Giáo trình Toán giải tích (Nghề: Kế toán - Cao đẳng) - Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.43 MB, 117 trang )
UỶ BAN NHÂN DÂN TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƢỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP
GIÁO TRÌNH
MƠN HỌC/MƠ ĐUN: TỐN GIẢI TÍCH
NGÀNH, NGHỀ: KẾ TỐN
TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG
(Ban hành kèm theo Quyết định Số:…./QĐ-CĐCĐ-ĐT ngày… tháng… năm 2017
của Hiệu trưởng Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp)
Đồng Tháp, năm 2017
TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN
Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thơng tin có thể đƣợc
phép dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham
khảo.
Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh
doanh thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm.
i
LỜI GIỚI THIỆU
Tốn giải tích là một học phần của Toán cao cấp, đề cập đến các vấn đề
cơ bản về giải tích tốn học như hàm số, giới hạn và tính liên tục của hàm số,
phép tính vi phân của hàm một biến, hàm nhiều biến,... Đây là môn học nhằm
trang bị cho Sinh viên những kiến thức cơ bản về Toán học để làm nên tảng cho
việc học các học phần cơ sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh viên
khả năng tư duy logic, phương pháp định lượng trong kinh tế và kỹ thuật.
Mục đích của giáo trình là giúp đở cho Sinh viên nắm vững và vận dụng
được các phương pháp giải toán cao cấp. Trong mỗi mục, tơi trình bày tóm tắt
cở sở lý thuyết và liệt kê những công thức cần thiết. Tiếp đó, trong phần ví dụ tơi
đặt biệt quan tâm đến các bài toán giải mẫu bằng vận dụng các kiến thức đã
trình bày. Sau mỗi phần ví dụ có những bài tập tương tự đặt sau dấu chấm hỏi,
sắp xếp theo thứ tự tăng dần độ khó, nhằm giúp các em làm quen với những lời
giải chi tiết trong phần ví dụ, từ đó áp dụng và thành thạo các phương pháp
giải.
Tổ biên soạn xin chân thành cảm ơn các giảng viên và các nhà chun mơn
đã có các ý kiến đóng góp. Qua đó giúp Tổ biên soạn hồn thiện giáo trình một
cách tốt nhất. .
Đồng Tháp, ngày…..tháng ... năm 2017
Chủ biên
Phạm Thị Kiều Anh
ii
MỤC LỤC
Trang
LỜI GIỚI THIỆU ............................................................................................ ii
CHƢƠNG 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ1
1. Hàm số ......................................................................................................... 1
1.1. Hàm số và các phép toán trên hàm số .................................................. 1
1.2. Một số tính chất đặc biệt của hàm số ................................................... 2
1.3. Hàm số hợp và hàm số ngƣợc .............................................................. 3
1.4. Các hàm số sơ cấp cơ bản .................................................................... 4
2. Giới hạn và tính liên tục của hàm số .......................................................... 8
2.1. Giới hạn của dãy số .............................................................................. 8
2.1.1. Định nghĩa dãy số ......................................................................... 8
2.1.2. Giới hạn dãy số ............................................................................. 8
2.1.3. Các phép toán ................................................................................ 9
2.1.4. Một số tính chất đặc biệt của dãy.................................................. 9
2.2. Giới hạn hàm số ................................................................................... 10
2.2.1. Định nghĩa (ngôn ngữ , ) ........................................................... 10
2.2.2. Giới hạn một phía .......................................................................... 11
2.2.3. Các giới hạn vô tận và ở vô tận ..................................................... 11
2.2.4. Các tính chất của giới hạn hàm số ................................................. 12
2.2.5. Các phép tốn ................................................................................. 12
2.2.6. Các dạng vơ định
0
;
0; ;0.
