Bộ lọc số qmf trong các hệ thống pr và ứng dụng trong kỹ thuật nén ảnh

NGÔ LÊ VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ

NGÀNH : KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ

BỘ LỌC SỐ QMF TRONG CÁC HỆ THỐNG PR
VÀ ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT NÉN ẢNH

NGÔ LÊ VINH
2005 - 2007
Hà Nội
2007

HÀ NỘI – 2007


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

BỘ LỌC SỐ QMF TRONG CÁC HỆ THỐNG PR
VÀ ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT NÉN ẢNH

NGÀNH: KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
NGÔ LÊ VINH
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN QUỐC TRUNG

HÀ NỘI-2007


1
CHương 1

Các vấn đề cơ bản về bộ lọc số
1.1. Giới thiệu chung về bộ lọc số

Tín hiệu là biểu diễn vật lý của thơng tin. Về

mặt tốn học tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của một

hoặc nhiều biến độc lập. Tín hiệu được chia làm hai
loại, đó là tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc.

Tín hiệu liên tục là tín hiệu ln được xác định tại

mọi thời điểm trong thời gian tồn tại của nó. Tín
hiệu rời rạc là tín hiệu chỉ được xác định tại các

thời điểm rời rạc cách biệt nhau. Tín hiệu số cũng
như tín hiệu tương tự có thể biểu diễn bằng hàm của

tần số và được gọi là phổ tần số của tín hiệu, phổ
tần số chính là sự mơ tả ý nghĩa tần số của tín

hiệu.

Lọc tín hiệu là quá trình mà trong đó phổ tần

số của tín hiệu có thể được biến điệu, phục hồi hình
dạng hoặc được xử lý theo một vài đặc tính theo yêu

cầu. Trong quá trình biến điệu đó các thành phần tần

số có thể được khuếch đại hoặc làm suy giảm, được
tách ra hoặc loại bỏ. Tóm lại bộ lọc như là một ống

dẫn chỉ cho qua những tín hiệu có ích, cịn những tín

hiệu nhiễu do sự xâm nhập hoặc sinh ra trong quá
trình xử lý cần phải loại bỏ. Bộ lọc số là một hệ

thống số dùng để lọc những tín hiệu rời rạc (tín


2

hiệu số). Sơ đồ nguyên lý của một quá trình lọc có
thể được minh họa như trong sơ đồ 1.1.

Tín hiệu vào tương tự x(t) được trích lấy mẫu

theo nhịp thời gian T thành tín hiệu rời rạc x(nT),
tín hiệu này được đưa qua bộ biến đổi tương tự số
ADC (Analog to Digital Convert). Trong khối ADC này

mỗi mẫu được lượng tử hoá và được chuyển thành từ mã
ở dạng mã nhị phân, từ mã càng dài thì sự chính xác
của phép lấy mẫu càng lớn. Dẫy mẫu đã mã hoá được
đưa vào bộ lọc số DF (Digital Filter), ở đây các từ

mã được tính tốn, xử lý theo một thuật tốn nào đó
gọi là thuật tốn lọc. Sau khi được thực hiện các
thuật tốn này thì các từ số mới sẽ xuất hiện ở đầu
ra của bộ lọc số DF. Đó chính là tín hiệu số đã được

lọc y(n). Số liệu này sẽ được đưa vào máy tính lưu
trữ và xử lý hoặc đưa qua bộ biến đổi số tương tự
DAC (Digital to Analog Convert). Sau đó được lọc bởi

mạch lọc thơng thấp để khơi phục hai tín hiệu tương
tự y(t).
x(n
)

Khố
i
trí
ch
ẫ

Bộ
AD

Lọc

số

Bộ

Lọc

AD

Khơ
i

(DF)

T.T
điều
khiể

Lưutrữ &
Xử lý

x(n
)


3

Hình 1.1. Sơ đồ khối của một hệ thống lọc số
Như vậy theo q trình trên thì tín hiệu vào bị

tác động bởi nhiều yếu tố, bản chất của tín hiệu tự

nhiên phần lớn là tín hiệu tương tự, theo như trên

thì tín hiệu tương tự được biến đổi thành tín hiệu
số rồi được phân tích xử lý, sau đó mới được tái tạo
lại thành tín hiệu tương tự. Do đó mối quan hệ giữa

tín hiệu số và tín hiệu tương tự trong hệ thống lọc

phải được xác định một cách hài hoà và đồng nhất.

