ĐỀ tài “một cách tiếp cận mới về bài toán dao động tắt dần chịu tác dụng của lực cản không đổi”

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU.........................................................................................................................
1
1. Lý do chọn đề tài.........................................................................................................
1
2. Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu..............................................................................
2
3. Phương pháp nghiên cứu..............................................................................................
2
4. Phạm vi nghiên cứu.....................................................................................................
2
5. Đóng góp mới của đề tài..............................................................................................
2
NỘI DUNG.....................................................................................................................
3
Chương 1: Bài toán dao động cơ tắt dần chịu tác dụng của lực cản không đổi........
3
1.1. Hiện tượng tắt dần của dao động cơ..........................................................................
3
1.1.1. Phương trình tổng quát...........................................................................................
3
1.1.2. Sử dụng định lý biến thiên cơ năng........................................................................
4
1.1.3. Vị trí cân bằng tạm thời..........................................................................................
4
1.2. Bài toán tổng quát về dao động cơ tắt dần................................................................
5
1.2.1. Độ giảm biên độ sau một chu kỳ............................................................................
5
1.2.1.1. Theo quan điểm năng lượng................................................................................
5

1.2.1.2. Theo phương pháp so sánh tương tự...................................................................
7
1.3. Các kết luận về sự dừng lại của vật...........................................................................
7
1.4. Áp dụng giải các bài toán định lượng.......................................................................
8
1.4.1. Tốc độ cực đại của vật...........................................................................................
8


1.4.3. Quãng đường vật đi được đến khi dừng lại............................................................
11
1.4.2. Thời gian dao động................................................................................................
12
1.5. Các bài toán phụ.......................................................................................................
12
1.5.1. Động năng lớn nhất hay thế năng của hệ khi vật đạt tốc độ cực đại.......................
12
1.5.2. Thế năng của hệ hoặc độ lớn lực đàn hồi của lò xo khi vật đổi chiều lần thứ n.....
12
1.5.3. Động năng của vật khi vật qua vị trí lị xo khơng biến dạng lần thứ n...................
13
1.5.4. Tốc độ cực đại của vật đạt được kể từ sau thời điểm t...........................................
13
1.5.5. Tìm thời gian từ lúc bng vật đến khi lị xo khơng biến dạng..............................
13
Chương 2: Hệ thống bài tập minh họa.........................................................................
15
2.1. Bài tập minh họa.......................................................................................................
15

2.2. Sưu tầm một số câu trắc nghiệm cơ tắt dần..............................................................
19

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán dao động cơ tắt dần là bài tốn tương đối rộng và khó của
chương trình Vật lý 12, SGK vật lý 12 – Nâng cao đã khảo sát một cách sơ lược
dao động tắt dần của một vật dưới tác dụng của ma sát nhớt. Có thể tóm tắt như
sau:
+ Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian.
+ Nguyên nhân: Khi vật dao động trong môi trường (khơng khí, nước,
dầu…) thì các phần tử mơi trường đã tác dụng lực cản lên vật (lực đó gọi là ma

2


sát nhớt). Lực ma sát nhớt làm cho cơ năng của vật dao động chuyển thành
nhiệt.
+ Dao động tắt dần càng nhanh nếu mơi trường càng nhớt.
Cái khó khi nghiên cứu về loại dao động này là độ lớn của lực ma sát nhớt
phụ thuộc vào tốc độ của vật. Khi vật dao động càng đến gần vị trí cân bằng thì
lực ma sát nhớt tác dụng vào nó càng lớn.
Để viết được phương trình của một vật dao động tắt dần, ta phải lập và
giải được phương trình vi phân bậc hai. Việc này cần đến các công cụ của tốn
cao cấp và vượt ra ngồi phạm vi kiến thức tốn THPT. Chính bởi vậy, khi nói
về dao động tắt dần của một vật trong một môi trường, SGK cả cơ bản và nâng
cao đã đề cập đến một cách hết sức sơ lược, chủ yếu là giúp cho HS nắm được
khái niệm dao động tắt dần là gì, do ngun nhân nào gây ra, có ứng dụng gì
trong thực tế… mà không đi sâu vào khảo sát định lượng bằng các biểu thức.
Chính vì vậy khi giảng dạy và học tập về phần này đa số giáo viên chỉ

truyền tải cho học sinh phương pháp giải các bài toán hết sức đơn giản về mặt
định lượng, và rất ít khi đề cập đến bản chất Vật lý của nó.
Với mong muốn khai thác triệt để về mặt bản chất Vật lý của dao động cơ
tắt dần nên tôi chọn đề tài: “Một cách tiếp cận mới về bài toán dao động tắt dần
chịu tác dụng của lực cản không đổi”. Tôi hi vọng rằng qua nội dung đề tài của
mình, một số đồng nghiệp có thể làm tài liệu tham khảo để nhìn nhận lại quan
điểm của mình đối với bài toán và đề ra phương pháp giảng dạy phù hợp, dễ tiếp
thu.
2. Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu
Lý thuyết về phần dao động cơ tắt dần với cách tiếp cận mới.
Xây dựng hệ thống bài tập hợp lý phần dao động cơ tắt dần.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết: Nêu tổng quan bài toán dao động tắt dần phần cơ,
và những điều kiện áp dụng. Hệ thống một số bài toán thuộc chuyên đề đã ra
trong các đề thì cấp tỉnh, các kỳ thi tuyển sinh đại học,…

