Bài giảng Toán giải tích: Phần 2 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp

Chƣơng 3
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

 Mục đích yêu cầu
Học xong chƣơng này, Sinh viên phải thành thạo:
- Nắm vững cơng thức tính ngun hàm của các hàm số cơ bản.
- Các tính chất của tích phân bất định, tích phân xác định.
- Các phép tính tích phân bất định, tích phân xác định: phân tích, đổi biến
số, từng phần.
- Tích phân các hàm số hữu tỷ, vô tỷ, lượng giác đơn giản qua từng vấn đề.
- Nắm vững cách dùng công thức Newton – Leibniz.
- Phân biệt đƣợc sự khác nhau giữa phép biến đổi trong tích phân bất định và
tích phân xác định.
- Vận dụng đƣợc các phƣơng pháp tính tích phân.
- Ứng dụng tính diện tích – thể tích.
- Tính các tích phân suy rộng loại 1 và loại 2.
 Kiến thức chuẩn bị
Để học đƣợc chƣơng này cần trang bị các kiến thức:
- Các cơng thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp.
- Các cách tính đạo hàm và vi phân của các hàm một biến.
- Các cách tính giới hạn học ở chƣơng 1 và chƣơng 2.

50


3.1. Tích phân khơng xác định
3.1.1. Ngun hàm và tích phân không xác định
3.1.1.1. Định nghĩa
Hàm số F (x ) đƣợc gọi là nguyên hàm của hàm số f (x ) trên a;b  nếu

F '(x )  f (x ), x  a;b 

(3.1.1)

Ví dụ 1:  sin x  '  cos x  sin x là nguyên hàm của cosx .
3.1.1.2. Định lý
* Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
* Nếu F (x ) là nguyên hàm của f (x ) thì F (x )  C cũng là nguyên hàm của
f (x ) .
(Việc tìm nguyên hàm của hàm số cịn gọi là phép lấy tích phân của hàm số đó).
Định nghĩa
Tập tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x ) đƣợc gọi là tích phân khơng xác
định của f (x ) , kí hiệu là:

 f (x )dx .

 f (x )dx  F (x )  C
3.1.1.3. Tính chất của tích phân khơng xác định
Cho f , g là các hàm số có nguyên hàm. Khi đó

  f (x )dx    f (x )dx ( là hằng số).
ii)   f (x )  g(x ) dx   f (x )dx   g(x )dx .
i)

iii)

  f (x )dx   f (x ) .

iv)

 f (x )dx  f (x )  C .

'

51

(3.1.2)


Bảng tích phân của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của các HSCB y  f (x )

Hàm y  ax  b ( a  0 )

 dx  x  C .
x  1
 C   1 .
 1
1
1
 x 2dx   x  C x  0 .
1
 x dx  2 x  C .


 x dx 

1

ax

 a dx  ln a  C .
x

 e dx  e
x

x

C .

1
 xdx  ln x  C .

 sin xdx  - cos x  C .
 cos xdx  sin x  C .
1
 cos2 xdx  tan x  C .
1
 sin2 xdx   cot x  C .
1
 1 - x 2 dx  arcsin x  C   arccos x  C
1
 x 2  1dx  arctan x  C  arc cot x  C
1
1
x
 x 2  a 2dx  a arctan a  C
1
1 1x
dx


ln
C
 1  x2
2 1x

1

1

x a

 x 2  a 2dx  2a ln x  a



1
2

x a

1

1

 (ax  b)2dx   a . ax  b  C

C

dx  ln x  x 2  a  C

52

1
1
dx

2
ax  b  C
 ax  b
a
1 aa x b
a x b
 a dx  a  . ln a  C .
1 ax b
ax b
 e dx  a e  C .
1
1
 ax  bdx  a ln ax  b  C .
1
 sin(ax  b)dx  - a cos(ax  b)  C
1
 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C
1
1
 cos2(ax  b)dx  a tan(ax  b)  C .

1

1

 sin2(ax  b)dx   a cot(ax  b)  C .


3.1.2 Các phƣơng pháp tính
3.1.2.1. Phƣơng pháp phân tích
Biến đổi hàm dấu tích phân về dạng tổng của các hàm đơn giản hoặc dạng một
hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản
Ví dụ 2:

x5
x4 x2
a)  (x  3x  x  1)dx 
3

 x C .
5
4
2
4

3

2

b)   x 
x



 dx 




xdx  2

dx
2
 x x  4 x C .
x
3

1 
dx
c)   sin x   cos x - tan x  C .
2  dx   sin xdx  
cos x 
cos2 x

3.1.2.2. Phƣơng pháp đổi biến số
 Qui tắc 1
Đặt t   (x ) , trong đó  (x ) là một hàm khả vi theo biến t . Ta có

 f  (x ) . (x )dx   f (t )dt

(3.1.3)

 Qui tắc 2

Đặt x  (t ) , trong đó (t ) là một hàm khả vi và đơn điệu nghiêm ngặt theo
biến t . Ta có
(3.1.4)
 f (x )dx   f (t ) .(t )dt
 Chú ý: Qui tắc 2 thƣờng áp dụng khi có tích phân có chứa

a2  x 2 ;

a2  x 2 ;

x 2  a2 .

a sin t
*  R(x, a 2  x 2 )dx , đặt x  
.
a cos t


(3.1.5)

a tan t
*  R(x, a 2  x 2 )dx , đặt x  
.
a cot t

 a
 sin t
*  R(x, x 2  a 2 )dx , đặt x   a .