Bảng 1.1 cho ta thấy các phép toán cơ bản của bộ lọc
số.

Bảng 1.1. Các phép toán cơ bản của bộ lọc số
Ký hiệu

Phép toán

Cộng

Nhân điều
chế

Biểu thức

x2(n
x1(n )
)
y(

n)
+
xk(n
)
x2(n
)

y(n) =

∑ x (n)
i

y(n) = x1(n) +
x1(n
)

+

y(n
)

x2(n)

α

Nhân hằng
số

Trễ

x1(n
)
x(n
)

1.2. Các loại bộ lọc số

+
Z-1

y(n
)
y(n
)

y(n) = α x(n)

y(n) = x(n-1)


4

- Bộ lọc số có chuỗi đáp ứng xung hữu hạn gọi

là bộ lọc số hữu hạn FIR (Finite Impulse Response).
Bộ lọc có hàm truyền đạt trong miền n có dạng:
≠ 0 nÕuN 1 ≤ n ≤ N 2
h( n) =
0 nếun còn l ạ i

(1.1)

B lc s FIR có phương trình như sau:
y( n) =

1
a0

M

∑ b x( n − r )
r=0

(1.2)

r

- Bộ lọc số có chuỗi đáp ứng xung vô hạn gọi là
bộ lọc số vô hạn IIR (InfiniteImpul Response). Bộ

lọc IIR có phương trình:
N

∑ ak y(n − k ) =
k =0

M

∑ b x( n − r )
r =0

(1.3)

r

- Bộ lọc không đệ quy là bộ lọc mà đáp ứng ra

y(n) chỉ phụ thuộc vào tín hiệu kích thích đầu vào
tại thời điểm hiện tại và quá khứ, có thể biểu diễn
bộ lọc số khơng đệ quy dưới dạng:
y (n)
M)]

= F [x (n), x (n - 1), ….., x (n -

(1.4)
- Bộ lọc đệ quy có đáp ứng ra y (n) khơng những

phụ thuộc vào tín hiệu kích thích đầu vào tại thời
điểm hiện tại, quá khứ, mà còn phụ thuộc vào cả đáp

ứng ra ở thời điểm quá khứ. Có thể biểu diễn bộ lọc
đệ quy dưới dạng:

y (n) = F [y (n -1), y (n-2), … y (n - N), x (n), x
(n-1), ...., x(n-M)]

(1.5)

Như vậy bộ lọc FIR là bộ lọc không đệ quy và bộ

lọc FIR luôn ổn định. Bộ lọc IIR là bộ lọc đệ quy,


5

bộ lọc IIR chưa chắc đã ổn định, mà bộ lọc IIR muốn
ổn định thì phải có điều kiện 2.

1.3. Bộ lọc số đa nhịp và các băng lọc

Bộ lọc số có nhịp lấy mẫu đầu vào và đầu ra như

nhau được gọi là bộ lọc số đơn nhịp (Single rate

digital filter). Bộ lọc số có nhịp lấy mẫu thay đổi
theo thời gian hoặc nhịp lấy mẫu giữa đầu ra và đầu

vào khác nhau thì được gọi là bộ lọc số đa nhịp

(Multirate Digital Filter). Trên thực tế tuỳ thuộc
vào ứng dụng cụ thể mà người ta phân ra các loại cụ
thể,

như:

Filtel),

bộ

lọc

thông

thấp

(Lowpass

Digital

bộ lọc số thông tất (All - Pass Digital

Filter), bộ lọc số dải hẹp (Narrow - band Digital

Filter), bộ lọc số dải rộng (Wide - band Digital

Filter). Phụ thuộc vào tính năng mà người ta phân

thành bộ lọc số Wave DF, bộ lọc số tương thích
(Adaptive DF). Phụ thuộc vào cách sử dụng hàm cửa số

và phương pháp xấp xỉ hố đó là bộ lọc số Butter
Worthe, bộ lọc số Chebyshev, bộ lọc số Flliptic, bộ
lọc số Bassel…

Bộ lọc số được thể hiện bằng nhiều cách khác

nhau như: thể hiện trực tiếp (Direct realization),
khơng

gian

trạng

thái

(State

space

realization),

hình bậc thang (Ladder), hình mắt lưới (Lattice),

song song hoặc nối tiếp… Khi hệ thống lọc được phân

chia thành các băng lọc như băng lọc gương cần phong
(QMF banks), băng lọc biến đổi Fourier rời rạc đồng


