rèn luyện kỹ năng giải toán tô hợp, xác suất

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Hiện nay vấn đề đổi mới nội dung và chương trình SGK đang được
thực hiện một cách sâu rộng trên phạm vi toàn Quốc nhằm đáp ứng mục tiêu:
“Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao
động có tri thức và có tay nghề, có năng lực thực hành, tự chủ, năng động và
sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội”
(Văn kiện đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VII của Đảng cộng sản Việt Nam).
Nghị quyết số 40/2000/QH10, ngày 09 tháng 12 năm 2000 của Quốc
hội khoá X về đổi mới chương trình giáo dục phổ thông đã khẳng định: “Đảm
bảo sự thống nhất, kế thừa và phát triển của chương trình giáo dục; tăng
cường tính liên thông giữa giáo dục phổ thông với giáo dục nghề nghiệp, giáo
dục đại học; thực hiện phân luồng trong hệ thống giáo dục quốc dân để tạo sự
cân đối về nguồn nhân lực, ”
1.2. Trong sự phát triển của Toán học thì: “Động lực phát triển của
Toán học có hai nguồn cơ bản tồn tại một cách khách quan. Một là nguồn bên
ngoài do việc cần thiết phải dùng các phương tiện toán học để giải những bài
toán nằm ngoài phạm vi của Toán học, các bài toán của khoa học khác, của kĩ
thuật, kinh tế, ; chính đây là nguồn đầu tiên về mặt lịch sử. Nguồn thứ hai là
nguồn bên trong do việc cần thiết phải hệ thống hoá các sự kiện toán học đã
được khám phá, giải thích các mối quan hệ giữa chúng với nhau, hợp nhất
chúng lại bằng các quan niệm khái quát thành lí luận, phát triển lí luận đó theo
các quy luật bên trong của nó; chính nguồn này ở thời điểm của nó đã dẫn tới
chỗ tách toán học thành một khoa học” [22, tr. 17]
Tuy vậy “Khó có thể phát biểu một dấu hiệu phân biệt Toán học lí thuyết
với Toán học ứng dụng một cách tường minh và rạch ròi, bởi vì mọi ngành Toán
học, xét cho cùng, đều được xây dựng và phát triển nhằm giải quyết những vấn
1
đề nào đó của cuộc sống thực, tức là nhằm mục đích ứng dụng trực tiếp hay gián
tiếp. Trong lịch sử phát triển của toán học, có rất nhiều công trình nghiên cứu
hoặc thành tựu lúc đầu được coi là thuần tuý lí thuyết, về sau hoá ra lại là những

công cụ đầy hiệu lực trong các ngành Toán học ứng dụng” [31, tr. 232].
` 1.3. Trong nhà trường phổ thông việc tăng cường làm rõ mạnh Toán
ứng dụng và ứng dụng Toán học là góp phần thực hiện lí luận liên hệ với thực
tiễn, học đi đôi với hành, nhà trường gắn liền với đời sống. Bởi vì: “Xã hội
đòi hỏi người có học vấn hiện đại không chỉ có khả năng lấy ra từ trí nhớ các
tri thức dưới dạng có sẵn, đã lĩnh hội ở trường phổ thông mà còn phải có năng
lực chiếm lĩnh, sử dụng các tri thức mới một cách độc lập; khả năng đánh giá
các sự kiện, hiện tượng mới, các tư tưởng một cách thông minh, sáng suốt khi
gặp trong cuộc sống, trong lao động và trong quan hệ với mọi người” [50, tr.
5].
1.4. Xác suất thống kê là một ngành của toán học, nghiên cứu về các
hiện tượng ngẫu nhiên mang tính quy luật. Do đó ngành toán học này rất cần
thiết với đời sống con người, nhằm khám phá ra các quy luật của tự nhiên và xã
hội. Mặt khác, các vấn đề thuộc phương pháp và kĩ thuật tính toán về Lí thuyết tổ
hợp và Xác suất áp dụng rất nhiều trong khi giải quyết những bài toán thực tiễn
phức tạp của đời sống. Sau này, khi học sinh bước vào học các ngành nghề có sử
dụng những phương tiện và kĩ thuật của Toán học ứng dụng, học sinh sẽ còn
phải học tập và nghiên cứu thấu đáo về cơ sở lí thuyết của các ngành toán học
đó.
1.5. Chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong chương trình giải tích THPT là
chủ đề hoàn toàn mới trong đó xuất hiện rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu,
khái niệm mới. Vì vậy việc dạy và học chủ đề này đương nhiên sẽ chứa đựng
những khó khăn nhất định. Hơn nữa, người GV tốt nghiệp ĐHSP khi đã từng
2
được học Xác suất thống kê, nhưng có thể nhiều năm sau tốt nghiệp không
dùng đến, bởi vậy trong họ chỉ giữ lại một vài ấn tượng mơ hồ về Xác suất
thống kê. Trong khi đó những chủ đề khác, chẳng hạn như hàm số, phương
trình, bất phương trình, giới hạn, không rơi vào trường hợp như vậy.
Về Lí thuyết Xác suất, sẽ được đưa vào dạy trên toàn Quốc vào năm
học 2007-2008 trong chương trình Toán lớp 11. Nó cũng đã từng được dạy thí