 cos t

(3.1.6)

(3.1.7)

Ví dụ 3: Tính tích phân của các hàm số sau:
a) I   (x 2  3x  1)5(2x  3)dx

b) J 

53



sin 3 x
3

x2

dx (a  0)


Giải
a) Đặt t  x 2  3x  1  dt  (2x  3)dx .

t6
(x 2  3x  1)6
Khi đó I   t dt   C 
C .
6

6
5

b) Đặt t  3 x  t 3  x  3t 2dt  dx .
sin t
Khi đó I   2 .3t 2dt   3 sin tdt  3 cos t  C  3 cos 3 x  C .
t
? Tính các tích phân sau:
x 1
dx
a)  tan xdx
b) 
c)  3
dx
x ln x  1
3x  1
Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I 





a 2  x 2dx (a  0)

Giải

 
Đặt x  a sin t  dx  a cos tdt , với t    ;  .
 2 2 
Khi đó I 



a2
a (1  sin t ).a cos tdt   a cos tdt 
(1  cos 2t )dt
2 
2

2

2

2

a2 
sin 2t 
a2 
x x
2
2


 arcsin  2 a  x  C .
t 
 C 
2 
2 
2 
a a


x
x
Mà sin t   t  arcsin
a
a
x
sin 2t  2 sin t cos t  2 2 a 2  x 2
a
I 

a2
2

 arcsin x  x a 2  x 2   C .


a a2





3.1.2.3. Phƣơng pháp tích phân từng phần
Giả sử u, v là các hàm khả vi. Khi đó, ta có:

 udv  uv   vdu

54

(3.1.8)


 Nhận xét: Nếu P(x ) là một đa thức
Đặt

Dạng

u

du

 P(x )sin(ax  b)dx

P(x )

sin(ax  b)dx

 P(x )cos(ax  b)dx

P(x )

cos(ax  b)dx

 P(x )e

dx

P(x )

eax bdx

 P(x )arcsin(ax  b)dx

P(x ) arcsin(ax  b)

P(x )dx

 P(x )arccos(ax  b)dx

arccos(ax  b)

P(x )dx

ln(ax  b)

P(x )dx

ax b

 P(x )ln(ax  b)dx
e

.sin(ax  b)dx

eax b

sin(ax  b)dx

e

.sin(ax  b)dx

sin(ax  b)

eax bdx

ax b
ax b

b) J   x arctan xdx

Ví dụ 5: Tính: a) I   xcosxdx
Giải:

u x
 du  dx




a) Đặt 
v  sin x
 dv  cos xdx




.

Khi đó I  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C .


b) Đặt 


 du  1 dx
u  arc tan x
x2  1


2
dv  xdx
 vx

2

x2
1
x2
x2
1
1 
Khi đó I 
arctan x   2
dx 
arctan x    1  2
 dx
2
2 x 1

2
2 
x 1


x2
1
1
arctan x  x  arctan x  C
2
2
2



 Chú ý
- Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trƣớc khi lấy tích phân từng
phần.
- Phép lấy tích phân từng phần liên tiếp nhiều khi đƣa về tích phân ban đầu.
55


?

a) I   cos xe sin xdx

Tính:

b) J   e x cos xdx

3.1.3. Tích phân một số hàm thƣờng gặp
3.1.3.1. Tích phân các hàm hữu tỉ
Adx
dx
A
 A ln x  a  C .
a) 
x a
x a
Adx
A
k
(x  a )1k  C .
b) 
k A (x  a ) dx 
1k
(x  a )
c)

dx

 ax 2  bx  c

 Nếu ax 2  bx  c  0 , có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng cơng thức
1
1
x a
 x 2  a 2dx  2a ln x  a  C
hay

1
1
 1  1 dx  1 ln x  a  C
dx

 (x  a)(x  b) a  b   x  a x  b  a  b x  a

 Nếu ax 2  bx  c  0 , có nghiệm kép.
1
1
1
C
Áp dụng công thức: 
2dx   .
(ax  b)
a ax  b
hay

1
1
 1  1 dx  1 ln x  a  C .
dx

 (x  a)(x  b) a  b   x  a x  b  a  b x  b

 Nếu ax 2  bx  c  0 vô nghiệm
1
1
x

Áp dụng công thức:  2
arctan  C .
2dx 
x a
a
a
Ví dụ 6: Tính:

3dx

dx

 4x 2  4x  1

a) I 

 x 2  4x  5

a) I 

3dx
dx

3
 x 2  4x  5  (x  5)(x  1)

b) J 

Giải

1
1
1 
1 x 5
  

C
dx  ln
2 x  5 x  1
2 x 1
b) J 

.

dx
dx
1



 4x 2  4x  1  2x  12 2(2x  1)  C .

56

c) K 

dx

 x 2  2x  2

c) K 

?

dx

Tính
a) I 

d)

dx

 x 2  2x  2   x  12  1  arctan(x  1)  C .
dx

 4x 2  x  5

Ax  B

 ax 2  bx  c .dx

b) J 

dx

 x 4  4x 2  5

c) K 

dx

 x 4  3x 2

(A  0, a  0) .

