằng tất cả các đường thẳng thuộc họ
2
: 2 2
m
d y mx m m
  
đều tiếp xúc với một parabol cố định
có trục đối xứng song song với trục tung.
2. Tìm điểm cố định của họ đường cong:




2
2 1 3 4
y m x m x m
     
.
3. Chứng minh họ parabol








2

: 1 2 3 1
P y m x m x m m
      
có một tiếp tuyến cố định tại một
điểm cố định.
4. Tìm điểm cố định của họ parabol (P):
2
2 1
y mx mx
  
.
CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
4

Bài 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho họ parabol (P):




2
2 2 1 4 3 0
y mx m x m m
     

1. Tìm m để họ parabol có đỉnh nằm trên đường thẳng
3
5
4
y x
 

.
2. Tìm các điểm cố định mà họ đồ thị luôn đi qua với mọi giá trị m.
3. Chứng minh các parabol trong họ đồ thị vừa tiếp xúc nhau đồng thời tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Bài 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho họ parabol (P):




2 2
2 1 1 0
y x m x m m
     
.
1. Tìm m để họ parabol (P) đi qua gốc tọa độ.
2. Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ đồ thị luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Tìm phương trình
đường thẳng và xác định tọa độ tiếp điểm.
Bài 25. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng


2
: 4 1 1 2
d y m x m
   
(m là tham số thực).
1. Vẽ đồ thị d trong trường hợp
4
m

.
2. Xác định giá trị m để

a) Đường thẳng d tạo với trục hoành một góc
60



.
b) Đường thẳng d cắt hai trục Ox, Oy theo thứ tự tại hai điểm A và B sao cho
2
OA OB

.
3. Chứng minh rằng họ đường thẳng đã cho không có điểm cố định; đồng thời tiếp xúc với một parabol cố
định. Tìm phương trình đường parabol ấy biết trục đối xứng của nó song song với trục tung.
Bài 26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 3 2
P y x x
  
.
1. Gọi


P

là đồ thị đối xứng với (P) qua điểm


1;2

I . Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số


P

.
2. Biện luận số giao điểm của đồ thị (P) và đường thẳng :
d y m x
 
.
3. Trong trường hợp (P) cắt d tại hai điểm phân biệt A và B. Hãy tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB.
Bài 27. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol
 
2
1
: 1
2
P y x x
  
và đường thẳng
: 3
d y mx
 
.
1. Tìm m để d tạo với trục hoành một góc

sao cho
1
tan
5



.
2. Với giá trị nào của m thì (P) cắt d tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1 ?
3. Khi (P) và d cắt nhau, hãy tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Bài 28. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
:
P y ax bx c
  
và đường thẳng
: 2 1
d y x
 
.
1. Xác định mối quan hệ giữa các hệ số
, ,
a b c
biết rằng (P) luôn tiếp xúc đường thẳng d tại điểm


1;3
A
.
2. Tìm quỹ tích đỉnh của parabol (P) khi a thay đổi.
Bài 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol



2
: 5 4
P y x x
   
.
Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm A và B. Hãy tìm quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng AB trong mỗi trường hợp
1. Đường thẳng d song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai.
2. Đường thẳng d quay xung quanh gốc tọa độ O.
Bài 30. Xét hàm số
2 2
2 1
y x mx m
   
(với m là tham số thực).
1. Chứng tỏ với giá trị tùy ý, đồ thị hàm số trên luôn cắt trục tung tại một điểm A, cắt trục hoành tại hai điểm
phân biệt B, C khác gốc tọa độ.
2. Đường tròn đi qua các giao điểm A, B, C cắt trục tung thêm một điểm K khác A. Chứng minh rằng khi m
thay đổi, K là một điểm cố định.
Bài 31. Cho các hàm số
2 2
2 1
y ax a
  
(1);
2
2 2
y ax a
 
(2) (với a là tham số thực).
Ký hiệu đồ thị hàm số (1) là (P); đồ thị hàm số (2) là d.