.......................................... 13
2.2.7. Một số công thức giới hạn quan trọng ........................................... 15
2.2.8. Đại lƣợng vô cùng bé – đại lƣợng vơ cùng lớn ............................. 17
2.3. Tính liên tục của hàm số ...................................................................... 19
BÀI TẬP CHƢƠNG 1 ................................................................................ 22
CHƢƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN .............................. 25
1. Đạo hàm của hàm số .................................................................................. 25
1.1. Đạo hàm ............................................................................................... 25
1.2. Đạo hàm cấp cao .................................................................................. 27
2. Vi phân của hàm số .................................................................................... 30
2.1. Vi phân ................................................................................................. 30
2.2. Vi phân cấp cao .................................................................................... 31
3. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân ................................................... 31
3.1. Đinh lý Rolle ........................................................................................ 31
3.2. Định lý Lagrange.................................................................................. 31
iii
3.3. Định lý Cauchy .................................................................................... 32
3.4. Các qui tắc L‟Hospital (Khử dạng vơ định)......................................... 32
3.5. Ứng dụng của phép tính vi phân .......................................................... 34
3.5.1. Xác định khoảng đơn điệu ............................................................ 34
3.5.2. Cực trị địa phƣơng của hàm số ..................................................... 34
3.5.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ................................................ 36
3.5.4. Bài toán tối ƣu trong thực tế ......................................................... 38
BÀI TẬP CHƢƠNG 2 .................................................................................... 42
CHƢƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN................ 44
1. Tích phân khơng xác định ........................................................................... 44
1.1. Ngun hàm và tích phân khơng xác định ........................................... 44
1.1.1. Định nghĩa ..................................................................................... 44
1.1.2. Định lý ........................................................................................... 44
1.1.3. Tính chất của tích phân khơng xác định ....................................... 45
1.2. Các phƣơng pháp tính .......................................................................... 46
1.2.1. Phƣơng pháp phân tích.................................................................. 46
1.2.2. Phƣơng pháp đổi biến số ............................................................... 46
1.2.3. Phƣơng pháp tích phân từng phần ................................................ 48
1.3. Tích phân một số hàm thƣờng gặp ....................................................... 50
1.3.1. Tích phân các hàm hữu tỉ .............................................................. 50
1.3.2. Tích phân các hàm vơ tỉ ................................................................ 53
1.3.3. Tích phân hàm số lƣợng giác ........................................................ 53
2. Tích phân xác định ..................................................................................... 55
2.1. Định nghĩa ........................................................................................ 55
2.2. Tính chất........................................................................................... 56
2.3. Các định lý cơ bản của phép tính tích phân ..................................... 57
2.4. Các phƣơng pháp tính tích phân xác định........................................ 58
2.5. Ứng dụng của tích phân xác định .................................................... 60
3. Tích phân suy rộng ...................................................................................... 65
3.1. Tích phân suy rộng loại 1 (tích phân cận vơ tận) ............................ 65
3.2. Tích phân suy rộng loại 2 (hàm số dưới dấu tích phân khơng bị chặn)
................................................................................................................. 67
3.3. Một vài tiêu chuẩn của hội tụ và phân kỳ trong tích phân suy rộng 68
BÀI TẬP CHƢƠNG 3 ................................................................................ 71
CHƢƠNG 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN ........................... 73
1. Khái niệm về hàm nhiều biến...................................................................... 73
1.1. Khái niệm về không gian n ............................................................... 73
1.2. Định nghĩa hàm hai biến ...................................................................... 74
iv
2. Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến.............................................. 76
2.1. Định nghĩa giới hạn dãy ....................................................................... 76
2.2. Định nghĩa giới hạn hàm 2 biến (giới hạn kép hoặc giới hạn bội) ...... 76
2.3. Tính chất (Tương tự như hàm một biến) .............................................. 77
2.4. Tính liên tục của hàm số ...................................................................... 78
3. Đạo hàm của hàm hai biến .......................................................................... 79
3.1. Đạo hàm riêng ...................................................................................... 79
3.2. Đạo hàm riêng cấp cao ......................................................................... 80
3.3. Đạo hàm của hàm hợp.......................................................................... 82
3.4. Đạo hàm của hàm ẩn ............................................................................ 83
4. Vi phân của hàm hai biến ............................................................................ 86
4.1. Sự khả vi............................................................................................... 86
4.2. Vi phân toàn phần ................................................................................ 87
4.3. Vi phân cấp cao .................................................................................... 88
4.4. Công thức Taylor ................................................................................. 90
5. Cực trị của hàm hai biến ............................................................................. 91
5.1. Cực trị địa phƣơng ............................................................................... 91
5.1.1. Định nghĩa ..................................................................................... 91
5.1.2. Điều kiện cần của cực trị .............................................................. 92
5.1.3. Điều kiện đủ của cực trị ................................................................ 92
5.1.4. Ứng dụng vào bài toán Kinh tế 2 biến ........................................ 94
5.2. Cực trị có điều kiện .............................................................................. 96
5.2.1. Định nghĩa ..................................................................................... 96
5.2.2. Cách tìm cực trị có điều kiện ........................................................ 96
a) Phƣơng pháp thế ........................................................................... 96
b) Phƣơng pháp nhân tử Lagrange ................................................... 97
5.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ....................................................... 99
BAI TẬP CHƢƠNG 4 .................................................................................... 103
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 106
v
GIÁO TRÌNH MƠN HỌC
Tên mơn học: Tốn Giải Tích.