 Nếu ax 2  bx  c  0 , có hai nghiệm phân biệt. Ta dùng phƣơng pháp cân
bằng hệ số đồng bậc, đƣa về cách tính nhƣ ở mục a).
 Nếu ax 2  bx  c  0 vơ nghiệm hay có nghiệm kép. Ta phân tích

Ax  B
A
2ax  b
Ab
dx
.
dx

dx

(
B

)
2
2
2
 ax  bx  c
2a  ax  bx  c

2a  ax  bx  c
*

2ax  b
2
 ax 2  bx  cdx  ln ax  bx  c  C .

*

dx
 ax  bx  c thì tính nhƣ ở mục c).

Ví dụ 7: Tính: a) I 

2

2x  1
 x  5x  6dx

b) J 

2

x 1
 x  x  1dx
2

Giải
a) Ta phân tích
2x  1

A
B
(A  B )x  3A  2B



2
x  5x  6 x  2 x  3
(x  2)(x  3)


A  3
A  B  2

* Cân bằng hệ số đồng bậc, ta đƣợc : 
.

B 5
3A  2B  1





I 
b) J 



2x  1

 3

5 

 x 2  5x  6dx    x  2  x  3  dx  3 ln x  2  5 ln x  3  C .
x 1

1 (2x  1)  3
1 2x  1 dx 3
dx
dx   2
  2
2
x x 1
2 x x 1 2 x x 1

 x 2  x  1dx  2 

1
3
dx
1
3
2x  1
ln(x 2  x  1)  
 ln(x 2  x  1)  arctan
C
2
2

2
2 
2
2
3
1  3 
x    

2  2 


57


e) Tổng quát I 

P (x )

 Q(x ) dx .

Bƣớc 1: Nếu bậc đa thức P(x ) lớn hơn bậc đa thức Q(x ) thì ta chia P(x ) cho
P(x )
p(x )
(trong đó: m(x ) là đa thức và bậc p(x ) < bậc
 m(x ) 
Q(x ) , ta có:
Q(x )
Q(x )
Q(x ) )
 Bƣớc 2: Phân tích mẫu số của phân thức ra các thừa số tuyến tính và bậc 2:

Q(x )  an (x  a)m (x  b)p ...(x 2  cx  d )l (x 2  ex  f )k ...
(trong đó a, b,... 

, c2  4d  0, e2  4 f  0 và m  p  ...  2(l  k )  n ).

 Bƣớc 3: Phân tích phân thức

p(x )
thành tổng của các phân thức hữu tỉ đơn giản
Q(x )

sau:
p(x )
A
A2
M1x  N 1
M 2x  N 2
 1 

2  ...  2
Q(x ) x  a (x  a )
x  px  q
x 2  px  q





2

 ... 

Ml x  N l

x 2  px  q 

l

 Bƣớc 4: Xác định các hệ số A1, A2,..., M1, M2,..., N1, N 2,... bằng phƣơng pháp
hệ số bất định.
Tích phân các hàm hữu tỉ đơn giản
A
dx  A ln x  a  C .
*I 
x a

A
(x  a )K 1
*J 
dx  A.
C .
 x  a K
K  1
*K 



Mx  N

 x 2  px  qdx
M
2

M

2

2x  p

 x 2  px  qdx  (N 

Mp
dx
) 2
2
x  px  q

d (x 2  px  q )
Mp
 x 2  px  q  (N  2 )

Đặt t  x 



dx

x

p
2



2

q 

p
p2
; 2  q 
.
2
4

M
Mp
dt
ln x 2  px  q  (N 
) 2
2
2
t  2
M
Mp 1
t

ln x 2  px  q  (N 
) arctan

2
2 


K 

58

p2
4



*L



Đặt t 



x

M
Mp 1
ln x 2  px  q  (N 
) arctan
2
2 


p
p2
2
;  q 
.
K dx  
K dx với  
2
4
 x   2   2 
x 2  px  q



Mx  N

x

với I n 

p
2.



Mx  N



Gt  H
G d (t 2  1)
dt   2
 H .I n ,
ta đƣợc : L   2
(t  1)n
2
t 1

dt
 (t 2  1)n đƣợc tính theo cơng thức truy hồi.

Ví dụ 8: Tính I 

x2  x  1
 (x  1)(x 2  x  1)dx .

Giải * Ta phân tích

x2  x  1
A
Bx  C
(A  B )x 2  (A  B  C )x  A  C



(x  1)(x 2  x  1) x  1 x 2  x  1
(x  1)(x 2  x  1)

A  B  1


A  3
* Cân bằng hệ số đồng bậc, ta đƣợc :  A  B  C  1  
.
B

C


2


A  C  1
3
2x  2
dx   2
dx
Suy ra I  
x 1
x x 1

2x  1
dx

 3 ln x  1    2
dx   2
x  x  1 
 x x 1
 3 ln x  1  

d(x 2  x  1)
dx

2
2
2
x x 1
x  1    3 

 

2  2 






 3 ln x  1  ln x 2  x  1 
?

a) I 

Tính

x 2  2x  1
 x 3  x 2  x  1dx


ax  b

3.1.3.2. Tích phân các hàm vơ tỉ:  R  x , n
cx  d

Đặt t 

n

2
2x  1
arctan
C .
3
3

b) J 


dx .


ax  b
, đƣa tích phân đã cho về dạng hàm số hữu tỉ.
cx  d
59

1

 x(x  1)2 dx



Ví dụ 9: Tính I 

dx

1 3 x 1 .

