Sổ tay thi đại học môn toán

SỔ TAY TOÁN HỌC THPT
CHINH PHỤC MỌI KỲ THI

PHẦN 1 : HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
BÀI TOÁN 1 : CÁC CÂU HỎI LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BẬC 3 :
y = a.x3 + bx 2 + cx + d ⇒ y ' = 3a.x 2 + 2bx + c;
∆ ' y ' = b 2 − 3ac

Trong đó :  A = 3a
 B = 3b


Các hình dạng đồ thị (Chú ý các trường hợp suy biến khi a = 0 )
a>0

a<0

b − 3ac > 0
2

b2 − 3ac = 0

b2 − 3ac < 0

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

1

A/ MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN
MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP

CÔNG THỨC

1. Hàm số đồng biến trên R

 a = b = 0

 c > 0
 a > 0

 b 2 − 3ac ≤ 0

2. Hàm số nghịch biến trên R

 a = b = 0

 c < 0
 a < 0

2
 b − 3ac ≤ 0

3. Hàm số chỉ đồng biến trên đoạn có
độ dài bằng K

a < 0
a < 0



hoặc  ∆ y '
 4 ( b 2 − 3ac )
2
2
≥k
 2 ≥k

2
A
9a


( Nếu Hàm số đồng biến trên khoảng lớn nhất có
độ dài bằng K thì thay dấu ≥ thành dấu “ = ” )

4. Hàm số chỉ nghịch biến trên đoạn có
độ dài bằng K
(Nếu Hàm số nghịch biến trên khoảng lớn nhất
có độ dài bằng K thì thay dấu ≥ thành dấu “ = ” )

a > 0
a > 0


2
hoặc  ∆ y '
 4 ( b − 3ac )
2
≥ k2

 2 ≥k

2
A
9a


5. Tìm điều kiện để hàm số đồng biến Phương pháp : YCBT ↔ y ' = 3a.x 2 + 2bx + c ≥ 0∀x ∈ ( a; b )
trên khoảng k = ( a; b )
Pp’ 1 : Dùng tam thức bậc 2 với 2 trường hợp như sau :

 a > 0
 2
 b − 3ac ≤ 0
 2
 b − 3ac > 0
 .......
Xem lại định lý đảo dấu tam thức bậc 2 ở phần phụ lục.
Pp’ 2 : Phương pháp hàm số ( nếu tham số m đồng bậc )

y ' = 3a.x 2 + 2bx + c ≥ 0 Đưa về một trong 2 trường hợp sau :
 f ( m ) ≥ g ( x ) → f ( m ) ≥ Maxg ( x )
x∈[a ;b]


( x)
 f ( m ) ≤ g ( x ) → f ( m ) ≤ Ming
x
∈
a

;
b
[
]

Chú ý g(x) liên tục trên

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

 a ;b 
 

LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

2


B/ MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP VỀ CỰC TRỊ :

1. Hàm số khơng có cực trị

b 2 − 3c.a ≤ 0

a = b = 0

2. Hàm số có cực trị

 a = 0

 b ≠ 0

 a ≠ 0
 2
 b − 3ac > 0

3. Hàm số có hai cực trị

a ≠ 0
 2
b − 3ac > 0

4. Giải sử 2 điểm cực trị của đồ thị hàm
số là A (x 1; y1 ); B (x 2 ; y2 ) ứng với đk :

Ta có :


x + x = −2b
2
 1
3a
+) Viet : 

c
x 1x 2 =
3a


b − 3ac > 0
2

+) Đường thẳng qua 2 điểm cực trị A, B là : y = px + q, với px
+q là phần sư phép chia y/y’. Hoặc có thể tính trực tiếp nếu
nhớ công thức sau :

 2c 2b 2 
bc
 x + d −
y =  −
:))
 3
9a 
9a
+) Nếu so sánh 2 điểm cực trị của hàm số ta có :

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

3


+) Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị :

AB =

5. Để 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số A,B
các đều một đường thẳng ∆ cho trước.