1. Tìm a để hàm số (1) đồng biến trên khoảng
2
;
5
 



 
.
2. Với giá trị nào của a thì d cắt hai tia Ox và Oy tại hai điểm A và B thỏa mãn
4
OA OB

?
3. Tìm a để (P) đi qua điểm


2;15
A
.
4. Định a để (P) và d tiếp xúc với nhau.
CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
5

Bài 32. Cho hàm số
2
4
y x x m
  

(1); với m là tham số thực.
1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm


2;4
M .
2. Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại hai điểm A và B sao cho
3
OA OB

.
3. Xác định m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng
y x

tại hai điểm M và N sao cho OMN là tam giác cân.
Bài 33. Cho hàm số
2
2
y x mx
  
(1); với m là tham số thực.
1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng
y m

theo một dây cung có độ dài bằng 4.
2. Với giá trị của m thì đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm A và B thỏa mãn
2
OA OB

.

Bài 34. Tìm m để đồ thị hàm số


4 2 2
2 4 8
y x m x m
    
cắt trục hoành lần lượt tại bốn điểm phân biệt A, B, C,
D sao cho
AB BC CD
 
.
Bài 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol




2 2
: 2 2 3
P y x m x m m
    
.
1. Tìm m để (P) đi qua gốc tọa độ.
2. Với giá trị nào của m thì đỉnh của (P) nằm trên đường thẳng
3 4
y x
 
?
3. Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đường phân giác góc phần tư thứ hai luôn cắt parabol (P) tại hai điểm
phân biệt A và B; đồng thời khoảng cách giữa hai điểm A và B không phụ thuộc vào tham số m.

Bài 36.
1. Lập phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với parabol


2
: 4 3
P y x x
  
.
2. Tìm tập hợp điểm


;
N a b
sao cho từ N kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc tới parabol


2
: 1
P y x x
  
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các parabol




2 2
1 2
: 3 2; : 7 11

P y x x P y x x
      
.
Bài 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho




2 2
: 2 1 1
P y x m x m
    
(1); với m là tham số thực.
1. Tìm tọa độ đỉnh của parabol theo m.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, parabol (P) luôn cắt đường thẳng
y x

tại hai điểm với khoảng
cách không phụ thuộc vào m.
3. Khi m thay đổi, hãy chứng minh parabol (P) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Bài 38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho


2
: 2 1
P y x mx
  
và đường thẳng
2
: 3 2

d y mx m
  
.
Tìm m để parabol (P) cắt d tại hai điểm thỏa mãn từng điều kiện sau
1. Nằm về hai phía của trục tung.
2. Cùng nằm về bên trái của trục tung.
3. Một điểm nằm trên và một điểm nằm về bên trái trục tung.
Bài 39.
1. Chứng minh rằng đường thẳng
: 4 3
d y x
 
tiếp xúc với parabol




2 2
: 2 4 2 1 8 3
P y x m x m
    
.
2. Tìm tọa độ các điểm trên parabol


2
: 2 3
P y x x
  
sao cho tiếp tuyến của (P) tại điểm đó song song với

đường thẳng có phương trình
4 0
y x
 
.
Bài 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho đường thẳng
: 2 2
d y m x
 
và parabol


2
: 2 4
P y x x m
   
.
1. Với giá trị nào của m thì (P) tiếp xúc với d ?
2. Tìm giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tìm tọa độ giao điểm trong trường hợp
3
2
m
 
.
Bài 41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng
:
d y ax b
 
. Tìm giá trị của a và b biết
1. Đường thẳng d song song với đường thẳng

2 4 5
y x
 
và tiếp xúc với parabol


2
:
P y x
 
.
2. Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng
2 1 0
x y
  
và tiếp xúc với parabol


2
:
P y x
 
.
3. Đường thẳng d tiếp xúc với parabol


2
: 3 2
P y x x
  

tại điểm


3;2
C
.
Bài 42. Xác định hàm số bậc hai biết đồ thị là một parabol (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và cắt
đường thẳng
: 1
d y x
 
tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3.

CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
6

Bài 43. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2 2
: 3 2
P y x mx m
   (m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) trong trường hợp
2
m

.
2. Chứng minh rằng (P) và trục hoành luôn có ít nhất một điểm chung.
3. Tìm m để parabol (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B sao cho

a) Độ dài đoạn AB bằng 6.
b) Hai điểm A và B nằm trong khoảng giữa của hai đường thẳng
5; 15
x x
 
.
4. Xác định giá trị m để (P) cắt đường thẳng
2
y x
 
tại hai điểm M và N thỏa mãn
. 1
OM ON

 
.
Bài 44. Cho hàm số


2
2 1 3 2
y x m x m
    
(1);với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên trong trường hợp
3
m

.
2. Tìm m để đường thẳng

: 2 3
d y x
 
cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho
a) Tam giác AOB vuông cân tại O.
b) Tam giác OAB nhận điểm


1;3
G
làm trọng tâm.
3. Biểu diễn


2
2 3 2
y x m x x
     
là hàm số bậc nhất theo biến số m, tham số x.
Từ đó chứng minh rằng: Với mọi
2
m
 
thì




2
2 1 3 2 0 4;1

y x m x m x         .
Bài 45. Cho hàm số


2
2 3 1 3
y x m x m
    
(1); với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với
5
m

.
2. Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn


2;5
bằng 7.
3. Xác định giá trị của m để đường thẳng
: 3 4
d y x
 
cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho
a) Độ dài đoạn AB bằng 3.
b) Tam giác OAB nhận gốc tọa độ O làm tâm đường tròn nội tiếp.
4. Chứng minh rằng
1 1; 1
y m x
   

.
Bài 46. Cho hàm số


2
2 3 3 1
y x m x m
    
(1); với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với
3
m

.
2. Tìm m để hàm số (1) là một parabol (P) có đỉnh nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ nhất.
3. Xét sự tương giao giữa đồ thị (P) của hàm số (1) và đường thẳng


: 2 3 5
y m x
   
. Tìm m để
a) (P) cắt

tại hai điểm phân biệt AB sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất.
b) (P) và

cắt nhau tại hai điểm nằm về hai phía của đường thẳng
4
x


.
Bài 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 3 7 4
P y x mx m
   
(m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) trong trường hợp
1
2
m

.
2. Tìm m để parabol đã cho nằm phía trên đường thẳng
: 1
d y

.
3. Xác định giá trị của m để parabol đã cho cắt đường thẳng
: 2
y x m
  
tại hai điểm M và N sao cho
a) Tam giác OMN có diện tích bằng 5.
b) Biểu thức
f OM ON
 

 
đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Tìm m để phương trình
2
3 7 4 0
x mx m
   
có hai nghiệm phân biệt đều thuộc nửa đoạn


7;5
 .
Bài 48. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 2 5 2
P y x mx m
   
(m là tham số thực).
1. Tìm m để đỉnh của parabol (P) nằm trên đường tròn tâm O bán kính bằng 2.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ parabol với
2
m

.
3. Xét sự tương giao giữa (P) và đường thẳng
: 3 2 3
d y mx m
  

.
Tìm m để (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B sao cho
a)
2
OA OB

 
.
b) Tam giác AOB nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.
4. Với giá trị nào của m thì parabol (P) nhận trục tung làm trục đối xứng ?
CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
7

Bài 49. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2 2
: 4 3
P y x mx m
   (m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
2
m

.
2. Chứng minh rằng parabol (P) và trục hoành luôn có giao điểm chung.
3. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng
: 2 2
d y x m
 

tại hai điểm phân biệt sao cho tổng tung độ của hai
điểm đó bằng
5
m
.
4. Với giá trị nào của m thì parabol (P) cắt đồ thị (C) của hàm số
3 2 3
3 2
y x m x m
  
tại ba điểm phân biệt ?
Bài 50. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 4 5
P y x x m
  
(m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
1
m

.
2. Xác định m để parabol (P) có đỉnh nằm trên đường thẳng
: 2 3 4 0
d x y
  
.
3. Định m để (P) cắt đường thẳng

: 2 5
y mx m
  
tại hai điểm phân biệt A và B sao cho
2
OA OB

 
.
4. Xét sự tương giao giữa (P) và đồ thị (C) của hàm số
3 2
6 5
y x x mx m
   
. Tìm m để (P) cắt (C) tại ba
điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1.
Bài 51. Cho hàm số
2 2
6 5
y x mx m
  
; có đồ thị là parabol (P) ; m là tham số thực.
1. Cho
1
m

.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b) Tìm trên đồ thị hàm số các điểm



;
M x y
có tọa độ thỏa mãn






4 1 5
x x y y
   
.
2. Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến với
3
x

.
3. Xác định m để parabol (P) cắt trục hoành tại hai điểm A và B thỏa mãn điều kiện
. 9
OA OB

 
.
4. Tìm m để parabol (P) cắt tia Ox tại hai điểm phân biệt M và N thỏa mãn đẳng thức
3
OM ON m
 
.