6

dạng (Uniform DFT banks)… Ngồi ra phụ vào các tính
năng và ứng dụng cụ thể bộ lọc số mà có tên gọi trực
tiếp như bộ lọc phân chia Decimation), bộ lọc nội
suy (Interpolation), và bộ lọc vi phân.
1.4. Tính ưu việt của bộ lọc số

Về mặt thiết kế, bộ lọc đệ quy và khơng đệ quy

có nhiều phương pháp thiết kế khác nhau. Trên thực

tế bộ lọc số đệ quy thực hiện dễ dàng hơn nhưng
chúng có độ ổn định không cao nên việc sử dụng bị

hạn chế. Các bộ lọc số không đệ quy tuy thực hiện

phức tạp hơn, nhất là khi bậc lọc cao nhưng chúng
được sử dụng rộng rãi vì những lý do sau đây:

- Có thể dễ dàng thiết bị bộ lọc FIR có đặc

tuyến pha tuyến tính trong khi thực hiện đặc truyền

biên độ theo chỉ tiêu cho trước. Vì vậy trong hệ
thống địi hỏi nhất thiết phải có pha tuyến tính (như

truyền số liệu, xử lý tiếng nói) thì bắt buộc phải
dùng bộ lọc FIR.

- Do sự liên quan chặt chẽ đến các thuật tốn

FFT, bộ lọc FIR được thực hiện có hiệu quả với tích

chập nhanh. Trong trường hợp bộ lọc FIR bậc cao,có
thể dùng kỹ thuật đa nhịp và phân hoạch đa pha chia

thành các dải con, mà kỹ thuật này không áp dụng cho
bộ lọc IIR.

- Có thể thực hiện bộ lọc FIR bằng tích chập

trực tiếp. Các cấu trúc dù ở dạng số hoặc tương tự


7

rời rạc đều ổn định, khơng có nhánh phản hồi giữa
đầu ra và đầu vào.

- Trong các hệ thống rời rạc việc tăng hay giảm

tần số lấy mẫu thường xảy ra. Các quá trình nội suy,
phân chia này lúc này cũng đòi hỏi phải lọc bổ sung,

các bộ lọc này thực hiện theo FIR tiện lợi hơn nhiều
so với IIR.

- Các lỗi sinh ra do thực hiện mạch không lý

tưởng trong trường hợp lọc FIR có thể điều khiển dễ
hơn nhiều, có nghĩa là trong khi thiết kế ta có thể

dễ dàng phát hiện nhiễu làm tròn khi thực hiện số
hoá, cũng như các vấn đề tổn hao khi thực hiện bằng

mạch tương tự, bởi vì nó khơng có nhánh phản hồi nên
dễ dàng điều chỉnh hơn.

- Thiết bị bộ lọc FIR có nhiều thơng số tự do

hơn so với thiết kế bộ lọc IIR. Chúng ta có thể xấp

xỉ dễ dàng hơn nhiều bằng bộ lọc FIR so với bộ lọc

IIR một đặc tuyến biên độ phức tạp, tổng qt, tối
ưu nào đó.

Việc dùng bộ lọc FIR khơng thể tranh khỏi một

số vấn đề sau:

- Thiết kế bộ lọc FIR là một vấn đề mới căn bản

so với các phương pháp đã biết, bởi vì các kết quả

của bộ lọc tương tự không được dùng hoặc chỉ được
dùng rất ít trong trường hợp này.

- Thiết kế bộ lọc FIR địi hỏi kỹ thuật tính

tốn khá lớn và tăng tuyến tính với bậc của bộ lọc.


8

- Xấp xỉ bộ lọc FIR có độ chọn lọc cao khá khó,

lúc ấy phải chọn bộ lọc khá cao, vì vậy việc thực
hiện và thiết kế đều khó.

- Trong bộ lọc FIR đòi hỏi bộ nhớ Ram và bộ ghi

dịch tỷ lệ với bậc của bộ lọc và khá cao so với IIR,

đổi lại điều này bộ lọc FIR có độ ổn định tốt và
điều kiện logic đơn giản hơn.

1.5. Một số phép toán và ký hiệu

Để nghiên cứu và tính tốn bộ lọc số, người ta

sử dụng khái niệm hàng truyền đạt của bộ lọc số. Sơ

đồ của bộ lọ số được biểu diễn theo hàm truyền đạt
như sau:

H
x(n) (Z)

y(n)

Hình 1.2. Sơ đồ của bộ lọc số
1.5.1. Biến đổi Z
Một trong những công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc

tính tốn bộ lọc số q trình xử lý tín hiệu số đó
là biến đổi Z.

