Ứng dụng thuật toán phân cụm FCM vào phân đoạn ảnh

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ LOGIC MỜ VÀ PHÂN ĐOẠN ẢNH .......... 2
1.1. Tổng quan về logic mờ .................................................................................2
1.1.1. Tập mờ loại một ..................................................................................... 2
1.1.2. Tập mờ loại hai ...................................................................................... 6
1.1.3. Mơ hình hóa bài toán .............................................................................9
1.2. Tổng quan về phân đoạn ảnh. .....................................................................11
1.2.1. Giới thiệu ............................................................................................. 11
1.2.2. Các phương pháp tiếp cận ....................................................................12
CHƯƠNG 2. KỸ THUẬT PHÂN CỤM DỮ LIỆU MỜ LOẠI MỘT ........... 21
2.1. Tổng quan về phân cụm mờ .......................................................................21
2.2. Thuật toán Fuzzy C-means (FCM)............................................................. 22
2.2.1. Giới thiệu Fuzzy C-means ...................................................................22
2.2.2. Thuật toán FCM ................................................................................... 25
2.2.3. So sánh FCM với K-means ..................................................................26
2.2.4. Đánh giá thuật toán FCM .....................................................................28
2.3. Thuật toán FCM cải tiến .............................................................................29
2.3.1. Cơ sở thuật toán ................................................................................... 29
2.3.2. Thuật toán FCM cải tiến ......................................................................29
2.4. Thuật toán ε-Insensitive Fuzzy C-means (εFCM)......................................30
2.4.1. Giới thiệu thuật toán ............................................................................30
2.4.2. Chi tiết thuật toán εFCM ......................................................................31
CHƯƠNG 3. CHƯƠNG TRÌNH VÀ ỨNG DỤNG ......................................... 32
3.1. Mơ hình hóa bài tốn phân đoạn ảnh ......................................................... 32
3.2. Cài đặt chương trình ................................................................................... 32
3.3. Kết quả ứng dụng phân đoạn trên ảnh không gian màu RGB.................... 34
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ........................................................ 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 37

DANH MỤC HÌNH
Hình 1.1: Các ví dụ của bốn loại hàm thuộc ...................................................................... 3
Hình 1.2: (a) Tập mờ cơ sở A; (b) Mở rộng trụ C(A) của A. ............................................ 5
Hình 1.3: (a) Tập mờ hai chiều R; (b) RX (chiếu của R trên X); (c) RY (chiếu của R trên
Y) ................................................................................................................................. 6
Hình 1.4: (a) Hàm thuộc loại một và (b) Hàm thuộc loại một được mờ hóa ..................... 7
Hình 1.5: Minh họa hàm thuộc loại hai .............................................................................. 7
Hình 1.6: Ví dụ về phân vùng ảnh ................................................................................... 11
Hình 1.7: Minh họa cách chọn ngưỡng ............................................................................ 13
Hình 1.8: Khái niệm 4 liên thơng và 8 liên thơng ............................................................ 16
Hình 1.9: Phân tích kết cấu bằng dải tương quan ............................................................ 17
Hình 1.10: Biểu diễn ảnh dưới dạng một đồ thị ............................................................... 19
Hình 2.1: Mơ tả tập dữ liệu một chiều ............................................................................. 26
Hình 2.2: Hàm thuộc với trọng tâm của cụm A trong K-means ...................................... 26
Hình 2.3: Hàm thuộc với trọng tâm cụm A trong FCM ................................................... 27
Hình 2.4: Các cụm được khám phá bởi thuật tốn FCM ................................................. 27
Hình 3.1: Giao diện chính chương trình phân đoạn ảnh .................................................. 33
Hình 3.2: Giao diện chương trình sau khi cho ảnh vào.................................................... 34


LỜI MỞ ĐẦU
Logic mờ được công bố lần đầu tiên tại Mỹ vào năm 1965 bởi giáo sư L.Zadeh.
Kể từ đó, Logic mờ đã có bước phát triển mạnh mẽ trong nhiều lĩnh vực và các ứng
dụng thực tế khác nhau. Đặc biệt, việc ứng dụng Logic mờ trong lĩnh vực xử lý ảnh đã
đem lại những hiệu quả rõ rệt. Bởi vì, với việc áp dụng Logic mờ vào trong xử lý ảnh,
ta đã phần nào xử lý được những yếu tố không chắc chắn thường xuyên xảy ra trong xử
lý ảnh, bởi vì đầu vào ảnh thường có nhiễu và các đối tượng trong ảnh thường không rõ
ràng và nằm chồng lên nhau. Chính vì vậy, việc ứng dụng Logic mờ vào xử lý ảnh đã
trở thành hướng nghiên cứu và quan tâm của rất nhiều nhà khoa học cũng như người
sử dụng.

Với đề tài “Ứng dụng thuật toán phân cụm FCM vào phân đoạn ảnh”,
đề tài sẽ trình bày một số vấn đề về ứng dụng Logic mờ và phân đoạn ảnh.
Trong đó, đề tài tập trung vào việc sử dụng các thuật toán phân cụm FCM
(Fuzzy C-means) để thực hiện phân đoạn ảnh.
Có nhiều phương pháp khác nhau để phân đoạn ảnh song mỗi phương pháp
đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng tùy thuộc vào từng bài tốn cụ thể.
Báo cáo được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Tổng quan về Logic mờ và phân đoạn ảnh
Chương 2: Kỹ thuật phân cụm dữ liệu mờ loại một
Chương 3: Chương trình và ứng dụng
Kết luận: Tóm tắt các vấn đề được tìm hiểu trong báo cáo và các vấn đề liên quan
trong báo cáo, đưa ra phương hướng nghiên cứu tiếp theo.

1


CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ LOGIC MỜ VÀ PHÂN ĐOẠN ẢNH
1.1. Tổng quan về logic mờ
1.1.1. Tập mờ loại một
Logic mờ (FL) theo nghĩa rộng mà ngày nay được dùng rộng rãi, có cùng nghĩa
với lý thuyết tập mờ.
* Định nghĩa tập mờ loại một
Cho X là không gian của các đối tượng x, x là một đối tượng (phần tử) thuộc X.
Một tập cổ điển A, A X , là tập gồm các phần tử A X , như vậy với mỗi x  X có
thể thuộc tập A hoặc khơng thuộc tập A.
Hàm đặc tính (characteristic funtions) cho mỗi đối tượng x  X có quan hệ với tập
A như sau: Tập cổ điển A là một tập của các cặp phần tử có bậc (x,0) với x A hoặc (
x, 1) với x A . Với cách định nghĩa trên, có thể miêu tả tập cổ điển A thơng qua hàm
đặc tính:

A  { x,  A  x   | x X}
Trong đó:  A  x  là hàm đặc tính được xác định:

0, x  A
1, x  A

A  x  

với x  X

* Tập mờ và hàm thuộc
Nếu X là một tập hợp các đối tượng x, x biểu diễn chung cho đối tượng, khi đó
một tập mờ A  X được định nghĩa như một tập của các cặp phần tử có bậc:

A

 x, 

A

 x  | x  X  .