5. Biện luận theo m số giao điểm của (P) và đồ thị (C) của hàm số
3 3
y x m
 
.
Bài 52. Cho hàm số


2
2 2 2 1
y x m x m
    
; có đồ thị là parabol (P) ; m là tham số thực.
1. Tìm m để hàm số đồng biến với
4
x

.
2. Tìm điểm cố định mà (P) luôn luôn đi qua với mọi giá trị m.
3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với
0
m

.
4. Định m và n để trục đối xứng của (P) hợp với đường thẳng
2 3 1
y nx m
  
một góc
45




.
5. Xét trường hợp (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ tương ứng
1 2
,
x x
.
Tìm tất cả các giá trị m sao cho
a)
2 2
2 3
OA OB
 
.
b)
2 2
1 1 2 2
3 4 7 6
x x x x m
   
.
6. Tìm m để (P) và parabol


2
: 6 2
Q y x mx m
   

có một điểm chung duy nhất N nằm trên trục tung.
Bài 53. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol
   
2
: 2 2 1
P y x m x m
    
(m là tham số thực).
1. Chứng minh rằng parabol (P) luôn nằm phía trên trục hoành.
2. Tìm m để (P) nhận đường thẳng
5
x

làm trục đối xứng.
3. Xác định m để (P) chắn trên đường thẳng
3 1
y m
 
một đoạn thẳng có độ dài bằng 7.
4. Tìm m để parabol (P) cắt đồ thị (C) của hàm số
4 2
2 1
y x x
  
tại bốn điểm phân biệt.
Bài 54. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol





2
: 3 1 3 2
P y x m x m
    
(m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với
1
m

.
2. Tìm m để hàm số




2
3 1 3 2
f x x m x m
    
luôn đồng biến trên miền


2;7
.
3. Với giá trị nào của m thì parabol (P) chắn trên trục hoành đoạn thẳng AB sao cho
a) Đoạn thẳng chứa điểm


8;0
S 

?
b) Độ dài đoạn AB bằng 1.
4. Biện luận số giao điểm của parabol (P) và đồ thị (C) của hàm số
3 2
4 4 2
y x mx mx
   
.

CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
8

Bài 55. Cho hàm số
2 2
5 4
y x mx m
   (1); với m là tham số thực.
1. Khi
1
m

.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số đã cho.
b) Tìm trên đồ thị (P) các điểm


;
S x y
có tọa độ thỏa mãn hệ thức
2

4 12 9
x xy y
  
.
2. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho và trục hoành luôn có giao điểm chung.
3. Định m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng
: 2 1
d y mx
 
tại hai điểm phân biệt sao cho hai điểm đó đều
có hoành độ thuộc đoạn


4;
 
.
Bài 56. Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol


2
: 2 5
P y x x
  
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ (P).
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2 5
y x x
  

trên miền


1;4
.
3. Tìm trên đồ thị (P) các điểm


;
Z x y
có tọa độ thỏa mãn
 




1 3 1
4
y y
x y
x
 
  .
4. Xác định m để đường thẳng
: 5
y mx
  
chắn trên parabol (P) một đoạn thẳng có độ dài bằng 5.
5. Tìm tất cả các giá trị a để parabol (P) cắt đồ thị (C) của hàm số
3 2

3 2 5
y x ax ax
   
tại ba điểm phân biệt
trong đó không có điểm nào nằm bên trái trục tung.
Bài 57. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai parabol


2
: 2 3
P y x x
  
và


2
: 2 3
Q y x x
   
.
1. Tìm phép biến đổi (P) thành (Q).
2. Khảo sát sự biến thiên và hai đồ thị (P), (Q). Tính diện tích của tứ giác tạo bởi hai đỉnh của hai parabol và
các giao điểm tương ứng.
3. Tìm trên (P) các điểm


;
N x y
có tọa độ thỏa mãn





4 4 2 4
x y x y x
    .
4. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để đường thẳng
: 3 5 6
y mx m
   
cắt parabol (P) tại hai điểm phân
biệt có tọa độ nguyên.
Bài 58. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 4
P y x x
 