- Biến đổi Z thuận (ZT):

Giả sử có tín hiệu x (n) thì biến đổi Z là:
X ( Z) =

∞

∑ x(n)Z

−n

(1.6)

n −∞

Viết theo dạng tốn tử:
ZT [x(n)] = X (Z)
Trong đó Z là biến phức

Một trong những tính chất quan trọng của biến
đổi Z là tính chất trễ.


9

Nếu X (Z) là biến đổi Z của x (n) thì
ZT [x(n-n0)] = Z − n X (Z)
0

Và:

ZT [δ(n-1)] = Z-1 đây chính là bộ trễ

- Biến đổi Z ngược (IZT)
x( n) =

1
n−1
dz
c X ( Z)Z
∫
2π j

(1.7)

Trong đó C là đường cong khép kín bao quanh gốc

toạ độ của mặt phẳng Z lấy theo chiều dương và nằm
trong miền hội tụ.

1.5.2. Biến đổi Fourier (FT)
- Biến đổi Fourier thuận:
X (E j ω ) =

∞

∑ z(n)e

− j ωn

(1.8)

n = −∞

Như vậy phép biến đỏi Fourier đã chuyển việc

biểu diễn tín hiệu rời rạc x(m) trong miền biến số

độc lập n thành việc biểu diễn tín hiệu X (ejw)
trong miền biến số w.
f =

ω
2π

- Biến đổi Fourier ngược (IFT):
π

x( n) =

( )

1
X ej ω ej ω dω
2π −∫π

(1.9)

1.5.3. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)
- Biến đổi Fourier rời rạc thuận:
Nếu chuối x(n) có M điểm [x0, x1, .... xM) thì

biến đổi DFT của x(n) là:


10

M −1

−j

∑ x(n)e

X (k) =

2π
kn
M

n= 0

(1.10)
Với: 0 ≤ k ≤ M - 1
−j

Ký hiệu: W = e

2π
M

Thì (1.10) có thể viết lại:
X (k) =

M −1

∑ x(n)W

kn

n= 0

(1.11)
- Biến đổi DFT ngược (IDFT)
x( k ) =

1
M

M −1

∑ X ( k )W

− kn

n= 0

(1.12)
Chú ý rằng ta ln có:
M −1

∑W
n= 0

kn

M nÕuk là bội số của M
=
0 n còn l ạ i

(1.13)
tính tốn DFT và IDFT người ta có thể lập
trình bằng máy tính. Dựa vào (1.11) và (1.12) có thể

biểu diễn các khối ma trận của DFT và IDFT lần lượt
X(k
X(k
x(n
như sau:x(n
) X(0
) x(0
x(0 )
X(0 )
)
)
)
)
x(1
X(1
X(1
x(1
DFT
IDFT

.
.
.
.
)
)
)
)
M
M
.
.
.
.
.
.
.
.
điểm
điể
.
.
.
.
m
.
.
.
. x(Mx(MX(MX(M1)
1)

1)
1)
(a)
(b)
Hình 1.3. Biểu diễn khối ma trận (a) DFT, (b) IDFT


11

Nếu biểu diễn dưới dạng ma trận ta có:
X (0)
X (1)

1
1

X (2)
.
.
X ( M − 1)

=

1
W1

1
W2

2

4

1

W

.

.

.

W

.

1 W

( M −1)

W

... ...
... ...

W

... ...

W 2 ( M −1)

.

.

.

.

.

.

2 ( M −1)

.

.

x(0)
x(1)
x(2)

1
( M −1)

.

X

.
W

.
.
x( M − 1)

( M −1)( M −1)

Hình 1.4. Ma trận DFT M điểm của x(n)
x(0)
x(1)
x(2)
.
.
x( M − 1)

1
1
=

1
.

1
W −1
W −2

1

W −2

.

.

.

.

.

.

.
.

.
1 W

W

.
− ( M −1)

W

−4

− 2 ( M −1)

... ...
... ...

W

... ...

W − 2 ( M −1)

.

X (0)
X (1)
X (2)

1
− ( M −1)

.
.
W

− ( M −1)( M −1)

X

.
.
X ( M − 1)

Hình 1.5. Ma trận IDFT M điểm
Nhìn vào ma trận ta thấy để tính DFT trực tiếp

M điểm cho một hệ thống X(k) ta cần M phép nhân phức
và M - 1 phép cộng phức. Để tính M hệ điển các phép
được thực hiện theo số thực nên một phép nhân 2 số
phức cần 4 phép nhân số thực và 4 phép cơng số thực.