Ở đây:  A  x  được gọi là hàm thuộc (MF) cho tập mờ A. MF ánh xạ mỗi phần tử

x  X tới độ thuộc giữa 0 và 1 của MF.

Với định nghĩa trên, khơng giống như tập cổ điển, tập mờ có hàm đặc tính (theo
nghĩa của tập cổ điển) cho phép có giá trị nằm giữa 0 và 1. Như vậy định nghĩa của tập
mờ là một mở rộng đơn giản của định nghĩa tập cổ điển trong đó hàm thuộc có độ thuộc
giữa 0 và 1. Nếu giá trị của hàm thuộc  A  x  được đưa về chỉ có 0 và 1, khi đó A chính

là tập cổ điển và  A  x  là một hàm đặc tính của A.

Thơng thường X được xem như là tập nền. X có thể là các đối tượng rời rạc (có
thứ tự hoặc khơng thứ tự) hoặc khơng gian liên tục.
* Biểu thức và tham số của một số hàm thuộc.
- Hàm thuộc một chiều
Hàm thuộc một chiều là hàm chỉ có một đầu vào. Do vậy, các hàm đưa ra dưới đây
sẽ được hiểu ngầm định là luôn ln có một đầu vào.
+ Định nghĩa 1.1: Hàm thuộc Triangular

2


Một hàm thuộc triangular được đưa ra bởi 3 tham số {a, b, c}
(với a < b < c) như sau:
xa
0,
x  a

, a xb
b  a
triangle  x, a, b, c   
c  x , b  x  c
c  b
0,
cx


Bằng cách dùng min và max, người ta đã đưa biểu diễn biểu thức trên như sau:


 x  a c  x 
triangle  x, a, b, c   max  min 
,
,0  
 b  a c  b 


Ở đây: Các tham số {a, b, c} xác định tọa độ x của ba góc của hàm thuộc
Triangular.
Hình 1.2(a) dưới đây minh họa hàm thuộc Triangular được định nghĩa bởi
triangular(x; 20, 60, 80).

Hình 1.1: Các ví dụ của bốn loại hàm thuộc
Trong đó (a) Triangle(x; 20, 60, 80); (b) Trapezoid(x; 10, 20, 60, 95); (c)
Gaussian(x; 50, 20); (d) bell(x; 20, 4, 50)
+ Định nghĩa 1.2: Hàm thuộc Trapezoidal (Hình thang)
Một hàm thuộc trapezoidal được đưa ra bởi 4 tham số {a, b, c, d} (với a
< b < c < d ) như sau:

3


0, x  a
x  a

, a xb
b  a

trapezoid ( x; a, b, c, d )  1, b  x  c
d  x


, cxd
d  c
0, d  x
Bằng cách dùng min và max, người ta đã đưa ra biểu diễn biểu thức trên như sau:


 xa d  x 
trapezoid ( x; a, b, c, d )  max  min 
,
,0 
b

a
d

c

 

Ở đây: Các tham số {a, b, c, d} xác định tọa độ x của bốn góc của hàm thuộc
Trapezoidal.
Hình 1.1(b) minh họa hàm thuộc Trapezoidal được định nghĩa bởi trapezoidal(x;
10, 20, 60, 95).
+ Định nghĩa 1.3: Hàm thuộc Gaussian
Hàm thuộc Gaussian được đưa ra bởi 2 tham số c,  :

gaussian  x, c,    e

1  x c 

 

2  

2

Ở đây: c miêu tả vị trí trọng tâm và  xác định độ rộng của hàm thuộc Gaussian.
Hình 1.1(c) minh họa hàm thuộc Gaussian được định nghĩa bởi gaussian (x; 50, 20).
+ Định nghĩa 1.4: Hàm thuộc bell – hình chng
Hàm thuộc bell – hình chng được đưa ra bởi 3 tham số {a, b, c}:

bell  x; a, b, c  

1
xc
1
a

2b

Ở đây: b luôn luôn dương và tham số c định vị trí trọng tâm của đường cong.
Hình 1.1(d) minh họa hàm thuộc Bell được định nghĩa bởi bell(x; 20, 4, 50).
+ Định nghĩa 1.5: Hàm thuộc sigmoidal
Hàm thuộc sigmoidal được định nghĩa bởi:

sig ( x; a, c) 

1
1  exp  a( x  c)

Hàm này phụ thuộc vào dấu của tham số a, có tính mở trái và phải. Do vậy, nó gần
như miêu tả các khái niệm “   ” và “   ”. Hàm này được khai thác rộng rãi. Tuy nhiên
để khai thác được cần biết cách kết hợp các hàm sigmoidal lại với nhau. Ví dụ dưới đây

4


đưa ra hai cách kết hợp các hàm sigmoidal để tạo ra các hàm thuộc có tính đóng và tính
khơng đối xứng.
+ Định nghĩa 1.6: Hàm thuộc left - right
Hàm thuộc left – right được đưa ra bởi 3 tham số  ,  ,c :

 cx
 FL    , x  c

 
LR  x; c, ,    
F  x  c , x  c
R


   
Ở đây: FL  x  và FR  x  là các hàm số giảm và đơn điệu trên đoạn  0,  với

FL  0   FR  0  1 và lim FL ( x)  lim FR ( x)  0 .
x

x

* Một số hàm thuộc hai chiều

Hàm thuộc hai chiều là hàm có hai đầu vào. Cách cơ bản để mở rộng hàm thuộc
một chiều thành hàm hai chiều là thông qua mở rộng trụ (cylindrical extension), được
định nghĩa như sau:
+ Định nghĩa 1.7: Mở rộng trụ của hàm thuộc một chiều
Nếu A là tập mờ trong X, khi đó mở rộng trụ của A trong X  Y là tập mờ C(A)
được định nghĩa:

C ( A)  

X Y

 A ( x) ( x, y)

Hình 1.2 dưới đây minh họa mở rộng trụ của tập mờ A.