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P).
2. Tìm đồ thị (Q) đối xứng với đồ thị (P) qua gốc tọa độ.
3. Lập phương trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm


2;5
T
.
4. Tìm trên đồ thị (P) các điểm K có tọa độ nguyên dương.
5. Với giá trị nào của m thì đồ thị (P) cắt đồ thị hàm số

3
5
y x mx
  
tại ba điểm có hoành độ nhỏ hơn 5.
Bài 59. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 3 2
P y m x x
  
(m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) khi
1
m
 
.
2. Tìm m để parabol (P) tiếp xúc với trục hoành.
3. Xác định a để trục đối xứng

của (P) cách đường thẳng
: 5 2
d y a
 
một khoảng bằng 1.
4. Xét sự tương giao của (P) và đồ thị (C) của hàm số


3 2

2 1 3
y x m x mx
    
. Tìm m để (P) cắt (C) tại ba
điểm có hoành độ tương ứng
1 2 3
, ,
x x x
sao cho
3 3 3
1 2 3 1 2 3
2 1
x x x x x x
   
.
Bài 60. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 5 4
P y m x x
  
(m là tham số thực).
1. Trong trường hợp
3
m

.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b) Tìm điểm



;
D x y
có tọa độ thỏa mãn
2 3
x y xy
 
.
2. Tìm m để khoảng cách từ điểm


2;3
M
và đỉnh của (P) bằng 4.
3. Tìm giá trị của m để đồ thị (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ bằng 1 và 3.
4. Tìm m để parabol (P) cắt đồ thị (C) của hàm số


3 2
6 5 1
y x mx m x
   
tại ba điểm phân biệt có tổng
hoành độ bằng 8.

CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
9

Bài 61. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol





2
: 2 1 2 2
P y x m x m
    
(m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với
1
m

.
2. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B thỏa mãn
a)
2 2
3 7
OA OB
 
.
b) Đoạn thẳng AB chứa hai điểm




2;0 , 5;0
M N
.
3. Xác định m để đồ thị hàm số đã cho cắt đồ thị



3 2
: 3 2 2
C y x x x m
    
tại ba điểm phân biệt.
Bài 62. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2 2
: 4 3
P y x mx m
  
(m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ (P) với
1
m

.
2. Tìm m để trục đối xứng của parabol (P) nằm bên trái đường thẳng
2
:
7
l x

.
3. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng
:
x y m

  
tại hai điểm phân biệt A và B sao cho
2
OA OB

.
Bài 63. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 4
P y x x
 
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P).
2. Tìm đồ thị (H) đối xứng với (P) qua điểm


1; 2
D

.
3. Tìm trên đồ thị (P) các điểm


;
T x y
có tọa độ thỏa mãn hệ thức
2
9 2 12 8

x y x y
   
.
4. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng
: 5 0
d y x m
  
tại hai điểm phân biệt có hoành độ
1 2
,
x x
thỏa mãn
điều kiện sau:
1 2
2
x x
 
.
5. Biện luận theo m số giao điểm của (P) và đồ thị hàm số
3 2
4 4 4
y x mx mx
   
.
Bài 64. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol







2
: 2 2 2 1
P y m x m x m
     

Với m là tham số thực,
2
m
 
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ (P) với
0
m

.
2. Tìm m để parabol (P) có đỉnh nằm trên trục hoành.
3. Xét điểm


1;2
I . Tìm m để parabol (P) cắt trục Ox tại A và B sao cho IAB là tam giác vuông cân tại I.
Bài 65. Cho hàm số
2
2 3 2
y x x m
   
; có đồ thị (P); m là tham số thực.
1. Xét trường hợp
1

m

.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P).
b) Đường thẳng
4
y

cắt đồ thị trên tại hai điểm phân biệt A và B. Tính
IAB
S

với


1;0
I
.
2. Định m để đỉnh I của parabol (P) nằm trong góc phần tư thứ nhất.
3. Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn


0;2
bằng 2015.
Bài 66. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol







: 1
P y x x m m
   
(m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với
1
m

.
2. Định m để các trục đối xứng của (P) và


2
: 8 10
Q y x x
  
trùng nhau.
3. Xác định m để đường thẳng
: 2
y
 
chắn trên parabol (P) một đoạn thẳng có độ dài bằng 2.
4. Với giá nào của m thì đồ thị (P) luôn luôn nằm phía trên trục hoành ?
5. Biện luận theo m số giao điểm của (P) và đồ thị