3


Ngoài phương pháp nghiên cứu lý thuyết là chủ yếu thì để hồn thiện
được đề tài tác giả sử dụng các phương pháp: Phương pháp nêu giả thiết khoa
học; Phương pháp quan sát sư phạm; tổng kết kinh nghiệm sư phạm từ thực
tiễn; thực nghiệm sư phạm,…
4. Phạm vi nghiên cứu
Do tính phức tạp của bài tốn, cũng như đối tượng tiếp thu kiến thức là
học sinh trung học phổ thông nên đề tài chỉ nghiên cứu ở mức độ “dao động tắt
dần chịu tác dụng của lực cản không đổi” bỏ qua sự ảnh hưởng của lực cản tới
tốc độ của vật.
5. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu và kết luận thì phần nội dung của đề tài được chia làm

2 chương:
+ Chương 1: Bài toán dao động cơ tắt dần chịu tác dụng của lực cản có
độ lớn không đổi.
+ Chương 2: Hệ thống bài tập minh họa.
6. Đóng góp mới của đề tài
Trước đây khi gặp bài tốn về dao động tắt dần thì đa số giáo viên, học
sinh, chỉ dừng lại ở bài tập tương tự như tìm tốc độ cực đại của dao động.
Nhưng khi tiếp cận theo hướng mới này thì giáo viên, học sinh có thể mở rộng
cho nhiều bài tập khác như: tính quảng đường vật đi được đến khi dừng lại, thời
gian dao động, động năng, thế năng,…

NỘI DUNG
Chương 1
BÀI TỐN VỀ DAO ĐỘNG CƠ TẮT DẦN CHỊU LỰC
CẢN CĨ ĐỘ LỚN KHÔNG ĐỔI
1.1.

Hiện tượng tắt dần của dao động cơ

1.1.1. Phương trình tổng quát

4


Hiện tượng các dao động của các vật dừng lại sau một khoảng thời gian
nào đó được gọi là những dao động tắt dần.
Giả sử trong quá trình dao động vật chịu tác dụng của lực ma sát nhớt với
hệ số nhớt là η và ta chỉ xét tới trường hợp lực ma sát nhớt tỉ lệ với bậc nhất vận
tốc.
Phương trình định luật II Niu tơn: -kx - ηv = ma

 a  x ''
η
k
- kx - ηx ' = mx'' hay x '' + x ' + x  0
thay 
' ta được
m
m
v  x
η

β = 2m
Đặt 
suy ra x '' +2βx ' +ω02 x = 0
k
ω2 =
 0 m

Phương trình trên là phương trình vi phân bậc 2 không thuần nhất, nghiệm
-βt

 với ω = ω02  β2
của nó có dạng: x = A e Cosωt+φ

Trong đó: A và φ được xác định dựa vào thời điểm ban đầu và cách kích
thích dao động.
1.2.2. Sử dụng định lý biến thiên cơ năng
Nội dung: Khi vật dao động, cơ năng của hệ giảm do sự mất mát bởi lực
ma sát. Độ giảm cơ năng của hệ đúng bằng độ lớn công lực ma sát.
Biểu thức: Giả sử, ở thời điểm t, vật đang ở vị trí có li độ x với vận tốc v

và đã đi được quãng đường S khi đó ta có:
Hay:

E 0 - E s = A ms

1 2 1 2 1
kA 0 - kx - mv 2 = Fms .S
2
2
2

1.1.3. Vị trí cân bằng tạm thời
Gọi vị trí lị xo khơng biến dạng là vị trí O.

5


Hình 1.1. Các vị trí cân bằng tạm thời của lị xo
Ban đầu kéo vật đến vị trí P cách vị trí lị xo khơng biến dạng một đoạn
OP = A0. Trong q trình chuyển động về vị trí lị xo không biến dạng vật chịu
thêm lực tác dụng của lực ma sát trượt. Rõ ràng điều kiện ban đầu phải thỏa mãn
lực đàn hồi có độ lớn lớn hơn độ lớn lực ma sát trượt thì vật mới chuyển động về
O được.
Nghĩa là:

hay A 0 

kAμmg
0 

μmg
(*)
k

Khi thỏa mãn (*), vật sẽ chuyển động về O. Trong quá trình này, lực ma
sát trượt có độ lớn khơng đổi, lực đàn hồi kéo vật về có độ lớn giảm dần. Đến vị
trí O1 lực đàn hồi có độ lớn bằng với độ lớn của lực ma sát trượt, nên ta gọi O 1 là
vị trí cân bằng của vật ( khơng phải là vị trí O). Vị trí O1 nằm giữa P và O.
Tương tự như vậy, trường hợp khi vật chuyển động từ Q về O thì vật có vị
trí cân bằng là O2 giống với O1. Do đó trong q trình dao động qua lại vật có
hai vị trí cân bằng, ta tạm gọi đó là hai vị trí cân bằng tạm thời.
Gọi tọa độ của O1 và O2 là x0. Dễ dàng thấy được tại O1 và O2 ta có:
Fđh = Fmst hay x 0  ±

μmg
k

Vậy trong bài toán tắt dần của dao động cơ, ta để ý đến 3 vị trí đặc biệt:
Vị trí lị xo khơng biến dạng O; Hai vị trí cân bằng tạm thời O 1 và O2 nằm
cách vị trí lị xo không biến dạng một đoạn δ 
6