Giải: Đặt t  3 x  1  t 3  x  1  3t 2dt  dx .
Khi đó I 

 t2

3t 2dt
1

3
(
t

1

)
dt

3
  t  ln t  1   C .
 1t 
t 1
2



 3  x  12

 3
 3 x  1  ln 3 x  1  1   C


2


 Chú ý : Nếu tích phân có dạng
đổi biến bằng cách đặt t 
Ví dụ 10: Tính I 



n



 R  x, n

1

ax  b n2 ax  b
ax  b
,
,..., nk
cx  d

cx  d
cx  d




dx thì ta


ax  b
với n  BCNN (n1, n2,..., nk ) .
cx  d

dx
. Đặt t  6 x .
x  3 x  1

3.1.3.3. Tích phân hàm số lƣợng giác
Tính I   R(sin x, cos x )dx , trong đó R(u, v) là hàm hữu tỉ theo u, v
 Phƣơng pháp chung
x
2dt
Đặt t  tan  x  2 arctan t  dx 
2
1  t2
Áp dụng CT:

2t
1  t2
sin x 

; cos x 
1  t2
1  t2

(3.1.9)

 2t 1  t 2  2dt
Khi đó I   R 
2,
2
2 . Đây là tích phân hàm hữu tỷ theo biến t .
1

t
1

t
1

t


 Một số trƣờng hợp đặc biệt
x
Bằng phép thế t  tan bao giờ cũng đƣa về nguyên hàm của hàm hữu tỷ
2
theo t nhƣng nhiều khi phép thế đó đƣa đến việc tính tốn phức tạp. Với một số
dạng đặc biệt ta có tính tốn đơn giản hơn.
 Dạng 1: R( sin x,  cos x )  R(sin x, cos x ) thì ta đặt t  tan x (hàm chẵn theo
sin x , cosx )

dt
* Đặt t  tan x  x  arctan t  dx 
.
1  t2
Áp dụng CT:

t2
1
2
sin x 
2 ; cos x 
1t
1  t2
2

60

(3.1.10)


 Dạng 2: R( sin x, cos x )  R(sin x, cos x ) thì ta đặt t  cos x (hàm lẻ theo
sin x ).
 Dạng 3: R(sin x,  cos x )  R(sin x, cos x ) thì ta đặt t  sin x (hàm lẻ theo
cos x )
Ví dụ 11: Tính:
dx
dx
a) I  
b) J   2
4 sin x  3 cos x  5

sin x  3cos2x

sin3 xdx
d) L  
cos x

c) K   cos xdx
3

Giải

x
2dt
 dx 
2
1  t2
2dt
2dt
1  t2
 2
Khi đó I  
2
2t
1t
2t  8t  8
4
2 3
2 5
1t
1t

dt
1
1

C 
C .
2 
x
(t  2)
t 2
tan  2
2
dt
b) Đặt t  tan x  x  arctan t  dx 
.
1  t2
a) Đặt t  tan

Khi đó J 

dx

 t2 

 3

2



1
2 3

ln

t 3
1
tan x  3
C 
ln
C .
t 3
2 3
tan x  3

c) Đặt t  sin x  dt  cos xdx .

K   cos2 x cos xdx   (1  sin2 x ) cos xdx
t3
sin3 x
  (1  t )dt  t   C  sin x 
C
3
3
d) Đặt t  cosx  dt   sin xdx .
2

.

sin2 x sin xdx

(1  cos2 x ) sin xdx

 cos x

cos x
2
t 1
1
t2
cos2 x

dt    t  dt   ln t  C 
 ln cos x  C
t
t
2
2


L

?

Tính :

dx
a) I  
3  5 cos x

sin2 x  1

dx
b) J  
cos4x

sin3 x
dx
c) K  
cos2x  1

d) L 

61

dx

 sin2 x. cos x


Ngoài ra trong một số trƣờng hợp việc áp dụng các công thức lƣợng giác đã
học giúp ta nhận đƣợc kết quả dễ dàng hơn.
Ví dụ 12: Tính I   sin 5x sin 3xdx .
3.2. Tích phân xác định
 Bài tốn tính diện tích hình thanh cong
Cho hàm số (C ) : y  f (x ) xác định dƣơng trên a;b  , có đồ thị biểu diễn nhƣ
hình vẽ

y  f (x )

y

B
A

O

a

x i 1 ci x i

b x

 Hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  f (x ); x  a, x  b và trục Ox đƣợc
gọi là hình thang cong
 Ta tính diên tích hình thang cong AabB đó.
 Ta chia đoạn a;b  thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:

x 0  a  x1  x2  ...  xn  b
 Tƣơng ứng hình thang cong cũng đƣợc chia thành n cột cong nhỏ.
 Ta gọi xi đồng thời là đoạn thẳng và là độ dài của đoạn
[xi -1, xi ], i  1,..., n và d là độ dài lớn nhất của các xi : dn  max xi  .
1i n

 Trên mỗi đoạn x i lấy điểm tuỳ ý ci .
 Nếu xi khá bé có thể xem diện tích của cột cong thứ i xấp xỉ với diện tích
của hình chủ nhật có hai kích thƣớc xi ; f (ci ) :

Si  f (ci )xi ( Si là cột cong thứ i ).
 Do đó diện tích S của AabB có thể xấp xỉ với Sn 

n

 f (ci )xi
i 1

* Định nghĩa: Diện tích hình thang cong AabB là

S  lim

dn 0

n

 f (ci )xi
i 1

62

(nếu tồn tại)

(3.1.11)


3.2.1. Định nghĩa
Giả sử y  f (x ) là hàm số xác định và bị chặn trên a;b  .
 Chia a;b  thành n đoạn nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia

x 0  a  x1  x2  ...  xn  b .