Mã mơn học: MH33KX6340301
Vị trí, tính chất của mơn học:
- Vị trí: Là môn học tự chọn thuộc ngành học cao đẳng Kế Tốn, Quản
Trị Kinh Doanh,…
- Tính chất: Nhằm trang bị cho Sinh viên những kiến thức cơ bản về Toán
học để làm nên tảng cho việc học các học phần cơ sở & chuyên ngành, đồng
thời rèn luyện cho Sinh viên khả năng tƣ duy logic, phƣơng pháp định lƣợng
trong kinh tế và kỹ thuật.
Mục tiêu của môn học
- Về kiến thức:
+ Cung cấp cho ngƣời học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm
một biến. Khái niệm về đại lƣợng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào khử
dạng vơ định khi tính giới hạn; các tính chất của hàm số liên tục.
+ Trang bị các kiến thức về đạo hàm, vi phân hàm một biến. Ứng dụng
đƣợc qui tắc L‟Hospital khử các dạng vơ định trong tính giới hạn và khảo sát
một hàm số, tìm cực trị; giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số. Từ đó,
vận dụng để giải một số bài toán tối ƣu.
+ Cung cấp các kiến thức cơ bản về tích phân hàm một biến và phƣơng
pháp tính các loại tích phân đó. Vận dụng tích phân để tính độ dài cung, diện
tích, thể tích của một vật thể.
+ Trang bị cho sinh viên các kiến thức cơ bản về phép tính vi phân của hàm
nhiều biến, làm cơ sở cho việc nghiên cứu Tốn học hiện đại ở bậc Đại học và
các mơn học khác có liên quan.
- Về kỹ năng: Mơn học giúp ngƣời học củng cố thêm các kỹ năng tƣ duy,
phân tích và giải quyết vấn đề nhƣ: tính giới hạn, đạo hàm, vi phân hàm một
biến, tích phân (bất định, xác định, suy rộng), đạo hàm,cƣc trị,… của hàm nhiều
biến. Ở mỗi nội dung cần biết cách tính, phƣơng pháp giải và ứng dụng vào giải
quyết các bài toán trong đời sống kinh tế.
- Về năng lực tự chủ và trách nhiệm:
+ Chủ động tìm tài liệu nghiên cứu, chuẩn bị bài trƣớc khi đến lớp.
+ Có ý thức tích cực, chủ động trong q trình học tập.
+ Có ý thức nghiêm túc đúng đắn và khoa học về bản chất các vấn đề toán
học và vận dụng vào toán kinh tế.
vi
+ Làm các bài tập bắt buộc nhằm rèn luyện các kỹ năng, thái độ khách
quan và khoa học.
Nội dung của mơn học :
Thời gian (giờ)
Số
TT
Tên chƣơng, mục
Thực
Tổng Lý
hành, thí
Kiểm tra
số thuyết nghiệm,
thảo luận,
bài tập
Chƣơng 1: Hàm số - giới hạn và tính
liên tục của hàm số.
1
8
1. Hàm số
8
0
0
6
0
0
2. Giới hạn và Tính liên tục của Hàm số
Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một
biến
1. Đạo hàm của Hàm số
2
2. Vi phân của hàm số
6
6
3. Các định lý cơ bản của phép tính vi
phân
Kiểm tra (1)
1
1
Chƣơng 3. Phép tính tích phân của
hàm một biến3.1. Tích phân khơng xác
định
4 1. Ngun hàm và tích phân khơng xác
định.
6
6
0
0
8
0
0
2. Tích phân xác định
3. Tích phân suy rộng.
Chƣơng 4. Phép tính vi phân hàm
nhiều biến
5
1. Khái niệm về hàm nhiều biến
8
2. Giới hạn và tính liên tục của hàm
nhiều biến
3. Đạo hàm của hàm hai biến
vii
8
4. Vi phân của hàm hai biến
5. Cực trị của hàm hai biến
Ơn thi (3)
1
1
0
0
Thi/Kiểm tra kết thúc mơn học (4)
1
1
0
0
Cộng
30
viii
29
1
CHƢƠNG 1
HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Giới thiệu:
Hàm số, giới hạn hàm số và tính liên tục của hàm số là các khái niệm cơ
bản của giải tích tốn học. Việc nắm vững khái niệm hàm số, các tính chất của
chúng, giúp cho ngƣời học tiếp thu tốt các khái niệm và tính chất của giới hạn
hàm và tính liên tục của các hàm số để từ đó tiếp cận đƣợc với các kiến thức về
phép tính vi phân, phép tính tích phân,...
Mục tiêu:
- Về kiến thức:
+ Hệ thống hóa kiến thức về giới hạn của hàm số, các phép tốn cơ bản và
cơng thức khi tính giới hạn (khử dạng vơ định)
+ Hiểu và vận dụng đƣợc phép tính trên các đại lƣợng vô cùng bé (VCB),
vô cùng lớn (VCL).