4e + 16e3
b 2 − 3ac

;e =
a
9a

Có 2 trường hợp :



b 2 − 3ac > 0


 

b
TH1 : A và B khác phía so với ∆ ↔ 

U − ; yu  ∈ ∆





  3a
TH2 : A,B cùng phía thì cùng nằm trên đường thẳng // với ∆
2


b − 3ac > 0
hoặc A,B cùng nằm trên ∆ ↔ 
k = k(AB )




 ∆

6. Hàm số có hai cực trị trái dấu (Đồ thị
hàm số có hai cực trị nằm về hai phía
của trục Oy )

ac < 0

Có thể là câu hỏi y = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

7. Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu
(Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
nằm cùng một phía của trục Oy)

b 2 − 3ac > 0


ac > 0


8. Hàm số có hai điểm cực trị cùng
dương (Đồ thị hàm số có hai cực trị
nằm về bên phải trục Oy)



b 2 − 3ac > 0



ab < 0



ac > 0




9. Hàm số có hai điểm cực trị cùng âm
(Đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về
bên trái trục Oy)



b 2 − 3ac > 0


ab > 0



ac > 0




10. Hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn:

a. y '(α ) < 0

x1 < α < x2

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUN BẰNG

4


11. Hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn:

x1 < x2 < α

12. Hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn:

α < x1 < x2

b 2 − 3ac > 0

a. y '(α ) > 0
S < 2α

b 2 − 3ac > 0

a. y '(α ) > 0
S > 2α


13. Hai điểm cực trị của đồ thị nằm cùng
về phía trên trục Ox

y .y > 0
y ' = 0 có 2 nghiệm và  CD CT

14. Hai điểm cực trị của đồ thị nằm cùng
về phía dưới trục Ox

y ' = 0 có 2 nghiệm và 

15. Hai điểm cực trị của đồ thị nằm cùng
về phía trục Ox

yCD . yCT < 0

 yCD + yCT > 0

 yCD . yCT > 0
 yCD + yCT < 0

C/ MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP VỀ TƯƠNG GIAO :
1. Phương trình y = 0 có 3 nghiệm lập
b
−
Khi
có
một
nghiệm

là:
thành cấp số cộng hay đồ thị hàm số
3a
giao Ox tại 3 điểm phân biệt lập
thành 1 cấp số cộng.
Và hàm số có 2 cực trị : b 2 − 3ac > 0
2. Phương trình y = 0 có 3 nghiệm lập
d
thành cấp số nhân hay đồ thị hàm số Khi có một nghiệm là: − 3
a
giao Ox tại 3 điểm phân biệt lập
thành 1 cấp số nhân.
Và hàm số có 2 cực trị : b 2 − 3ac > 0
3. Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại
3 điểm phân biệt lập thành cấp số Yêu cầu bài toán :
cộng

U ∈ d
 2
b − 3ac > 0

4. Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại Viết phương trình tương giao đưa về 1 vế đưa bài toán về
3 điểm phân biệt lập thành cấp số dạng mục 2 với 1 hàm số mới.
nhân.
5. Biện luận số giao điểm của hàm bậc 3 Có 3 phương pháp chính :
với 1 đường khác.
PP1 : Nhẩm nghiệm cố định
PP2 : Cô lập tham số ( với chỉ có tham số đồng bậc )
PP3 : Dựa vào tính chất đồ thị.