3 2
: 2 1
C x x x m

   
.
Bài 67. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol
 
2
1
: 2
2
P y x mx m
  
và đường thẳng
: 1
d y x m
  
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với
2
m

.
2. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d đi qua điểm cố định của (P) ?
3. Tìm tất cả các giá trị m sao cho parabol (P) có trục đối xứng cách gốc tọa độ một khoảng bằng 9.
4. Tìm m để (P) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
5. Trong trường hợp (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B. Xác định m để tam giác IAB có diện tích
bằng 4 (với I là đỉnh của parabol).
CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
10

Bài 68. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol



2 2
: 2 3 1
P y x mx m m
    
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với
1
m

.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đỉnh của (P) luôn nằm phía trên trục hoành. Tìm m để đỉnh của (P) cách
trục hoành một khoảng bằng 1.
3. Tìm m để parabol (P) và đường thẳng


: 2 5 7 3
y m x m
    
có hai điểm chung phân biệt.
4. Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm
2 2
2 2 2
2 3 1 ,
2 4.
x mx m m y
x mx m y

    



   



Bài 69. Cho hàm số
2 2
2 4 5 4
y x ax a a
    
; có đồ thị (P); a là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
1
a

.
2. Tìm a để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất.
3. Tìm a để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm M và N thỏa mãn nằm khác phía đối với trục tung.
4. Xác định a để đường thẳng :
y a
 
cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho đỉnh của (P) cùng
hai điểm A, B lập thành tam giác vuông cân.
Bài 70. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 2 3
P y x x
  

.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P).
2. Tìm trên (P) các điểm cách đều hai điểm




4;0 , 8;0
A B 
.
3. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng
: 3 2
d y mx x m
  
tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung.
4. Xác định m sao cho (P) cắt đồ thị (C) của hàm số
3 2
4 4 1
y x mx mx
   
tại ba điểm phân biệt.
5. Biện luận theo tham số m số giao điểm của parabol (P) và đồ thị (H) của hàm
2
6 5 2
y mx x m
   
.
Bài 71. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol



2
: 4 5
P y x x
  
.
1. Tịnh tiến đồ thị (P) sang trái 1 đơn vị, sau đó xuống dưới 2 đơn vị ta được đồ thị (Q). Khảo sát sự biến thiên
và vẽ đồ thị (Q).
2. Gọi A và B là hai giao điểm của (P) và trục hoành. Tìm m để đường thẳng


0
y m m
 
cắt parabol (P) tại
hai điểm C và D sao cho diện tích tứ giác ABCD có diện tích bằng 30.
3. Xét sự tương giao giữa parabol (P) và đồ thị (C) của hàm số
5
1
mx
y
x



. Tìm m để (P) cắt (C) tại đúng hai
điểm phân biệt.
4. Tìm trên parabol (P) các điểm M và N đối xứng với nhau qua điểm


5;0

E
.
Bài 72. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 2 2
P y x mx x m
    
(m là tham số thực).
1. Tìm điểm cố định mà (P) luôn luôn đi qua với mọi giá trị m.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
2
m

.
3. Đường thẳng
: 2
y x
  
cắt hai trục tọa độ tại A và B. Giả dụ trục đối xứng d của parabol đã cho cắt trục
Ox tại C và cắt

tại D


2, 2
A D
x x
 

. Tìm m để tứ giác tạo bởi bốn điểm A, B, C, D có diện tích bằng 10.
4. Định m để parabol (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hiệu hoành độ bằng 1.
5. Với giá trị nào của m thì parabol (P) cắt đồ thị hàm số
3 2
2 2
y x mx x m
    
tại đúng một điểm ?
Bài 73. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 4
P y x x
  
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P).
2. Tìm trên đồ thị (P) các điểm M có tọa độ nguyên dương.
3. Tìm trên đồ thị (P) các điểm


;
N x y
có tọa độ thỏa mãn
3 3 1
1 3 2
y x
x y x



 
.
4. Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt trục hoành tại hai điểm A, B. Tìm tọa độ điểm C trên trục tung sao
cho tam giác ABC có diện tích bằng 12.