xi  xi  xi 1, i  1; n 

Gọi

và

đặt

dn  max xi  .
1i n

 Trên mỗi đoạn x i lấy điểm tuỳ ý ci và lập tổng tích phân

Sn 

n

 f (ci )xi .
i 1

 Khi n   thì dn  0 nếu tồn tại giới hạn S  lim Sn tồn tại không phụ
n 

thuộc vào cách chia đoạn a;b  và cách lấy điểm ci  xi thì giới hạn này đƣợc
gọi là tích phân xác định của hàm số f (x ) trên a;b  , kí hiệu:

b

 f (x )dx . Khi đó, ta

a

cũng nói f (x ) khả tích trên a;b  .
b

n

I   f (x )dx  lim  f (ci )x i
dn 0

a

(3.2.1)

i 1

* Ý nghĩa hình học của tích phân xác định
b

Diện tích hình thang cong AabB (ở trến) chính là: S   f (x )dx
a

3.2.2. Tính chất
Cho hàm số f , g khả tích trên a;b  . Khi đó
b

i)

b

  f (x )  g(x )dx   f (x )dx   g(x )dx .

a
b

ii)

a

(3.2.2)

a

b

 kf (x )dx  k  f (x )dx .

a

iii)

b

(3.2.3)

a

Nếu f (x )  g(x ) x  a;b  thì ta có

b

b

 f (x )dx  g(x )dx .

a
a

iv)

Nếu f (x ) là hàm chẵn thì

a

a

 f (x )dx  2 f (x )dx .

a

(3.2.4)
(3.2.5)

0

a

v)

Nếu f (x ) là hàm lẻ thì

 f (x )dx  0 .

a

63

(3.2.6)


Với c  a;b  , ta có

vi)

b

c

b

 f (x )dx   f (x )dx   f (x )dx .

a

a

(3.2.7)

c

3.2.3. Các định lý cơ bản của phép tính tích phân
Định lý 1 (Đạo hàm theo cận trên)

x

Nếu f (x ) liên tục trên a;b  thì với x  a;b  , hàm số F (x )   f (t )dt khả vi
tại x và ta có F '(x ) 

d
dx

a

x

 f (t )dt  f (x ) .

(3.2.8)

a

  (x )

Hệ quả :   f (t )dt   f (x )  (x )


 a


(3.2.9)

 (x )


  f (t )dt   f  (x ) (x )  f (x ) (x )
  (x )




(3.2.10)

x2

 sin tdt

Ví dụ 13: Tính giới hạn:

L  lim

x 0

0

x

3

0
 
0

Giải

 x2

  sin tdt 
sin x 2.2x
2x 3 2
0


L  lim
 lim
 lim 2  lim x  0 .
2
x 0
x 0
x 0 3x
3 x 0
3
x
3 
x

 

Định lý 2 (Công thức Newton – Leibniz)
Nếu f (x ) liên tục trên a;b  và F (x ) là một nguyên hàm của f (x ) thì
b

 f (x )dx  F (x ) a  F (b)  F (a)
b

a

3.2.4. Các phƣơng pháp tính tích phân xác định
Có 2 phƣơng pháp nhƣ §1
a) Phƣơng pháp đổi biến số (Nhớ đổi cận)
b

Tính I   f (x )dx với f là hàm liên tục trên a;b  .
a

64

(3.2.10)


- Đặt t   (x ) sau đó tính dx theo t và dt .

 Qui tắc 1:

x  a  t  
- Đổi cận: 
.
x  b  t  
- Tính f (x )dx  g(t )dt (theo t )


b

I   f (x )dx   g(t )dt

- Suy ra :



a

e2

Ví dụ 14: Tính a) I 



e

(3.2.11)


dx
x ln x

b) J 

x sin xdx

 1  cos2x
0

Giải
a)

* Đặt t  ln x  dt 

dx
.
x

x  e 2  t  2
* Đổi cận 
x  e  t  1
2

Khi đó I 
b)

dt
2
 t  ln t 1  ln 2 .
1

* Đặt x    t  dx  dt .
x    t  0
* Đổi cận 
x  0  t  
1

1

(  t ) sin(  t )dt
(  t ) sin tdt
J 


2
1  cos (  t )
1  cos2t
0
0
1



 sin tdt

1

t sin tdt

1

 sin tdt

.

 1  cos2t   1  cos2t   1  cos2t  J
0

0



0




sin tdt
 d(cost ) 
2

 arctan(cost) 
Suy ra J  
2 0 1  cos2t 2 0 1  cos2t 2
4
0



?

e

Tính: a) I 

x
1

 Qui tắc 2:

ln xdx
1  ln2 x

52

b) K 


0

- Đặt x  (t )  dx   (t )dt .

x  a  t  
- Đổi cận: 
.
x  b  t  
65


9

x dx
c) L 
(1  x 5 )3

2





2

cos3 xdx
3
sin x




b

I   f (x )dx   f ((x )) (t )dt

- Suy ra :



a

1

Ví dụ 15: I 



(3.2.12)

1  x 2dx

0

Giải

 
* Đặt x  sin t  dx  cos tdt , với t    ;  .
 2 2 
x  1  t  

2.
* Đổi cận: 
x  0  t  0






1  cos2t
1
1

2
Khi đó I   cos tdt  
dt   t  sin 2t  
2
2
2
4
0
0
0
2

?