+ Phép ngắt bỏ VCB cấp cao, VCL cấp thấp vào việc khử dạng vơ định
khi tính giới hạn.
+ Nắm đƣợc khái niệm liên tục – điều kiện liên tục, các tính chất hàm số
liên tục trên đoạn a,b .
- Về kỹ năng: Thành thạo các cách tính giới hạn (khử các dạng vơ định)
Nội dung chính:
1. Hàm số
1.1. Hàm số và các phép toán trên hàm số
1.1.1. Định nghĩa
Cho X,Y ;X,Y , hàm số f là một qui luật sao cho ứng với mỗi
giá trị của biến x X có duy nhất một giá trị thực y Y , kí hiệu y f (x) .
* Hàm số đƣợc viết dƣới dạng sơ đồ sau:
f : X Y
x y f (x)
Biến
x
(1.1)
đƣợc gọi là biến độc lập.
y f (x) đƣợc gọi là biến phụ thuộc.
Tập
D x | f (x) có nghĩa} đƣợc gọi là miền xác định của hàm
số.
1
Tập Y
f (X) f (x)| x X đƣợc gọi là miền giá trị của hàm số.
y f (x) là tập hợp các điểm có tọa độ (x, f (x)) trong hệ
tọa độ Descartes. Kí hiệu: G M(x, f (x)): x X.
* Đồ thị hàm số
Ví dụ 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau
Miền xác định: D .
a) y 2x 1.
b)
y 22x .
x 1
c)
y x 3 .
2x 1
Miền xác định:
D \ 1;1.
x 3
x 3 0
Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi:
1 .
2
x
1
0
x
2
D 3; \ 1 .
2
Chú ý: Hàm số y f (x) mô tả mối liên hệ giữa hai đại lƣợng x và y .
Vậy miền xác định
Ví dụ 2 : Xét một chuyển động đều có vận tốc 60 km/h. Mối liên hệ giữa thời
gian chuyển động t(h) và quãng đường đi s(km) của chuyển động là hàm số
s s(t) 60t .
1.1.2. Các phép toán trên hàm số
Cho hàm số
f (x), g(x) có cùng miền xác định D . Khi đó, ta xác định các
hàm số sau :
(x D).
(x D).
(f g)(x) f (x) g(x) ,
ii) (f .g)(x) f (x).g(x),
i)
iii)
f (x) f (x)
g
g(x)
(g(x) 0, x D).
(1.2)
(1.3)
(1.4)
lần lƣợt gọi là tổng, hiệu, tích, thƣơng của f và g.
1.2. Một số tính chất đặc biệt của hàm số
1.2.1. Hàm số đơn điệu
Hàm số
f (x) đƣợc gọi là đơn điệu tăng (hay giảm) trên miền D nào đó nếu
với cặp số x1, x2 bất kỳ thuộc miền D và từ x1 x2 suy ra f (x1) f (x2) (hay
f (x1) f (x2)).
2
Chú ý: Đồ thị của hàm số đơn điệu tăng (giảm) đi lên (xuống) theo hƣớng từ
trái qua phải.
y
y
O
a
b
x
O
Đồ thị hàm số tăng
a
b
x
Đồ thị hàm số giảm
1.2.2. Hàm số chẵn lẻ
f (x) xác định trên tập đối xứng D (x D thì x D).
Khi đó: f đƣợc gọi là chẵn nếu với mọi x D, ta có:
f (x) f (x).
f đƣợc gọi là lẻ nếu với mọi x D , ta có:
f (x) f (x).
Cho hàm số
Ví dụ 3:
Chú ý:
* Hàm số
y f (x) cosx x2 x là hàm số chẵn.
* Hàm số
y g(x) x3 x là hàm số lẻ.
- Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng với nhau qua trục Oy .
- Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng với nhau qua gốc O .
y
y
O
O
x
Dạng đồ thị của hàm số chẵn
x
Dạng đồ thị hàm số lẻ
1.3. Hàm số hợp và hàm số ngƣợc
1.3.1. Hàm số hợp
f (X) Y . Khi đó, hàm số
h : X Z với h(x) đn gf (x) đƣợc gọi là hàm số hợp của f và g.
Cho hàm số f : X Y , g :Y Z , với
Kí hiệu là: h g f .
f
g
x
3
Miền xác định của hàm hợp g f là tập các số thực x thuộc miền xác
định của hàm f sao cho f (x) thuộc miền xác định của hàm g.