μmg
k


Nhận xét: Biên độ dao động của vật giảm theo hàm mũ, sự giảm phụ
thuộc vào hệ số nhớt của mơi trường. Hệ số nhớt càng lớn thì biên độ càng giảm
nhanh. Đó là lý do giải thích tại sao trong mơi trường càng nhớt thì dao động
của vật tắt càng nhanh. Tần số góc dao động của dao động tắt dần nhỏ hơn tần

số góc của dao động riêng.
1.2. Bài toán tổng quát về dao động cơ tắt dần
Bài tốn: Con lắc lị xo gồm vật nặng có khối lượng m và lị xo có độ
cứng k. Con lắc đặt trên mặt phẳng nằm ngang. Tại thời điểm ban đầu người ta
kéo vật dịch khỏi vị trí O một đoạn A 0 rồi thả nhẹ. Cho rằng hệ số ma sát trượt
giữa vật và giá là không đổi và bằng μ và bỏ qua lực ma sát nhớt của mơi
trường.
Nhận xét: Có rất nhiều phương pháp để giải bài toán này tùy vào từng
quan điểm hay là cách tiếp cận của mỗi người, ở đây tôi chọn phương pháp so
sánh tương tự, cụ thể:
- Tơi phân tích q trình dao động tắt dần thành nhiều giai đoạn khác
nhau, so sánh tương tự với bài tốn dao động điều hịa của con lắc lò xo chịu tác
dụng của một lực có độ lớn và hướng khơng đổi.[phụ lục ]
- Như vậy, trong một quá trình dao động, trước khi vật đổi chiều thì chu
kỳ dao động của vật khơng đổi.
1.2.1. Độ giảm biên độ của vật sau một chu kì.
1.2.1.1. Theo quan điểm năng lượng
Rõ ràng ta không thể chọn một vị trí cân bằng nào cố định để tính biên độ,
mà mỗi một lần đổi chiều dao động thì biên độ sẽ ứng với vị trí cân bằng khác
nhau. Do đó ta tạm coi rằng khoảng cách xa nhất của vật tới vị trí lị xo khơng
biến dạng O là biên độ dao động tạm thời.
Theo điều giả sử trên ta tính được độ giảm biên độ sau ½ chu kì dao động
như sau:

7


Hình 1.2. Độ giảm biên độ sau các lần dao động.
Giả sử sau ½ T đầu, vật dao động từ P rồi dừng lại và đổi chiều tại M.
(Nếu không có ma sát thì vật sẽ dao động và đổi chiều tại Q đối xứng với P qua

O ). Như vậy lượng giảm biên độ của vật sau ½ T chính là đoạn MQ.
MQ = ΔA1/2
Chọn mốc thế năng đàn hồi tại vị trí lị xo khơng biến dạng O. Mốc thế
năng trọng trường là mặt phẳng ngang.
Thế năng trọng trường của hệ bằng 0.
Tại P: Cơ năng của hệ tồn tại dưới dạng thế năng đàn hồi của lò xo:
EP =

1
1
kΔl2p = kA 02
2
2

Tại M: Vật đổi chiều (vM = 0) nên tại M cơ năng của hệ:
EM =

1
1 2
kΔl2M = kA1/2
2
2

Với A1/2 là biên độ của vật sau 1/2T.
Độ giảm cơ năng của hệ sau 1/2T:
ΔE = E P - E M =

1 2 1 2
kA 0 - kA1/2
2

2

Lực ma sát sinh cơng âm có độ lớn:
A ms = Fmst .S =μmgS

Dựa vào hình vẽ ta có: S = A0 – A1/2
Do đó : A ms =μmg A 0- A 1/2 
Theo định lý biến thiên cơ năng ta có: E = A ms
Mặt khác: ΔA1/2 =  A 0 - A1/2  ta được ΔA1/2 = 2

μmg
 2δ
k

Vậy độ giảm biên độ sau 1 chu kì của vật được xác định:
8


A = 2.ΔA1/2 = 4

μmg
k

1.1.2.2. Theo phương pháp so sánh tương tự
Xét trong ¼ chu kỳ đầu, vật dao động với VTCB tạm thời và chu kỳ dao
động không đổi.
Trong ¼ T chu kì đầu vật dao động từ P hướng tới O, vật sẽ nhận vị trí O 1

r
v

làm vị trí cân bằng tạm thời.
P

O1

O

.

.

O2

.

δ
A = A -δ
1 4 41/442 40 4 43142 43
Hình 1.3.Vị trí cân bằng tạm thời.
Do vậy trong ¼ chu kì này biên độ dao động của vật đã giảm đi một
lượng đúng bằng: OO1 = xδ0  =

μmg
k

Vậy sau một chu kì, biên độ của vật giảm: A = 4δ = 4

μmg
k

Nhận xét: Trong hai cách giải quyết trên thì cách thứ 2 đơn giản hơn.
1.3. Các kết luận về sự dừng lại của vật
Dễ dàng ta chứng minh được, vị trí vật dừng lại phải nằm trong khoảng từ
O1 đến O2.
Gọi An là biên độ của vật sau n nửa chu kì. Ta có 3 bổ đề sau:
Kết luận 1: Nếu An = δ thì Sthêm = 0.
Kết luận 2: Nếu 2 δ > An > δ thì vật dừng lại trong khoảng OO1.
Thời gian trong quá trình này là T/2:

Hình 1.4. Vị trí dừng lại của vật.
Tọa độ vị trí dừng lại được xác định dựa vào định lý biến thiên cơ năng:
9




1 2 1 2
kA n = kx n +μmg A n - x n
2
2



xn =

2μmg
 A n = 2δ  A n
k

Quãng đường chất điểm đi thêm được là :
Sthêm = 2An - 2 δ = 2A0 - 2 δ (2n + 1)
Kết luận 3: Nếu 2δ < A n  3δ thì vật dừng lại trong khoảng OO 2 , thời gian trong
quá trình này là T/2.

r
v

O1

O

.

