Tài liệu môn học xác suất thống kê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VĂN LANG
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - BỘ MƠN TỐN
*

TÀI LIỆU
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Ngày 28 tháng 8 năm 2019


Mục lục

1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP

6

1.1

Nguyên lý cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Nguyên lý nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
2.1

2.2

2.3

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1

Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.2

Phép thử, không gian mẫu và biến cố . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.3

Mối quan hệ giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.4

Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Định nghĩa xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1

Định nghĩa xác suất theo cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2

Định nghĩa xác suất theo thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.3

Định nghĩa xác suất theo tiên đề Komogorov . . . . . . . . . . . 14

Các công thức xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1

Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.2

Cơng thức xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.3

Công thức xác suất nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.4

Công thức xác suất đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.5

Công thức xác suất Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.6

Công thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 BIẾN NGẪU NHIÊN
3.1

10

24

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2


K24

Học kỳ 1/2019-2020

3.2

3.3

3

Biểu diễn biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1

Biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.2

Biến ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1

Biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.2

Biến ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4

Hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5

Hàm của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.6

Các đặc trưng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.7

3.6.1

Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.6.2

Giá trị tin chắc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.6.3

Trung vị (Median) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.6.4

Phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.6.5

Độ lệch chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Vectơ ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7.1

Vectơ ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.7.2

Vectơ ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.8

Hiệp phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.9

Hệ số tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.10 Hàm tuyến tính của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.11 Tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
4.1

Quy luật phân phối siêu bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2

Quy luật phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3

Quy luật phân phối Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4

Phân phối chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5

Quy luật phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.6

Các công thức xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6.1

Xấp xỉ phân phối siêu bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6.2

Xấp xỉ phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.7

Phân phối Chi bình phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.8

Phân phối Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 LÝ THUYẾT MẪU
K24

45

62


K24

Học kỳ 1/2019-2020

5.1

Thống kê là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2

Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.1

Tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2.2

Mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2.3

Cách mô tả một mẫu cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3

Các đặc trưng cơ bản của tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.4

Các đặc trưng cơ bản của mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.5

Phân phối mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5.1

Phân phối của trung bình mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.5.2

Phân phối của tỷ lệ mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.5.3

Phân phối của phương sai mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ

69

6.1

Ước lượng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2

Ước lượng khoảng (trường hợp một mẫu) . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2.1

Ước lượng trung bình tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2.2

Ước lượng tỷ lệ tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.2.3

Các chỉ tiêu chính của bài tốn ước lượng . . . . . . . . . . . . . 78

6.2.4

Ước lượng phương sai tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ

82

7.1

Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.2

Giả thuyết H0 và đối thuyết H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.3

7.2.1

Giả thuyết H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.2.2

Đối thuyết H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.2.3

Sai lầm loại I và sai lầm loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Kiểm định giả thuyết về kỳ vọng tổng thể (µ) . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.3.1

So sánh kỳ vọng với một số (khi biết phương sai) . . . . . . . . 84

7.3.2

So sánh kỳ vọng với một số (khi chưa biết phương sai) . . . . . 86

7.4

Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.5

Kiểm định giả thuyết về phương sai tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.6

So sánh hai kỳ vọng của hai tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.7

So sánh hai tỷ lệ của hai tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.8

Kiểm định phi tham số (So sánh các bộ số liệu) . . . . . . . . . . . . . 103
7.8.1

K24

4

Kiểm định giả thuyết về luật phân phối . . . . . . . . . . . . . . 103


K24

Học kỳ 1/2019-2020

7.8.2

5

Kiểm định giả thuyết về sự độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8 MƠ HÌNH HỒI QUY HAI BIẾN

109

8.1

Những khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.2

Hệ số tương quan mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.3

Mơ hình hồi quy hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.3.1

Hàm hồi quy tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.3.2

Hàm hồi quy mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.3.3

Phương pháp bình phương bé nhất (OLS - Ordinary Least Square)113

9 BÀI TẬP

116

9.1

Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

9.2

Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.3

Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.4

Bài tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.5

Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.6

Bài tập chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.7

Bài tập chương 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.8

Bài tập chương 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.9

Bài tập chương 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.10 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.11 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO ĐỂ TÌM CÁC ĐẶC
TRƯNG CỦA MẪU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.11.1 Máy tính Casio fx-570ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.11.2 Máy tính Casio fx-570ES LPUS . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.12 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO ĐỂ TÌM HỆ SỐ TƯƠNG
QUAN VÀ ĐƯỜNG HỒI QUY TUYẾN TÍNH ĐƠN . . . . . . . . . . 157
9.12.1 Máy tính Casio fx-570ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.12.2 Máy tính Casio fx-570ES PLUS . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.13 Các bảng tra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

K24


CHƯƠNG

1
GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1.1

Ngun lý cộng

Giả sử một cơng việc có thể thực hiện bằng một trong k phương pháp, trong đó
• Phương pháp 1 có n1 cách thực hiện,
• Phương pháp 2 có n2 cách thực hiện, . . . ,
• Phương pháp k có nk cách thực hiện,

và hai phương pháp khác nhau khơng có cách thực hiện chung.
Khi đó, ta có n1 + n2 + · · · + nk cách thực hiện cơng việc.
Ví dụ 1. Có 10 cái áo thun ngắn tay và 5 cái áo thun dài tay. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn một cái áo thun ?
Hướng dẫn. Ta thấy có 2 phương án chọn áo thun.
Phương án 1: chọn áo thun ngắn tay; phương án này có 10 cách chọn.
Phương án 2: chọn áo thun dài tay; phương án này có 5 cách chọn.
Vậy, theo nguyên lý cộng, ta có tất cả 10 + 5 = 15 cách chọn 1 cái thun.

1.2

Nguyên lý nhân

Ví dụ 2. Một người có 12 cái áo và 5 cái quần. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được
một bộ quần áo ?
Hướng dẫn. Ta thấy công việc chọn một bộ quần áo được thực hiện qua 2 giai
đoạn.
* Giai đoạn 1: chọn áo, có 12 cách chọn.
* Giai đoạn 2: chọn quần, có 5 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn áo ở giai đoạn 1, ta có 5 cách chọn quần ở giai đoạn 2 để lập
ra một bộ quần áo. Vậy ta có tất cả 12 × 5 = 60 cách chọn.