điểm vào một số năm của thập niên 90 cho học sinh chuyên ban lớp 12 và
chương trình thí điểm phân ban hiện tại (Trong khi đó, ở nhiều nước trên thế
giới, Xác suất đã được dạy từ cấp THCS). Trong các kì thi mang tính chất
quyết định thì cho đến thời điểm hiện tại cũng chưa có những bài toán về Xác
suất. Ít ra thì phải từ kì thi năm 2009 mới có những bài về Xác suất. Điều này
trong một chừng mực nào đó cũng làm cho GV có sự coi nhẹ.
1.6. Thực tế cho thấy rằng việc giảng dạy toán Tổ hợp luôn là một dạng
toán khó đối với học sinh. Chẳng hạn, học sinh thường lúng túng không biết khi
nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp. Khi bắt tay vào giảng dạy Xác suất,
nhiều giáo viên chưa hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy phần này. Trong khi đó
không nhiều GV ý thức được sự cần thiết phải dạy Tổ hợp và Xác suất ở chương
trình phổ thông. Dường như đối với họ sự tuân thủ chương trình của bộ đề ra là
vấn đề quan trọng, còn vì sao chương trình phải có phần này thì họ không quan
tâm lắm. Để dạy, học Tổ hợp và Xác suất có hiệu quả, đòi hỏi người GV phải đề
ra được những biện pháp hợp lí về cách thức lựa chọn nội dung và phương pháp.
Trong lần thí điểm chuyên ban trước đây ở Việt Nam, cũng như trong
nhiều công trình nghiên cứu về khoa học giáo dục trên thế giới, đã xuất hiện
những phương án đưa Xác suất vào trường phổ thông. Tuy nhiên giữa các
nghiên cứu còn có sự sai khác nhất định, điều này nói lên rằng: Dạy những gì về
Tổ hợp và Xác suất, dạy để làm gì và dạy như thế nào? là những câu hỏi đã và
3
đang được nhiều người quan tâm. Tuy nhiên chưa có một phương án duy nhất tối
ưu.
Vì những lí do trên đây chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Nghiên
cứu một số vấn đề về mục đích, nội dung và phương pháp dạy học chủ đề
Tổ hợp và Xác suất trong môn Toán trường THPT”
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp và Xác suất được
trình bày trong một số SGK (những năm trước đây và hiện tại); đồng thời nghiên
cứu chủ đề này để đề xuất những vấn đề cơ bản thuộc về phương pháp dạy học.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Làm sáng tỏ vai trò của Xác suất thống kê với tư cách là khoa học
và môn học.
3.2. Phân tích cách trình bày của một số sách giáo khoa về phần Tổ hợp
và Xác suất và đưa ra những bình luận cần thiết.
3.3. Bước đầu làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm của học sinh
trong quá trình học chủ đề Tổ hợp và Xác suất.
3.4. Nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề cơ bản về phương pháp dạy
học chủ đề Tổ hợp và Xác suất
3.5. Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả
của những đề xuất.
4. Giả thuyết khoa học
Trên tinh thần tôn trọng nội dung SGK, nếu thực hiện sự điều chỉnh
một cách hợp lí về mặt nội dung và nếu đề ra những phương án phù hợp về
việc lựa chọn phương pháp dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất thì sẽ nâng
cao được hiệu quả dạy học chủ đề này.
4
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận
Điều tra, quan sát
Phương pháp thực nghiệm sư phạm
6. Cấu trúc luận văn
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Giả thuyết khoa học
5. Phương pháp nghiên cứu
Chương 1. Một số vấn đề về lí luận và thực tiễn của việc đưa chủ đề
Tổ hợp và Xác suất vào môn Toán trường phổ thông.

1.1. Sơ lược về đặc điểm cơ bản và vai trò của Lí thuyết xác suất (với tư
cách là khoa học).
1.2. Bàn về vai trò và ý nghĩa của việc đưa chủ đề Tổ hợp và Xác suất
vào môn Toán trường phổ thông.
1.3. Chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong chương trình Toán phổ thông ở
một số nước trên thế giới.
1.4. Tổ hợp và Xác suất trong chưong trình Toán phổ thông của Việt
Nam hiện tại và những năm vừa qua.
1.5. Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi học Tổ hợp và Xác suất.
1.6. Kết luận Chương 1.
Chương 2. Một số vấn đề về nội dung và phương pháp dạy, học chủ
đề Tổ hợp và Xác suất.
2.1. Nghiên cứu về mục đích dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác xuất
5
2.2. Một số vấn đề về nội dung và phương pháp dạy, học chủ đề Tổ hợp
và Xác suất.
2.3. Kết luận Chương 2.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm
Kết luận
Tài liệu tham khảo
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
CỦAVIỆC ĐƯA CHỦ ĐỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT VÀO MÔN
TOÁN
TRƯỜNG PHỔ THÔNG.
1.1.Sơ lược về đặc điểm cơ bản và vai trò của Lí thuyết Xác suất
(với tư cách là khoa học).

Ta biết rằng: “Giới tự nhiên, xã hội loài người và tư duy con người còn
rất nhiều điều bí ẩn mà con người, hoặc là hoàn toàn chưa biết gì, hoặc là chỉ
mới biết đến mức độ nào đó. Thuộc vào loại “chỉ mới biết đến một mức độ
nào đó” là các hiện tượng ngẫu nhiên đã được nghiên cứu. Đó là những hiện
tượng xảy ra mà con người không thể dự báo chính xác được do không nắm
hết được các quy luật tác động lên các hiện tượng đó. Như vậy ẩn đằng sau cái
“ngẫu nhiên” là cái “tất nhiên” mà con người chưa nhận thức hết được. Cùng
với sự phát triển của khoa học, có cái “ngẫu nhiên” trở thành “tất nhiên”” [56,
tr. 109].
1.1.1. Đặc điểm cơ bản của Lí thuyết xác suất.
6
Trong mối liên hệ biện chứng với thực tiễn. Thống kê toán và Lí thuyết
xác suất đã nảy sinh và phát triển không ngừng. Đặc biệt là vào năm 1933
A.N.Kolmogorov đã đưa ra một hệ tiên đề để xây dựng Lí thuyết xác suất
thành một khoa học chính xác và trừu tượng. Với đối tượng nghiên cứu là các
quy luật thống kê - một trong hai loại quy luật của hiện thực khách quan: quy
luật động lực và quy luật thống kê.
Chúng ta hiểu: “Quy luật thống kê là quy luật xuất hiện trên đám đông
các biến cố ngẫu nhiên cùng loại (những biến cố được xét đối với cùng một
phép thử nào đó). Nói cách khác quy luật thống kê là quy luật xuất hiện trong
kết quả của việc lặp lại một số lần đủ lớn cùng một phép thử ngẫu nhiên nào
đó. Có thể gọi quy luật thống kê là quy luật mà trong đó cái tất yếu hiện ra
trong mối quan hệ chặt chẽ với cái ngẫu nhiên” [31, tr. 239].
Ví dụ 1: Gọi T là phép thử: “Gieo 10 lần một đồng xu đồng chất và đối
xứng”. Nhiều đợt thực hiện k lần phép thử T (với k đủ lớn), người ta thấy xuất
hiện quy luật: “Gọi x
i
là số lần xuất hiện mặt sấp ở lần thứ i trong k lần (đủ
lớn) thực hiện phép thử T (i = 1,2, ,k), thì mỗi x
i

riêng lẻ ngẫu nhiên mà có,
nhưng trong hầu hết các đợt thực hiện k phép thử T, ta đều thấy: Trung bình
cộng
∑
=
=
k
i
i
x
k
x
1
1
là bằng hằng số 5 khi bỏ qua sai số không đáng kể”.
Ta thấy quy luật trên là quy luật thống kê dạng đơn giản. Có thể phân
tích thêm về quy luật đó như sau: Khi thực hiện k phép thử T (với k đủ lớn),
gọi A
i
là hiện tượng: “số lần xuất hiện mặt sấp ở lần thứ i thực hiện phép thử
T bằng x
i
”, chúng ta có A
i
, với i = 1,2, ,k, là biến cố ngẫu nhiên (ứng với
phép thử T). Do đó, ở đây chúng ta có một số đông các biến cố ngẫu nhiên
cùng loại là Q = (A
1
, A
2