.

A

.
N

O2

.

x

n
n
1 4lại4được

4 442
4 4dựa
4 43
Tọa độ vị trí dừng
xác4
định
vào
định
14 2
43lý biến thiên cơ năng:

1 2 1 2
2μmg
kA n = kx n +μmg  A n + x n  x n = A n = A n - 2δ
2
2
k

Quãng đường vật đi thêm được:
Sthêm = An + xn = 2An - 2 δ = 2A0 - 2 δ (2n + 1)
1.4. Áp dụng giải các bài tốn định lượng
1.4.1. Tớc độ cực đại của vật
Có nhiều phương án để tìm tốc độ cực đại của vật trong dao động tắt dần,
sau đây tôi xin trình bày 3 phương án và sẽ nhận xét ưu nhược của từng phương
án trên:
Phương án 1: Dựa vào tính chất cực trị tốn học.
Ta đã biết, gia tốc tức thời của vật chính là đạo hàm bậc nhất của vận tốc
do đó: a =

dv '

=v
dt

Mặt khác, vận tốc là hàm phụ thuộc vào thời gian, vận tốc có độ lớn cực
đại thì điều kiện cần ta phải có: v' 

dv
=0
dt

Từ hai điều trên ta thu được, tốc độ của vật đạt cực đại khi a = 0. Nghĩa là
vật đạt tốc độ cực đại tại vị trí hợp lực tác dụng lên vật bằng 0.
10


Trong quá trình vật dao động từ P hướng tới O, vị trí đầu tiên mà hợp lực
bằng 0 chính là 01. Như vậy tốc độ của vật đạt cực đại chính là tốc độ của vật khi
đi qua O1.
Dựa vào định luật bảo toàn năng lượng tại P và tại O 1 để tìm tốc độ cực
đại:
ΔE PO = A ms hay
1

 v max =

1
1
1

kA 02 -  kδ2 + m v2max = μmg  A0 - δ 

2
2
 2


k
k
A 0 -δ  . Thay ω =
ta được :

m
m

vmax = A0 - 
Phương án 2: Dựa vào tính chất của đường cong Parabol.
Thiết lập phương trình tổng quát sau đó tìm vị trí vật đạt tốc độ cực đại.
Dễ thấy, trước khi vật đổi chiều thì vật đã đạt tốc độ cực đại ở một vị trí nào đó.
Xét vật ở vị trí tọa độ x bất kì. Giả sử lúc này vật đang tại N:

r
v

.N
.
P
................... A0.............................x ........
.

O1

O

.

Q

x

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng tại P và tại N ta có:
ΔE PN = A ms

hay

1
1
 1

kA 02 -  kx 2 + m v 2 =μmg A 0  x 
2
2
2



1
1
1
k
k
 mv 2 = - kx 2 -μmgx + kA 02-μmgA 0  v 2 = - x 2 - 2μgx + A 20 - 2μgA 0

2
2
2
m
m

Ta thấy v2 phụ thuộc vào x theo hàm bậc 2 nên từ tính chất của đường
cong parabol ta có được kết quả sau:
Vị trí vật đạt tốc độ cực đại: v max  x = -

bμmg
=, tọa độ này chính là tọa
2a
k

độ vịt trí cân bằng tạm thời O1. Như vậy vật đạt tốc độ cực đại tại O1.
Tốc độ cực đại mà vật đạt được:

11


v max = c-

với 

2 2
b2
k 
μmg 
k

 4μ g
=  A 02 - 2μgA 0 
A0 
 = A0 - 
4a  m
m 
k 
 4.  - k 


 m

μmg
k
và 

k
m

Phương án 3: Dựa vào tính cực đại của vật tốc đối với dao động điều hòa.
Trong dao động điều hịa của một vật với tần số góc biên độ A, thì vật
đạt tốc độ cực đại khi đi qua vị trí cân bằng, giá trị cực đại có độ lớn :
vmax =  A.
Dựa vào hệ quả của cách lí giải 2 về độ giảm biên độ trong một chu kì.

Nhận thấy, trong quá trình vật dao động từ P hướng tới O, vật nhận O1 làm
vị trí cân bằng tạm thời. Do đó ta coi trong quá trình này vật dao động với biên
độ A1 = A0 - và với tần số góc Từ đó thu được kết quả:
vmax =  A1 = A0 - với 

μmg
k
và 

k
m

Nhận xét: Trong ba phương án, tác giả nhận thấy phương án 3 có ưu điểm rõ
ràng hơn, nhanh hơn so với hai phương án còn lại. Tuy nhiên hai phương án 1 và
2 thì có thể vận dụng được cho nhiều bài toán khác phức tạp hơn hay ta nói
phương án 1 và 2 sẽ giải quyết vấn đề đa dạng hơn.