6


K24

Học kỳ 1/2019-2020

7

Tổng qt, ta có

Giả sử một cơng việc được thực hiện tuần tự theo k bước, trong đó
• Bước 1 có n1 cách thực hiện,
• Bước 2 có n2 cách thực hiện, . . . ,
• Bước k có nk cách thực hiện,

Khi đó, ta có n1 × n2 × · · · × nk cách thực hiện cơng việc.

1.3

Chỉnh hợp

Ví dụ 3. Có 5 bức tranh và 7 cái móc treo trên tường. Có bao nhiêu cách treo 5 bức
tranh này ? Biết rằng mỗi móc chỉ treo một bức tranh.
Hướng dẫn Cơng việc treo tranh có 5 giai đoạn sau:
+ Giai đoạn 1: Treo bức tranh thứ nhất. Ta chọn ra một móc treo từ 7 cái móc
treo, có 7 cách chọn (cịn lại 6 móc treo).
+ Giai đoạn 2: Treo bức tranh thứ hai, có 6 cách chọn (cịn lại 5 móc treo).
+ Giai đoạn 3: Treo bức tranh thứ ba, có 5 cách chọn (cịn lại 4 móc treo).
+ Giai đoạn 4: Treo bức tranh thứ tư, có 4 cách chọn (cịn lại 3 móc treo).

+ Giai đoạn 5: Treo bức tranh thứ tư, có 3 cách chọn.
Vậy, theo nguyên lý nhân, ta có: 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520 cách treo.
Định nghĩa 1.3.1. Một chỉnh hợp n chập k là một cách lấy k phần tử khác nhau
(có để ý đến thứ tự, trật tự sắp xếp) từ n phần tử khác nhau.
Với tập hợp A gồm n phần tử, số chỉnh hợp n chập k được ký hiệu Akn và xác định
bởi công thức
Akn =

n!
(n − k)!

trong đó n! = 1.2...n, với quy ước: 0! = 1.
Ví dụ 4. Theo ví dụ trên, ta có: Một cách treo 5 bức tranh là một cách chọn ra 5
móc treo khác nhau từ 7 móc treo (có để ý đến vị trí của chúng) → Mỗi cách treo là
một chỉnh hợp 7 chập 5. Vậy có
A57 =

cách treo.
K24

7!
7!
=
= 7.6.5.4.3 = 2520
(7 − 5)!
2!


K24

Học kỳ 1/2019-2020

8

Nhận xét 1. Mỗi cách treo 5 bức tranh là một cách lấy 5 cái móc treo từ 7 cái móc
treo. Đây là cách lấy có thứ tự, bởi vì trật tự lấy các móc khác nhau sẽ cho ta các
cách treo khác nhau. Vậy số cách lấy có thứ tự 5 phần tử từ 7 phần tử được tính như
thế nào?
+ Mỗi phần tử lấy ra từ n phần tử tạo thành một nhóm.
+ Các nhóm khác nhau do:
* Các phần tử trong nhóm khác nhau. Chẳng hạn, 1 2 3 4 khác 3 4 5 6.
* Thứ tự, trật tự sắp xếp của các phần tử trong nhóm khác nhau. Chẳng hạn,
1 2 3 4 khác 3 4 2 1.

1.4

Hốn vị

Định nghĩa 1.4.1. Có n phần tử khác nhau. Một hoán vị của n phần tử này là một
cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự xác định.
Ví dụ 5. Có 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 4 người này:
1. Ngồi thành một hàng dài.
2. Ngồi thành một vòng tròn.
3. Ngồi thành một vịng trịn có đánh số.
Hướng dẫn.
1. Ngồi thành một hàng dài.
A B C D
1

2

3

4

Mỗi cách xếp 4 người này là một hoán vị của 4 người này. Vậy có 4! cách.
2. Ngồi thành một vịng trịn. Chọn ra 1 người làm mốc, ta thấy vị trí ban đầu của
người này không quan trọng (chẳng hạn: A làm mốc, A ở vị trí 1 cũng như vị trí
2) ⇒ Chỉ xếp 3 người cịn lại: có 3! cách.
3. Ngồi thành một vịng trịn có đánh số: 4! cách.

1.5

Tổ hợp

Định nghĩa 1.5.1. Một tổ hợp n chập k là một cách lấy k phần tử khác nhau (không
để ý đến thứ tự sắp xếp) từ n phần tử khác nhau. Số tổ hợp n chập k được ký hiệu
là Cnk và được tính theo cơng thức:
Cnk =

n!
.
k! (n − k)!

Ví dụ 6. Một phịng làm việc của một cơng ty có 30 nhân viên.
K24


K24

Học kỳ 1/2019-2020

9

1. Có bao nhiêu cách Giám đốc chọn ra một Ban lãnh đạo phòng gồm 3 người?
2. Ban lãnh đạo phịng gồm: Trưởng phịng, Phó phịng, Thư ký. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn ra Ban lãnh đạo phịng?
Hướng dẫn.
1. Một Ban lãnh đạo phòng là một cách chọn 3 người từ 30 người (chọn tùy ý, không
quan tâm đến thứ tự sắp xếp).
⇒ Mỗi cách chọn là một tổ hợp 30 chập 3.
3 .
⇒ Số cách chọn là C30
2. Cách 1: Vì 3 người trong Ban lãnh đạo có chức vụ rõ ràng Trưởng phịng, Phó
phịng, Thư ký ⇒ Có để ý đến thứ tự sắp xếp ⇒ Số cách chọn là A330 .
Cách 2: Công việc chọn ra Ban lãnh đạo phịng có 3 giai đoạn:
+ Giai đoạn 1: Chọn Trưởng phịng, có 30 cách.
+ Giai đoạn 2: Chọn Phó phịng, có 29 cách.
+ Giai đoạn 3: Chọn Thư ký, có 28 cách.
Vậy, ta có: 30.29.28 cách chọn.
Cách 3: Cơng việc chọn ra Ban lãnh đạo phịng có 2 giai đoạn:
3 cách.
+ Giai đoạn 1: Chọn 3 người tùy ý trong 30 người, có C30
+ Giai đoạn 2: Ứng với 3 người được chọn, chỉ định 1 người làm Trưởng phịng,
1 người làm Phó phịng, 1 người làm Thư ký có 3! cách.
3 .3! cách chọn.
Vậy, ta có: C30
Nhận xét 2.
Akn = Cnk × k!.