Chú ý: g f (x) f g(x)
Ví dụ 4: Cho hàm số
f (x) x , g(x) x 5. Hãy xác định các hàm hợp g f ,
f g và miền xác định của chúng.
Giải
Ta có:
f (x) x
Miền xác định
Df 0; .
g(x) x 5
Miền xác định Dg
Suy ra : g f (x) gf (x) g( x) x 5. Miền xác định D 0; .
f g(x) f g(x) x 5
Miền xác định
D5;
1.3.2. Hàm số ngƣợc
Cho hàm số f : X Y
x y f (x) có miền xác định X và miền giá trị Y thỏa
với x1 x2 thì f (x1) f (x2) . Khi đó, hàm số ngƣợc của f , kí hiệu f 1 đƣợc xác
định:
f 1 :Y X
y x f 1(y) (thỏa điều kiện y f (x) ) có miền xác
định Y và miền giá trị là tập X .
y
Ví dụ 5: Hàm số y ex có miền xác định D và có
miền giá trị là T 0; .
Hàm này có hàm ngược là x lny xác định trên
O
D 0; và có miền giá trị là T .
x
Chú ý: Đồ thị của hai hàm số ngƣợc nhau đối xứng
với nhau qua đƣờng thẳng y x .
1.4. Các hàm số sơ cấp cơ bản
1.4.1. Hàm lũy thừa
y x,
Miền xác định: D
* Nếu
là .
y
trừ các trƣờng hợp
ngun dƣơng thì hàm số có miền xác định
O
4
x
* Nếu
nguyên âm hoặc 0 thì hàm số có miền xác định là
Đồ thị:
* Ln đi qua điểm
*.
(1;1) .
0 hàm số đồng biến trên khoảng (0; ).
* 0 hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ).
*
Một số tính chất của lũy thừa
a an
aa
. ......a a.a a
( n thừa số a )
a0 1
a
an
n a b bn
(a) a.
n ab n a.n b
(ab) a.b
1n
a
a
a
b b
Với a 1, a
n
a n a (b 0)
b nb
m n a mn a
y ax,0 a 1
Hàm số mũ là hàm có dạng y ax ,
trong đó a đƣợc gọi là cơ số và 0 a 1 và
x là biến.
Miền xác định: D
Miền giá trị là: T =
Đồ thị
a
a
Với 0 a 1, a a
1.4.2. Hàm số mũ
n am
a a
a
1 1,
m
an
y
1
(0; ).
O
* a 1: hàm tăng
x
* 0 a 1: hàm giảm.
* Ln đi qua điểm
(0,1) , nằm phía trên trục Ox và tiệm cận với Ox .
y loga x, 0 a 1
Hàm số ngƣợc của hàm số mũ y ax đƣợc gọi là
hàm logarit, kí hiệu y loga x, 0 a 1.
1.4.3. Hàm số logarit
5
y
O
1
x
Miền xác định của hàm logarit là
Logarit thập phân :
D (0, ) và miền giá trị là T .
lgb logb log10b
n
1
Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb loge b(với e lim 1 2,718281)
n
n
Theo công thức biến đổi cơ số, ta có:
.
* a 1: hàm tăng.
Đồ thị:
* 0 a 1: hàm giảm.
* Luôn đi qua điểm
(1,0) , nằm bên phải trục Oy và tiệm cận với Oy .
Một số tính chất của logarit: 0 a,bc
, 1
loga 1 0
loga(bc) loga b loga c
loga a 1
loga b loga b loga c
c
aloga b b
loga b loga b
loga ab b
loga c 1 loga c ( 0)
logb c loga b
loga c
loga b.logb c loga c
loga b 1
logb a
alogbc
y
1.4.4. Các hàm số lƣợng giác
B
Trên hình ta có
D
clogba
C
Q
OP cosx .
OQ sin x .
x
BD cot x
AC tanx
tanx sinx ; cot x cosx
sinx
cosx
* Hàm y sin x có miền xác định là D
hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T0 2 .
* Hàm y cosx có miền xác định là D
hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T0 2 .
6
O
x
P
A(1,0)
và miền giá trị là T 1;1,
và miền giá trị là T 1;1,
D \ k (k ) và miền
2
giá trị là T , hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T0 .
* Hàm số y cot x có miền xác định là D \ k (k ) và miền giá
trị là T và tuần hoàn với chu kỳ T0 .
* Hàm số y tan x có miền xác định là
1.4.5. Các hàm lƣợng giác ngƣợc
a. Hàm số y arcsinx
Do y sin x là hàm tăng nghiêm ngặt trên
; nên có hàm ngƣợc là
2 2
(1.5)
arcsin0 0;arcsin(1) ;arcsin 3 .