12


1.4.2. Quãng đường đi của vật đến khi dừng lại
*) Quãng đường của vật đi được sau n nửa chu kì:
1

Sau1.
T  S = A 0 +  A 0 - 2δ 

2

Sau 2. 1 T  S = A + 2  A - 2δ    A - 4δ 
0
0
0

2


1

Sau 3. T  S = A 0 + 2  A 0 - 2δ   2  A 0 - 4δ    A 0 - 6δ 
2

....

n. T  Sn = A 0 + 2  A 0 - 2δ  + 2  A 0 - 4δ  +2  A 0 - 6δ  +...+  A 0 - 2nδ 
 2


Ta có :

 Sn = A 0 +  A 0 -2nδ  + 2  A0 - 2δ + A0 - 4δ + A0 - 6δ +...+ A0 - 2  n-1 δ 





 Sn = 2A 0 - 2nδ + 2  n-1 A0 - 2δ 1+ 2 +3+...+  n-1 

 Sn = 2A 0 - 2nδ + 2   n-1 A0 - n  n-1 δ = 2nA 0 - 2n 2 δ = 2n  A 0 - nδ 

Vậy: Sau n nửa chu kì, quãng đường vật đi được là: Sn = 2n  A 0 - nδ 
*) Quãng đường của vật đi thêm sau n nửa chu kì:
Giả sử sau n nửa chu kì, biên độ của vật giảm cịn A n = A0 – 2n δ = A0 - 2n
μmg
k

Từ kết quả của kết luận trên:
Nếu An = δ thì theo kết luận vật dừng lại tại đây hay Sthêm = 0
Theo kết luận 2 và 3, trong cả hai trường hợp δ < An < 2 δ và 2 δ < An < 3 δ
quãng đường vật đi thêm đều là Sthêm = 2A0 - 2 δ (2n + 1), với n là số nửa chu kì
dao động trước đó.
*) Quãng đường vật đi được đến khi dừng lại :
Tổng hợp hai kết quả trên ta tính quãng đường tổng như sau:
Phân tích:

A0
= n+m
2δ

( với n là số nguyên, m là phần lẻ ).

Kết quả 1: Nếu m = 0,5 thì vật rơi vào trường hợp An = δ , do đó quãng
đường vật đi được là: S = 2n  A 0 - nδ 
13


Kết quả 2: Nếu m  0,5 thì vật rơi vào trường hợp δ < An < 2 δ quãng đường
vật đi được là:
S = Sn + Sthêm = 2(n+1)A0 -2(n+1)2 δ
Kết quả 3: Nếu m < 0,5 thì An < δ . Ở đây vật đang nằm trong khoảng
O1O2 nghĩa là sẽ không dao động nữa, vậy ta xét trong nửa chu kì trước đó. Lúc
này 2 δ < An < 3 δ do đó qng đưịng vật đi được là:
S = Sn-1 + Sthêm = 2(n-1)[A0 – (n-1) δ ] +2 An-1 - 2 δ = 2n  A0 - nδ 
( với An-1 = A0 – 2(n-1) δ ).
Nhận thấy kết quả 1 và 3 trùng nhau do đó ta có bảng kết quả rút gọn sau:
A0

= n+m
2δ

Quãng đường vật đi
được đến khi dừng

m  0,5

m  0,5

S = 2n  A 0 - nδ 

S =2(n+1)[A0 - (n+1) δ ]

lại.
1.4.3. Thời gian dao động
Bài tốn tính thời gian dao động thì đơn giản hơn bài tốn tính quãng
đường đi. Chỉ cần sử dụng hai kết luận 1 và 2 thì ta có thể giải quyết được.
Phân tích:

A0
= n + m ( với n là số nguyên, m là phần lẻ ).
2δ

Nếu m > 0.5 thì thời gian dao động là (n+1)T/2 rơi vào bổ đề 2.
Nếu m  0.5 thì thời gian dao động là nT/2.
1.5. Một số bài toán phụ
1.5.1. Động năng lớn nhất hay thế năng của hệ khi vật đạt tốc độ cực đại
Động năng cực đại của vật Eđmax =

1
mv 2max , theo kết quả trên
2

μmg  từ đó ta được : Eđmax

1μmg  1
v max =ω A 0= mω2  A0 
k 

2


14

2

 μmg 
  k A 0 k 
2 

2



k 


Vật đạt tốc độ cực đai tại vị trí O1 lúc này lò xo biến dạng một đoạn δ do
μmg 

đó thế năng của hệ lúc vật đạt tốc độ cực đại là: E t = 1 kδ 2 = 1 
2
2 k

2

1.5.2. Thế năng của hệ hoặc lực đàn hồi của lò xo khi vật đổi chiều lần thứ n
Khi vật đổi chiểu lần thứ n thì lúc này vật đang cách vị trí lị xo khơng
biến dạng một đoạn:  xn = A0 – 2n δ . Do đó:
Thế năng của hệ khi vật đổi chiều lần thứ n là:
2

2
1
1
1μmg


E t = kΔ 2x = k  A 0 - 2nδ   k  A 0 - 2n

n
2
2
2 
k 

Độ lớn lực đàn hồi của lò xo khi vật đổi chiều lần thứ là:
μmg 

Fđh = kΔ x = k  A 0 - 2nδ   k  A 0 - 2n


k 

n

1.5.3. Động năng của vật hoặc tốc độ của vật khi vật qua vị trí lị xo khơng
biến dạng lần thứ n
Sử dụng định luật bảo toàn năng lượng kết hợp với quãng đường vật đi
được sau n nửa chu kì ta sẽ giải quyết được bài tốn trên.
Khi vật qua vị trí lị xo không biến dạng lần 1: S = A 0
Khi vật qua vị trí lị xo khơng biến dạng lần 2: S = A 0 + 2  A 0 - 2δ 
Khi vật qua vị trí lị xo khơng biến dạng lần 3:







S = A0 + 2 A 0 - 2δ + 2 A 0 - 4δ



Khi vật qua vị trí lị xo khơng biến dạng lần n:





S = A 0 + 2 A 0 - 2δ + ...+2  A 0 - 2  n -1 4δ 

= A 0 + 2  A 0 - 2δ + A0 - 4δ +...+ A 0 - 2  n-1 δ 





= A 0 + 2  n - 1 A 0 - 2δ 1 + 2 +...+  n - 1  

= A 0 + 2  n -1 A 0 - n  n -1δ
 = 2n - 1 A 0- 2n n - 1δ

15


Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta được: Khi vật qua vị trí lị xo
khơng biến dạng lần thứ n:
1
kA 02 = Eđn + A ms hay
2

Eđn =

1 2
1
1
kA 0 - A ms = kA 02 - FmsS = kA 02 - μmg  2  n -1 A0 - 2n  n -1 δ 
2
2
2

1.5.4.Tốc độ cực đại của vật đạt được kể từ sau thời điểm t
Sau thời gian t nào đó, vật sẽ đạt tốc độ cực đại sau đó là bao nhiêu?
t
 mn
Phân tích: T
(Với m là phần nguyên, n là phần lẻ)
2

Biên độ dao động của vật sau thời gian nT/2 là: An = A0 – 2n δ
Lúc này vật đang ở biên, tốc độ của vật bằng 0:
1
2

- Nếu m < thì tốc độ cực đại của vật đạt được sau đó là:
vmax = ω  A n - δ  = ω  A 0 - δ  2n+1 
- Nếu

1
 m < 1 : Lúc này vật đã qua vị trí cân bằng tạm thời và đang có xu
2

hướng chuyển động về biên. Như vậy tốc độ cực đại của vật đạt được khi vật ra
biên và qua vị trí cân bằng tạm thời tiếp theo ( kể từ khi đổi chiều). Do đó ta tính
được tốc độ cực đại của vật là:
vmax = ω  A n - 3δ  = ω  A 0 - δ  2n+3 
1.5.5. Thời gian vật dao động từ lúc buông vật đến vị trí lị xo khơng biến
dạng.
Từ lúc bng vật đến khi lị xo khơng biến dạng thì vật đang dao động
điều hịa với chu kì T và với biên độ A1 = A0 - δ . Do đó ta tiến hành giải quyết
bài toán tương tự bài toán trong dao động điều hịa khi khơng có lực cản.

Khi đó thời gian cần tìm: t =

T
 t 0  +δ
4

16


Chương 2
HỆ THỐNG BÀI TẬP MINH HỌA
2.1. Bài tập minh họa
2.1.1.Ví dụ minh họa 1
Một con lắc lị xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,4kg và lị xo có độ cứng 100
N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số
ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Lấy g = 10 m/s 2. ( π 2 = 10 ). Tính thời
gian vật dao động và tổng quãng đưỡng vật đi được đến dao động tắt trong các
trường hợp sau:
Ban đầu giữ vật ở vị trí lị xo bị nén 9.8 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao
động tắt dần.
Ban đầu giữ vật ở vị trí lị xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao
động tắt dần.
Ban đầu giữ vật ở vị trí lị xo bị nén 10.12 cm rồi bng nhẹ để con lắc
dao động tắt dần.
Ban đầu giữ vật ở vị trí lị xo bị nén 10.4 cm rồi bng nhẹ để con lắc dao
động tắt dần.
Hướng dẫn:
Ta sử dụng bảng kết quả tổng hợp từ phần phương pháp:
A0
 mn

2

m  0, 5

m  0,5

Quãng đường vật đi S = 2n  A 0 - nδ 
17

S =2(n+1)[A0 - (n+1) δ ]


được đến khi dừng lại.
Số nửa chu kì vật dao n

n+1

động đến khi dừng lại
Vị trị cân bằng tạm thời cách vị trí lị xo khơng biến dạng một đoạn :
δ=

μmg
= 0,4cm
k

Chu kì dao động của vật: T = 2π

m
= 0,4s
k

Do đó: Ta có bảng kết quả sau:
Trường

(A0

=

hợp

9,8cm)

(A0 = 10cm)

(A0 = 10,12cm)

= 12 + 0,5

= 12 + 0,65

(A0

=

10,4cm)

Phân tích
A0
= n+m
2δ

= 12 + 0,25

= 13 + 0
13

Giá trị n

12

12

12

Giá trị m

0,25

0,5

0,65

0

Quãng
đường vật S
đi
đến

= S

= S

= S

=

được 2n  A 0 - nδ 

2n  A 0 - nδ 

2  n+1  A 0 -  n+1δ
 

2n  A 0 - nδ 

khi =120cm

=124,8cm

=127,92cm

=135,2cm

dừng lại.
Thời gian t

=

vật

dao =2,4s

động

đến

n

T
2

T
2

T
2

t = n = 2,4s t = (n+1) =2,6s

t

=

=2,4s

18

n

T
2


khi

dừng

lại
2.1.2.Ví dụ minh họa 2
Một con lắc lị xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2 kg và lị xo có độ cứng 50
N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số
ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,05. Tại vị trí lị xo khơng biến dạng,
người ta nén vật 5cm rồi buông nhẹ.
Tốc độ của vật khi vật đi qua vị trí lị xo khơng biến dạng lần 3.
Độ lớn lực đàn hồi khi vật đổi chiều lần 3.
Hướng dẫn:
Vị trị cân bằng tạm thời cách vị trí lị xo khơng biến dạng một đoạn:
δ=