Ví dụ 7. Có 10 người định cư vào 3 nước: Anh, Pháp, Mỹ.
Nước Anh nhận 3 người.
Nước Pháp nhận 3 người.
Nước Mỹ nhận 4 người.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
Hướng dẫn. Dùng nguyên lý nhân
Ta không chú ý đến thứ tự sắp xếp vào 3 nước:
3
Nước Anh: C10

Nước Pháp: C73
Nước Mỹ: C44
3 .C 3 .C 4 cách.
Vậy, ta có: C10
7 4

K24


CHƯƠNG

2
BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

2.1
2.1.1

Một số khái niệm cơ bản
Đối tượng nghiên cứu

Trong cuộc sống, ta gặp rất nhiều hiện tượng mà kết quả của nó ta không biết
chắc chắn được. Chẳng hạn, khi gieo đồng xu, có thể xuất hiện mặt số cũng có thể
xuất hiện mặt hình. Khi gieo một con xúc xắc, có thể xuất hiện mặt 6 chấm nhưng
có thể xuất hiện mặt 2 chấm . . . Các hiện tượng như thế được gọi là hiện tượng ngẫu
nhiên.
Hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng mà dù thực hiện trong cùng một điều kiện
nhưng vẫn cho các kết quả khác nhau. Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng nghiên
cứu của lý thuyết xác suất. Lý thuyết xác suất nghiên cứu tính quy luật của hiện
tượng ngẫu nhiên.
2.1.2

Phép thử, không gian mẫu và biến cố

Phép thử là một khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất nhưng khơng có định
nghĩa chính xác, tương tự khái niệm điểm, đường thẳng . . . trong hình học phổ thơng.
Ta có thể hiểu phép thử là một thí nghiệm hay một quan sát được thực hiện trong
một điều kiện xác định. Chẳng hạn như
- Tung một con xúc xắc, coi như là ta đã thực hiện một phép thử.
- Kiểm tra bài một học sinh, coi như là ta đã thực hiện một phép thử.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu
của phép thử đó, ký hiệu là Ω. Mỗi kết quả của phép thử được gọi là một biến cố sơ
cấp, ký hiệu là ω . Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là biến cố.
Một biến cố A được gọi là xảy ra nếu có ít nhất một kết quả trong nó xảy ra.
Một biến cố được gọi là biến cố ngẫu nhiên nếu nó có thể xảy hoặc khơng xảy ra
sau khi thực hiện phép thử. Ta thường dùng các chữ in hoa, chẳng hạn A, B, C . . .,
A1 , A2 , A3 . . ., B1 , B2 , B3 , . . . để ký hiệu biến cố ngẫu nhiên.
Ngoài các biến cố ngẫu nhiên, ta cịn có hai loại biến cố đặc biệt:

10

K24

Học kỳ 1/2019-2020

11

• Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu:
Ω.
• Biến cố khơng thể là biến cố khơng bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử, ký
hiệu: ∅.

Ví dụ 8. Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất
+ Biến cố “xuất hiện mặt có 7 chấm” là biến cố khơng thể.
+ Biến cố “xuất hiện mặt có 6 chấm” là biến cố ngẫu nhiên.
+ Biến cố “xuất hiện mặt có số nút bé hơn hay bằng 6” là biến cố chắc chắn.
Ví dụ 9. Xét một gia đình có 3 con. Đặt
A = “gia đình có 2 con”,
B = “gia đình có 3 con”,
C = “gia đình có 2 con gái”
D = “gia đình có 1 trai, 1 gái”.

Biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố khơng thể, biến cố ngẫu nhiên?
Ví dụ 10. Hộp có 8 bi gồm: 6 bi trắng, 2 bi xanh. Lấy ra 3 bi xem màu. Đặt
A = “lấy được 1 bi trắng”,
B = “lấy được 3 bi xanh”,
C = “lấy được 3 bi”,

Biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫu nhiên?
2.1.3

Mối quan hệ giữa các biến cố

Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B xảy
ra. Ký hiệu: A ⊂ B.
Biến cố A và B được gọi là hai biến cố tương đương nếu biến cố A xảy ra thì biến
cố B xảy ra và ngược lại. Ký hiệu: A = B.
Hợp của hai biến cố A và B là biến cố C mà biến cố này xảy ra khi ít nhất một
trong hai biến cố A và B xảy ra. Kí hiệu: C = A ∪ B hoặc C = A + B . Nói cách khác,
nếu C = A ∪ B thì C xảy ra trong các trường hợp sau: A xảy ra, B không xảy ra; B
xảy ra, A không xảy ra; cả A và B cùng xảy ra.
Ta có thể mở rộng khái niệm trên như sau: Hợp của n biến cố A1 , A2 , ..., An là
một biến cố A mà biến cố này xảy ra khi ít nhất một trong các biến cố A1 , A2 , ..., An
xảy ra. Lúc này, ta ký hiệu: A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An hoặc A = A1 + A2 + ... + An .
Giao của hai biến cố A và B là một biến cố C mà biến cố này xảy ra khi A và B
đồng thời xảy ra khi thực hiện phép thử. Lúc này, ta viết C = A ∩ B hoặc C = A.B
hoặc C = AB .
Ta có thể mở rộng khái niệm cho biến cố giao như sau: Giao của n biến cố A1 , A2 ,
..., An là một biến cố A mà biến cố này xảy ra khi tất cả các biến cố A1 , A2 , ..., An
K24


K24

Học kỳ 1/2019-2020

12

cùng xảy ra khi thực hiện phép thử. Lúc này, ta ký hiệu: A = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An hoặc
A = A1 A2 ...An .

Nhận xét 3. Ta có
- Mọi biến cố ngẫu nhiên A được biểu diễn dưới dạng hợp của các biến cố sơ cấp.
Trong trường hợp này, mỗi biến cố sơ cấp được gọi là một kết quả thuận lợi cho
A.
- Biến cố chắc chắn là hợp của mọi biến cố sơ cấp có thể có, nên cịn gọi là “khơng
gian các biến cố sơ cấp”.
- Biến cố không bao hàm biến cố nào là biến cố rỗng.
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = ∅. Nói khác đi, A và B xung
khắc khi A, B không đồng thời xảy ra trong một phép thử.
Các biến cố A1 , A2 , . . . , An được gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai trong n
biến cố này xung khắc với nhau.
Biến cố đối lập của A, ký hiệu là A hoặc Ac hoặc A , là một biến cố mà biến cố
này xảy ra khi và chỉ khi biến cố A không xảy ra trong cùng một phép thử.
2.1.4

Các tính chất

1. A = A, A + Ω = A, A + ∅ = A
2. A + A = A
3. A + B = B + A
4. A.(B + C) = (A.B) + (A.C)
5. A + B = A.B
6. A + B + C = A.B.C

2.2
2.2.1

1. A.∅ = ∅
2. A.A = A

3. A.B = B.A
4. A + (B.C) = (A + B).(A + C)
5. A.B = A + B
6. A.B.C = A + B + C

Định nghĩa xác suất
Định nghĩa xác suất theo cổ điển

Trong một phép thử, giả sử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy
ra, trong đó có mA biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. Khi đó, tỷ số mnA được gọi
là xác suất của biến cố A, ký hiệu là P (A).

