ĐỒ ÁN PHƯƠNG TRÌNH ELIP

Kính chào các q thầy cơ
và các em học sinh thân mến !


Quan sát hình a) và b). Hãy trả lời các câu hỏi sau :


Quan sát hình a) và b). Hãy trả lời các câu hỏi sau :

Đối với hình a), hãy cho biết đường được đánh dấu bởi mũi tên có phải
đường trịn hay không ?


Quan sát hình a) và b). Hãy trả lời các câu hỏi sau :

Đối với hình a), hãy cho biết đường được đánh dấu bởi mũi tên có phải
đường trịn hay khơng ?
Khơng phải là đường trịn.


Đối với hình b) là bóng của một đường trịn trên một mặt phẳng. Bóng
của đường trịn đó có phải là một đường trịn hay khơng ?


Đối với hình b) là bóng của một đường trịn trên một mặt phẳng. Bóng
của đường trịn đó có phải là một đường trịn hay khơng ?
Khơng phải là một đường tròn.


Vậy nó là đường gì ? Phương trình của nó có dạng
như thế nào ? Hình dạng của nó ra sao ?

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
GVBM: NGUYỄN VĂN KHÁNH

Mơn
Lớp

:
:

Hình Học
10

Tổ : Tự nhiên

Ninh Hòa - Năm 2015

TTGDTX Ninh Hòa (Năm học 2014 - 2015)

Tiết 41 §3 : Phương trình đường Elip

Ninh Hịa - Năm 2015

5 / 25


Trên mặt phẳng cho hai điểm cố định A, B . Lấy điểm C không thuộc AB
sao cho : AC + BC> 2AB.

TTGDTX Ninh Hòa (Năm học 2014 - 2015)

Tiết 41 §3 : Phương trình đường Elip

Ninh Hịa - Năm 2015

6 / 25


Trên mặt phẳng cho hai điểm cố định A, B . Lấy điểm C không thuộc AB
sao cho : AC + BC> 2AB.
Khi di chuyển C thì vạch lên mặt phẳng một đường.

TTGDTX Ninh Hòa (Năm học 2014 - 2015)

Tiết 41 §3 : Phương trình đường Elip

Ninh Hịa - Năm 2015

6 / 25


Trên mặt phẳng cho hai điểm cố định A, B . Lấy điểm C không thuộc AB
sao cho : AC + BC> 2AB.
Khi di chuyển C thì vạch lên mặt phẳng một đường.
Người ta gọi đường này là một đường Elip.

TTGDTX Ninh Hịa (Năm học 2014 - 2015)

Tiết 41 §3 : Phương trình đường Elip

Ninh Hịa - Năm 2015

6 / 25


1. Định nghĩa đường Elip

TTGDTX Ninh Hòa (Năm học 2014 - 2015)

Tiết 41 §3 : Phương trình đường Elip

Ninh Hịa - Năm 2015

7 / 25


1. Định nghĩa đường Elip

Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1 F2 = 2c > 0. Tập hợp tất cả các điểm M
trong mặt phẳng sao cho : MF1 + MF2 = 2a (a : không đổi, a>c>0) gọi là
một Elip. Kí hiệu : (E).
Trong đó :
F1 , F2 : Tiêu điểm ;
F1 F2 : Tiêu cự ;
MF1 , MF2 : Bán kính qua tiêu của điểm M (M thuộc Elip).
TTGDTX Ninh Hòa (Năm học 2014 - 2015)

Tiết 41 §3 : Phương trình đường Elip

Ninh Hịa - Năm 2015

7 / 25


Vậy nó là đường gì ?


Vậy nó là đường gì ?

Nó là đường Elip.


Phương trình của nó có dạng như thế nào ?