2
2 3
b. Hàm số y arccosx
Do y cosx là hàm giảm nghiêm ngặt trên 0; nên có hàm ngƣợc là
Ví dụ 6:
(1.6)
arccos0 ;arccos(1) ;arccos 3 ;arccos 1 2 .
2
2 6
2 3
c. Hàm số y arctan x
Do y tan x là hàm tăng nghiêm ngặt trên ; nên có hàm ngƣợc là
2 2
Ví dụ 7:
(1.7)
arctan0 0;arctan(1) ;arctan 3 .
4
3
* Qui ƣớc : arctan ;arctan
2
2
Ví dụ 8:
d. Hàm số
y arccot x
Do y cot x là hàm giảm nghiêm ngặt trên 0; nên có hàm ngƣợc là
7
(1.8)
arccot 0 p ; arccot(-1) 3p; arccot 3 p .
2
4
6
* Qui ƣớc : arccot 0; arccot .
Ví dụ 9:
2. Giới hạn và tính liên tục của hàm số
2.1. Giới hạn của dãy số
2.1.1. Định nghĩa dãy số
Cho hàm số
f (n) xác định trên tập số tự nhiên
. Ứng với các giá trị
n1,2,3,... ta có tập giá trị x1 f (1), x2 f (2),... lập thành một dãy số.
Kí hiệu:
xn.
(2.1)
xn : số hạng tổng quát của
xn.
n : chỉ số của số hạng xn .
xn n xn: 1; 2;...
n 1
2 3
xn (1)n xn: -1; 1; -1;...
Ví dụ 10:
2.1.2. Giới hạn dãy số
Dãy số
xn đƣợc gọi là hội tụ về L (hữu hạn) khi n nếu
( 0) (N0 ) (n N0 thì xn L ).
Kí hiệu:
(2.4)
n
lim xn L hay xn
L .
n
Chú ý: Nếu dãy
xn có giới hạn thì ta nói dãy hội tụ, ngƣợc lại nếu xn
khơng có giới hạn thì ta nói dãy phân kỳ.
lim 1 0. Tổng quát : lim 1k 0
n n
n n
* limqn 0, với q 1.
Nhớ: *
n
Các dãy dần đến vô cực
*
lim x
n n
*
lim x
n n
*
lim x
n n
M 0, N0 : n N0 xn M .
M 0, N0 : n N0 xn M .
M 0, N0 : n N0 xn M .
8
2.1.3. Các phép toán
Định lý: Nếu
lim x
n n
L và lim yn M thì
n
yn ) L M .
i)
lim(x
n n
iii)
lim xn L (yn 0, n, M 0) .
n yn M
ii)
lim(x .y ) LM
. .
n n n
iv)
lim kx
n n
kL
.
( k là một hằng số)
Ví dụ 11: Tính:
3
2
lim 2n 34n 3n 3 .
n
n 5n 7
2 n 2
5
n
c) lim
n n 1
4n2 1 n
e) lim
n 2 n 3n 1
a)
lim n 3n 3
n n 2n
2n 4n
d) lim n n
n 2.3 4
2
b)
f) lim
2n 4n 6n 1
n
2
.
2.1.4. Một số tính chất đặc biệt của dãy
xn (nếu có) là duy nhất.
i)
Giới hạn của một dãy
ii)
Mỗi dãy hội tụ đều bị chặn.
Ngoài ra ta còn chứng minh đƣợc các tiêu chuẩn hội tụ quan trọng của dãy nhƣ
sau
Định lý 1 (Tiêu chuẩn kẹp giữa)
Cho
lim z
n n
x lim y L và xn zn yn, n thì
xn, yn và zn. Nếu: nlim
n n n
L.
lim sinn
n n
1 sinn 1 .
Giải: Ta có: n N*, ta có
n n n
1
1
sinn 0.
Vì lim lim 0 nên lim
n n n n
n n
Ví dụ 12: Tìm giới hạn
Định lý 2 (điều kiện tồn tại giới hạn)
Nếu
xn tăng (giảm)
và bị chặn trên (dƣới) thì nó là dãy hội tụ (có giới
hạn hữu hạn).
9
Định lý 3 (Tiêu chuẩn Cauchy)
Điều kiện cần và đủ để dãy
xn hội tụ là
0) (N ) (n,m N x x
0
0
n
m
.
2.2. Giới hạn hàm số
2.2.1. Định nghĩa (ngôn ngữ , )
Số L (hữu hạn) đƣợc gọi là giới hạn của
f (x) khi x x0, x x0 nếu
( 0)( () 0) x : 0 x x0 f (x) L
Ki hiệu:
lim f (x) L
hay
xx0
(2.5)
f (x) L khi x x0.