P (A) =

mA
Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A
|A|
=
=
.
n
Tổng số biến cố sơ cấp có thể xảy ra |Ω|

(2.1)

Ví dụ 11. Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất xuất hiện mặt
lẻ.
Hướng dẫn. Phép thử này có 6 biến cố sơ cấp có khả năng xảy ra là A1 , A2 , ..., A6
với Ai là biến cố “xuất hiện mặt có i chấm”, i = 1, . . . , 6.
K24

K24

Học kỳ 1/2019-2020

13

Gọi A là biến cố xuất hiện mặt lẻ, A = A1 + A3 + A5 , tức có 3 biến cố sơ cấp đồng
khả năng thuận lợi cho A. Theo định nghĩa, ta có:
P (A) =

3
= 0, 5.
6

Ví dụ 12. Một hộp có 8 sản phẩm, trong đó có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu.
Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại từ hộp đó ra 3 sản phẩm. Tính xác suất lấy được 2
sản phẩm tốt.
Hướng dẫn. Gọi A là biến cố lấy được 2 sản phẩm tốt. Mỗi kết quả của phép
thử tương ứng với việc chọn 3 sản phẩm từ tập hợp 8 sản phẩm, tức là một tổ hợp
chập 3 của 8 sản phẩm. Do đó, số kết quả của phép thử là C83 .
Biến cố A xảy ra khi trong 3 sản phẩm được chọn có 2 chính phẩm và 1 phế phẩm.
Do đó, số trường hợp thuận lợi cho A là C52 .C31 . Vậy xác suất lấy được 3 sản phẩm
tốt là:
P (A) =

C52 .C31
.
C83

Nhận xét 4. Công thức xác suất cổ điển có những ưu điểm và nhược điểm sau:
* Ưu điểm: Tính được chính xác các giá trị xác suất của biến cố mà không cần
phải tiến hành phép thử.
* Nhược điểm:
+ Chỉ áp dụng được với phép thử có hữu hạn các biến cố sơ cấp.
+ Không phải lúc nào tất cả các biến cố sơ cấp cũng xảy ra đồng khả năng.
+ Trong một số trường hợp thực tế, ta khơng tính được số phần tử của A.
Ví dụ 13. Một lơ hàng có N sản phẩm. Lấy ngẫu nhiên n (n < N ) sản phẩm của lơ
hàng. Tính xác suất lấy được m sản phẩm xấu trong n sản phẩm lấy ra.
Hướng dẫn. Đặt A là biến cố có m phế phẩm trong n sản phẩm lấy ra (m ≤ n).
Muốn tính P (A), ta phải biết số sản phẩm xấu của lô hàng là bao nhiêu. Giả sử
rằng, ta biết được số sản phẩm xấu của lơ hàng là M thì xác suất
m C n−m
CM
N −M
P (A) =
.
n
CN

Tuy nhiên, trong thực tế ta khơng thể biết được chính xác M vì ta không thể kiểm
tra (mở nắp) hết tất cả các sản phẩm trong lơ hàng.
Ví dụ 14. Quan sát số người đến siêu thị trong một ngày nào đó. Gọi A là biến cố
quan sát được người đến siêu thị là nữ. Ta có thể xác định được số phần tử của A và
Ω không?
2.2.2

Định nghĩa xác suất theo thống kê

Định nghĩa 2.2.1. Giả sử khi tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện
như nhau, biến cố A xuất hiện mA lần. Khi đó, tỷ số mnA được gọi là tần suất xuất
K24


K24

Học kỳ 1/2019-2020

14

hiện của biến cố A. Thực nghiệm thống kê chứng minh rằng, khi số phép thử n khá
lớn, tần suất của biến cố A luôn dao động quanh một giá trị không đổi p, (0 ≤ p ≤ 1).
Giá trị p đó được gọi là xác suất của biến cố A.
Như vậy,
mA
.
n→∞ n

P (A) = lim

Trong thực tế, khi số phép thử n đủ lớn, ta lấy tần suất làm xấp xỉ cho xác suất của
biến cố A,
mA
.
(2.2)
P (A) ≈
n

Ví dụ 15. Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt số khi tung đồng tiền xu, người ta

tiến hành tung đồng tiền xu nhiều lần, khi số phép thử tăng lên, tần suất xuất hiện
mặt số tiến dần đến 0, 5. Khi đó, ta xem xác suất xuất hiện mặt số là 0, 5.
Bằng thực nghiệm, một số nhà khoa học đã thảy đồng tiền xu nhiều lần và nhận
được các kết quả sau:
Người thực hiện Số lần thảy Số lần mặt hình Tần suất
Buffon
4040
2048
0, 5069
Pearson
12000
6019
0, 5016
Pearson
24000
12012
0, 5005
và khi đó, ta nói xác suất nhận được mặt hình gần bằng 0, 5.
Ví dụ 16. Khi một xạ thủ nào đó bắn 1000 viên đạn thì có khoảng 800 viên trúng
bia, khi đó ta nói xác suất để xạ thủ bắn trúng bia là 80%.
Nhận xét 5. + Chỉ có thể áp dụng cho các phép thử ngẫu nhiên có thể lặp lại nhiều
lần một cách độc lập trong các điều kiện giống hệt nhau.
+ Để cho kết quả chính xác thì số lần thực hiện phép thử n phải đủ lớn. Điều này
thực tế không phải lúc nào cũng làm được.
2.2.3

Định nghĩa xác suất theo tiên đề Komogorov

Xét phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu là Ω. Gọi P(Ω) là tập hợp tất cả
các tập con của Ω. Theo tiên đề Komogorov, xác suất là một ánh xạ nhận các giá trị

thực và xác định trên P(Ω),
P : P(Ω) → R
A → P (A)

thỏa các tính chất sau:
1. P (Ω) = 1,
2. P (A) ≥ 0, ∀A ∈ P(Ω),
3. P (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + · · · + P (An ),

K24


K24

Học kỳ 1/2019-2020

15

với mọi dãy hữu hạn các biến cố A1 , A2 , . . . , An xung khắc từng đôi, nghĩa là Ai ∩Aj = ∅
với mọi i = j .
Từ định nghĩa, ta dễ dàng suy ra thêm được các tính chất sau:
4. P (∅) = 0,
5. 0 ≤ P (A) ≤ 1, ∀A ∈ P(Ω).