Vì vậy để thực hiện DFT M điểm cần (4M2-2M) phép

nhân và (4M2-6M) phép cộng số thực. Trong các ma
trận trên có một hàng và một cột bằng nếu số phép

nhân và cộng mỗi loại giảm đi 2M lần. Cho dù số phép
tính phức trong ma trận được giảm khi hệ số của nó

bằng 0, 1, -1 thì mức độ phức tạp khi tính DFT trực

tiếp vẫn tăng tỷ lệ theo M2, thêm vào đó trong khi
thực hiện cịn phải cất giữ, dịch chuyển dãy các hệ

số các hệ số Sin và Cosin của ej2pk/M khớp với các hệ
số của dãy vào. Vì vậy khi tính DFT với số điểm quá


12

lớn (M > 1000) thì sẽ gặp rất nhiều khó khăn cả về
thời gian và chi phí cho phần cứng.

Để khắc phục những nhược điểm này người ta đã

tìm ra thuật toán biến đổi Fourie nhanh (FFT: Fast
Fourier Transfom). Sự ra đời của FFT đã nâng DFT lên
một tầm cao mới và góp phần thúc đẩy sự phát triển

của xử lý tín hiệu số, với thuật tốn FFt số phép
tính giảm xuống chỉ cịn Mlog2M phép tính phức chocả
phép tính nhân và cộng. Nhìn vào ma trận ta thấy có

rất nhiều thừa số giống nhau, mặt khác do tính chất

của các hàm lượng giác nên sẽ có nhiều phép tốn
được lặp lại theo các hàng và cột của ma trận. Vì
vậy có khả năng tìm được thuật tốn tính DFT với số

lượng ít hơn hay nói cách khác là tìm thuật tốn
thực hiện DFT M điểm bằng cách DFT có số điểm nhỏ
hơn M và do đó mà giảm bớt được số phép tính. Đây

chính là cơ sở của tư tưởng xây dựng thuật tốn FFT.

Có hai dạng thuật tốn chính cho FFT đó là thuật
tốn phân chia theo thời gian và thuật toán phân
chia theo tần số.

1.6. Các chỉ tiêu thiết kế bộ lọc số

Hình 1.6 biểu diễn dạng tổng quát đáp ứng tần

số của bộ lọc thông thấp và dải chắn, đồng thời mô

tả các loại trục tần số dùng trong lọc số. Đường nét
đứt là đáp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng.


13

Dải quá
độ

Dải
hô

Dải
hắ
ωP

ωC

ΩP

ΩC

Ω P / 2π

π

ωS

Ω/2

ΩS
Ω C / 2π

Ω S / 2π

1/
ω / 2π
2
Hình 1.6. Dạng các đáp ứng tần số của bộ lọc thông
thấp và các bộ lọc
δ - Là biên độ sóng cực đại
δ1- Là độ suy giảm tối thiểu của dải chắn
Trục tần số w lấy các giá trị đặc biệt 0, p,
2p.
Trục tần số Ω được lấy chuẩn hoá theo chu kỳ
lấy mẫu TS.
ΩS = 2pfs = 2p/TS ứng với p sẽ là ΩS/2, ứng với
2p

sẽ là ΩS.
Trục tần số được chuẩn hoá với 2p nên tương ứng

với 0,p, 2p sẽ là 0, 5, 1

Nếu Ap độ lớn biên độ dải thông và AS là độ suy

giảm tối thiểu ở chắn thì ta có quan hệ sau:

AP = 20log[(1+δ)/(1 - δ)]


14

AS= -20logδ
Nguyên tắc chung để thiết kế bộ lọc số là từ

hàm đáp ứng tần số, từ yêu cầu về độ gợn sóng, độ

rộng dải quá độ và độ suy giảm ở dải chắn là dùng
phương pháp thiết kế để tính các hệ số h (n).

Khi thiết kế các bộ lọc số cần đáp ứng các yêu

cầu chính sau đây:

1. Tính các hệ số đáp ứng xung (n): Các mẫu đáp

ứng tần số của bộ lọc sao cho đường đặc tuyến tần số
nhận được gần với đường đặc tuyến tưởng, nghĩa là
tối ưu hoá các hệ số.

