Chuyên đề phương trình nghiêm nguyên và kinh nghiệm giải

I. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

1

Xét tính chia hết

2

Dùng bất đẳng thức

3

Dùng tính chất của số chính phương

4

P2 lùi vơ hạn – Ngun tắc cự hạn


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

1

Phương pháp xét tính chia hết

 Phát hiện tính chia
hết của 1 ẩn
 Đưa về phương
trình ước số

VD1: Giải phương trình nghiệm nguyên
3x + 17y = 159
VD2: Tìm nghiệm nguyên của PT
a, xy – x – y = 3
b, 2xy – x + y = 3

 Biểu thị một ẩn
theo ẩn còn lại rồi
dùng tính chia hết
 Xét số dư của từng
vế.

VD3: Tìm nghiệm nguyên của PT
xy – x – y = 2
VD4: Chứng minh rằng: các PT sau
khơng có nghiệm ngun:
1, x2 – y2 = 1998
2, x2 + y2 = 1999
VD5: Tìm nghiệm nguyên của PT
9x + 2 = y2 + y


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

1

Phương pháp xét tính chia hết

 Phát hiện tính chia hết của 1 ẩn
VD6: Giải phương trình nghiệm nguyên

3x + 17y = 159 (1)

Gợi ý
B1: Lý luận để có: 17y chia hết cho 3
B2: Lý luận để có: y chia hết cho 3
 Đặt y = 3k (k є Z)
B3: Tìm x; y theo k
B4: Thử lại vào (1) đúng  KL


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

1

Phương pháp xét tính chia hết

 Đưa về phương trình ước số
VD7: Tìm nghiệm nguyên của PT
a, xy – x – y = 3
b, 2xy – x + y = 3

Gợi ý
a/ B1: Biến đổi phương trình thành:
(x – 1)(y – 1) = 4
B2: Vì x;y là số nguyên:
 (x – 1) và (y – 1) є Ư (4)
(x – 1)(y – 1) = 1.4 = 4.1 = (-1).(-4)

b/ B1: Nhân 2 vế của PT với 2. Biến
đổi phương trình thành:

(2y – 1)(2x + 1) = 5
B2: Vì x;y là số nguyên:
 (2y – 1) và (2x – 1) є Ư (5)

= (-4).(-1) = 2.2 = (-2).(-2)
B3: Lập bảng tìm x; y

B3: Lập bảng tìm x; y

B4: Trả lời

B4: Trả lời


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

1

Phương pháp xét tính chia hết

 Đưa về phương trình ước số
VD7: Tìm nghiệm nguyên của PT
a, xy – x – y = 3
b, 2xy – x + y = 3

Kinh nghiệm
Để viết VT: 2xy – x + y thành một tích.
Ta biến đổi thành:

x(2y – 1) + 1/2 (2y – 1)

Để khử mẫu ta nghĩ đến việc nhân 2 vế với 2


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

1

Phương pháp xét tính chia hết

 Phương pháp biểu thị 1 ẩn theo ẩn cịn lại rồi dùng
tính chia hết
VD8: Giải phương trình nghiệm nguyên:
xy – x – y = 2

Gợi ý
B1: Biến đổi PT về: x(y – 1) – y = 2
B2: - Khảng định y≠1
- Biểu thị x theo y: x =
B3: Tách phần nguyên:

y+2
y-1

3
x=1+
y-1

B4: Lý luận để có: (y – 1) є Ư(3)
B5: Tìm y  Giá trị tương ứng của x

B6: Kết luận


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

1

Phương pháp xét tính chia hết

 Xét số dư của từng vế
VD9: CMR các PT sau khơng có nghiệm ngun
a)

x2 – y2 = 1998 (*)

Gợi ý
B1: x2; y2 : 4 dư 0 hoặc 1
B2: x2 - y2 : 4 dư 0 hoặc 1 hoặc 3
B3: 1998 : 4 dư 2
B4:  PT (*) khơng có nghiệm ngun


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

1

Phương pháp xét tính chia hết

 Xét số dư của từng vế
VD10: CMR các PT sau khơng có nghiệm ngun

b)

x2 + y2 = 1999 (* *)

Gợi ý
B1: x2; y2 : 4 dư 0 hoặc 1
B2: x2 + y2 : 4 dư 0 hoặc 1 hoặc 2
B3: 1998 : 4 dư 3
B4:  PT (* *) khơng có nghiệm ngun


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

1

Phương pháp xét tính chia hết

 Xét số dư của từng vế

Kinh nghiệm

- Một số chính phương khi : 4 dư 0 hoặc 1
- x2 – y2 khi : 4 dư 0 hoặc 1 hoặc 3
- x2 + y2 khi : 4 dư 0 hoặc 1 hoặc 2