2.3

Các công thức xác suất

2.3.1

Công thức cộng

Cho hai biến cố A, B bất kỳ. Khi đó,
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) .

(2.3)

Tức là, xác suất của tổng hai biến cố bằng tổng hai xác suất của từng biến cố trừ
đi xác suất của tích hai biến cố đó.
Ví dụ 17. Lớp có 50 sinh viên, trong đó có 20 sinh
viên giỏi tiếng Anh, 15 sinh viên giỏi tiếng Pháp, 7
sinh viên giỏi cả hai ngoại ngữ. Chọn ngẫu nhiên 1
sinh viên trong lớp. Tính xác suất:
1. Chọn được 1 sinh viên giỏi ít nhất 1 ngoại ngữ.
2. Chọn được 1 sinh viên không giỏi ngoại ngữ nào
hết.
Hướng dẫn. Đặt các biến cố
1. A = “Sinh viên này giỏi tiếng Anh”
B = “Sinh viên này giỏi tiếng Pháp”
C = “Sinh viên này giỏi ít nhất một ngoại ngữ”
Khi đó, C = A + B . Hơn nữa, ta thấy A và B là hai biến cố khơng xung khắc vì
có sinh viên giỏi cả hai ngoại ngữ. Do vậy
P (C) = P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 20/50 + 15/50 − 7/50 = 28/50.

2. D = “Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết”
P (D) = P A + B = P (AB) = P (C) = 1 − P (C) = 1 − 28/50 = 22/50.

Với trường hợp ba biến cố A, B , C bất kỳ, ta có kết quả:
P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (BC) − P (AC) + P (ABC). (2.4)

Nhớ lại rằng, hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không đồng
thời xảy ra trong một phép thử, hay AB = ∅. Ta có kết quả
K24


K24

Học kỳ 1/2019-2020

16

Hệ quả 2.3.1. Cho hai biến cố A, B xung khắc. Khi đó,
P (A + B) = P (A) + P (B) .

(2.5)

Tức là, nếu hai biến cố xung khắc thì xác suất của tổng hai biến cố bằng tổng hai
xác suất của từng biến cố.
Ví dụ 18. Một hộp đựng 5 bi màu đỏ, 10 bi màu xanh, 15 bi màu trắng giống hệt
nhau. Lấy ngẫu nhiên 1 bi và khơng nhìn vào hộp. Hãy tìm xác suất để lấy được bi
đỏ hoặc bi xanh.
Hướng dẫn.
Đặt A = “lấy được bi màu đỏ”,
B = “lấy được bi màu xanh”.
Ta có

1
10
1
5

= , P (B) =
= .
30
6
30
3
Ta thấy A + B = “lấy được bi màu đỏ hoặc màu xanh”. Do A, B là hai biến cố xung
P (A) =

khắc nên
P (A + B) = P (A) + P (B) =

1 1
1
+ = .
3 6
2

Ví dụ 19. Trong bình để 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên
bi. Tính xác suất để có 1 hoặc 2 viên bi đỏ.
Hướng dẫn.
Đặt A1 là biến cố 3 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi đỏ,
A2 là biến cố 3 viên bi lấy ra có đúng 2 viên bi đỏ
Gọi A là biến cố có 1 hoặc 2 viên bi đỏ. Ta sẽ tính P (A).
Ta thấy A1 , A2 là hai biến cố xung khắc vì đã có 1 viên bi đỏ thì khơng thể có 2
viên bi đỏ và ngược lại. Do đó
P (A) = P (A1 + A2 ) = P (A1 ) + P (A2 )
C41 .C62 C42 .C61
4
=

+
= .
3
3
5
C10
C10

Hệ quả 2.3.2. Với A là biến cố bất kỳ của phép thử, ta có
P (A) = 1 − P (A).

(2.6)

Ví dụ 20. Trong một vùng dân cư tỷ lệ người mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh huyết
áp là 12% và mắc cả hai bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng đó. Tính
xác suất để người đó khơng mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp.
Hướng dẫn
Gọi A = “Người đó mắc bệnh tim”, B = “Người đó mắc bệnh huyết áp”
Ta có:
P (A) = 0, 09; P (B) = 0, 12; P (AB) = 0, 07

Gọi H = “Người đó khơng mắc bệnh tim và bệnh huyết áp”
K24


K24

Học kỳ 1/2019-2020

17

H = “Người đó mắc bệnh tim hoặc bệnh huyết áp”
Ta có: H = A + B , áp dụng công thức (2.3) ta được
P (H) = P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 0, 09 + 0, 12 − 0, 07 = 0, 14.

Áp dụng cơng thức (2.6), ta có
P (H) = 1 − P (H) = 1 − 0, 14 = 0, 86.

Mở rộng 2.3.1. Cho A1 , A2 , ... An là dãy gồm n biến cố xung khắc từng đơi. Khi
đó,
P (A1 + A2 + . . . + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + P (An ) .
(2.7)
2.3.2

Cơng thức xác suất có điều kiện

Trong nhiều trường hợp, một vấn đề được đặt ra là: ta có thể nói gì về xác suất
của biến cố A nếu có thơng tin biến cố B nào đó (liên quan tới A) đã xảy ra? Trong
những trường hợp đơn giản nhất, câu trả lời khá dễ dàng. Chẳng hạn, nếu A và B
xung khắc thì A khơng thể xảy ra, vì vậy xác suất để A xảy ra bằng 0. Trường hợp
khác, nếu B ⊂ A thì A chắc chắn xảy ra nên xác suất để A xảy ra bằng 1. Vấn đề còn
lại, nếu B đã xảy ra chỉ cho ta một phần thông tin về phép thử (tức cho A) thì khi
đó P (A) được xác định thế nào. Khái niệm xác suất điều kiện sẽ được sử dụng cho
trường hợp này.
Chẳng hạn, với phép thử rút ngẫu nhiên một lá bài từ một bộ bài 52 lá, ta cần
xác định xem xác suất rút được lá ách cơ là bao nhiêu nếu biết rằng lá bài lấy ra là
lá đỏ. Trong tình huống này, đặt A = “Rút được lá ách cơ”, B = “Rút được lá đỏ”.
Ta cần tính xác suất để A xảy ra khi biết B đã xảy ra. Một lập luận tự nhiên như
sau: Khi biết B đã xảy ra, nghĩa là ta đã biết lá bài lấy ra là lá đỏ, thì ta chỉ tập
trung vào các lá bài đỏ trong bộ bài. Vì bộ bài có 26 lá đỏ và có duy nhất một lá ách

cơ nên xác suất để rút ra lá ách cơ là 1/26.
Sau đây là định nghĩa của xác suất có điều kiện:
Định nghĩa 2.3.1. Cho A và B là hai biến cố của một phép thử, với P (B) > 0.
Đại lượng
P (A|B) =