, A
k
). Trên Q nảy sinh hiện tượng tất yếu là:
7
∑
=
=
k
i
i
x
k
x
1
1
luôn luôn bằng 5 khi bỏ qua sai số không đáng kể (trong hầu hết
các đợt thực hiện k phép thử T). Như vậy, quy luật thống kê nói trên đã phản
ánh về kết quả trung bình mang tính tất yếu (gọi tắt là kết quả trung bình tất
yếu) xuất hiện trên đám đông các biến cố cùng loại. Trên thực tế kết quả tạo
lập kết quả trung bình tất yếu này là như sau:
Số lần xuất hiện mặt sấp trong kết quả của mỗi lần riêng lẻ thực hiện phép
thử T nói chung là khác 5. Tuy nhiên ở lần này thực hiện phép thử T, số lần xuất
hiện mặt sấp bé hơn 5, ở lần thứ khác, số lần xuất hiện mặt sấp là lớn hơn 5; Do
đó, tính trung bình, số lần xuất hiện mặt sấp trong những lần khác nhau thực hiện
phép thử T là bù trừ nhau, và bằng 5. Bởi vậy có thể nói: cái tất yếu là “kết quả
trung bình tất yếu” xuất hiện trên đám đông các biến cố ngẫu nhiên cùng loại.
Quy luật động lực là quy luật phản ánh mối liên hệ nhân quả đơn trị, và
có thể diễn đạt dưới hình thức sau đây: “Nếu một tổ hợp các điều kiện cơ bản
S nào đó được thực hiện, thì biến cố A chắc chắn sẽ xảy ra” [22, tr. 9]. Đó
chính là quy luật vận động hay tương tác của một hoặc một số ít đối tượng

hay quá trình được xét độc lập với cái ngẫu nhiên.
Tuy nhiên, “Quy luật động lực và quy luật thống kê đều biểu thị những
mối liên hệ tất yếu. Nhưng giữa chúng có một sự khác biệt cơ bản, thể hiện ở
“cách đối sử” của mỗi loại quy luật đối với cấu trúc bên trong của cái tất yếu
được phản ánh trong nội các quy luật đó. Các quy luật thống kê phản ánh cái
tất yếu trong cấu trúc của nó, ghi nhận cái tất yếu như là “kết quả trung bình
tất yếu” xuất hiện trên đám đông các biến cố ngẫu nhiên cùng loại. Do đó
trong các quy luật thống kê, tất yếu được hiện ra trong mối liên hệ biện chứng
với ngẫu nhiên: “tất yếu xây cho mình con đường xuyên qua đám đông các
biến cố ngẫu nhiên, còn ngẫu nhiên bổ sung cho tất yếu là hình thức thể hiện
8
của tất yếu” [22, tr. 15]. Còn quy luật động lực phản ánh cái tất yếu trong “sự
đơn giản hoá”, sự bỏ qua cấu trúc bên trong của cái tất yếu.
Như đã nói, động lực phát triển của Toán học có hai nguồn cơ bản tồn
tại khách quan. Hai hướng phát triển của Toán học ứng với hai nguồn đó được
gọi là hướng ứng dụng và hướng lí thuyết. Đồng thời trong sự phát triển của
Toán học theo hai hướng trên, hai khía cạnh của Toán học cũng đã được hình
thành: Toán học lí thuyết và Toán học ứng dụng.
“Toán học ứng dụng là một khía cạnh của toán học ra đời trong những
ứng dụng của nó, có thể quan niệm rằng đó là khoa học về phương pháp giải
tối ưu, mà về thực tiễn là chấp nhận được, những bài toán Toán học nảy sinh
từ bên ngoài Toán học. Và Toán học lí thuyết là một khía cạnh của Toán học
ra đời trong sự phát triển của Toán học theo hướng lí thuyết” [22, tr. 18]. Tuy
nhiên, “về nhiều mặt thì Toán học ứng dụng phức tạp hơn Toán học lí thuyết,
bởi vì bên cạnh việc có trình độ lí luận sâu sắc, còn cần phải có trình độ hiểu
rộng lớn, có óc nhạy bén về ứng dụng, phải nắm được không những cách tư
duy suy diễn mà cả cách tư duy hợp lí nữa . . .” [22, tr. 18]
Nhắc lại rằng, việc tách Toán học lí thuyết và Toán học ứng dụng chỉ
mang tính chất tương đối. Theo cách hiểu hiện nay, phổ biến ở các trường đại
học trong và ngoài nước, toán học ứng dụng bao gồm các môn giải tích số,

xác suất - thống kê, lí thuyết điều khiển, lí thuyết hệ thống, lí thuyết thuật
toán, lí thuyết tối ưu, . . . “Mỗi môn nêu trên nghiên cứu một khía cạnh của
những quan hệ số lượng và hình dạng theo phương pháp, công cụ chung của
Toán học, nhưng trên một mức độ nào đó. Có thể nói rằng môn này thể hiện
những phương pháp và kĩ thuật, công cụ tính toán hiện đại nhất để phân tích thực
tại. Đối với nhà trường phổ thông, thuật ngữ Toán học ứng dụng được hiểu là
một số yếu tố của phương pháp số, lí thuyết tối ưu và Thống kê - Xác suất.” [31,
tr. 232].
9
Lí thuyết xác suất hiện đại, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề,
sử dụng phương pháp toán học để nghiên cứu các mô hình toán học của các
quy luật thống kê. Bởi vậy có thể nói, Lí thuyết xác suất hiện đại là một ngành
của Toán học lí thuyết có phương pháp nghiên cứu là phương pháp của Toán
học lí thuyết. “Tuy nhiên, cần chú ý rằng quá trình phát triển của Lí thuyết xác
suất đã bao hàm hai hướng phát triển của Toán học - hướng ứng dụng và hướng
lí thuyết. Do đó ngày nay Lí thuyết xác suất đã trở thành một ngành Toán học
đa diện, bao gồm cả chiều sâu lí luận lẫn nội dung ứng dụng” [31, tr. 241].
1.1.2. Vai trò của Lí thuyết xác suất (với tư cách là khoa học)
Nhờ có trình độ trừu tượng cao và có đối tượng nghiên cứu là các quy
luật thống kê - những quy luật phổ biến trong hiện thực khách quan - Xác suất
thống kê đã thâm nhập vào mọi hoạt động thực tiễn của con người. “Tư duy lí
luận - Xác suất xâm nhập một cách có hệ thống vào tất cả các lĩnh vực hoạt
động. Phong cách tư duy vốn có của Lí thuyết xác suất và các kết quả của nó
là cần thiết cho người nghiên cứu và cho kĩ sư, cho nhà kinh tế, cho nhà y học,
cho nhà ngôn ngữ học và cho người tổ chức nền sản xuất: Cách tiếp cận thống
kê đối với những hiện tượng tự nhiên, đối với những vấn đề kĩ thuật và kinh tế
là cần thiết cho tất cả các chuyên gia” [31, tr. 247].
Tuy nhiên, ngay cả giữa thế kỉ 20 vẫn có khi các nhà toán học còn phải bảo
vệ Lí thuyết xác suất trước các buộc tội về tính phi khoa học của nó trong một số
ứng dụng. Chẳng hạn, “trong thời kì những năm 30 - 40 của thế kỉ 20 tại Liên Xô