Hình 1.2: (a) Tập mờ cơ sở A; (b) Mở rộng trụ C(A) của A.
+ Định nghĩa 1.8: Các phép chiếu của tập mờ
Cho R là tập mờ hai chiều trên X  Y . Khi đó các phép chiếu trên X và Y được
định nghĩa tương ứng:

R X   max  R ( x, y) x
y

X

5


Hình 1.3: (a) Tập mờ hai chiều R; (b) RX (chiếu của R trên X); (c) RY
(chiếu của R trên Y)

Nói chung, hàm thuộc hai chiều được chia thành hai nhóm: kết hợp và khơng kết
hợp. Nếu hàm thuộc hai chiều có thể được biểu diễn thơng qua hai hàm thuộc một chiều
thì khi đó nó thuộc nhóm kết hợp. Ngược lại thì là nhóm khơng kết hợp.
Ví dụ: Hàm thuộc hai chiều thuộc nhóm kết hợp và khơng kết hợp
Giả sử tập mờ A = “(x, y) is near (3, 4)” được định nghĩa bởi:

  x  3 2

2
 A ( x, y )  exp  
   y  4 
  2 

Đây là hàm thuộc hai chiều thuộc nhóm kết hợp. Do vậy nó có thể được phân tích
thành hai hàm thuộc một chiều như sau:

  x  3 2 
  y  4 3 
 A ( x, y)  exp  
  exp  
 
  2  
  1  

 gaussian( x;3,2) gaussian( y;4,1)
Với cách tách như trên thì bây giờ ta có thể biểu diễn tập mờ A như là sự kết nối
giữa hai câu lệnh “x is near 3 AND y is near 4”. Ở đây câu lệnh đầu tiên được định
nghĩa: near 3  x   gaussian(x;3,2)
Câu lệnh thứ hai được định nghĩa: near 4  x   gaussian(x;4,1) .Và tích giữa hai
hàm thuộc trên được định nghĩa như là toán tử AND giữa câu lệnh.

Một loại hàm thuộc hai chiều khác là khơng kết hợp, ví dụ như tập mờ sau đây:

 A  x, y  

1
1 x  3 y  4

2.5

Thuộc loại không kết hợp.
1.1.2. Tập mờ loại hai
* Các định nghĩa cơ bản
- Các định nghĩa cơ bản của tập mờ loại hai
Trong phần này, chúng ta định nghĩa tập mờ loại hai và một số khái niệm quan
trọng. Khoảng mờ của hàm thuộc loại một được vẽ trong hình 1.4(a) bằng cách di chuyển
các điểm trên tam giác hoặc tới bên trái hoặc tới bên phải, và khơng cần thiết phải có số

6


lượng các điểm giống nhau, như hình 1.4(b). Sau đó, ở một giá trị rõ x ta gọi là x’, nó
khơng cịn là giá trị đơn cho hàm thuộc u’, thay thế vào đó hàm thuộc nhận các giá trị ở
bất kỳ đâu trên đường thẳng giao với vùng mờ. Các giá trị này khơng nhất thiết phải có
các trọng số giống nhau. Vì vậy chúng ta có thể chỉ định các biên phân bố đến tất các
điểm đó. Để làm như vậy với tất cả các điểm x  X . Chúng ta tạo ra một hàm thuộc 3
chiều (hay gọi là hàm thuộc loại hai) là đặc trưng cho tập mờ loại hai (hình 1.5).

Hình 1.4: (a) Hàm thuộc loại một và (b) Hàm thuộc loại một được
mờ hóa

Hình 1.5: Minh họa hàm thuộc loại hai
+ Định nghĩa 1.9: Một tập mờ loại hai, ký hiệu là A , được đặc trưng bởi hàm thuộc
loại hai  A ( x, u ) , trong đó x  X và u  J x  [0,1] , …

A  {(( x, u),  A ( x, u)) | x  X , u  J x  [0,1]}

(1.1)

Trong đó: 0   A ( x, u)  1.
Hoặc A cũng có thể được miêu tả như sau:

A

 

xX uJ x

A

( x, u ) / ( x, u ) J x  [0,1]
7

(1.2


Trong đó



ký hiệu hợp của tất cả các giá trị có thể có của x và u. Trong cơng

thức trên nếu tập nền X là rời rạc thì



sẽ được thay thế bằng  .

Trong công thức (1.1), ràng buộc đầu tiên là u  J x  [0,1] phù hợp với ràng
buộc loại một đó là 0   A ( x, u)  1, …, khi thông tin không chắc chắn khơng xuất hiện
trong hàm thuộc loại hai thì chúng ta sẽ có hàm thuộc loại một, khi đó biến u sẽ bằng
 A ( x, u) và 0   A ( x, u)  1, chiều thứ ba sẽ không xuất hiện. Giới hạn thứ hai

0   A ( x, u)  1 phù hợp với thực tế  A ( x, u ) luôn nằm trong đoạn [0,1].

+ Định nghĩa 1.10: Với mỗi giá trị của x, tại x = x’, mặt phẳng 2D mà có hai trục là u
và  A ( x ', u ) được gọi là nhát cắt đứng (vertical slice) của  A ( x, u ) . Một hàm thuộc phụ
(secondary membership function) là một nhát cắt đứng của  A ( x, u ) . Nó chính là
 A ( x, u) tại x = x’, hay

 A ( x  x ', u) với x  X và u  J x  [0,1] .
 A ( x  x ', u )   A ( x ') 



f x ' (u ) / u

J x '  [0,1]

(1.3)

uJ x

Trong đó 0  f x ' (u)  1 . Bởi vì x '  X , chúng ta bỏ dấu phẩy trong ký hiệu  A ( x ')
ta sẽ có  A ( x) là hàm phụ, đó chính là tập mờ loại một, tập mà chúng ta tham chiếu tới
như là tập phụ (secondary set)
Chúng ta có thể viết lại A theo các nhát cắt đứng như sau:

A  {( x,  A ( x)) | x  X }

(1.4)

Hoặc

A



xX

A

( x) / x 



xX



  f x (u ) / u  x

uJ


J x  [0,1]

(1.5)

x

+ Định nghĩa 1.11: Miền của hàm thuộc phụ được gọi là hàm thuộc chính (primary
membership) của x. Trong (1.5) J x là hàm thuộc chính của x, trong đó J x  [0,1] với
x  X .
- Các phép toán cơ bản trên tập mờ loại hai
+ Hợp của hai tập mờ loại hai
A  B   AB ( x) 

 

f x (u )  g x (w) / v

uJ xu wJ xw

  A ( x)

 B ( x)

x  X

Trong đó v= u  w và  ký hiệu là phép toán max t-conorm. Ký hiệu  là phép tốn
min hay tích t-norm.

là ký hiệu của phép toán Join.
+ Giao của hai tập mờ loại hai

8


 