6. Nếu phương trình bậc 3 có 3 nghiệm
x1 ; x2 ; x3 thì ta có tính chất sau :

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

b

 x1 + x2 + x3 = − a

c

Định lý viét bậc 3:  x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 =
a

d

 x1 x2 x3 = − a


LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUN BẰNG

5


D/ NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3 : y = a.x3 + bx 2 + cx + d
Bước 1 : Xét dấu hệ số a dựa vào tính chất đồ thị
Bước 2 : Xét dấu của d thông qua giao điểm của đồ thị với trục Oy

c

Bước 3 : Xét dấu của c thông qua x1. x2 = a
Bước 4 : Xét dấu của c thơng qua
hồnh độ x = −
•

x1 + x2
b
=−
hoặc thơng qua điểm U có
2
3a

b
là tâm đối xứng của đồ thị.
3a

Nếu hàm số khơng có cực trị ta bỏ bước 3

E/ MỘT SỐ CÂU HỎI KHÁC VỀ HÀM BẬC 3 : y = a.x3 + bx 2 + cx + d

+) Tiếp tuyến của đồ thị của đồ thị hàm số bậc 3 tại điểm có hồnh độ x1 và cắt đồ thị
b
x
x
+
x
=
−
.
Khi

đó
:
2
1
2
tạo điểm cịn lại có hồnh độ
a

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

6


BÀI TOÁN 2 : CÁC CÂU HỎI LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BẬC 4:
y = a.x 4 + bx 2 + c ⇒ y ' = 4a.x 3 + 2bx

*) HÌNH DẠNG ĐỒ THỊ CẦN NHỚ
a=0

a>0

a<0

A/ BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN , NGHỊCH BIẾN

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

7


B/ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ : y = a.x + bx + c
4

2

→ tọa độ các điểm cực trị
Xét trường hợp có ba cực trị 


b
∆ 
b
∆ 
A ( 0; c ) , B  − − ; −  , C  − ; −  .
2a 4 a 
2a 4a 


● BC = 2 −

b
b4
b
2
, AB = AC =
với ∆ = b − 4ac .

−
2
2a
16a 2a

3

 −b 
 AB : y = 
 2a  x + c
∆



● Phương trình qua điểm cực trị: BC : y = −
và 
.
3
4a

 −b 
x+c
 AC : y = − 


 2a 

Có 3 cực trị: a.b < 0

Có 1 cực trị: a.b ≥ 0

a>0: 1 Cực tiểu

a<0: 1 Cực đại

a>0: 1 Cực tiểu, 2 CĐ

DỮ KIỆN

a<0: 2 CĐ,1CT

CÔNG THỨC

1. Tam Giác Vuông Cân

8a + b3 = 0

2. Tam giác Đều

24a + b3 = 0

α

3. BAC = α

8a + b3 tan 2 ( ) = 0
2

4. S ∆ABC = S0

32a 2 ( S0 )2 + b5 = 0

5. Max( S 0 )

S0 = −

b5
32a3

6. BC = m0

am02 + 2b = 0

7. A ∈ Oy, B, C ∈ Ox
8. Tam giác có 3 góc nhọn

b2 − 4a.c = 0
8a + b3 > 0

9. Tam giác có tâm O nội tiếp

b3 − 8a − 4ac = 0

10. Tam giác có tâm O ngoại tiếp

b3 − 8a − 8ac = 0

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

8


11. Tam giác ABC có bán kính đường trịn
nội tiếp r0 cho trước.

r0 =

12. Tam giác ABC có bán kính đường tròn
ngoại tiếp R0 cho trước.
13.

b2

b3
a 1 + 1 −

a







b3 − 8a
R0 =
8ab

AB = AC = n0

16a 2n 20 − b 4 + 8b = 0
x 2 + y 2 − ( c + n ) x + c.n = 0; n =

14. Đường trịn qua 3 điểm A,B,C có
phương trình :
15. Tam giác ABC có trọng tâm O

b3 − 6ac = 0

16. Tam giác ABC có trực tâm O

b3 + 8a − 4ac = 0

17. Tam giác ABC có: BC = kAC

b3k 2 − 8a ( k 2 − 4 ) = 0

2 ∆
−
b 4a

b2 − 2a.c = 0

18. Tam giác ABC và O tạo hình thoi

b 2 − 4 2 a.c = 0

19. Trục hoành chia tam giác ABC thành 2
phần có diện tích bằng nhau

C/ BÀI TỐN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO : y = a.x + bx + c
4