là giai đoạn tấn công vào di truyền học, một ngành mà nhiều quy luật của nó dựa
trên Lí thuyết xác suất, trong nhiều tờ báo và các ấn phẩm giả khoa học đã xuất
hiện những khẩu hiệu như “khoa học là kẻ thù của ngẫu nhiên” và “thiên nhiên
không chơi trò gieo xúc xắc”. Nhà bác học Nga A.N.Khinshin, người đã phát
minh nhiều kết quả xác suất trong Lí thuyết xác suất đã nói về khẩu hiệu thứ nhất
10
như sau “Vâng điều đó đúng - Khoa học là kẻ thù của ngẫu nhiên, nhưng ta phải
nghiên cứu kẻ thù, và chính Lí thuyết xác suất làm việc đó”[39, tr. 15].
Ví dụ 2: Luật Măng đen trong di truyền học
Giả sử một dấu hiệu nào đó của cơ thể sống (chẳng hạn hoa trắng hay
hồng) được xác định bởi một cặp gen: Gen trội A và gen lặn a. Cây có cặp gen
aa có hoa mầu trắng, còn cây có cặp gen AA, Aa, aA có hoa mầu hồng. Nếu
một trong bố mẹ có cặp gen aa, còn cây kia có cặp gen AA thì các con ở thế
hệ thứ nhất nhận một gen từ bố và một gen từ mẹ sẽ có cặp gen aA. Sang thế
hệ thứ 2 mỗi cá thể sẽ nhận được một cách ngẫu nhiên một gen a hoặc A từ bố
mẹ. Tất cả có 4 khả năng aa, aA, Aa, AA; tính lặn chỉ xuất hiện trong cá thể
có cặp gen aa, còn các cá thể khác có tính trội. Xác suất xảy ra cặp aa bằng
4
1
;
các cặp còn lại xuất hiện với xác suất
4
3
.
Nếu số cá thể trong thế hệ thứ 2 lớn, thì từ đó suy ra rằng tỉ số giữa tần
suất của các cá thể với tính lặn và cá thể với tính trội là 1: 3. Đó là luât Măng
đen, được kiểm chứng trong rất nhiều thực nghiệm. Trong thí dụ này xác suất
cũng xuất hiện như trong các trò chơi cờ bạc. Vì vậy có thể nói rằng thiên
nhiên đôi khi cũng “chơi trò gieo xúc xắc”.
Lí thuyết xác suất, “sau khi sinh ra như là một ngành khoa học “ứng

dụng” đặc biệt, có liên quan đến sự hiểu biết trò chơi đánh bạc, sau khi trải qua
thời kì phát triển của các phương pháp thống kê “ngây thơ”, sau khi thu nhận được
cơ sở toán học vững chắc và ngôn ngữ của lí thuyết Metric các hàm, Lí thuyết xác
suất ở dạng hiện đại đã trở thành một ngành toán học đa diện bao gồm cả chiều
sâu lí luận, lẫn nội dung ứng dụng” [22, tr. 26]. Cho đến nay, nó đã trở thành một
khoa học có trình độ lí luận sâu sắc và phạm vi ứng dụng rất rộng rãi. Lí thuyết
xác suất đã trở thành công cụ đắc lực để nhận thức và cải tạo thế giới.
11
1.2. Bàn về vai trò và ý nghĩa của việc đưa chủ đề Tổ hợp và Xác
suất vào môn Toán chương trình phổ thông.
Những yếu tố về Tổ hợp tạo điều kiện đưa một số yếu tố của Thống kê
và Xác suất vào nhà trường phổ thông. Do đó khi nói đến vai trò và ý nghĩa của
Thống kê và Xác suất thì trong đó bao hàm cả vai trò và ý nghĩa của Tổ hợp.
1.2.1. Vai trò của Tổ hợp và Xác suất trong hoạt động thực tiễn của
loài người.
Trong cuốn Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 2, tác giả
X.M.NIKOLXKI nói đến khái niệm Giải tích tổ hợp “là ngành toán học
nghiên cứu những vấn đề khác nhau liên quan đến việc sắp xếp các bộ phận
khác nhau của một tập hợp đã cho, thường là tập hữu hạn”. Một dạng của các
bài toán Tổ hợp là bài toán chọn, thuộc lớp bài toán chọn này khá đặc trưng
đối với nhiều mặt hoạt động của con người.
Chẳng hạn, giả sử trong một chuyến bay trong vũ trụ, ta cần thực hiện n
loại công việc nào đó (chẳng hạn sửa chữa các công việc khác nhau, quan sát
thiên văn, các thí nghiệm sinh học và vật lí . . .). Để thực hiện chuyến bay
người ta chon m ứng viên đã qua các tập luyện cần thiết. Mỗi ứng viên có thể
thực hiện một số trong các công việc đòi hỏi. Nhưng số thành viên tham gia
chuyến bay được giới hạn rất ngặt. Vì vậy phát sinh câu hỏi: có thể chọn tối
thiểu bao nhiêu người trong m ứng viên để nhóm đó có thể thực hiện tất cả
các nhiệm vụ đặt ra?Bài toán này là một trong những trường hợp riêng của bài
toán tổ hợp về cực trị – bài toán phủ.

“Thống kê toán và Lí thuyết xác suất, chúng xâm nhập vào hầu hết các
ngành khoa học tự nhiên và xã hội, các ngành kĩ thuật, vào quản lí kinh tế và
tổ chức nền sản xuất, chúng có mặt trong công việc của mọi lớp người lao
động: kĩ sư, bác sĩ, giáo viên, công nhân, nông dân, . . .” [22, tr. 29]. V.I. Lenin
12
đã đánh giá cao giá trị của thống kê, Người đã dạy rằng: “Thống kê kinh tế - xã
hội là một trong những vũ khí hùng mạnh nhất để nhận thức xã hội”.
Từ những năm 50 của thế kỉ XX, nhiều nhà Toán học và Giáo dục học trên
thế giới đã nhận thấy sự cần thiết phải cho học sinh học một số yếu tố của Lí
thuyết xác suất. Nhiều hội nghị Quốc tế về Toán học và Giáo dục học đều có sinh
hoạt thảo luận vấn đề đó trong tiêu chuẩn về dạy học, chẳng hạn như các hội nghị:
- Năm 1969 ở Lyon (Pháp)
- Năm 1972 ở Exeter (Anh)
- Năm 1976 ở Karlsrrube (Cộng hoà liên bang Đức)
- Năm 1980 ở Berlby (Mỹ)
- Năm 1982 ở Seffin ( Anh)
Năm 1993, UNESCO đã tổng kết phong trào cải cách giáo dục Toán
học trên thế giới và nêu rõ rằng xác suất là 1 trong 9 quan điểm chủ chốt sau
đây để xây dựng nội dung học vấn Toán học ở phổ thông (trong phạm vi quốc
tế): tập hợp, số, biến thiên, quan hệ và hàm số, đo đạc, không gian và quan hệ
không gian, phép chứng minh, cấu trúc, xác suất.
Trong việc tăng cường ứng dụng trong giảng dạy ở trường phổ thông -
một vấn đề có ý nghĩa lí luận và thực tiễn sâu sắc, “là một yêu cầu có tính
nguyên tắc, nhằm phản được tinh thần và xu thế phát triển của Toán, mà một
trong những phương hướng chủ yếu của nó là Toán ứng dụng. Đặc biệt trong
giai đoạn hiện nay, do nhu cầu của quá trình tự động hoá trong sản xuất,
những ngành liên quan tới 3 hướng: hữu hạn, ngẫu nhiên và cực trị là những
yếu tố phát triển mạnh nhất của toán học hiện đại” [1, tr. 18].
Lí thuyết xác suất là một trong những môn của Toán học ứng dụng, sau
đây là một số ứng dụng của Lí thuyết xác suất:

- Trong vật lí phân tử, để nghiên cứu các hệ rất nhiều phân tử, phương
pháp động lực học là bất lực mà phải sử dụng phương pháp Thống kê - Xác suất.
13
- Lí thuyết xác suất được sử dụng rộng rãi trong sinh vật học. Và hiện
nay di truyền học hiện đại đang tiếp tục sử dụng rộng rãi các phương pháp
Thống kê xác suất.
- Sự vận dụng các phương pháp Thống kê xác suất trong việc tổ chức và điều
khiển nền sản xuất đã mang lại cho nền kinh tế quốc dân nhiều lợi ích rất to lớn.
1.2.2. Vai trò và ý nghĩa của việc đưa chủ đề Tổ hợp và Xác suất vào
môn Toán chương trình phổ thông (với tư cách là môn học).
Việc tăng cường và làm làm rõ mạch ứng dụng toán học được coi là
một trong những quan điểm chỉ đạo, xuyên suốt toàn bộ quá trình dạy học
môn Toán ở trường phổ thông, chẳng hạn như: Một số yếu tố về thống kê mô
tả, Lí thuyết tổ hợp, Xác suất, . . . “Các vấn đề về phương pháp và kĩ thuật
tính toán, lí thuyết tối ưu, tổ hợp, xác suất được đưa vào một cách tường minh
hay ẩn tàng là nhằm mục đích giới thiệu mặt “tính toán” của Toán học hiện
đại khi áp dụng giải quyết những bài toán thực tiễn phức tạp của cuộc sống
thực vốn đã khác xa những vấn đề thực tiễn của các giai đoạn trước, các giai
đoạn mà các nhà toán học xây dựng và phát triển lí thuyết về phương trình, về
hàm số, về phép tính vi phân và tích phân” [31, tr. 246].
Xu thế chung của giáo dục Toán học phổ thông hiện nay trên thế giới là
tăng cường thực hành ứng dụng cho học sinh. Vì vậy đa số các nước trên thế
giới đã có sự thống nhất về nội dung dạy học, và lựa chọn những tri thức có
nhiều ứng dụng như Thống kê toán và Lí thuyết xác suất. Nội dung dạy học
đó thường bao gồm những vấn đề:
- Các yếu tố của Thống kê mô tả
- Một số yếu tố của Giải tích tổ hợp; và một số yếu tố của Lí thuyết xác suất
Theo Nguyễn Bá Kim thì: “Thống kê Toán và Lí thuyết xác suất lại có
nhiều khả năng trong việc góp phần giáo dục thế giới quan khoa học cho học
sinh. Bởi vậy, ngay từ những năm cuối thập kỉ 50 của thế kỉ XX, những kết

14
quả nghiên cứu của các nhà toán học và sư phạm trên thế giới đã khẳng định
một số tri thức cơ bản của Thống kê toán và Lí thuyết xác suất phải thuộc vào
học vấn phổ thông, tức là khẳng định sự cần thiết đưa một số yếu tố của các
lĩnh vực đó vào môn Toán ở trường phổ thông” [31, tr. 248].
TSKH Vũ Đình Hoà khẳng định: “Sự chuyển hướng xây dựng Toán
học hiện đại dựa trên cơ sở của lí thuyết tập hợp được mở ra ở cuối thế kỉ XIX.
Một trong những ảnh hưởng mạnh mẽ nhất của lí thuyết tập hợp là lí thuyết
tính toán với tập hợp hữu hạn: tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài toán trong
hình học tổ hợp , . . .”. Các bài toán tổ hợp “là một bộ phận quan trọng của toán
học có nội dung rất phong phú và nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kĩ
thuật cũng như trong đời sống hàng ngày của chúng ta”. Và “Ngày nay, trong
các kì thi quốc gia và quốc tế thường không vắng bóng các bài toán tổ hợp,
nhất là trong các kì thi học sinh giỏi Toán. Thông thường đây là các bài toán
khó không chỉ đối với học sinh Việt nam mà cả với học sinh quốc tế nói
chung.” [24, tr. 3].
Từ trước những năm 90 của thế kỉ XX, các công trình nghiên cứu của
B.V.Gnhedenko, V.V.Firsov cùng các nhà sư phạm và toán học Xô Viết khác
đã thu được những kết quả đáng chú ý sau đây:
- Đã khẳng định được sự cần thiết của việc đưa các yếu tố của Thống kê
toán và Lí thuyết xác suất vào môn Toán ở trường phổ thông
- Mục đích của dạy học Thống kê toán và Lí thuyết xác suất ở trường phổ
thông là: “Phát triển có hệ thống ở học sinh những tư tưởng về sự tồn tại trong
tự nhiên những quy luật của một thiên nhiên rộng lớn, bao la hơn cái thiên
nhiên của thuyết quyết định luận cổ truyền nghiêm ngặt. Đó chính là những
quy luật thống kê.”
- Việc hình thành cho học sinh một hệ thống nguyên vẹn những tri thức
thống kê - xác suất phải được phối hợp thực hiện trong những giờ học của các
15
môn học khác [22, tr. 37]. Chính vì vậy, dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất là