μmg
= 0,2cm
k

Từ lức bng vật đến lúc vật qua vị trí lị xo không bị biến dạng lần 3, vật
đã đi được quãng đường:
S =  2n - 1 A 0 - 2n  n - 1δ = 5A0 - 12 δ = 22,6cm
(Lưu ý đối với trường hợp n nhỏ ta có thể thấy ngay qng đường vật đi được
thơng qua hình vẽ mô phỏng).
Chọn mốc thế năng đàn hồi tại vị trí lị xo khơng biến dạng. Theo định

luật bảo tồn năng lượng ta có kết quả sau:
1 2
1
1
kA 0 = A ms + Eđ hay Eđ = kA 02 - A ms = kA 02 - μmgS = 0,04(J)
2
2
2

Khi vật đổi chiều lần 3, lúc này lò xo đang biến dạng một đoạn:
An = A0 – 2.n δ = 3,8cm
Vậy độ lớn lực đàn hồi lúc vật đổi chiểu lần 3 là:
Fđh = K kΔl = KA n  1,9(N)
2.1.3.Ví dụ minh họa 3
Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2 kg và lị xo có độ cứng 20
N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số
ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,01. Từ vị trí lị xo khơng bị biến dạng,
19


truyền cho vật vận tốc ban đầu 1 m/s thì thấy con lắc dao động tắt dần trong giới
hạn đàn hồi của lị xo. Lấy g = 10 m/s2. Tính độ lớn của lực đàn hồi cực đại của lò
xo trong q trình dao động.
Hướng dẫn:
Để ý thấy cách kích thích dao động cho vật bằng cách cung cấp cho hệ
một động năng. Vậy ta nhận thấy ngay sau một thời điểm nào đó vật sẽ dừng lại
và đổi chiều. lúc này lò xo biến dạng lớn nhất và động năng của hệ bằng 0.
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng để tìm vị trí này:
Giả sử vị trí cách vị trí cân bằng một đoạn  , như vậy quãng đường vật đi
được cũng chính là  , do đó:

1
1
1
1
mv02 = A ms + kΔ 2  mv02 = μmgΔ + kΔ 2 từ đó
2
2
2
2

ta tính được  = 9,9cm.
Lực đàn hồi cực đại của lò xo trong q trình dao động là:
Fdhmax = k  = 1,98N.
2.1.4.Ví dụ minh họa 4
Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng m =
100(g) và lị xo nhẹ có độ cứng k = 100(N/m). Nâng vật nặng lên theo phương
thẳng đứng đến vị trí lị xo khơng bị biến dạng, rồi truyền cho nó vận tốc 10 30
(cm/s) thẳng đứng hướng lên. Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật
nặng. Chọn trục tọa độ Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O
ở vị trí cân bằng. Lấy g = 10(m/s2); π 2  10 .
a) Nếu sức cản của mơi trường khơng đáng kể, con lắc lị xo dao động điều hịa.
Tính: - Độ lớn của lực đàn hồi mà lò xo tác dụng vào vật lúc t = 1/3(s).
- Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian 1/6(s) đầu tiên.
b) Nếu lực cản của môi trường tác dụng lên vật nặng có độ lớn khơng đổi và
bằng FC=0,1(N). Hãy tìm tốc độ lớn nhất của vật sau khi truyền vận tốc.
Hướng dẫn: Ta chỉ xét đến ý b của bài tốn.
Bài tốn này khơng khó chỉ cần người đọc biết cách chuyển bài toán về
bài toán cơ bản ở phương pháp trên.

20


Trước tiên ta tìm vị trí lị xo biến dạng lớn nhất tương tự ví dụ 3, khoảng
cách đó là  , từ đó ta có thể phát biểu lại bài tốn. Tại vị trí cân bằng, người ta
nhắc vật lên một đoạn A0 =  rồi buông nhẹ, xác định tốc độ cực đại của vật sau
đó.
Rõ ràng đến đây bài tốn hồn tồn đơn giản. Cụ thể như sau:
Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng cũ ( khi chưa có lực cản).
Tìm vị trí lị xo biến dạng lớn nhất (A0)
Tương tự ở ví dụ 3:
1
1
1
1
1
1
mv02 + kΔl02 = Ac + kΔ2  mv02 + kΔl02 = Fc Δ - l0 + kΔ 2
2
2
2
2
2
2



(với Δl0 =



mg
= 1cm là độ biến dạng của lò xo ở vị trí cân bằng khi chưa có lực
k

cản). Ta tính được  = 0,0195m = 1,95cm.
Như vậy A0 = 1,95cm.
Lưu ý thêm, vị trí cân bằng của vật ở đây trong q trình vật đi xuống
nằm cách vị trí cân bằng cũ một đoạn δ =

Fc
=0,1cm
K

Vậy tốc độ cực đại của vật đạt được là: vmax =ω  A 0- δ 
ω=

Với

k
=10π  rad/s  ta được: vmax = 58,5cm/s
m

(Có thể giải theo cách mà đáp án đưa ra, tuy nhiên cách làm đó tính tốn nhiều
và phức tạp)
2.1.5. Ví dụ minh họa 5
Cho một con lắc lị xo có độ cứng K = 100 N/m, m=100gam. Hệ số ma sát
giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là 0,5. Kéo vật tới ví trí lị xo dãn 1,5 cm rồi
thả nhẹ. Tính khoảng thời gian vật chuyển động từ thời điểm ban đầu đến vị trí
lị xo khơng biến dạng.