2

Tính I 



2

2

4  x 2dx

0

b) Phƣơng pháp tích phân từng phần
Cho u, v là các hàm có đạo hàm liên tục trên a;b  . Khi đó, ta có:
b

 udv  uv

b

b
a

a

  vdu

(3.2.13)

a

1

Ví dụ 16: I   (x  1)e 2xdx
0

Giải

 u  x  1
Đặt 
2x
 dv  e dx

 du  dx


1 2x
 v e
2


.

1

1
1
1
1
Khi đó I  (x  1) e 2x   e 2xdx  e 2  e 2x
2
2
4
0
0

?

 /3

xdx
Tính: a) I  
sin2 x
 /4

e

1
0

b) J   x ln xdx .
1

66



3 2x 1
e 
4
4


3.2.5. Ứng dụng của tích phân xác định
a) Diện tích hình phẳng
* Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đƣờng thẳng x  a , x  b , y  0
và cung của đồ thị hàm số liên tục y  f (x ) trên a;b  đƣợc tính theo cơng thức
b

S 

 f (x )dx

(3.2.14)

a

b

y  f (x )

y

 Nếu f (x )  0 thì S   f (x )dx .

S

a

O

b

a

b

x

 Nếu f (x )  0 thì S    f (x )dx .
a

 Lƣu ý: Cho f ( x)  0 (1) để tìm nghiệm của nó
(i) Nếu (1) khơng có nghiệm trên  a; b thì
b

S 



b

f (x )dx 

a

 f (x )dx

(3.2.15)

a

(ii) Nếu (1) có đúng 1 nghiệm c   a; b thì

S 

b

c

b

a

a

c

 f (x )dx   f (x )dx   f (x )dx

(3.2.16)

(iii) Nếu (1) có đúng 2 nghiệm c1, c2   a; b và c1  c2 thì
b

S 


a

f (x )dx 

c1

c2

 f (x )dx 

 f (x )dx 

a

c1

b

 f (x )dx

(3.2.17)

c2

 Chú ý: Nếu phƣơng trình đƣờng cong cho dƣới dạng x  g(y ) , g(y ) liên tục
trong c; d  thì diện tích S đƣợc tính theo cơng thức
d

S 

 g(y) dy

(3.2.18)

c

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng thẳng
x  a , x  b và cung của hai đồ thị hàm số liên tục
y  f1(x ); y  f2(x ) trên a;b  đƣợc tính theo cơng thức

y  f1(x )

y

S
O

a

y  f2 (x )

b

x

b

S 

 f (x )  f (x )dx
1

2

a

67

(3.2.19)


 Lƣu ý: Để tính tích phân trên ta cũng cho f1(x )  f2 (x )  0 để tìm nghiệm thuộc
a;b  , rồi chia tích phân cần tính thành 1 hoặc nhiều tích phân trên các đoạn con của
đoạn a;b  .
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung có phƣơng trình x  x (t ) , y  y(t ),
a  x (t1) , b  y(t2 ), y  0 thì diện tích là

S 

t2

 y(t ).x '(t ) dt

(3.2.20)

t1

Ví dụ 17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1) : y 2  2px

(C 2 ) : x 2  2py p  0 .

y

và

x 2  2py

Giải
* Tìm giao điểm của (C1) và (C 2 ) :

Từ (1) và (2): 

O

x4
4
3
2  2px  x  8 p x  0 
4p
2p

* Diện tích cần tìm là : S 


0

2p

x

x  0

x  2p


x2 
4 2
2
px


dx  p
2p 
3


Ví dụ 18: Tính diện tích của (E ) :

x 2 y2

 1.
a 2 b2

y
b

Giải

Phƣơng trình tham số của (E) là

x  a cos t
(0  t  2 ) .
 y  b sin t


Do tính đối xứng của hình, ta có
 /2

S 4



-a

O
-b

a

 /2

b sin t.(a sin t ) dt  4ab

0

?

y 2  2px

2
p

y 2  2px (1)
y  2px



 2
x2
x

2
py
y

(2)


2p

2



sin2 tdt   ab



0

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 2  2x  1 và x  y  1  0 .
b) Tính diện tích của hình trịn (C ) : x 2  y 2  R2 .

68

x


b) Độ dài cung của đƣờng cong phẳng
* Cung (L) có phƣơng trình y  f (x ), a  x  b 
b

l 

Độ dài cung của (L) là



1  y (t ) .dt
2

(3.2.21)

a


x  x (t )
* Cung (L) có phƣơng trình tham số 

y  y(t )



l 

Độ dài cung của (L) là

 t1  t

 t2  .

t2

2
2
 x (t )  y (t ) .dt

(3.2.22)

t1


x  a(t  sin t )
Ví dụ 18: Tính độ dài cung cycloid: 
y  a(1  cos t )


Giải Ta có: x   a(1  cost ); y   a sin t

 0  t  2  .