A  B   AB ( x) 

uJ xu

f x (u )  g x (w) / v   A ( x)  B ( x)

x  X

wJ xw

Trong đó v = u  w ,  là ký hiệu của toán tử min hay toán tử nhân.  là ký hiệu
của phép toán Meet.
+ Phần bù của tập mờ loại hai
Phần bù của tập mờ loại hai được miêu tả như sau:
 A ( x) 



f x (u ) / (1  u )   A ( x)

x X

uJ xu

Trong đó  là phép tốn phủ định. Trong tính tốn, với mỗi x  X , phần bù của
hàm thuộc chính của tập mờ loại hai sẽ là 1- u, với độ thuộc phụ là f x (u ) .
1.1.3. Mơ hình hóa bài tốn
Phân đoạn ảnh giữ một vai trò rất quan trọng trong nhiều ứng dụng như các bài
toán nhận dạng hay các bài toán xử lý ảnh. Phân đoạn ảnh là một bước cơ bản để có thể
thực hiện việc phân tích các ảnh thu được. Một cách tổng quát, phân đoạn ảnh được định
nghĩa như việc chia hình ảnh thành các đối tượng độc lập với nhau dựa trên các đặc tính
của ảnh như mức xám hay kết cấu của ảnh. Có rất nhiều các thuật tốn phân đoạn ảnh
được đề xuất, chúng ta có thể chia ra làm 4 loại sau đây:
- Phương pháp cơ bản: Phân ngưỡng, phát triển vùng, tách biên…
- Phương pháp thống kê: Maximum Likelihood Classifier (MLC)…
- Phương pháp dựa trên mạng Neural.
- Phương pháp dựa trên logic mờ (Fuzzy Clustering).
Chúng ta sẽ tập trung vào phương pháp trên logic mờ dựa trên mơ hình phân cụm
mờ Fuzzy C-means (FCM)
Phân lớp Fuzzy C-Means (FCM) là một trong những phương pháp được ứng dụng
rộng rãi nhất trong Logic mờ. Được đưa ra bởi Bezdek bằng cách mở rộng thuật toán
Dunn năm 1973, FCM là một trong những thuật toán hiệu quả trong bài toán phân lớp
và đặc biệt là trong các bài toán phân đoạn ảnh. Như vậy, bài toán phân lớp sẽ dẫn đến
việc giải bài toán xác định giá trị min của tổng khoảng cách của các điểm ảnh đến tâm
của mỗi phân đoạn trên miền đặc trưng của ảnh.
Giả sử rằng X:= {x1, x2, ..., xn} định nghĩa tập các điểm ảnh của một ảnh cần phải
phân thành c (0diễn các đặc tính của điểm ảnh. Trong các ảnh thông thường, chúng ta thường hay xét
đến giá trị mức xám, giá trị màu RGB của các điểm ảnh.

uik cxn trong đó mỗi phần

Xét ma trận phân lớp mờ (Fuzzy Partition Matrix) U 

tử uik chỉ ra khả năng thuộc phân lớp i của một điểm ảnh xk . Khi đó, bài tốn phân lớp
chính là tối ưu hố hàm mục tiêu:
n

c

J m U ,V    uikm xk  vi
k 1 i 1

9

2


Trong đó ||.|| chính là giá trị chuẩn Euclidean trên không gian tương ứng và ma trận
V biểu diễn tập hợp các điểm tâm của các phân lớp trong không gian này còn tham số
m được gọi là tham số mờ của các tập dữ liệu. Khi đó, mơ hình của bài toán phân đoạn
ảnh được biểu diễn:
n
c

2
J
U
,
V

uikm xk  vi




 m

k 1 i 1

c
u  [0,1], k  1..n, i  1..c, u  1

ik
 ik
i 1

10


1.2. Tổng quan về phân đoạn ảnh
1.2.1. Giới thiệu
Phân vùng ảnh là bước then chốt trong xử lý ảnh. Giai đoạn này nhằm phân tích
ảnh thành những thành phần có cùng tính chất nào đó dựa theo biên hay các vùng liên
thông. Tiêu chuẩn để xác định các vùng liên thơng có thể là cùng mức xám, cùng màu
hay cùng độ nhám... Trước hết cần làm rõ khái niệm "vùng ảnh" (Segment) và đặc điểm
vật lý của vùng. Vùng ảnh là một chi tiết, một thực thể trơng tồn cảnh. Nó là một tập
hợp các điểm có cùng hoặc gần cùng một tính chất nào đó: Mức xám, mức màu, độ
nhám… Vùng ảnh là một trong hai thuộc tính của ảnh. Nói đến vùng ảnh là nói đến tính
chất bề mặt. Đường bao quanh một vùng ảnh (Boundary) là biên ảnh. Các điểm trong
một vùng ảnh có độ biến thiên giá trị mức xám tương đối đồng đều hay tính kết cấu
tương đồng.
Vùng ảnh là tập hợp các điểm ảnh có thuộc tính tương tự. Ta có thể xem một ảnh

X chính là một tập các điểm ảnh pi, ký hiệu X= { pi }, i∈ [1, N.M], với N.M là kích
thước của hình ảnh. Như vậy, phân vùng ảnh là quá trình tìm các tập con Ri ={ tập các
điểm ảnh có thuộc tính tương tự} của các vùng ảnh sao cho:
UKi=1 Ri = X và Ri ∩ Rj, ∀i≠ j, i, j = 1…K, với K là số vùng của ảnh X.
Phân vùng ảnh là quá trình xử lý một ảnh số thành một tập các vùng, mỗi vùng
là một tập hợp các điểm ảnh. Chính xác hơn, phân vùng ảnh là quá trình gán nhãn cho
mỗi điểm ảnh trong ảnh sao cho các điểm ảnh có các thuộc tính tương tự nhau thì có
cùng một nhãn. Đường bao quanh một vùng ảnh được gọi là đường biên.
Cơ sở toán học ở đây là chỉ tiêu phân vùng dựa trên độ đo sự tương tự giữa các
thuộc tính. Thuộc tính quan trọng là thuộc tính biên độ của hàm độ sáng.

a) Ảnh gốc

b) Kết quả sau khi phân vùng

Hình 1.6: Ví dụ về phân vùng ảnh

11


1.2.2. Các phương pháp tiếp cận
Dựa vào đặc tính vật lý của ảnh, người ta có nhiều kỹ thuật phân vùng: Phân vùng
dựa theo miền liên thông gọi là phân vùng dựa theo miền đồng nhất hay miền kề; phân
vùng dựa vào biên gọi là phân vùng biên. Ngoài ra cịn có các kỹ thuật phân vùng khác
dựa vào biên độ, phân vùng dựa theo kết cấu. Phương pháp phân vùng ảnh được chia
thành hai hướng:
- Phương pháp phân vùng trực tiếp: (phân vùng dựa trên độ tương tự về thuộc tính):
Có nhiều phương pháp phân vùng ảnh như phân vùng ảnh dựa vào ngưỡng biên
bộ, phân vùng dựa theo miền liên thơng hay cịn gọi là phân vùng dựa theo miền đồng
nhất hoặc là phân vùng miền liền kề, có thể liệt kê các phương pháp như sau:

+ Phân vùng ảnh theo ngưỡng biên độ
+ Phân lớp điểm ảnh
+ Phân vùng dựa trên cấu trúc đồ thị
+ Phân vùng dựa trên xử lý đa phân giải
+ Phân vùng dựa trên phân tích kết cấu
+ Phân vùng dựa vào phát hiện đối tượng trong ảnh
+ Phương pháp cấu trúc
- Phương pháp phân vùng gián tiếp: (Phân vùng dựa trên tách biên).
Phân vùng dựa trên tách biên. Hay nói một cách khác, phân vùng ảnh và đường
biên có tính chất đối ngẫu, nếu như ta phát hiện được đường biên thì dựa vào biên có
thể xác định vùng ảnh hoặc nếu như ta phân vùng ảnh thì đường bao quanh vùng ảnh đó
được gọi là đường biên. Ngồi ra cịn có các phương pháp phân vùng khác như phân
vùng ảnh sử dụng bộ lọc tối ưu; phân vùng ảnh thông qua biểu diễn bề mặt.
Việc phân vùng ảnh dựa vào đường biên thì có ưu điểm nhanh, đơn giản. Ngồi
ra phân vùng ảnh dựa vào ngưỡng biên bộ thì rất nhạy cảm với nhiễu. Đối với các loại
ảnh tự nhiên thì đường biểu diễn biên của các vùng rất phức tạp (đường răng cưa). Chính
vì thế phương pháp dựa vào ngưỡng không hiệu quả trong phân vùng những loại ảnh
này. Thông thường, kỹ thuật phân ngưỡng theo biên độ rất có lợi đối với ảnh nhị phân
như văn bản in, đồ họa, ảnh màu hay ảnh X-quang. Việc chọn ngưỡng rất quan trọng và
bao gồm nhiều bước. Như vậy, có thể dùng ngưỡng biên độ để phân vùng khi biên độ
đủ lớn.
* Phân vùng ảnh theo ngưỡng biên độ
Các đặc tính đơn giản, cần thiết nhất của ảnh là biên độ và các tính chất vật lý
như: Độ tương phản, độ truyền sáng, màu sắc hoặc đáp ứng phổ. Như vậy, có thể dùng
ngưỡng biên độ để phân vùng khi biên độ đủ lớn đặc trưng cho ảnh. Ví dụ, biên độ trong
bộ cảm biến ảnh hồng ngoại có thể phản ánh vùng có nhiệt độ thấp hay vùng có nhiệt
độ cao. Kỹ thuật phân ngưỡng theo biên độ rất có lợi đối vớ ảnh nhị phân như văn bản
in, đồ họa, ảnh màu hay ảnh X-quang. Việc chọn ngưỡng rất quan trọng. Nó bao gồm
các bước:

12


- Xem xét lược đồ xám của ảnh để xác định các đỉnh và các khe. Nếu ảnh dạng rắn
lượn (nhiều đỉnh và khe), các khe có thể dùng để chọn ngưỡng.
- Chọn ngưỡng t sao cho một phần xác định trước η của toàn bộ số mẫu là thấp
hơn t.
- Điều chỉnh ngưỡng dựa trên lược đồ xám của các điểm lân cận.
- Chọn ngưỡng theo lược đồ xám của nhữg điểm thỏa mãn tiêu chuẩn chọn. Ví dụ,
với ảnh có độ tương phản thấp, lược đồ của những điểm có biên độ Laplace g(m,n) lớn
hơn giá trị t định trước (sao cho từ 5% đến 10% số điểm ảnh với Gradient lớn nhất sẽ
coi như biên) sẽ cho phép xác định các đặc tính ảnh lưỡng cực tốt hơn ảnh gốc.
- Khi có mơ hình phân lớp xác suất, việc xác định ngưỡng dựa vào tiêu chuẩn xác
suất nhằm cực tiểu xác suất sai số hoặc dựa vào một số tính chất khác của luật Bayes.
- Để hiểu rõ hơn nguyên tắc phân vùng dựa vào ngưỡng biên độ, xét thí dụ sau:

Hình 1.7: Minh họa cách chọn ngưỡng
Giả sử ảnh có lược đồ xám như Hình 1.7, chọn các ngưỡng như hình trên với:
T0 =Lmin,…,T4=Lmax. Ta có 5 ngưỡng và phân ảnh thành 4 vùng, ký hiệu Ck là
vùng thứ k của ảnh, với k=1,2,3,4. Thì ta sẽ có được cách phân vùng theo nguyên tắc
như sau:
P(m,n) ∈ Ck nếu Tk-1 ≤ P(m,n) < Tk, k=1,2,3,4.
Khi phân vùng xong, nếu ảnh rõ nét thì việc phân vùng coi như kết thúc. Nếu
không, cần điều chỉnh ngưỡng.
* Phân vùng theo miền đồng nhất
Kỹ thuật phân vùng ảnh thành các miền đồng nhất dựa vào các tính chất quan
trọng nào đó của miền ảnh. Việc lựa chọn các tính chất của miền sẽ xác định tiêu chuẩn
phân vùng. Tính đồng nhất của một miền ảnh là điểm chủ yếu xác định tính hiệu quả
của việc phân vùng. Các tiêu chuẩn hay được dùng là sự thuần nhất về mức xám, màu
sắc đối với ảnh màu, kết cấu sợi và chuyển động.

Các phương pháp phân vùng ảnh theo miền đồng nhất thường áp dụng là:
- Phương pháp tách cây tứ phân
- Phương pháp cục bộ

13


- Phương pháp tổng hợp
a) Phương pháp tách cây tứ phân
Về nguyên tắc, phương pháp này kiểm tra tính đúng đắn của tiêu chuẩn đề ra một
cách tổng thể trên miền lớn của ảnh. Nếu tiêu chuẩn được thỏa mãn, việc phân đoạn coi
như kết thúc. Trong trường hợp ngược lại, chia miền đang xét thành 4 miền nhỏ hơn.
Với mỗi miền nhỏ, áp dụng một cách đệ quy phương pháp trên cho đến khi tất cả các
miền đều thỏa mãn điều kiện.
Phương pháp này có thể mơ tả như sau:
Procedure PhanDoan(Mien)
Begin
If miền đang xét không thõa mãn then
Begin
Chia miền đang xét thành 4 miền: Z1, Z2, Z3, Z4
For i=1 to 4 do PhanDoan (Zi)
End
Else exit
End.
Tiêu chuẩn xét miền đồng nhất ở đây có thể dựa vào mức xám. Ngồi ra, có thể
dựa vào độ lệch chuẩn hay độ chênh giữa giá trị mức xám lớn nhất và giá trị mức xám
nhỏ nhất.
Giả sử Max và Min là giá trị mức xám lớn nhất và nhỏ nhất trong miền đang xét.
Nếu:|Max – Min| < T (ngưỡng) ta coi miền đang xét là đồng nhất. Trường hợp ngược
lại, miền đang xét không là miền đồng nhất và sẽ được chia làm 4 phần.