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

2

LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

9


ax + b

BÀI TOÁN 3 : CÁC CÂU HỎI LIÊN QUAN ĐẾN HÀM y = cx + d
 d
+) Tập xác định: D = R \  − 
 c

+) Đạo hàm: y ' =

ad − bc

( cx + d )

2

- Nếu ad − bc > 0 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4.
- Nếu ad − bc < 0 hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3.
+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: x = −

d
a
và TCN: y =
c
c

 d a
+) Đồ thị có tâm đối xứng: I  − ; 
 c c

ad − bc > 0

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

ad − bc < 0

LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUN BẰNG

10


ad − bc

y
'
=
> 0 (< 0)
2


cx + d )

(
1/ TÌM ĐIỀU ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN ( HOẶC NGHỊCH BIẾN ) TRÊN K : 
− d ≠ K
 c

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

11


Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

12


BÀI TOÁN 4 : CÁC PHÉP SUY ĐỒ THỊ

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

13

Chú ý : Với những hàm có điểm gián đoạn hay khơng có giao với Oy ta làm đúng theo lý
thuyết đồ thị ở trang 13

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

14


CÁC BÀI TỐN KHÁC
BÀI TỐN 1 : TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ Bất phương trình f (x ) < g (m ) đúng với mọi x ∈ (a;b )
BÀI TOÁN 2 : TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ Bất phương trình f (x ) < g (m ) có nghiệm với x ∈ (a;b )

BÀI TỐN 3 : Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi công thức y = f u (x ) + g (x ) trong đó ta đã biết


dấu của f ' (x ) và g (x ) là một hàm cụ thể. Hướng giải là tính đạo hàm y ′ = u ′ (x ) f ′ u (x ) + g ′ (x ) , từ


dấu của u ′ (x ) f ′ u (x ) và dấu của g ' (x ) ta đưa ra kết luận phù hợp với bài tốn.


- Dạng này ngồi cách cho dấu của f ' (x ) thông qua bảng biến thiên, ta còn gặp trường hợp cho dấu
của f ' (x ) thơng qua đồ thị.
- Ngồi ra ta với bài tốn trắc nghiệm ta cịn có cách nữa là thử trực tiếp để loại trừ các đáp án sai từ đó
đưa ra được đáp án đúng.

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

15


. Dấu hiệu:
+) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu khơng là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.
+) Hàm phân thức mà bậc của tử ≤ bậc của mẫu có TCN.
+) Hàm căn thức dạng: y =
− ,y =
− bt, y = bt −
có TCN. (Dùng liên hợp)
+) Hàm y = a x , ( 0 < a ≠ 1) có TCN y = 0
Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

16


+) Hàm số y = log a x, ( 0 < a ≠ 1) có TCĐ x = 0
. Cách tìm:
+) TCĐ: Tìm nghiệm của mẫu khơng là nghiệm của tử.
+) TCN: Tính 2 giới hạn: lim y hoặc lim y
x →+∞

x →−∞

. Chú ý:
+) Nếu x → +∞ ⇒ x > 0 ⇒ x 2 = x = x

+) Nếu x → −∞ ⇒ x < 0 ⇒ x 2 = x = − x
*) Chú ý với hàm số có chứa :

(

)

u
+) a a > 0 thì ln có tiệm cận ngang y = 0

+) loga u thì ln có số tiệm cận đứng chính = số nghiệm phương trình u = 0

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUN BẰNG

17


BÀI TỐN 9 : HỆ QUẢ TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

18


Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

19


Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

20


BÀI TOÁN 11 : MAX – MIN HÀM CHỨA //

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

21


BÀI TOÁN 12 : MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ HÀM HỢP

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

22

BÀI TOÁN 13 :

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUN BẰNG

23


BÀI TOÁN 14 :

Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUN BẰNG

24


Phạm Z = . SĐT : 0357913986

LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG

25