21


μmg
m
 0,5cm. A1/2 =
=0,2s). δ =
k
k

Hướng dẫn: Theo bài ra: A0 = 5cm. T = 2π

A0 - δ =1cm. Do đó thời gian từ thời điểm ban đầu đến vị trí lị xo khơng biến
dạng là: t =

T
T
5T
 t 0  +δ Dựa vào hình vẽ: t =  t 0  +δ =
=0,083s
4
4
12
M

φ

N

δ

0

A1

2.2. Một số bài tập trắc nghiệm chọn lọc
Câu 1: Một con lắc lị xo có độ cứng k = 10N/m, khối lượng vật nặng m = 100g,
dao động trên mặt phẳng ngang, được thả nhẹ từ vị trí lị xo giãn 6cm so với vị trí
cân bằng. Hệ số ma sát trượt giữa con lắc và mặt bàn bằng μ = 0,2. Thời gian
chuyển động thẳng của vật m từ lúc ban đầu đến vị trí lị xo khơng biến dạng là:
A.


(s) .
25 5

B.


( s) .
20

C.


(s) .
30

D.


( s) .
15

 μmg
δ = k =2cm
T
T T Tπ
 t   t 02     (s)   D 
Hd: 
4
4 12 3 15
T=2π mπ= (s)

k 5

Câu 2: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lị xo có độ cứng 1
N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số
ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lị xo bị nén
10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s 2. Tốc độ lớn
nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là
A. 10 30 cm/s.

B. 20 6 cm/s.

C. 40 2 cm/s

.

D. 40 3 cm/s

 μmg
δ = k = 2cm
 v max =ω A 0- δ  5 2 10  2   40 2  cm/s    C 
Hd: 
ω = k =5 2(s)

m





22


Câu 3: Một con lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k=100N/m và vật
m=100g, dao động trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang là
=0,02. Kéo vật lệch khỏi VTCB một đoạn 10cm rồi thả nhẹ cho vật dao động.
Quãng đường vật đi được từ khi bắt đầu dao động đến khi dừng hẳn là:
A. s = 50cm.

B. s = 25m. C. s = 50m.

D. s = 25cm

Hd:
 μmg
=0,02cm

A
δ =
 0  250  S250 =2n A0 - nδ  2.250  10  250.0, 02   2500cm = 25m  D 
k

2δ
A  10cm
 0





Câu 4: Một con lắc lò xo ngang gồm lị xo có độ cứng k = 80N/m và vật m =
200g, dao động trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang là  =
0,1. Kéo vật lệch khỏi VTCB một đoạn 10cm rồi thả nhẹ cho vật dao động. Số
chu kỳ vật thực hiện được là:
A. 5. B. 10. C.15. D. 20
Hd:

 μmg
=0,25cm
A
δ =
 0  20  Sau10T   B 
k

2δ
 A  10cm
 0

Câu 5: Một con lắc lị xo ngang gồm lị xo có độ cứng k=80N/m và vật m=200g,
dao động trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang là  = 0,1.
Kéo vật lệch khỏi VTCB một đoạn 10cm rồi thả nhẹ cho vật dao động. Khoảng
thời gian vật đi được từ khi bắt đầu dao động đến khi dừng hẳn là:
A. t = 3,14s. B.t = 3s.
Hd:

C. t = 6,28s. D. t=5s

 μmg
=0,25cm
A
δ =
 0  20  Sau10T  t = 10T = π   A 
k

2δ
 A  10cm
 0

Câu 6: Một con lắc lò xo gồm một vật có khối lượng 100g gắn vào lị xo có độ
cứng 0,01N/cm dao động tắt dần chậm từ thời điểm t = 0 với biên độ ban đầu là
10cm. Trong quá trình dao động, lực cản tác dụng vào vật có độ lớn khơng đổi
10-3 N. Tính tốc độ lớn nhất của vật sau thời điểm t = 21,5s. Lấy π² = 10.

23


A. 58π mm/s

B. 57π mm/s

C. 55π mm/s

D.

56π mm/s
Hd:

 Fc
δ = =0,1cm
t

k
  21  0,5  v max = ω  A0 -  2n+3 δ   π 10-  2.21+3 0,1 =5,5π  cm/s 

T
T=2π m =2(s)
2

k
  C

24


KẾT LUẬN
Bằng thực tiễn dạy ôn thi TN, CĐ – ĐH và bồi dưỡng HSG, qua trao đổi
chuyên môn cùng đồng nghiệp và một chút ít kinh nghiệm của bản thân, tôi đã

mạnh dạn viết đề tài với mong muốn làm một tài liệu cho đồng nghiệp và các
em học sinh tham khảo, để phục vụ cho việc dạy, học có hiệu quả hơn.
Cụ thể đề tài đã khai thác được bản chất Vật lý của bài toán dao động cơ
tắt dần từ phương pháp tiếp cận mới để đưa ra các cách giải đơn giản, dễ tiếp
thu, của một số bài tập trong phần này như : tính tốc độ cực đại, quảng đường
chuyển động, cơ năng,…
Tuy nhiên tôi chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những sai sót hoặc các quan
điểm cịn mang tính chủ quan. Tơi mong rằng, qua sáng kiến này tôi sẽ nhận lại
những phản hồi và những ý kiến trao đổi từ phía học sinh cũng như từ các độc
giả.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

25