2 4
x
4.
Ví dụ 13: Dùng định nghĩa chứng minh lim
x2 x 2
2 4
x
4 x 2 .
Thật vậy, 0, xét: f (x) L
x 2
Ta chọn
. Khi đó:
2 4
x
4 .
0, 0: x thỏa 0 x 2 , ta có:
x 2
Vậy
2
lim x 4 4.
x2 x 2
* Định nghĩa tƣơng đƣơng (ngôn ngữ dãy số)
f (x) có giới hạn là L khi x x0 nếu
xn,xn x0, n và lim xn x0 thì lim f (xn ) L .
n
Hàm số
n
Nhận xét: Để chứng minh
sao cho
lim x
n n
lim f (x) không tồn tại. Ta chọn 2 dãy: {xn},{xn }
x x0
x0, lim xn x0 nhƣng lim f (xn ) lim f (xn )
n
(2.6)
n
n
limcos 1 không tồn tại
x0
x
Thật vậy: Chọn xn và x 'n cùng dần về 0.
1 n
f (x ) limcos(2n) 1 .
xn
0 thì nlim
n
n
2n
Ví dụ 14: Chứng minh
10
1 n
) 0 .
0
thì
lim
f
(
x
'
)
limcos(2
n
n
n
n
2
2n
2
Suy ra lim f (xn ) lim f (x 'n ) .
x 'n
n
Vậy
n
limcos 1 khơng tồn tại
x0
x
2.2.2. Giới hạn một phía
Định nghĩa
* Số L đƣợc gọi là giới hạn trái của
f (x) khi x x0 nếu
( 0)( () 0) x : 0 x0 x f (x) L
Kí hiệu:
lim f (x) L hay f (x0).
xx0
* Số L đƣợc gọi là giới hạn phải của
f (x) khi x x0 nếu
( 0)( () 0) x : 0 x x0 f (x) L
Kí hiệu:
(2.7)
(2.8)
lim f (x) L hay f (x0) .
xx
0
f (x) x tại x0 1, ta có
f (1) lim f (x) lim x 1.
Ví dụ 15: Xét hàm số:
x1
x1
f (1) lim f (x) lim(
x) 1.
x1
x1
f (x) có giới hạn là L khi x x0 khi và chỉ khi giới hạn trái
và phải của f (x) tại x0 cũng tồn tại và bằng L .
Định lý: Hàm số
và
(2.9)
lim f (x)
xx0
Nhận xét:
.
lim f (x)
lim f (x)
xx0
x x0
f (x) lim f (x)
xlim
xx0
x0
lim x .
Ví dụ 16: Trong ví dụ trên, ta thấy f (1) f (1) nên
x1
2.2.3. Các giới hạn vô tận và ở vô tận
Giới hạn vô tận
lim f (x) (A 0) (A 0)(x : 0 x x0 f (x) A) .
xx0
(2.10)
11
* Tƣơng tự
lim f (x) (A 0) (A 0)(x : 0 x x0 f (x) A)
xx0
lim 21 và lim 21 0.
x1 x 1
x x 1
Ví dụ 17:
Nhận xét : Giới hạn của dãy số là trƣờng hợp đặc biệt của giới hạn hàm khi
biến số dần ra .
Giới hạn ở vô tận: Giả sử f (x) xác định trên tập không bị chặn X
Số L đƣợc gọi là giới hạn phải của
f (x) khi x nếu
( 0) (M 0)(x X :x M f (x) L )
Kí hiệu:
(2.11)
lim f (x) L .
x
* Tƣơng tự
lim f (x) L ( 0) (M 0)(x X :x M f (x) L ) .
x
2.2.4. Các tính chất của giới hạn hàm số
limC C ( C là hằng số).
i)
xx0
ii)
Giới hạn hàm số nếu có là duy nhất.
f (x), g(x) và h(x) xác định trong lân cận của x0 (không cần
xác định tại x0 ).
Nếu a) lim f (x) lim h(x) L .
b) f (x) g(x) h(x) .
iii)
Cho
xx0
thì
xx0
lim g(x) L .
xx0
iv)
Tiêu chuẩn hội tụ: Cho
f (x) xác định với mọi x dƣơng khá lớn, nếu
f (x) tăng và bị chặn thì lim f (x) .
x
limx sin 1 .
x 0
x
1
Giải: x 0, ta có 0 x sin x . Mà lim0 0 và lim x 0.
x0
x0
x
1
Suy ra limx sin 0.
x 0
x
Ví dụ 18: Tính
2.2.5. Các phép tốn
12
lim f (x) L; lim g(x) M thì
Định lý: Nếu
i) lim
xx0
xx0
xx0
f (x) g(x) L M .
f (x) L M 0 .
xx0 g(x) M
Định lý: Xét hàm hợp: f u : x
ii) lim
xx0
. ( k là hằng số).
iv) lim k.f (x) kL
iii) lim
xx0
f u(x). Nếu lim u(x) u0 và f (u) xác định
ở lân cận u0 và lim f (u) L thì lim f
uu0
xx0
Ví dụ 19: Tính
Giải:
xx0
u(x) L .