14


Thuật toán kiểm tra tiêu chuẩn dựa vào độ chênh lệch max, min được viết:
Function Examin_Criteria(I, N1, M1, N2, M2, T)
/* Giả thiết ảnh có tối đa 255 mức xám. (N1, M1), (N2, M2) là tọa độ điểm đầu
và điểm cuối của miền; T là ngưỡng. */
Begin
1. Max=0 ; Min=255
2. For i = N1 to N2 do
If I[i,j] < Min Then Min=I[i,j] ;
If I[i,j] < Max Then Max=I[i,j] ;
3. If ABS(Max–Min)Else Examin_Criteria=1 ;
End.
Nếu hàm trả về giá trị 0, có nghĩa vùng đang xét là đồng nhất, nếu khơng thì
khơng đồng nhất. Trong giải thuật trên, khi miền là đồng nhất cần tính lại giá trị trung
bình và cập nhật lại ảnh đầu ra. Giá trị trung bình được tính bởi:
Tổng giá trị mức xám / tổng số điểm ảnh trong vùng
Thuật toán này tạo nên một cây mà mỗi nút cha có 4 nút con ở mọi mức trừ mức
ngồi cùng. Vì thế, cây này có tên là cây tứ phân. Cây cho ta hình ảnh rõ nét về cấu trúc
phân cấp của các vùng tương ứng với tiêu chuẩn.
Một vùng thõa mãn điều kiện sẽ tạo nên một nút lá; nếu khơng nó sẽ tạo nên một
nút trong và 4 nút con tương ứng. Tiếp tục như vậy cho đến khi phân chia xong để đạt
các vùng đồng nhất.
b) Phân vùng ảnh dựa vào phát triển vùng cục bộ.
Ý tưởng của phương pháp là xét ảnh từ các miền nhỏ nhất rồi nối chúng lại nếu
thỏa mãn tiêu chuẩn để được một miền đồng nhất lớn hơn. Tiếp tục với các miền thu
được cho đến khi khơng thể nối thêm được nữa. Số miền cịn lại cho ta kết quả phân

đoạn. Như vậy, miền nhỏ nhất của bước xuất phát là điểm ảnh. Phương pháp này hoàn
toàn ngược với phương pháp tách. Song điều quan trọng ở đây là nguyên lý nối 2 vùng.
Việc nối 2 vùng được thực hiện theo nguyên tắc sau:
- Hai vùng phải đáp ứng tiêu chuẩn, thí dụ như cùng màu hay cùng mức xám.
- Hai vùng phải kế cận nhau.

15


Khái niệm kế cận: Trong xử lý ảnh, người ta dùng khái niệm liên thơng để xác
định tính chất kế cận. Có hai khái niệm về liên thơng là 4 liên thông và 8 liên thông. Với
4 liên thông một điểm ảnh I(x,y) sẽ có 4 kế cận theo 2 hướng x và y ; trong khi đó với 8
liên thơng, điểm I(x,y) sẽ có 4 liên thơng theo 2 hướng x, y và 4 liên thông khác theo
hướng chéo 450.

(a) 4 liên thơng

(b) 8 liên thơng

Hình 1.8: Khái niệm 4 liên thông và 8 liên thông
Dựa theo nguyên lý của phương pháp nối, ta có 2 thuật tốn:
- Thuật tốn tơ màu (Blob Coloring): Sử dụng khái niệm 4 liên thông, dùng một
cửa sổ di chuyển trên ảnh để so sánh với tiêu chuẩn nối.
- Thuật toán đệ quy cực bộ: Sử dụng phương pháp tìm kiếm trong một cây để
làm tăng kích thước vùng.
* Phân vùng ảnh dựa trên phân tích kết cấu
Kết cấu thường được nhận biết trên bề mặt của các đối tượng như gỗ, cát, vải…
Kết cấu là thuật ngữ phản ánh sự lặp lại của các phân tử mẩu kết cấu cơ bản. Sự lặp lại
có thể ngẫu nhiên hay có tính chu kỳ hoặc gần chu kỳ. Một mẫu kết cấu chứa rất nhiều
điểm ảnh. Trong phân tích ảnh, kết cấu được chia làm hai loại chính là: Loại thống kê

và lọa cấu trúc.
- Phương pháp thống kê
Tính kết cấu ngẫu nhiên rất phù hợp với các đặc trưng thống kê. Vậy, người ta
có thể dùng các đặc trưng ngẫu nhiên để đo nó như: Hàm tự tương quan
(AutoCorrelation Function- ACF), các biến đổi mật độ giờ, ma trận tương tranh,… Theo
cách tiếp cận bằng hàm tự tương quan, độ thô của kết cấu sợi tỉ lệ vớ độ rộng của ACF,
được biểu diễn bởi khoảng cách x0, y0 sao cho r(x0,0) = r(0,y0) = 1. Người ta cũng
dùng cách đo nhánh của ACF nhờ hàm khởi sinh moment:

M(k, l) = ∑𝑛 ∑𝑚(n – 𝜇1)k (m – 𝜇2)r(n,m)
Với 𝜇1 = ∑𝑛 ∑ 𝑛.r(n,m) và 𝜇2 = ∑𝑛 ∑ 𝑚.r(n,m)

16


Các đặc trưng của kết cấu sợi như độ thô, độ mịn hay hướng có thể ước lượng
nhờ các biến đổi ảnh bằng kỹ thuật lọc tuyến tính. Một mơ hình đơn giản trong trường
hợp ngẫu nhiên cho việc phân tích tính kết cấu được mơ tả trong hình dưới đây:

Hình 1.9: Phân tích kết cấu bằng dải tương quan
Trong mơ hình này, trường kết cấu sợi trước tiên được giải chập bởi bộ lọc lấy
từ đầu ra của ACF. Như vậy, Như vậy, nếu r(m,n) là ACF thì u(n, m)  a(n, m) = ε(n,
m) là trường ngẫu nhiên không tương quan.
Các đặc trưng của lược đồ bậc một của ε(n, m) chẳng hạn như trung bình m1, độ
phân tán √𝜇2 cũng hay được sử dụng. Ngoài các đặc trưng trên, có thể đưa thêm một
số khái niệm và định nghĩa các đại lượng dựa trên đó như: Lược đồ mức xám (Histogram
Grey Level Difference), ma trận xuất hiện mức xám.
- Tiếp cận theo tính kết cấu
Khi đối tượng xuất hiện trên một nền có tính kết cấu cao, việc phân đoạn dựa vào
tính kết cấu trở nên quan trọng. Nguyên nhân là kết cấu sợi thường chứa mật độ cao các

gờ (edge) làm cho phân đoạn theo biên kém hiệu quả, trừ khi ta loại tính kết cấu. Việc
phân đoạn dựa vào miền đồng nhất cũng có thể áp dụng cho các đặc trưng kết cấu và có
thể dùng để phân đoạn các miền có tính kết cấu.
Nhìn chung, việc phân loại và phân vùng dựa vào kết cấu là một vấn đề phức tạp.