góp phần tạo lập được trong tư tưởng của học sinh một bức tranh gần đúng của
thế giới hiện thực, để tận dụng khả năng của Lí thuyết xác suất trong sự nghiệp
giáo dục và đào tạo thế hệ trẻ, từ đó góp phần chuẩn bị tốt hơn cho học sinh bước
vào cuộc sống lao động và học tập sau này. Việc dạy học Xác suất phải tạo điều
kiện cho học sinh vượt ra ngoài khuôn khổ của quyết định luận cơ học, hình
thành cho các em những tư tưởng về biến cố ngẫu nhiên và xác suất, về mối
quan hệ biện chứng giữa tất nhiên và ngẫu nhiên; chẳng hạn: “Khi một hiện
tượng xảy ra một cách ngẫu nhiên thì ta có thể coi đó là tín hiệu của một hay
nhiều quy luật mà hiện nay khoa học chưa biết đến, hoặc mới biết nửa vời. Cho
nên người ta thường nói “cái tất nhiên bộc lộ ra bên ngoài cái ngẫu nhiên”” [54,
tr. 109].
1.3. Chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong chương trình môn Toán phổ
thông ở một số nước trên thế giới.
Trong Hội nghị Quốc tế lần thứ nhất về dạy Toán, tiến hành từ ngày 24
đến ngày 30 tháng 8 năm 1969 tại Liông (Pháp), các bản Báo cáo và Thảo luận
đã nói lên các quan điểm cải cách môn Toán ở trường phổ thông theo xu
hướng: cố gắng thiết lập mối quan hệ hợp lý giữa cái "cổ điển" và cái "hiện
đại", trình bày các kiến thức có tính chất cổ truyền dưới ánh sáng của những
quan điểm Toán học hiện đại, qua việc tích luỹ sự kiện mà đưa dần học sinh
tới khái niệm tổng quát. Trong các quan điểm theo xu hướng này, có quan
điểm liên hệ việc dạy Toán với thực tiễn. Tiêu biểu theo xu hướng này là
Chương trình và sách SGK Toán của trường phổ thông Liên Xô và các nước
Xã hội chủ nghĩa khác. Hội nghị lần thứ hai được tiến hành từ ngày 29 tháng 8
đến ngày 2 tháng 9 năm 1972 tại thành phố Écxôto (Anh) và lần thứ ba từ
ngày 16 đến ngày 21 tháng 8 năm 1976 tại thành phố Caclơrue (Tây Đức).
Nhìn chung, xu thế cơ bản của việc cải cách môn Toán ở trường phổ thông trên
16
thế giới là như đã nêu trên, trong đó đặc biệt quan tâm đến quan điểm: Tăng
cường mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn [25, tr. 278].
Từ năm 1960 trở đi ở nhiều nước trên thế giới, một số yếu tố của Thống

kê toán và Lí thuyết xác suất đã chính thức được đưa vào môn Toán của
trường phổ thông, trong chương trình bắt buộc hay tự chọn.
“Năm 1973, khi tổng kết phong trào cải cách giáo dục trên thế giới
UNESCO Pari đã nêu rõ rằng Thống kê và Xác suất là một trong 9 quan điểm
chủ chốt để xây dựng nội dung học vấn Toán học ở trường phổ thông trong
phạm vi quốc tế. Đặc biệt có ý nghĩa trong International Encylopedia tion
1985 có nêu ra những luận điểm để bảo vệ cho khẳng định trên” [31, tr. 248].
Cụ thể ở một số nước:
Ở Nhật Bản: Trong chương trình phổ thông các yếu tố của Thống kê toán
và Lí thuyết xác suất đã được rải ra từ lớp 3 của bậc tiểu học đến các lớp cuối
của bậc cao trung. Bậc cao trung gồm 3 năm học, học sinh được học về Xác suất
và Thống kê toán ở năm thứ hai trong giáo trình Toán học II. Chủ đề Xác suất và
Thống kê toán bao gồm những nội dung sau đây: Giải tích tổ hợp, xác suất của
các biến cố sơ cấp, tính độc lập của các biến cố, các định lí cộng và nhân xác
suất, đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất, phân phối nhị thức và phân
phối chuẩn, phương pháp mẫu, vận dụng Thống kê toán và Lí thuyết xác suất
vào nghiên cứu các hiện tượng và các quá trình trong các giáo trình kĩ thuật.
Ở Cộng hoà Pháp: Bậc cao trung bao gồm 3 năm học. Trong năm đầu
học sinh học chương trình chung. Đến năm thứ hai hoặc năm thứ 3 thì học sinh
học theo phân ban với 3 hướng lớn: Cao trung phổ thông, cao trung công nghệ,
cao trung nghề nghiệp. Về nội dung Tổ hợp và Xác xuất học sinh được học ở
lớp kết thúc (tức năm thứ 3 cao trung - tương đương với lớp 12 của Việt Nam):
- Xắp xếp các dữ kiện; tổ hợp; bản số của toán Đề các của các tập hợp
hữu hạn; bản số của tập A (tập hợp của các tập hợp gồm p phần tử của tập hợp
17
A); chỉnh hợp và hoán vị; kí hiệu n!; tổ hợp
n
C
p
; hệ thức

n n
C C
p n p
=
−
;
1
1
n n n
C C C
p p
p
+
= +
−
; công thức nhị thức Niu-Tơn.
- Xác suất: Biến cố; biến cố sơ cấp; xác suất của một biến cố được định
nghĩa bằng tổng của các xác suất của các biến cố sơ cấp; trường hợp các biến cố
sơ cấp đồng khả năng; hai biến cố xung khắc; hợp và giao của hai biến cố; xác
suất có điều kiện; sự độc lập của hai biến cố; lược đồ Becnuli; phân phối nhị
thức.
Ở Liên Xô (trước đây): ở các lớp cuối của trường phổ thông trung học,
các yếu tố của Giải tích tổ hợp và Lí thuyết xác suất được đưa vào dưới dạng
giáo trình tự chọn. Nội dung dạy học bao gồm các vấn đề sau: Các yếu tố của
Giải tích tổ hợp; các biến cố ngẫu nhiên và các phép toán; xác suất của biến
cố ngẫu nhiên; các phép toán về xác suất; dãy các phép thử độc lập Becnuli;
các đại lượng ngẫu nhiên và các số đặc trưng của chúng; luật số lớn.
Một vấn đề đã được quan tâm trong chương trình và sách giáo khoa ở
một số nước trên thế giới là rất coi trọng sự liên hệ Toán học với thực tiễn.
Đối với nhiều chủ đề quan trọng được trình bày trong sách SGK, việc có mặt

của các bài toán có nội dung thực tiễn đã đóng một vai trò chủ đạo và xuyên
suốt quá trình dạy học như là những phương tiện để truyền thụ tri thức cũng
như thực hành và luyện tập các chủ đề này. Nghĩa là, các bài toán có nội dung
thực tiễn thể hiện được mục đích kép (vừa lĩnh hội tốt kiến thức, rèn luyện
được kỹ năng vừa rèn luyện được thói quen ứng dụng Toán học vào thực tiễn)
1.4. Tổ hợp và Xác suất trong chương trình môn Toán phổ thông
của Việt Nam hiện tại và những năm vừa qua.
Do xu thế hội nhập trên thế giới hiện nay. Hoà chung với xu thế đổi
mới tiến bộ trên thế giới trong lĩnh vực chương trình SGK phổ thông cũng là
một trong những yêu cầu cần thiết. Từ những thập niên cuối của thế kỉ XX,
18
nhiều quốc gia đã chuẩn bị và triển khai cải cách giáo dục, tập trung vào giáo
dục phổ thông mà trọng điểm là cải cách chương trình và SGK phổ thông.
Chương trình của các nước đều hướng tới mục tiêu nâng cao chất lượng giáo
dục, trực tiếp góp phần cải thiện chất lượng nguồn nhân lực, nâng cao chất
lượng sống của con người; khắc phục tình trạng học tập nặng nề, căng thẳng
gây mất hứng thú và niềm tin đối với việc học tập của học sinh; . . .
Cùng với trào lưu đó, chương trình giáo dục, SGK phổ thông của Việt
Nam luôn được cải cách, chỉnh lí. Quá trình cải cách được tiến hành qua nhiều
lần, do đó dẫn đến sự thay đổi về nội dung, phương pháp trình bày.
1.4.1. Sơ lược về nội dung Tổ hợp và Xác suất trong chương trình
Toán phổ thông.
Đã nói đến cải cách và chỉnh lí thì tất nhiên sẽ có sự thay đổi về nội
dung, chương trình. Chúng ta nhìn lại nội dung chủ dề Tổ hợp và Xác suất
trong chương trình Toán phổ thông từ khi nền Giáo dục Việt Nam có chương
trình phân ban thí điểm.
Bộ SGK dành cho cấp phổ thông trung học phân ban thí điểm đầu tiên
của nhóm tác giả: Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng, Trần Văn Hạo (1996). Ở
đây, nội dung chủ đề Tổ hợp và Xác suất được trình bày trong chương cuối
sách Giải tích 12, bao gồm:

Phần A: Đại số tổ hợp
§1. Bộ sắp thứ tự gồm n phần tử
§2. Quy tắc cơ bản của phép đếm
§3. Hoán vị - Chỉnh hợp
§4. Tổ hợp
§5. Nhị thức Niutơn
Phần B: Xác suất
§1. Khái niệm Xác suất
19
§2. Các tính chất của Xác suất
§3. Xác suất có điều kiện
§4. Liên hệ với một số bài toán về thống kê
Tồn tại song song với bộ sách trên là hai bộ sách cho học sinh phổ
thông trung học không phân ban, trong hai bộ sách này học sinh không phân
ban không được học phần Xác suất mà chỉ được học phần Tổ hợp:
Một là, sách của nhóm tác giả: Ngô Thúc Lanh, Vũ Tuấn, Ngô Xuân
Sơn (1999), nội dung phần Tổ hợp được giới thiệu ở chương V, Giải tích 12:
§1. Chỉnh hợp - Hoán vị - Tổ hợp
§2. Công thức nhị thức Niutơn
Hai là, sách của nhóm tác giả: Phan Đức Chính - Ngô Hữu Dũng - Hàn
Liên Hải, Giải tích 12, chương IV: Một số yếu tố về Tổ hợp
§1. Phương pháp quy nạp toán học (1,5 tiết)
§2. Bài toán chọn và quy tắc nhân (0,5 tiết)
§3. Hoán vị (1,5 tiết)
§4. Chỉnh hợp (2 tiết)
§5. Tổ hợp (1 tiết)
§6. Khai triển Niutơn (1 tiết)
Đến năm 2000, các bộ sách được hợp nhất, trên toàn quốc chỉ dùng chung một
bộ sách, Bộ Giáo dục bỏ chương trình phân ban. Lúc này học sinh phổ thông lại
không được học về Xác suất, mà chỉ được học phần Tổ hợp, gồm các kiến thức sau:

§1.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
§2.Công thức nhị thức Niutơn
Trong lần phân ban thí điểm hiện nay, tồn tại hai bộ sách của hai nhóm
tácgiả, nội dung Tổ hợp và Xác suất được đưa vào chương trình Đại số và
Giải tích 11, dạy học cho tất cả học sinh của các ban, tuy nhiên mức độ yêu
cầu của
20
các ban là khác nhau:
- Bộ sách của nhóm tác giả do Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) gồm các bài sau:
§1. Hai quy tắc đếm cơ bản (1 tiết)
§2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (4 tiết)
§3. Công thức nhị thức Niutơn (1 tiết)
§4. Biến cố và xác suất của biến cố (3 tiết)
§5. Các quy tắc tính xác suất (3 tiết)
§6. Xác suất có điều kiện (2 tiết)
§7. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc (1 tiết)
§8. Kỳ vọng, phương sai (1 tiết)
- Bộ sách của nhóm tác giả do Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), có các bài sau:
§1. Quy tắc đếm (2 tiết)
§2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp (4 tiết)
§3. Xác suất của biến cố (4 tiết)
§4. Xác suất có điều kiện (3 tiết)
§5. Biến ngẫu nhiên (2 tiết)
§6. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên (3 tiết)
Hiện tại trên toàn Quốc học sinh được học chung một bộ sách theo
chương trình cải cách giáo dục, nội dung Tổ hợp và Xác suất được đưa vào
chương trình Đại số và Giải tích lớp 11, về lượng kiến thức là như nhau đối
với tất cả các ban nhưng khác nhau về mức độ yêu cầu. Bao gồm:
§1. Hai quy tắc đếm cơ bản
§2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

§3. Nhị thức Niu-tơn
§4. Biến cố và xác suất của biến cố
§5. Các quy tắc tính xác suất
§6. Biến ngẫu nhiên rời rạc
21
1.4.2. Một số điểm khác nhau trong nội dung kiến thức chủ đề Tổ
hợp và Xác suất qua những lần chỉnh lí
1.4.2.1. Về nội dung Tổ hợp
Nội dung kiến thức Tổ hợp đưa vào chương trình Toán phổ thông qua
các năm tương đối ổn định, chủ yếu gồm các vấn đề: Khái niệm Hoán vị, Tổ
hợp, Chỉnh hợp; công thức tính số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp; khai triển
nhị thức Niutơn. Hiển nhiên đã có sự cải cách, chỉnh lí thì ắt có sự khác nhau.
Chẳng hạn:
- Cuốn sách năm 1999 của Phan Đức Chính, có thêm các nội dung:
Phương pháp quy nạp Toán học; Bài toán chọn và quy tắc nhân; Tam giác
Pascal.
- Sách giáo khoa thí điểm (1996) có thêm kiến thức: Bộ sắp thứ tự
gồm n phần tử; quy tắc của phép đếm (quy tắc nhân); tam giác Pascal.
- Chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và sách giáo khoa thí điểm
hiện tại, phần Tổ hợp giới thiệu hai quy tắc: nhân và cộng của phép đếm.
Đó là sự khác nhau về lượng kiến thức, bên cạnh đó còn có sự khác nhau
về cách trình bày, thứ tự các kiến thức. Điều này cũng dễ hiểu vì mỗi nhóm
tác giả có một quan điểm về phương pháp không giống nhau. Tuy nhiên, cùng
một nội dung kiến thức mà các sách lại có sự khác nhau về định nghĩa, cách
chứng minh thì chúng ta cũng cần phải bình luận để có thể đưa ra một cách
hiểu thống nhất. Sau đây là những điểm khác nhau đó:
Với khái niệm Hoán vị, trong sách của Ngô Thúc Lanh (1999) thì Hoán
vị được định nghĩa thông qua định nghĩa Chỉnh hợp (trước đó đã trình bày
khái niệm Chỉnh hợp): “Một chỉnh hợp chập n của n phần tử được gọi là một
hoán vị của n phần tử ấy”, định nghĩa này không nêu lên n thuộc tập nào và