P (AB)
P (B)

(2.8)

được gọi là xác suất có điều kiện của A khi biết B đã xảy ra.
Áp dụng cơng thức (2.8), ta có thể giải lại ví dụ trên
như sau: Ta có
P (B) =

1
C26
26
= ,
1
52
C52

P (AB) =

1
.
52

Do vậy
P (A|B) =

K24

P (AB)
1 52
1
=
·
= .
P (B)
52 26
26


K24

Học kỳ 1/2019-2020

18

Ví dụ 21. Hộp có 5 bi đỏ, 7 bi trắng. Lấy lần lượt khơng hồn lại 2 bi. Biết rằng lần
một lấy được bi T, tính xác suất lần 2 lấy được bi T?
Giải. Đặt A = “lấy được bi T lần 1”, B = “lấy được bi T lần 2”. Ta có
P (A) =

7
,
12

P (AB) =

Do đó
P (AB)
P (B|A) =
=
P (A)

C72
7
= .
2
22
C12
7
22
7
12

=

6
.
11

Định nghĩa 2.3.2. Nếu P (A|B) = P (A), nghĩa là sự xuất hiện của biến cố B không
ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A, thì ta nói A độc lập với B.
2.3.3

Cơng thức xác suất nhân

Với A và B là hai biến cố bất kì, ta có:
(2.9)

P (AB) = P (A).P (B|A) = P (B).P (A|B).

Ví dụ 22. Cho một hộp bi đựng 5 bi trắng, 4 bi đen. Rút ngẫu nhiên khơng hồn
lại lần lượt 2 bi. Hãy tìm xác suất để rút được bi trắng trước bi đen sau.
Giải. A = “Rút được bi trắng”, B = “Rút được bi đen”. Khi đó, AB = “Rút được
bi trắng trước và bi đen sau”. Áp dụng công thức xác suất nhân,
P (AB) = P (A).P (B|A).

Ta có
P (A) =

|A|
5
= ,
|Ω|
9

P (B|A) =

4
1
= .
8
2

Vậy
P (AB) = P (A).P (B|A) =

51
5
= .
92
18

Mở rộng 2.3.2. Gọi A, B, C, D, Ai , i = 1, . . . , n là các biến cố bất kỳ, ta có:
(2.10)
P (ABCD) = P (A).P (B|A).P (C|AB).P (D|ABC),
(2.11)
P (A1 A2 . . . An ) = P (A1 ).P (A2 |A1 ).P (A3 |A1 A2 ) . . . P (An |A1 . . . An−1 ).(2.12)

P (ABC) = P (A).P (B|A).P (C|AB),

Hệ quả 2.3.3. Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì
P (AB) = P (A).P (B).

K24

(2.13)


K24

Học kỳ 1/2019-2020

19

Chú ý 2.3.1. Nếu hai biến cố A và B là độc lập, thì A cũng độc lập với B.
Chứng minh. Giả sử A, B là độc lập. Vì A = AB + AB , và AB và AB xung khắc,
nên ta có
P (A) = P (AB) + P (AB)
= P (A)P (B) + P (AB) (vì A, B độc lập)

Do đó,
P AB

= P (A) (1 − P (B))
= P (A)P (B).

Định nghĩa 2.3.3. Ba biến cố A, B, C được gọi là độc lập nếu
P (ABC) = P (A).P (B).P (C)
P (AB) = P (A).P (B)
P (AC) = P (A).P (C)
P (BC) = P (B).P (C)

Tổng quát, n biến cố A1 , A2 , . . . , An được gọi là độc lập nếu bất kỳ k biến cố
A1 , A2 , . . . , Ar , r ≤ n
P (A1 A2 · · · Ar ) = P (A1 ).P (A2 ) · · · P (Ar )

Chú ý rằng, nếu từ n biến cố độc lập A1 , A2 , . . . , An , i = 1, 2, . . . , n, ta thành lập
n biến cố B1 , B2 , . . . , Bn , i = 1, 2, . . . , n, với Bi = Ai hay Bi = Ai , thì các biến cố
B1 , B2 , . . . , Bn , i = 1, 2, . . . , n, cũng độc lập.
Ví dụ 23. Cho một hộp bi đựng 5 bi trắng, 4 bi đen. Rút ngẫu nhiên lần lượt từng
bi ra 2 bi (rút có hồn lại). Hãy tìm xác suất để rút được bi trắng trước bi đen sau.
Giải. A = “Rút được bi trắng”, B = “Rút được bi đen”, suy ra AB = “Rút được
bi trắng trước và bi đen sau”.

Do rút có hồn lại nên hai biến cố A, B độc lập nhau. Vì vậy
P (AB) = P (A).P (B).

Ta có
P (A) =

5
|A|
= ,
|Ω|
9

P (B) =

|B|
4
= .
|Ω|
9

Vậy
5 4
20
P (AB) = P (A).P (B) = . = .
9 9
81

Ví dụ 24. Ba xạ thủ A, B và C độc lập với nhau cùng nổ súng vào một mục tiêu.
Xác suất trúng của xạ thủ A, B và C tương ứng là 0, 4; 0, 5 và 0, 7.
a. Tính xác suất để chỉ có duy nhất một xạ thủ bắn trúng.

b. Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.
K24


K24

Học kỳ 1/2019-2020

20

Hướng dẫn
Gọi A = “Xạ thủ A bắn trúng”, P (A) = 0, 4;
B = “Xạ thủ B bắn trúng”, P (B) = 0, 5;
C = “Xạ thủ C bắn trúng”, P (C) = 0, 7.

a. Đặt H = “Chỉ có duy nhất một xạ thủ bắn trúng”
H = ABC + ABC + ABC

Sử dụng công thức (2.3) và (2.9) (chú ý A, B và C độc lập), ta có
P (H) = P (A)P (B)P (C) + P (A)P (B)P (C) + P (A)P (B)P (C)
= (0, 4)(0, 5)(0, 3) + (0, 6)(0, 5)(0, 7) + (0, 6)(0, 5)(0, 3) = 0, 36.

b. Đặt G = “Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng”
G=A+B+C
P (D) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A)P (B) − P (A)P (C) − P (B)P (C) + P (A)P (B)P (C)
= 0, 4 + 0, 5 + 0, 7 − 0, 2 − 0, 35 − 0, 28 + 0, 14 = 0, 91.