2. Xây dựng cấu trục hàm tuyến H(Z) sao cho

thời gian là nhanh nhất mà không bị méo pha, méo
biên độ, méo Aliasing, nghĩa là đảm bảo tính tái xây
dựng hồn chỉnh.

Có ba phương pháp thiết kế chính, đó là: phương

pháp dùng các hàm cửa sổ, phương pháp dùng DFT và
phương pháp xấp xỉ tối ưu. Cả ba phương pháp này đều
không được đề cập đến ở đây.
1.7. Kết luận

Như vậy trong chương này đã trình bày một số

khái niệm về lọc số và những vấn đề liên quan, như

lọc đa nhịp, băng lọc, một số phép tốn cơ bản được

dùng trong q trình tính tốn bộ lọc số. Đồng thời
cũng đề cập một vài khía cạnh liên quan đến vấn đề
thiết kế.


15

CHƯƠNG 2: CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA
BANK LỌC SỐ NHIỀU NHỊP

Trong chương này chúng ta sẽ đi xem xét các vấn

đề cơ bản của bank lọc số nhiều nhịp. Từ đặc tính

tần số của chúng, chúng ta sẽ đưa ra các sơ đồ kết
nối để tạo thành các khối xử lý trong hệ thống nhiều
bank lọc. Thêm vào đó chúng ta sẽ xem xét các thuật

toán để đưa ra các mơ hình tối ưu và đơn giản trong
thiết kế.

2.1. Giới thiệu chung về lọc số nhiều nhịp

* Hệ thống nhiều nhịp: Một hệ thống số được gọi

là hệ thống nhiều nhịp khi và chỉ khi tần số (hoặc
nhịp) lấy mẫu được thay đổi trong quá trình xử lý.

* Phép phân chia: Việc giảm tần số (hoặc nhịp)

lấy mẫu từ giá trị Fs về một giá trị Fs’ (Fs’ < Fs)

được gọi là phép phân chia.

Nếu Fs’ = Fs/M (M > 1 và nguyên dương) thì ta

gọi phép phân chia theo hệ số M và M được gọi là hệ
số phân chia.

* Bộ phân chia: Một hệ thống chỉ làm nhiệm vụ

giảm tần số lấy mẫu được gọi là bộ phận chia và được
ký hiệu có dạng như hình 2.1:
↓ M
y ↓M(n) [Fs’]
x(n)
[ ]
Hình 2.1. Hệ thống phân chia

16

* Phép nội suy: Việc tăng tần số (hoặc nhịp)

lấy mẫu từ giá trị Fs đến một giá trị Fs’ (Fs’ > Fs)
được gọi là phép nội suy.

Nếu Fs’ = FsL (L > 1 và nguyên dương) thì ta gọi

phép nội suy theo hệ số L và L được gọi là hệ số nội
suy.

* Bộ nội suy: Một hệ thống chỉ làm nhiệm vụ
tăng tần số lấy mẫu được gọi là bộ nội suy và được
ký hiệu có dạng như hình 2.2
ư L
y ↓L(n) [Fs’]
x(n)
[ Hình
]
2.2. Hệ thống nội suy
2.2. Phép phân chia và bộ lọc phân chia
2.2.1. Phép phân chia theo hệ số M

* Biểu diễn phép phân chia trong miền biến số

n: Giả sử ta có bộ phân chia trong hình 2.1 thì ta
thấy rằng tần số Fs của tín hiệu rời xạc x(n) sau

khi đi qua bộ phân chia sẽ bị giảm đi M lần hoặc chu
kỳ lấy mẫu

Ts =

1
Fs

Ts = MTs’
Để hiểu rõ quá trình phân chia này ta sẽ biểu

diễn dãy vào và dãy ra của bộ phân chia ở dạng khơng
chuẩn hố như hình 2.3 (với nM: là số nguyên)
↓M
x(nTs’) = x(nMTs) = y
x(nTs)


17

Hình 2.3. Phép phân chia
Như vậy tín hiệu rời rạc trước khi vào bộ phận

chia là x(nTs) và sau khi ra khỏi bộ phân chia là
x(nTs’)

* Biểu diễn phép phân chia trong miền z hình
2.4

↓M

y

x(z)

↓M(z)

Hình 2.4. Phép phân chia trong miền z
Trong đó:
∞

y

↓M(z)

=

∑

n= −∞

y ↓ M ( n)z− n =

∞

∑ x(nM)z

−n

n= −∞

(2.1)
Đổi biến số: m = nM và n=
∞

y

↓M(z)