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

1

Phương pháp xét tính chia hết

VD11: Tìm nghiệm ngun của PT

9x + 2 = y2 + y

Gợi ý
B1: Biến đổi vế phải = y(y + 1)
B2: Lý luận vế trái : 3 dư 2  y(y + 1) : 3 dư 2
 y

= 3k + 1

y+1 = 3k + 2
B3: Tìm được x = k(k + 1)
B4: Thử lại và kết luận:

x = k(k + 1)

y = 3k + 1


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

2

Phương pháp dùng bất đẳng thức

 Phương pháp sắp
thứ tự các ẩn

VD12: Giải phương trình nghiệm nguyên

 Phương pháp xét
từng khoảng giá trị
của ẩn

VD13: Tìm nghiệm nguyên dương

 Phương pháp chỉ ra
nghiệm nguyên

VD14: Tìm x є N

 Phương pháp sử
dụng điều kiện để
PT bậc hai có
nghiệm (∆ ≥ 0)

VD15: Tìm nghiệm ngun của PT

x + y + z = xyz
1/x + 1/y = 1/3

2x + 3x = 5x
x2 – xy + y2 = 2x – y


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

2

Phương pháp dùng bất đẳng thức

 Phương pháp sắp thứ tự các ẩn
VD12: Tìm nghiệm nguyên dương của PT

x + y + z = xyz

Gợi ý
B1: Nhận xét: x; y ; z có vai trị

B3: Chia cả hai vế của BĐT cho Z

bình đẳng trong PT

 xy ≤ 3
 xy = 1; 2; 3

Có thể sắp thứ tự giá trị các ẩn:
B4:
B2: Giả sử:


1≤x≤y≤z

xyz = x + y + z ≤ 3z

xy
x

y
z

1
1
1
loại

2
1
2
3

3
1
3
loại


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

2

Phương pháp dùng bất đẳng thức

 Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn
VD13: Tìm nghiệm nguyên dương của PT

1/x + 1/y = 1/3

Gợi ý
B1: Giả sử x ≥ y  1/y < 1/3  y > 3
B2: Mặt khác do x ≥ y ≥ 1  1/x ≤ 1/y
 1/x + 1/y ≤ 1/y + 1/y
hay 1/3 ≤ 2/y
y≤6
Cộng hai vế với 1/y  y ≤ 6  y = 4; 5; 6
B3: Xét từng trường hợp của y  x
B4: Kết luận:

(x; y) = (4; 12); (12; 4); (6; 6)


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

2

Phương pháp dùng bất đẳng thức

 Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn

Kinh nghiệm
Khi các ẩn trong phương trình có vai trị
bình đẳng ta thường sắp thứ tự các ẩn, sau
đó dùng BĐT để giới hạn khoảng giá trị của
số nhỏ


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

2

Phương pháp dùng bất đẳng thức

 Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên
VD14: Tìm các số tự nhiên x sao cho

2x + 3x = 5x
Gợi ý
B1: Chia hai vế của PT cho

5x  (2/5)x + (3/5)x = 1

B2: Xét với x = 0

 …………….  Loại

B3: Xét với x = 1

 …………….  Nhận

B4: Xét với x ≥ 2

 (2/5)x < 2/5
 (2/5)x < 3/5

B5: Kết luận:

Vế trái < 1  Loại

x=1

Kinh nghiệm
Có thể chỉ ra được một hoặc vài số là nghiệm PT. Rồi chứng
minh PT khơng có nghiệm nào khác


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

2

Phương pháp dùng bất đẳng thức

 Phương pháp sử dụng ĐK để PT bậc hai có nghiệm
VD15: Tìm nghiệm ngun dương của PT

x2 – xy + y2 = 2x - y
Gợi ý
B1: Viết PT thành PT bậc 2 đối với x:
x2 – (y + 2)x + (y2 +y) = 0 (*)
B2: Tính ∆ = -3y2 + 4
B3: Giải ∆ ≥ 0  3y2 ≤ 4  y = 0; 1; -1
B4: Tìm giá trị tương ứng của x và thử lại
B5: Kết luận.