17


* Phân vùng ảnh dựa trên sự phân lớp điểm ảnh
- Mơ hình bài tốn:
Cho ảnh X ={pi}, i ∈ [1,N.M], với N là chiều rộng của ảnh và M là chiều cao của
ảnh, pi là điểm ảnh thứ I và A(pi) là thuộc tính của pi. Đối tượng phân lớp ở đây là các
Pi.
Phân vùng ảnh X chính là phân lớp tập X thành các lớp Ci sao cho từ Ci phát triển thành
các vùng Ri. Chỉ tiêu phân lớp ở đây chính là độ đồng đều về thuộc tính của các điểm ảnh.
Q trình phân lớp có thể sử dụng các phương pháp học máy và quyết định phân lớp.
- Phân lớp điểm ảnh trong không gian thuộc tính một chiều.
Thuật tốn ISODATA trong phân vùng ảnh:
Đầu vào: X={pi}, i[1,N.M], A(pi) là giá trị mức xám của pi.
Đầu ra: Số vùng ảnh
Phương pháp:
Bước 1. Khởi tạo: (t=0)
+ Đoán nhận số vùng K (số lớp) trên cơ sở lược đồ phân bố mức xám (histogram).
Trong đó lmin là giá trị mức xám thấp nhất và lmax là mức xám giá trị cao nhất của ảnh X.
+ Chọn các giá trị ngưỡng ban đầu của các lớp theo nguyên tắc sau:
lmax−lmin

T0=lmin, Tk=lmax và Ti(t)= i.

𝑘

+ T0, với i=1…K-1

Bước 2. Lặp
+ Thực hiện phân lớp điểm theo các ngưỡng Ti(t-1)
Pi∈Ck nếu Ti(t-1) ≤A(pi)≤Ti+1(t-l), ∀k∈[l,k]
+ Tính giá trị trung bình của mỗi lớp tại điểm t

+ Tính lại các giá trị ngưỡng giữa các lớp theo quan hệ sau:

18


+ Kiểm tra điều kiện lặp
Nếu mi(t)≈mi(t-1) thì dừng.
Bước 3. Phân lớp các lớp Ck theo các Ti, i=1…K-1 đã ổn định.
Hình thành các vùng Rk từ các lớp Ck. Gán nhãn các vùng theo giá trị trung bình
của lớp và hiển thị ảnh các vùng đã phân bố.
* Phân vùng dựa vào lý thuyết đồ thị
Trong thời gian gần đây, các nhà nghiên cứu đã đưa ra một số phương pháp phân
vùng dựa trên những hướng tiếp cận mới, trong đó có hướng tiếp cận phân vùng dựa
trên đồ thị. Đối với phương pháp này, hình ảnh sẽ được mô tả như một đồ thị với các
đỉnh của đồ thị là các điểm ảnh và các cạnh trên đồ thị nối các điểm ảnh lân cận với
nhau.
- Biểu diễn ảnh như là một đồ thị
Kỹ thuật phân vùng ảnh dựa trên lý thuyết đồ thị biểu diễn ảnh như là một
đồ thị G = (V, E). Trong đó, V là tập hợp các đỉnh và E là tập hợp các cạnh của đồ thị.
Mỗi đỉnh vi ∈ V tương ứng với các điểm ảnh và các cạnh (vi,vj) ∈ E tương ứng
là cạnh kết nối các cặp điểm ảnh lân cận. Mỗi cạnh (vi,vj) ∈ E có một trọng số
tương ứng là sự khác nhau về màu sắc, cường độ giữa hai điểm ảnh lân cận vi, vj và

được ký hiệu là w(vi,vj).

V: Tập đỉnh

Ảnh = {Điểm ảnh}

E: Tập các cạnh kết nối

Điểm ảnh tương tự

Hình 1.10: Biểu diễn ảnh dưới dạng một đồ thị
+ Đỉnh liền kề
Hai đỉnh vi và vj của đồ thị G được gọi là kề nhau nếu (vi,vj) là cạnh của đồ thị G.
Nếu e = (vi, vj) là cạnh của đồ thị ta nói cạnh này nối đỉnh vi và đỉnh vj, đồng thời các
đỉnh vi và vj sẽ được gọi là các đỉnh đầu của cạnh (vi, vj). Khi đó, bậc deg(v) của đỉnh v
là số cạnh nối với nó. Đỉnh bậc 0 được gọi là đỉnh cơ lập, cịn đỉnh bậc 1 gọi là đỉnh
treo.

19


+ Đồ thị con và đồ thị riêng
Đồ thị G’ = (V’, E’) được gọi là đồ thị con của đồ thị G nếu V’⊆ V và E’= E ∩ (V’ ×
V’).
Đồ thị G”= (V, E”) vớ E” ⊆ E, được gọi là đồ thị riêng của đồ thị G.
Mỗi tập con các đỉnh V’ của đồ thị tương ứng duy nhất với một đồ thị con, do
vậy để xác định một đồ thị con ta chỉ cần nêu tập đỉnh của nó. Cịn đồ thị riêng là đồ thị
giữ nguyên tập đỉnh và bỏ bớt đi một số cạnh.

20

CHƯƠNG 2. KỸ THUẬT PHÂN CỤM DỮ LIỆU MỜ LOẠI MỘT
2.1. Tổng quan về phân cụm mờ
Trong cuộc sống, chúng ta đã gặp rất nhiều ứng dụng của bài toán phân cụm. Chẳng
hạn như bài toán phân loại kết quả học tập trong nhà trường hay bài toán đưa thư trong
ngành bưu điện… Đó chính là một ứng dụng của bài tốn phân cụm rõ.
Ta có thể định nghĩa bài toán phân cụm rõ như sau: Cho tập dữ liệu mẫu X, ta kiểm
tra các điểm dữ liệu xem nó giống với đặc điểm của nhóm nào nhất thì ta gán điểm dữ
liệu đó vào trong nhóm đó.
Ví dụ 2.1: Phân loại kết quả học tập X học sinh
Kết quả học tập DTB  5.0 : Xếp loại học sinh yếu.
Kết quả học tập 5.0  DTB  7.0 : Xếp loại học trung bình.
Kết quả học tập 7.0  DTB  8.0 : Xếp loại học sinh khá.
Kết quả học tập 8.0  DTB  9.0 : Xếp loại học sinh giỏi.
Kết quả học tập 9.0  DTB : Xếp loại học sinh xuất xắc.
Trong đó DTB là điểm trung bình của học sinh.
Nhưng trong thực tế khơng phải lúc nào bài toán phân cụm rõ cũng áp dụng được.
Ví dụ 2.2: Phân loại người cao - thấp với tiêu chuẩn sau: Những người cao khoảng
1.8m trở lên thì được xếp vào nhóm người cao ngược lại xếp vào nhóm người thấp. Vậy
những người cao 1.799m thì ta xếp vào nhóm người nào?
Vì vậy, chúng ta cần đưa vào khái niệm bài toán phân cụm mờ. Trong các phương
pháp phân cụm đã giới thiệu trong chương trước, mỗi phương pháp phân cụm phân
hoạch một tập dữ liệu ban đầu thành các cụm dữ liệu có tính tự nhiên và mỗi đối tượng
dữ liệu chỉ thuộc về một cụm dữ liệu, phương pháp này chỉ phù hợp với việc khám phá
ra các cụm có mật độ cao và rời nhau, với đường biên giữa các cụm được xác định tốt.
Tuy nhiên, trong thực tế, đường biên giữa các cụm có thể mờ, các cụm có thể chồng lên
nhau, nghĩa là một số các đối tượng dữ liệu thuộc về nhiều các cụm khác nhau, do đó
mơ hình này khơng mơ tả được dữ liệu thực. Vì vậy người ta đã áp dụng lý thuyết về
tập mờ trong PCDL để giải quyết cho trường hợp này. Cách thức kết hợp này được gọi