Ta có thể tính P (D) bằng cách dùng công thức (2.6).
D = AB C

Vậy,
P (D) = P (A)P (B)P ( C)
= (0, 6)(0, 5)(0, 3) = 0, 09.

Từ đó P (D) = 1 − P (D) = 0, 91.
2.3.4

Công thức xác suất đầy đủ

Cho một họ các biến cố A1 , A2 , . . . , An trong một phép thử ngẫu nhiên. Họ A1 , A2 , . . . , An
được gọi là đầy đủ nếu có duy nhất một biến cố trong họ xảy ra khi thực hiện phép
thử.
Nói khác đi, họ A1 , A2 , . . . , An đầy đủ nếu
A1 + A2 + ... + An = Ω,
Ai Aj = ∅, ∀i = j.

Ví dụ 25. Khi gieo đồng xu, thì biến cố A = “xuất hiện mặt số” và biến cố B = “xuất
hiện mặt hình” tạo thành hệ đầy đủ.
Ví dụ 26. Quan sát bài thi của một sinh viên. Gọi A0 , A1 , . . . , A10 tương ứng là biến
cố bài thi được 0, 1, . . . , 10 điểm, thì các biến cố A0 , A1 , . . . , A10 tạo thành hệ đầy đủ.
Theo định nghĩa trên dễ thấy: A, A là một hệ biến cố đầy đủ.
K24


K24

Học kỳ 1/2019-2020

21

* Với A, A là hệ biến cố đầy đủ, ta có
(2.14)

P (A) + P A = 1.

Cơng thức xác suất đầy đủ cho hai biến cố. Cho
A, A là hệ biến cố đầy đủ. Khi đó, với B là một biến
cố bất kì của phép thử, ta có
P (B) = P (A)P (B|A) + P (A)P (B|A).

(2.15)

Tổng qt, ta có
Cơng thức xác suất đầy đủ cho n biến cố. Cho A1 , A2 , . . . , An là hệ biến cố
đầy đủ. Khi đó, với B là một biến cố bất kì của phép thử, ta có
P (B) = P (A1 )P (B|A1 ) + P (A2 )P (B|A2 ) + . . . + P (An )P (B|An ).

(2.16)

Ví dụ 27. Một cửa hàng mua trứng
của ba cơ sở nuôi gà theo tỷ lệ
25%, 35%, 40%. Nếu tỷ lệ trứng hỏng
của ba cơ sở là 5%, 4%, 2% thì xác
suất để 1 quả trứng mua tại cửa hàng
bị hỏng là bao nhiêu?
Giải. A1 , A2 , A3 tương ứng là biến
cố trứng mua là của cơ sở 1, 2, 3. Gọi
B là biến cố trứng mua bị hỏng.
Các biến cố A1 , A2 , A3 tạo thành một hệ đầy đủ. Áp dụng công thức xác suất đầy
đủ, ta có

P (B) = P (A1 )P (B|A1 ) + P (A2 )P (B|A2 ) + · · · + P (An )P (B|An ).

Ta có
P (A1 ) = 0, 25; P (A2 ) = 0, 35; P (A1 ) = 0, 40

và
P (B|A1 ) = 0, 05; P (B|A2 ) = 0, 04; P (B|A3 ) = 0, 02.

Do đó
P (B) = 0, 25.0, 05 + 0, 35.0, 04 + 0, 40.0, 02 = 0, 0345.

Vậy xác suất để mua một quả trứng tại cửa hàng bị hỏng là 0, 0345.

K24


K24

2.3.5

Học kỳ 1/2019-2020

22

Công thức xác suất Bayes

Cho A1 , A2 , . . . , An là hệ biến cố đầy đủ. Khi đó, với B là một biến cố bất kì của
phép thử, ta có
P (Ai |B) =

P (Ai )P (B|Ai )
P (A1 )P (B|A1 ) + P (A2 )P (B|A2 ) + · · · + P (An )P (B|An )

với mọi 1 ≤ i ≤ n.
Ví dụ 28. Ta xét tiếp ví dụ 27 ở phần cơng thức xác suất đầy đủ nhưng cho biết
thêm là đã mua được quả trứng hỏng. Tính xác suất quả trứng hỏng là của cơ sở 1?
Hỏi khả năng quả trứng hỏng này do cơ sở nào sản xuất là cao nhất?
Giải. Vì A đã xảy ra nên áp dụng cơng thức Bayes, ta có
Xác suất quả trứng hỏng là của cơ sở 1:
P (A1 |B) =

0, 25.0, 05
25
P (A1 )P (B|A1 )
=
= .
P (B)
0, 0345
69

Tương tự, xác suất quả trứng hỏng là của cơ sở 2:
P (A2 |B) =

28
.
69

và xác suất quả trứng hỏng là của cơ sở 3:
P (A3 |B) =

16
.
69

Với tính tốn như trên, ta thấy xác suất quả trứng hỏng là của cơ sở 2 là cao nhất.
2.3.6

Công thức Bernoulli

Giả sử tiến hành một phép thử, ta quan tâm biến cố A hoặc xảy ra với xác suất
p không đổi, hoặc không xảy ra với xác suất q = 1 − p, được gọi là một phép thử
Bernoulli. Tiến hành n phép thử Bernoulli độc lập trong những điều kiện như nhau.
Ta quan tâm đến số lần biến cố A xảy ra trong n phép thử đó. Khi đó, với 0 ≤ k ≤ n,
ta có cơng thức Bernoulli dùng để tính xác suất để trong n phép thử biến cố A xảy
ra đúng k lần là

Pn (k) = Cnk pk q n−k .