Kinh nghiệm
- ĐK ∆ ≥ 0 chỉ là ĐK cần chứ chưa đủ để PT có nghiệm
ngun.
- Kết quả tìm đựơc phải thử lại

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

3

P2 Dùng tính chất của số chính phương

 Sử dụng tính chất về
chia hết của số chính
phương

VD16: Tìm x є Z để 9x + 5 là tích của 2 số
nguyên liên tiếp

 Tạo ra bình phương
đúng

VD17: Tìm nghiệm nguyên

 Tạo ra tổng các số
chính Phương

VD18: Tìm nghiệm ngun dương

 Xét các số chính
phương liên tiếp

VD19: Tìm nghiệm ngun

 Sử dụng đk biệt số ∆ là

số chính phương

VD20: Tìm nghiệm ngun

 Sử dụng tính chất tích
của hai số nguyên là số
chính phương

2x2 + 4x = 19 – 3y2
4x2 + 4x + y2 – 6y= 24
x4 - y4 = 3y2 + 1
x2 + 2y2 + 3xy + 2x + 3y + 4 = 0
VD21: Tìm nghiệm nguyên dương của PT

xy = z2


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

3

P2 Dùng tính chất của số chính phương

 Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương
VD16: Tìm các số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên
liên tiếp

Gợi ý
B1: Giả sử: 9x+5 = n(n+1) (n є Z)
B2: Nhân hai vế của PT với 4

Đưa về dạng: (2n+1)2 = 3(12x+7)
B3: Lý luận để có (2n+1)2 ÷ 9  VT ÷ 9
B4: Lý luận để có (12x+7) ÷ 3  VP ÷ 9
B5:

 Mâu thuẫn
 Không tồn tại số nguyên nào


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

3

P2 Dùng tính chất của số chính phương

 Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương

Lưu ý một số tính chất
• Số CP khơng tận cùng bằng 2; 3; 7; 8
• Số CP chia hết cho số nguyên tố P thì chia hết cho P2
• Số CP chia cho 3 dư 0 hoặc 1
• Số CP chia cho 4 dư 0 hoặc 1
• Số CP chia cho 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

3

P2 Dùng tính chất của số chính phương

 Tạo ra bình phương đúng
VD17: Tìm nghiệm nguyên của PT
2x2 + 4x = 19 – 3y2

Gợi ý
B1: Cộng hai vế của PT với 2
Đưa PT về: 2(x+1)2 = 3(7-y2)
B2: Lý luận để có 3(7-y2) chia hết cho 2  (7-y2) chia hết cho 2
 y lẻ
B3: Lý luận để có (7-y2) ≥ 0  y2 ≤ 7
B4: Tìm được y2 ≤ 1
B5: Tìm x  x = 2; x = 4
B6: Kết luận: (x; y)


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

3

P2 Dùng tính chất của số chính phương

 Tạo ra ra tổng các số chính phương
VD18: Tìm nghiệm ngun dương của PT
4x2 + 4x + y2 – 6y = 24

Gợi ý
B1: Biến đổi PT về dạng: (2x+1)2 + (y-3)2 = 34
B2: Lý luận (2x + 1) lẻ
B3: Viết 34 dưới dạng: a2 + b2 (a lẻ):

32 + 52; 52 + 32
B4: Tìm được (x; y)


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

3

P2 Dùng tính chất của số chính phương

 Xét các số chính phương liên tiếp
VD19: Tìm nghiệm nguyên
x4 – y4 = 3y2 +1

Gợi ý
B1: Viết PT dưới dạng: x4 = y4 +3y2 +1
B2: Chứng tỏ:

y4 +3y2 +1 ≥ (y2 +1)2

Chứng tỏ:

y4 +3y2 +1 < (y2 +2)2

B3:  (y2 +1)2 ≤ x4 < (y2 +2)2
 x4 = (y2 +1)2
B4: Giải PT: y4 +2y2 +1 = y4 +3y2 +1
B5: Tìm x
B6: Kết luận (x; y)

y=0


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

3

P2 Dùng tính chất của số chính phương

 Xét các số chính phương liên tiếp

Lưu ý:
- Giữa 2 số chính phương liên tiếp khơng có số chính phương
nào.
- Với ¥a; x є Z
Thì: Khơng tồn tại x để a2 < x2 < (a + 1)2
Nếu: Khơng tồn tại a2
Thì:

< x2

x2 = (a + 2)2

< (a + 2)2


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

3

P2 Dùng tính chất của số chính phương

 Sử dụng điều kiện biệt số ∆ là SCP
VD20: Tìm nghiệm nguyên của PT

x2 +2y2 +3xy +2x + 3y + 4 = 0

Gợi ý
B1: Viết PT về dạng PT bậc 2 ẩn x.
B2: Tính ∆ = y2 - 12
B3: Để PT có nghiệm nguyên ∆ phải là SCP
 y2 - 12 = m2 (m є N)

B4: Viết PT dưới dạng: (y – m)(y + m) = 12
B5: Lý luận để có:
y – m; y + m
є Ư(12)
y – m; y + m
cùng chẵn, lẻ
B6:  y – m; y + m cùng chẵn và y + m > y – m
B7: Tìm được:
y-m =2
y – m = -6
y+m=6
y + m = -2
B8: Tìm y  x