là Phân cụm mờ.
Phân cụm mờ là phương pháp phân cụm dữ liệu mà cho phép mỗi điểm dữ liệu
thuộc về hai hoặc nhiều cụm thông qua bậc thành viên. Ruspini (1969) giới thiệu khái
niệm phân hoạch mờ để mô tả cấu trúc cụm của tập dữ liệu và đề xuất một thuật tốn để
tính tốn tối ưu phân hoạch mờ. Dunn (1973) mở rộng phương pháp phân cụm và đã
phát triển thuật toán phân cụm mờ. Ý tưởng của thuật toán là xây đựng một phương
pháp phân cụm mờ dựa trên tối thiểu hóa hàm mục tiêu.

21


2.2. Thuật toán Fuzzy C-means (FCM)
2.2.1. Giới thiệu Fuzzy C-means
Nếu như K-means là thuật tốn PCDL rõ thì FCM là thuật toán phân cụm mờ
tương ứng, hai thuật toán này cùng sử dụng chung một chiến lược phân cụm dữ liệu.
Thuật tốn FCM đã được áp dụng thành cơng trong giải quyết một số lớn các bài toán
PCDL như trong nhận dạng mẫu (nhận dạng vân tay, ảnh), xử lý ảnh (phân tách các cụm
ảnh màu, cụm màu), y học (phân loại bệnh, phân loại triệu chứng), … Tuy nhiên, nhược
điểm lớn nhất của thuật toán FCM là tập dữ liệu lớn, tập dữ liệu nhiều chiều, nhạy cảm
với các nhiễu và phần tử ngoại lai trong dữliệu, nghĩalà các trung tâm cụm có thể nằm
xa so với trọng tâm thực của cụm.
này phân hoạch một tập n vectơ đối tượng dữ liệu
X  x1, x2 ,..., xn   R d thành c các nhóm mờ dựa trên tính tốn tối thiểu hóa hàm mục
tiêu để đo chất lượng của phân hoạch và tìm trọng tâm cụm trong mỗi nhóm, sao cho
chi phí hàm đo độ phi tương tự là nhỏ nhất. Một phân hoạch mờ vectơ điểm dữ liệu
X  x1, x2 ,..., xn   R d là đặc trưng đầu vào được biểu diễn bởi ma trận U  uik  sao
cho điểm dữ liệu đã cho chỉ có thể thuộc về một số nhóm với bậc được xác định bởi
mức độ thuộc giữa [0, 1].
Kỹ

thuật

Như vậy, ma trận U được sử dụng để mô tả cấu trúc cụm của X bằng cách giải
thích uik như bậc thành viên xk với cụm i.
Cho u   u1 , u2 ,..., uc  là phân hoạch mờ C

U cxn

 u11
 
u
 c1

u1n 


ucn 

Dunn định nghĩa hàm mục tiêu mờ như sau:
n

c

J m (U , v)   uik (dik ) 2
k 1 i 1

Bezdek khái quát hóa hàm mục tiêu mờ bằng cách đưa ra trọng số mũ m  1 , là số
thực nào đó bất kỳ như sau:
n

c

J m (U , v)    uik  (dik )2 ,
m

1 m  

(2.1)

k 1 i 1

Trong đó:

X  x1, x2 ,..., xn   R d là nửa dưới vector mẫu dữ liệu tập con thực d chiều trong
không gian vector R d .

m 1,  là trọng số mũ hay còn gọi là tham số mờ.
vi  R d là trọng tâm của cụm thứ i
22


1/2

d

dik  d ( xk  vi )  xk  vi   ( xkj  vij )2 
 j 1


là khoảng cách theo thước đo Euclide giữa mẫu dữ liệu xk với trọng tâm cụm thứ

i, vi .

uik  0,1 là bậc hay độ thuộc của dữ liệu mẫu xk với cụm thứ i.
V  v ji   v1 ,..., vc   R dxc là ma trận biểu diễn các giá trị tâm của cụm.
Để thuận tiện, coi mảng đối tượng dữ liệu  x1 ,...., xn  là các cột trong ma trận đối

tượng dữ liệu X   x jk    x1,..., xn   Rdxc . Ma trận phân hoạch U được sử dụng để
mô tả cấu trúc cụm trong dữ liệu  x1 ,...., xn  .







 trong

+ Định nghĩa 2.1: Họ các tập mờ (u Ai , Ai ), i  1,2,..., c  A , i  1,2,..., c
~i

không gian vũ trụ X   x1 , x2 ,..., xn  được gọi là phân hoạch mờ của X nếu bậc của dữ
liệu mẫu thỏa mãn điều kiện:


0  u  1,
1  i  c,1  k  n
ik

n


1 i  c
0   uik  n,
k 1

 c
1 k  n
 uik  1,
 i 1

(2.2)

Dễ nhận thấy: A  A   tức là Min(uik , u jk )  0
~i

~ j

Như vậy mỗi phân hoạch mờ cũng có biểu diễn bằng một ma trận c hàng và n cột
để biểu diễn phân hoạch n đối tượng thành c cụm dữ liệu trong không gian R cxn được
viết gọn như sau:
c
n


M fcn  U  R cxn | i, k : uik  0,1;  uik  1;0   uik  n 
i 1
k 1



(2.3)

Rcxn là không gian của tất cả các ma trận thực cấp c  n .
Tập M fc có thể là tập vô hạn, tức là ta không thể xây dựng được cơng thức tính số
phương án phân hoạch M fc (M fc  ) .
Thông thường ta gọi bài tốn phân cụm mờ là bài tốn tìm các độ thuộc uij nhằm
tối thiểu hóa hàm mục tiêu (2.1) với các điều kiện sau:
+ Định lý 2.2: Nếu m và c là các tham số cố định, và Ik là một tập được định nghĩa như
sau:

23