(2.17)

Ví dụ 29. Một lơ hàng có tỷ lệ phế phẩm là 3%. Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hồn
lại từ lơ hàng đó ra 5 sản phẩm để kiểm tra. Tìm xác suất để có 2 phế phẩm trong
5 sản phẩm lấy ra để kiểm tra
Giải. Kiểm tra 5 sản phẩm coi như ta thực hiện 5 phép thử. Gọi A là biến cố “sản
phẩm lấy ra kiểm tra là phế phẩm”.
K24


K24

Học kỳ 1/2019-2020

23

Ta thấy trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: hoặc sản
phẩm kiểm tra là phế phẩm (tức A xảy ra) hoặc sản phẩm kiểm tra là chính phẩm
(tức A khơng xảy ra). Xác suất để A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng 0, 03.
Vậy các điều kiện để áp dụng công thức Bernoulli đều thỏa mãn. Thành thử, xác
suất để có 2 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra kiểm tra là:
C52 (0, 03)2 (1 − 0, 03)5−2 = 8, 2.10−3 .

Ví dụ 30. Xác suất chữa bệnh A của một phương pháp điều trị là 95%. Với 10 người
bị bệnh A được điều trị bằng phương pháp này, tính xác suất để
a. có 8 người khỏi bệnh.
b. có nhiều nhất 9 người khỏi bệnh.
Hướng dẫn. Do việc khỏi bệnh của người này và người khác là độc lập nhau, và
xác suất khỏi bệnh của mỗi người đều bằng 0,95. Nên theo công thức Bernoulli, với
n = 10 và p = 0, 95, ta có:
a. Xác suất để có 8 người khỏi bệnh là:
8
C10
(0, 95)8 (1 − 0, 95)10−8 = 0, 0746.

b. Biến cố: “có nhiều nhất 9 người khỏi bệnh ” là biến cố đối của biến cố: “có 10
người khỏi bệnh ” nên có xác suất là
10
1 − C10
(0, 95)10 (1 − 0, 95)10−10 = 1 − 0, 5987 = 0, 4013.

Chú ý 2.3.2. Trong dãy gồm n phép thử Bernoulli, ta thấy:

+ Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào là q n .
+ Xác suất để trong n phép thử biến cố A xảy ra n lần là pn .

K24


CHƯƠNG

3
BIẾN NGẪU NHIÊN

3.1

Định nghĩa

Xét phép thử T với không gian mẫu Ω. Giả sử, ứng với mỗi biến cố sơ cấp ω ∈ Ω,
ta liên kết với duy nhất một số thực X(ω) ∈ R, thì X được gọi là biến ngẫu nhiên.
Ví dụ 31. Với trị chơi tung đồng xu, giả sử nếu xuất hiện mặt số, ta được 1 đồng;
nếu xuất hiện mặt hình, ta mất 1 đồng. Khi đó, ta có
Phép thử T: “tung đồng xu”,
Khơng gian mẫu Ω = {S, H},
Biến ngẫu nhiên X với X(S) = 1 và X(H) = −1.
Tổng quát, biến ngẫu nhiên X của một phép thử T với không gian mẫu Ω là một
ánh xạ
X:Ω→R
ω → X (ω)

Biến ngẫu nhiên thường ký hiệu là: X, Y, Z, . . .
Biến ngẫu nghiên được chia làm hai loại biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu
nhiên liên tục.

* Biến ngẫu nhiên rời rạc lấy các giá trị hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.
* Biến ngẫu nhiên liên tục lấy bất kỳ giá trị trên một khoảng của trục số thực
hoặc cả trục số thực.
Ví dụ 32. Đo chiều cao của một người.
Gọi X = chiều cao của người đó. X là biến ngẫu nhiên?
Ví dụ 33. Nghiên cứu bão ở Việt Nam trong năm.
Gọi X = Số cơn bão đổ bộ vào Việt Nam trong năm. X là biến ngẫu nhiên?
Ví dụ 34. Khảo sát tiền lương của một nhân viên nhà nước trong năm.
Gọi X = Tiền lương của người này trong tháng. X là biến ngẫu nhiên?
Ví dụ 35. Xét một người xem người này có tính tốt hay xấu.
Gọi X = là tính tình của người này. X là biến ngẫu nhiên?
24


K24

Học kỳ 1/2019-2020

25

Ví dụ 36. Hộp có 10 bi, trong đó có 6 bi T. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp.
Gọi X = số bi T lấy được. X là biến ngẫu nhiên?
Trong thực nghiệm, các biến ngẫu nhiên thường là rời rạc. Tuy nhiên, khi biến ngẫu
nhiên khảo sát lấy giá trị tùy ý trên một khoảng của R (hay cả R), ta coi nó như
một biến ngẫu nhiên liên tục. Chẳng hạn, lấy ngẫu nhiên một sinh viên trong trường
và đo chiều cao (phép thử T: “lấy một sinh viên trong trường”, không gian mẫu Ω
là tập hợp tất cả các sinh viên và với sinh viên ω ∈ Ω thì X(ω) là chiều cao của ω ),
ta được một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị đủ nhiều trên R nên ta coi nó là
biến ngẫu nhiên liên tục. Thực chất, các biến ngẫu nhiên liên tục được dùng làm xấp
xỉ cho các biến ngẫu nhiên rời rạc khi tập các giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc đủ

“dày đặc”.

3.2
3.2.1

Biểu diễn biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên rời rạc

Để xác định một biến ngẫu nhiên rời rạc, ta cần xác định các giá trị xi , i = 1, 2, ...
có thể nhận được bởi biến này và đồng thời cũng cần xác định xác suất tương ứng
để X nhận các giá trị này là bao nhiêu.
Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị x1 , x2 , ..., xn . Giả sử x1 < x2 < ... < xn ,
ta có bảng phân phối xác suất cho X :
X
P

x1
p1

x2
p2

...
...

xi
pi

...
...

xn
pn

* xi i = 1, n là các giá trị khác nhau của X .
* pi = P (X = xi ) ≡ P ({ω ∈ Ω : X (ω) = xi }) là xác suất X nhận giá trị xi .
Như vậy, để lập được một bảng phân phối xác suất cho một biến ngẫu nhiên rời
rạc X , ta cần:
+ Xác định các giá trị có thể có xi của X .
+ Tính các xác suất pi tương ứng với các giá trị xi .
Từ bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc, ta định nghĩa
Định nghĩa 3.2.1. Hàm mật độ (xác suất)
Hàm số f : R → R xác định bởi
f (x) =

pi khi x = xi
0 khi x = xi

Tính chất 3.2.1. Một số tính chất của hàm mật độ xác suất
1. ∀x ∈ R, f (x)
K24

0;