Độ dài cung cần tìm là
2

L



2

2

2

2

a (1  cos t )  a sin t .dt 

0

2


0

t
4a s in .dt 
2
2

2

2

t

 2a sin 2 dt
0

2

t
 2a  sin dt  8a .
2
0
?



x2
a) Tính độ dài dây cung parabol y 
từ gốc O(0, 0) đến điểm M 2;2  .
2
b) Dùng tích phân xác định kiểm chứng chu vi đƣờng trịn bán kính R là 2 R .

c) Thể tích của vật thể
Giả sử ta có một vật thể giới hạn hai mặt phẳng x  a và x  b . Mặt phẳng
vng góc với trục Ox tại x  a, b  cắt vật thể theo một thiết diện có diện tích là
S (x ) và S (x ) là hàm liên tục tại x . Khi đó, thể tích vật thể đƣợc tính bởi cơng

thức
b
(3.2.23)
V   S (x )dx
a

d) Thể tích của vật thể trịn xoay
Vật thể tròn xoay là vật thể đƣợc tạo nên khi quay một miền phẳng quanh một
trục nằm trong mặt phẳng chứa miền đó.
Để tính thể tích vật thể trịn xoay, ta xem xét hai phƣơng pháp: cắt lớp và vỏ
hình trụ. Việc chọn phƣơng pháp nào thích hợp với một vật thể đã cho dựa và
phƣơng trình các đƣờng giới hạn miền đƣợc quay và trục quay.
69


 Phƣơng pháp cắt lớp
 Quanh Ox
Xét vật thể tròn xoay đƣợc tạo nên khi quay miền giới hạn bởi:
y  f (x ); y  0; x  a; x  b; (a  b) khi quay quanh Ox . Khi đó mọi thiết diện
nằm trong các mặt phẳng thẳng góc Ox và cắt vật thể trịn xoay theo dạng hình
trịn. Thiết diện đi qua điểm x  a, b  là hình trịn có bán kính f (x ) . Do đó diện
tích thiết diện là   f (x ) . Vậy thể tích của vật thể tròn xoay là
2

b

VOx     f (x ) dx
2

a

 Quanh Oy
Thể tích V của vật thể do miền S giới hạn bởi x  g(y); x  0; y  c; y  d
(c  d ) , khi quay quanh Oy là
b

VOy    g(y ) dy
a

 Phƣơng pháp vỏ hình trụ
Xét vật thể trịn xoay đƣợc tạo nên khi quay miền giới D hạn bởi:
y  f (x ); y  0; x  a; x  b; (a  b) khi quay quanh Oy .
Để tìm thể tích khi quay quanh Oy , ta phải giải phƣơng trình y  f (x ) để tìm
nghiệm dƣới dạng x  g(y ) . Điều này có thể khơng thực hiện đƣợc trong thực hành.
Khi đó ta làm nhƣ sau:
- Ta gọi một yếu tố diện tích của D tại điểm x là một dải hẹp, thẳng đứng có
chiều rộng là dx và chiều cao là f (x ) . Do đó diện tích của dải là dS  f (x )dx .
Khi R quay quanh Oy thì dải này qt thành một miền có hình dạng nhƣ lớp
vỏ của một hình trụ trịn xoay có bán kính x , chiều cao f (x ) và bề dày dx . Thể
tích của vỏ đó gọi là yếu tố thể tích của vật thể trịn xoay, kí hiệu dV . Mỗi lớp vỏ
nhƣ vậy ta coi nhƣ một tấm hình chủ nhật đƣợc cuộn lại có 3 chiều là 2 x , f (x ) và
dx . Vậy thể tích dV  2 x .f (x ).dx
- Thể tích vật thể trịn xoay đã cho là tổng (tích phân) của các thể tích của các
lớp vỏ nhƣ vậy với bán kính từ a đến b . Ta có
b

.

VOy  2  x f (x ) dx
a

70


BẢNG TĨM TẮT TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY

Dạng

Thể tích của vật thể
trịn xoay khi quay
miền giới hạn bởi

Phƣơng pháp cắt lớp

y  f (x ); y  0;
1

2

b

b

VOx     f (x ) dx

x  a; x  b; (a  b)

VOy  2  x f (x ) dx

2

a

x  g(y); x  0; y  c;
y  d (c  d )

3

y  f1(x ) ; y  f2(x ) ,
x  a , x  b (giả sử
f1(x )  f2(x ); a  b )

4

x  1(y) ; x  2(y) ,
y  c , y  d (giả sử
f1(x )  f2(x ); a  b )

a

b

b

VOy    g(y ) dy

VOx  2  y g(y ) dy

2

a

a

b

VOx     f (x )  f2 (x ) dx
2
1

Phƣơng pháp vỏ hình trụ

2

b

VOy  2  x  f1(x )  f2 (x ) dx
a

a

d

d

c

c

2

2
VOx  2  y 1(y )  2 (y ) dy VOy    1 (y )  2 (y ) dy

(3.2.24)
Ví dụ 19: Tính thể tích của vật thể trịn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi
(C ) : y  2x  x 2 , y  0 khi nó
i) Quay quanh Ox.

ii) Quay quanh Oy.

Giải

x  0
Lập phƣơng trình xác định hồnh độ giao điểm: 2x  x 2  0  
x  2
2

a ) VOx    2x  x
0



2 2

2

3

4

2

x4 
8
2
 2  x 2x  x  dx  2  2x  x  dx  2  x 3   
.
3
4
3


0
0
0
2

b) VOy

2

x5 
16
4 3
4
dx     4x  4x  x  dx    x  x   
.
3
5
15



0
0
2

2

2

2

3

?

Tính thể tích của vật thể trịn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi
(C ) : y  sin x, y  0, 0  x   , khi nó:
i) Quay quanh Ox

ii) Quay quanh Oy.