A lim(x2 5x)2002 .
Đặt
Khi
. .
f (x).g(x) LM
x1
u(x) x2 5x . Khi x 1 thì u(x) u(1) 6.
u 6 thì f (u) u2002 f (6) 62002. Vậy A 62002.
0; ;0.
;
0
f (x) với lim f (x) lim g(x) 0 .
0
Dạng Tính lim
x x0 g(x)
xx0
xx0
0
2.2.6. Các dạng vô định
Cách khử nhƣ sau
Nếu
là đa thức thì ta phân tích
và
.
Nếu
hay
có chứa căn cùng bậc thì ta nhân tử và mẫu của
phân thức với lƣợng liên hợp.
Nếu
hay
có chứa căn khơng đồng bậc
Giả sử: P(x) =
với
Ta phân tích P(x) =
Ví dụ 20: Tính
a)
.
3
2
lim 3x 2x x
x0 x 2x
3
b) lim 1x 1.
x0
x
Giải
3
2
2
2
a)lim 3x 2x x lim x(3x x 1) lim 3x x 1 1
x0 x 2x
x0 x(x 2)
x0 x 2
2
13
b)
lim
3 1 x 1 3 1 x 2 3 1 x 1
1 lim
2
x0
x
x 3 1x 3 1x 1
3 1 x
x0
1 lim
1
lim
1
1x 1x 1 3
x 1x 1x 1
3 1 x
x0
3
? Tính
Dạng
2
3
3
3
x0 3
2
3
2 5x 6
x
2x 4 3 3x 4
a) lim
b)
lim
x2 2x2 7x 6
x4
x2 x 12
f (x) trong q trình nào đó, với f (x) ,
Tính lim
g(x)
g(x) trong q trình đó.
Cách khử khi x nhƣ sau
+ Nếu
và
là đa thức thì chia tử và mẫu của phân thức
cho
với n là số mũ cao nhất của trong
và
.
+ Nếu
và
có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu
cho luỹ thừa cao nhất của hoặc nhân lượng liên hợp.
+ Áp dụng công thức:
Ví dụ 21: Tính a)
.
3
2
lim x 2x3 x2 1
x
3x x
b)
3
4
lim x x x
x
2x 3
Giải
1 2 12 13
x x x 1
lim
a) lim
x
x
3
3x3 x2
3 1
x
1 1
1
3
4
x x x lim 6 x 4 x 2 .
b) lim
x
x
2x 3
2
2 3
x
3 2
?
x
7x 3
lim
Tính a)
b) lim 2
3
2
x 3x x 1
x x 5
x3 2x2 x 1
Nhận xét: Khi
x , xét giới hạn của f (x) với
14
2x x
c) lim
x 3x 2
f (x) P(x) (dạng hữu tỷ).
Q(x)
2
f (x) .
* Nếu bậc của P nhỏ hơn bậc của Q thì f (x) 0.
* Nếu bậc của P bằng bậc của Q thì giới hạn của f (x) là một hằng số.
Dạng () Tính limf (x) g(x), với f (x) , g(x) .
* Nếu bậc của P lớn hơn bậc của Q thì
Cách khử khi
x nhƣ sau
+ Nếu có căn ta ta nhân với lượng liên hợp để khử dạng vơ định.
+ Sau đó chia tử và mẫu cho
(n là số mũ cao nhất của x) nếu cần.
Ví dụ 22: Tính
Giải
lim x2 1 x2 1
x
2
lim x2 1 x2 1 lim
x2 1
2
2
x
lim
lim
0
x
x
1
1
1
1
1 2 1 2
x 1 2 1 2
x
x
x
x
1 3
b) lim
? Tính a) lim x2 x x
x11x 1x3
x
Dạng 0.
Tính limf (x).g(x), với f (x) 0, g(x) .
x
x x2 1
Ta đưa về dạng
hay
.
x
1
lim
1
2
x
x x x 1 x
2
1 1 12
x
x 1). 2 3
? Tính xlim(2
x x 11
Ví dụ 23:
lim x x x2 1 lim
2.2.7. Một số công thức giới hạn quan trọng (thường áp dụng để khử dạng
0)
0
(2.12)
15
16