định nghĩa kiểu như vậy thì đặc điểm của hoán vị không được thấy rõ ở chỗ:
Một hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự
22
nhất định. Còn nhóm tác giả Phan Đức Chính (1999), thì khái niệm Hoán vị
được định nghĩa đầu tiên: “Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần
tử đó được sắp xếp theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một
lần”, ở đây cũng không nói được n thuộc tập nào. Sách phân ban thí điểm
(1996) thì định nghĩa: “Cho tập hợp A gồm n phần tử, n
≥
1. Một hoán vị của
n phần tử của A là một bộ - n sắp thứ tự của các phần tử này, mỗi phần tử có
mặt đúng một lần”, định nghĩa này tương đối chặt chẽ tuy nhiên có sử dụng
khái niệm “bộ - n sắp thứ tự” đã được định nghĩa ngay bài đầu của chương.
Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000, định nghĩa Hoán vị: “Cho tập hợp A gồm n
phần tử (n
≥
1). Mỗi cách xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một
hoán vị của n phần tử đó”, định nghĩa này không nêu lên được sự khác nhau
của các phần tử trong tập hợp A. Trong sách phân ban thí điểm lần này thì học
sinh có thể nắm khái niệm một cách dễ dàng nhờ sử dụng ngôn từ dễ hiểu:
“Kết quả của sự sắp xếp n phần tử khác nhau theo một thứ tự nào đó được gọi
là một hoán vị của n phần tử đó” (Trần Văn Hạo (tổng chủ biên)); “Cho tập
hợp A có n phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một
hoán vị các phần tử của tập A” (Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) 2002), tuy
nhiên trong hai định nghĩa này n cũng không được chỉ rõ thuộc tập nào. Nếu
như vậy thì n = 0 thì có hoán vị không? một hoán vị theo định nghĩa đó là một
cách xếp thứ tự mà n = 0 tức là không có phần tử nào dẫn đến không có sự
sắp thứ tự.
Khái niệm Chỉnh hợp cũng có nhiều điều cần bình luận: Sách của Ngô
Thúc Lanh (1999) định nghĩa: “Cho một tập hợp gồm n phần tử. Mỗi tập con

sắp thứ tự (tức là có kể đến thứ tự kế tiếp của các phần tử) gồm k ( 0
≤
k
≤
n)
trong n phần tử đã cho gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó”. Trong
định nghĩa này điều kiện ( 0
≤
k
≤
n), tức là k có thể nhận giá trị 0 dẫn đến
một tập hợp không có phần tử nào và tập không có một phần tử nào thì có sự
23
“sắp thứ tự” không? rõ ràng k = 0 là vô nghĩa. Ta so sánh với sách của Phan
Đức Chính cũng trong thời điểm đó, Chỉnh hợp được định nghĩa: “Một chỉnh
hợp chập k của n phần tử (0 < k
≤
n) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy
ra từ n phần tử đã cho”; sau định nghĩa có nêu lên dấu hiệu nhận biết hai
chỉnh hợp chập n của n phần tử khác nhau là:
- Hoặc chúng có ít nhất một phần tử khác nhau
- Hoặc chúng có k phần tử như nhau, nhưng sắp xếp theo thứ tự khác
nhau.
Ta thấy k không thể bằng 0. Trong những cuốn sách sau này đều định nghĩa
chỉnh hợp chập k của n phần tử với điều kiện 1
≤
k
≤
n, điều này là hợp
lí và có thể xem như đó là sự thống nhất. Tuy nhiên cũng trong nội dung chỉnh

hợp có một chi tiết rất đáng chú ý là khi đưa ra công thức tính số chỉnh hợp
chập k của n phần tử, tức tính
k
n
A
thì có hai công thức:
k
n
A
= n(n-1)(n-2) (n-
k+1) (1) và
k
n
A
=
)!(
!
kn
n
−
(2); với công thức (1) đúng với mọi 1
≤
k
≤
n, còn
công thức (2) với k = n thì dẫn đến
!0
!n
k
n

A =
, nếu không có sự quy ước 0! = 1
thì với k = 1 công thức (2) không có nghĩa. Điều này thể hiện ở sách của
Ngô Thúc Lanh (1999), trong cả chương Tổ hợp không thấy có sự quy ước 0!
= 1 vậy mà đưa ra công thức (2), cũng trong sách này tác giả lại dùng khái
niệm chỉnh hợp để định nghĩa hoán vị. Ta nhận thấy rằng khái niệm hoán vị là
trường hợp riêng của khái niệm chỉnh hợp khi k = n, với quy ước 0! = 1 thì
công thức tính số hoán vị cũng được suy ra từ công thức tính số chỉnh hợp;
tuy nhiên việc lấy khái niệm này để định nghĩa khái niệm kia không phải là
cách tối ưu trong khi đó vẫn có thể định nghĩa nó một cách độc lập.
24
Nếu như định nghĩa chỉnh hợp với điều kiện 1
≤
k
≤
n thì với k = 0 thì
0
n
A
không thuộc vào định nghĩa, nhưng trong sách Đại số và Giải tích 11 của
Đoàn Quỳnh (2002) (tổng chủ biên) có sự quy ước
0
n
A
= 1 nhằm mục đích gì?
theo như sách viết thì “người ta quy ước
0
n
A
= 1. Khi đó công thức (2) đúng

cho cả k = 0. Vậy công thức (2) đúng với 0
≤
k
≤
n”, công thức (2) đúng với
k = 0 mang ý nghĩa gì? phải chăng sự rút ra kết luận như vậy để nhằm mục
đích khi đưa ra công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử thông qua công
thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử
!k
k
n
A
k
n
C =
(3), thế nhưng cũng
trong cuốn sách này định nghĩa tổ hợp với 1
≤
k
≤
n: “Cho một tập hợp A có
n phần tử và số nguyên k với 1
≤
k
≤
n. Mỗi tập con của A có k phần tử được
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A” và sau đó đưa ra công thức
!k
k
n

A
k
n
C =
với 1
≤
k
≤
n, với k = 0 thì lại có sự quy ước
1
0
=
n
C
. Nếu như ta
hiểu một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con gồm k phần tử của tập n
phần tử đó thì trong một tập hợp A gồm n phần tử, tập
φ
là tập không có phần
tử nào cũng là tập con của tập A do đó nó cũng là một tổ hợp với k = 0 suy ra
1
0
=
n
C
không phải là sự quy ước do đó k = 0 nên đưa vào định nghĩa tổ hợp.
Vậy phải định nghĩa tổ hợp với 0
≤
k
≤

n như sau: Cho tập hợp A gồm n
phần tử. Mỗi tập con gồm k (0
≤
k
≤
n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp
chập k của n phần tử đã cho. Khi đã định nghĩa như vậy thì k = 0 là thuộc vào
định nghĩa nên không cần phải chú thích như ở trong sách của Trần Văn Hạo
(2002) nữa.
25