=

∑ x(m)z

−

m
ta có:
M

m
M

(2.2)

m= −∞

Nếu ta định nghĩa p(m) theo biểu thức:
2π
1 M −1 −1m 1 M −1 j M 1m 1víi m = − nM, n :sènguyª n
=
P(m) = ∑ WM = e

M l =0
M l =0
0 với m cònl ạ i

Kết hợp với trên ta có:
∞

y

↓M(z)

=

∑ x(m)p(m)z

−

m
M

m= −∞

 M1 − j 2Mπ l 
1 M −1 ∞
=
∑ ∑ x(m)z e 
M 1=0 m=−∞


1 M −1

=
X ( Z M WM1 )
∑
M 1=0

−m

1

(2.3)


18

* Biểu diễn phép nhân chia trong miền tần số:

Biểu diễn phép phân chia trong miền tần số tìm

quan hệ giữa:

Y

jw
↓M(e )

=FT[y

↓M(n)]

Và:

X(ejw) = FT[x(n)]
Nếu ta đánh giá Y↓M(z) và X(z) trên vịng trịn
đơn vị của mặt phẳng z thì ta sẽ tìm được quan hệ
giữa Y

jw
↓M(e )

và X(ejw), tức là:
Y

jw
↓M(e )

X (ejw)
Y

jw
↓M(e )

=

=
=

Y (z) |
X (z) |

j
1 M −1

X (e
∑
M 1=0

ω−2 πl
M

z = ejw

z = ejw

(2.4)

)

2.2.2. Bộ lọc phân chia
* Tổng quát:
ở phần trên ta đã nghiên cứu phép phân chia và

bộ phân chia, kết quả cho thấy tín hiệu x(n) khi qua

bộ phân chia ↓M, trong miền tần số sẽ tạo ra M-1
thành phần hư danh (aliasing), các thành phần hư
danh này gây hiện tượng chồng phổ. Nhưng
có băng tần nằm trong khoảng −

π
π
<ω<
M

M

giới hạn dải chắn (Stopband edge) wC =
gây hiện tượng chồng phổ.

nếu x(n)

tức là tần số
π
M

thì không


19

y↓2(ejw)
1/2
-2p

-p

0

p

2p

w

y↓↑2/3(ej
w)

1/2

-2p

-p

p

0

2p

w

y↑3(ejw)
1

-2p

-p

p

0

2p

w

y↓↑2/3(ej
w)

1/2

-2p -p

0

p

2p

w

Hình 2.5. Giản đồ tần số của bộ lọc phân chia
Để làm điều này chúng ta có thể đặt trước bộ
phân chia ↓M một bộ lọc thông thấp (low pass filter)
có wC =

π
. Bộ lọc thơng thấp này làm nhiệm vụ loại
M


20

bỏ các thành phần tần số ω >

ω <

π
M

π

chỉ giữa thành phần

M

như vậy ta sẽ tránh được hiện tượng chồng phổ.

Sơ đồ tổng quát của bộ lọc phân chia cho trên hình
2.6
h(n)
x(n)

FS

FS/M

↓M

yM(n)

yM+N(n)

Bộ lọc thơng
hấ

h(n): Đáp ứng xung của bộ lọc
Hình 2.6. Sơ đồ tổng quát của bộ lọc phân
chia
Để ngắn gọn ta có thể dùng cách biểu diễn tốn

tử như sau:

↓M
→ y H↓M ( n)
x( n) H
↓M
H
→ y H↓M ( n)
x( n) →
y H ( n) H

số n

(2.5)

* Biểu diễn phép lọc phân chia trong miền biến

Các phép toán trong lọc phân chia xảy ra như nhau
trong miền biến số n:
H↓ M
H
y H ( n) 
x( n) →
→ y H↓M ( n)

ở đây:

yH(n) = x(n) * h(n) =

∞

∑ x(k )h(n − k )

k = −∞

∞

= h(n) * x(n) =

∑ x(n − k )h(k )

k = −∞

(2.6)


21

y H↓M ( n) =↓ M [x( n) * h( n)] =↓ M [y H ( n)]

(2.7)

Cần lưu ý một điều là phép phân chia khơng có tính
chất

phân

phối

vào

phép

↓ M [x( n) * h( n)] ≠↓ M [x( n)]* ↓ M [h( n)]

chập

tức

là:

Bởi vì:
∞

y H↓M ( n) =↓ M [x( n) * h( n)] =↓ M ∑ x( k )h( n − k )
k = −∞
∞

=

∑ x(k )h(Mn − k )

k = −∞

↓ M [x( n)]* ↓ M [h( n)] = x( Mn ) * h( Mn )

∞

=

∑ x(Mk )h(Mn − k )

k = −∞

* Biểu diễn phép lọc phân chia trong miền z
Trong miền z phép lọc phân chia được mô tả như
sau:
H ( z)
M
→ YH (z) ↓
→ YH↓M =↓ M [YH (z)]
X (z) 

(2.8)

ở đây:
X(z) = ZT[x(n)].YH(z) = ZT[yH(n)]
H(z) = ZT[h(n)] . YH↓M (z) = ZT[yH(n)]
Và:
YH(z) = X(z) . H(z) = H(z) . X (z)
1 M −1
X ( Z M WM1 ).H( Z M WM1 )
∑
M l =0
1

YH↓ M (z) =

1

(2.9)

Cũng như trong miền số n, ta lưu ý một điều là

phép phân chia khơng có tính chất phân phối trong
miền z tức là:

↓ M [X (z).H(z)] ≠↓ M [X (z)]. ↓ M [H(z)]


22

số

* Biểu diễn phép lọc phân chia trong miền tần
Đánh giá X(z), H(z), YH(z), YH↓M (z) trên vòng

tròn đơn vị trong mặt phẳng z ta sẽ có cách biểu
diễn phép lọc phân chia trong miền tần số như sau:
jω

(e )
M
→ YH (ej ω ) ↓
→ YH↓ (ej ω )
X (ej ω) H

ở đây:
YH(ejw) = X(ejw) . H(ejw)
YH↓ M (ej ω ) =

ω−2 π1
M

1 M −1
∑ X (e
M l =0

ω−2 π1
M

).H(e

)

(2.10)
Nếu YH(ejw)

là đáp ứng tần số của bộ lọc thông

thấp lý tưởng có ωC =

π
M

thì các thành phần hư danh sẽ

khơng gây hư thơng tin, tức là khơng có hiện tượng
chồng phổ. Do đó ta có thể tách riêng thành phần đầu
tiên (l = 0) ra mà dạng của nó sẽ không bị méo:
jω

YH↓ M (e ) l = 0

ω

ω

j
j
1
= X (e M ).H(e M )
M

|w ≤ p|

Và nếu H(ejw) là bộ lọc thông thấp lý tưởng tức

là ở dải thông |H(ejw)| = 1, dải chắn |H(ejw)| = 0 thì
ta có thành phần đầu tiên (l = 0) như sau:
YH↓M (ej ω ) l =0 =

ω

j
1

X (e M )
M

* Tính chất của phép lọc phân chia.
Nếu:
H(z) = H1(z) + H2(z)
Thì:

|w ≤ p|


23

YH(z) = Y(z). [H1(z) + H2(z)]
= X(Z).H1(z) + X(z).H2(z)
YH↓M (z) =

1
M

1
1
1
1


1
1
1
M

M
M
M
X
(
Z
W
).
H
(
Z
W
)
X
(
Z
W
).
H
(
Z
WM1 )
+

∑
M
1
M
M
2

l =0 


M −1

= ↓ M [X (z).H1 (z)]+ ↓ M [X (z)H 2 (z)]
(2.11)
Vậy phép phân chia có tính phân phối vào phép

cộng.

Ký hiệu tốn tử để biểu diễn phép phân chia như
sau:
M
→ y ↓ ( n) ≡ y ↓ M ( n)
x( n) ↓

2.3. Phép nội suy và bộ lọc nội suy
2.3.1. Phép nội suy

* Biểu diễn phép phân chia trong miền biến số n:

Giả sử ta có bộ nội suy trong hình 2.2 thì ta thấy
rằng tần số Fs

của tín hiệu rời rạc x(n) sau khi đi

qua bộ nội suy sẽ được tăng lên L lần hoặc chu kỳ
lấy mẫu Ts =
Ts' =

1
Fs

sẽ giảm đi L lần.

Ts
L

Để hiểu rõ bản chất của quá trình nội suy này

ta sẽ biểu diễn dãy vào và dãy ra của bộ chia ở dạng
khơng chuẩn hố như hình 2.7:
x(nTs)

ư L

x(nTs’)

T
=x( n s ) = y ↑ L (n)
n
: là số nguyên L
L