71


e) Diện tích của mặt trịn xoay
Quay cung đƣờng trịn y  f (x ) a  x  b  quanh Ox ta đƣợc mặt trịn
xoay. Diện tích mặt trong xoay cho bởi công thức
b

Stx  2  f (x ) 1  f '2 (x )dx

(3.2.25)

a

* Ý nghĩa Tích phân
Là một dụng cụ khơng chỉ đo các yếu tố hình học như trên mà cịn đo các đại
lượng khác như: công, áp lực, mật độ,… và cả đại lượng ngẫu nhiên liên tục trong
xác suất thống kê như: giá trị trung bình, kỳ vọng, phương sai,…
Ngồi ra có những vấn đề chỉ cần khảo sát tương đối bằng các khảo sát mẫu,
nhưng cũng có những vấn đề cần khảo sát chính xác như các định luật vật lý, hóa
học, sinh học thì phải sử dụng cơng cụ đạo hàm và tích phân.
3.3. Tích phân suy rộng
3.3.1. Tích phân suy rộng loại 1 (tích phân với cận vơ tận)
Định nghĩa: Cho hàm số y  f (x ) xác định trên a;   và khả tích trên a;b  bất
b

kỳ. Ta gọi giới hạn lim

b 

 f (x )dx , nếu tồn tại là tích phân suy rộng loại 1 của hàm

a

f(x) trên a;   . Kí kiệu:





f (x )dx

a




a

b

ñn

f ( x )dx  lim  f ( x )dx
b

(3.2.26)

a



Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói



f (x )dx là hội tụ. Ngƣợc lại, ta

a

nói tích phân là phân kỳ.
Định nghĩa tƣơng tự cho tích phân
b



b

đn

 f ( x)dx  lim  f ( x)dx
a







ñn c

a



 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx





c

(c là số tùy ý và tích phân ở VT hội tụ  cả 2 tích phân ở VP hội tụ)


Ví dụ 20: Tính a) I 


0



dx
2
4x  5x  9

b) J 

2

72

x 1

 (x  1)(x 2  4)dx

Giải



b
b
 1
dx
dx
1
1 
a ) I  lim  2
 lim 

lim

dx
9
9  13 b    x  1
b  4x  5x  9
b 

x

0
0 4(x  1)  x  
0

4


4

b

b



b)

1
x 1
lim ln
13 b  x  9
4
Ta có:

0

b



1
b 1
4
1
4

lim  ln

 ln    ln
9
13 b   b 
9
13 9


40



x 1
A
Bx  C x 2 (A  B )  x (C  B )  4A  C



.
(x  1)(x 2  4) x  1 x 2  4
(x  1)(x 2  4)

A 

A  B  0



Cân bằng hệ số đồng bậc, ta có: C  B  1  B 



4A  C  1

C 
x 1
2 1
1 2x
3 1


   2

2
(x  1)(x  4) 5 x  1  5  x  4 5 x 2  4

2
5
2
5
3
5

Suy ra
b

x 1
dx
2
b   (x  1)(x  4)
2

I  lim

b

2

1

 1  2x

3

1



  2

dx
2
b   
 5 x  1  5  x  4 5 x  4 

 lim

2

2
1
3

b 1
3 
 lim  ln b  1  ln(b 2  4)  arctan  ln 8  . 
b   5
5
10
2 5
10 4 
 1  (b  1)2  1
3
b 3 
 lim  ln  2

ln
8

arctan



b  5
b

4
5
10
2
40 




1
3
 ln 8 
.
5
40


? Tính: a) I 

dx
 1  x2



d) L 


6



1

b) J 

dx
 x 2  6x  9


dx
e) M 
x 2x  9





e

73

dx
x ln3 x

c) K 


0

0

f) N 

dx
x 2  2x  5

 (x  1)e





3x

dx


3.3.2. Tích phân suy rộng loại 2 (hàm số dưới dấu tích phân khơng bị chặn)
Định nghĩa

 a; b  , khả
toàn  a; b (b

Cho hàm số y  f (x ) xác đinh trên

0    b  a và f(x) khơng bị chặn trên

tích trên a;b    với
đƣợc gọi là điểm bất

b 

thƣờng). Ta gọi lim

 0



f (x )dx là tích phân suy rộng loại 2 của hàm f (x ) trên

a

b

a, b  . Kí hiệu  f (x )dx
a

b

b 

đn

 f ( x)dx  lim



Vậy ta có

0

a

f ( x )dx

(3.2.27)

a

b

Nếu giới hạn trên là hữu hạn thì ta nói

 f (x )dx

là hội tụ. Ngƣợc lại, ta nói

a

tích phân là phân kỳ và hàm số khơng khả tích trên a;b  .
Định nghĩa tƣơng tự cho tích phân
b



b

đn

 f ( x)dx  lim
 f ( x)dx

0

a



a

b

ñn c

b

a

a

c

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
0

Ví dụ 21: Tính I 

dx



1

1  x2

(với c   a; b  là điểm bất thƣờng)

.

 0
dx 

 lim arcsin x 01  lim  - arcsin(-1   ) 
Giải: I  lim  

2 
 0 
 0
 0
2
 1 1  x 
(điểm -1 là điểm bất thường) .




?

e2

Tính: I 



dx

 x 3 ln2 x

e

3.3.3. Một vài tiêu chuẩn của hội tụ và phân kỳ trong tích phân suy rộng


a) Xét



f (x )dx với f (x )  0, x  a

a

Ví dụ 22: Với   0 , xét sự hội tụ của tích phân: I 





a

Giải
* Với   1 , ta có:
74

dx
( a,   0 )
x