2. Phương trình chính tắc của Elip

TTGDTX Ninh Hịa (Năm học 2014 - 2015)

Tiết 41 §3 : Phương trình đường Elip

Ninh Hòa - Năm 2015

10 / 25


2. Phương trình chính tắc của Elip

Cho (E) như định nghĩa. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O trùng với

trung điểm của F1 F2 . Trục Oy là đường trung trực của F1 F2 và F1 , F2 nằm
x2
y2
trên tia Ox. Khi đó M(x; y ) ∈ (E ) ⇔ 2 + 2 = 1 (b 2 = a2 − c 2 ) gọi là
a
b
phương trình chính tắc của Elip.
TTGDTX Ninh Hòa (Năm học 2014 - 2015)

Tiết 41 §3 : Phương trình đường Elip

Ninh Hịa - Năm 2015

10 / 25


Tọa độ F1 = (?; ?); F2 = (?; ?)

TTGDTX Ninh Hịa (Năm học 2014 - 2015)

Tiết 41 §3 : Phương trình đường Elip

Ninh Hịa - Năm 2015

11 / 25


Tọa độ F1 = (?; ?); F2 = (?; ?)

F1 = (−c; 0); F2 = (c; 0).

TTGDTX Ninh Hòa (Năm học 2014 - 2015)

Tiết 41 §3 : Phương trình đường Elip

Ninh Hòa - Năm 2015

11 / 25


x2 y2
Chứng minh M(x; y ) ∈ (E ) ⇔ 2 + 2 = 1
a
b

TTGDTX Ninh Hòa (Năm học 2014 - 2015)

Tiết 41 §3 : Phương trình đường Elip

Ninh Hịa - Năm 2015

12 / 25


x2 y2
Chứng minh M(x; y ) ∈ (E ) ⇔ 2 + 2 = 1
a
b
Ta có M(x; y ) ∈ (E ) ⇔ MF1 + MF2 = 2a

TTGDTX Ninh Hòa (Năm học 2014 - 2015)

(1) ;

Tiết 41 §3 : Phương trình đường Elip

Ninh Hịa - Năm 2015

12 / 25


x2 y2
Chứng minh M(x; y ) ∈ (E ) ⇔ 2 + 2 = 1
a
b
Ta có M(x; y ) ∈ (E ) ⇔ MF1 + MF2 = 2a (1) ;
−−→
F1 M 2 = (x + c)2 + y 2 (vì F1 M = (x + c; y )) (2) ;

TTGDTX Ninh Hịa (Năm học 2014 - 2015)

Tiết 41 §3 : Phương trình đường Elip

Ninh Hịa - Năm 2015

12 / 25


x2 y2
Chứng minh M(x; y ) ∈ (E ) ⇔ 2 + 2 = 1

a
b
Ta có M(x; y ) ∈ (E ) ⇔ MF1 + MF2 = 2a (1) ;
−−→
F1 M 2 = (x + c)2 + y 2 (vì F1 M = (x + c; y )) (2) ;
−−→
F2 M 2 = (x − c)2 + y 2 (vì F2 M = (x − c; y )) (3).

TTGDTX Ninh Hịa (Năm học 2014 - 2015)

Tiết 41 §3 : Phương trình đường Elip

Ninh Hịa - Năm 2015

12 / 25


x2 y2
Chứng minh M(x; y ) ∈ (E ) ⇔ 2 + 2 = 1
a
b
Ta có M(x; y ) ∈ (E ) ⇔ MF1 + MF2 = 2a (1) ;
−−→
F1 M 2 = (x + c)2 + y 2 (vì F1 M = (x + c; y )) (2) ;
−−→
F2 M 2 = (x − c)2 + y 2 (vì F2 M = (x − c; y )) (3).
Từ đó ta có F1 M 2 − F2 M 2 = (x + c)2 + y 2 − (x − c)2 + y 2
= x 2 + 2xc + c 2 + y 2 − x 2 + 2xc − c 2 − y 2 = 4xc (4)

TTGDTX Ninh Hòa (Năm học 2014 - 2015)

Tiết 41 §3 : Phương trình đường Elip

Ninh Hòa - Năm 2015

12 / 25